专题06 四边形6大考点（广东专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 广东各地市二模四边形专题汇编，覆盖多边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形及综合应用6大考点，含选择、填空、解答题，情境融合显微镜细胞、化学分子结构、广式玻璃窗等真实素材，梯度从基础计算到动态几何探究。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约15题|多边形内角和、平行四边形性质、矩形判定|结合化学实验装置考多边形外角（如酒精灯加热装置题）| |填空|约10题|菱形面积、正方形折叠、中位线|以五角星图案考黄金分割（如分子结构尖角度数题）| |解答|约15题|四边形旋转、新定义证明、动态最值|综合题融合旋转与折叠（如矩形旋转后三点共线问题），关联中考探究趋势|

专题06 四边形 6大考点概览 考点01多边形及其内角和 考点02平行四边形 考点03矩形 考点04菱形 考点05正方形 考点06四边形中的综合 多边形及其内角和 考点01 1.（2026·广东清远·二模）某种树叶在显微镜下的细胞图片可近似看成一个六边形，则该多边形的内角和是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵边形的内角和公式为，本题中多边形为六边形，即， ∴代入得内角和为. 2.（2026·广东广州·二模）如图，正五边形中，边，的延长线交于点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据正多边形的外角公式求出，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵正五边形， ∴， ∴． 3.（2026·广东中山·二模）若正多边形的一个内角是，则该多边形的边数是（   ） A．6 B．12 C．16 D．18 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，利用正多边形内角公式建立方程求解即可，熟练掌握多边形的内角和公式是解此题的关键． 【详解】解：设正多边形的边数为，则每个内角为， ∵正多边形的一个内角是， ∴， 解得：， 即该多边形的边数是， 故选：D． 4.（2025·广东珠海·三模）如图1是化学实验中利用酒精灯给试管中液体加热的实验装置图，如图2是其简化示意图．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了四边形内角和定理，根据垂线的定义得到，再根据四边形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5.（2026·广东·二模）将若干个大小相等的正五边形排成环状，如图是排的前3个正五边形，要完成这一圆环还需要（    ）个这样的正五边形． A．5 B．7 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了正多边形的外角和．设正五边形的两边交于点O，求出正五边形的外角为，可得的度数，即可求解． 【详解】解：如图，设正五边形的两边交于点O， 正五边形的外角为， ∴， ∵， ∴要完成这一圆环还需要个这样的正五边形． 故选：B 6.（2026·广东佛山·二模）如图中所示的是由三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，则这种正多边形是（     ） A．三角形 B．正方形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】利用周角定义求出正多边形内角，进而求出正多边形的外角，再根据多边形的外角和为，即可求解． 【详解】解：∵图中所示的是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形， ∴每个内角度数， ∴每个外角度数， ∵多边形的外角和为， ∴边数为：， 故这种正多边形是正六边形． 7.（2026·广东广州·二模）如图，，，是正五边形的对角线，与相交于点F．下列结论： ①平分；②；③四边形是菱形；④．其中正确的结论是（     ） A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据正五边形的性质求出各内角度数及各边关系，利用角平分线定义判断①；利用平行四边形及菱形的判定判断③；利用相似三角形的判定与性质判断④；通过证明，利用相似三角形的性质并结合相关已知条件即可判断② ． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴，， ∴， ①∵，，即平分，故①正确 ； ③∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故③正确； ④∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴，故④正确； ②，， ， ， ，， ，即，故②错误； 综上，正确的结论是①③④． 8.（2026·广东广州·二模）如图，图1为传统建筑中的一种窗格，图2为其窗框的示意图，多边形为正八边形，连接，交于点M ， ______° 【答案】 【分析】先根据正多边形内角和公式求出正八边形的内角度数，再利用等边对等角和三角形内角和定理求出和的度数，最后根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：多边形为正八边形， ，， 在中，， 在中，， 是的外角， ． 9.（2026·广东惠州·二模）如下图，在一些国旗和标志中，五角星是一种常见的图案．五角星还出现在一些宗教、文化和艺术的符号中，它也与黄金分割等数学原理相关．另外某些晶体、分子结构呈正五角星对称．若某化学分子结构为标准正五角星，五个尖角大小完全相同，则每个尖角的度数是_________． 【答案】/36度 【分析】连接，由题意得，五边形是正五边形，则，即可求解． 【详解】解：连接， 由题意得，五边形是正五边形，点以及点共线， ∴ ∴ ∴每个尖角的度数是． 10.（2026·广东河源·二模）广式彩色玻璃窗由中式传统木窗棂镶嵌彩色玻璃而成．图（1）是一款广式彩色玻璃窗，其图案由36个相同的五边形和9个相同的正方形组成，五边形部分镶嵌白色玻璃，正方形部分镶嵌浅蓝色玻璃，图（2）标注了其中一块五边形玻璃的尺寸，若，则图（1）需要用到的白色玻璃与浅蓝色玻璃的面积比为___________． 【答案】 【分析】观察图（1）可知，一个正方形由四个五边形组成，且具体数据标注如图（2），根据题意列出方程组求出、的值，正方形的边长由五边形的斜边对应关系可得，即正方形边长为斜边长，则求出单个正方形的面积，再利用割补法求出四个五边形的面积，据此求解即可． 【详解】解：数据标注如图所示： 由等腰三角形的性质可知，， 由题意得：， 解得：， ， 小正方形玻璃的边长为， 其中一块浅蓝色玻璃的面积为， 四块白色玻璃的面积为， 图（1）图案由36个相同的五边形和9个相同的正方形组成， 图（1）需要用到的白色玻璃与浅蓝色玻璃的面积比为． 11.（2026·广东·二模）一个多边形的内角和比它的外角和多，则这个多边形的边数是_______． 【答案】7 【分析】本题主要考查多边形内角和与外角和，掌握多边形内角和公式和外角和为是解题的关键．根据多边形的内角和公式以及外角和为建立一个关于边数的方程，解方程即可． 【详解】解：设多边形边数为n，根据题意得： ， 解得 ， 故答案为：7． 12.（2026·广东汕头·二模）如图，线段是一个正多边形的三条边，分别延长交于点M，若，则这个正多边形是______． 【答案】正八边形 【分析】根据正多边形的性质可知其外角相等，结合三角形内角和定理求出外角度数，再利用多边形外角和为即可求出边数． 【详解】解： 线段，，是一个正多边形的三条边， 该正多边形的每个外角都相等， ， ， 在中，， 该正多边形的边数为， 这个正多边形是正八边形． 平行四边形 考点02 1.（2026·广东广州·二模）如图，是的高，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可求解，再根据平行四边形的性质可解． 【详解】解：∵是的高，且， ∴， 在中，， ∴ ． 2.（2026·广东·二模）如图，在中，是延长线上的一点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形，邻补角．解题的关键是熟练掌握平行四边形性质，邻补角性质． 根据平行四边形对角相等，求出，再根据邻补角的定义求出即可． 【详解】解：∵中，， ∴， ∴． 故选：C． 3.（2026·广东东莞·二模）如图，中，点E，F分别是，边上的中点，连接，，．若是等腰直角三角形，，则的长是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】延长，交的延长线于点M，然后再结合已知条件证明，根据全等三角形的性质，求解即可． 【详解】解：延长，交的延长线于点M， ∵是边的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵F是边上的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴． 4.（2026·广东·二模）如图，在平行四边形中，点在边上，连接交于点，若，，则线段的长度为（   ） A．6 B．7 C．8 D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，根据平行四边形的性质可得，，即可证明，进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，则，， ∴． 故选：A． 5.（2026·广东广州·二模）如图，在中，延长至点E，使，连接与于点F，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，，得，，故． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． 6.（2026·广东深圳·二模）如图，已知的顶点A在函数（x＞0）的图象上，点B，C，D在坐标轴上，连接交BC于点E．若，，则k的值为（   ） A．4 B．8 C．10 D．14 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质， 结合三角形及平行四边形面积公式可得， 则设， 得到方程， 解得， 再根据反比例函数的几何意义得到， 即可求解． 【详解】解: ， ，， ， 设， ， ， ， ， ． 7.（2026·广东广州·二模）如图，在中，是边上一点，将沿着翻折至．已知，，，当，，三点共线时，则的长是___________． 【答案】6 【分析】作于点，由翻折得，，进而得到相关线段长，再由勾股定理求得，，根据即可求解． 【详解】解：作于点，则， 由翻折得，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ∵，， ， ， ， ， ， 的长为6． 8.（2026·广东广州·二模）如图，在中，，，，为边上的动点，平分，交于，过作于，连接，则的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理以及两点之间线段最短等知识.解题的关键是作辅助线构造直角三角形，将转化为，从而将的最小值转化为线段的长． 【详解】解：如图，过点作于点，连接，，过点作于点， 在中，，， ， ， ； 四边形是平行四边形， ，， ， ， ； 平分， ， ， ， ， ； ， 为的中点， ，，， ， 为的中点， ， 垂直平分， ， ， ， 当，，三点共线时， 取得最小值，最小值为的长， 在中，，， ， 的最小值为． 9.（2026·广东·二模）如图，在平行四边形中，，，将平行四边形绕顶点B顺时针旋转到平行四边形，当经过点C时，点到的距离为_________． 【答案】3 【分析】由平行四边形的性质可得，由旋转的性质可得，，，，由等边对等角并结合三角形内角和定理求出，作，交于点，由直角三角形的性质即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， 由旋转的性质可得：，，，， ∴， ∴， ∴， 如图，作，交于点， ， ∴，即当经过点C时，点到的距离为． 10.（2026·广东清远·二模）的周长是，一条中位线，另一条中位线，则第三条中位线的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出已知中位线对应的原三角形边长，再计算原三角形第三条边长，最后求出第三条中位线的长度． 