2026年中考数学真题完全解读（福建卷）

该初中数学中考复习讲义覆盖数与式、函数、图形的性质等五大模块核心考点，按“考点梳理-方法指导-真题训练”流程设计，通过模块占比分析构建知识体系，结合真题解读突破二次函数、圆的切线等难点，体现复习的系统性和针对性。 亮点在于真实情境与核心素养融合，如“闽超”足球净胜球问题培养模型意识，圆内接四边形综合题提升推理能力。设“避坑提醒”和分层训练，5分钟限时真题演练强化运算能力，帮助学生高效突破考点，教师可据此精准把控复习节奏，提升应考效果。

2026年福建省中考数学真题完全解读 试卷总评·考情分析·复习策略·真题解读 试题分析 2026年福建省中考数学试卷总分150分，考试时间120分钟，共25道题，其中选择题10道、填空题6道、解答题9道。试卷以基础性为主，兼顾综合性、应用性和创新性，对初中数学核心知识与关键能力进行了较全面的覆盖。选择题第1-10题侧重基础概念与简单运算，填空题第11-16题强化几何直观与代数变形，解答题第17-25题则逐步提升综合推理与建模要求。整卷突出福建地域特色，第1题以福建省首届“闽超”足球比赛为背景，第4题以福建土楼为载体，第3题融入神舟二十三号发射情境，体现数学与地方文化、国家成就的紧密联系。模块分布上，图形的性质占比最高，函数与代数推理在压轴题中承担区分功能，统计与概率、综合与实践各占一定比例，整体难度梯度合理，符合福建中考命题导向。 试题亮点 闽地文化与现代科技交相辉映，真实情境彰显福建卷育人底色：第1题以福建省首届“闽超”足球比赛净胜球为背景考查正负数意义；第4题以福建土楼“天人合一”的营造理念为载体考查圆柱形土楼的三视图；第3题以神舟二十三号飞船成功发射为背景考查科学记数法。三题分别对应地方体育、传统文化、国家科技成就，引导学生在真实情境中抽象数学模型，落实立德树人根本任务。 几何推理与直观想象深度融合，中档题成为能力区分主战场：第7题以古算诗词题“争荡秋千”创设解直角三角形情境；第9题将圆的切线性质、圆周角定理与正切函数结合；第20题把尺规作图与矩形、勾股定理综合；第22题通过图形折叠考查平行线性质与解三角形；第24题则以圆内接四边形、平行四边形和相似三角形层层递进。几何题覆盖选择、填空、解答各层级，推理链条逐步加长，对空间观念和逻辑推理提出较高要求。 代数推理与探究意识并重，压轴题与阅读题突出思维过程：第10题二次函数参数范围需要建立不等式并判断选项；第16题以浮力称重情境建立一元一次方程模型；第23题通过阅读材料探究整数奇偶性的代数表达；第25题二次函数综合题探究PM与PN的数量关系。代数类题目强调建模、推理与探究，淡化机械计算，突出对思维过程的考查。 命题趋势 福建本土情境与国家重大成就将持续入题，应用意识考查常态化：第1题“闽超”足球、第4题福建土楼、第3题神舟二十三号等素材具有鲜明的地方或时代标识，体现福建卷在真实情境中落实育人价值的命题追求。未来命题会继续选取福建文化、地方发展、国家科技等素材，引导学生在阅读情境中提取信息、建立数学模型并解决问题。 几何综合题单题承载量持续增大，圆、折叠与解直角三角形仍是区分核心：第9题切线与圆周角综合、第20题尺规作图与矩形勾股定理结合、第22题折叠与解三角形、第24题圆内接四边形与平行四边形及相似综合，几何模块占比近三成。中高档几何题跨知识点融合趋势明显，预计未来将继续强化“作图—识图—推理—计算”的完整能力链。 代数推理与阅读理解型探究题比重上升，思维过程考查更加突出：第10题二次函数不等式分析、第16题跨学科浮力建模、第23题数论阅读材料、第25题二次函数存在性探究，均要求学生在理解问题本质的基础上进行推理。未来中考试题将继续淡化套路化计算，强化建模、推理、探究等高阶思维过程。 基础题重视概念本质理解，反机械刷题导向鲜明：第2题轴对称与中心对称概念辨析、第5题数轴与实数综合判断、第11题众数概念、第13题因式分解等题目看似常规，但需要真正理解概念本质。预计未来福建卷将继续通过概念辨析、图象识别和简单综合来检验基础，拒绝仅靠题型记忆得分。 考点细目表 题号 题型 分值 具体考点 关键能力 1 单选 4 数与式→有理数→正负数的意义 应用意识、运算能力 2 单选 4 图形的性质→图形的对称性→轴对称与中心对称 几何直观 3 单选 4 数与式→实数→科学记数法 运算能力 4 单选 4 图形的变化与综合实践→投影与视图→三视图 空间观念 5 单选 4 数与式→实数→实数与数轴 运算能力 6 单选 4 函数→反比例函数→反比例函数图象上点的坐标特征 运算能力 7 单选 4 图形的变化与综合实践→解直角三角形→三角函数的实际应用 几何直观、运算能力 8 单选 4 统计与概率→数据分析→条形统计图、中位数、平均数 数据分析 9 单选 4 图形的性质→圆→切线性质、圆周角定理、锐角三角函数 推理能力、运算能力 10 单选 4 函数→二次函数→二次函数图象与性质 推理能力、运算能力 11 填空 4 统计与概率→统计量→众数 数据分析 12 填空 4 图形的性质→三角形→三角形中位线定理 推理能力 13 填空 4 数与式→整式→因式分解 运算能力 14 填空 4 图形的性质→四边形→矩形性质、三角形内角和 几何直观、运算能力 15 填空 4 数与式→代数式→代数式求值 运算能力 16 填空 4 数与式→方程与不等式→一元一次方程的实际应用 模型观念、应用意识 17 解答 8 数与式→实数→实数的混合运算 运算能力 18 解答 8 图形的性质→三角形→全等三角形的判定与性质 推理能力 19 解答 8 数与式→方程与不等式→一元一次不等式组 运算能力 20 解答 8 图形的性质→四边形→矩形性质、勾股定理、尺规作图 几何直观、推理能力 21 解答 8 统计与概率→概率→简单概率、列表法求概率 数据分析 22 解答 10 图形的变化与综合实践→图形的变换→折叠、解直角三角形 几何直观、推理能力 23 解答 10 综合与实践→阅读探究→整式运算与整数奇偶性探究 推理能力、创新意识 24 解答 12 图形的性质→圆→圆内接四边形、平行四边形、相似三角形 推理能力、运算能力 25 解答 14 函数→二次函数→二次函数综合（存在性、数量关系） 推理能力、运算能力 考点模块占比分析 数与式模块（约27%，40分）：重点考查正负数意义、科学记数法、实数运算、整式与因式分解、代数式求值、一元一次方程与不等式组。对应第1、3、5、13、15、16、17、19题。 函数模块（约15%，22分）：重点考查反比例函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与性质及综合应用。对应第6、10、25题。 图形的性质模块（约29%，44分）：重点考查轴对称与中心对称、三角形中位线与全等、矩形与勾股定理、圆的性质与综合推理。对应第2、9、12、14、18、20、24题。 图形的变化与综合实践模块（约19%，28分）：重点考查三视图、解直角三角形、尺规作图、折叠变换、阅读探究与新定义。对应第4、7、22、23题。 统计与概率模块（约11%，16分）：重点考查统计量、统计图表、简单概率与列表法。对应第8、11、21题。 核心复习策略 1. 回归教材，夯实四基 （1）系统梳理数与式、方程不等式、函数核心概念，确保正负数、科学记数法、因式分解、不等式组等基础题不丢分；重视教材例题变式，理解概念本质而非死记题型。 （2）建立“概念—图象—运算”三位一体复习框架，对二次函数图象性质、反比例函数坐标特征等高频考点进行针对性训练，提升数形结合能力。 2. 强化几何推理，提升直观想象 （1）以三角形全等、四边形性质、圆的性质为主线，规范书写几何证明过程；重点突破圆的切线、圆周角、内接四边形及相似综合题。 （2）加强尺规作图、折叠变换、解直角三角形等操作性几何问题的训练，学会通过添加辅助线、构造基本图形来降低问题难度。 3. 关注情境与探究，提升应用意识 （1）多关注福建本土文化、国家科技成就、跨学科情境等真实问题，练习从文字、图表中提取关键信息并建立数学模型。 （2）重视阅读理解型、新定义型综合探究题，培养“阅读—理解—迁移—探究”的解题习惯，提升代数推理与创新思维能力。 避坑提醒（考试最易踩的雷） ×忽视基础概念辨析：轴对称与中心对称、中位数与众数、数轴上数的范围等概念题容易因理解不细而错选，要回归定义本身。 ×几何辅助线思路单一：遇到圆、折叠、解直角三角形综合题时，若只会套题型而不会根据条件构造基本图形，容易陷入僵局。 ×阅读材料题跳读漏条件：第23题类阅读探究题信息量大、定义新，必须逐句梳理已知条件与待证结论，避免漏看限制条件导致推理错误。 ×表达不规范：步骤、依据、单位或答语缺失都会造成失分。 一、单选题 1．福建省首届“闽超”足球比赛正如火如荼进行中，在某轮比赛中甲队与乙队的比赛结果为，丙队与丁队的比赛结果为．若把这轮比赛中甲队的净胜球数记作，则丙队的净胜球数应记作（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：核心考点：正负数的意义与实际应用。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：以福建省首届“闽超”足球比赛中的净胜球为背景，将正负数与体育比赛结果联系起来，贴近学生生活。 （2）问题设计：问题设计：给出甲队比赛结果与净胜球数的对应关系，要求学生类比计算丙队的净胜球数；选项设置围绕正负号的判断，考查对“进球数减失球数”规则的理解。 （3）考查目标：考查目标：考查从真实情境中抽象数学符号的能力，侧重应用意识与运算能力。 答案与解析 【答案】D 【分析】先明确净胜球数的计算方法为：净胜球数进球数失球数，结合题目给出的甲队净胜球验证计算规则，再计算丙队的净胜球数即可得到答案． 【详解】解：净胜球数的计算规则为：净胜球数进球数失球数， ∵甲队与乙队的比赛结果为，即甲队进球数为，失球数为， ∴甲队的净胜球数为，记作， ∵丙队与丁队的比赛结果为，即丙队进球数为， 失球数为， ∴丙队净胜球数为，即丙队的净胜球数应记作． 知识总结 ①核心概念：正负数可表示一对具有相反意义的量，净胜球数=进球数−失球数。②解题要点：先根据甲队结果验证计算规则，再用同一规则计算丙队结果。③关联拓展：生活中海拔、温度、收支等情境都可用正负数表示。 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：核心考点：轴对称图形与中心对称图形的识别。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：纯数学情境，给出四个常见几何图形，要求判断既是轴对称又是中心对称的图形。 （2）问题设计：问题设计：四个选项分别对应不同对称性的图形，需要同时满足“沿某直线对折重合”和“绕中心旋转180°重合”两个条件。 （3）考查目标：考查目标：考查对两种对称概念本质的理解，侧重几何直观。 答案与解析 【答案】C 【分析】先明确两个概念，轴对称图形：沿一条直线对折后，直线两侧的部分能完全重合的图形．中心对称图形：绕图形中心旋转后，能和原图形完全重合的图形．逐个分析选项判断是否符合这两个概念即可． 【详解】选项A：是中心对称图形，但不存在一条直线能使对折后两侧完全重合，不是轴对称图形，不符合要求． 选项B：是轴对称图形，旋转后无法和原图形重合，不是中心对称图形，不符合要求． 选项C：沿对边中点连线/对角线对折都能重合，是轴对称图形；绕中心旋转后和原图形完全重合，是中心对称图形，符合要求． 选项D：是轴对称图形，旋转后无法和原图形重合，不是中心对称图形，不符合要求． 知识总结 ①核心概念：轴对称图形存在对称轴；中心对称图形绕对称中心旋转180°后与自身重合。②解题要点：矩形、菱形、正方形、圆既是轴对称又是中心对称。③关联拓展：正n边形当n为偶数时既是轴对称又是中心对称。 3．2026年5月24日，神舟二十三号飞船成功发射，彰显了我国航空航天事业取得巨大成就．飞船在轨飞行速度接近地球第一宇宙速度7900米/秒．数据7900用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：核心考点：科学记数法。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：以神舟二十三号飞船在轨飞行速度接近第一宇宙速度7900米/秒为背景，体现国家科技成就。 （2）问题设计：问题设计：将7900用科学记数法表示，选项围绕指数n的取值设置，考查对a×10^n形式的理解。 （3）考查目标：考查目标：考查大数表示方法与单位换算意识，侧重运算能力。 答案与解析 【答案】B 【详解】解：根据科学记数法的定义，对进行改写，要满足，可得， ∵变为，小数点向左移动了位， ∴， 因此用科学记数法表示为 知识总结 ①核心概念：科学记数法写成a×10^n，其中1≤|a|<10，n为整数。②解题要点：7900=7.9×10^3，小数点向左移动3位。③关联拓展：常用于表示天体距离、微观粒子质量等极大或极小的量。 4．福建土楼产生于宋元，成熟于明末、清代和民国时期．土楼或方或圆，以圆为主，如珍珠般洒落在闽西南的绿水青山间，遵循“天人合一”的东方哲学理念．图1是福建众多土楼中的一座圆形土楼．图2为其示意图，关于它的三视图的描述，下列说法正确的是（     ） A．主视图和左视图相同 B．主视图和俯视图相同 C．左视图和俯视图相同 D．三种视图都相同 命题透视 ►核心考点：核心考点：圆柱形几何体的三视图。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：以福建土楼“或方或圆、以圆为主”的建筑特征为背景，将传统文化与三视图知识融合。 （2）问题设计：问题设计：给出圆形土楼的实物图与示意图，要求判断主视图、左视图、俯视图之间的关系。 （3）考查目标：考查目标：考查空间想象能力，能从不同方向观察圆柱形建筑并判断视图特征。 答案与解析 【答案】A 【分析】根据主视图（从物体的正面向后方投影得到的视图）、左视图（从物体的左侧方向右方投影得到的视图）、俯视图（从物体的上方向下方投影得到的视图）的定义，分析从三面看的几何特征，将其对比即可求出答案． 【详解】解：主视图和左视图是相同的图形，俯视图是两个同心圆即圆环． A正确，B、C、D项错误． 知识总结 ①核心概念：主视图从前向后投影，左视图从左向右投影，俯视图从上向下投影；圆柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆。②解题要点：圆形土楼近似圆柱，故主视图与左视图相同，俯视图是圆环。③关联拓展：三视图是工程制图和建筑设计的基础。 5．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：核心考点：实数与数轴。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：纯数学情境，给出实数a、b在数轴上的位置，要求判断四个不等关系中正确的结论。 （2）问题设计：问题设计：选项涉及相反数、绝对值、和差符号等，需要综合数轴上点的位置关系进行推理。 （3）考查目标：考查目标：考查数形结合思想与实数运算符号的判断能力。 答案与解析 【答案】D 【分析】先利用数轴确定a、b的取值范围，然后逐项判断即可． 【详解】解：由数轴可得：， ∴，，，， ∴选项A、B、C说法错误；选项D说法正确． 知识总结 ①核心概念：数轴上右边的数总比左边大；互为相反数的两数位于原点两侧且到原点距离相等。②解题要点：先由数轴确定a、b的取值范围，再逐项验证。③关联拓展：实数大小比较常与绝对值、算术平方根综合考查。 6．下列各点中，在函数图象上的点是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：核心考点：反比例函数图象上点的坐标特征。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：纯数学情境，给出反比例函数解析式，判断四个点中哪个在函数图象上。 （2）问题设计：问题设计：将各选项横坐标代入解析式，比较所得纵坐标与选项纵坐标是否一致。 （3）考查目标：考查目标：考查对反比例函数概念的理解和代入求值能力。 答案与解析 【答案】A 【分析】反比例函数图象上任意一点的坐标都满足函数解析式，将各选项点的横坐标代入解析式，计算对应的y值，和点的纵坐标对比即可得出结论． 【详解】解：对于函数 A、当时，， 点在函数的图象上，此选项符合题意； B、当时，， 点不在函数的图象上，此选项不符合题意； C、当时，， 点不在函数的图象上，此选项不符合题意； D、当时，， 点不在函数的图象上，此选项不符合题意． 知识总结 ①核心概念：反比例函数y=k/x图象上任意一点(x,y)满足xy=k。②解题要点：将点横坐标代入解析式求y，再与选项比较。③关联拓展：反比例函数常与矩形面积、三角形面积结合考查k的几何意义。 7．古算诗词题融数学于诗词之中，是前人智慧的结晶．如图是古算诗词题“争荡秋千”所描绘的示意图．已知秋千的绳索长尺，且秋千的绳索始终保持直线状态，踏板的起始位置在点处，与地面垂直，踏板离地面的高度尺．当踏板从处绕点运动到处时，踏板离地面的高度尺，则秋千的绳索荡过的的大小为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：核心考点：解直角三角形的实际应用。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：以古算诗词题“争荡秋千”为背景，将传统文化与解直角三角形结合。 （2）问题设计：问题设计：已知绳索长、踏板起始高度和运动后高度，求绳索荡过的圆心角度数，需通过作垂线构造直角三角形并利用三角函数求解。 （3）考查目标：考查目标：考查几何建模与三角函数计算能力，侧重几何直观与运算能力。 答案与解析 【答案】C 【分析】先通过作垂线构造直角三角形，利用矩形边长相等求出线段的长度，再结合秋千绳索长度得到斜边，最后根据余弦函数值求出的度数． 【详解】解：如图，过点作， 由题意，， 四边形是矩形， 尺， 尺， 尺， 尺， 在中： ， ． 知识总结 ①核心概念：在直角三角形中，cosA=邻边/斜边。②解题要点：过踏板作地面的垂线，利用矩形性质求铅直距离，再用余弦值求角度。③关联拓展：秋千、梯子靠墙、山坡坡度等问题均可转化为解直角三角形。 8．为庆祝“中俄教育年”正式启动，某校8个班级分别制作了若干张宣传图片，图片数的条形统计图如图所示．这8个班级宣传图片数的中位数与平均数分别是（     ） A．7，7 B．7， C．，7 D．， 命题透视 ►核心考点：核心考点：条形统计图、中位数、平均数。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：以“中俄教育年”宣传图片数量为背景，给出8个班级图片数的条形统计图。 （2）问题设计：问题设计：要求从条形统计图中读取数据，再分别计算中位数与平均数。 （3）考查目标：考查目标：考查数据读取、统计量计算与图表分析能力。 答案与解析 【答案】B 【分析】根据条形统计图的数据分析，按照中位数和平均数的定义求解即可． 【详解】解：由8个班级分别制作了若干张宣传图片， ∴中位数为第4、5个班级的图片数， 从小到大排列后：第4、5个班级的图片数为， ∴中位数为：；     平均数为：． 知识总结 ①核心概念：中位数是将数据排序后位于中间位置的数（偶数个时取中间两数平均）；平均数=总和÷个数。②解题要点：先从条形图读取8个数据，再排序求中位数、求和算平均数。③关联拓展：条形统计图还常与众数、方差等结合考查。 9．如图， 是 的直径， 是 的切线， 交 于点D．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：核心考点：圆的切线性质、圆周角定理与锐角三角函数。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：纯数学情境，给出圆的切线、直径及相交弦构成的几何图形。 （2）问题设计：问题设计：通过连接辅助线，利用切线性质、斜边中线性质、圆周角定理，最终用正切函数求值。 （3）考查目标：考查目标：考查圆中几何关系的综合推理与计算能力。 答案与解析 【答案】B 【分析】连接，根据切线的性质得出，再由直角三角形斜边中线的性质确定，利用圆周角定理得出，得出，再由正切函数即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵ 是 的切线， ∴， ∵， ∴点D为的中点， ∴， ∵ 是 的直径， ∴， ∴， ∴． 知识总结 ①核心概念：切线垂直于过切点的半径；直径所对圆周角为直角；同弧所对圆周角相等。②解题要点：连接OC，利用切线得直角，再结合斜边中线与圆周角定理转化角。③关联拓展：圆的综合题常结合全等、相似、三角函数求线段或角度。 10．已知抛物线 经过点，．若 ，且 ，则的取值可以是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 命题透视 ►核心考点：核心考点：二次函数图象与性质。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：纯数学情境，已知抛物线经过两点及函数值大小关系，判断参数取值。 （2）问题设计：问题设计：将两点横坐标代入解析式，结合已知不等式列关于参数n的不等式组，求取值范围后判断选项。 （3）考查目标：考查目标：考查代数推理与不等式求解能力，体现函数与方程思想。 答案与解析 【答案】C 【分析】先将A、 B两点横坐标代入抛物线解析式，得到 关于n的表达式，再结合 和 的条件列不等式，求出n的取值范围，即可判断符合条件的选项． 【详解】解：∵ 抛物线 经过点 ， ， ∴将 代入解析式得 ， 将 代入解析式得 ， ∵ ， 且 ， ∴ ， ∴ 解得 观察选项，只有符合该范围． 知识总结 ①核心概念：抛物线y=ax^2+bx+c上点的坐标满足解析式。②解题要点：代入坐标得到关于n的表达式，利用y1<y2及对称轴位置列不等式。③关联拓展：二次函数参数范围问题常与对称轴、开口方向、判别式综合。 二、填空题 11．一组数据9，8，5，2，1，1的众数是____________． 命题透视 ►核心考点：核心考点：众数。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：纯数学情境，给出一组数据，要求找出众数。 （2）问题设计：问题设计：直接考查众数定义，统计出现次数最多的数。 （3）考查目标：考查目标：考查对统计量概念的理解。 答案与解析 【答案】1 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，据此求解即可． 【详解】解：在数据，，，，，中，出现的次数最多， 因此这组数据的众数是． 知识总结 ①核心概念：众数是一组数据中出现次数最多的数据。②解题要点：统计各数出现频次，1出现两次最多。③关联拓展：众数、中位数、平均数从不同角度刻画数据集中趋势。 12．如图，A，B两点被池塘隔开，在外选择一点C，连接和，分别取和的中点M，N，测得米，则A，B两点间的距离是____________米． 命题透视 ►核心考点：核心考点：三角形中位线定理。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：以测量被池塘隔开的A、B两点距离为背景，体现数学测量应用。 （2）问题设计：问题设计：取AC、BC中点M、N，测得MN长度，利用中位线定理求AB。 （3）考查目标：考查目标：考查中位线定理在实际测量中的应用。 答案与解析 【答案】200 【分析】根据三角形的中位线定理得到即可得出答案． 【详解】解：点M，N分别是和的中点， ∴是的中位线， ∵米， ∴（米）． 知识总结 ①核心概念：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半。②解题要点：MN是三角形ABC的中位线，AB=2MN。③关联拓展：中位线常用于测量不可直接到达的距离。 13．因式分解：__________． 命题透视 ►核心考点：核心考点：因式分解。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：纯数学情境，要求对多项式进行因式分解。 （2）问题设计：问题设计：考查提取公因式或公式法的熟练程度。 （3）考查目标：考查目标：考查代数变形与运算能力。 答案与解析 【答案】 【详解】解：． 知识总结 ①核心概念：因式分解是把多项式化成几个整式乘积的形式，常用提公因式法和公式法。②解题要点：先观察是否有公因式，再判断能否使用平方差或完全平方公式。③关联拓展：因式分解是解一元二次方程、化简分式的重要工具。 14．某数学兴趣小组成员把一副三角板按如图所示的方式摆放，其中，，，四边形 恰好为矩形，点E，F分别在 ， 上，则等于____________度． 命题透视 ►核心考点：核心考点：矩形性质与三角形内角和。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：以一副三角板按特定方式摆放为背景，四边形为矩形。 （2）问题设计：问题设计：利用矩形对边平行、三角板已知角度，求某角的度数。 （3）考查目标：考查目标：考查几何图形中角度关系的推理能力。 答案与解析 【答案】75 【分析】根据矩形性质可得，进而求出，，再根据三角形内角和求出． 【详解】解：∵，四边形为矩形， ∴， 又∵，， ∴，， ∴. 知识总结 ①核心概念：矩形对边平行，同旁内角互补；三角形内角和为180°。②解题要点：由矩形得平行线，利用三角板角度计算所求角。③关联拓展：三角板摆放求角问题常结合平行线、互余互补。 15．已知实数，满足，则的值为____________． 命题透视 ►核心考点：核心考点：代数式求值。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：纯数学情境，已知实数满足某等式，求代数式的值。 （2）问题设计：问题设计：需要先将已知等式变形，再对所求代数式进行变形后整体代入。 （3）考查目标：考查目标：考查代数变形与整体代入思想。 答案与解析 【答案】1 【分析】对进行变形得到，再对代数式进行变形，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴， ∴ ． 知识总结 ①核心概念：代数式求值可通过变形已知条件，整体代入所求式。②解题要点：由已知等式得到a+b或ab关系，对所求式因式分解或配方后代入。③关联拓展：常与非负性、完全平方公式结合考查。 16．由于水对物体的浮力作用，实心的纯金和纯银浸没水中称重时，弹簧测力计的示数分别约为原来的和．