专题05 三角形9大考点（广东专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 广东各地二模三角形专题汇编，覆盖9大考点，融合生活情境与动手操作，如生态保护区选址、长方体纸盒制作，梯度设计兼顾基础与综合探究。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|约20题|几何图形初步、相交线与平行线等|结合低碳出行车架、古代桔槔工具考平行线性质| |填空|约10题|直角三角形、勾股定理等|通过折叠矩形考勾股定理应用| |解答|约15题|全等证明、综合探究等|设计“孪生三角形”定义探究，融合旋转与几何证明|

的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05三角形 ☆)大考点概览 考点01几何图形初步 考点02相交线与平行线 考点03三角形的概念及相关概念 考点04全等三角形 考点05等腰三角形 考点06直角三角形 考点07勾股定理及其逆定理 考点08角平分线与线段的垂直平分线 考点09三角形中的综合探究 考点01 几何图形初步 1. (2026广东中山二模)如图，该平面展开图可以折成一个正方体的盒子，折好后与“全”字相对的字 是() 祝 你 的全会 考 1/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.祝 B.会 C.你 D.的 2.(2026广东佛山二模)数学实验课上，同学们通过下列方式从一个几何体中得到平面图形，其中得到 的平面图形是矩形的是() 投影 侧面 展开 截面 A. B. 左视图 D 3.(2026广东佛山二模)如图，在M村庄附近有一个生态保护区，现要在公路I边修建一个垃圾站P, 使它到M,N两村庄的路程之和最短，且从M村庄到公路不能穿过生态保护区，则下列四种修建方案中， 符合条件的是() 生态 ,M 生态 保护区 保护区 A B 方案一 方案二 生态M 生态 M 保护区 保护区 D D 方案三 方案四 4.(2026广东广州二模)如图，一副直角三角板如图摆放，若∠a=55°，则∠P的度数是() A.15° B.25 C.35 D.45° 5.(2026广东二模)如图所示，O为直线AB上一点，OE平分∠B0C,OD⊥OE于点O,若 LB0C=80°，则∠AOD的度数是() 2/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.70° B.50° C.40° D.35 6.(2026广东二模)已知∠1=50°，∠2与∠1互为余角，则∠2的度数是() A.30° B.40 C.50° D.130° 7.(2026广东广州二模)如图，直线AB,CD相交于点O,若∠BOD=36°，则∠AOD的度数为 D 8. (2026广东·二模)如图，∠AOC=∠BOD=90°，∠COD=44°，则∠AOB= D B 9.(2026广东中山二模)如图，已知线段DA与B、C两点，用圆规和无刻度的直尺按下列要求画图并 计算： B (I)画直线AB、射线DC: (2)延长线段DA至点E,使AE=AB(保留作图痕迹)； (3)若AB=2cm,AD-4cm,求线段DE的长， 10.(2026广东清远·二模)综合与实践：在完成“设计并制作一个体积尽可能大的无盖长方体收纳盒” 的任务后，兴趣小组进一步研究用长方形纸片制作符合不同需求的长方体纸盒. 3/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 H M 图3 图4 【基础回顾】 (1)如图1，将一张边长为30的正方形纸片的四个角各剪去一个边长为x的小正方形，将剩下的纸片沿着虚 线折叠成无盖的长方体纸盒， ①该纸盒的底面边长为， (用含有X的代数式表示)： ②该纸盒的容积为 (用含有X的代数式表示). 【进阶研究】 用普通长方形纸片制作长方体纸盒（长方形ABCD中，AD=36,AB=9), (2)兴趣小组继续制作无盖长方体纸盒（纸片无剩余），如图2，用EF把长方形纸片分成2个长方形，并沿 着EF剪开，将长方形ABEF沿着虚线折叠成纸盒的侧面，将长方形FECD做纸盒的下底面.经观察后， 兴趣小组分析，能折成纸盒的关键是：找到长方形ABEF与长方形FECD相关线段之间的等量关系， ①他们先确定了AH=EC,请你写出另一组关键的等量关系」 ②求长方体纸盒的容积. (3)兴趣小组尝试制作有盖长方体纸盒（纸片无剩余），设计了如下方案： 如图3，沿EF将长方形ABCD剪成两部分，将长方形EBCF沿着虚线折叠成收纳盒的侧面，将长方形 AEFD沿GH剪成两部分，分别作为收纳盒的上、下底面.该方案是否可行？ (填写“是”或 “否”) 如果可行，请求长方体纸盒的容积：若不可行，请简要说明理由. (④请你设计一个制作“有盖长方体纸盒”的方案（纸片无剩余）：请在图4中画出裁剪示意图，并求出纸 盒的容积 考点02 相交线与平行线 4/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.(2026广东深圳·二模)数学来源于生活，又服务于生活，以下四幅图中用数学原理解释不正确的是 (). 拉杆 (1) (2) (3) (4) A.图(1)工人用直角曲尺检查工件恰好为半圆形，是利用了90°的圆周角所对的弦是直径 B.图(2)人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，这样做的道理是利用了三角形的稳定性 C.图(3)一块三角形模具打碎为三块，只带编号为1的那一块碎片到商店去，就能配一块与原来一 样的三角形模具是利用了三角形全等中的判别方法SAS D.图(4)体育课测量跳远的成绩是利用了垂线段最短 2.(2026广东肇庆·二模)如图，AB川CD,若∠2=55°，则∠1的度数为() B A.35° B.135 C.55 D.125° 4.(2026广东二模)如图，已知直线ab，,∠1=75°，∠3=40°，则∠2的度数是() A.35o B.40° C.45° D.50° 5.(2026广东佛山二模)如图，直尺的一边DE经过直角三角板ABC的顶点C,若AB‖DE,则∠ACD 的度数为() 5/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E A.120° B.130 C.140° D.150° 6.(2026广东清远二模)小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若∠1=50°，则∠2的度数为 () A.40° B.35° C.30 D.25 7.(2026广东河源二模)如图，·ABCD中，AB=5,BC=7,BE平分∠ABC交AD于点E,则 AE:DE=() D A.2:5 B.3:4 C.4:3 D.5:2 8.(2026广东河源二模)如图，AB‖CD,CE平分∠BCD.若∠B=50°，则LBEC的度数为()· D A.65° B.50° C.40° D.30° 9.(2026广东清远二模)如图，在一个弯形管道ABCD中，己知拐角LBCD=58°，管道AB‖CD,则 ∠ABC的度数为() 6/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.32° B.58 C.112° D.122° 10.(2026广东广州·二模)在物理课上，小明利用平面镜探究光的反射定律.他将平面镜OB斜放，让一 束光线照射到平面镜上并反射，如图所示，入射光线OA经平面镜后反射入眼，若CB‖OA,∠CBO=110°」 ∠BON=90°，则入射角∠AON的度数为() B A.10° B.20° C.30° D.40° 11.(2026广东二模)如图，画平行线的操作中，最直接依据的基本事实是（) A.内错角相等，两直线平行 B.同位角相等，两直线平行 C.两直线平行，内错角相等 D.两直线平行，同位角相等 12.(2026广东·二模)如图，将两块相同的直角三角尺按图示摆放，则AB与CD平行.这一判断过程体 现的数学依据是() A.垂线段最短 B.内错角相等，两直线平行 C.两点确定一条直线 7/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D.平行于同一条直线的两条直线平行 13.(2026广东深圳：二模)如图，一块玻璃破损成三块，通过测量图中哪组角的大小可以判断α/b () 2 3〉 b A.∠1=110°，∠2=70° B.∠1=110°，∠4=110 C.∠2=70°，∠3=70° D.∠1=110°，∠3=70° 14.(2026广东清远·二模)如图，将一副三角尺叠在一起，则∠的度数是（) 30°> 450 A.30° B.45° C.55° D.75 15.(2026广东深圳二模)如图是一张矩形台球桌面，一个球从桌面的点A处滚向桌边P吧，在P吧上的点 RS ∠ABP=62° ∠CQR B处反弹后，滚向桌边 上的点，再次反弹后滚入点Q,共反弹两次.若 ,则 的度 数为() B OR A.62° B.38° C.32° D.28° 16.(2026广东深圳：二模)随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式己融入人们的日 8/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 常生活，如图是某单车车架的示意图.己知AB川CD,ACI‖BF,∠BED=53°，∠FBE=126°，则 ∠BAC=() 53 126 B A.53° B.63 C.73 D.83° 17.(2026广东广州二模)桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1)，是我国古代农用工具，始见于《墨子 备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械.如图2所示的是桔槔示意图，OM是垂直于水平地面的支撑 杆，OM=3米，AB是杠杆，且AB=6米，OA:OB=2:L.当点A位于最高点时，∠AOM=127°. B ◇ 地面 M 图1 图2 (1)求OA的长度： (2)求点A位于最高点时到地面的距离： (③)当点A从最高点逆时针旋转54,5”到达最低点时，求此时水桶B上升的高度。 (参考数据：sin37°≈0.6，sinl7.5°≈0.3，tan37°≈0.8) 考点03 三角形的概念及相关概念 1.(2026广东河源二模)已知a,b,4分别是三角形三边的长，且a,b是一元二次方程x2-7x+9=0 的两个根，则该三角形的周长等于() A.16 B.11 C.9 D.7 2.(2025·广东深圳：二模)小明有两根长度分别为4cm和7cm的木棒，他想钉一个三角形的木框.现在有 4根木棒供他选择，其长度分别为3cm、6cm、7cm、l2cm,小明随手拿了一根，恰好能够组成一个三角形的 9/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 概率为() A.5 B.2 C.5 D.1 3.(2026广东·二模)若一个等腰三角形的腰长为3，则它的周长可能是() A.5 B.10 C.15 D.20 4.(2026广东深圳二模)如图，从家用双面人字梯抽象出的四边形ABCD中， ∠ADC=∠DAB=∠DCB=35°，则∠ABC的大小为() A.70° B.90 C.105° D.140° 5.(2026广东二模)如图，AB‖CD,∠A=68°，0C=OE.则∠C的度数为() B A.24° B.44° C.34° D.68 6.(2026:广东深圳二模)如图，在RIABC中，∠BAC=90°，AD为斜边上的中线，BE⊥AD于点E.若 AE=2,4C=5BE,则AMCD 的面积为 B D 7.(2026广东·二模)图①、图②、图③均是4×3的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点 称为格点.只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作△ABC,使△ABC的顶点均在格点上. 10/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图① 图② 图③ (I)在图①中，△ABC是面积最大的等腰三角形： (2)在图②中，△ABC是面积最大的直角三角形： (3)在图③中，△ABC是面积最大的等腰直角三角形. 考点04 全等三角形 1.(2026广东广州二模)如图，在Rt△ABC中，AB=m,BC=n,∠ABC=90°，点D为BC上一点， 且BD=AB,DE⊥BC,且∠EAC=45°，则△EDC的周长是(. B D C A.2n B.n+2m C.m2+n2 D.1.5m 2.(2026广东江门二模)化学老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的任务.如图，小明将两根小 棒AD,BC的中点O固定，测得C,D之间的距离即内径AB的长度.此方案依据的数学定理是() D A.边角边 B.角边角 C.边边边 D.角角边 3.(2026广东广州二模)如图，C是线段AB的中点，AD=BE,∠A=∠B.求证：CD=CE 11/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(2026广东广州·二模)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在BC,CD边上，且∠BAF=∠DAE. 求证：BE=DF 5.(2026广东广州二模)如图，已知BC=EF,∠B=∠E,ACI‖DF.求证：AB=DE. 6.(2026广东佛山二模)如图，在△ABC和△DEF中，B,E,C,F在同一条直线上，AC与DE相 交于点M.