【详解】解：∵三角形中位线长度等于对应第三边长度的一半，已知，， ∴对应的原三角形边长为，对应的原三角形边长为， ∵的周长是， ∴原三角形第三条边长为， ∴第三条中位线的长为． 11.（2026·广东广州·二模）如图，在中，是的中线，，分别是，的中点，连接，已知，则的长为______． 【答案】 【分析】利用三角形中位线的性质得 ，进而根据三角形中线的性质即可求解． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴ ， ∵是的中线， ∴． 12.（2026·广东茂名·二模）如图，A、B两点被一座山隔开，M、N分别是 、 中点，测量 的长度为 ，那么 的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形中位线定理即可求得 的长度． 【详解】解：∵ 、 分别是 、 中点， ∴ 是 的中位线， ∴ ， ∵ ， ∴ ； 故选：C． 13.（2026·广东东莞·二模）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点B，C都在格点上，点D，E分别是边，的中点，则线段DE的长为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】B 【分析】根据网格可知的长度，进而根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据网格可知，, ∵点D，E分别是边，的中点， ∴, ∴, ∴, ∴ ∴． 14.（2026·广东·二模）如图，在四边形中，点M是上动点，点N是上一定点，点E、F分别是、的中点，当点M从点A向点D移动时，下列结论一定正确的是（    ） A．线段EF的长度逐渐减小 B．线段EF的长度逐渐增大 C．线段EF的长度不改变 D．线段EF的长度不能确定 【答案】C 【分析】连接，可证，由此可解． 【详解】 解：连接， 是定点， 是定值， 点E、F分别是、的中点， ， 是定值． 故选：C． 15.（2026·广东深圳·二模）如图是的中位线，E是的中点，，则的值为______． 【答案】 【分析】先结合中位线的性质得，，，再根据中点的性质以及线段和差关系得，再证明，整理，得出，然后过点E作于点K，运用，证明为等腰直角三角形，再运用勾股定理列式计算得，，最后把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：设， ∵是的中位线， ∴，，， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． 如图，过点E作于点K， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 16.（2026·广东清远·二模）如图，四边形是平行四边形 (1)将平行四边形沿过点的直线翻折，使点落在边上点处，且边与重合．请用尺规作图法作出直线及点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）条件下，若，平行四边形的周长为24，求的长． 【答案】(1)解：如图，直线及点即为所作； (2) 【分析】（1）以点为圆心，为半径画弧，交于点，则；再作的平分线交于点，作直线即可； （2）由平行四边形的性质得，由作图得，可得，从而得，再根据平行四边形的性质可得． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是平行四边形， ， 由翻折得， ∴， ∵， ∴， ∵平行四边形的周长为24， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 17.（2026·广东·二模）如图，在中，E，F分别为的中点，连接 ． (1)求证：； (2)从条件“①，②”中任选一个作为已知条件，判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1) 证明：在中， ， ∴ ， ∵点E，F分别为的中点， ∴ ， ∴ ∵， ∴， ∴； (2) 解：由（1）知， ∵即， ∴四边形是平行四边形； ①当时，如图，则是等腰三角形， ∵点E为的中点， ∴，即 ， ∴四边形是矩形； ②当时，如图，则是直角三角形， ∵点E为的中点， ∴， ∴四边形是菱形． 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得 ，进而得到 ，结合，证明，即可证明结论； （2）由（1）易证四边形是平行四边形，选①，根据等腰三角形三线合一可得，即 ，可得四边形是矩形；选②，利用直角三角形的性质，可得，可得四边形是菱形． 【详解】（1）略 （2）略 18.（2026·广东惠州·二模）如图，在四边形中，，点在边上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形的面积是，则三角形的面积________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的性质等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）先由内错角相等得到，即可利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明； （2）此时与平行四边形共高，根据平行四边形和三角形的面积公式求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：过点作于，如图： ∴． 故答案为：． 19.（2026·广东汕头·一模）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，E为延长线上一点，且，F为延长线上一点，且，连接． (1)求证：； (2)已知_____（从以下两个条件中任选一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：平分． 【答案】(1)见解析 (2)选择①，四边形是矩形，理由见解析；选择②，四边形是菱形，理由见解析 【分析】（1）证明，即可； （2）根据矩形和菱形的判定，解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； （2）解：选择①，四边形是矩形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； 选择②，四边形是菱形，理由如下： 由（1）知：，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 20.（2026·广东清远·二模）已知：如图，在中，，分别是边，的中点，连接．，且，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，，求证：． 【答案】(1)证明：∵，分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴，． ∵，． ∴，． ∴四边形是平行四边形． (2)∵，． ∴是等边三角形． ∴． 由，分别是边，的中点，得． ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． ∴． 【分析】（1）根据中位线的性质得出，，然后结合题意及平行四边形的判定即可证明； （2）根据题意得出是等边三角形，再由中位线的性质确定，结合菱形的判定和性质即可证明 【详解】（1）略 （2）略 矩形 考点03 1.（2026·广东广州·二模）如图，将绕着点旋转得到，连接、，下列选项中不能判定四边形为矩形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质和平行四边形的判定定理得出四边形是平行四边形，结合矩形和菱形的判定定理逐项分析即可求解． 【详解】解：∵将绕着点旋转得到， ∴，， ∴四边形是平行四边形， A、若添加， 在平行四边形中，， ∴平行四边形为矩形，故A选项不符合题意； B、若添加， ∵，，， ∴， 即， 在平行四边形中，， ∴平行四边形为矩形，故B选项不符合题意； C、若添加， 在平行四边形中，， ∴平行四边形为菱形，故C选项符合题意； D、若添加， 在平行四边形中，， ∴， 故， 在平行四边形中，， ∴平行四边形为矩形，故D选项不符合题意． 2.（2026·广东深圳·二模）如图，在中，，相交于点，下列条件不能判定为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的判定方法，有一个角为直角的平行四边形为矩形，对角线相等的平行四边形为矩形，进行逐项分析即可判断． 【详解】解：A、根据一个角为直角的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； B、根据对角线相等的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； C、在中，可以得到，根据对角线相等的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； D、根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形，可以得到为菱形，不能判定为矩形，符合题意． 3.（2026·广东广州·二模）如图，在正方形中，点是边上一点．将以点为中心，逆时针旋转，得到（点的对应点为），连接交于点，且．若，则的长为______． 【答案】 【分析】过作交于，根据已知证明，由等角对等边可得，再由三线合一得到，证明四边形为矩形，进而可得，由旋转可得，，设，再证，则，列式计算即可求解． 【详解】过作交于， ，， ， ， ， ，， 四边形为正方形， ，，， 四边形为矩形， ， 将以点为中心，逆时针旋转，得到， ，， 设，则，， ， ， ， ， ， ，即， 整理得， 解得（负值已舍去）， 即的长为． 4.（2026·广东清远·二模）如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上．若直线且间距相等，交直线于点，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由矩形的性质得出，，根据平行线分线段成比例定理，可得 ，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， ∵四边形是矩形， ∴，． ∵， ， ∴． ． 5.（2026·广东·二模）如图，在矩形中，点是边上一点，连接，过作于点，若，，，则矩形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质及正弦的定义得，继而得到，如图，过作于点，则，推出，得，根据等腰三角形三线合一得，求得，可得答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 如图，过作于点，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴， ∴矩形的面积是． 故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形的相关计算，矩形的性质，等腰三角形三线合一性质等知识点，掌握锐角三角函数的定义、通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 6.（2026·广东·二模）将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则________． 【答案】 【分析】本题考查矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，先根据勾股定理求出，然后证明，得到，，即可得到，，然后在中，利用解题即可． 【详解】解：在中，， 由折叠可得，， 又∵是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得：， 故答案为． 7.（2026·广东广州·二模）如图，折叠矩形的一边，使点D落在边的点F处，已知折痕，且． （1）矩形的面积是_______； （2）作与四边形各边都相切的，点P在上运动，则的最小值是_______． 【答案】 / 【分析】（1）根据矩形和折叠的性质得到，利用同角的余角相等推出，结合设未知数表示各边长度，再在中利用勾股定理列方程求解矩形的长和宽，进而计算矩形的面积； （2）作与、分别相切于点、，证明四边形是正方形，利用求出内切圆的半径，再求出的长度，再在上取点构造，将转化为，把所求式子转化为，根据两点之间线段最短确定最小值为，最后作，利用求出和的长度，再用勾股定理求出，进而得到所求式子的最小值． 