上海大学附属中学2025-2026学年第二学期期末考试高一年级数学试卷

**基本信息** 高一年级数学期末试卷以核心素养为导向，覆盖函数、几何、复数等高一重点知识，通过立体几何最短距离（蚂蚁爬行）、公司奖励方案建模等问题，融合直观想象与数学应用，层次分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/42|扇形弧长、函数周期、集合运算、复数虚部、解三角形|结合动态几何（三棱柱表面最短距离）考查空间观念| |选择题|4/12|线面位置关系、新定义运算、动态线段最值|正方体线面角问题锻炼直观想象素养| |解答题|5/46|解三角形、复数方程、立体几何二面角、向量函数、新定义伴随复数|21题以伴随复数为载体，考查抽象能力与逻辑推理，体现数学思维深度|

2025学年第二学期上大附中期末考试 高一年级 数学试卷 一、填空题（本大题共12题，满分42分，1~6题每题3分，7~12题每题4分）要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分. 1. 已知扇形的半径为 ，弧长为 ，则扇形的圆心角 的弧度数为 ______. 1. 函数 的最小正周期是 ，则 ______. 1. 若全集 ，集合 ，，则图中阴影部分表示的集合为 ______. 1. 若 ，，则 ______. 1. 已知复数 ，那么复数 的虚部是 ______. 1. 设 为单位向量，且 ，则 ______. 1. 在 中，，，则 ______. 1. 已知直三棱柱 中，，， 点为棱 的中点，一只小蚂蚁在这个三棱柱的表面上从 点爬到 点的最短距离为 ______ cm. 1. 若不等式 对一切 恒成立，则 的取值范围是 ______. 1. 已知 是奇函数，则实数 的值为 ______. 1. 某公司拟投资开发一种新产品，估计公司能获取不低于80万元且不高于2500万元的投资收益.该公司对研发部门的奖励方案有如下三条要求： · ① 奖金 （单位：万元）随投资收益 （单位：万元）的增加而增加； ② 奖金不低于10万元且不超过200万元； ③ 奖金不超过投资收益的 . · 已知函数 符合公司奖励方案要求，则在该函数模型前提下，研发部门可以获取的奖金最多为 ______ 万元. 1. 已知向量 满足 ，且 在 方向上的投影为 的单位向量，，则 的最大值为 ______. 二、选择题（本大题共4题，每题3分，共12分）每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分. 1. 已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则以下说法正确的是（ ） A. 若 ，，，则 B. 若 ，，，则 C. 若 ，，，则 D. 若 ，，，则 1. 已知 ， 都是非零向量，定义新运算 ，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件  B. 必要不充分条件  C. 充要条件  D. 既不充分也不必要条件 1. 如图，在 中，点 是线段 上的动点（端点除外），且 ，则 的最小值为（ ） A. 54 B. 49 C. 36 D. 16 1. 学习立体几何能够锻炼直观想象的数学核心素养，小唐在研究正方体的时候发现过空间中的一点 ，存在 条直线 ，满足 与正方体的每条棱所成角的大小都相等；小宋在研究正方体的时候发现过空间中的一点 ，存在 个平面 ，满足 与正方体的每个面所成锐二面角的大小都相等；则下列判断正确的是（ ） A.  B.  C.  D. 的大小关系与点 的位置有关 三、解答题（本大题共有5题，满分46分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤. 17.（本题满分8分，第1小题满分3分，第2小题满分5分） 在 中， 分别为内角 的对边，已知 . （1）求角 ； （2）若 ，，求 的面积. 18.（本题满分8分，第1小题满分3分，第2小题满分5分） 已知关于 的实系数一元二次方程 . （1）若方程的一个根为 ，求实数 的值； （2）若方程的两虚根为 ，且 ，求 的值. 19.（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分） 如图，在三棱柱 中，，，，点 在底面 的射影为 的中点 ， 为 的中点. （1）求证： 平面 ； （2）求二面角 的正弦值. 20.（本题满分10分，第1小题满分4分，第2小题满分6分） 已知向量 ，，函数 . （1）若 ，且 ，求满足条件的 取值的集合； （2）若存在 使得不等式 成立，求实数 的取值范围. 21.（本题满分12分，第1小题满分3分，第2小题满分4分，第3小题满分5分） 已知集合 是满足下列性质的函数 的全体：存在实数 、（），对于定义域内任意 ，均有 成立，称复数 为函数 的伴随复数. （1）判断函数 是否属于集合 ； （2）若函数 所有的伴随复数构成集合 ，复数 构成集合 ，请判断“复数 ”是“复数 ”的什么条件，并证明你的结论； （3）若 和 都是函数 的伴随复数，当 时，，当 时，，求当 时，函数 的解析式和零点. 1 学科网（北京）股份有限公司 $