下面给出四个关系：①AB=DE;②AC=DF;③∠ABC=∠DEF:④BE=CF. D B E (1)任选三个关系作为已知条件，余下一个作为结论，构成一个真命题（用序号表示)，并证明， (2)在(1)条件下，当△EMC的面积是△DEF面积的一半时，若BC=2,求BE的长度， 7.(2026广东广州二模)如图，在口ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O的直线分别交AD,BC于 点E,F.求证：AE=CF, 12/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 &.(2026广东二模)如图，已知线段AC与BD相交于点O,OB=OC,AC=BD.求证：AB=CD A D O B 9.(2026广东二模)如图，在△ABC和△DAE中，点D在边AC上，DA=AB,DEI‖AB,DE=AC.求 证：AE=BC D B 10.(2026广东·二模)如图.四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点E,AC=AD,∠ACB=∠ADB 点F在ED上，∠BAF=∠EAD」 B (I)求证：△ABC≌aAFD: (②)若BE=FE,求证：AC⊥BD 考点05 等腰三角形 1.(2026广东·二模)在如图的方格纸中，A,B,C是三个格点.在点A从右向左平移的过程中，点A, B,C围成的图形，不可能出现的是() 13/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A.钝角三角形B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形 2.(2026广东广州二模)如图，将△ABC绕点A顺时针旋转50°得到△ADE,点B的对应点D恰好落在边 BC上，则∠ADE的度数为() A.65° B.62° C.60° D.50 3.(2026广东清远·二模)已知OC是∠AOB的平分线，将直尺按如图所示摆放，其中无刻度的一边与OB 重合，有刻度的一边分别与OA,OC交于点P,Q,若点P,Q恰好与直尺lcm、3cm的刻度线一端点重 合，则OP的长为() A Q C D T中m 0 cm 112 3 4 A.3cm B.2.5cm C.2cm D.1cm 4.(2026广东河源·二模)如图，。ABCD中，AB=5,BC=7,BE平分∠ABC交AD于点E,则 AE:DE=() E A.2:5 B.3:4 C.4:3 D.5:2 5.(2026广东东莞·二模)如图，数学课上，老师向同学们展示了以下作图步骤： ①作线段AB,分别以A,B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧的交点为C; 14/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②以点C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D: ③连结BD、BC 则下列说法不正确的是() D B A.BD=2AB B.∠D=30° C.点C在BD的垂直平分线上 D.∠ABD=90° 6.(2026广东河源二模)如图，在矩形ABCD中，AD=6,CD=10,以AD为边在矩形ABCD外侧作 DE,且4=DE=5,接CE,F为CE上一点，连接DF并延长，交B于点G.若厂为CE的三等分 点(EF<CF),则DG的长为(） D G A.3 B.4 c.2v0 D.6V2 7.(2026广东广州二模)如图，已知等边△ABC的周长为60，点D.E分别是边AB、BC的中点，连接 DE,则DE=() A.4 B.6 C.8 D.10 15/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8.(2026广东肇庆·二模)如图，在边长为4的正方形ABCD外有一点P,且△PCD是等边三角形，则 △PAC的面积为() B D A.4 B.4+25 C.8 D.4+43 P四边形 是边长为4的正方形， ABCD .AD=CD=4,∠ADC=90°， aPCD是等边三角形，PE⊥CD, :.PD-CD=4.DE=CD-2. 在RAPDE中，PE=VPD2-DE=25 .S.PAC=S4DC+S.PDC-S.APD 号40.D+5c0-PE-4D-DE 44+425 1 ×4×2 2 =4+4V3 9.(2026广东清远·二模)等边三角形的边长为6m，那么它任意一边上的中线长为. 10.(2026广东广州二模)如图，在正方形ABCD中，点E是边AB上一点.将△ADE以点D为中心，逆 时针旋转90°，得到aCDF(点E的对应点为F),连接EF交CD于点G,且∠FGC=∠EDG.若AD=4, 则AE的长为 16/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 11.(2026广东广州二模)已知△ABC中，AB=AC,CD平分∠ACB交AB于点D,其中∠B=72° (I)求∠BDC的度数： (2)将△DBC绕点D逆时针旋转至△DEF,其中点B的对应点E落在BC边上，先用尺规作出△DEF(要求 保留作图痕迹)，后标记EF与AC的交点G,求证：△CEG∽△BDE 12.(2026广东东莞·二模)如图，在△ABC中，AB=AC,点D为BC中点，CE⊥AB于点E. D (I)求证：△ABD∽△CBE: (2)若BC=4,AD=6,求BE的长. 13.(2026广东·二模)△ABC中，AB=AC,BD,CE均为△ABC的中线，BD与CE相交于点O. D E D B 图1 图2 17/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)如图1，求证：BD=CE」 (2)如图2，连接AO并延长，交BC于点F.通过推理还能得到新的发现.请写出两条新发现，并证明其中 的一条 14.(2026广东惠州·二模)顶角为36°的等腰三角形被称为黄金三角形，如图，在△ABC中，AB=AC, ∠A=36° A (I)尺规作图：作∠ABC的平分线BD,交AC于点D (保留作图痕迹，不写作法)： (2)求证：△BCD为黄金三角形. 15.(2026广东河源二模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，CF为斜边AB上的中线， 分别以AC,AB为边向外作等边三角形ACD和等边三角形ABE.现有以下命题： D B 命腿：若连接印，则5e=2Sm 命题2：若连接DF,则DF⊥AC 命题3：若连接DF,则DFI‖BC 任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例. 考点06 直角三角形 1.(2026广东广州二模)如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C',若B'C1AC,∠BAB'=43°，则 ∠C的度数为() 18/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.33 B.43° C.47° D.57° 2.(2026广东·二模)设直角三角形中一个锐角为x度(0<x<90),另一个锐角为y度，则y与x的函数 关系式为() A.y=180+xB.y=180-x C.y=90+x D.y=90-x 3.(2026广东二模)如图，4B是半圆0的直径，点C在半因0上，点D在1C上.若D=120°，半径 0A=2,则AC=() D A.25 B.2 C.2 D.4 4.(2026广东东莞·二模)如图，已知等边△ABC的边长为a,中线BD=b,点E在BD上，连接AE,在 AE的右侧作等边△AEF,连接DF,则△ADF周长的最小值是() E 1 A.2a+b B.a+b C.a+-b 1 1 2 D.2a+zb 5.(2026广东深圳二模)如图，在正方形ABCD中，E是AD边的中点，EF⊥CE交AB于点F,连接CF, G是CF边上的中点，连接EG.已知AB=4,则EG=() 19/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D G B V10 A.4π-8 B.2 C.2 6.(2026安徽安庆·一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿BA方向平移至△FDE处，此时 点D治好为边B的中点，连接C0·若QD-:C-1小则Er长为() B D A.10 B.3 C.2v2 D.② 7.(2026~广东广州二模)如图，AB是⊙0的直径，∠CAB=42°，则∠ADC的度数是 0 D B 8(2026广东东莞二模)如图，01B中，∠01B=90,点A坐标为N5,1,B为水轴上的点，则 OB= Y B 9.(2026广东广州二模)如图，在菱形ABCD中，AB=4,∠B=30°，点E是BC边上的动点，连接AE, DE,过点A作AF⊥DE于点F. 20/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D (1)若AE⊥BC时，则DE= (2)设DE=x,AF=y,则y与x之间的函数解析式为 10.(2026广东深圳二模)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD为斜边上的中线，BE⊥AD于点E. 若4E=2,AC=5BE,则△ACD 面积为一 D 11.(2026广东梅州·二模)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,E为边BC的中点，连接OE, 若AC=6,BD=8,求OE的长. 0 E 12.(2026广东清远·二模)同学们知道：“在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半”. B (1)请写出它的逆命题 一；该逆命题是一个 命题（填“真”或“假”）. (2)如图，在Rt△ABC中，小敏把自己对该逆命题的猜想与数学小组的同学们进行交流，经过充分交流、研 讨，发现有多种方法求证，得出以下三种想法： 想法一：取AB中点D,连接CD,利用直角三角形斜边中线性质使问题得到解决， 想法二：画出AB的垂直平分线DE,交AC于点D,交AB于点E,利用垂直平分线的性质使问题得到解 21/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 决. 想法三：沿线段AC所在的直线，将△ABC翻折得到△ADC,构造特殊的三角形，使问题得到解决. 请选择其中一种想法，帮助小敏完成解答过程 考点07 勾股定理及其逆定理 1.(2026广东汕头·二模)若一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和4，则斜边的长为() A.5 C.1或7 D.5或7 2.(2026:广东汕尾·模拟预测)如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,将矩形折叠，使点B与点D重 合，折痕为EF,则AE的长为() E D 7 J A.8 B. 5 D.4 3.(2026广东广州二模)第一步：如图1，将矩形纸片ABCD沿过A点的直线折叠，使点B落在AD边上 的点B'处，得到折痕AE,然后把纸片展平.第二步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点D的直线 折叠，使点C落在EB上的点C处，得到折痕DF,再把纸片展平.若AB=I0,BC=16,EF=() B D D E 图1 图2 3 8 A.2 B.3 C.2 D.3 4.(2026广东广州二模)如图在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个项点均在格点上，则 sinA=() 22/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A B A.5 B.5 D. 5.(2026广东江门二模)如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，A、B、C、D是网 格中的四个格点（小正方形的顶点），且AB、CD相交于点E,则AE的长为() B A. 20 B. 15 20 6.(2026广东韶关·二模)如图，在方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处， AB与CD相交于点P,则sin∠APC的值为() √2 1 A.2 B.2 C.2 D.1 7.(2026广东深圳二模)如图，一辆小车沿长斜坡向上行驶20米，小车上升的高度为10米，则斜坡的坡 度是() 23/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3 A.5 B.3 C.3 D.30° 8.(2026广东珠海二模)如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC>AC,动点P从点A出发，沿着 A→B→C P,PQ⊥ACQ x PO-A0 的路径运动到点停止，过点作 于点·设点的运动路程为， 的值为 y,y随x变化的函数图象如图2所示，则AB的长为() 图1 图2 A.5 B.6 C.8 D.10 9.(2026广东东莞·二模)如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠BAD=60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方 向旋转得到菱形AEFG,点E在AC上，EF与CD交于点P,则DP的长是() A.3-1 B.2-V5 c.2w3-1 D.23-2 10.(2026广东肇庆·二模)如图，在边长为4的正方形ABCD外有一点P,且△PCD是等边三角形，则 △PAC的面积为() 24/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.4 B.4+2V5 C.8 D.4+4V5 E今P:四边形 是边长为4的正方形， ABCD ∴.AD=CD=4,∠ADC=90°. :△PCD是等边三角形，PE⊥CD :.PD-CD=4.DE=CD-2. 2 在RtPDE中，PE=VPD2-DE=25 S.PAC=SADC+S.PDC-S.APD 方40-D+5nPF号D-nE =2×4×4+号×4×25-1 1 。1 ×4×2 2 =4+43 11.(2026广东梅州二模)如图，在△ACB中，AC=8,BC=6,∠C=90°，点D,E分别在AC,BC 上，且BE=2,将△DCE沿着直线DE折叠得到△DA'E,点D到AB的距离为2，则tan∠AED的值为 () 25/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A. 9 1 6 3 B.6 c.7 D.5 l2.(2026广东佛山二模)在矩形ABCD中，点E是边BC上一点，连接DE,过A作AF⊥DE于点 F,若AB=BF,DF=3, 血D4F-.则挺形ABCD的积是 D 13.(2026广东广州二模)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,AD平分∠BAC,E是AD上一 动点（不与A,D重合），EF⊥AC于点F.设CE=a,EF=b,BC=C,则下列结论： E B ①a-b>0,®cD=(5-；③c-b<a-5,④2(a+b2c」 其中正确的结论有」 (填写所有结论正确的序号) 14.(2026广东广州二模)如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=7,BC=9,点M是△ABC内部- 点，连接AM BM CM,若8C-有则CM的值为一，M+兮BM的最小值为 CM 1 3 M B 15.(2026广东广州二模)如图，在ABCD中，E是AD边上一点，将aCDE沿着CE翻折至aCFE.己 知BC=13,AB=8,∠D=60°，当E,F,B三点共线时，则DE的长是 A 26/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 16.(2026广东深圳二模)如图，在△A0B中，∠AB0=90°，∠A=30°，OA=4,点B在y轴上，将 △AOB绕O点顺时针方向旋转使得点A的对应点C落在y轴正半轴上，则点B的对应点D的坐标是 D 0 17.(2026广东深圳二模)下图是由边长为1个单位的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格 点，点A、B、C均在格点上，连接AB. B (I)利用无刻度的直尺在网格中作直线CD,使得CD‖AB； (2)点C到直线AB的距离为 18.(2026广东惠州二模)综合与实践 【实验背景】 某中学数学小组开展“梯子安全使用”实验活动.通过查阅资料，结合学校地面与墙面的实际情况，经多 次实验得出结论：要想安全使用梯子，梯子与地面所成的锐角α一般满足50°≤α≤75°（角度过小易滑倒， 过大易倾倒)·下表是小组在研究活动中的一份测量记录表， 【实验记录】 梯子与水平 梯子底端到 梯子项端到 梯子长度 面的夹角 安全判定 测量次数 墙脚的水平 墙脚的垂直 /m (是否) 距离/m 高度/m (a)/ 第1次 5.0 2.0 4.6 66° 是 第2次 5.0 3.0 27/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 第3次 5.0 4.0 3.0 37 否 【实验探究】 (1)补全表格中第2次测量的信息. (2)在保证安全的情况下，求长度为5m的梯子底端到墙脚的距离的取值范围， (3)在一次使用中，初始放置时，长度为5m的梯子的底端距墙脚2.5m,根据使用需求，要将梯子顶端下移 0.3m,此时它的底端向外移动多少米？并判断移动后是否仍符合安全使用要求？（精确到0.lm) 参考数据：4.22=17.64,4.32=18.49,4.42=19.36，c0s50°≈0.64，sin53°≈0.8，c0s53°≈0.6. c0s75°≈0.26 考点08 角平分线与线段的垂直平分线 1.(2026广东·二模)如图，在△ABC中，BP平分∠ABC,且AP⊥BP于点P,连接CP.若△PBC的面积 为2，则△ABC的面积为() P A.3 B.4 c.5 D.6 2.(2026广东茂名二模)如图，分别以点A,B为圆心，AB长为半径画弧，在AB两侧交于点C,D,连 cO 接CD,则4O的值为() 28/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A.1 B V3 c.2 D.25 3.(2026广东·二模)用尺规法过直线m外一点P作此直线的垂线P吧，作法错误的是() mB.- D 4.(2026:广东深圳二模)如图，△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，请通过尺规作图的痕迹判断，下列选 项错误的是() D A.BD=AD B.∠DAE=∠CAEC.∠DAE=15° D.AD平分∠BAC 5.(2026:广东二模)如图，分别以A'B为圆心，以大于21B的长为半径画弧，两弧分别交于点M,N, 29/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 作直线MN,分别与AB,AP交于点D,E,再以点D为圆心，BD的长为半径画弧，与AP交于点C, 连接BC.若BC=6,AC=10,则sin∠CBE是() D 米 8 8 7 A.17 B.15 D.15 6.(2026广东·二模)如图是蜡烛在平面镜中成像的光路图，人眼D所看到的是蜡烛A在平面镜里的虚像 B,点A与点B到平面镜的距离相等，且它们的连线与平面镜垂直，故人眼感觉看到了真实的蜡烛.若 ∠CAB=22°，则∠ACD的度数为() 奇D A.11° B.22° C.33° D.44° 7.(2026:广东·二模)如图，口ABCD的周长为16，AC与BD相交于点O,OE⊥AC交AD于E,则aDCE 的周长为() E O B A.4 B.6 C.8 D.10 8.(2026广东广州二模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，线段AB的垂直平分线ED分别交 ACAB于点D、E,连接BD,若CDV5 ,则AD的长为一 30/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 9.(2026广东东莞二模)如图，在△ACB中，∠C=90° (I)尺规作图：作∠CAB的角平分线，交BC于点O;(不写作法，保留作图痕迹) (2)以O为圆心，OC为半径作⊙0，求证：AB是⊙0的切线： 10.(2026广东·二模)如图1，AC=2AB=4.以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点 MN.分别以点MN为圆心，以大于2MN的长为半径画弧，两弧在∠BAC内交于点E.作射线AE: 过点C作CD‖AB,交AE于点D. D D B 水P N 米Q 图1 图2 (I)求CD的长； (②如图2，连接BD:分别以点A、C为圆心，大于24C的长为半径画弧，两弧交于点P、Q.作直线PQ, BG 交4B的延长线于点P.连接CF,交BD于点C.当∠BAC=60时，求DG的值. 考点09 三角形中的综合探究 1.(2026广东河源二模)在学习三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“孪 生三角形”进行研究.定义：顶角互补的两个等腰三角形叫作“孪生三角形”· 31/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M 图(1) 图(2) 图(3) D (1)观察思考 如图(I)△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90° ①△ABC和△ADE“孪生三角形”；（填“是”或“不是”） ②连接BD,CE,判断BD,CE的数量及位置关系并证明. (2)性质探究 如图(2)，△ABC和△ADE是“李生三角形”，AB=AC,AD=AE,M是BE的中点，连接CD,通过探 究发现CD=2AM,请你写出证明过程， (3)拓展应用 如图(3) AB=AC=V万∠B=30°，AD=AE=DE=2,AADE绕点旋转，当点 D,E,C 在一条直线 上时，求BE的长。 2.(25-26八年级上·广东珠海·期末)综合与实际 问题背景： 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑.在该书的第2卷 “几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，其中把几个图形拼成一个新的图形， 再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，借助几何给人以强烈印象将抽象的逻 辑规律体现在具体的图形之中。 b D b C F 图① 图② 图③ 问题探究： 32/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)请根据图①写出一个等式： (2)如图②，点C在线段BP上，分别以BC、CP为边作正方形ABCD和正方形CPEF,连接BD、BE, 若BP=10,BC·CP=22.试求出阴影部分的面积. 拓展应用： (3)如图③，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90,D为BC的中点，点E为边AC上任意一点（不 与端点重合)，过点E作长方形EHDG分别交AD于点H,交BC于点G,过点B作BFI‖AC交EG的延 S 长线于点P·记aBFG与。CEG的面积之和为S?AABD与AMEH的面积之和为S,:请问了，的值是否为定 值？若为定值，请求出这个定值.若不是定值，请说明理由. 3.(2026广东肇庆·二模)【问题情境】 在RABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点.过点D作DE⊥AC于点E,已知DE=3,AC=8, B D H A M 图1 图2 (1)如图1，连接AD,求△ABD的周长： (2)【拓展延伸】如图2，将△DEC绕点D顺时针方向旋转得到△DHG,点E,C的对应点分别是点H,G, 直线GH与直线AC交于点M(点M不与点A重合)，与直线AB交于点N. ①判断AM与MG的数量关系，并说明理由： ②在aDEC绕点D旋转的过程中，当直线GHI‖BC时，求AM的长. 33/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G B 同理 E M DH=KJ=DE=3,AB=6,AC=8,BC=10 :AJ LBC,S。ABc=2 BC:AJ=2AB·AC 1 ×6×8 ·40=24 5 ..AK=AJ+KJ= *339 24 5· .GH∥BC. 4.(2026广东深圳模拟二模)综合与探究 【定义】有一组对角为直角的四边形叫做“对直四边形”， 【示例】如图1，在四边形ABCD中，∠A=∠C=9O°，则称四边形ABCD叫做“对直四边形ABCD”. 图1 【性质探究】小明同学在研究对直四边形时，发现“对直四边形具有四个顶点均在同一个圆上”的性质， 证明的思路如下： 如图2，连接对角线BD,取BD中点O,连接OA,OC 34/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 图2 :∠BAD=∠BCD=90°， :0A=号BD,0C= ∴OA=OB=OC=OD. ∴四边形ABCD的顶点A,B,C,D均在以点O为圆心，BD为直径的圆上. (1)请补全小明同学的证明过程， (②)【性质应用】如图3，在矩形ABCD中，点P是AB边上一点，过A,D,P三点的圆交对角线AC于点E ①求证：四边形APED是“对直四边形”； D B 图3 ②若AB=8,AD=6,当△ADE为等腰三角形时，直接写出PE的长. (3)【拓展提升】如图4，在矩形ABCD中，AB=BC(k为正实数).点P是BA延长线上一点，过 PE A,D,P三点的圆交对角线AC于点E,延长PE交BC于点F·请求出EF的值（用含k的式子表示）· 35/23 多学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D C E 图4 36/23 专题05 三角形 9大考点概览 考点01几何图形初步 考点02相交线与平行线 考点03三角形的概念及相关概念 考点04全等三角形 考点05等腰三角形 考点06直角三角形 考点07勾股定理及其逆定理 考点08 角平分线与线段的垂直平分线 考点09 三角形中的综合探究 几何图形初步 考点01 1．（2026·广东中山·二模）如图，该平面展开图可以折成一个正方体的盒子，折好后与“全”字相对的字是（     ） A．祝 B．会 C．你 D．的 【答案】C 【详解】解：折好后与“全”字相对的字是你. 2．（2026·广东佛山·二模）数学实验课上，同学们通过下列方式从一个几何体中得到平面图形，其中得到的平面图形是矩形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据立体图形的展开图、三视图、截面及投影，结合圆锥、圆柱、球体及三角板的几何特征，逐一判断各选项得到的平面图形形状即可． 