【详解】解：（1）在矩形中，，，， 由折叠可知 ，则，，， ， 又， ， ， 在中，， 设，，则 ， ，， 在中，， ，， ， 在中，， 即，解得 （负值舍去）， ，， ∴矩形的面积为； （2）如图，设与、相切于点、，连接、，设的半径为，则，，， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴，即， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， 连接，在上取点，使，则，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴当、、三点共线时，取得最小值， 过点作于点N，则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 8.（2026·广东广州·二模）如图，在矩形中，两条对角线与相交于点，，，求的长． 【答案】8 【分析】根据矩形的性质，结合勾股定理进行求解即可. 【详解】解：∵在矩形中，两条对角线与相交于点，，， ∴， ∴. 9.（2026·广东广州·二模）如图，在矩形中，对角线与相交于点O． (1)尺规作图：作点O关于的对称点E（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）所作的图中，连接，，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)如图，点E即为所求： (2)证明：∵在矩形中，对角线与相交于点O， ∴， 由作图可知，， ∴， ∴四边形是菱形． 【分析】（1）分别以B、C为圆心，的长为半径作弧，两弧在的下方交于一点，即为点E； （2）根据矩形的性质得，由作图可知，则，即可证明四边形是菱形． 【详解】（1）略 （2）略 10.（2026·广东中山·二模）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作且，连接交OD于点F，连接OE、CE． (1)求证：四边形为矩形； (2)已知，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形． (2) 【分析】（1）根据菱形的性质得出，，可得，根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，结合矩形的判定定理即可证明； （2）根据平行四边形的判定和性质得出，根据矩形的性质得出，，，求得，根据菱形的性质得出，根据勾股定理求出，，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴； ∵四边形为矩形，， ∴，，， 故； 又∵四边形是菱形，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 故． 菱形 考点04 1.（2026·广东深圳·二模）如图，城市道路上的“人行横道预告标线”为白色菱形图案．根据国家标准《道路交通标志和标线》的规定，菱形的标准尺寸是：横向宽度为，纵向长度为，则菱形的边长是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由菱形的性质推出，，，由勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：连接、交于， 四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， ， ， 2.（2026·广东·二模）如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，若，则四边形的周长为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】证明四边形是菱形，根据菱形的性质求解即可． 【详解】解：∵在四边形中，对角线与互相垂直平分， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴四边形的周长为． 3.（2026·广东深圳·二模）小馨同学按如下步骤作四边形；（1）画；（2）以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；（3）分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接，，．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：作图可得， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴． 4.（2026·广东东莞·二模）如图，菱形的对角线，，交点为O，点F在上，且，过点F作交于点E．则的面积为（     ） A．5 B．4 C．3 D．8 【答案】B 【分析】根据菱形的性质求出菱形的面积及的面积，由及菱形对角线互相平分求出与的比值，再证明，利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：菱形的对角线，， 菱形的面积， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 5.（2026·广东广州·二模）如图，，是上的两点，为劣弧的中点，，若，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，交于点，根据弦、弧、圆心角的关系得出和为等边三角形，进而得出四边形是菱形，根据菱形的性质，结合勾股定理分别求出、的长，利用菱形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，连接，交于点， ∵为劣弧的中点， ∴， ∵， ∴垂直平分，， ∵， ∴， ∵， ∴和为等边三角形， ∴，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 6.（2026·广东珠海·二模）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，为上一点，连接，，则的最小值等于_____． 【答案】3 【分析】解决本题的关键是正确添加辅助线，作点关于直线的对称点，连接．通过菱形的性质，和对称的性质，可知是等边三角形，是边的中线和高，点、关于对称，的最小值即为线段的长． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，点关于直线的对称点为点，连接． ∵四边形是菱形，，，， ∴是等边三角形，平分， ∴ ，， ∵点、关于直线对称， ∴，且被平分， ∴， 在中，，，， ∴是等边三角形， ∵点是的中点，点是点关于的对称点， ∴点是线段的中点， ∴，的最小值即为线段的长， ∵， ∴， ∴， ， 三点共线， 在等边中，是边的中线和高， ∴． 7.（2026·广东东莞·二模）如图，在菱形中，，，将菱形绕点A逆时针方向旋转得到菱形，点E在上，与交于点P，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接交于点O，由菱形的性质及勾股定理求得的长，由旋转的性质求得的长，再在中求得，从而可求解． 【详解】解：如图，连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 由勾股定理得， 由旋转的性质得， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴由勾股定理得， ∴． 8.（2026·广东深圳·二模）如图，点在双曲线上，连接，交双曲线于点，点为轴上一点，四边形为菱形，若四边形的面积是，则________． 【答案】 【分析】连接交轴于点，过点作轴于，可得，进而，可得，再结合四边形为菱形，得到，根据四边形的面积是，得出，继而得出，最后求出值. 【详解】解：连接交轴于点，过点作轴于， ∵四边形为菱形， ∴轴，， ∴， ∴， ∵点在双曲线上， ∴， ∵双曲线于点， ∴， ∴，即：， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵四边形的面积是， ∴， ∵， ∴即：. 9.（2026·广东广州·二模）如图，菱形中，，，点为的中点，点为上一动点，连接，作且 面积恒为． （1）若，则__________； （2）连接，，则面积的最小值为__________． 【答案】 2 【分析】（1）连接 ，过点作于，过点作 于，求出相关线段与角度，进而得 ，再由 的面积得到，据此计算即可求解； （2）设的中点为，连接 ，进而得，从而根据和相似得到，设 的中点为，连接，则，确定点的轨迹，据此计算即可求解． 【详解】解：（1）连接 ，过点作于，过点作 于，如图1所示：    在菱形中，， ，点为的中点， ，，， 在中， ， ， ，， ，， ， 在中，，， ， ， ，， ，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ∵， ∴； （2）设的中点为，连接 ，如图2所示：   ， ， ，即， 又， ， ， ， ， 设 的中点为，连接，则， 在点的运动过程中，点始终在以点为圆心，以为半径的圆上运动，如图3所示： ∵，， ∴当点与点重合时，最小， ∴的面积取得最小值，最小值为． 10.（2026·广东·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图象上，点D的坐标为． (1)求k的值． (2)设点M在反比例函数图象上，连接，若的面积与菱形的面积相等，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作轴的垂线，垂足为，由点的坐标，利用勾股定理可求出的长，利用菱形的性质可得出的长，可得，，三点共线，进而可得出点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出的值； （2）由（1）可知，根据点D坐标及的长可得菱形的面积，设点M的坐标为，根据的面积与菱形面积相等列方程求出a值即可得答案． 【详解】（1）解：过点作轴的垂线，垂足为，则，如图所示． 点的坐标为， ，， ． 四边形为菱形， ，， ，，三点共线， 点坐标为． 点在反比例函数的图象上， ； （2）解：由（1）知，点A的坐标为， ∴ ∴． 设点M的坐标为，且， ∴， ∵的面积与菱形的面积相等， ∴， 解得或（舍去）， ∴点M的坐标为． 11.（2026·广东梅州·二模）如图，四边形是菱形，B是的中点，连接交于点M． (1)求证：． (2)连接，若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵B是的中点， ∴ ∴ ∴， ∴； (2) 【分析】（1）通过菱形的性质证明即可； （2）先得到是直角三角形，然后根据斜边中线的性质得到，，再由勾股定理求解，最后根据全等三角形得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵菱形中，，， 又∵， ∴， ∵B是的中点， ∴ ∴， ∴， 由（1）得， ∴． 正方形 考点05 1.（2026·广东深圳·二模）如图，已知正方形的边长为，对角线，交于点O，将向右平移得到，则四边形的周长为______． 【答案】4 【分析】根据正方形的性质得到，，，，根据勾股定理求出，根据平移的性质得到，即可求出四边形的周长． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∵将向右平移得到， ∴， ∴四边形的周长为4． 2.（2026·广东深圳·二模）如图，在正方形中，，将点折叠到边上的点处，折痕为，若，则______． 【答案】 【分析】将四边形沿折叠使重合得到四边形，交于，通过论证及，可得，则可求. 【详解】解：将四边形沿折叠使重合得到四边形，交于， ∵正方形中，， ∴由折叠可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴即：， ∴. 3.（2026·广东东莞·二模）如图，正方形的边长为3，点在的延长线上，以为边，在上方构造正方形，连接与，分别交于点和点．若，则的面积是________． 【答案】 【分析】长交于点,证明，根据相似三角形的性质可知，进而根据面积公式即可求解． 【详解】解：延长交于点, ∵四边形和四边形是正方形， ∴, ∴, ∴ ∴四边形是矩形， ∴, ∵, ∴, ∴， ∴, ∴ 解得：, ． 