上海市长宁区2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

2026年长宁区高一年级下学期期末统考 2026.06.22 一、填空题（每小题3分，共36分） 1．已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为2 cm，则该扇形的面积是________． 2．已知向量，，若，则实数______． 3．已知为第三象限角，，则___． 4．在，已知，，，则______． 5．已知，则____． 6．函数的定义域是_______． 7．若复数满足，则____． 8．已知，，且，则在方向上的投影是_____． 9．设点是平面直角坐标系内的一个动点，它从初始位置出发，绕原点按逆时针方向转动角后到达点，然后继续绕原点按逆时针方向转动角到达点；若的横坐标是，则的坐标是______． 10．已知，则的取值范围是______． 11．如图，已知塔坐落在一座小山上，且垂直于地面；观察者在地面上的点处测得仰角，，在延长线上的点处测得仰角，并测得米，则塔的高大约是_______米（精确到0.01米） 12．已知平行四边形中，E，F分别是边，的中点，且，，则的最大值为______． 二、选择题（每小题3分，共12分） 13．下列函数中，最小正周期是的是（ ） A． B． C． D． 14．已知，则“”是“”的条件（ ） A．充要 B．必要非充分 C．充分非必要 D．既非充分也非必要 15．已知，，，函数的部分图像如图所示，则该函数的表达式是（ ） A． B． C． D． 16．如图，设，是两条射线，，，分别为与，同向的单位向量，称和，一起构成了“-仿射坐标系”；在-仿射坐标系中，若，则称为的坐标，表示为；现有以下几个命题： ①在-仿射坐标系中，若，则； ②在-仿射坐标系中，与平行的充要条件是； ③在-仿射坐标系中，若，，且，且； 其中，真命题的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 三、解答题（共52分） 17．（共8分）已知，，，，求和的值； 18．（第1小题4分，第2小题4分，共8分） 已知，； （1）若点O，A，B三点共线，求m的值； （2）若是钝角，求m的取值范围； 19．（第1小题4分，第2小题4分，共8分） 复数和分别对应复平面上的向量和，点在第一象限；已知，的虚部是6； （1）求； （2）若点为复平面内一点，且四边形为平行四边形，求所对应的复数； 20．（第1小题6分，第2小题8分，共14分） 已知是以为圆心，20米为半径的扇形舞台，且；现对舞台进行改造，要在扇形内做一个矩形可升降舞台，现有两种改造方案； 方案1：点，在线段上，点在弧上，点在线段上； 方案2：点，分别在线段，上，点，在弧上； （1）若，采用方案1，设，求可升降舞台面积的最大值以及此时的大小； （2）若采用方案2，当升降舞台面积最大时，求的面积以及的长度；（用表示）； 21．（第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分，共14分） 已知函数，实数，； （1）若该函数的最小正周期为，函数图像经过点，求该函数的表达式； （2）在（1）的条件下，若时，该函数与直线有且仅有一个交点，求实数的取值范围； （3）若存在实数，使得函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围； 学科网（北京）股份有限公司 $