【详解】解：A选项，圆锥的侧面展开图是扇形，不符合题意； B选项，竖直放置的圆柱的左视图是矩形，符合题意； C选项，球体的截面是圆，不符合题意； D选项，三角板的中心投影是三角形，不符合题意 ． 3．（2026·广东佛山·二模）如图，在村庄附近有一个生态保护区，现要在公路边修建一个垃圾站，使它到，两村庄的路程之和最短，且从村庄到公路不能穿过生态保护区，则下列四种修建方案中，符合条件的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，从村庄到公路不能穿过生态保护区，结合图形可知到的最短路径需经过生态保护区的右下角顶点，将问题转化为求两点之间线段最短的问题求解即可 ． 【详解】解：设生态保护区右下角的顶点为， 从村庄到公路不能穿过生态保护区， 到的最短路径需经过点，即路径为， 总路程为， 为定值， 要使总路程最短，只需最短， 点在直线上方，点在直线下方， 根据“两点之间，线段最短”，连接交直线于点，此时最小， 即三点共线 观察图形，选项A符合共线且与相连的特征． 4．（2026·广东广州·二模）如图，一副直角三角板如图摆放，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由图形可知，一个三角板的直角顶点落在另一个三角板的边上， ∴， ∴． 5．（2026·广东·二模）如图所示，为直线上一点，平分，于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据角平分线的定义求出的度数，再由垂直的性质得到，最后结合平角为，通过角度的和差关系计算出的度数． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵于点， ∴， ∴． 故选：B． 6．（2026·广东·二模）已知，与互为余角，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了余角的定义，掌握互余的两个角的和为是解题的关键． 根据余角的定义列式计算即可． 【详解】解：∵，与互为余角， ∴． 故选B． 7．（2026·广东广州·二模）如图，直线，相交于点，若，则的度数为_____． 【答案】 【分析】根据图形可知与互为邻补角，利用，进行计算即可． 【详解】解：直线，相交于点， ∴， 又∵， ∴． 8．（2026·广东·二模 ）如图，，，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了角的计算及余角的知识，属于基础题，关键是利用角的和差关系进行计算． 先由求出的度数，再由求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 9．（2026·广东中山·二模）如图，已知线段DA与B、C两点，用圆规和无刻度的直尺按下列要求画图并计算： (1)画直线AB、射线DC； (2)延长线段DA至点E，使（保留作图痕迹）； (3)若AB=2cm，AD=4cm，求线段DE的长， 【答案】(1) 如图，直线、射线即为所作； (2)如图，点即为所作； (3) 【分析】（1）如图，直线、射线即为所作； （2）如图，连接DA并延长，以A为圆心，AB为半径画弧与DA延长线的交点即为所作； （3）计算求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接DA并延长，以A为圆心，AB为半径画弧与DA延长线的交点即为所作； （3）解：∵cm ∴线段的长为． 【点睛】本题考查了直线、射线与线段．解题的关键在于正确的作图． 10．（2026·广东清远·二模）综合与实践：在完成“设计并制作一个体积尽可能大的无盖长方体收纳盒”的任务后，兴趣小组进一步研究用长方形纸片制作符合不同需求的长方体纸盒． 【基础回顾】 (1)如图1，将一张边长为30的正方形纸片的四个角各剪去一个边长为x的小正方形，将剩下的纸片沿着虚线折叠成无盖的长方体纸盒． ①该纸盒的底面边长为________（用含有的代数式表示）； ②该纸盒的容积为________（用含有的代数式表示）． 【进阶研究】 用普通长方形纸片制作长方体纸盒（长方形中，，）． (2)兴趣小组继续制作无盖长方体纸盒（纸片无剩余），如图2，用把长方形纸片分成2个长方形，并沿着剪开．将长方形沿着虚线折叠成纸盒的侧面，将长方形做纸盒的下底面．经观察后，兴趣小组分析，能折成纸盒的关键是：找到长方形与长方形相关线段之间的等量关系． ①他们先确定了，请你写出另一组关键的等量关系________=________ ②求长方体纸盒的容积． (3)兴趣小组尝试制作有盖长方体纸盒（纸片无剩余），设计了如下方案： 如图3，沿将长方形剪成两部分，将长方形沿着虚线折叠成收纳盒的侧面，将长方形沿剪成两部分，分别作为收纳盒的上、下底面．该方案是否可行？________（填写“是”或“否”） 如果可行，请求长方体纸盒的容积；若不可行，请简要说明理由． (4)请你设计一个制作“有盖长方体纸盒”的方案（纸片无剩余）：请在图4中画出裁剪示意图，并求出纸盒的容积． 【答案】(1)①；② (2)①；② (3)否，因为或，所以该方案不可行 (4)设计图形如图所示： 纸盒的容积为 【分析】（1）①该纸盒的底面边长等于正方形纸片的边长减去两个小正方形的边长；②根据长方体的容积公式求解即可； （2）①根据图形的折叠与剪拼即可求解；②根据题意以及图形的折叠与剪拼求出长方体的长、宽、高，即可求解； （3）结合图形即可判定； （4）根据（2）的制作方法画出图形，再根据长方体的容积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：①根据图形可知：该纸盒底面的边长为； ②由图及题意可知：该纸盒的容积为； （2）解：①由图可知：另一组关键的等量关系为； ②∵长方形纸片无剩余，在长方形中，，， ∴由①可知：长方体的长为，宽为，高为， ∴长方体纸盒的容积为； （3）略 （4）解：图略， 由图可知：，设，则有， 解得：， ∴； 答：纸盒的容积为． 相交线与平行线 考点02 1．（2026·广东深圳·二模）数学来源于生活，又服务于生活，以下四幅图中用数学原理解释不正确的是（    ）． A．图（1）工人用直角曲尺检查工件恰好为半圆形，是利用了的圆周角所对的弦是直径 B．图（2）人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，这样做的道理是利用了三角形的稳定性 C．图（3）一块三角形模具打碎为三块，只带编号为1的那一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角形全等中的判别方法 D．图（4）体育课测量跳远的成绩是利用了垂线段最短 【答案】C 【分析】根据圆周角定理、三角形的特性、垂线段的性质、全等三角形的判定方法，逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A．图（1）工人用直角曲尺检查工件恰好为半圆形，是利用了的圆周角所对的弦是直径，解释正确，不合题意； B．图（2）中用数学原理为：三角形具有稳定性，解释正确，不合题意； C．图（3）中编号为1的部分满足两个角和夹边是完整的，根据全等三角形的判定方法“”，能够得到要配的三角形模具和原来的三角形模具是全等的，因此该选项解释错误，符合题意； D．图（4）中用数学原理为：垂线段最短，解释正确，不合题意． 2．（2026·广东肇庆·二模）如图，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平行线的性质和邻补角，进行求解即可. 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴. 4．（2026·广东·二模）如图，已知直线，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质和三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴． 5．（2026·广东佛山·二模）如图，直尺的一边经过直角三角板的顶点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 6．（2026·广东清远·二模）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：由题可得， ， ∵，， ∴， ∵， ∴． 7．（2026·广东河源·二模）如图，▱中，，，平分交于点 E，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质得到，利用平行线的性质及角平分线定义证得，得到，求出即可． 【详解】解：▱中，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（2026·广东河源·二模）如图，，平分．若，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平行的性质推出，，再根据，可以求出的值，然后根据平分，可推出，即可求解． 【详解】∵， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 9．（2026·广东清远·二模）如图，在一个弯形管道中，已知拐角，管道，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两直线平行同旁内角互补进行解答即可． 【详解】解：∵， ． 又， ． 10．（2026·广东广州·二模）在物理课上，小明利用平面镜探究光的反射定律．他将平面镜斜放，让一束光线照射到平面镜上并反射，如图所示，入射光线经平面镜后反射入眼，若，，，则入射角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线的性质求出的度数，再根据角的和差关系计算的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 11．（2026·广东·二模）如图，画平行线的操作中，最直接依据的基本事实是（ ） A．内错角相等，两直线平行 B．同位角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】B 【分析】本题考查画平行线的依据，解题的关键是掌握平行线的判定定理． 由作图过程可知画平行线直接依据的基本事实，对照选项即可求解． 【详解】解：根据作图过程可知，画平行线最直接依据的基本事实是：同位角相等，两直线平行， 故选：． 12．（2026·广东·二模）如图，将两块相同的直角三角尺按图示摆放，则与平行．这一判断过程体现的数学依据是（   ） A．垂线段最短 B．内错角相等，两直线平行 C．两点确定一条直线 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键．根据内错角相等，两直线平行直接得到答案． 【详解】解：由题意得， 根据内错角相等，两直线平行可得． 故选：B． 13．（2026·广东深圳·二模）如图，一块玻璃破损成三块，通过测量图中哪组角的大小可以判断（    ） A． B． C． D．° 【答案】A 【分析】根据平行线的判定逐一判断即可． 【详解】解：选项A：和是一组同旁内角，且，根据同旁内角互补，两直线平行可判断，选项A正确； 选项B：和是一组同旁内角，但，且不是构成的同旁内角，不能判断平行，故选项B错误； 选项C：和是一组同旁内角，但，且不是构成的同旁内角，不能判断平行，故选项C错误； 选项D：和是一组同旁内角，满足，且不是构成的同旁内角，不能判断平行，故选项D错误； 14.（2026·广东清远·二模）如图，将一副三角尺叠在一起，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质以及三角形外角的性质，根据直尺的特征得出相关角的度数，利用平行线的性质将角进行转化，最后根据三角形外角定理计算即可． 【详解】解：如图，设两直尺分别交于点， ∵ 两个三角尺的竖直直角边在同一直线上（或均垂直于水平线） ， ， ∴ ， ∴ ． 15.（2026·广东深圳·二模）如图是一张矩形台球桌面，一个球从桌面的点处滚向桌边，在上的点处反弹后，滚向桌边上的点，再次反弹后滚入点，共反弹两次．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据对称的性质求出，然后根据矩形的性质得到，，然后根据直角三角形两锐角互余求解． 【详解】解：∵ 根据题意得， ∵四边形是矩形 ∵， ∴ 根据题意得， ∵ ∴． 16.（2026·广东深圳·二模）随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图．已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两直线平行，内错角相等，可得，则，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ． 17.（2026·广东广州·二模）桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图2所示的是桔槔示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，且米，．当点位于最高点时，． (1)求的长度； (2)求点位于最高点时到地面的距离； (3)当点从最高点逆时针旋转到达最低点时，求此时水桶上升的高度． （参考数据：，，） 【答案】(1)米 (2)米 (3)米 【分析】（1）设，则，根据线段的和差关系列出方程，求出的值，即可求解； （2）过点作的垂线，过作交于点，则，在中，利用正弦函数求解即可； （3）过点作的垂线，过作交于点，过作交于点，结合对顶角相等得出，，在中和在中，分别利用三角函数求出和的长即可． 