第10讲 一元二次方程的解法（配方法）（暑假预习讲义）新八年级数学新教材沪教版五四制

第10讲 一元二次方程的解法(配方法) 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型一、完全平方式 题型二、二次项系数为1的一元二次方程 题型三、二次项系数不为1的一元二次方程 题型四、配方法的应用 题型五、新定义与新解法 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 配方法、直接开平方法、 、配方步骤、配方法综合应用 1．理解配方法的定义，掌握配方的核心目的：将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解。 2．掌握配方法解一元二次方程的完整解题步骤，牢记配方关键操作：方程两边同时加上一次项系数一半的平方。 3．能规范完成方程配方变形，熟练使用配方法解方程；会利用配方法处理代数式变形、求值类拓展题型。 学习重点：1．配方法的概念、降次的核心原理。 2．配方法解一元二次方程的标准四步解题流程。 学习难点：1.二次项系数不为1时，先化二次项系数为1再配方的完整操作。 2.配方法的拓展综合应用，代数式配方、最值类难题。 3.配方过程中常数项移项、符号运算、平方计算的易错点处理。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 一元二次方程的解法(配方法) 1.配方法 把一般形式的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个常数，进而可用直接开平方法来求解，这种通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法. 配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解。 2.可化为(x+n)²=p 的形式的一元二次方程的根 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+n)²=p（Ⅱ）. ①当p>0时，方程（Ⅱ）有两个不等的实数根，； ②当p=0时，方程（Ⅱ）有两个相等的实数根x1=x2=－n； ③当p<0时，因为对任意实数x，都有 (x + n)²≥0，所以方程（Ⅱ）无实数根. 1.用配方法解一元二次方程的一般步骤： 一移：常数项且二次项系数化为 1； 二配：成完全平方公式[配上]； 三写：成(x+n)2=p； 四直：接开平方法解方程. 抓住关键点，配方变简单 用配方法解一元二次方程的关键步骤是方程两边同加一次项系数一半的平方，抓住此关键点，配方变得更简单。 将方程配方后，所得方程正确的是（     ） A． B． C． D． 用配方法解方程时，将原方程转化为的形式可得____． 题型一、完全平方式 【典例1】若方程的左边是完全平方式，则的值为（    ） A．16 B． C． D． 【典例2】用适当的正数填空： （1）________________； （2）________ ________； （3）________； （4）________________． 紧扣完全平方公式结构解题 补常数项时，添加 “一次项系数一半的平方” 即可凑成完全平方式；求一次项参数时，注意中间项符号有正负两种情况，避免漏解；二次项系数不为 1 时，先提取二次项系数再配方，通过对应项系数相等列等式求参数。 【变式1】已知是完全平方式，则k的值为（    ） A．9 B． C．18 D． 【变式2】若是完全平方式，则的值为（） A． B． C． D． 【变式3】把方程化成的形式，则的值是________． 【变式4】将一元二次方程化成的形式，则的值为_____． 题型二、二次项系数为1的一元二次方程 【典例3】解方程： (1)（用配方法） (2)（用配方法） 【典例4】用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． “移项→配方→定型→开方”四步小妙招 移项将常数项移至右侧，注意变号；方程两边同步加一次项系数一半的平方，保证等式恒等；左侧整理为完全平方式后，根据右侧常数符号判断实根情况；开平方必须保留正负号，避免漏根。 【变式1】用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如果用配方法解一元二次方程，那么方程可变形为（　　） A． B． C． D． 【变式3】已知方程，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成的形式，则印刷不清楚的数字是（  ） A．6 B．9 C．2 D． 【变式4】将改写成的形式为______． 【变式5】用配方法解方程，配方后方程转化为的形式为________． 【变式6】已知方程可以配方成的形式，那么a的值为_______． 【变式7】解方程 （1）； (2)解方程：（用配方法）； 题型三、二次项系数不为1的一元二次方程 【典例5】用配方法解方程时，先把二次项系数化为1，变形为________________，再移项化为________________，配方后变形为________________． 【典例6】用配方法解方程时，先把二次项系数化为1，然后方程的两边都应加上（    ） A．4 B．9 C．25 D．36 用归一配方法解决系数不为1的问题 方程两边同时除以二次项系数，将二次项系数化为 1，所有项同步运算，避免常数项漏除；再按基础配方法的移项、配方、定型、开方步骤求解。 【变式1】将一元二次方程配方后得到，则_________． 【变式2】用配方法解方程时，可配方为，其中________． 【变式3】当________时，代数式的值等于． 【变式4】阅读下列解答过程，在横线上填入恰当的内容． 解方程：． 解：移项，得．① 两边同时除以2，得．② 配方，得，③ 即，．④ 故，．⑤ (1)上述过程中开始出错的步骤是________（填序号），原因是________． (2)请写出正确的解答过程． 题型四、配方法的应用 【典例7】下列用配方法解方程的四个步骤中，出现错误的是 （    ） A．① B．② C．③ D．④ 【典例8】设为一元二次方程较大的实数根，则（　　） A． B． C． D． 核心思路是配方构造完全平方式，利用平方非负性解题：求代数式最值时配方为顶点式，由二次项系数正负判断最值；判断代数式正负、作差比较大小，均通过配方分析整体符号；几何、函数综合题先解方程求参数，再结合对应知识点分析，注意验证结果合理性。 【变式1】已知三角形的两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程的一个根．请你用配方法解此方程，并计算出该三角形的面积． 【变式2】若方程用配方法可配成的形式，则直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3】不论x，y取何实数，代数式x2－4x＋y2－6y＋13总是（    ） A．非负数 B．正数 C．负数 D．非正数 【变式4】已知（为任意实数），则的大小关系为（　　　） A． B． C． D．不能确定 题型五、新定义与新解法 【典例9】设是两个整数，若定义一种运算“”，，则方程的实数根是（　　） A． B． C． D． 【典例10】欧几里得的《几何原本》中记载了形如的方程根的图形解法：如图，画，使，以为圆心为半径画圆，交射线于点D、E，则这个方程较小的实根是（    ）． A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．的长度 先精准解读新运算、新解法的规则，将陌生形式转化为标准一元二次方程，再用配方法求解。新运算类按定义展开整理方程；几何解法类对应线段长度与方程根的关系，结合几何性质验证。 【变式1】阅读与思考 下面是小亮同学的数学小论文（部分）．请仔细阅读并完成相应的任务· 平均数法解一元二次方程 在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 例解方程． 解：原方程变形，得． 由平方差公式，得． 移项，得，即． 直接开平方并整理，得，我们称这种解法为“平均数法”． 下面是小明用“平均数法”解方程的过程． 解：原方程变形，得． 由平方差公式，得． 移项，得． 直接开平方并整理，得． 任务： (1)上述过程中的a，b，c，d表示的数分别为______，______，______，______； (2)请用“平均数法”解方程：． 【变式2】阅读理解题． 定义：如果一个数i的平方等于，记为，那么这个数i叫做虚数单位．我们把形如（a，b为实数）的数叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式类似． 读完这段文字，请你解答以下问题： (1)填空： ， ， ． (2)已知，写出一个以a，b的值为解的一元二次方程． (3)在复数范围内解方程：． 【变式3】阅读与思考 配方法不仅能够帮助我们解一元二次方程，我们还能用来解决最大值最小值问题，例如：求代数式的最小值． 我们使用的方法如下： 原式 ． ，， ， 的最小值是． 根据材料方法，解答下列问题． (1)的最大值为______； (2)求的最小值． 1．用配方法解一元二次方程，配方后所得的方程是（   ） A． B． C． D． 2．将方程配方后，所得方程正确的是（     ） A． B． C． D． 3．一元二次方程用配方法解方程，配方结果是（     ） A． B． C． D． 4．王老师设计了接力游戏：每人只能看到前一人的方程，并继续进行变形，将结果传递给下一人，最终求出方程的解，过程如图所示． 上述求解过程中，错误的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．我们可以用几何的方法求一元二次方程的解．例如求方程的解时，如图，先画，使，，，在斜边上截取，则下列线段可以表示方程的一个解的是（） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 6．如图，点在直线上，过作轴、轴的垂线，垂足分别为 ， ，矩形的面积为1（ 为坐标原点）．若满足条件的点有且仅有三个，则点的横坐标为______________． 7．（1）____________； （2）____________． 8．如果方程可以配方成，那么__________． 9．将方程化成（为常数）的形式，则___________． 10．规定：，如：，若，则＝__. 11．解方程． (1)； (2)． 12．解一元二次方程时，小龙同学的错误解法如图． 解： 所以或 所以， (1)你认为是方程的解吗？请判断并说明理由． (2)选择正确的方法解方程：． 13．有 n个方程：；；；．小静同学解第一个方程的步骤为：；；；； ；， ． (1)小静的解法是从步骤____开始出现错误的； (2)用配方法解第 个方程．（用含有的式子表示方程的根） 2/14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 一元二次方程的解法(配方法) 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型一、完全平方式 题型二、二次项系数为1的一元二次方程 题型三、二次项系数不为1的一元二次方程 题型四、配方法的应用 题型五、新定义与新解法 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 配方法、直接开平方法、 、配方步骤、配方法综合应用 1．理解配方法的定义，掌握配方的核心目的：将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解。 2．掌握配方法解一元二次方程的完整解题步骤，牢记配方关键操作：方程两边同时加上一次项系数一半的平方。 3．能规范完成方程配方变形，熟练使用配方法解方程；会利用配方法处理代数式变形、求值类拓展题型。 学习重点：1．配方法的概念、降次的核心原理。 2．配方法解一元二次方程的标准四步解题流程。 学习难点：1.二次项系数不为1时，先化二次项系数为1再配方的完整操作。 2.配方法的拓展综合应用，代数式配方、最值类难题。 3.配方过程中常数项移项、符号运算、平方计算的易错点处理。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 一元二次方程的解法(配方法) 1.配方法 把一般形式的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个常数，进而可用直接开平方法来求解，这种通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法. 配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解。 2.可化为(x+n)²=p 的形式的一元二次方程的根 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+n)²=p（Ⅱ）. ①当p>0时，方程（Ⅱ）有两个不等的实数根，； ②当p=0时，方程（Ⅱ）有两个相等的实数根x1=x2=－n； ③当p<0时，因为对任意实数x，都有 (x + n)²≥0，所以方程（Ⅱ）无实数根. 1.用配方法解一元二次方程的一般步骤： 一移：常数项且二次项系数化为 1； 二配：成完全平方公式[配上]； 三写：成(x+n)2=p； 四直：接开平方法解方程. 抓住关键点，配方变简单 用配方法解一元二次方程的关键步骤是方程两边同加一次项系数一半的平方，抓住此关键点，配方变得更简单。 将方程配方后，所得方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，按照配方法的步骤，先移项，再配方，将方程左边整理为完全平方式，即可得到结果． 【详解】解： 移项，得． 两边都加一次项系数一半的平方，得， 即． 用配方法解方程时，将原方程转化为的形式可得____． 【答案】 【分析】先移项，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：∵， 移项得， 配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得： ， 整理得． 题型一、完全平方式 【典例1】若方程的左边是完全平方式，则的值为（    ） A．16 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方式的结构，即可得到答案. 【详解】解：∵方程的左边是完全平方式， ∴； 故选择：D. 【点睛】本题考查了完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．属于基础题，熟记公式即可作出正确的选择． 【典例2】用适当的正数填空： （1）________________； （2）________ ________； （3）________； （4）________________． 【答案】 4 2 8 4 / / 【分析】（1）根据完全平方公式计算即可； （2）根据完全平方公式计算即可； （3）根据完全平方公式计算即可； （4）根据完全平方公式计算即可． 此题考查的是配方法，掌握完全平方公式是解决此题的关键． 【详解】（1）， 故答案为：4，2； （2）， 故答案为：8，4； （3）， 故答案为：； （4） 故答案为：，． 紧扣完全平方公式结构解题 补常数项时，添加 “一次项系数一半的平方” 即可凑成完全平方式；求一次项参数时，注意中间项符号有正负两种情况，避免漏解；二次项系数不为 1 时，先提取二次项系数再配方，通过对应项系数相等列等式求参数。 【变式1】已知是完全平方式，则k的值为（    ） A．9 B． C．18 D． 【答案】D 【分析】根据完全平方式的定义得到，进而可知，求解即可． 【详解】解：∵，且是完全平方式， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】若是完全平方式，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方式，熟练掌握完全平方式的结构特点是解答的关键．根据完全平方式的定义，表达式应满足即可求解． 【详解】解：是完全平方式， ， 这个完全平方式为：或， ， 故选：D． 【变式3】把方程化成的形式，则的值是________． 【答案】11 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方求出的值． 【详解】解：， 移项得， 配方得， 即， ∴， 故答案为：11． 【变式4】将一元二次方程化成的形式，则的值为_____． 【答案】9 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，通过配方将方程化为完全平方形式，再求p和q的值，代入求和解答即可． 【详解】解：， 所以，， 则， 故答案为：9． 题型二、二次项系数为1的一元二次方程 【典例3】解方程： (1)（用配方法） (2)（用配方法） 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：原方程化为 ， ， ，即， ，； （2）原方程化为 ， ， ，即， ，； 【典例4】用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将常数项移到等号的右边，然后配方将方程左边配成一个完全平方式即可． 【详解】 ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了“配方”的知识，掌握完全平方公式是解答本题的关键． “移项→配方→定型→开方”四步小妙招 移项将常数项移至右侧，注意变号；方程两边同步加一次项系数一半的平方，保证等式恒等；左侧整理为完全平方式后，根据右侧常数符号判断实根情况；开平方必须保留正负号，避免漏根。 【变式1】用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将常数项移到方程右侧，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配方为完全平方式即可得到结果． 【详解】解：由题意得， ． 【变式2】如果用配方法解一元二次方程，那么方程可变形为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，将方程左边整理为完全平方式即可得到结果． 【详解】解： ∵原方程为， ∴移项得， ∴， ∴整理得 ． 【变式3】已知方程，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成的形式，则印刷不清楚的数字是（  ） A．6 B．9 C．2 D． 【答案】C 【分析】设印刷不清的数字是a，根据完全平方公式展开得出x2-2px+p2=7，求出x2-2px+4=11-p2，再根据题意得出-2p=-6，a=11-p2，最后求出答案即可． 【详解】设印刷不清的数字是a， （x-p）2=7， x2-2px+p2=7， ∴x2-2px=7-p2， ∴x2-2px+4=11-p2， ∵方程x2-6x+4=□，等号右侧的数字印刷不清楚，可以将其配方成（x-p）2=7的形式， ∴-2p=-6，a=11-p2， ∴p=3，a=11-32=2， 即印刷不清的数字是2， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程和完全平方公式，能求出-2p=-6是解此题的关键． 【变式4】将改写成的形式为______． 【答案】 【分析】先移项得到x2+6x=-1，再把方程两边加上9，然后利用完全平方公式即可得到（x+3）2=8． 【详解】解：方程， 移项：， 配方得：x2+6x+9=-1+9=8，即（x+3）2=8， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．注意方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 【变式5】用配方法解方程，配方后方程转化为的形式为________． 【答案】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题关键． 通过配方法，将常数项移项后，添加一次项系数一半的平方完成配方，转化为完全平方式即可得出答案． 【详解】解： ， 移项，得， 配方，得，即 ， ∴ ， 故答案为： ． 【变式6】已知方程可以配方成的形式，那么a的值为_______． 【答案】4 【分析】本题考查配方法，将，展开，与原方程对应后，即可得出结果． 【详解】解：由展开得，即， 与原方程 比较，得，故． 故答案为：4． 【变式7】解方程 （1）； 【答案】； 【详解】， ， ， ， ， ∴； (2)解方程：（用配方法）； 【答案】， 【详解】（2） 解： ，． 题型三、二次项系数不为1的一元二次方程 【典例5】用配方法解方程时，先把二次项系数化为1，变形为________________，再移项化为________________，配方后变形为________________． 【答案】 【分析】先把方程化二次项的系数为1，再把常数项移到左边，两边加上一次项系数一半的平方，配成左边是完全平方的形式，右边是一个正数，然后两边直接开平方，求出方程的根． 【详解】2x2+3x-1=0, ， ， ， . 故答案为；； 【点睛】本题考查的是用配方法解一元二次方程，把二次项的系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，方程的左边配成完全平方的形式，右边是一个正数，再用直接开平方法求出方程的解． 【典例6】用配方法解方程时，先把二次项系数化为1，然后方程的两边都应加上（    ） A．4 B．9 C．25 D．36 【答案】B 【分析】利用配方法，即可求解． 【详解】解：， 方程两边同时除以2得：， 方程两边同时加上9得：． 故选：B 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 用归一配方法解决系数不为1的问题 方程两边同时除以二次项系数，将二次项系数化为 1，所有项同步运算，避免常数项漏除；再按基础配方法的移项、配方、定型、开方步骤求解。 【变式1】将一元二次方程配方后得到，则_________． 【答案】26 【分析】此题考查的是解一元二次方程−−配方法，掌握配方法的方法与步骤是解题的关键．把配方后与比较得出b，c的值，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵方程配方后得到， ∴， ∴． 故答案为：26． 【变式2】用配方法解方程时，可配方为，其中________． 【答案】-6 【分析】把方程左边配成完全平方，与比较即可. 【详解】， ， ， 可配方为， . 故答案为. 【点睛】本题考查用配方法来解一元二次方程，熟练配方是解决此题的关键. 【变式3】当________时，代数式的值等于． 【答案】 【分析】根据题意列出方程，两边除以3变形后，再加上1配方后，开方即可求出解． 【详解】解：根据题意得：3x2-6x=12，即x2-2x=4， 配方得：x2-2x+1=5，即（x-1）2=5， 开方得：x-1=±， 解得：x=1±． 故答案为1±． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【变式4】阅读下列解答过程，在横线上填入恰当的内容． 解方程：． 解：移项，得．① 两边同时除以2，得．② 配方，得，③ 即，．④ 故，．⑤ (1)上述过程中开始出错的步骤是________（填序号），原因是________． (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)③，等式右边没有同时加4 (2)见解析 【详解】解：（1）③  等式右边没有同时加4 （2）正确的解答过程如下： 移项，得． 两边同时除以2，得． 配方，得， 即， ． 故，． 题型四、配方法的应用 【典例7】下列用配方法解方程的四个步骤中，出现错误的是 （    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】观察题中解方程的步骤，找出错误的即可． 【详解】解：解方程， 去分母得：x-2x-4=0，即x-2x=4， 配方得：x-2x+1=5，即， 开方得：x-1=±， 解得：x=1±， 则四个步骤中出现错误的是④． 故选：D． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【典例8】设为一元二次方程较大的实数根，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解一元二次方程，得到的值，在估算实数的取值范围． 【详解】解：解方程，可得， ∵为一元二次方程较大的实数根， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查解一元二次方程、实数的估算，关键是掌握解一元二次方程的方法——公式法． 核心思路是配方构造完全平方式，利用平方非负性解题：求代数式最值时配方为顶点式，由二次项系数正负判断最值；判断代数式正负、作差比较大小，均通过配方分析整体符号；几何、函数综合题先解方程求参数，再结合对应知识点分析，注意验证结果合理性。 【变式1】已知三角形的两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程的一个根．请你用配方法解此方程，并计算出该三角形的面积． 【答案】；三角形面积为24或 【分析】本题考查一元二次方程的解法、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的判定（勾股定理的逆定理）等．先解一元二次方程求出该方程的实数根，再根据三角形的三边关系定理得出第三边，然后得出这个三角形是直角三角形或等腰三角形，最后利用三角形的面积公式即可得． 【详解】解： ， 解得． ①当第三边长是10时，， 该三角形为直角三角形，如图①， ； ②当第三边长是6时，该三角形为等腰三角形，如图②，过点A作，交BC于点D， ， ． 综上所述，该三角形的面积为24或． 【变式2】若方程用配方法可配成的形式，则直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程配方及一次函数的性质，先配方得到，，再根据一次函数的性质判断即可得到答案； 【详解】解：方程配方得， ， ∴，， ∴直线经过一、二、四象限，不经过三象限， 故选：C． 【变式3】不论x，y取何实数，代数式x2－4x＋y2－6y＋13总是（    ） A．非负数 B．正数 C．负数 D．非正数 【答案】A 【分析】先把原式化为，结合完全平方公式可得原式可化为从而可得答案. 【详解】解：x2－4x＋y2－6y＋13 故选A 【点睛】本题考查的是代数式的值，非负数的性质，利用完全平方公式分解因式，掌握“”是解本题的关键. 【变式4】已知（为任意实数），则的大小关系为（　　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】利用作差法比较即可． 【详解】根据题意，得 ＝， ∵ ∴ ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了代数式的大小比较，熟练作差法，灵活运用完全平方公式，配方法的应用，使用实数的非负性是解题的关键． 题型五、新定义与新解法 【典例9】设是两个整数，若定义一种运算“”，，则方程的实数根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查定义新运算，解一元二次方程的运用，理解新定义，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 根据题中的新定义将所求方程化为普通方程，左边化为完全平方式，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：，即， 解得：． 故选：C． 【典例10】欧几里得的《几何原本》中记载了形如的方程根的图形解法：如图，画，使，以为圆心为半径画圆，交射线于点D、E，则这个方程较小的实根是（    ）． A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．的长度 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、利用配方法解一元二次方程，圆的基本性质，解题关键在于把方程较小的根转化为的长．在，由勾股定理即可得，再利用配方法可求得方程的解，根据题意可答案． 【详解】解：在，，，， ， ， ， ， ， 即， 解得，， 又以B为圆心BC为半径画圆，交射线AB于点D、E， ， 该方程较小的根是， 故选：D． 先精准解读新运算、新解法的规则，将陌生形式转化为标准一元二次方程，再用配方法求解。新运算类按定义展开整理方程；几何解法类对应线段长度与方程根的关系，结合几何性质验证。 【变式1】阅读与思考 下面是小亮同学的数学小论文（部分）．请仔细阅读并完成相应的任务· 平均数法解一元二次方程 在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 例解方程． 解：原方程变形，得． 由平方差公式，得． 移项，得，即． 直接开平方并整理，得，我们称这种解法为“平均数法”． 下面是小明用“平均数法”解方程的过程． 解：原方程变形，得． 由平方差公式，得． 移项，得． 直接开平方并整理，得． 任务： (1)上述过程中的a，b，c，d表示的数分别为______，______，______，______； (2)请用“平均数法”解方程：． 【答案】(1)5，2，， (2) 【分析】本题为新定义问题，考查了一元二次方程的解法等知识． （1）根据“平均数法”解一元二次方程即可求解； （2）根据“平均数法”解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：解方程的过程． 解：原方程变形，得． 由平方差公式，得． 移项，得． 直接开平方并整理，得，． 故答案为：5，2，，； （2）解：原方程变形，得． 由平方差公式，得． 移项，得，即． 直接开平方并整理，得． 【变式2】阅读理解题． 定义：如果一个数i的平方等于，记为，那么这个数i叫做虚数单位．我们把形如（a，b为实数）的数叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式类似． 读完这段文字，请你解答以下问题： (1)填空： ， ， ． (2)已知，写出一个以a，b的值为解的一元二次方程． (3)在复数范围内解方程：． 【答案】(1)，1，0 (2)（答案不唯一，符合题意即可） (3)， 【分析】（1）根据复数的定义，即及幂的运算求解即可； （2）先化简，再根据复数相等的条件列方程组，最后根据一元二次方程根与系数的关系构造一元二次方程； （3）先根据解一元二次方程的方法解方程，再利用复数的定义表示出结果． 【详解】（1）解：，， ． （2）解：∵， ∴， 即， ∴， ∴，， 即， ∴一个以a，b的值为解的一元二次方程可为． （3）解：， ， ， ， ∴，． 【变式3】阅读与思考 配方法不仅能够帮助我们解一元二次方程，我们还能用来解决最大值最小值问题，例如：求代数式的最小值． 我们使用的方法如下： 原式 ． ，， ， 的最小值是． 根据材料方法，解答下列问题． (1)的最大值为______； (2)求的最小值． 【答案】(1)3 (2)的最小值为2 【分析】（1）仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答； （2）利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可． 此题考查配方法的应用，解题关键在于理解题意掌握运算法则． 【详解】（1） ∵ ∴ ∴的最大值为3 ∴的最大值为3； （2） ∵， ∴ ∴的最小值为2 ∴的最小值为2． 1．用配方法解一元二次方程，配方后所得的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程配方法的解题步骤，准确计算是解题的关键． 通过配方法，将方程转化为完全平方式的形式即可． 【详解】， ， ， ． 故选． 2．将方程配方后，所得方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，按照配方法的步骤，先移项，再配方，将方程左边整理为完全平方式，即可得到结果． 【详解】解： 移项，得． 两边都加一次项系数一半的平方，得， 即． 3．一元二次方程用配方法解方程，配方结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 方程配方后得到． 4．王老师设计了接力游戏：每人只能看到前一人的方程，并继续进行变形，将结果传递给下一人，最终求出方程的解，过程如图所示． 上述求解过程中，错误的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】根据配方法解一元二次方程逐一对甲、乙、丙、丁四步的变形过程进行检查，找出计算错误的步骤． 【详解】解：王老师：， 甲：两边同除以2，移项得，正确， 乙：配方，两边加4，得，即，但乙写成了，错误， 丙：开平方，得，正确， 丁：，则，正确， ∴错误的是乙． 5．我们可以用几何的方法求一元二次方程的解．例如求方程的解时，如图，先画，使，，，在斜边上截取，则下列线段可以表示方程的一个解的是（） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】A 【分析】先利用配方法解一元二次方程求出正数解，再在中利用勾股定理求出的长，结合求出的长，对比即可得出结论． 【详解】解：配方得， 解得，， 线段长度必须为正数， 该方程符合几何意义的解为， 在中，， ，， 由勾股定理得， 在斜边上截取， ． 线段的长表示方程的一个解． 6．如图，点在直线上，过作轴、轴的垂线，垂足分别为 ， ，矩形的面积为1（ 为坐标原点）．若满足条件的点有且仅有三个，则点的横坐标为______________． 【答案】1或或 【分析】设，依题意，，得出或，根据满足条件的点有且仅有三个，确定的值，进而解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设，依题意， ∴或 ∵中，，方程有两个不等实数解， 依题意，满足条件的点有且仅有三个 ∴方程有且只有一个解， ∴ ∵ ∴ 所以方程， ∴ ∴ ∴ 解得： 解方程 ∴ 解得： 综上所述，点的横坐标为1或或 7．（1）____________； （2）____________． 【答案】 25 5 【详解】解：（1）， （2）． 8．如果方程可以配方成，那么__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程-配方法，通过配方法将方程转化为完全平方形式，比较系数求出和的值，再计算并求其2025次幂即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 已知配方后为 ， ∴，， 解得， 则， 所以 ， 故答案为：． 9．将方程化成（为常数）的形式，则___________． 【答案】1 【分析】利用配方法将原方程变形为的形式，求出和的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：原方程为， 移项得， 配方，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 即 ，整理为 的形式得， ，， 则， 因此． 10．规定：，如：，若，则＝__. 【答案】1或-3 【分析】根据a⊗b=（a+b）b，列出关于x的方程（2+x）x=3，解方程即可． 【详解】依题意得：（2+x）x=3， 整理，得 x2+2x=3， 所以 （x+1）2=4， 所以x+1=±2， 所以x=1或x=-3． 故答案是：1或-3． 【点睛】用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 11．解方程． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先移项，再利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解： 移项得， 因式分解得，， 解得：，． （2）解： 移项得，， 配方得，，即， ∴， 解得：，． 12．解一元二次方程时，小龙同学的错误解法如图． 解： 所以或 所以， (1)你认为是方程的解吗？请判断并说明理由． (2)选择正确的方法解方程：． 【答案】(1)不是方程的解，理由见解析 (2)， 【分析】（1）把代入方程验证即可； （2）整理后用直接开平方法求解即可． 【详解】（1）解：当时，左边，右边， 左边右边， 不是方程的解； （2）解：， ， ， ， ，． 13．有 n个方程：；；；．小静同学解第一个方程的步骤为：；；；； ；， ． (1)小静的解法是从步骤____开始出现错误的； (2)用配方法解第 个方程．（用含有的式子表示方程的根） 【答案】(1)； (2)，． 【分析】（）移项要变号即可； （）移项后配方，开方，即可得出两个方程，求出方程的解即可； 此题考查了解一元二次方程的应用，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）方程移项，得，故小静的解法是从步骤开始出现错误的， 故答案为：； （2）， 移项，得：， 两边同时加上，得， 配方，得， 两边同时开平方，得， 移项，得， ∴，． 2/14 学科网（北京）股份有限公司 $