4.（2026·广东佛山·一模）如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正方形及线段旋转的性质，得到；通过作，结合等腰三角形性质得，再通过角的互余关系推得，用证明，得出；设，则，在中用勾股定理求得，最后根据余弦定义算出． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵线段绕点旋转得到， ∴， ∴， 如图，过点作于点， 在中，，且， ∴， ∵，即， 在中，， ∴， ∴ ， 在和中： ， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理： 在中，根据余弦的定义：， ∵，， ∴． 5.（2026·广东广州·二模）如图，已知四边形是边长为的正方形，为上一点，且，为射线上一动点，过点作于点，交直线于点．当时， ______；在点运动过程中， 的最小值为________． 【答案】 【分析】过点作交于点，先证，根据全等三角形的性质结合已知条件，得到，在中，运用勾股定理，求得；取的中点，过点作交于点，连接，由可知点在以为直径，点为圆心的圆上，作出，并设与交于点，连接，由，可得当点与点重合时，有最小值，最小值为的长，然后运用勾股定理求出和的长，最后求得的长． 【详解】如图1，过点作交于点． 四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ， ， ． ，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形， ，， ，， ． 在和中， ， ， ， 在中，； 如图2，取的中点，过点作交于点，连接． ， ， 点在以为直径，点为圆心的圆上，作出，并设与交于点，连接， ， 当点与点重合时，有最小值，最小值为的长． 点为的中点，， ， ，， ． 四边形是正方形， ， ， ， 在中，． 在中，， 的半径为， ， ， 即的最小值为． 6.（2026·广东广州·二模）如图，正方形的边长为，为边上一动点，连接、，以为边向右侧作正方形．连接，则面积的最大值为________． 【答案】 【分析】过点F作，交的延长线于点N，设，则，设的面积为y，根据题意，得，根据二次函数的性质求解即可； 【详解】解：过点F作，交的延长线于点N， ∵正方形的边长为4， 四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 设的面积为y， 根据题意，得， ∵， ∴y有最大值，且当时，取得最大值，且为， 故面积的最大值为2． 7.（2026·广东广州·二模）如图，在正方形中，，点为边上的一个动点，连接，，点为外接圆的圆心．在点从点运动到点的过程中，下列说法正确的是________．（填序号） ①在点运动的过程中，的面积不发生变化； ②外接圆的最大半径为； ③外接圆的最小半径为； ④点运动的路径长为． 【答案】①②④ 【分析】利用三角形面积公式计算可判断说法①正确；当点与点或点重合时，外接圆的半径最大，据此计算可判断说法②正确；作于点，作于点，当共线时，外接圆的半径最小，据此计算可判断说法③错误；连接交于点，则点在点和点之间运动，则运动路径长为，据此计算可判断说法④正确． 【详解】解：∵， ∴在点运动的过程中，的面积不发生变化，说法①正确； 当点与点或点重合时，外接圆的半径最大，此时直径为， ∴外接圆的最大半径为，说法②正确； ∵外接圆的圆心在线段的垂线平分线上，作于点，作于点，如图， ∴， ∴当共线时，外接圆的半径最小， 如图，此时设，，， 在中，由勾股定理得， 解得，即外接圆的最小半径为，说法③错误； 连接交于点， ∴点在点和点之间运动，则运动路径长为， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点运动的路径长为，说法④正确． 8.（2026·广东广州·二模）如图，是正方形的对角线，点，分别是，边的中点，作点关于的对称点，连接，，，，交于点，延长交于点．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有______．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】根据正方形的性质可证，可以证明，根据全等三角形的性质可证，根据对称的性质可证；根据可得，从而可证，可得；根据正方形的性质可证，根据相似三角形的性质可证，根据正方形的性质可以求出，因为点，关于对称，可得，，三点共线，根据点是的中点，可以求出；连接，可证，根据全等三角形的性质可知，根据对称性质可知． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 点，分别是，边的中点， ， ， ， 点，关于对称， ， ， 故①正确； 如下图所示，记交于点H， 由①知， ， ， ， ， ， 故②正确； 四边形是正方形， ， ，， ， ， ， 是正方形的对角线， ， ， 点，关于对称， ，， ，，三点共线， 点是的中点， ， ， ， ， 故③错误； 如下图所示，连接， 四边形是正方形， ，， 又， ， ，， 由①知， ， 点，关于对称， ， ， 又，， ， ， ，故④正确； 综上所述，正确的结论序号为①②④． 9.（2026·广东广州·二模）如图，正方形和正方形边长分别为和，正方形绕点旋转． （1）________； （2）用和的代数式表示：________． 【答案】 / / 【分析】（1）根据正方形的性质可证，，，利用可证，根据全等三角形的性质可证； （2）根据可知，可证，根据勾股定理可知，根据，，可得． 【详解】（1）解：四边形和四边形是正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：如下图所示，连接，，设与交于点M ， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， ． 10.（2026·广东广州·二模）如图，在正方形中，点E，F分别在，边上，且． 求证：． 【答案】见解析 【分析】利用正方形的性质即可得到结论 【详解】证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 11.（2026·广东珠海·二模）如图1，在等腰Rt中，点为斜边的中点，以点为顶点作直角交，于点，点，连接，相交于点． (1)求证：； (2)当时，求的值； (3)如图2，以为边在右侧作正方形，连接，若的面积为8，求的长． 【答案】(1) 证明：∵在等腰Rt中，点为斜边的中点，以点为顶点作直角交，于点，点， ∴，，，，， ∴，即， ∴， ∴. (2) (3) 【分析】（1）证明即可. （2）证明，，可得. （3）如图，过作于，证明，，可得，，再进一步求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. （3）解：如图，过作于， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 同理可得：， ∴， ∴，， ∵的面积为8， ∴， ∴， ∴. 12.（2026·广东广州·二模）如图，点是边长为2的正方形的边上一动点（不与，重合），和关于直线对称，连接交射线于点． (1)当点在对角线上时，求的度数； (2)求证：； (3)若点在上，且，当最大时，求的长度． 【答案】(1) (2)证明：连接，与交于点，如图， ∵折叠， ∴，， ∵正方形，边长为2， ∴，，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； (3)2 【分析】（1）根据正方形的性质，折叠的性质，推出为等腰直角三角形，得到，邻补角求出的度数即可； （2）连接，与交于点，倒角证明，得到，再证明，得到，进而得到，再根据折叠可知，等量代换即可得出结论； （3）作，连接，证明，得到，进而得到点在以为直径的圆上运动，取的中点，连接，得到当与相切时，最大，证明也是的切线，根据切线长定理，即可得出结果. 【详解】（1）解：∵正方形， ∴，， ∵折叠， ∴， ∵点在对角线上， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）略 （3）解：作，连接，则， ∴， 由（2）可知，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴又∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， 取的中点，连接， ∴当与相切时，最大，如图， ∵为的半径， ∴也是的切线， ∴. 四边形中的综合 考点06 1.（2026·广东清远·二模）如图，在平行四边形中，点在对角线上，且，连接并延长，交于点，点在上，连接，，且，平分交于点，交于点，连接． (1)【初步感知】求证：； (2)【深入探究】若为中点，且，，求的长； (3)【拓展延伸】若为的平分线，且，求的值．（直接写出答案） 【答案】(1)证明：∵平分，， ∴，， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】（1）证出，根据可证明； （2）证明，得出，则可得出答案； （3）证明，得出，设，则，证明，得出，得出，则可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵为中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 在平行四边形中，， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴； （3）解：由（2）得， 设，则， ∴， ∵为的平分线，四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2.（2026·广东清远·二模）【探究与证明】——图形的旋转． 【问题情境】如图1，在矩形中，，，将边绕点逆时针旋转得到线段，过点作交直线于点． 【猜想证明】从特殊到一般． (1)当时，四边形的形状为____________；（直接写出答案） (2)如图2，当时，连接，求此时的面积； (3)是否存在，使点、、三点共线？若存在，请求出此时线段的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)正方形 (2) (3)存在，或 【分析】（1）当时，由旋转性质得，．结合、矩形中，可知四边形有三个内角为直角，是矩形；又邻边，即可判断四边形为正方形； （2）过点作于．由旋转得，，故，为等腰直角三角形，由勾股定理得．已知，则可得的面积； （3）存在两种情况：点在线段上、点在的延长线上．连接，由可证，得．在中，由勾股定理得．设，在中根据勾股定理列方程，两种情况分别解得或． 【详解】（1）解：如图1， 四边形是矩形， ， 将边绕点逆时针旋转得到线段， ，，， ， 四边形是矩形， ∵， 矩形是正方形； （2）解：如图2，作于G， ，， ， ， ， ， ， ， （负值舍去）， ； （3）解：如图3，当点在上时，连接， ，，， ， ， 设，则， 由旋转得：， ， ， ， ， 在中， 解得， ； 如图4，当点在的延长线上时， 同理可得，，， 设，则，， 解得， ， 综上所述，或． 3.（2026·广东汕头·二模）在矩形中，，．将矩形绕点A逆时针旋转得到矩形，点B的对应点为点E，点C的对应点为点F，点D的对应点为点G，的延长线交于点H． (1)如图1，求证：； (2)连接，连接并延长交于点P． ①如图2，求证：平分； ②如图3，连接，交于点Q，若平分的面积，求的长． 【答案】(1)证明：连接， 将矩形绕点A逆时针旋转得到矩形，， ，． ， ． ； (2)①证明：如图2，过点C作交的延长线于点M， ． ， ． 又， ． ． 将矩形绕点A逆时针旋转得到矩形， ． ． 又， ． ． 平分； ② 【分析】（1）利用“”证明即可； （2）①利用等腰三角形的判定和性质，得出，再结合旋转的性质，证明即可； ②连接、，根据旋转和三线合一的性质可得，再证明，得到，根据三角形面积平分，得出，进而求出，． 【详解】（1）证明：略 （2）解：①略； ②如图，连接、， 将矩形绕点A逆时针旋转得到矩形， ，，． ， ． ． ， ． ． 平分的面积， ． 在中，． ． ． 4.（2026·广东河源·二模）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点分别在轴、轴上，反比例函数的图象分别与矩形的边相交于点． (1)如图1，若． ①点的坐标是 ； ②当为线段的中点时，连接．探究是否为直角三角形，并证明． (2)如图2，连接，过点作，交于点，连接．当时，探究点是否分别为线段的黄金分割点，并证明． 【答案】(1)①；②是直角三角形． 证明：∵四边形是矩形，点分别在轴、轴上， ． 为线段的中点， ． ． ． 把代入，得． 解得． ∴反比例函数的表达式为． 点的横坐标为4． 当时， ． ． ． ． 是直角三角形． (2)点分别为线段的黄金分割点． 证明：∵四边形是矩形， ． 设，则． ． 四边形为矩形． ． ． ． 又 ． ． ． 解得（负值已舍去） ． 点分别为线段的黄金分割点． 【分析】（1）①根据矩形的性质分别求出，可得答案； ②先根据已知条件求出点，再求出反比例函数的表达式为，再求出点，可得，然后根据勾股定理逆定理说明即可； （2）根据矩形的性质设，则，进而得出，由四边形为矩形可得，然后说明 ，可得，将数值代入求出，最后根据解答即可． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形，且， ∴， ∴点； ②略 （2）略 5.（2026·广东深圳·二模）【问题情境】数学兴趣小组以矩形纸片为基本图形，探索几何图形折叠变化中的数学问题，其中，． 【特例探究】 (1)如图1：小坪对矩形进行折叠，使得和重合，折痕分别交和于、，点的对应点是，连接． ①根据轴对称性质： 对应点的连线被对称轴垂直且平分 是的垂直平分线 ②请探究和的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 (2)①如图2：小山沿着过点的直线折叠，使得点的对应点恰好在的延长线上，折痕交于，点的对应点为，求线段的长． ②小深沿着与图中平行的直线折叠矩形，折痕分别交、于、，点和点的对应点分别是和．请你借助图分析，当是等腰三角形时，直接写出折痕的长度． 【答案】(1)① ；②相等，见解析 (2)①；②，， 【分析】（1）①根据垂直平分线的性质即可求解； ②证明，即可求解． （2）①根据折叠可得，，且，分别解，，得出，即可求解． ②根据折叠可得，垂直平分，，分三种情况讨论，，，分别求解即可． 【详解】（1）解：①根据轴对称性质： 对应点的连线被对称轴垂直且平分 是的垂直平分线 ②∵四边形是矩形 ， 沿折叠后与重合， ∴，；；， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：①∵沿折叠后落在的延长线处 ∴ ，，且， ∵四边形是矩形， ， 又在中，，由勾股定理可知， ； ； 在中，； ； ， 解：②折痕的长度为，，； 折叠过程中，延长、相交于，则四边形为矩形， 根据折叠可得，垂直平分，， ，，，四点共线，， 情形一：当时，在中，；， ∵ 由①可得：， ∴ 情形二：时，过点作交于点， ∴， 由①可得 ∴， ∴； 则 ∴ 情形三：，则 ∴ 综上所述，当是等腰三角形时，折痕的长度为，，． 6.（2026·广东广州·二模）定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫做菱形的折中线．例如，如图，在菱形中，E是的中点，连接，，则折线叫做菱形的折中线，折线的长叫做折中线的长． 已知，在菱形中，，E是的中点，连接，． (1)已知，折中线的长为，求的长； (2)如图，若，求折中线的长（用含a的式子表示）； (3)若，且折中线中的或与菱形的一条对角线相等，求折中线的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据菱形的折中线的定义，即可求解； （2）连接，先证明是等边三角形，可得，可根据勾股定理及解直角三角形的知识求出和的长，即得答案； （3）由已知得折中线中的或只能与菱形中较短的对角线相等，再将4种情况整合成两种求解： 当时，过点B作于点G，过点E作，交的延长线于点F，根据等腰三角形及直角三角形的性质，即可逐步求出和的长，即得答案； 当时，过点D作，交的延长线于点F，先证明四边形是平行四边形，然后证明，可求得，再通过相似三角形的判定与性质，求得的长，即得答案． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：连接， 四边形是菱形， ，， ， 是等边三角形， ， 是的中点， ， ， ， ， ， 折中线的长为； （3）解：由已知得折中线中的或只能与菱形中较短的对角线相等， 所以①当为较短对角线时，只有，成立； ②当为较短对角线时，只有，成立； 两种情况类似，只需讨论一种即可， 下面以①为例，当为较短对角线时： 如图，当时，过点B作于点G，过点E作，交的延长线于点F， 四边形是菱形， ，， 是的中点， ， ，， ，， 四边形是矩形 ， 折中线的长为； 如图，当时，过点D作，交的延长线于点F， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 折中线的长为； 综上所述，折中线的长为或． 【点睛】合理进行分类讨论，可以理清解题的脉络，同时要重视全等三角形和相似三角形的判定与性质在解题中的运用． 7.（2026·广东肇庆·二模）定义：如题图1，点，把线段分割成，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点． (1)已知点，是线段的勾股分割点，若，，求的长． (2)如图2，在菱形中，点、分别在、上，，，、分别交于点，．求证：，是线段的勾股分割点． 【答案】(1)3或5 (2)∵四边形是菱形， ，，， 设， ，， ， ∴ ，即， ，则， ， ∴ ，即 ，则， ， ， ， ， ， 、N是线段的勾股分割点 【分析】（1）设，则，分类讨论：①当是斜边时，②当是斜边时，③当是斜边时，根据勾股定理进行计算即可求解． （2）菱形的性质，设，根据，，得出，进而根据相似三角形的性质得，，进而根据勾股定理的逆定理进行验证，即可求解． 【详解】（1）解，， ， 设，则， ①当是斜边时，， ，整理得， ， 原方程无解，即不是斜边； ②当是斜边时，， ， 解得，， ； ③当是斜边时，， ， 解得，， ； 的长为3或5； （2）略 8.（2026·广东广州·二模）菱形的边长为，，点是边上的动点，作点关于的对称点，连接并延长交线段于． (1)如图，当点刚好落在菱形对角线上时，请直接写出：锐角的形状是 三角形，的度数是 ． (2)如图，当点在边上运动，求线段长度的取值范围． (3)如图，延长交于，若，求的长． 【答案】(1)等腰；60； (2) (3)2 【分析】（1）根据菱形的性质得出，，再由轴对称的性质确定，即可确定三角形形状；利用等腰三角形的性质得出，结合轴对称的性质及三角形内角和定理即可得出结果； （2）根据菱形的性质及等边三角形的判定和性质得出为等边三角形，连接，确定，然后解三角形得出，设，得出，确定为定值，为定长，以为底边在下方作顶角为的等腰，过点O作，得出点P在以O为圆心，为半径的圆弧上运动，得出点O在上，找出两个极限情况：当点M、C重合时，当点M、B重合时，结合图形分别求解即可； （3）过点A作于K，连接， 设，得出，设，确定，设，利用相似三角形的判定和性质得出，，，，代入求解即可． 【详解】（1）∵菱形，， ∴，， ∴， ∵菱形对角线 ∴， ∵点关于的对称点， ∴， ∴， ∴锐角的形状是等腰三角形； ∵，， ∴， ∵点关于的对称点， ∴， ∴， ∴， （2）连接，如图所示： ∵菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 由折叠得， ∴， ∴， ∴为定值，为定长， 以为底边在下方作顶角为的等腰， ∴， 过点O作， ∴ ∴， ∴点P在以O为圆心，为半径的圆弧上运动， ∵， ∴点O在上， 当点M、C重合时，P在上的点E处，，此时D、N重合，不符合题意； 当点M、B重合时，P、B重合，，点M由C运动到B的过程中，点P在劣弧上由E到B，的长度逐渐增大， ； （3）过点A作于K，连接，如图所示：    ∴设， ∴， 设. 在中， 由（2）得， ∴， ∵， ，， ∴， 设， 由（2）得，  ， ∴， ， ∵， ∴， ， ， (舍去)， ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ． 9.（2026·广东广州·二模）如图，菱形中，，，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．点是边上任意一点（点不与点，重合）． (1)求证：； (2)如图，连接交于点，连接，过点作，交于点．求的值； (3)如图，点在边上，且满足，连接．过点作，交直线于点，连接．当点在边上运动时，求线段的取值范围． 【答案】(1)证明：四边形是菱形， ， ，， 为中点， ， ， (2)； (3)． 【分析】由四边形是菱形，则，所以，，又为中点，所以，然后通过“”即可证明； 连接交于点，由知，所以，然后证明，所以，再证明，通过相似三角形的性质即可求解； 连接交于点，证明，所以，证明为等边三角形，所以，则有，又，可得点在以为直径的上运动，其中，因为点是边上任意一点（点不与点，重合），所以当点位于点处时，点于点重合，当点位于点处时，点满足，即位于图中的处，则有点的运动轨迹为图中的，根据，则当，，三点共线时，取得最大值，连接交于点，则，所以，求得，，则，所以，又当时，取得最小值，作交于点，求得，，所以，从而可得． 【详解】（1）略； （2）解：如图，连接交于点， 由， ， 在菱形中，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，连接交于点， ， ， ， 在菱形中，，， 为等边三角形， ， ， ， ， 如图，点在以为直径的上运动， 其中， 点是边上任意一点（点不与点，重合）， 当点位于点处时，点于点重合； 当点位于点处时，点满足，即位于图中的处， 点的运动轨迹为图中的， ， 当，，三点共线时，取得最大值， 如图，连接交于点，则， ， ，， ， ， 当时，取得最小值， 如图，作交于点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 点是边上任意一点（点不与点，重合）， ， ， 线段的取值范围． 10.（2026·广东肇庆·二模）定义：菱形、矩形与正方形的形状有共性，我们将菱形、矩形与正方形的相近程度称为菱形或矩形的“相近度”． (1)如图1，菱形的边长为2，设菱形的对角线的长分别为m，n，我们将菱形的“相近度”用表示，即“相近度”，若，求该菱形的“相近度”； (2)如图2，已知矩形的对角线相交于点O，设的长分别为m，n（），我们将矩形的“相近度”用表示，即“相近度”． ①若，求该矩形的“相近度”； ②如图3，矩形的顶点分别在反比例函数和的图象上，轴，点D的横坐标为3，当矩形的“相近度”为1时，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用菱形的性质可得是等边三角形，再根据等边三角形的性质计算即可； （2）①先求得，在上取一点E，使，连接，进而可证，再计算“相近度”即可； ②根据矩形的“相近度”为1，可得四边形是正方形，设，，再得到的坐标，结合都在反比例函数的图象上，进而得到，再代入求即可． 【详解】（1）解：在菱形中，，，，， 是等边三角形，， ， ， 在中， ， ， ， 即该菱形的“相近度”为； （2）①， ，， 如图，在上取一点E，使，连接， 则， ， ， ， 在中，， ， ， ， ，即该矩形的“相近度”为；               ②如图，连接交于点E，延长交x轴于点F， ∵矩形的“相近度”为1，即， ， ∴四边形是正方形， ， 设，， 轴， ． 都在反比例函数的图象上， ， 解得． ， ， ． 在反比例函数的图象上， 在反比例函数的图象上， ， ． 11.（2026·广东茂名·二模）综合与探究 (1)如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，且， ①求证：； ②若， ，连接，求的度数； (2)【类比探究】如图2，在矩形中，， ，，点E，F分别在边，上，且，求的值； (3)【类比探究】如图3，在中， ， ， ，D为上一点，且，连接，过点B作交于点F，交于点E，求的长． 【答案】(1)①证明：如图，设与相交于点P， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②． (2) (3) 【分析】（1）①利用正方形的性质可得，再证明，由“”即可证明结论；②如图：连接，根据正方形的性质易得，进而求出，由①中可得，易证，再结合以及三角形内角和定理求解即可； （2）由矩形的性质以及勾股定理可得，通证明，再利用相似三角形的性质求解即可； （3）如图：过点A作的垂线，过点C作的垂线，两垂线交于点G，延长交于点H，利用勾股定理求得，根据（2）知，求得，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）①略； ②解：如图：连接， ∵四边形是正方形，， ， ∴， ∴， 由①知， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵在矩形中，，， ∴，，， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：． （3）解：如图：过点A作的垂线，过点C作的垂线，两垂线交于点G，延长交于点H， ∴， ∵， ∴四边形是矩形． ∵ ，， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，解得：． 12.（2026·广东东莞·二模）定义：如果平行四边形的两条对角线夹角等于它的一个内角，称这个平行四边形为“对等角平行四边形”，这组相等的角称为“对等角”．如图1，在平行四边形中，对角线与交于点O．若等于平行四边形的一个内角，则称平行四边形为“对等角平行四边形”，和称为“对等角”． (1)【定义理解】下列平行四边形中，一定是“对等角平行四边形”的有______（填序号）． ①有一个内角为的平行四边形        ②矩形        ③菱形        ④正方形 (2)【性质探究】如图2，在对等角平行四边形中，，于点E． ①求的值； ②若，，求的长． (3)【拓展应用】如图3，已知E为线段上一点，，，过点E做射线，D为射线上一点，若四边形为对等角平行四边形，连接，将沿翻折得到，若直线与对等角平行四边形的另一边相交于点P，求的长． 【答案】(1)④ (2)①；② (3)或 【分析】（1）根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质，结合新定义，进行判断即可； （2）①证明，得到，结合平行四边形的性质，得到，，进而推出，，即可得出结论； ②设，则，勾股定理得到，求出的值，即可得出结果； （3）分两种情况，结合平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：有一个内角为的平行四边形，无法保证夹角等于60度，不符合题意； 矩形的一个内角为90度，对角线相等，不垂直，夹角不等于90度，不符合题意； 菱形的对角线垂直，夹角为90度，菱形的内角不等于90度，不符合题意； 正方形的一个内角为90度，且对角线垂直，夹角也为90度，符合题意； （2）解：①∵，， ∴， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴； ②由①可知，，， ∴设，则， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． ∴； （3）解：∵，， ∴， 第一种情况：当时，如图： ∵在平行四边形ABCD中，， 由（2）①可知：， ∴， ∵， ∴∽， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∵折叠，∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，设，则， 由勾股定理，得：，解得， ∴； 第二种情况：当时，如图： 在平行四边形中，，， 同理可证：， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∴在中，设，则， 由勾股定理，得，解得． ∴， ∵， ∴∽， ∴， ∴． 13.2026·广东深圳·二模）【特例研究】在正方形中，，相交于点O． (1)如图1，可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为______，k的值为______； 【类比探究】 (2)如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为，并放大得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上，若，求线段的长度； 【拓展延伸】 (3)如图3，在菱形中，，O是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转，旋转角为，并缩放得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上．求的值．（用含的式子表示） 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）利用正方形的性质结合旋转的性质求解即可； （2）由题意得，推出，，再得到 ，推出根据正方形的性质求解即可； （3）同理可证，，，根据求解即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， 旋转角为，； （2）解：如图， 由题意得：， ，， ，， ，∴． ，， ， ． ， ． （3）过点O作于点G， 由题意得：， ，， ，， ，∴． 在菱形中，， ． O是的垂直平分线与的交点， ， ，， ，． ， ， ． 14.（2026·广东珠海·二模）根据题意，回答以下各题 (1)【教材再现】如图①，在正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且．求证：，； (2)【纵向探变】如图②，在矩形中，，，是边上一点，将沿折叠得到，延长和交于．若，求、的长； (3)【横向拓展】保持（2）中，的大小不变，扭动矩形，使得，如图③所示．是边上一点且满足，点是延长线上一点，连接交射线于点，当线段与射线所夹的锐角为时，直接写出的值． 【答案】(1)∵四边形是正方形， ∴， ， 又， ∴（）， ∴，． 延长交于点， ∵ ，， ∴， ∴，即． (2)​，​​​． (3)的值为8或． 【分析】（1）延长交于点，先利用正方形性质得到边相等、角相等，结合已知，证明和全等，可得；再通过角的等量代换，结合直角三角形内角关系证明． （2）先根据和的长度求出、的长度，在中用勾股定理求；再利用折叠性质得到垂直平分，结合凹四边形面积求的长． （3）过点E作交射线于点H，根据平行四边形性质得，由直角三角形性质得，得，得，由勾股定理得，，过点E作，当时，当时，分两种情况，运用相似三角形的判定和性质解答，最终得的值为8或． 【详解】（1）略 （2）解：∵在矩形中，，，，且， ∴， ∴，． ∴的面积， 在中，由勾股定理：​， 由折叠知，与关于对称， ∴垂直平分， 即． ∴凹四边形面积， ∵=16， ∴， 解得​​， 综上，​，​​​． （3）解：过点E作交射线于点H， 则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）同理可知，， ∴， ∴，， ∴， 过点E作， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可知：， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，的值为8或． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06四边形 ☆6大考点概览 考点01多边形及其内角和 考点02平行四边形 考点03矩形 考点04菱形 考点05正方形 考点06四边形中的综合 考点01 多边形及其内角和 1.(2026广东清远·二模)某种树叶在显微镜下的细胞图片可近似看成一个六边形，则该多边形的内角和是 () A.120° B.360° C.720° D.1080 2.(2026广东广州二模)如图，正五边形ABCDE中，边AB,DC的延长线交于点F,则∠AFD的度数 为() A.45 B.37.5° C.36 D.30° 3.(2026广东中山二模)若正多边形的一个内角是160°，则该多边形的边数是() 1/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.6 B.12 C.16 D.18 4.(2025·广东珠海·三模)如图1是化学实验中利用酒精灯给试管中液体加热的实验装置图，如图2是其简 化示意图.若∠1=45°，则∠2的度数为() DA B 图1 图2 A.140° B.135° C.130° D.145° 5.(2026广东二模)将若干个大小相等的正五边形排成环状，如图是排的前3个正五边形，要完成这一圆 环还需要(）个这样的正五边形. A.5 B.7 C.9 D.10 6.(2026广东佛山二模)如图中所示的是由三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部 分，则这种正多边形是() A.三角形 B.正方形 C.五边形 D.六边形 7.(2026:广东广州二模)如图，AC,AD,CE是正五边形ABCDE的对角线，AD与CE相交于点F.下 列结论： ①CF平分∠ACD;②AF=2DF;③四边形ABCF是菱形：④AB2=AD·EF,其中正确的结论是() 2/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E A.①③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ 8.(2026广东广州二模)如图，图1为传统建筑中的一种窗格，图2为其窗框的示意图，多边形 ABCDEFGH为正八边形，连接AC,BD交于点M,∠AMB=_° D 图1 图2 9.(2026广东惠州二模)如下图，在一些国旗和标志中，五角星是一种常见的图案.五角星还出现在一些 宗教、文化和艺术的符号中，它也与黄金分割等数学原理相关，另外某些晶体、分子结构呈正五角星对称 若某化学分子结构为标准正五角星，五个尖角大小完全相同，则每个尖角的度数是 10.(2026广东河源·二模)广式彩色玻璃窗由中式传统木窗棂镶嵌彩色玻璃而成.图(1)是一款广式彩色 玻璃窗，其图案由36个相同的五边形和9个相同的正方形组成，五边形部分镶嵌白色玻璃，正方形部分镶 嵌浅蓝色玻璃，图(2)标注了其中一块五边形玻璃的尺寸，若x:y=2:3,则图(1)需要用到的白色玻 璃与浅蓝色玻璃的面积比为 3/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 20 2 15 图(1) 图(2) 11.(2026广东·二模)一个多边形的内角和比它的外角和多540°，则这个多边形的边数是 12.(2026广东汕头·二模)如图，线段AB、BCCD是一个正多边形的三条边，分别延长AB,DC交于点 M,若∠M=90°，则这个正多边形是 B 考点02 平行四边形 1.(2026广东广州二模)如图，CE是口ABCD的高，若∠BCE=40°，则∠A的度数为() D B A.60° B.50° C.40° D.25° 2.(2026广东·二模)如图，在口ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A=115°，则∠MCD的度数是 () D M A.45° B.55° C.65° D.75° 3.(2026广东东莞·二模)如图，口ABCD中，点E,F分别是AD,AB边上的中点，连接EF,CE,CF 4/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 若△CEF是等腰直角三角形，∠CEF=90°，AB=2,则CF的长是() 2N3 A.3 B C.22 D.3.5 4.(2026广东·二模)如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，连接AE交BD于点F,若 DE:EC=3:1,BD=14,则线段DF的长度为() 0 B A.6 B.7 C.8 D.4.8 5.(2026广东广州二模)如图，在口ABCD中，延长CD至点E,使DE=DC,连接BE与AC于点F,则 B FE的值是() 3 1 A.5 B.2 D.3 6(2026广东深圳二模)如图，已知。ABCD的顶点A在函数y=x(x>0)的图象上，点B,C,D在坐 标轴上，连接O1交BC于点B.若Ssae=3,S达m=7 ,则k的值为() 5/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C D A.4 B.8 C.10 D.14 7.(2026:广东广州二模)如图，在口ABCD中，E是AD边上一点，将△CDE沿着CE翻折至△CFE.已知 BC=13,AB=8,∠D=60°，当E,F,B三点共线时，则DE的长是 y E B 8.(2026广东广州二模)如图，在ABCD中，AD=2,AB=4,∠DAB=60°，E为边AB上的动点， EF平分∠DEB,交CD于F,过D作DG⊥EF于G,连接GC,则DG+GC的最小值为 D B 9.(2026广东二模)如图，在平行四边形ABCD中，∠A=75°，AB=6,将平行四边形ABCD绕顶点B 顺时针旋转到平行四边形ABCD',当CD'经过点C时，点A到AB的距离为 D 10.(2026广东清远·二模)△ABC的周长是32Cm,一条中位线DE=3cm,另一条中位线DF=6cm,则第 三条中位线EF的长是() A.4cm B.5cm C.6cm D.7cm 11.(2026广东广州二模)如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，E,F分别是AC,AD的中点，连 接EF,已知EF=2,则BC的长为 6/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D 12.(2026广东茂名·二模)如图，A、B两点被一座山隔开，M、N分别是AC、BC中点，测量MN的 长度为50m，那么AB的长度为() M A.50m B.80m C.100m D.120m 13.(2026广东东莞二模)如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点B,C都在格点上，点D,E分 别是边AC,AB的中点，则线段DE的长为() B A.2 B.2.5 C.3 D.3.5 14.(2026广东·二模)如图，在四边形ABCD中，点M是AD上动点，点N是CD上一定点，点E、F分别 是BM、M的中点，当点M从点A向点D移动时，下列结论一定正确的是(） M A.线段EF的长度逐渐减小 B.线段EF的长度逐渐增大 C.线段EF的长度不改变 D.线段EF的长度不能确定 FC 15.(2026广东深圳二模)如图FG是。ABC的中位线，E是AG的中点，∠A=∠CFE=45°，则EF的值 7/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B E G 16.(2026广东清远·二模)如图，四边形ABCD是平行四边形 A D (I)将平行四边形ABCD沿过点C的直线CE翻折，使点D落在BC边上点F处，且边CD与CF重合.请用 尺规作图法作出直线CE及点F;(不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)条件下，若BF=2,平行四边形ABCD的周长为24，求AB的长， 17.(2026广东二模)如图，在口ABCD中，E,F分别为AB,CD的中点，连接BD,DE,BF. (I)求证：DE=BF: (②)从条件“①DB=DA,②DA⊥DB”中任选一个作为已知条件，判断四边形BEDF的形状，并证明你 的结论。 18.(2026广东惠州二模)如图，在四边形ABCD中，AB‖CD,点E在边AD上，∠AEB=∠EBC, E D B (I)求证：四边形ABCD是平行四边形： (②若四边形1BCD的面积是5cm,则三角形BCE 的面积 S.BCE= 19.(2026广东汕头一模)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,E为OB延长线 8/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 上一点，且BE=OB,F为OD延长线上一点，且DF=OD,连接AE,EC,CF,FA D (I)求证：AE=CF; (2)已知（从以下两个条件中任选一个作为已知，填写序号），请判断四边形AECF的形状，并证明 你的结论 条件①：AC=2BD: 条件②：AC平分∠BAD 20.(2026广东清远二模)已知：如图，在△ABC中，D,E分别是边AB,AC的中点，连接DE. 1 AFIBC,且4F=2BC,连接DF 2 (I)求证：四边形AFDE是平行四边形： (2)如果AB=AC,∠BAC=60°，求证：AD⊥EF. 考点03 矩形 1.(2026广东广州二模)如图，将△AB0绕着点O旋转180°得到△A'B'0,连接AB'、AB,下列选项中 不能判定四边形ABAB为矩形的是() B B A.∠BAB'=90° B.OA=OB C.AB=AB' D.∠B'AB=∠A'BA 2.(2026广东深圳二模)如图，在口ABCD中，AC,BD相交于点O,下列条件不能判定口ABCD为矩形 9/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 的是（) D A.∠BAD=90°B.AC=BD C.OA=OD D.AC⊥BD 3.(2026广东广州二模)如图，在正方形ABCD中，点E是边AB上一点.将△ADE以点D为中心，逆时 针旋转9O°，得到△CDF(点E的对应点为F),连接EF交CD于点G,且∠FGC=∠EDG.若AD=4, 则AE的长为 E 31.上.若直线 4(2026广东清远二模)如图，矩形1BCD的四个顶点分别在直线，，？， AG 4∥h∥1，∥1，且间距相等，AD交直线l,于点G,AB=4,BC=3,则CD的值为() D G 5 √15 A.8 B.4 C.2 D.15 5.(2026:广东二模)如图，在矩形ABCD中，点E是边BC上一点，连接DE,过A作AF⊥DE于点F, 若AB=BF:Dr=3,sm∠DAF 5,则矩形ABCD的面积是() 10/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 40 A.3 B. 0 C. D 6.(2026广东·二模)将一张矩形纸片（四边形ABCD)按如图所示的方式对折，使点C落在AB上的点 C MN D'.C'D'、AD BM=3 BC=4 AC'=3 DN= 处，折痕为，点D落在点处， 交于点E.若 ,则 7.(2026广东广州·二模)如图，折叠矩形ABCD的一边AD,使点D落在BC边的点F处，已知折痕 AE=55,且 n∠EFC=3 B (I)矩形ABCD的面积是 (2)作与四边形ADE AP+5BP 各边都相切的 0,点P在o0 运动，则 的最小值是 8.(2026广东广州二模)如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O,AB=6,OB=5, 求AD的长， D 11/23 可学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 9.(2026广东广州二模)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O. (1)尺规作图：作点O关于BC的对称点卫（保留作图痕迹，不写作法）· (2)在(1)所作的图中，连接BE,CE,求证：四边形OBEC是菱形. 10.(2026:广东中山二模)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点D作DE‖AC且 2DE=AC,连接AE交OD于点F,连接OE、CE. A D B (1)求证：四边形OCED为矩形； (2②)已知AB=3,DE=2,求EF的长. 考点04 菱形 1.(2026广东深圳二模)如图，城市道路上的“人行横道预告标线”为白色菱形图案.根据国家标准《道 路交通标志和标线》的规定，菱形的标准尺寸是：横向宽度AC为1.5m,纵向长度BD为3m,则菱形 ABCD的边长是() 12/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3v5 3v5 A.2-m 3 m -m B.4 C.4 D.3V5m 2.(2026广东·二模)如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，若AB=2,则四边形 ABCD的周长为() A D A.4 B.6 C.8 D.10 3.(2026广东深圳二模)小馨同学按如下步骤作四边形ABCD;(1)画∠MAW;(2)以点A为圆心，1 个单位长为半径画弧，分别交AM,AN于点B,D;(3)分别以点B,D为圆心，1个单位长为半径画 弧，两弧交于点C;(4)连接BC,CD,BD,若∠A=48°，则∠CBD的大小是() M B D N A.64° B.65 C.660 D.67 4.(2026广东东莞二模)如图，菱形ABCD的对角线AC=4,BD=9,交点为O,点F在OC上，且 CF=20F EFB ,过点F作 交AB于点R则△1EF 的面积为() E A.5 B.4 C.3 D.8 5.(2026广东广州二模)如图，A,B是⊙0上的两点，C为劣 AB ∠ACB=120°」 0A=2 的中点， ,若 则四边形OACB的面积为() 13/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A. B.2V3 c.36 D.45 6.(2026广东珠海二模)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,∠ABC=60°，AB=2, E为BC上一点，连接OE,DE,则OE+DE的最小值等于一、 7.(2026广东东莞二模)如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠BAD=60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方 向旋转得到菱形AEFG,点E在AC上，EF与CD交于点P,则DP的长是() G B A.5-1 B,2-V5 c.23-1 D.2V3-2 &(2306广东米二预数图，点A在双自线r>0上，连接04，交双陆线y东（>0)于点8 点C为x轴上一点，四边形OACD为菱形，若四边形ACDB的面积是6，则k=一· 14/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 9.(2026广东广州二模)如图，菱形ABCD中，AB=8,∠B=60°，点E为AB的中点，点F为BC上一 动点，莲接EF,作∠GEF=60°且△GEF面积恒为3 v3 (1)若EF=6,则EG= (2)连接CG,DG,则△CDG面积的最小值为 10.(2026广东·二模)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正 k 半轴上，点A在反比例函数y=(k>0,x>0)的图象上，点D的坐标为(4,3). B D o(c (1)求k的值， (2)设点M在反比例函数图象上，连接AM,DM,若△AMD的面积与菱形ABCD的面积相等，请直接写出 点M的坐标. 11.(2026广东梅州二模)如图，四边形ABCD是菱形，B是AN的中点，连接DN交CB于点M. 15/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D (I)求证：CM=BM」 (2)连接DB,若DN⊥BC,DB=8,求DM的长. 考点05 正方形 ABCD 2,对角线1C,BD交于点O,将△1B0 2 1.(2026广东深圳二模)如图，已知正方形 的边长为 向 右平移得到△DCE,则四边形CEDO的周长为， O 2.(2026广东深圳二模)如图，在正方形ABCD中，AB=3,将点A折叠到BC边上的点G处，折痕为 EF,若AE=2BE,则DF=一 D B 3.(2026广东东莞二模)如图，正方形ABCD的边长为3，点E在BC的延长线上，以CE为边，在CE上 方构造正方形CEFG,连接AF与BF,分别交CD于点M和点N.若CE=1,则△MWF的面积是 D M G C E 4(2026广东佛山一模)如图，在正方形ABCD中，将边AB绕点A逆时针旋转至AE,若∠BEC=90°， 16/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则cos∠BCE=() D 2 5 A.2 B.3 C.3 D.5 5.(2026广东广州二模)如图，已知四边形ABCD是边长为6的正方形，E为CD上一点，且DE=2,F 为射线BC上一动点，过点E作EG⊥AF于点P,交直线AB于点G.当BF=2时，GE=一；在F 点运动过程中，PC的最小值为一· D 6.(2026广东广州二模)如图，正方形ABCD的边长为4，E为边AD上一动点，连接BE、CE,以CE 为边向右侧作正方形CEFG.连接AF,则△AEF面积的最大值为 7.(2026广东广州二模)如图，在正方形ABCD中，AB=4,点P为BC边上的一个动点，连接AP, DP,点O为△ADP外接圆的圆心.在点P从点B运动到点C的过程中，下列说法正确的是 (填序号) ①在点P运动的过程中，△ADP的面积不发生变化： ②4ADP 外接圆的最大半径为 W2 ③△ADP外接圆的最小半径为2； ④点O运动的路径长为1. 17/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A D 0. BP 8.(2026广东广州二模)如图，BD是正方形ABCD的对角线，点E,F分别是BC,CD边的中点，作 点E关于CD的对称点G,连接DE,AF,CG,DG,AF交BD于点P,延长AF交DG于点Q.