【详解】（1）解：设，则， ∵， 故， 解得， ∴（米）． （2）解：过点作的垂线，过作交于点，如图： 则， ∵当点位于最高点时，， ∴， 在中，（米）， 故点位于最高点时到地面的距离为（米）． （3）解：过点作的垂线，过作交于点，过作交于点，如图： 则， 由（2）可得，（米）， 故，（米）， ∴，， 在中，（米）， 在中，（米）， ∴（米）， 故此时水桶上升的高度为米． 三角形的概念及相关概念 考点03 1．（2026·广东河源·二模）已知a，b，4分别是三角形三边的长，且a，b是一元二次方程的两个根，则该三角形的周长等于（     ） A．16 B．11 C．9 D．7 【答案】B 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系求出，，验证三边满足三角形三边关系后，即可计算出周长． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∵a，b，4分别是三角形三边的长， ∴，且， ∴三边满足三角形三边关系，能构成三角形， ∴ 三角形的周长为． 2．（2025·广东深圳·二模）小明有两根长度分别为和的木棒，他想钉一个三角形的木框．现在有4根木棒供他选择，其长度分别为，小明随手拿了一根，恰好能够组成一个三角形的概率为（     ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，求概率．设第三根木棒的长度为，根据三角形三边关系，可得，从而得到符合条件的为，共2根，再由概率公式计算即可． 【详解】解：设第三根木棒的长度为， 由三角形的三边关系得：， 即， 所以符合条件的为，共2根． 所以恰好能够组成一个三角形的概率为． 故选B． 3.（2026·广东·二模）若一个等腰三角形的腰长为3，则它的周长可能是（  ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】此题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，掌握相关知识是解题的关键．根据等腰三角形的定义及三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：等腰三角形的腰长为3， 等腰三角形的底长， 即等腰三角形的底长， 等腰三角形的周长， 故选：B． 4．（2026·广东深圳·二模）如图，从家用双面人字梯抽象出的四边形中，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作射线，根据三角形外角的性质进行计算即可． 【详解】解：如图，作射线， ∵，，而， ∴ ． 5.（2026·广东·二模）如图，，，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，掌握各知识点是解题的关键． 由平行线的性质得到，结合等边对等角，以及三角形的外角定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6.（2026·广东深圳·二模）如图，在中，，为斜边上的中线，于点．若，，则的面积为______． 【答案】 【分析】根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出则，进而可得，根据代入数据得出，勾股定理求得，进而求得，即可求得，根据三角形中线的性质，即可求解． 【详解】解：∵为斜边上的中线， ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴ ∴ ∵为斜边上的中线， ∴的面积为 7.（2026·广东·二模）图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上． (1)在图①中，是面积最大的等腰三角形； (2)在图②中，是面积最大的直角三角形； (3)在图③中，是面积最大的等腰直角三角形． 【答案】(1)如图所示，即为所求； (2)如图所示，即为所求； (3)如图所示，即为所求． 【分析】本题主要考查了格点作图，勾股定理及其逆定理，网格中求三角形面积，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据面积最大，且为等腰三角形，顶点均在格点上； （2）根据面积最大，且为直角三角形，顶点均在格点上； （3）作个腰长为的等腰直角三角形，顺次连接A、B、C，则即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 全等三角形 考点04 1．（2026·广东广州·二模）如图，在中，，，，点为上一点，且，，且，则的周长是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点 A 作 交 的延长线于点 G， 证明四边形为正方形， 则，将 绕点 A 顺时针旋转 得到， 则 F 在上，、，求出，证明，则，进而求出，从而求出的周长． 【详解】解：， ， 过点 A 作 交 的延长线于点 G， ， 、， ， 四边形 为矩形， ， 四边形为正方形， ， 将 绕点 A 顺时针旋转 得到， 则 F 在上， 、， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的周长为． 2．（2026·广东江门·二模）化学老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的任务．如图，小明将两根小棒，的中点O固定，测得C，D之间的距离即内径的长度．此方案依据的数学定理是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴在和中， ， ∴， ∴； ∴此方案依据的数学定理是边角边； 故选A． 3．（2026·广东广州·二模）如图，是线段的中点，，．求证：． 【答案】证明：∵是线段的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【分析】证明，可知． 【详解】略 4．（2026·广东广州·二模）如图，在正方形中，点E，F分别在，边上，且． 求证：． 【答案】见解析 【分析】利用正方形的性质即可得到结论 【详解】证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 5．（2026·广东广州·二模）如图，已知，，．求证：． 【答案】证明：， ， 在和中， ， ， ． 【分析】先根据平行线的性质证明，再根据全等三角形的判定证明，即可证明结论． 【详解】略 6．（2026·广东佛山·二模）如图，在和中，，，，在同一条直线上，与相交于点．下面给出四个关系：①；②；③；④． (1)任选三个关系作为已知条件，余下一个作为结论，构成一个真命题（用序号表示），并证明． (2)在（1）条件下，当的面积是面积的一半时，若，求的长度． 【答案】(1)①③④⇒②(答案不唯一)，证明过程见解析 (2) 【分析】(1)根据题意选三证一，过程及结论准确合理即可(答案不唯一)； (2)根据三角形全等的性质得出，进而得出，，再由的面积是面积的一半，得出三角形对应边长的比的平方等于对应面积的比，得出，最后，由 ，得出 ，即可求出． 【详解】（1）解：①③④⇒②．（答案不唯一） 已知：在和中，B，E，C，F在同一直线上，，，． 求证：． 证明过程如下： ∵，，， ， ∴． ∵，，， ∴， ∴； （2）解：由(1)知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积是面积的一半， ∴， ∴，即． 由(1)可知， 又∵， ∴ ． ∴ ． ∴． 7.（2026·广东广州·二模）如图，在中，为对角线的中点，过点O的直线分别交，于点E，．求证：． 【答案】见解析 【分析】先根据平行四边形的性质得到，O为对角线的中点，进而证明，得到． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵O为对角线的中点， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴． 8.（2026·广东·二模）如图，已知线段与相交于点，，．求证：． 【答案】证明： ，， ， 即， 又，， ， ． 【分析】根据全等三角形的判定定理证明，即可得到证明． 【详解】略 9.（2026·广东·二模）如图，在和中，点D在边上，，， ．求证：． 【答案】见解析 【分析】由平行线的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出． 【详解】证明：， ． ，， ， ． 10.．（2026·广东·二模）如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明：∵， ∴，即， 又∵，， ∴； (2)证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即. 【分析】（1）先证明，结合，，即可得到结论； （2）先证明，结合即可得到结论. 【详解】（1）略 （2）略 等腰三角形 考点05 1.（2026·广东·二模）在如图的方格纸中，A，B，C是三个格点．在点A从右向左平移的过程中，点A，B，C围成的图形，不可能出现的是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】根据钝角三角形、直角三角形、等边三角形、等腰三角形的定义和性质，结合平移特点分析即可． 【详解】解：如图： 根据平移特点点A，B，C可以围成钝角三角形、直角三角形、等腰三角形，不能围成等边三角形． 2.（2026·广东广州·二模）如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是旋转变换的性质、等腰三角形的性质．根据旋转的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，求得 【详解】解：由旋转的性质可知，，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 3.（2026·广东清远·二模）已知是的平分线，将直尺按如图所示摆放，其中无刻度的一边与重合，有刻度的一边分别与，交于点，，若点，恰好与直尺、的刻度线一端点重合，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线定义，平行线的性质，等角对等边，掌握知识点的应用是解题的关键． 先由角平分线定义可得，然后通过角平分线定义可得，所以，最后由等角对等边即可求解． 【详解】解：∵是的平分线， ， ， ， ， ． 故选：C． 4.（2026·广东河源·二模）如图，▱中，，，平分交于点 E，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质得到，利用平行线的性质及角平分线定义证得，得到，求出即可． 【详解】解：▱中，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 5.（2026·广东东莞·二模）如图，数学课上，老师向同学们展示了以下作图步骤： ①作线段，分别以A，B为圆心，以长为半径作弧，两弧的交点为C； ②以点C为圆心，仍以长为半径作弧交的延长线于点D； ③连结． 则下列说法不正确的是（     ） A． B． C．点C在的垂直平分线上 D． 【答案】A 【分析】根据作图、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定、直角三角形的性质判断即可． 【详解】解：由作图知，， ∴是等边三角形，是等腰三角形，点C在的垂直平分线上， ∴，， ∴， ∴， 故选项A错误，选项B、C、D正确． 6．（2026·广东河源·二模）如图，在矩形中，，以为边在矩形外侧作，且，连接为上一点，连接并延长，交于点．若为的三等分点，则的长为（     ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，延长交于点，由等腰三角形的性质求出的长，由，得，从而求出的长，进而求出的长，再由得到的长，最后由勾股定理求出的长． 【详解】解：如图，过点作于点，延长交于点， ∴， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 为的三等分点， ， 10， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，． 7.（2026·广东广州·二模）如图，已知等边的周长为，点D．分别是边、的中点，连接，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 是等边三角形，且周长为 ， ， 分别是边的中点 ， 是的中位线 ， ． 8.（2026·广东肇庆·二模）如图，在边长为4的正方形外有一点P，且是等边三角形，则的面积为（     ） A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理可知，再根据即可求解． 【详解】解：如图，过点P作于点E， ∵四边形是边长为4的正方形， ，． 是等边三角形，， ， 在中，， ． 9.（2026·广东清远·二模）等边三角形的边长为，那么它任意一边上的中线长为_________． 【答案】 【分析】根据等边三角形三线合一的性质，可知任意一边上的中线即为这条边上的高，利用勾股定理即可求出中线长． 【详解】解：等边三角形满足三线合一， 任意一边上的中线垂直于这条边，且平分这条边． 已知等边三角形边长为，可得边的一半的长为， 设这条边上的中线长为， 由勾股定理得：， 解得（负值舍去）． 10.（2026·广东广州·二模）如图，在正方形中，点是边上一点．将以点为中心，逆时针旋转，得到（点的对应点为），连接交于点，且．若，则的长为______． 【答案】 【分析】过作交于，根据已知证明，由等角对等边可得，再由三线合一得到，证明四边形为矩形，进而可得，由旋转可得，，设，再证，则，列式计算即可求解． 【详解】过作交于， ，， ， ， ， ，， 四边形为正方形， ，，， 四边形为矩形， ， 将以点为中心，逆时针旋转，得到， ，， 设，则，， ， ， ， ， ， ，即， 整理得， 解得（负值已舍去）， 即的长为． 11.（2026·广东广州·二模）已知中，，平分交于点，其中． (1)求的度数； (2)将绕点逆时针旋转至，其中点的对应点落在边上，先用尺规作出（要求保留作图痕迹），后标记与的交点，求证：． 【答案】(1) (2)如图，即为所求； 证明：∵旋转， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 【分析】（1）等边对等角，结合三角形的内角和定理以及角平分线的定义即可得出结果； （2）先分别以、为圆心，长为半径画弧，交于点，，连接交于，则垂直平分，此时，得到，再分别以、为圆心，长为半径画弧，交点即为，此时，连接，，即得到，证明，结合即可得证. 【详解】（1）解：∵，平分交于点，， ∴，， ∴； （2）略 12.（2026·广东东莞·二模）如图，在中，，点D为中点，于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵，D为中点， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，结合题意，证明，利用公共角证明即可； （2）根据三角形相似，得，根据勾股定理，代入比例式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∴． ∵D为中点，， ∴． 在中，， ∴． ∴． ∴． 13.（2026·广东·二模）中，，，均为的中线，与相交于点． (1)如图1，求证：． (2)如图2，连接并延长，交于点．通过推理还能得到新的发现．请写出两条新发现，并证明其中的一条． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵，均为的中线， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (2)两条新发现：①垂直平分； ②，证明如下： 由上已证：， ∴，， ∴， ∴， 即． 【分析】（1）先得出，，再证出即可得证； （2）两条新发现：①垂直平分；②；发现①的证明：得出，则，由此即可得证；发现②的证明：得出，结合即可得证． 【详解】（1）略 （2）解：两条新发现：①垂直平分；②． 发现①垂直平分，证明如下： 由上已证：， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分． 发现②略 14.（2026·广东惠州·二模）顶角为的等腰三角形被称为黄金三角形，如图，在中，，． (1)尺规作图：作的平分线，交于点 （保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：为黄金三角形． 【答案】(1)解：如图所示，即为所求： (2)证明：，， ， 平分， ， ， （等角对等边）， 又， ， （等角对等边）， ， 又， 是黄金三角形． 【分析】（1）首先以B为圆心，任意长为半径画弧，分别交，两点，然后以这两个交点为圆心，大于两个交点之间的距离的一半为半径画弧，得到两弧的交点，连接点B与该交点交于点即可； （2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和求得，根据角平分线求得，从而利用三角形外角的性质求得，得到，再结合黄金三角形的定义即可得证明． 【详解】（1）略 （2）略 15.（2026·广东河源·二模）如图，在中，，，为斜边上的中线，分别以，为边向外作等边三角形和等边三角形．现有以下命题： 命题：若连接，则． 命题：若连接，则． 命题：若连接，则． 任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例． 【答案】法一：命题、命题为真命题， 证明：命题：如解图，连接． ∵，， ∴， ∵与均为等边三角形， ∴， ∴，即， ∵为斜边上的中线， ∴为的中点， ∴， ∴，即； 命题：如解图，连接． ∵，， ∴， ∵为斜边上的中线， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴． 法二：可选命题、命题或命题、命题， 命题为真命题， 证明：如解图，连接． ∵，， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵为斜边上的中线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∴． 【分析】命题，连接，先根据，，推出，再证明，推出，然后根据为斜边上的中线，推出，即可证明； 命题，连接，先根据，，推出，再根据为斜边上的中线，推出，结合等边三角形的性质推出，可证明四边形为菱形，即可求证； 命题，连接，先根据，，推出，，结合等边三角形的性质推出，即，再根据为斜边上的中线，推出，即，然后证明四边形是平行四边形，即可求证． 【详解】略 直角三角形 考点06 1.（2026·广东广州·二模）如图，将绕点A顺时针旋转得到，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前后的图形全等． 【详解】解：由旋转的性质得， ∵， ∴， ∴． 2.（2026·广东·二模）设直角三角形中一个锐角为x度（），另一个锐角为y度，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数关系式．利用直角三角形的两锐角互余可得到y与x的关系式． 【详解】解：∵直角三角形中一个锐角的度数为x度，另一个锐角为y度， ∴． 故选：D． 3.（2026·广东·二模）如图，是半圆的直径，点在半圆上，点在上．若，半径，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】先利用圆内接四边形对角互补求出的度数，再根据直径所对的圆周角为直角得到是直角三角形，结合直角三角形的性质求出的长度，最后用勾股定理计算的长度． 【详解】解：四边形是圆内接四边形，， ， 是半圆的直径，， ，， 在中，， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理的推论、直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握圆内接四边形对角互补、直径所对的圆周角为直角，以及角所对的直角边是斜边的一半是解题的关键． 4.（2026·广东东莞·二模）如图，已知等边的边长为，中线，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质和等边三角形的性质．证明 ，作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，利用全等三角形的性质和等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，，都是等边三角形， ，，， ， ， ， ，， ，， 作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小， ，， 是等边三角形， ， ， ， 周长的最小值． 故选：A． 5.（2026·广东深圳·二模）如图，在正方形中，E是边的中点，交于点F，连接，G是边上的中点，连接．已知， 则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】首先利用正方形的性质和相似三角形判定与性质求出 的长，进而利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出结果即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， E是边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵G是边的中点， ． 6.（2026·安徽安庆·一模）如图，在中，，将沿方向平移至处，此时点恰好为边的中点，连接，若，，则长为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】由平移的性质求得，根据直角三角形的性质求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵将沿方向平移至处， ∴， ∴， ∵，点为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 7.（2026·广东广州·二模）如图，是的直径，，则的度数是_________． 【答案】 【分析】利用直径所对的圆周角是直角可得，再根据直角三角形两锐角互余可得，然后运用同弧所对的圆周角相等即可解答． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 8.（2026·广东东莞·二模）如图，中，，点A坐标为，B为x轴上的点，则______． 【答案】 【分析】过点A作于点D，根据，得，利用特殊角的余弦函数求解即可． 【详解】解：过点A作于点D， 点A坐标为， 故， ， ， ， ， ， 解得． 9.（2026·广东广州·二模）如图，在菱形中，，，点是边上的动点，连接，，过点作于点． （1）若时，则______． （2）设，，则与之间的函数解析式为______． 【答案】 【分析】（1）根据含角的直角三角形的性质得出，进而利用勾股定理得出解答即可； （2）过D作交的延长线于H，在菱形中，，，，，根据平行线的性质得到，性质的，根据直角三角形得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：（1）当时，，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）过D作交的延长线于H， 在菱形中，，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10.（2026·广东深圳·二模）如图，在中，，为斜边上的中线，于点．若，，则的面积为______． 【答案】 【分析】根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出则，进而可得，根据代入数据得出，勾股定理求得，进而求得，即可求得，根据三角形中线的性质，即可求解． 【详解】解：∵为斜边上的中线， ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴ ∴ ∵为斜边上的中线， ∴的面积为 11.（2026·广东梅州·二模）如图，菱形的对角线与相交于点O，E为边的中点，连接，若，，求的长． 【答案】 【分析】由菱形的对角线互相垂直且平分，可得，再用勾股定理计算出，最后根据直角三角形斜边中线的性质求解． 【详解】解：在菱形中，， ， 由勾股定理得，， 为边的中点， ． 12.（2026·广东清远·二模）同学们知道：“在直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半”． (1)请写出它的逆命题________；该逆命题是一个________命题（填“真”或“假”）． (2)如图，在中，小敏把自己对该逆命题的猜想与数学小组的同学们进行交流，经过充分交流、研讨，发现有多种方法求证，得出以下三种想法： 想法一：取中点，连接，利用直角三角形斜边中线性质使问题得到解决． 想法二：画出的垂直平分线，交于点，交于点，利用垂直平分线的性质使问题得到解决． 想法三：沿线段所在的直线，将翻折得到，构造特殊的三角形，使问题得到解决． 请选择其中一种想法，帮助小敏完成解答过程． 【答案】(1)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是；真 (2)选择想法一：如图， 在中，点是斜边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 选择想法二：如图， ∵是的垂直平分线， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 选择想法三：如图， 由折叠的性质可得，，，， ∴， ∴、、三点共线， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【分析】（1）将原命题改写为“如果……，那么……”的形式，再调换条件和结论，即为逆命题，并判断真假即可； （2）结合（1）可知，需要证明的命题为，“在中，，若，求证：”．对于想法一，由直角三角形的性质容易证明是等边三角形，从而得到；对于想法二，利用垂直平分线的性质可得，，，，容易证明，从而得到，则；对于想法三，由轴对称的性质容易证明是等边三角形，从而得到． 【详解】（1）解：原命题可改写为：“在直角三角形中，如果有一个角为，那么其所对的直角边等于斜边的一半”， ∴逆命题为：“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是”，这是一个真命题； （2）略 勾股定理及其逆定理 考点07 1.（2026·广东汕头·二模）若一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和4，则斜边的长为（   ） A．5 B． C．1或7 D．5或 【答案】A 【分析】题干明确给出两条边长为直角边，直接利用勾股定理计算斜边长即可． 【详解】解：∵该三角形是直角三角形，且两条直角边长分别为和， 设斜边长为，根据勾股定理可得， ∵三角形边长为正数， ∴， 即斜边长为． 2.（2026·广东汕尾·模拟预测）如图，在矩形中，，，将矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，设，则，在中，，解得，，故． 【详解】解：如图，连接，由折叠知，， 设，则， 在中，， 化简得，，即， 解得，， ． 3.（2026·广东广州·二模）第一步：如图，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，得到折痕，然后把纸片展平．第二步：如图，将图中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，得到折痕，再把纸片展平．若，，（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的性质、折叠的性质可得，利用勾股定理得到，设，根据，列方程求解即可． 【详解】解：∵将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，得到折痕， ∴ ∴四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，得到折痕， ∴，， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴， 解得：， 即：． 4.（2026·广东广州·二模）如图在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据网格结构确定直角三角形的直角边长，利用勾股定理求出斜边长，再根据锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：由图可知，为直角三角形，， 网格小正方形边长为 1， ，， 由勾股定理得， ． 【点睛】 5.（2026·广东江门·二模）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，A、B、C、D是网格中的四个格点（小正方形的顶点），且相交于点E，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长至格点G，连接，此时，可得，即可求解． 【详解】解：延长至格点G，连接，此时， ∴， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴． 6.（2026·广东韶关·二模）如图，在方格纸中，每个小正方形的边长都相等，、、、都在格点处，与相交于点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取格点，连接，，由平行四边形的判定和性质，可得，故，由勾股定理的逆定理得到，在中，求出即可得到解． 【详解】如图，取格点，连接，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ，，， ，， ， ， ， ． 7.（2026·广东深圳·二模）如图，一辆小车沿长斜坡向上行驶20米，小车上升的高度为10米，则斜坡的坡度是（   ） A． B． C． D．30° 【答案】C 【分析】直接用勾股定理求出水平距离为，再根据坡度等于竖直距离：水平距离求解即可． 【详解】解：由勾股定理得，水平距离， 斜坡的坡度． 8.（2026·广东珠海·二模）如图1，在中，，，动点从点出发，沿着的路径运动到点停止，过点作于点．设点的运动路程为，的值为，随变化的函数图象如图2所示，则的长为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】观察图象可知，当点与点重合时，点与点重合，进而得到当时，，当点与点重合时，此时，，进而得到，进而得到，设，利用勾股定理进行求解即可. 【详解】解：由题意和图象可知，当点与点重合时，点与点重合，为定值， 当，即时，，即， 此时， 当点与点重合时，此时，， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得. 9.（2026·广东东莞·二模）如图，在菱形中，，，将菱形绕点A逆时针方向旋转得到菱形，点E在上，与交于点P，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接交于点O，由菱形的性质及勾股定理求得的长，由旋转的性质求得的长，再在中求得，从而可求解． 【详解】解：如图，连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 由勾股定理得， 由旋转的性质得， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴由勾股定理得， ∴． 10.（2026·广东肇庆·二模）如图，在边长为4的正方形外有一点P，且是等边三角形，则的面积为（     ） A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理可知，再根据即可求解． 【详解】解：如图，过点P作于点E， ∵四边形是边长为4的正方形， ，． 是等边三角形，， ， 在中，， ． 11.（2026·广东梅州·二模）如图，在中，，，，点，分别在，上，且，将沿着直线折叠得到，点到的距离为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于，则，利用勾股定理求出，利用的正弦函数求出，进而求出，根据求出，根据折叠的性质得出，根据正切函数的定义即可得答案． 【详解】解：如图，过点作于， ∵点到的距离为， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵将沿着直线折叠得到， ∴， ∴． 12.．（2026·广东佛山·二模）在矩形中，点E是边上一点，连接，过A作于点F，若，，，则矩形的面积是______． 【答案】 【分析】过点B作于点G，则，再由矩形的性质得，从而有；在中由正弦函数关系求得，由勾股定理求得，在中由正弦函数关系求得，即可求得矩形的面积． 【详解】解：如图，过点B作于点G，则， ∵， ∴， 在矩形中，， ∴， ∴； ∵，， ∴在中，， 由勾股定理得， ∴， 在中，， ∴， ∴矩形的面积为． 13.（2026·广东广州·二模）如图，在中，，，平分，E是上一动点（不与A，D重合），于点F．设，，．则下列结论： ①；②；③；④． 其中正确的结论有_________．（填写所有结论正确的序号） 【答案】①②④ 【分析】直接利用斜边大于直角边对①进行判断；根据角平分线的性质以及等面积法得出，进而得出，即可判断②；利用勾股定理得到，利用得到，从而可对③进行判断；过点作于点，于点，如图，根据角平分线的性质，根据等腰直角三角形的性质得到，然后利用得到，从而可对④进行判断． 【详解】解：， ， ， ，所以①正确； 过点作于点， ∵平分，， ∴ ∴ ∵在中，，， ∴ ∴ 即 又∵ ∴ ∴，故②正确； 在中，， ， ， ， ， ，所以③错误； 过点作于点，于点，如图， 平分， ， ， ， ， ， ，所以④正确． 14.（2026·广东广州·二模）如图，已知中，，，，点是内部一点，连接、、，若，则的值为________，的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的三边关系，勾股定理等知识点． 首先根据比例关系得到，在上取点，使，连接，通过证明得到对应线段成比例，继而得到，继而得到当点在上时，取得最小值． 【详解】解：∵，， ∴； 如图，在上取点，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即当点在上时，取得最小值． 15.（2026·广东广州·二模）如图，在中，是边上一点，将沿着翻折至．已知，，，当，，三点共线时，则的长是___________． 【答案】6 【分析】作于点，由翻折得，，进而得到相关线段长，再由勾股定理求得，，根据即可求解． 【详解】解：作于点，则， 由翻折得，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ∵，， ， ， ， ， ， 的长为6． 16.（2026·广东深圳·二模）如图，在中，，，，点在轴上，将绕点顺时针方向旋转使得点的对应点落在轴正半轴上，则点的对应点的坐标是______． 【答案】 【分析】由勾股定理和全等三角形解答即可． 【详解】解：，，， ，，， 由旋转知，，， 作轴于点H， ， ∴， 的横坐标为，纵坐标为． 17.（2026·广东深圳·二模）下图是由边长为1个单位的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点、、均在格点上，连接． (1)利用无刻度的直尺在网格中作直线，使得； (2)点到直线的距离为________． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】（1）先延长至格点，使得，再找到格点，使得，且，则四边形是平行四边形，进而可得； （2）先结合网格特点可得是等腰直角三角形，且，再根据等腰三角形的三线合一、直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：由网格可知，， ∴是等腰直角三角形，且， ∴点到直线的距离等于等腰斜边上的高，即等于． 18.（2026·广东惠州·二模）综合与实践 【实验背景】 某中学数学小组开展“梯子安全使用”实验活动．通过查阅资料，结合学校地面与墙面的实际情况，经多次实验得出结论：要想安全使用梯子，梯子与地面所成的锐角一般满足（角度过小易滑倒，过大易倾倒）．下表是小组在研究活动中的一份测量记录表． 【实验记录】 测量次数 梯子长度 梯子底端到墙脚的水平距离 梯子顶端到墙脚的垂直高度 梯子与水平面的夹角 安全判定（是/否） 第1次 是 第2次 第3次 否 【实验探究】 (1)补全表格中第2次测量的信息． (2)在保证安全的情况下，求长度为的梯子底端到墙脚的距离的取值范围． (3)在一次使用中，初始放置时，长度为的梯子的底端距墙脚，根据使用需求，要将梯子顶端下移，此时它的底端向外移动多少米？并判断移动后是否仍符合安全使用要求？（精确到） 参考数据：，，，，，， 【答案】(1)；；是 (2) (3)向外移动，移动后符合安全使用要求 【分析】（1）使用勾股定理计算出，再根据三角函数求出，并判断是否符合安全判定； （2）分别计算和时，的值，从而得出安全范围； （3）梯子顶端下移后的位置为，则，利用勾股定理计算出，从而得到，再使用勾股定理求出，与对比即可计算出移动距离，再结合（1）的数据即可得到，并判断是否符合安全． 【详解】（1）解：由题意可知，第二次测量时，，， 由勾股定理可得，， 在中，， ∴， ∵， ∴符合安全判定； （2）解：当时，， 当时，， ∴在保证安全的情况下，求长度为的梯子底端到墙脚的距离的取值范围为； （3）解：如图，梯子顶端下移后的位置为，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴向外移动， 由（1）可知，此时，符合安全使用要求． 角平分线与线段的垂直平分线 考点08 1.（2026·广东·二模）如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，连接CP．若△PBC的面积为2，则△ABC的面积为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】延长AP交BC于D，由已知条件得到∠ABP=∠DBP，∠APB=∠DPB=90°，根据全等三角形的性质得到AP=PD，于是得到结论． 【详解】解：延长AP交BC于D， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP=∠DBP， ∵AP⊥BP， ∴∠APB=∠DPB=90°， 在△ABP和△DBP中， ， ∴△ABP≌△DBP（ASA）， ∴AP=PD， ∴S△ABP=S△DBP，S△ACP=S△DCP， ∴S△ABC=2S△PBC=2×2=4， 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键． 2.（2026·广东茂名·二模）如图，分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，在两侧交于点C，D，连接，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可知点、都在线段的垂直平分线上，故垂直平分，则，由勾股定理得，从而． 【详解】解：如图， 由题意可得，， 点 、 都在线段 的垂直平分线上， 是线段的垂直平分线， ， ， ． 3.（2026·广东·二模）用尺规法过直线外一点作此直线的垂线，作法错误的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了作图，线段垂直平分线的判定，涉及等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，根据作图痕迹逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A．根据作图可得，故该选项不符合题意； B．根据作图可得垂直平分，故该选项不符合题意； C．如图，根据作图可得，， ∴，，又， ∴， ∴， ∴， 则垂直平分，即，故该选项不符合题意； D．无法判断，故该选项符合题意； 故选：D． 4.（2026·广东深圳·二模）如图，中，，，请通过尺规作图的痕迹判断，下列选项错误的是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】D 【分析】由作图可得垂直平分，平分，由此即可判断AB选项正确；求出，，由此即可判断C选项正确，D选项错误． 