精品解析：2024年广东清远市连南瑶族自治县初中学业水平考试数学二模试卷

2024年初中学业水平模拟考试 数学（二） 本试卷共4页，23小题，满分：120分，考试用时：120分钟 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，根据相反数的定义，一个数的相反数是符号相反的数即可解答． 【详解】解：的相反数是． 故选：A． 2. 据中新社援引日本《读卖新闻》的报道，2023年8月24日，日本政府将会正式开始把福岛那123万吨核污水排入大海，首批7800吨核污水将在17天内排放完毕，2023年内将总计排放3.12万吨．123万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：123万． 3. 在5月份仰卧起坐训练中，晓琳同学一周成绩记录如下：36，38，38，40，42，45，49（单位：次/分钟），这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 40，42 B. 38，42 C. 40，40 D. 38，40 【答案】D 【解析】 【分析】根据众数定义找出出现次数最多的数，再根据中位数定义，对已排序的数据找到中间位置的数即可得到结果． 【详解】解：∵这组数据已经按从小到大的顺序排列，其中数字38出现次数最多，为2次，其余数字都只出现1次 ∴这组数据的众数为38， ∵这组数据共有7个，个数为奇数，中位数为排序后第个数字， ∴第4个数字为40，即这组数据的中位数为40， 综上，这组数据的众数为38，中位数为40． 4. 如图，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同位角相等，两直线平行可得，再根据两直线平行，同位角相等可得的补角的度数，进而可以求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴的补角为， ∴． 5. 2023年，全球的环保意识得到了空前的提高．以下是绿色环保的部分图形，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形和轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意； B、该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意； C、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 6. 解不等式，下列在数轴上表示的解集正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式即可得解． 【详解】解：解不等式得：， 在数轴上表示的解集为： 7. 某市女生体育中考的国测项目，要从“50米”“立定跳远”“坐位体前屈”“仰卧起坐”四个项目中，随机抽取两项，则抽到“50米”与“坐位体前屈”两个项目的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先列出从四个项目中抽取两项的所有等可能结果，再数出满足要求的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】解：将四个项目“50米”“立定跳远”“坐位体前屈”“仰卧起坐”四个项目依次记为A、B、C、D， ∵从四个项目中随机抽取两项，所有等可能的结果为、、、、、，共种 其中抽到“50米”与“坐位体前屈”的结果只有种 ∴所求概率． 8. 若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（ ） A. 12 B. C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】先根据两根的倍数关系和两根之积求出两根，再利用两根之和求出的值． 【详解】解：对于一元二次方程，由根与系数的关系可得 ， ∵ ∴代入得，即 解得或 当时，， 当时，， ∴． 9. 如图，在三角形纸片中，，，点D是边上的点，，将三角形纸片沿对折，使点B落在点处，当时，则的长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点A作于点E，连接，则，由折叠的性质得，得，由此求得，再求出，即可求解． 【详解】解：过点A作于点E，连接，如图， ∵， ∴，， 由折叠的性质得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴由勾股定理， 在中，，由勾股定理得， ∴． 10. 如图，抛物线（a，b，c为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与轴的交点即可判断①；由抛物线的对称轴得到，即可判断③；由当和当时的函数值即可判定②；由抛物线的最大值即可判断④；由，得到，，即可判断⑤． 