则下 列结论：①AF=DG;②AF⊥DE;③BG=2BP;④AP=D0.其中正确的结论有一. (填写所有 正确结论的序号) 9.(2026广东广州·二模)如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b,正方形CEFG绕点C旋 转. D G (1)∠CBE=∠ (2)用a和b的代数式表示：DE2+BG= 10.(2026广东广州·二模)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在BC,CD边上，且∠BAF=∠DAE」 18/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 求证：BE=DF, 11.(2026广东珠海·二模)如图1，在等腰Rt△ABC中，点O为斜边AB的中点，以点O为顶点作直角 LDOE交AC,BC于点D,点E,连接DE,OC相交于点F. D E 图1 图2 (L)求证：AD=CE; EF (②)当∠CDE=22.5时，求DF的值； (3)如图2，以DE为边在右侧作正方形DEGH,连接AH,若AC=6,△AGH的面积为8，求AD的长。 12.(2026广东广州二模)如图，点E是边长为2的正方形ABCD的边CD上一动点（不与C,D重合）， EC和EF关于直线BE对称，连接AF交射线BE于点G. A F G B (I)当点F在对角线BD上时，求∠CEF的度数： AG·FG=(BG+2)(BG-2) (2)求证： ③)若点P在BG ，且1 AG=2BP 当<BA 最大时，求的长度。 考点06 四边形中的综合 1.(2026广东清远·二模)如图，在平行四边形ABCD中，点E在对角线AC上，且AE=DE,连接DE并 19/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 延长，交BC于点F,点G在DF上，连接AG,CG,且∠AGD=2LADF,GH平分∠AGD交AD于点H, 交AC于点P,连接EH. H D B (I)【初步感知】求证：△AGH≌aEDH: (②)【深入探究】若E为AC中点，且AB=12,BC=16,求GH的长： FG (3③)【拓展延伸】若DF为∠ADC的平分线，且EH:AG=2:3,求DG的值.（直接写出答案） 2.(2026广东清远二模)【探究与证明】一一图形的旋转. 【问腿情境】如图1，在矩形4BCD中，4B=6,BC=8.将边4B绕点A逆时针旋转a(0<a<180)得 到线段AE,过点E作EF⊥AE交直线BC于点F. B F 图1 图2 备用图 【猜想证明】从特殊到一般。 (①)当a=90°时，四边形ABEF的形状为 (直接写出答案) (2)如图2，当a=45°时，连接DE,求此时△AED的面积： (3)是否存在，使点F、E、D三点共线？若存在，请求出此时线段EF的长；若不存在，请说明理由. 3.(2026:广东汕头二模)在矩形ABCD中，AB=3,BC=4.将矩形ABCD绕点A逆时针旋转 (0<<0)得到矩形FG,点B的对应点为点B,点C的对应点为点？，点D的对应点为点G,FE的 延长线交BC于点H. 20/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G G G H 图1 图2 图3 (I)如图1，求证：BH=EH: (②)连接CF,连接BE并延长交CF于点P. ①如图2，求证：BP平分CF: ②如图3，连接AP,交EF于点O,若AP平分△EFP的面积，求AP的长 4.(2026广东河源·二模)在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A,C分别在y轴、X轴上，反比 例函数y= (k>0,x>0)的图象分别与矩形OABC的边AB,BC相交于点D,E· A E 图1 图2 (1)如图1，若0C=V20A=4. ①点B的坐标是_： ②当D为线段AB的中点时，连接OD,OE,DE.探究aODE是否为直角三角形，并证明.、 (②)如图2，连接OE,过点D作DF‖OE,交OA于点F,连接EF.当∠AFE=90时，探究点D,E是否分 别为线段AB,BC的黄金分割点，并证明. 5.(2026广东深圳二模)【问题情境】数学兴趣小组以矩形纸片ABCD为基本图形，探索几何图形折叠变 化中的数学问题，其中AB=15,AD=20. 21/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 图1 图2 图3 【特例探究】 (I)如图I:小坪对矩形ABCD进行折叠，使得C和A重合，折痕分别交AD和BC于E、F,点D的对应 点是D',连接AC ①根据轴对称性质： ·对应点的连线被对称轴垂直且平分 ·.EF是一的垂直平分线 ②请探究BF和DE的数量关系，并说明理由. 【拓展延伸】 (2)①如图2：小山沿着过点B的直线折叠，使得点C的对应点C'恰好在CA的延长线上，折痕交AD于M, 点D的对应点为D',求线段AC的长。 ②小深沿着与图2中BM平行的直线折叠矩形ABCD,折痕分别交AM、AB于P、O,点C和点D的对应 点分别是C和D'.请你借助图3分析，当△ACD'是等腰三角形时，直接写出折痕PQ的长度. 6.(2026广东广州：二模)定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫做菱 形的折中线.例如，如图，在菱形ABCD中，E是CD的中点，连接AE,BE,则折线AEB叫做菱形 ABCD的折中线，折线AEB的长叫做折中线的长. 已知，在菱形ABCD中，AB=a,E是CD的中点，连接AE,BE. B (1)已知 BE= ,折中线4EB的长为35，求E 3W2 的长； (2)如图，若∠C=60°，求折中线AEB的长（用含a的式子表示）； (3)若a=8,且折中线AEB中的AE或BE与菱形ABCD的一条对角线相等，求折中线AEB的长. 22/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.(2026广东肇庆二模)定义：如题图1，点M,N把线段AB分割成AM,MN和BN,若以AM, MN,BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M,N是线段AB的勾股分割点. 图1 图2 (1)已知点M,N是线段AB的勾股分割点，若AB=12,AM=4,求BN的长. 2图2.在受形ABCD中，点EP分别在C、CD上，E-BC,r-m,ABr分别交BD 于点M,N,求证：M,N是线段BD的勾股分割点 8.(2026广东广州·二模)菱形ABCD的边长为6，∠B=120°，点M是BC边上的动点，作点B关于AM 的对称点N,连接DN并延长交线段AM于P. D D M M 图1 图2 图3 (I)如图1，当点V刚好落在菱形对角线AC上时，请直接写出：锐角△ADN的形状是三角形，∠APD的度 数是。 (2)如图2，当点M在边BC上运动，求线段CP长度的取值范围. P9_4 (3)如图3，延长DP交BC于Q,若DN5,求CM的长. 9.(2026:广东广州二模)如图1，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2,点E是AB的中点，连接DE并 延长，交CB的延长线于点F,点P是边AD上任意一点（点P不与点A,D重合）· D 图1 图2 图3 (I)求证：△ADE≌△BFE; 23/23 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 AG (②)如图2，连接CP交DF于点G,连接AG,过点C作CH‖AG,交DF于点H:求CH的值： (3)如图3，点P在边FC上，且满足CO=2AP,连接PO.过点C作CKLP№，交直线P№于点K,连接 DK,当点P在边AD上运动时，求线段DK的取值范围. 10.(2026广东肇庆·二模)定义：菱形、矩形与正方形的形状有共性，我们将菱形、矩形与正方形的相近 程度称为菱形或矩形的“相近度”· B B Y 图1 图2 图3 (1)如图1，菱形的边长为2，设菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别为L,n,我们将菱形的“相近度” 用m-小表示，即“相近度”-m-川，若乙8C=60°，求该菱形的“相近度” (②)如图2，己知矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,设AB,BC的长分别为m,n(m≥n),我们 将矩形的“相近度”用%表示，即“相近度”=% n ①若∠AOD=45°，求该矩形的“相近度”： ②如图3，矩形ABCD的顶点分别在反比制丽数年化>0)和y化>0)的图象上，BDy拍，点D k+k2 的横坐标为3，当矩形的“相近度”为1时，求 的值. 11.(2026广东茂名·二模)综合与探究 B E B 图1 图2 图3 (I)如图1，在正方形ABCD中，点B,F分别在边BC,CD上，且AE⊥BF, 24/23 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①求证：△ABE≌△BCF: ②若AB=4,BE=2,连接EF,求∠FEC的度数： (2)【类比探究】如图2，在矩形ABCD中，AB=2,AD=3,BE=1,点E,F分别在边BC,CD上， 且AE⊥BF,求BF的值： (3)【类比探究】如图3，在RtAABC中，∠ABC=90°，AB=4,BC=6,D为BC上一点，且BD=2, 连接AD,过点B作BE⊥AD交于点F,交AC于点E,求BE的长 12.(2026广东东莞·二模)定义：如果平行四边形的两条对角线夹角等于它的一个内角，称这个平行四边 形为“对等角平行四边形”，这组相等的角称为“对等角”.如图1，在平行四边形ABCD中，对角线 AC与BD交于点O.若∠AOD等于平行四边形的一个内角∠DAB,则称平行四边形ABCD为“对等角平 行四边形”，∠AOD和∠DAB称为“对等角”. 图1 图2 图3 备用图 ()【定义理解】下列平行四边形中，一定是“对等角平行四边形”的有 一（填序号）· ①有一个内角为60°的平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形 (2)【性质探究】如图2，在对等角平行四边形ABCD中，∠AOD=∠DAB,DE⊥AB于点E. AD ①求BD的值： ②若∠ADB=90°，DE=2,求BE的长. (3)【拓展应用】如图3，已知E为线段AB上一点，AE=1,BE=2,过点E做射线EF⊥AB,D为射线 EF上一点，若四边形ABCD为对等角平行四边形，连接CE,将△BCE沿CE翻折得到△B'CE,若直线 B'E与对等角平行四边形ABCD的另一边相交于点P,求DP的长. 13.2026广东深圳：二模)【特例研究】在正方形ABCD中，AC,BD相交于点O. D D B B B 图1 图2 图3 (I)如图1，△ADC可以看成是△AOB绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为一，k的 值为 25/23 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【类比探究】 (2)如图2，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为C,并放大得到△AEF(点O,B的对应点分别为点E, F),使得点E落在OD上，点F落在BC上，若BF=8，,求线段OE的长度： 【拓展延伸】 心咖如图3，在麦形4BCD牛，∠1C=200<B<5）,0是4的囊直平分线与8D的交点，将408绕 点A逆时针旋转，旋转角为a,并缩放得到△AEF(点O,B的对应点分别为点E,F)，使得点E落在 BF+BA OD上，点P落在BC上.求BE的值.（用含B的式子表示） 14.(2026广东珠海·二模)根据题意，回答以下各题 图① 图② 图③ 图③ (①)【教材再现】如图①，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF, 求证：BE=DF,BE⊥DF: (2)【纵向探变】如图②，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,E是CD边上一点，将△BED沿BE折叠得 到△BEG,延长DG和BC交于F,若CE=2DE,求BE、DG的长； (3)【横向拓展】保持(2)中AB,AD的大小不变，扭动矩形，使得∠A=120°，如图③所示.E是CD边 上一点且满足CE=2DE,点F是BC延长线上一点，连接DF交射线BE于点G,当线段DF与射线BE所 夹的锐角为60°时，直接写出DG·DF的值. 26/23