【详解】解：由作图可得：垂直平分，平分， ∴，，故AB选项正确，不符合题意； ∵，， ∴，， ∴， ∴，故C选项正确，不符合题意； ∵， ∴不平分，故D选项错误，符合题意． 5.（2026·广东·二模）如图，分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线，分别与，交于点，，再以点为圆心，的长为半径画弧，与交于点，连接．若，，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质及三角形内角和得到，根据勾股定理得到，，根据三角函数的定义求解即可． 【详解】解：连接，由作图知，垂直平分， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 6.（2026·广东·二模）如图是蜡烛在平面镜中成像的光路图，人眼所看到的是蜡烛在平面镜里的虚像，点与点到平面镜的距离相等，且它们的连线与平面镜垂直，故人眼感觉看到了真实的蜡烛．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外角的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握这三个性质是关键；由题意知平面镜所在直线垂直平分线段，则，从而等边对等角，再由三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵点与点到平面镜的距离相等，且它们的连线与平面镜垂直， ∴平面镜所在直线垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 7.（2026·广东·二模）如图，的周长为，与相交于点，交于，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意数形结合思想与转化思想的应用． 由的周长为，即可求得，又由，可得是线段的垂直平分线，即可得，继而可得的周长等于的长． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， 的周长为， ， ，， ， 的周长为：． 故选：C． 8.（2026·广东广州·二模）如图，在RtABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，线段AB的垂直平分线ED分别交AC、AB于点D、E，连接BD．若CD，则AD的长为_____． 【答案】2 【分析】由线段垂直平分线的性质可得AD＝BD，利用含30°角的直角三角形的性质可求解BD的长，进而求解． 【详解】解：∵DE垂直平分AB， ∴AD＝BD， ∴∠A＝∠ABD， ∵∠A＝15°， ∴∠ABD＝15°， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝15°+15°＝30°， ∵∠C＝90°，CD， ∴BC＝1， ∴BD＝2BC＝2， ∴AD＝BD＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查线段的垂直平分线，含30° 角的直角三角形的性质，求得AD=BD是解题的关键． 9.（2026·广东东莞·二模）如图，在中， (1)尺规作图：作的角平分线，交于点O；（不写作法，保留作图痕迹） (2)以O为圆心，为半径作，求证：是的切线； 【答案】(1)图见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法作图即可； （2）作，根据角平分线的性质，得到，即可得证． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）证明：作， ∵平分，，即， ∴， ∴为的半径， ∴是的切线. 10.（2026·广东·二模）如图1，．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点M、N．分别以点M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点E．作射线．过点C作，交于点D． (1)求的长； (2)如图2，连接．分别以点A、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P、Q．作直线，交的延长线于点F．连接，交于点G．当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线定义和平行线性质、等腰三角形的判定证明即可； （2）先证明是等边三角形，然后求出的长，再证，即可求出的值． 【详解】（1）解：由作图可知：平分， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． （2）解：由作图可知：垂直平分， ∴． ∵， ∴为等边三角形． ∴． ∵， ∴． ∴． 由（1）知，，， ∴，． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图—作角的平分线、作线段的垂直平分线，考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确理解尺规作图的原理是解本题的关键． 三角形中的综合探究 考点09 1.（2026·广东河源·二模）在学习三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“孪生三角形”进行研究．定义：顶角互补的两个等腰三角形叫作“孪生三角形”． (1)观察思考 如图（1）和中，，，． ①和 “孪生三角形”；（填“是”或“不是”） ②连接，判断的数量及位置关系并证明． (2)性质探究 如图（2），是“孪生三角形”，，是的中点，连接，通过探究发现，请你写出证明过程． (3)拓展应用 如图（3），，，绕点 旋转，当点在一条直线上时，求的长． 【答案】(1)①是； ②，； 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，，     ∵， ∴， 即， 记交于点O， 则， ∴； (2)证明：如图，延长到点F，使，连接， ∵M是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵和是“孪生三角形”，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴，     ∴， ∴； (3)的长为或． 【分析】（1）①根据“孪生三角形”的定义即可判断； ②，得到，，可推出； （2）延长到点F，使，连接，根据三角形中位线定理求得，再证明，即可得到； （3）设的中点为H，连接，延长到点N，使，连接，证明，得到，再分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴， 又∵， ∴和是“孪生三角形”； ②略 （2）略 （3）解：∵，， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 如图，设的中点为H，连接，延长到点N，使，连接， ∵H是的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴； 当D，E，C三点共线时，设的中点为G，连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点 C 在线段的延长线上时，如图， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点C 在线段的延长线上时，如图， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上，的长为或． 2.（25-26八年级上·广东珠海·期末）综合与实际 问题背景： 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，其中把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，借助几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中． 问题探究： （1）请根据图①写出一个等式：___________； （2）如图②，点在线段上，分别以、为边作正方形和正方形，连接、．若，．试求出阴影部分的面积． 拓展应用： （3）如图③，在等腰直角三角形中，，为的中点，点为边上任意一点（不与端点重合），过点作长方形分别交于点，交于点．过点作交的延长线于点．记与的面积之和为，与的面积之和为．请问的值是否为定值？若为定值，请求出这个定值．若不是定值，请说明理由． 【答案】（1），（2）17，（3）是定值， 【分析】（1）用两种方法表示出大正方形的面积，即可得出结论； （2）设，，得到，，分割法表示出阴影部分的面积，整体代入法进行计算即可． （3）设，，依题意得四边形是矩形，则，，，，进而得，，则，由此得． 此题主要考查了几何背景下的乘法公式，三角形中位线的性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，整式的运算，准确识图，熟练掌握乘法公式的结构特征，整式的运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：（1）大正方形的面积可表示为：或， 故答案为：； （2）设， ， ，，即，， ， 答：阴影部分的面积为17． 拓展应用： （3）∵在等腰直角三角形中，，为的中点， ∵，， ，是等腰直角三角形， 于点，于点， ，是等腰直角三角形， ， ， ， 是等腰直角三角形， ∴图中的所有三角形都是等腰直角三角形， 设， 依题意得：四边形是长方形， 3.（2026·广东肇庆·二模）【问题情境】 在中，，D为的中点．过点D作于点E，已知． (1)如图1，连接，求的周长； (2)【拓展延伸】如图2，将绕点D顺时针方向旋转得到，点E，C的对应点分别是点H，G，直线与直线交于点M（点M不与点A重合），与直线交于点N． ①判断与的数量关系，并说明理由； ②在绕点D旋转的过程中，当直线时，求的长． 【答案】(1) (2)①，详见解析；②的长为3或13 【分析】（1）根据中位线可知的长度，再根据勾股定理即可得，进而根据周长即可求解； （2）①证明，即可得到对应关系；②当点M在线段上时，过点A作于点I，交直线于点K，根据等面积法可知的长度，证明，根据相似三角形的性质即可求解；当点M在直线上且位于点C右边时，过点A作．于点J，延长交于点K，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形，，D为的中点， ． ， ∴是的中位线， ， ， ， 的周长； （2）解：①，理由如下： 如图1，连接， 图1 ∵将绕点D顺时针方向旋转得到，点E，C的对应点分别是点H，G， ， 在和中， ， ． ， ； ②如图，当点M在线段上时，过点A作于点I，交直线于点K，则四边形是矩形， ． ， ∴由勾股定理，得． ，， ， ， ． ， ， ， ，即，解得； 如图，当点M在直线上且位于点C右边时，过点A作．于点J，延长交于点K，则四边形是矩形， 同理， ， ， ， ． ， ， ， ，即，解得． 综上所述，的长为3或13． 4.（2026·广东深圳·模拟二模）综合与探究 【定义】有一组对角为直角的四边形叫做“对直四边形”． 【示例】如图1，在四边形中，，则称四边形叫做“对直四边形”． 【性质探究】小明同学在研究对直四边形时，发现“对直四边形具有四个顶点均在同一个圆上”的性质，证明的思路如下： 如图2，连接对角线，取中点，连接． ∵，______， ∴_____， ∴， ∴四边形的顶点均在以点为圆心，为直径的圆上． (1)请补全小明同学的证明过程． (2)【性质应用】如图3，在矩形中，点是边上一点，过三点的圆交对角线于点． ①求证：四边形是“对直四边形”； ②若，当为等腰三角形时，直接写出的长． (3)【拓展提升】如图4，在矩形中，（为正实数）．点是延长线上一点，过三点的圆交对角线于点，延长交于点．请求出的值（用含的式子表示）． 【答案】(1)的中点为； (2)①连接，设圆心为O， ∵在矩形中，， ∴为的直径， ∴， ∴四边形是“对直四边形”； ②的长为或或． (3)的值为． 【分析】（1）根据“对直四边形”定义和直角三角形斜边中线的性质解答； （2）①连接，设圆心为O，证明为的直径，可得四边形是“对直四边形”；②求出，证明，得，根据为等腰三角形，当时，当时，当时，分三种情况解答． （3）设圆心为点O，连接，证明，可得，得，证明C，D，E，F在以为直径的圆上，得，证明，可得，即得． 【详解】（1）解：如图2，连接对角线，取中点，连接． ∵，的中点为， ∴， ∴， ∴四边形的顶点均在以点为圆心，为直径的圆上． （2）解：①略 ②∵矩形中，，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰三角形， ∴当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，， 设与交点为F，连接， ∵， ∴是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，． 故的长为或或． （3）解：设圆心为点O，连接， ∵在矩形中，，且（为正实数）． ∴， ∴是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴C，D，E，F到线段的中点的距离相等， ∴C，D，E，F在以为直径的圆上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故的值为． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $