精品解析：上海市同济大学第一附属中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

同济大学第一附属中学 2025学年第二学期期末考试高一年级数学试卷 （本试卷满分150分，考试时间120分钟，可以使用计算器） 一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分） 1. 已知复数（为虚数单位），则____________． 2. 已知角 终边经过点，则_________． 3. 已知，，用 ， 表示为__________． 4. 不等式的解集为____________. 5. 若向量，，则______．（结果用反三角表示） 6. 在长方体中，若， ，则直线到平面的距离是______． 7. 函数的单调减区间是__________． 8. 如图所示直角梯形上下两底分别为2和4，高为，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为______. 9. 若，，且，则__________． 10. 已知复数满足，则的最小值为______. 11. 已知A、 、 是单位圆上的三个点，若，则的最大值为______． 12. 德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数，该函数被称为狄利克雷函数．那么是否存在三个点、、，使得 为等边三角形，若不存在请在横线上填写“不存在”，如果存在则在横线上填写该正三角形的面积__________． 二、选择题（13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分） 13. 已知、是两个不同的平面，、 、 是三条不同的直线，则下列选项正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，且，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则或异面 14. 如图所示，在正方体中，点为线段上的动点，则下列直线中，始终与直线 异面的是（   ） A. B. C. D. 15. 已知常数，不等式的解集为M．不等式的解集为N，则下列关系式中不可能成立的是（ ）． A. B. C. D. 16. 已知平面向量，，，对任意实数x，y都有，成立．若，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（满分78分） 17. 已知复数，（，是虚数单位）． （1）若复数在复平面上的对应点落在第一象限，求实数 的取值范围； （2）若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数 的值． 18. 如图所示，在长方体中，， 为棱上—点. (1) 若，求异面直线和所成角的大小； (2) 若，求证平面. 19. 如图，某学校准备在宿舍楼前两条小路和之间修建一处弓形花园，使之有着类似”冰淇淋”般的凉爽感，已知，线段，弓形花园上一点，其中，设. （1）将线段、的长度 、 分别用含有 的代数式表示出来； （2）现准备在点处修建喷泉，求点与点距离的最大值以及对应的 的值. 20. 如下图（1）是由两个三角形组成的平面图形，其中，，，，；现在将三角形沿 折起，使得过点作平面，垂足恰好在 上，如下图（2）．设是 的中点， 是的中点． （1）求：线段 的长； （2）求：直线与平面所成角的大小； （3）连接，，设平面与平面的交线为直线，判别与 的位置关系，并说明理由． 21. 对于定义域在上的函数，定义．设区间，对于区间上的任意给定的两个自变量的值、，当时，总有，则称是的“函数”． （1）求证：函数不存在“函数”，请说明理由； （2）若非常值函数，是奇函数，求证：存在“函数”的充要条件是存在常数，使得； （3）若函数与函数的定义域都为，且均存在“函数”，求实数 的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 同济大学第一附属中学 2025学年第二学期期末考试高一年级数学试卷 （本试卷满分150分，考试时间120分钟，可以使用计算器） 一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分） 1. 已知复数（为虚数单位），则____________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据复数的四则运算法则计算即可. 【详解】. 故答案为：. 2. 已知角 终边经过点，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用三角函数的定义可求得的值. 【详解】因为角 终边经过点，则. 故答案为：. 3. 已知，，用 ， 表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将指数化为对数，结合对数运算求解. 【详解】因为，所以， 又， 所以. 4. 不等式的解集为____________. 【答案】 【解析】 【分析】运用公式法解绝对值不等式. 【详解】由可得， 解得，即. 故答案为：. 5. 若向量，，则______．（结果用反三角表示） 【答案】 （或） 【解析】 【详解】因为向量，，所以， 所以（或）. 6. 在长方体中，若， ，则直线到平面的距离是______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件，易得平面，从而将线面距转化成点面距，过作于 ，根据条件可得平面，再根据条件，利用几何关系，即可求解. 【详解】由题意得，又平面，平面， 所以平面， 则直线到平面的距离等于点到平面的距离， 过作于 ， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又，，所以， 在中，，所以， 所以直线到平面的距离为. 7. 函数的单调减区间是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由二次函数，对数函数，复合函数单调性可得答案. 【详解】函数定义域为或. 又二次函数在上单调递减，对数函数在其定义域内单调递增， 从而函数的单调减区间为. 8. 如图所示直角梯形上下两底分别为2和4，高为，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】按照斜二测画法画出直观图，利用梯形面积公式便可求得其面积. 【详解】如图所示，作出直观图， 则，，， 梯形的高为， ∴直观图的面积为. 故答案为： . 9. 若，，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由向量平行坐标表示可得，然后由二倍角正切公式可得答案. 【详解】因，则，则. 10. 已知复数满足，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得复数表示以为圆心，1为半径的圆，然后再结合其几何意义即可得到结果. 【详解】设，∵， ∴，表示以为圆心，1为半径的圆， ∴，表示圆上的点到点的距离， ∴的最小值为. 故答案为： . 11. 已知A、 、 是单位圆上的三个点，若，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题可知，表示点的坐标，然后将向量坐标化使用辅助角公式计算判断即可. 【详解】由题可知：A、 、 是单位圆上的三个点，且，不妨设， 所以，则， 当，即时，有最大值为1，所以. 故答案为： 12. 德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数，该函数被称为狄利克雷函数．那么是否存在三个点、、，使得 为等边三角形，若不存在请在横线上填写“不存在”，如果存在则在横线上填写该正三角形的面积__________． 【答案】 【解析】 【分析】假设存在，不妨设，分为无理数和为有理数两种情况进行讨论即可． 【详解】因为，所以或1， 设存在三个点、、，使得 为等边三角形， 则不同时为0或1， 不妨设， 分析得 的位置有两种情况， 第一种情况： 当为有理数时，即，如图， 过点 作，垂足为 ，得，，， 可知，为无理数，为无理数， 即，，与图形不一致，舍去； 第二种情况： 当为无理数时，即，如图， 过点 作，垂足为 ，得，，， 可知，，， 存在，使得，且为无理数， 即，与图形一致，符合题意， 此时，， 综上所述，存在这样的点，该正三角形的面积为. 故答案为：. 二、选择题（13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分） 13. 已知、是两个不同的平面，、 、 是三条不同的直线，则下列选项正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，且，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则或异面 【答案】D 【解析】 【分析】A选项，根据线面平行的性质判断；B选项，根据线面平行的判定定理进行判断；C选项，根据线面垂直的性质判断；D选项，根据面面平行的性质进行判断． 【详解】A选项，平行于同一平面的两条直线可以相交，可以平行，也可以异面，故A错误； B选项，若，且，则或，故B错误； C选项，若，则与 可以相交或平行，若，则与 可以异面或平行，故C错误； D选项，两平面平行，则平面内的直线没有公共点，可能异面也可能平行，故D正确． 14. 如图所示，在正方体中，点为线段上的动点，则下列直线中，始终与直线 异面的是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据异面直线的定义一一判断即可. 【详解】由正方体的性质易知当为的中点时，为的中点， 而，所以共面，则 、在平面上，故A不符题意； 因为，即共面， 易知平面，而平面，，， 故 与 异面，故B符合题意； 当、重合时，易知， 则四边形是平行四边形，则此时，故C不符合题意； 当、重合时，显然， 相交，故D不符合题意. 故选：B. 15. 已知常数，不等式的解集为M．不等式的解集为N，则下列关系式中不可能成立的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三角不等式，结合不等式解集的意义逐项判断作答. 【详解】由三角不等式得：，当且仅当时取等号， 而不等式的解集为N，若，则有， 当时，对，即有， 因此成立，即，则， 于是得，显然A，C，D均有可能，B不可能. 故选：B 16. 已知平面向量，，，对任意实数x，y都有，成立．若，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设, ,，由题意可得点在以为直径的圆周上，设圆心为 , 作出图形，过 作,交 于点 ,交圆于点 ,向量在上的投影的长等于向量在上的投影的长.所以向量在上的投影的长的最大值为（当重合时取最大值.），设,则， 则，可得答案. 【详解】设, ,,则, 对任意实数x，y都有，成立 即对任意实数x，y都有，成立 即，.所以点在以为直径的圆周上.设圆心为 . 为向量在上的投影的长. 