【详解】解：由图象的开口向下得到， 对称轴为，则，即， 抛物线与 轴交于正半轴，则， ，故①错误； 由得到，即，则， ∴， 故③正确； 当时，抛物线有最大值为，则， 当时，，则； 综上可知，，故②正确； 当时，抛物线有最大值为； 当时，抛物线， ，则，故④正确； ∵，， ∴，， ∴， 故⑤正确； 综上所述，正确的结论是②③④⑤，共4个． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上． 11. 分解因式：=____. 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可． 【详解】． 故答案为： 12. 已知正n边形的每一个内角为，则_____． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形内角和定理，根据正多边形内角和公式列出等量关系求解即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：， 解得： 故多边形是12边形． 故答案为：12． 13. 已知，则代数式的值是______． 【答案】4 【解析】 【分析】先将已知等式移项变形得到的值，再将所求代数式提公因式变形后，代入计算即可． 【详解】解：， ， ． 14. 如图所示的三角形都是由一系列的直角三角形组成，每个三角形都以点O为一顶点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意勾股定理找出规律可得，再依据此规律列出算式，最后根据有理数的加法法则进行简便计算即可． 【详解】解： ∵， ， ， ， ∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了数字的变化规律、二次根式的性质、勾股定理的应用等知识点，解题关键是根据题意找出规律． 15. 如图，在等边三角形中，点D是边的中点，以为直径的分别交、于点E、F，且，则图中阴影部分的面积______． 【答案】 【解析】 【分析】连接过点O作于G，运用求解即可． 【详解】解：连接过点O作于G， ∵在等边三角形中，点D是边的中点，， ∴，，， ∴，， ∴，， 以为直径的分别交、于点E、F， ∴，， ∴，，， ∴， 同理可得：， ∵，， ∴ ∴． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分） 16. 计算： 【答案】13 【解析】 【详解】解： ． 17. 先化简，再求值：．其中． 【答案】； 【解析】 【详解】解： 当时，原式 18. 第19届杭州亚运会将于2023年9月23日在杭州奥体中心体育场(图中A)举行盛大的开幕式，田径项目比赛也在该体育场进行；滨江体育馆(图中B)羽毛球比赛场馆；萧山体育中心体育场(图中C)足球比赛场馆；来自北京的体育运动爱好者小李想入住一个酒店，到这三个场馆的距离相等． （1）请你在图中帮小李找到适合的酒店位置P； （2）在（1）的情况下，如果A与B的直线距离是，与的夹角为，试求出酒店P到三个场馆的距离之和．(结果精确到) 【答案】（1）解：如下图所示点P即为酒店位置： （2） 【解析】 【分析】（1）作任意两边的垂直平分线，其交点 即为酒店位置． （2）由（1）知垂直平分且，利用是含的直角三角形求出即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知垂直平分且． ∵， ∴． 在中， ∵与的夹角为，即， ∴，， ∴， 解得：， ∴酒店P到三个场馆的距离之和为． 答：酒店P到三个场馆的距离之和为． 四、解答题（二）（本大题2小题，每小题9分，共27分） 19. 习近平总书记在党的二十大报告中提出：“广泛开展全民健身活动，加强青少年体育工作，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国．”而提高人的健康素质，青少年是黄金期．清远为了解全市中学生2023年体质健康情况，随机抽取了某中学九年级部分学生的体育测试成绩为样本，按成绩高低分A、B、C、D、E五个类别进行统计．并将统计结果绘制如下两幅不完整的统计图，请你根据相关信息解答下面的问题： （1）本次调查的学生人数为______； （2）请根据以上信息补全条形统计图； （3）扇形统计图中m的值是______，类别D所对应的扇形圆心角的度数是______度； （4）甲、乙、丙、丁是A类别中的四名学生，若从中随机抽取两名进行体育经验介绍，用列表法或者树状图法，求恰好抽到甲和乙两名学生的概率． 【答案】（1）50人 （2）如图所示： （3）32； （4） 【解析】 【分析】（1）根据样本总数=频数÷所占百分数，求得样本总数解答即可． （2）利用频数之和等于样本总数×所占百分数，计算补图即可． （3）利用扇形统计图的意义，圆心角度数计算公式计算即可． （4）根据列表或画树状图法，解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得A类有10人，占比为 ， 故 ． 【小问2详解】 解：根据题意，B类的人数为： （人）， D类的人数为： （人），补全统计图略． 【小问3详解】 解：根据题意，得 ， 解得 ， D类所在的扇形的圆心角度数为： ． 【小问4详解】 解：画树状图如图． 由图中可知，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲和乙两名学生的结果有2种， 故恰好抽到甲和乙两名学生的概率． 20. 今年4月23日是第26个世界读书日．九（1）班举办了“让读书成为习惯，让书香飘满校园”主题活动．准备订购一批新的初中版实用文摘（套）和语文主题丛书（套）． （1）采购员从市场上了解到语文主题丛书（套）的单价比初中版实用文摘（套）的单价贵38元．花费2070元购买语文主题丛书（套）的数量与花费1500元购买初中版实用文摘（套）的数量相同．求初中版实用文摘（套）和语文主题丛书（套）的单价各是多少元？ （2）若购买初中版实用文摘和语文主题丛书共10套（两类图书都要买），总费用不超过1095元，问该班有哪几种购买方案？ 【答案】（1）初中版实用文摘（套）的单价是100元，语文主题丛书（套）的单价是138元 （2）则该班有两种购买方案：①初中版实用文摘8套，语文主题丛书2套；②初中版实用文摘9套，语文主题丛书1套 【解析】 【分析】（1）设初中版实用文摘（套）的单价为x元，则语文主题丛书（套）的单价是元，根据等量关系：花费2070元购买语文主题丛书（套）的数量等于花费1500元购买初中版实用文摘（套）的数量，列出分式方程并求解即可； （2）设购买语文主题丛书a套，则购买初中版实用文摘套，根据：总费用不超过1095元，列出不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设初中版实用文摘（套）的单价为x元，则语文主题丛书（套）的单价是元， 依题意得， 解得：， 经检验，是方程的解，且符合题意， ∴（元）， 答：初中版实用文摘（套）的单价是100元，语文主题丛书（套）的单价是138元． 【小问2详解】 解：设购买语文主题丛书a套，则购买初中版实用文摘套， 由题意得， 解得：， ∵a为正整数， ∴，2； 当，则；当，则； 则该班有两种购买方案： ①初中版实用文摘8套，语文主题丛书2套； ②初中版实用文摘9套，语文主题丛书1套． 21. 如图，一次函数 的图象交x轴于点A，交y轴于点B，反比例函数 的图象相交于两点，动点P在线段上(不与点A，B重合)，过点P作 轴于点C，连接OP． （1）点P在何处时， 的面积为？ （2）在（1）的前提下，反比例函数的图象刚好与一次函数图象交于点P，求出反比例函数解析式； （3）当 的面积最大时，求出点P的坐标和最大面积． 【答案】（1）点P的坐标为或 （2） （3）点P的坐标为，最大面积为 【解析】 【分析】（1） 设点P的坐标为，根据 的面积为列出方程求解即可； （2）将点P代入求解即可，注：也可以使用 的面积为求解； （3）设点P的坐标为，列出 的面积关于m的解析式，再化为顶点式即可得解． 【小问1详解】 解：∵点P在线段上， ∴设点P的坐标为， 则， ∵ 的面积为， ∴ ， 解得 或． ∴点P的坐标为或． 【小问2详解】 由（1）知点P的坐标为或 ∵点P在反比例函数图象上， ∴ ， ∴反比例函数图象为． 【小问3详解】 设点P的坐标为， 的面积为S，则， 且当时，， ∴此时点P的坐标为，最大面积为． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分） 22. 如1图所示，已知是圆O的直径，D是弧上的一点，连接，，圆心角，与相交于C点，且，连接． （1）求证：为圆O的切线； （2）若，圆O的半径为2，求； （3）如题2图所示，在（2）的条件下，已知正方形，点F和G分别从B、M两点同时出发，以相同的速度沿、向终点M、N运动，连接、，交于点H，连接，求的最小值． 【答案】（1）证明：∵， ∴ ∵， ∴， ∴． 又∵为圆O的半径， ∴为圆O的切线． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据和推导即可得证； （2）用等边对等角得到，，用同角的余角相等和等量代换得到，则，在中，用勾股定理得到，设，则，从而求出OC，再利用求解即可； （3）由题意可知，，证明可得，则点H是以为直径的圆上运动，利用两点之间线段最短可知，求出和，从而得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵圆的半径为2， ∴ ∴在中，，即 设，则， 解得，(不符题意，舍去)， ∴ 在中，． ∴． 【小问3详解】 由题意可知， ∵四边形是正方形，圆的半径为2， ∴， 在 和中， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴点H是以为直径的圆上运动 ∵， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知：， ∴，当且仅当点三点共线时取最小值． ∴的最小值为． 23. 如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点，点P为抛物线的对称轴上的一个动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）求点P到B、C两点距离之和的最小值及点P的坐标； （3）在平面上是否存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形为矩形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）最小值为；点P的坐标为 （3）点Q的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）点P为抛物线的对称轴上的一个动点，且点A与点B关于抛物线的对称轴对称，连接交对称轴于点P，则，且线段的长为点P到B、C两点距离之和的最小值，求出的解析式，再将对称轴方程代入即可求出点P的坐标； （3）设点P的坐标为，点Q的坐标为，分①当时，②当时，③当时三种情况运用勾股定理列方程求出t，再运用矩形的对角线互相平分求出m、n即可． 【小问1详解】 解：将点，，代入，得 解得 所以，这个二次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：∵二次函数的表达式为， ∴对称轴是直线， 点P为抛物线的对称轴上的一个动点，且点A与点B关于抛物线的对称轴对称，连接交对称轴于点P，如图1， 则，且线段的长为点P到B、C两点距离之和的最小值． 在中，，， ∴ ∴点P到B、C两点距离之和的最小值为． 设直线的表达式为， 将，代入，得， 解得 ∴直线AC的表达式为， 当时，， ∴点P的坐标为． 【小问3详解】 点Q的坐标为或或或 理由如下： 假设在平面上存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形为矩形． 设点P的坐标为，点Q的坐标为． ①当时，如图2， 在中，， ． 由勾股定理得，， 解得， ∴点P的坐标为． ∵四边形为矩形，矩形的对角线互相平分． ∴， 即，，解得， ， ∴点Q的坐标为 ②当时，如图3， 在中，， 由勾股定理得，， 解得， ∴点P的坐标为． ∵四边形为矩形，矩形的对角线互相平分． ∴， 即， 解得，， ∴点Q的坐标为 ③当时，以线段的中点为圆心，的长为直径构造圆，交抛物线的对称轴于点，，如图4及图5， 在中，， 由勾股定理得，，解得， ∴点的坐标为，点的坐标为． ∵四边形为矩形，矩形的对角线互相平分． ∴， 即， 解得， ∴点的坐标为， ∵四边形为矩形，矩形的对角线互相平分． ∴， 即，， 解得，，∴点的坐标为． 综上所述：点Q的坐标为或或或． 24. 实数的相反数是（    ） A. 2024 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的相反数为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年初中学业水平模拟考试 数学（二） 本试卷共4页，23小题，满分：120分，考试用时：120分钟 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 2. 据中新社援引日本《读卖新闻》的报道，2023年8月24日，日本政府将会正式开始把福岛那123万吨核污水排入大海，首批7800吨核污水将在17天内排放完毕，2023年内将总计排放3.12万吨．123万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 在5月份仰卧起坐训练中，晓琳同学一周成绩记录如下：36，38，38，40，42，45，49（单位：次/分钟），这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 40，42 B. 38，42 C. 40，40 D. 38，40 4. 如图，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 2023年，全球的环保意识得到了空前的提高．以下是绿色环保的部分图形，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 解不等式，下列在数轴上表示的解集正确的是( ) A. B. C. D. 7. 某市女生体育中考的国测项目，要从“50米”“立定跳远”“坐位体前屈”“仰卧起坐”四个项目中，随机抽取两项，则抽到“50米”与“坐位体前屈”两个项目的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（ ） A. 12 B. C. D. 9 9. 如图，在三角形纸片中，，，点D是边上的点，，将三角形纸片沿对折，使点B落在点处，当时，则的长等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线（a，b，c为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上． 11. 分解因式：=____. 12. 已知正n边形的每一个内角为，则_____． 13. 已知，则代数式的值是______． 14. 如图所示的三角形都是由一系列的直角三角形组成，每个三角形都以点O为一顶点，则______． 15. 如图，在等边三角形中，点D是边的中点，以为直径的分别交、于点E、F，且，则图中阴影部分的面积 ______． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分） 16. 计算： 17. 先化简，再求值：．其中． 18. 第19届杭州亚运会将于2023年9月23日在杭州奥体中心体育场(图中A)举行盛大的开幕式，田径项目比赛也在该体育场进行；滨江体育馆(图中B)羽毛球比赛场馆；萧山体育中心体育场(图中C)足球比赛场馆；来自北京的体育运动爱好者小李想入住一个酒店，到这三个场馆的距离相等． （1）请你在图中帮小李找到适合的酒店位置P； （2）在（1）的情况下，如果A与B的直线距离是，与的夹角为，试求出酒店P到三个场馆的距离之和．(结果精确到) 四、解答题（二）（本大题2小题，每小题9分，共27分） 19. 习近平总书记在党的二十大报告中提出：“广泛开展全民健身活动，加强青少年体育工作，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国．”而提高人的健康素质，青少年是黄金期．清远为了解全市中学生2023年体质健康情况，随机抽取了某中学九年级部分学生的体育测试成绩为样本，按成绩高低分A、B、C、D、E五个类别进行统计．并将统计结果绘制如下两幅不完整的统计图，请你根据相关信息解答下面的问题： （1）本次调查的学生人数为______； （2）请根据以上信息补全条形统计图； （3）扇形统计图中m的值是______，类别D所对应的扇形圆心角的度数是______度； （4）甲、乙、丙、丁是A类别中的四名学生，若从中随机抽取两名进行体育经验介绍，用列表法或者树状图法，求恰好抽到甲和乙两名学生的概率． 20. 今年4月23日是第26个世界读书日．九（1）班举办了“让读书成为习惯，让书香飘满校园”主题活动．准备订购一批新的初中版实用文摘（套）和语文主题丛书（套）． （1）采购员从市场上了解到语文主题丛书（套）的单价比初中版实用文摘（套）的单价贵38元．花费2070元购买语文主题丛书（套）的数量与花费1500元购买初中版实用文摘（套）的数量相同．求初中版实用文摘（套）和语文主题丛书（套）的单价各是多少元？ （2）若购买初中版实用文摘和语文主题丛书共10套（两类图书都要买），总费用不超过1095元，问该班有哪几种购买方案？ 21. 如图，一次函数 的图象交x轴于点A，交y轴于点B，反比例函数 的图象相交于两点，动点P在线段上(不与点A，B重合)，过点P作 轴于点C，连接OP． （1）点P在何处时， 的面积为？ （2）在（1）的前提下，反比例函数的图象刚好与一次函数图象交于点P，求出反比例函数解析式； （3）当 的面积最大时，求出点P的坐标和最大面积． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分） 22. 如1图所示，已知是圆O的直径，D是弧上的一点，连接，，圆心角，与相交于C点，且，连接． （1）求证：为圆O的切线； （2）若，圆O的半径为2，求； （3）如题2图所示，在（2）的条件下，已知正方形，点F和G分别从B、M两点同时出发，以相同的速度沿、向终点M、N运动，连接、，交于点H，连接，求的最小值． 23. 如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点，点P为抛物线的对称轴上的一个动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）求点P到B、C两点距离之和的最小值及点P的坐标； （3）在平面上是否存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形为矩形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．若不存在，请说明理由． 24. 实数的相反数是（    ） A. 2024 B. 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