一件重80克的实心金银饰品，浸没水中称重，弹簧测力计的示数为原来的，若实心的纯金和纯银浸没水中称重，弹簧测力计的示数分别按原来的和计算，则这件金银饰品中含金____________克． 命题透视 ►核心考点：核心考点：一元一次方程的实际应用。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：以浮力测重为背景，给出纯金和纯银浸没水中称重示数，求金银饰品中含金量。 （2）问题设计：问题设计：设含金量为未知数，根据总质量和浸没后总示数列一元一次方程求解。 （3）考查目标：考查目标：考查跨学科情境中的数学建模与方程思想。 答案与解析 【答案】60 【分析】设这件金银饰品中含金克，则含银克，根据浸没水中后弹簧测力计总示数等于金的示数与银的示数之和，列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这件金银饰品中含金克，则含银克， 根据题意列方程得： 去括号，得 移项合并同类项，得 系数化为，得． 知识总结 ①核心概念：浸没水中示数=原重×(1−浮力损失比例)。②解题要点：设含金x克，分别表示金和银的示数，根据总示数列方程。③关联拓展：方程应用题关键是找等量关系，常涉及行程、工程、利润、浓度等。 三、解答题 17．计算：． 命题透视 ►核心考点：核心考点：实数的混合运算。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：纯数学计算题，涉及算术平方根、绝对值、乘方等运算。 （2）问题设计：问题设计：按照实数运算法则，先算乘方、开方、绝对值，再算加减。 （3）考查目标：考查目标：考查基本运算能力与运算准确性。 答案与解析 【答案】 【分析】先计算算术平方根、绝对值、乘方，再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 知识总结 ①核心概念：实数混合运算顺序为括号→乘方开方→乘除→加减。②解题要点：分别化简算术平方根、绝对值、乘方，再进行加减。③关联拓展：常与特殊角三角函数值、零指数幂、负指数幂综合。 18．如图，是等边三角形，，，．求证：． 命题透视 ►核心考点：核心考点：全等三角形的判定与性质。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：纯几何证明题，已知等边三角形及垂直关系，求证线段相等。 （2）问题设计：问题设计：通过垂直条件得到直角，结合等边三角形性质证明两个三角形全等，从而得对应边相等。 （3）考查目标：考查目标：考查几何证明的规范书写与全等三角形判定能力。 答案与解析 【答案】证明：，， ． 是等边三角形， ，． ． 在和中， ． ． 【分析】先根据、的垂直条件，得到．结合等边三角形的性质，得到，．推导与的大小关系，判断二者是否相等．因为已知，可通过判定和全等．依据全等三角形对应边相等的性质，即可求证． 【详解】略 知识总结 ①核心概念：全等三角形对应边相等、对应角相等；常用判定有SSS、SAS、ASA、AAS、HL。②解题要点：先由垂直得直角，再由等边三角形得边相等、角相等，最后用SAS或ASA证全等。③关联拓展：全等是证明线段相等、角相等的核心工具。 19．解不等式组： 命题透视 ►核心考点：核心考点：一元一次不等式组。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：纯数学计算题，要求解不等式组。 （2）问题设计：问题设计：分别解两个不等式，再取公共部分得到解集。 （3）考查目标：考查目标：考查不等式求解与解集表示能力。 答案与解析 【答案】 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以原不等式组的解集为． 知识总结 ①核心概念：不等式组的解集是各不等式解集的公共部分。②解题要点：分别解每个不等式，借助数轴确定公共部分。③关联拓展：常与方程组、一次函数图象、实际应用问题综合。 20．如图，四边形是矩形，，点在的延长线上． (1)求作点 ，使点 在边上，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，，求的长． 命题透视 ►核心考点：核心考点：矩形性质、勾股定理与尺规作图。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：纯几何综合题，在矩形基础上进行尺规作图并计算线段长度。 （2）问题设计：问题设计：第（1）问作满足角度条件的点；第（2）问利用矩形性质、平行线性质和勾股定理求线段长。 （3）考查目标：考查目标：考查尺规作图能力、几何推理与计算能力。 答案与解析 【答案】(1)如图，点即为所求． (2) 【分析】（1）利用尺规作图作，的边与的交点即为所求作的点； （2）由矩形的性质、平行线的性质、等边对等角可得，即可求得的长；设，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：作，的边与的交点即为所求作的点； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，即点即为所求． （2）解：∵四边形是矩形，， ，． ， ， ， ． ， ， 设，则， 在中，，， 由勾股定理得， ，解得， 即． 知识总结 ①核心概念：矩形对边平行且相等，四个角为直角；勾股定理a²+b²=c²。②解题要点：作等角确定点P位置，设未知数利用勾股定理列方程求解。③关联拓展：矩形折叠、旋转问题也常结合勾股定理。 21．一个不透明的盒子中有1个标号为0的黄球，2个标号分别为1，2的红球，，1个标号为3的白球，这些球除颜色和标号外无其他差别． (1)从盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黄球的概率； (2)从盒子中随机摸出1个球，不放回，再从中随机摸出1个球．求摸出的2个球颜色不同且标号之和小于4的概率． 命题透视 ►核心考点：核心考点：简单概率与列表法求概率。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：以不透明盒子中摸球为背景，考查两步随机试验的概率。 （2）问题设计：问题设计：第（1）问用概率公式直接求摸出黄球的概率；第（2）问用列表法求两步不放回摸球满足特定条件的概率。 （3）考查目标：考查目标：考查概率计算与有序列举能力。 答案与解析 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式直接求解； （2）先列表得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：从盒子中随机摸出1个球共有4种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中，摸出的球是黄球（记为事件）的结果有1种，所以； （2）解：从盒子中随机摸出1个球，不放回，再从中随机摸出1个球，列表如下： 第二次第一次 黄球 红球 红球 白球 黄球 红球 红球 白球 共有12种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中，摸出2个球的颜色不同且标号之和小于4（记为事件）的结果共有6种：，，，，，，所以． 知识总结 ①核心概念：概率=所求结果数÷所有等可能结果数；两步试验常用列表法或树状图。②解题要点：第（2）问注意“不放回”，列出所有12种等可能结果后筛选符合条件的结果。③关联拓展：放回与不放回试验的结果数不同，需特别注意。 22．如图，在四边形 中， 是上的一点，，．四边形由四边形 沿翻折得到，点 ， ， 的对应点分别为，，．是延长线上的一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 命题透视 ►核心考点：核心考点：图形折叠与解直角三角形。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：以四边形沿某边翻折得到新四边形为背景，结合平行线与等腰直角三角形。 （2）问题设计：问题设计：第（1）问利用平行和折叠性质证明线段相等；第（2）问通过作垂线构造直角三角形求线段长。 （3）考查目标：考查目标：考查折叠变换性质、平行线性质及解三角形能力。 答案与解析 【答案】(1)证明：， ． ∵四边形由四边形 翻折得到，点 的对应点为， ． ， ． ． (2) 【分析】（1）利用平行和折叠的性质证明，即可得出结论； （2）根据是等腰直角三角形可求，过点作，垂足为，再解三角形即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点作，垂足为 ． ，， ． ， ． ∵四边形由四边形 翻折得到，点 的对应点为， ，，． 在中，， ． ，， ． 知识总结 ①核心概念：折叠前后对应边相等、对应角相等；平行线内错角相等。②解题要点：第（2）问常过关键点作垂线，利用等腰直角三角形和三角函数求线段。③关联拓展：折叠问题核心是找对应关系，常与勾股定理、相似结合。 23．阅读下列材料，回答问题． 主题 探究形如的数的整数部分与小数部分的特征 提出问题 学过“二次根式”，我们知道许多二次根式为无理数，且均可表示为整数部分与小数部分的和，即，其中为整数，．如，．那么形如的数，其整数部分与小数部分各有什么特征呢？ 探究发现 小华对此展开研究，其探究过程如下： （1）；（2） ① ； （3）；（4） ② ； （5）；（6）． 据此，小华提出并证明了以下命题． 命题：若整数，满足，且的整数部分为，小数部分为，则必为奇数，且． 命题证明 证明：因为，， 所以，即． 又因为，且， 所以． 又根据，可得． 因此， ③ ， ④ ． 又因为，均为整数，所以为偶数， 故必为奇数，且． 拓展延伸 问题1若整数，满足，那么的整数部分是否仍为奇数？证明你的结论； 问题2若整数，满足，其中为整数，且，试探究：的整数部分是奇数还是偶数？直接写出结论，不必证明． (1)补全①②③④所缺的内容； (2)解决问题1； (3)解决问题2． 命题透视 ►核心考点：核心考点：整式运算与整数奇偶性探究。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：阅读理解型问题，通过材料给出代数恒等式，要求补全、证明并探究奇偶性。 （2）问题设计：问题设计：第（1）问补全材料中的代数式；第（2）问证明某数不是奇数；第（3）问分类讨论奇偶性。 （3）考查目标：考查目标：考查阅读理解、代数推理与分类讨论能力。 答案与解析 【答案】(1)①；②；③；④． (2)不是奇数，证明如下： ，， ，即． 又 ，且， ． 又 ， ， ， ． 故． 又 ，均为整数， 为偶数，故不是奇数． (3)当为偶数，且时，为奇数；当为奇数，且时，为偶数． 【分析】（1）根据题意求解即可； （2）先求出，根据，且，得到，由可得，则，求出，即可判断； （3）由（1）知，，根据，得到，进而得到，推出，即可判定． 【详解】（1）解： ， ①； ， ②； ， ， ，即③ ，即④； （2）略 （3）由（1）知，， ，其中为整数，且， ， ， ， ， 当为偶数，且时，为奇数， 为偶数， 为奇数，即为奇数； 当为奇数，且时，为偶数， 为偶数， 为偶数，即为偶数， 综上，当为偶数，且时，为奇数；当为奇数，且时，为偶数． 知识总结 ①核心概念：两个连续整数一奇一偶，其积为偶数；奇偶性分析常结合整式变形。②解题要点：认真阅读材料，补全恒等式，再利用整式变形判断奇偶。③关联拓展：阅读探究题强调信息迁移，常涉及新定义、数论、代数恒等式。 24．如图，四边形 内接于， 是延长线上的一点，的延长线交于点，，． (1)求的度数； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)设交 于点，且，求的值． 命题透视 ►核心考点：核心考点：圆内接四边形、平行四边形与相似三角形。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：纯几何综合题，四边形内接于圆，涉及等边三角形、平行线和线段比例。 （2）问题设计：问题设计：第（1）问求角度；第（2）问证明四边形是平行四边形；第（3）问通过全等、相似求线段比值。 （3）考查目标：考查目标：考查圆与四边形综合推理能力，是几何压轴题。 答案与解析 【答案】(1) (2)证明：， ． ． ∵四边形是的内接四边形， ． 是等边三角形， ， ． ． ． ∴四边形是平行四边形． (3) 【分析】（1）根据等边三角形的判定和性质，圆的内接四边形的性质，解答即可； （2）利用同旁内角互补两直线平行，结合平行四边形的定义证明即可； （3）过点 作，垂足为 ，连接，设，利用三角形的全等判定和性质，三角形相似的判定和性质，解答即可； 【详解】（1）解： ，， 是等边三角形． ． ∵四边形 是的内接四边形， ． 又， ． ， ． （2）略 （3）解：过点 作，垂足为 ，连接，设． ， 是等边三角形． ． 又，， ． ． ． ， 是等边三角形． ． ． ． ． ， ． ． ，． ∵四边形是平行四边形， ． 是等边三角形，， ． 在中，， ． ， ． ， ． ． 知识总结 ①核心概念：圆内接四边形对角互补；同旁内角互补则两直线平行；相似三角形对应边成比例。②解题要点：通过等边三角形性质转化角，利用圆内接四边形性质证平行，再借助相似或全等求比值。③关联拓展：圆的综合题常以等边三角形、特殊四边形为载体，需熟练转化角与线段关系。 25．已知抛物线． (1)若，，求抛物线的顶点坐标； (2)若抛物线上存在一点在轴上方，求证：抛物线与轴有两个交点； (3)抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线与相交于点，是轴上不与点重合的点．若坐标平面内存在点满足，试探究和的数量关系，并证明． 命题透视 ►核心考点：核心考点：二次函数综合。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：纯代数综合题，以抛物线为载体，探究点的坐标与线段数量关系。 （2）问题设计：问题设计：第（1）问求顶点坐标；第（2）问证明抛物线与x轴有两个交点；第（3）问探究PM与PN的数量关系，涉及直线交点、对称性和垂直平分线。 （3）考查目标：考查目标：考查二次函数与几何综合的推理、运算和探究能力，是全卷压轴题。 答案与解析 【答案】(1) (2)证明：抛物线上的点在轴上方， ， ， ， 即方程有两个不相等的实数根， 抛物线与轴有两个交点． (3)和的数量关系是， 证明：抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，如图， 故可设，，， 则，是方程的两根， 由求根公式可得，， 又坐标平面内存在点满足， 由对称性可设， 由勾股定理可得，，， ， 解得， 点的坐标为， 直线与相交于点， ， 联立，解得， 点的坐标为， 由，可知， 又 ， 垂直平分， ． 【分析】（1）将，代入抛物线表达式，配方得顶点式，根据顶点式写出顶点坐标即可； （2）由抛物线上的点在轴上方得，进而得， 进而得判别式为，得有两个不相等的实数根，进而判断抛物线与轴有两个交点； （3）设，，，由对称性可设，根据抛物线与方程的关系可得、，根据勾股定理得，，由列式计算可得点的坐标，联立直线与可得点的坐标，进而得，由得垂直平分，进而得． 【详解】（1）解：，， ， 抛物线的顶点坐标为． （2）略 （3）略 知识总结 ①核心概念：抛物线顶点坐标可用配方法或公式法求；判别式Δ>0时方程有两个不等实根；线段相等可通过全等、对称或垂直平分线证明。②解题要点：第（3）问常设点坐标，用代数法表示线段长，再结合几何性质推导关系。③关联拓展：二次函数压轴题常与一次函数、三角形、圆、相似综合，注意数形结合与分类讨论。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $