第11讲 根的判别式与公式法解一元二次方程（暑假预习讲义）新八年级数学新教材沪教版五四制

第11讲 根的判别式与公式法解一元二次方程 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 根的判别式判断根的情况 题型2 求根公式的理解与逆向求方程 题型3 公式法解一元二次方程 题型4 一元二次方程解法综合 题型5 判别式和公式法的综合应用 题型6 新定义 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 根的判别式、求根公式、公式法、一元二次方程一般形式、换元法、整体思想、重根、解法综合、几何综合、新定义 1．理解一元二次方程根的判别式的意义，掌握判别式与根的三种对应关系，能准确判断方程根的情况。 2．理解一元二次方程求根公式的推导过程，掌握求根公式的表达形式与应用条件。 3．掌握公式法解一元二次方程的完整解题步骤，能准确确定一般式中a、b、c的值，规范计算并求解方程的根。 4．能综合运用直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法解一元二次方程，根据方程特点选择合适的解法。 5．能运用判别式和公式法解决与几何图形、新定义相结合的综合问题，提升分析和解决复杂问题的能力。 学习重点： 1. 一元二次方程根的判别式的意义及与根的三种对应关系。 2. 一元二次方程求根公式的内容、应用条件与推导逻辑。 3. 公式法解一元二次方程的标准四步流程，a、b、c的取值与符号判定。 4. 一元二次方程四种解法的综合运用与方法选择。 5. 判别式和公式法在几何综合、新定义问题中的应用。 学习难点： 1. 求根公式推导过程中配方变形的逻辑理解。 2. 含参数的一元二次方程根的判别式的讨论与分类。 3. 公式法中各项系数符号的准确判断、判别式的正确计算，规避运算易错点。 4. 根据方程特点灵活选择最优解法。 5. 判别式和公式法与几何、新定义等综合问题的分析思路。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01一元二次方程的判别式 1．一元二次方程的判别式及其表示 （1）判别式：式子 叫作一元二次方程 的判别式。 （2）表示：通常用符号＂＂来表示，记作 。 在应用一元二次方程的判别式时，首先要确定 a , b , c 的值，其次，此判别式只适用于一元二次方程。当无法判定方程是不是一元二次方程时，应根据具体情况分类讨论。 2．判断一元二次方程 实数根的情况 ，有两个不相等的实数根； ，有两个相等的实数根； ，没有实数根。 上述判断反过来亦成立。 ：（1）一元二次方程有实数根包括一元二次方程有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根，此时 ，切勿丢掉等号。 （2）当一元二次方程有两个相等的实数根时，不能说方程只有一个实数根。 （3）当 a , c 异号时，一元二次方程 一定有两个不相等的实数根。 判别式 的作用大，有无实数根都靠它 根据一元二次方程的判别式 与 0 的大小关系可以判断根的情况，反之根的情况也可反映根的判别式 与 0的大小关系。解决问题时要注意区分 与 0 的大小关系是条件还是结论。 以下一元二次方程中无实根的是（    ） A． B． C． D． 已知关于x的一元二次方程（a、b为常数，且），这个方程的根的情况是___________． 知识点02 一元二次方程的判别式的应用 利用判别式解题大致有以下三种： （1）a , b , c 都是已知数，判断方程根的情况：先算出判别式 的值，再下结论。 （2）a , b , c 中含有字母，证明方程有无实数根，解这种题应先求出 的表达式，然后对这个表达式进行恒等变形，转化为熟悉的形式再判断。 （3）若题中给出了一元二次方程根的情况，求待定系数的值或取值范围，这时可根据题目的要求，由根的判别式组成方程或不等式求出结果。 判断一元二次方程实数根的情况，首先要把一元二次方程化成一般形式，再确定 a , b , c 的值，然后算出 的值，最后据此判断原方程根的情况。 一元二次方程隐含了二次项系数不为 0 的条件。本题解题时易忽略这一条件，所以解含特定系数的方程时，应特别注意对系数的讨论。 已知关于x的方程有两个相等的实数根，那么k的值是______． 已知关于的一元二次方程，请赋予一个具体的数值，使得方程一定有两个不相等的实数根．那么值可以为_____（写出符合题意的一个答案）． 知识点03 一元二次方程的求根公式 1．一元二次方程的求根公式 对一元二次方程 ，当 时，它的实数根可以写成 的形式。这个式子叫作一元二次方程 的求根公式。在求根公式中，如果 ，那么 ，即方程有两个相等的实数根（重根）。 一元二次方程 的求根公式的应用条件是 ，且 。 2．一元二次方程 的求根公式的推导过程（配方法） 移项得 二次项系数化为 1 得 配方得 ，即 开平方得 ，即 3．公式法 在解一元二次方程时，把方程化成一般形式 ，如果 ，那么把 a , b , c 的值代入求根公式，就可以求得方程的实数根；如果 ，那么原方程没有实数根。这种解一元二次方程的方法称为公式法。 （1）由公式法解一元二次方程，知其根是由系数 a , b , c 决定的，只要确定 a , b , c 的值，在 的前提下代入求根公式，即可求出方程的解。 （2）任何一个一元二次方程都能用公式法求解，求根公式是处理一元二次方程的主要工具之一，应用时，要先将方程化为一般式，然后确定 a , b , c 的值，具体应用时应先计算 的值，如果 就可以继续往下解，正确确定各项系数和常数项，以及准确地运算，是确保用公式法正确解题的关键。 4．用公式法解一元二次方程的一般步骤 （1）把一元二次方程化成一般形式。 （2）确定 a , b , c 的值。 （3）求出 的值（或代数式）。 （4）若 ，则把 a , b , c 的值代入求根公式，求出 ，若 ，则方程无解。 提醒确定 a , b , c 的值时，要特别注意 a , b , c 的符号。 用公式法解—元二次方程的两点注意 （1）用公式法解一元二次方程的关键是确定 a , b , c 的值。 （2）判断 与 0 的大小关系是求解中的重要一步， 是用求根公式解一元二次方程的前提条件。 用公式法解关于的一元二次方程，得，则该一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 已知方程的解是，则方程的解是___________． 题型一、根的判别式判断根的情况 已知关于x的一元二次方程，下列说法正确的是（    ） A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根 C．方程没有实数根 D．方程根的情况无法确定 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D．且 核心在于熟练运用. 当时，方程有两个不相等的实数根；时，有两个相等的实数根；时，无实数根. 易错点是忽略二次项系数这一隐含条件，特别是在含参问题中，务必先保证方程是一元二次方程再计算. 如果一元二次方程能用公式法求解，那么必须满足的条件是（　　） A． B． C． D． 若关于的方程有实数根，是实数的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 已知关于的一元二次方程，其中满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（    ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 若一次函数y＝kx+b图象经过第一、三、四象限，则关于x的方程x2﹣2x+kb+1＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 请写出一个关于x的一元二次方程，并满足以下两个条件：①二次项系数为k；②方程必须有两个不相等的实数根；这个一元二次方程可以是______． 题型二、求根公式的理解与逆向求方程 关于的一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 某一元二次方程的根用求根公式表示为，则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 此题考查对结构的拆解能力. 需通过观察公式中的数值特征，反推、、的值或符号. 技巧是关注分母确定，分子确定的符号及大小，根号内对应. 注意正负号的处理，避免还原方程时出错. 用公式法解方程时，得，则“□”处应填（  ） A． B． C．5 D．7 用求根公式解一元二次方程时，其中，，的值分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 已知x=(b2－4c>0)，则x2＋bx＋c的值为_______________________. 题型三、公式法解一元二次方程 用公式法解一元二次方程时，化方程为一般式当中的、、依次为（  ） A．2，， B．2，3，1 C．2，，1 D．2，3， 利用公式法解一元二次方程可得两根为、，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 第一步：将方程化为一般形式. 第二步：准确确定、、的值，特别注意各项系数的符号. 第三步：计算，若，代入公式求解. 易错点在于移项忘变号，以及最后结果未化简. 用公式法解方程时所得到的解正确的是（ ） A． B． C． D． 若用公式法解关于x的一元二次方程，其根为（　　） A． B． C． D． 用公式法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 用公式法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 用公式法解方程： (1) (2) (3) (4)． 题型四、一元二次方程解法综合 解方程： (1)用因式分解法解方程： (2)用配方法解方程： (3)用因式分解法解方程： (4)用公式法解方程： 解方程： (1)．（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（因式分解法） (4)（公式法） 题目若无要求时，我们一般首选因式分解法（十字相乘），因其运算量小. 若无法分解，再考虑公式法或配方法. 技巧是观察方程结构：缺一次项用直接开平方法；缺常数项提公因式；系数简单尝试十字相乘. 切忌盲目使用公式法导致计算繁琐出错，灵活选择最优解法是关键. 解方程： (1)用适当的方法解方程： (2)用适当的方法解方程： (3)用配方法解方程： (4)用公式法解方程： 按要求解方程： (1)；（用直接开平方法） (2)；（用配方法） (3)；（用公式法） (4)；（用因式分解法） 用指定的方法解方程： (1)（配方法） (2)（公式法） (3)（因式分解法） (4)（用适当的方法） 用指定的方法解方程： (1)（用配方法） (2)（用公式法） (3)（用因式分解法） (4)（用适当的方法） 解方程 (1)；（配方法） (2)； (3)； (4)．（公式法） 题型五、判别式和公式法的综合应用 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若m为正整数，且该方程的两个根都是整数，求m的值． 对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则； 其中正确的（    ） A．②④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 常涉及含参方程的整数根、有理根问题. 技巧是将设为完全平方数，利用整除性质讨论参数取值. 或者利用韦达定理辅助判断. 难点在于分类讨论要全面，既要保证，又要满足题目特定的限制条件（如根为正整数），逻辑链条不能断. 已知关于的一元二次方程． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)如果此方程的两个实数根都为整数，求整数的值． 为实数，关于的方程为． (1)判断方程根的情况． (2)若方程的两根为，，当时，求的值． 已知关于x的方程． (1)求证：无论k取何值，该方程总有两个实数根； (2)若方程的一个根大于1，求k的取值范围． 已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程一定有两个实数根； (2)如果a为整数且方程的两个根均为整数，求a的值． 已知关于的方程． (1)求证：方程必有两个不等实数根； (2)当取的整数时，存在两个有理数根，求的值和这两个有理数根． 题型六、新定义 对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：，因为所以是“喜鹊数”． (1)已知一个“喜鹊数”（，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式_________；判断_________“喜鹊数”（填“是”或“不是”）； (2)利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程①与②，若是方程①的一个根，是方程②的一个根，求m与n满足的关系式； (3)在（2）中条件下，且，请直接写出满足条件的所有k的值． 某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：对于三个实数，，，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中的最小的数； 如: ，． 请结合上述材料解答下列问题： (1) ， . (2)如果，那么的取值范围是 . (3)如果，求的值． 解题关键是“翻译”，即读懂题目给出的新运算规则或新概念（如“差1方程”），将其转化为熟悉的一元二次方程模型. 不要受新名词干扰，本质仍是考查或求根公式. 注意新定义下的特殊限制条件，严格按照定义的步骤进行推导和计算，切勿想当然地套用旧经验. 新定义：如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”． (1)方程是否为“差1方程”？答：___________（填“是”或“不是”） (2)已知关于的方程（是常数）是“差1方程”，求的值； (3)若关于的方程（是常数，）是“差1方程”，设，求出的最大值． 定义：已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则称此类方程为“差积方程”． 例如：， 即， 解得，， ∵， 是差积方程． (1)方程__________（填是或不是）“差积方程”； (2)若关于的方程是“差积方程”，求出的值． (3)若关于的方程是“差积方程”，且它的一个实数根为，则__________． 下列一元二次方程没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 关于的一元二次方程有两不等实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式是（      ） A． B． C． D． 探讨关于x的一元二次方程总有实数根的条件，下面三名同学给出建议：甲：a，b同号；乙：；丙：．其中符合条件的是（    ） A．甲，乙，丙都正确 B．只有甲不正确 C．甲，乙，丙都不正确 D．只有乙正确 已知关于的方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． （2）若方程有两个相等的实数根，求的值，并求此时方程的根． 用公式法解方程： (1)； (2)； (3)． 已知关于的一元二次方程（为实数）． (1)求证：无论取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； (2)设方程的两个实数根为，，且满足，求的值； (3)在方程有两个整数根的情况下，求的值． 2/14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 根的判别式与公式法解一元二次方程 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 根的判别式判断根的情况 题型2 求根公式的理解与逆向求方程 题型3 公式法解一元二次方程 题型4 一元二次方程解法综合 题型5 判别式和公式法的综合应用 题型6 新定义 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 根的判别式、求根公式、公式法、一元二次方程一般形式、换元法、整体思想、重根、解法综合、几何综合、新定义 1．理解一元二次方程根的判别式的意义，掌握判别式与根的三种对应关系，能准确判断方程根的情况。 2．理解一元二次方程求根公式的推导过程，掌握求根公式的表达形式与应用条件。 3．掌握公式法解一元二次方程的完整解题步骤，能准确确定一般式中a、b、c的值，规范计算并求解方程的根。 4．能综合运用直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法解一元二次方程，根据方程特点选择合适的解法。 5．能运用判别式和公式法解决与几何图形、新定义相结合的综合问题，提升分析和解决复杂问题的能力。 学习重点： 1. 一元二次方程根的判别式的意义及与根的三种对应关系。 2. 一元二次方程求根公式的内容、应用条件与推导逻辑。 3. 公式法解一元二次方程的标准四步流程，a、b、c的取值与符号判定。 4. 一元二次方程四种解法的综合运用与方法选择。 5. 判别式和公式法在几何综合、新定义问题中的应用。 学习难点： 1. 求根公式推导过程中配方变形的逻辑理解。 2. 含参数的一元二次方程根的判别式的讨论与分类。 3. 公式法中各项系数符号的准确判断、判别式的正确计算，规避运算易错点。 4. 根据方程特点灵活选择最优解法。 5. 判别式和公式法与几何、新定义等综合问题的分析思路。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01一元二次方程的判别式 1．一元二次方程的判别式及其表示 （1）判别式：式子 叫作一元二次方程 的判别式。 （2）表示：通常用符号＂＂来表示，记作 。 在应用一元二次方程的判别式时，首先要确定 a , b , c 的值，其次，此判别式只适用于一元二次方程。当无法判定方程是不是一元二次方程时，应根据具体情况分类讨论。 2．判断一元二次方程 实数根的情况 ，有两个不相等的实数根； ，有两个相等的实数根； ，没有实数根。 上述判断反过来亦成立。 ：（1）一元二次方程有实数根包括一元二次方程有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根，此时 ，切勿丢掉等号。 （2）当一元二次方程有两个相等的实数根时，不能说方程只有一个实数根。 （3）当 a , c 异号时，一元二次方程 一定有两个不相等的实数根。 判别式 的作用大，有无实数根都靠它 根据一元二次方程的判别式 与 0 的大小关系可以判断根的情况，反之根的情况也可反映根的判别式 与 0的大小关系。解决问题时要注意区分 与 0 的大小关系是条件还是结论。 以下一元二次方程中无实根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解题关键． 由于一元二次方程无实根，则判别式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．，则，即方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B．可化为， 则，即方程有两个不相等的实数根，不符合题意； C．可化为，，即方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D.，，即方程无实根，符合题意． 故选D． 已知关于x的一元二次方程（a、b为常数，且），这个方程的根的情况是___________． 【答案】方程有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知时，一元二次方程有两个不相等的实数根是解题的关键． 通过计算判别式判断根的情况即可． 【详解】解：判别式 ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故答案为：方程有两个不相等的实数根． 知识点02 一元二次方程的判别式的应用 利用判别式解题大致有以下三种： （1）a , b , c 都是已知数，判断方程根的情况：先算出判别式 的值，再下结论。 （2）a , b , c 中含有字母，证明方程有无实数根，解这种题应先求出 的表达式，然后对这个表达式进行恒等变形，转化为熟悉的形式再判断。 （3）若题中给出了一元二次方程根的情况，求待定系数的值或取值范围，这时可根据题目的要求，由根的判别式组成方程或不等式求出结果。 判断一元二次方程实数根的情况，首先要把一元二次方程化成一般形式，再确定 a , b , c 的值，然后算出 的值，最后据此判断原方程根的情况。 一元二次方程隐含了二次项系数不为 0 的条件。本题解题时易忽略这一条件，所以解含特定系数的方程时，应特别注意对系数的讨论。 已知关于x的方程有两个相等的实数根，那么k的值是______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，当方程有两个相等的实数根时，判别式的值为，据此列方程求解即可. 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，整理得， 解得. 已知关于的一元二次方程，请赋予一个具体的数值，使得方程一定有两个不相等的实数根．那么值可以为_____（写出符合题意的一个答案）． 【答案】8（不唯一） 【分析】根据一元二次方程根的判别式与根的关系，当方程有两个不相等的实数根时，根的判别式大于.，据此列出不等式求出的取值范围，在范围内任取一个值即可． 【详解】解：已知一元二次方程为， 其中二次项系数，一次项系数，常数项为， 因为方程有两个不相等的实数根，所以根的判别式， 将系数代入得：， 解不等式得：， 任取范围内一个值，例如（答案不唯一）． 知识点03 一元二次方程的求根公式 1．一元二次方程的求根公式 对一元二次方程 ，当 时，它的实数根可以写成 的形式。这个式子叫作一元二次方程 的求根公式。在求根公式中，如果 ，那么 ，即方程有两个相等的实数根（重根）。 一元二次方程 的求根公式的应用条件是 ，且 。 2．一元二次方程 的求根公式的推导过程（配方法） 移项得 二次项系数化为 1 得 配方得 ，即 开平方得 ，即 3．公式法 在解一元二次方程时，把方程化成一般形式 ，如果 ，那么把 a , b , c 的值代入求根公式，就可以求得方程的实数根；如果 ，那么原方程没有实数根。这种解一元二次方程的方法称为公式法。 （1）由公式法解一元二次方程，知其根是由系数 a , b , c 决定的，只要确定 a , b , c 的值，在 的前提下代入求根公式，即可求出方程的解。 （2）任何一个一元二次方程都能用公式法求解，求根公式是处理一元二次方程的主要工具之一，应用时，要先将方程化为一般式，然后确定 a , b , c 的值，具体应用时应先计算 的值，如果 就可以继续往下解，正确确定各项系数和常数项，以及准确地运算，是确保用公式法正确解题的关键。 4．用公式法解一元二次方程的一般步骤 （1）把一元二次方程化成一般形式。 （2）确定 a , b , c 的值。 （3）求出 的值（或代数式）。 （4）若 ，则把 a , b , c 的值代入求根公式，求出 ，若 ，则方程无解。 提醒确定 a , b , c 的值时，要特别注意 a , b , c 的符号。 用公式法解—元二次方程的两点注意 （1）用公式法解一元二次方程的关键是确定 a , b , c 的值。 （2）判断 与 0 的大小关系是求解中的重要一步， 是用求根公式解一元二次方程的前提条件。 用公式法解关于的一元二次方程，得，则该一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式与方程的对应关系，将题目给出的根的表达式与求根公式对比，确定、、的值，从而得到原方程． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为()，其求根公式为． 题目中给出的根的表达式为，与求根公式对比可得： ，故； ，故； ，故． 因此，该一元二次方程为； 故选：C． 已知方程的解是，则方程的解是___________． 【答案】， 【分析】利用整体换元的思想，将看作整体，对应已知方程中的值，得到关于的一元一次方程，求解即可得到结果． 【详解】解：∵方程的解是，， ∴方程的解为或， 解得：，． 题型一、根的判别式判断根的情况 已知关于x的一元二次方程，下列说法正确的是（    ） A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根 C．方程没有实数根 D．方程根的情况无法确定 【答案】C 【分析】先计算根的判别式的值，然后利用根的判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：由得到：． ∵， ∴方程没有实数根． 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题关键是掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D．且 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程实数根判别式的意义；根据一元二次方程有两个不相等的实数根的判定方法结合具体的数值列式解答即可． 【详解】一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， 该方程是一元二次方程， ， 的取值范围是且． 故选：A． 核心在于熟练运用. 当时，方程有两个不相等的实数根；时，有两个相等的实数根；时，无实数根. 易错点是忽略二次项系数这一隐含条件，特别是在含参问题中，务必先保证方程是一元二次方程再计算. 如果一元二次方程能用公式法求解，那么必须满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据在的前提下用公式法解一元二次方程，即可确定答案． 【详解】解：∵， ∴时，一元二次方程能用公式法求解， 故选：A． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 若关于的方程有实数根，是实数的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】分方程是一元一次和一元二次两种情况求解即可． 【详解】解：当时，，解得， 当时，，解得，且， 综上，实数的取值范围是； 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，一元二次方程的根的判别．解题的关键在于分方程是一元一次和一元二次两种情况求解． 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．由二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围． 【详解】解：∵有两个不相等的实数根， ∴ 解得且 故选：D 已知关于的一元二次方程，其中满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（    ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此先求出，再求出的符号即可得到结论． 【详解】解： ∵， ∴， ∴ ， ， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 若一次函数y＝kx+b图象经过第一、三、四象限，则关于x的方程x2﹣2x+kb+1＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【分析】首先根据一次函数y＝kx+b图象经过第一、三、四象限，可得出k＞0，b＜0，进而得出kb＜0，△＝（﹣2）2﹣4（kb+1）＝4﹣4kb﹣4＝﹣4kb＞0，可判定关于x的方程x2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根. 【详解】解：∵一次函数y＝kx+b图象经过第一、三、四象限， ∴k＞0，b＜0， ∴kb＜0， ∴△＝（﹣2）2﹣4（kb+1）＝4﹣4kb﹣4＝﹣4kb＞0， ∴关于x的方程x2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根， 故选A． 【点睛】此题主要考查根据一次函数的性质求出参数，再判定二次函数根的情况. 请写出一个关于x的一元二次方程，并满足以下两个条件：①二次项系数为k；②方程必须有两个不相等的实数根；这个一元二次方程可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及一般形式、一元二次方程根的判别式，根据二次项系数为k结合方程必须有两个不相等的实数根写出一元二次方程即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵方程必须有两个不相等的实数根， ∴， ∵二次项系数为k， ∴这个一元二次方程可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 题型二、求根公式的理解与逆向求方程 关于的一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式“一元二次方程的求根公式是”．根据一元二次方程的求根公式，即可做出判断． 【详解】解：关于的一元二次方程的解是： ， 故选：B． 某一元二次方程的根用求根公式表示为，则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，一元二次方程的求根公式为，据此根据题意确定的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴该一元二次方程为， 故选：B． 此题考查对结构的拆解能力. 需通过观察公式中的数值特征，反推、、的值或符号. 技巧是关注分母确定，分子确定的符号及大小，根号内对应. 注意正负号的处理，避免还原方程时出错. 用公式法解方程时，得，则“□”处应填（  ） A． B． C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，熟记公式法解一元二次方程的方法是解决问题的关键． 先将题中一元二次方程化为一般式，再由求根公式代入求解即可得到答案． 【详解】解：用公式法解方程时，得， 先化为一元二次方程一般式：， ， ， 则“□”处应填， 故选：A． 用求根公式解一元二次方程时，其中，，的值分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了求根公式法解一元二次方程． 先移项，再找出，，的值即可． 【详解】， ， 则，，． 故选：B． 已知x=(b2－4c>0)，则x2＋bx＋c的值为_______________________. 【答案】0 【分析】把x的值代入代数式，再进行计算即可． 【详解】∵ ∴ 故答案为0. 【点睛】考查解一元二次方程-公式法，把的值代入是解题的关键. 题型三、公式法解一元二次方程 用公式法解一元二次方程时，化方程为一般式当中的、、依次为（  ） A．2，， B．2，3，1 C．2，，1 D．2，3， 【答案】A 【分析】先把方程化为一元二次方程的一般形式，再确定a，b，c． 【详解】解：∵方程化为一般形式为：， ∴a=2，b=-3，c=-1， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为，其中a，b分别是二次项和一次项系数，c为常数项． 利用公式法解一元二次方程可得两根为、，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，利用公式法求出一元二次方程的解，再根据即可求解，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：依题意，，， ∴， ∴ 故选：D． 第一步：将方程化为一般形式. 第二步：准确确定、、的值，特别注意各项系数的符号. 第三步：计算，若，代入公式求解. 易错点在于移项忘变号，以及最后结果未化简. 用公式法解方程时所得到的解正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及公式法解一元二次方程，利用公式法直接求解即可得到答案，熟悉一元二次方程的常见解法是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 若用公式法解关于x的一元二次方程，其根为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用公式法求解一元二次方程，熟练掌握公式法求一元二次方程的方法是解题的关键． 根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 用公式法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ∴， 即，； （2）解：， ， ∴， 即，； （3）解：， ， ∴ 即，． （4）解：， ， ∴， 即，． 用公式法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查用公式法解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解题的关键． （1）直接利用公式法求解即可； （2）整理为一般式，再利用公式法求解即可； （3）、（4）直接利用公式法求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 则， 即，； （2）解：整理，得：， ∴，，，， 则， 即，； （3）解：∵， ∴， 则， 即，； （4）解：∵， ∴， 则， ∴，． 用公式法解方程： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2)该方程在实数范围内无解 (3) (4) 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，掌握公式法解一元二次方程并正确计算是解题的关键． （1）（2）（3）（4）各方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值与0作比较，判断出方程根的情况，当判别式大于等于0时，代入求根公式，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 故该方程有两个不相等的实数根， ， ． （2）解：， 化简得， ， ， 故该方程在实数范围内无解． （3）解：， ， ， 故该方程有两个不相等的实数根， ， ． （4）解：， 化简得， ， ， 故该方程有两个不相等的实数根， ， ． 题型四、一元二次方程解法综合 解方程： (1)用因式分解法解方程： (2)用配方法解方程： (3)用因式分解法解方程： (4)用公式法解方程： 【答案】(1) (2) (3) (4)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法、配方法、公式法解一元二次方程成为解题的关键． （1）先移项，然后运用因式分解法求解即可； （2）先移项，然后运用配方法求解即可； （3）先移项、然后运用因式分解法求解即可； （4）直接运用公式法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， 所以． （2）解： ， 所以． （3）解：， ， ， ， ， ∴． （4）解：， ∴， ∴， ∴，． 解方程： (1)．（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（因式分解法） (4)（公式法） 【答案】(1) (2) (3) (4)， 【分析】（1）利用直接开平方法解方程； （2）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程； （3）利用因式分解法解方程． （4）求出，根据公式即可求出答案； 【详解】（1）解：， 两边除以4得：， 两边开平方得：， ∴； （2）解：， ∴， ∴， 即， ∴ 所以； （3）解： ∴， ∴或， 所以． （4）解：， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 题目若无要求时，我们一般首选因式分解法（十字相乘），因其运算量小. 若无法分解，再考虑公式法或配方法. 技巧是观察方程结构：缺一次项用直接开平方法；缺常数项提公因式；系数简单尝试十字相乘. 切忌盲目使用公式法导致计算繁琐出错，灵活选择最优解法是关键. 解方程： (1)用适当的方法解方程： (2)用适当的方法解方程： (3)用配方法解方程： (4)用公式法解方程： 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法、配方法、公式法解一元二次方程成为解题的关键． （1）先整理，然后运用直接开平方法求解即可； （2）先整理，然后运用因式分解法求解即可； （3）运用配方法求解即可； （4）直接运用公式法求解即可． 【详解】（1）解：， 整理得， 开方得， 解得，； （2）解：， 整理得， 因式分解得， ∴，， 解得，； （3）解：整理得， 配方得，即， 开方得， 所以，； （4）解：， ，，， ∴， ∴， ∴，． 按要求解方程： (1)；（用直接开平方法） (2)；（用配方法） (3)；（用公式法） (4)；（用因式分解法） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先变形为，然后利用直接开平方法即可求解； （2）先变形为，再利用配方法得到，然后利用直接开平方法即可求解； （3）先计算判别式的值，然后利用公式法即可求解； （4）把方程化为，然后利用因式分解法即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴ ， ∴ ∴； （4）解：∵， ∴， ∴． 用指定的方法解方程： (1)（配方法） (2)（公式法） (3)（因式分解法） (4)（用适当的方法） 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． （1）把移到等号的右边，方程两边同时除以2把二次项系数化为1，然后等号两边同时加上一次项一半的平方，再开方求解即可； （2）首先找出方程中a、b和c的值，求出，进而代入求根公式求出方程的解即可； （3）利用十字相乘法，将原方程左边整理为两个一次因式的乘积，最后解一元一次方程即可； （4）利用平方差公式将方程右边分解因式，再移项，提取公因式，进而整理为两个一次因式的乘积，最后解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：， 移项得，， ∴， ∴， 则， ∴或， 解得，； （2）解：， ，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ， ，； （3）解：∵， ∴， ∴或， ∴，； （4）解：， ， ， ， 或， ∴，． 用指定的方法解方程： (1)（用配方法） (2)（用公式法） (3)（用因式分解法） (4)（用适当的方法） 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用配方法解方程，先移项再配方，然后开方即可作答． （2）先化为一般式，再根据算出，以及代入进行化简，即可作答． （3）先移项，再提取公因式，令每个因式为0，进行解出的值，即可作答． （4）先移项，再提取公因式，令每个因式为0，进行解出的值，即可作答． 【详解】（1）解： 移项，得 配方，得，即 ∴ 解得，； （2）解： ∴ 解得； （3）解： 则 解得； （4）解： ∴ 解得． 解方程 (1)；（配方法） (2)； (3)； (4)．（公式法） 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1） 移项，配方求解即可； （2）运用因式分解法求解即可； （3）配方求解即可； （4）先整理为一般式，再运用公式法计算即可． 【详解】（1）解：， 移项得，， 配方得，， ， 开方，得， 所以，； （2）解：， 等式左边提取得，， 移项得，， ∴， ∴或， 解得，，； （3）解：， 二次项系数化为1得，， 移项配方，，即， ∴， ∴， ∴，； （4）解：， 整理得，， ∴，，，， ∴， ∴，． 题型五、判别式和公式法的综合应用 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若m为正整数，且该方程的两个根都是整数，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式，根据题意，解不等式即可求解． （2）根据，m为正整数，得出或，代入原方程求解，根据该方程的两个根都是整数，即可求解． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根 ， ∴， 解得； （2）解：∵，m为正整数， ∴或 当时，原方程为，解得： 当时，原方程为，解得： ∵该方程的两个根都是整数， ∴． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则； 其中正确的（    ） A．②④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 【答案】B 【分析】由，可判断必有一个根为，从而判断①；由方程有两个不相等的实根，则，从而判断②；由，需考虑是否为，从而判断③；用求根公式表示出即可判断④． 【详解】解：①若，则必有一个根为，则，故①正确； ②若方程有两个不相等的实根，则， 则的判别式为， ∴方程必有两个不相等的实根；故②正确； ③若c是方程的一个根，则， 当时，，故③错误； ④若是一元二次方程的根，则或， ∴或， ∴；故④正确． 综上所述，正确的有①②④． 常涉及含参方程的整数根、有理根问题. 技巧是将设为完全平方数，利用整除性质讨论参数取值. 或者利用韦达定理辅助判断. 难点在于分类讨论要全面，既要保证，又要满足题目特定的限制条件（如根为正整数），逻辑链条不能断. 已知关于的一元二次方程． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)如果此方程的两个实数根都为整数，求整数的值． 【答案】(1)见解析 (2)或、2、 【分析】（1）求出的值，再判断出其符号即可； （2）先求出x的值，再由方程的两个实数根都是整数，求出m的值即可． 【详解】（1）证明：∵是关于x的一元二次方程， ∴， ∵， ∴此方程总有两个实数根； （2）由一元二次方程的求根公式得，， ∴，， ∵、都为整数， ∴或、2、． 为实数，关于的方程为． (1)判断方程根的情况． (2)若方程的两根为，，当时，求的值． 【答案】(1)原方程总有两个实数根 (2)或 【分析】（1）求出一元二次方程的判别式，根据判别式的值即可作出判断； （2）求出一元二次方程的两个根，根据条件列式即可求解． 【详解】（1）解：原方程为一元二次方程，可化为． ． 无论为何实数，都是非负数．即． ∴原方程总有两个实数根． （2）解：由（1），原方程的根． 或． 若，则， ． 若，则， ． 综上，的值为或． 已知关于x的方程． (1)求证：无论k取何值，该方程总有两个实数根； (2)若方程的一个根大于1，求k的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，求根公式的运用，掌握以上知识的计算是关键． （1）根据根的判别式计算即可； （2）运用求根公式得到，，结合题意列式求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ． 无论k取何值，该方程总有两个实数根； （2）解：， 解得：，， 方程的一个根大于1， ． 解得：． 已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程一定有两个实数根； (2)如果a为整数且方程的两个根均为整数，求a的值． 【答案】(1)见解析 (2)或0 【分析】本题主要考查根的判别式，公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键． （1）计算方程根的判别式，判断其符号即可； （2）求方程两根，结合条件则可求得a的值． 【详解】（1）证明：∵关于x的一元二次方程． ∴， ∴方程总有两个实数根； （2）解：， ， 解得：或， 方程的两个根均为整数， 为整数， ，即， a为整数，， 或0． 已知关于的方程． (1)求证：方程必有两个不等实数根； (2)当取的整数时，存在两个有理数根，求的值和这两个有理数根． 【答案】(1)方程必有两个不等实数根； (2)m的值为1，这两个有理数根为和． 【分析】本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程． （1）由方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可证出方程必有两个不等实数根； （2）由m的取值范围及方程存在两个有理数根，可得出，代入后可得出原方程为，且，再利用公式法，即可求出原方程的两个有理数根． 【详解】（1）证明： ． ∵， ∴， 即， ∴方程必有两个不等实数根； （2）解：∵当m取的整数时，存在两个有理数根，且， ∴， ∴原方程为，且， ∴此时原方程的解为， ∴m的值为1，这两个有理数根为和． 题型六、新定义 对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：，因为所以是“喜鹊数”． (1)已知一个“喜鹊数”（，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式_________；判断_________“喜鹊数”（填“是”或“不是”）； (2)利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程①与②，若是方程①的一个根，是方程②的一个根，求m与n满足的关系式； (3)在（2）中条件下，且，请直接写出满足条件的所有k的值． 【答案】(1)；不是 (2) (3) 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了一元二次方程的解、判别式等知识点，熟记相关结论是解题关键． （1）根据定义即可求解； （2）由题意得；得：；由①③可得：是方程两个相等的实数根； （3）题意可得，进而得；结合，可得，据此即可求解； 【详解】（1）解：∵是“喜鹊数” ∴； ∵ ∴不是“喜鹊数”， 故答案为：；不是 （2）解：由题意得：，； 得：； 由①③可得：是方程的两个实数根； 由（1）得， ∴是方程两个相等的实数根； ∴； 即： （3）解：∵，， 解得： ∴ ∴； ∵， ∴ 即： ∴满足条件的所有k的值为： 某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：对于三个实数，，，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中的最小的数； 如: ，． 请结合上述材料解答下列问题： (1) ， . (2)如果，那么的取值范围是 . (3)如果，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）根据平均数的定义计算即可；求出三个数中的最小的数即可； （2）根据不等式解决问题即可； （3）把问题转化为不等式组解决即可． 【详解】（1）解： ， ，，，， ， 故答案为：，； （2）解：， 解得， 故答案为：； （3）解： 可能为或2                 当最小值为时,           由①解得：， 由②解得：(舍去）， ； 当最小值为2时,   由①解得： 由②解得：(舍去)，，， 综上所述： 所求x值为或． 【点睛】本题考查不等式组的应用，平均数，无理数的估算，最小值等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用转化的思想思考问题． 解题关键是“翻译”，即读懂题目给出的新运算规则或新概念（如“差1方程”），将其转化为熟悉的一元二次方程模型. 不要受新名词干扰，本质仍是考查或求根公式. 注意新定义下的特殊限制条件，严格按照定义的步骤进行推导和计算，切勿想当然地套用旧经验. 新定义：如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”． (1)方程是否为“差1方程”？答：___________（填“是”或“不是”） (2)已知关于的方程（是常数）是“差1方程”，求的值； (3)若关于的方程（是常数，）是“差1方程”，设，求出的最大值． 【答案】(1) 不是 (2) 或 (3) 9 【分析】本题考查一元二次方程的解法和“差1方程”的定义，解决本题的关键是熟练掌握新定义以及一元二次方程的解法． （1）通过解方程判断两根差是否为1； （2）先解方程得到根，再根据两根差为1求m的值； （3）利用求根公式表示两根差，结合定义得到与a的关系，代入t表达式后求最大值即可． 【详解】（1）解：解方程， 因式分解得，， 解得或， ∵， ∴ 不是“差1方程”； 故答案为：不是； （2）解：解方程， 因式分解得，， 解得或， ∵方程是“差1方程”， ∴， 即， 则有或， 解得或； （3）解：方程（）是“差1方程”， 两根差为， 则， ∵，则， 则， ∴，即， ∴， ∴当时，t最大值为9． 定义：已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则称此类方程为“差积方程”． 例如：， 即， 解得，， ∵， 是差积方程． (1)方程__________（填是或不是）“差积方程”； (2)若关于的方程是“差积方程”，求出的值． (3)若关于的方程是“差积方程”，且它的一个实数根为，则__________． 【答案】(1)不是 (2)或 (3)2 【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可求解； （2）先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解； （3）先解方程得出，，根据新定义得出，求出，根据它的一个实数根为，得出，整体代入求出结果即可． 【详解】（1）解：， 即， 解得：， ， ∴不是差积方程； （2）解：， 即， 解得：，， ∵是差积方程， ， 即或． 解得：或； （3）解：， 解得：， ，， ∵是差积方程， ， 即， 即， ∵它的一个实数根为， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 下列一元二次方程没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算出各项中方程根的判别式的值，找出根的判别式的值小0的方程即可． 【详解】A. ∵∆=1-4×1×0=1>0，∴有两个不相等的实数根，故不符合题意； B. ∵∆=0-4×1×3=-12<0，∴没有实数根，故符合题意； C. ∵∆=4-4×1×1=0，∴有两个相等的实数根，故不符合题意； D. ∵∆=9-4×1×（-10）=49>0，∴有两个不相等的实数根，故不符合题意； 故选B. 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根. 关于的一元二次方程有两不等实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】C 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两不等实数根， ∴， 解得：， 又，解得：， ∴的取值范围是且， 故选：． 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的求根公式，即可做出判断． 【详解】解：一元二次方程的求根公式是， 故选D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，准确的识记求根公式是解答本题的关键． 探讨关于x的一元二次方程总有实数根的条件，下面三名同学给出建议：甲：a，b同号；乙：；丙：．其中符合条件的是（    ） A．甲，乙，丙都正确 B．只有甲不正确 C．甲，乙，丙都不正确 D．只有乙正确 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的判别式求解，然后根据各种说法的条件逐项验证即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程根的判别式为：， 甲：当a，b同号时，若两数均为负数，就不能确保的符号为正，不符合题意； 乙：当时，得到，从而，总有实数根，符合题意； 丙：当时，得到，从而，总有实数根，符合题意； 综上所述，甲的建议不能满足题意、乙和丙的建议满足题意， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程有实数根的条件，根据题中所给条件，结合一元二次方程根的判别式讨论是解决问题的关键． 已知关于的方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． （2）若方程有两个相等的实数根，求的值，并求此时方程的根． 【答案】（1）的取值范围是且；（2），该方程的解为x1=x2=2． 【分析】（1）一元二次方程根的判别式：，由于方程有两个不相等的实数根则△＞0，然后计算出k的值即可． （2）一元二次方程根的判别式：，由于方程有两个相等的实数根则△=0，然后计算出k的值即可．然后解一元二次方程即可． 【详解】（1）∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴△，且， 解得：且． ∴的取值范围是且． （2）∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴△，且， 解得：， 则由原方程得到：， ∴（x-2）2=0， 解得：x1=x2=2． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式△=，当△时，方程有两个不相等的实数根；当△=时，方程有两个相等的实数根；当△=时，方程没有实数根；熟练掌握一元二次方程根与判别式的关系是解题关键． 用公式法解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟记一元二次方程的解法是解决问题的关键． （1）由公式法解一元二次方程即可得到答案； （2）由公式法解一元二次方程即可得到答案； （3）由公式法解一元二次方程即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， 则； （2）解：， ， ， ， ，； （3）解：原方程整理得， ， ， ， 则，． 已知关于的一元二次方程（为实数）． (1)求证：无论取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； (2)设方程的两个实数根为，，且满足，求的值； (3)在方程有两个整数根的情况下，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)、、 【分析】本题考查一元二次方程的判别式、根与系数的关系以及整数根问题． （1）通过计算判别式并完成平方，证明其恒大于零； （2）利用根与系数的关系结合给定条件列方程求解； （3）根据整数根的条件，推导根与系数的整数关系，求出所有可能的m值． 【详解】（1）证明：， ∵， ∴， 故无论取何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的两个实数根为、， 则，， ∵， ∴， 即， 又∵， 代入，得， 即， 两边乘以4，得， 整理得， 解得， ∴或； （3）解：设方程的两个整数根为、， 则，． 由，得， 代入，得， 即， 两边加1，得， ∴． ∵、为整数， ∴、为整数，且乘积为， 可能情况如下：①，，得，，； ②，，得，，； ③，，得，，； ④，，得，，； ⑤，，得，，； ⑥，，得，，； 综上，的值为、、． 2/14 学科网（北京）股份有限公司 $