过 作,交 于点 ,交圆于点 ,如图,由，则 所以向量在上的投影的长等于向量在上的投影. 所以向量在上的投影的长的最大值为（当重合时取最大值.）. 则 设,则， 则 当时，有最大值 所以的最大值以为 故选：A 【点睛】本题考查向量的数量积的最值问题，考查向量的几何意义，考查向量的投影的计算，属于难题. 三、解答题（满分78分） 17. 已知复数，（，是虚数单位）． （1）若复数在复平面上的对应点落在第一象限，求实数 的取值范围； （2）若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数 的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由复数的加法求，根据其所在的象限可得，即可求 的范围； （2）由是实系数一元二次方程的根，则也是它的根，进而可知，即可求 . 【小问1详解】 ． ∵在复平面内对应的点落在第一象限， ∴，解得：． ∴实数 的取值范围是； 【小问2详解】 ∵虚数是实系数一元二次方程的根，． ∴也是实系数一元二次方程的根， ∴，可得，. ∴ 的值为13. 18. 如图所示，在长方体中，， 为棱上—点. (1) 若，求异面直线和所成角的大小； (2) 若，求证平面. 【答案】(1) ；(2)证明详见解析. 【解析】 【分析】(1) 由,得是异面直线和所成角,由此能示出异面直线和所成角的正切值； (2) 时,由勾股定理逆定理得,,由此能证明平面. 【详解】(1), 是异面直线和所成角, ∵在长方体中,平面, , ,,,M为棱上一点,, , , 即异面直线和所成角的大小为. (2) 时,, ,. ,, , , 又,平面. 【点睛】本题考查异面直线所成角的正切值的求法,考查直线与平面的证明,解题时要注意空间思维能力的培养. 19. 如图，某学校准备在宿舍楼前两条小路和之间修建一处弓形花园，使之有着类似”冰淇淋”般的凉爽感，已知，线段，弓形花园上一点，其中，设. （1）将线段、的长度 、 分别用含有 的代数式表示出来； （2）现准备在点处修建喷泉，求点与点 距离的最大值以及对应的 的值. 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）在中利用正弦定理可表示出； （2）在中，由余弦定理表示出，再结合 的范围及正弦函数的性质可求出其最大值. 【小问1详解】 因为，， 所以，. 【小问2详解】 因为， 所以， 在中，由余弦定理易得， 因为，所以， 当，即时， 取最大值取最大值. 20. 如下图（1）是由两个三角形组成的平面图形，其中，，，，；现在将三角形沿 折起，使得过点作平面，垂足 恰好在 上，如下图（2）．设 是 的中点， 是的中点． （1）求：线段 的长； （2）求：直线 与平面所成角的大小； （3）连接，，设平面与平面的交线为直线，判别与 的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2）直线 与平面所成角为； （3），理由如下： 在中，因为 是 的中点， 是的中点，故； 因为平面，且平面； 故平面； 又因为平面平面，且平面， 故． 【解析】 【分析】（1）在平面图中，根据三角形中已知两边及其夹角，利用余弦定理计算第三边即可； （2）利用线面角的作角方法，过直线上一点作平面的垂线，连接垂足与交点，直线与投影所形成的夹角为线面角，通过解三角形的方法计算夹角即可； （3）根据线面平行的性质可知，过平面的平行线的平面与已知平面平行，交线与这条直线平行，由此进行证明即可． 【小问1详解】 在 中，已知，，； 由余弦定理可得， 整理得，解得； 【小问2详解】 如图所示，作，连接 ； 因为平面，且平面，故平面平面； 因为平面平面，且，平面， 故平面，故为直线 与平面所成角； 由（1）知，在 中，已知，，， 故 为直角三角形，； 根据面积公式可得，解得， 则； 在中，，，， 可得，则， 在 中，由余弦定理可得 ， 解得； 故在直角三角形中，， 因为，故； 故直线 与平面所成角为； 【小问3详解】 略． 21. 对于定义域在上的函数，定义．设区间，对于区间上的任意给定的两个自变量的值、，当时，总有，则称是的“函数”． （1）求证：函数不存在“函数”，请说明理由； （2）若非常值函数，是奇函数，求证：存在“函数”的充要条件是存在常数，使得； （3）若函数与函数的定义域都为，且均存在“函数”，求实数 的值． 【答案】（1）由题意，，则，因此： ， 取​计算得： ， 不满足，因此函数不存在“函数” （2）因为是定义域为的奇函数，故，因此， 且，即是偶函数. 充分性：若（，非常值），此时，为常数函数， 对任意、，当时，总有，满足， 必要性：若存在“函数”即在上单调不减， 由是奇函数得：，即是偶函数， 若不为常数函数，对任意两个正数，则， 但此时，，不满足“函数”的定义. 因此恒为常数，此时. 综上，原命题得证. （3） 【解析】 【分析】（1）先写出的表达式，然后取，说明即可证明；​ （2）先证明是偶函数，充分性直接证明即可；必要性利用反证法结合偶函数的性质即可证明； （3）先写出的解析式，然后说明既单调不减又单调不增，即为常数即可求出 . 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 对，，因此： ，  对，，因此： ， 因为都存在“函数”，故单调不减，也单调不减， 即单调不减，等价于单调不增，既单调不减又单调不增，故为常数， 即：  （C为常数）， 指数函数恒等于一次函数+常数，仅当指数项系数为0，即. 验证：时，（常数），（常数），均满足“函数”定义， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $