第12讲 根与系数的关系（韦达定理）（暑假预习讲义）新八年级数学新教材沪教版五四制

第12讲 根与系数的关系（韦达定理） 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型一、利用根与系数的关系确定方程的解 题型二、利用根与系数的关系确定对称式代数式的值 题型三、利用根与系数的关系确定非对称式代数式的值 题型四、判别式及根与系数的关系的综合 题型五、根于系数的关系的归纳探究问题 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 根的判别式、韦达定理、对称式变形、非对称式转化、归纳探究、整体思想、参数讨论. 1. 理解一元二次方程根与系数关系（韦达定理）的推导逻辑，掌握，的适用条件（且）. 2. 熟练运用韦达定理进行对称式（如）、非对称式（如）的代数变形与求值. 3. 掌握“先判别，再用韦达”的解题流程，能结合几何图形、新定义问题综合分析根的性质. 4. 能从特殊到一般归纳根与系数的规律，解决含参数的探究类问题，提升逻辑推理能力. 学习重点： 1. 韦达定理的推导及、的前提验证. 2. 对称式（如）、非对称式的变形技巧. 3. 利用韦达定理确定方程解、代数式值的解题步骤. 4. 判别式与韦达定理的综合应用（如判断根的符号、范围）. 5. 根与系数关系的归纳探究方法（从特殊数据找通项）. 学习难点： 1. 非对称式转化为对称式的思路构建（如利用根的定义消元）. 2. 含参数时与韦达定理的联立讨论（避免漏解）. 3. 归纳探究中规律的验证（需代入原方程检验合理性）. 4. 几何综合题中根与系数关系的建模（将图形性质转化为代数关系）. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 一元二次方程的根与系数关系的定理 一、探索一元二次方程的根与系数的关系 （1） 方程的根与系数的关系 设方程①的两实数根分别为和，则该方程可化为.整理，得② .比较①②的系数，得，.所以方程的根与系数的关系为，. 当一元二次方程二次项系数为1时，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。 （2） 方程（a≠0）的根与系数的关系的推导 若一元二次方程（a≠0）有实数根，设这两个实数根分别为， 由求根公式得（）， 令，. 由此可得+=+=， =·=. 所以，. 一元二次方程两根之和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比.此结论称为一元二次方程根与系数的关系（也叫“韦达定理”）. 二、以，为实数根的一元二次方程（二次项系数为1） 三、与一元二次方程两根有关的几个代数式的变形 前提条件：（1）方程是一元二次方程（2）方程有实数根，即△≥0.（1） （2） （3） （4） （5） （6） 若是方程的两个实数根，则的值为_____． 以和为根，且二次项系数为1的一元二次方程的一般式为___________． 题型一、利用根与系数的关系确定方程的解 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则k的值和方程的另一个根分别为（    ） A．1和2 B．和2 C．2和 D．和 已知一元二次方程的一个根为，则另一根为（　　） A．1 B．3.5 C．2 D． 利用韦达定理，，结合方程已知条件（如一根、根的关系）列关于未知系数或根的方程. 易错点是忽视的前提，以及二次项系数的限制，解题时需先验证判别式，再应用根与系数关系.已知是关于的一元二次方程的一个根，求的值和该方程的另一个根． （25-26八年级上·上海·阶段检测）已知方程的一个根是另一个根的2倍，则的值是（    ） A．1 B． C．2 D． （25-26八年级上·上海·阶段检测）请写出一个方程，使这个方程的一次项系数是，且它的两个根分别是2和，这个方程是________． 题型二、利用根与系数的关系确定对称式代数式的值 已知，是一元二次方程的两个实数根，则（     ） A．3 B． C．10 D． 已知，是方程的两个实数根，则的值是（    ） A． B． C．6 D．8 对称式可通过变形转化为含和的形式，如. 关键是熟练掌握常见对称式的变形公式，易错点是变形错误，需牢记完全平方公式等代数恒等变换，同时注意的隐含条件.已知m，n是方程的两个实数根，若，则c的值是（    ） A．2 B． C． D．3 若实数m、n满足且，则的值是（   ） A．3 B． C．1 D． 设，是一元二次方程的两个实数根，则（   ） A．3 B．4 C．13 D．14 若，是方程的两个根，则的值为（    ） A．6 B． C．4 D． 题型三、利用根与系数的关系确定非对称式代数式的值 一元二次方程的两个根为，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 已知m，n是一元二次方程 的两个实数根，则代数式 的值等于(    ) A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 非对称式需通过构造对称式或利用方程根的定义转化，如将代入方程得，再结合韦达定理消元. 易错点是转化思路不清晰，需灵活运用根的满足方程这一性质，同时注意运算过程中的符号错误. 若是方程的两个实数根，则的值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 已知为一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A． B．0 C．7 D．11 若，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2024 B．2022 C． D．4048 题型四、判别式及根与系数的关系的综合 一元二次方程所有实数根的积是_______． 已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根． (2)若方程的两实数根为满足，求k的值． 先由确定参数范围，再结合韦达定理分析根的关系（如正负、大小）. 易错点是忽略单独使用韦达定理，或参数范围求解错误，需联立判别式与根的条件综合判断，注意二次项系数. 已知关于x的一元二次方程 . (1)求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根 ，满足 ，求k的值． 已知关于的一元二次方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)若此方程的一个根是另一个根的3倍，求这两个根． 已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若，是此方程的两个实数根，且，求m的值． 已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何实数时，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一根为，求的值及方程的另一根． 已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是原方程的两根，且满足，求m的值． 题型五、根于系数的关系的归纳探究问题 （25-26八年级上·上海浦东新·期末）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若方程和为“同伴方程”，则m的值为________． “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题： (1)方程的倒方程是 ． (2)若是的倒方程的解，求出c的值； (3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． （25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知、是关于x的一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；②． (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求的值． (3)已知是直角三角形，，的长为，若的两边、的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程． （25-26八年级上·上海闵行·期中）定义：关于的一元二次方程（其中a、b、c是实数，且）是关于的一元二次方程（其中a、b、c是实数，且）的“友好方程”．例如：是的“友好方程”．求： (1)方程的“友好方程”是________． (2)若关于的一元二次方程（其中a、b、c是实数．且）的一个解为3，请判断是否为该方程的“友好方程”的一个解？请说明理由． (3)若关于的一元二次方程（其中是实数）与它的“友好方程”有完全相同的解，求的值以及原方程的根． （24-25八年级上·上海·阶段检测）阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个根分别是，那么．例如：已知方程的两根分别是，则：． 请同学们阅读后利用以上结论完成以下问题： (1)已知方程的两根分别是，求和的值； (2)已知方程的两根分别是，求的值． 阅读理解： 材料1：若代数式在实数范围内可因式分解为. 令我们可以得到该方程的两个解为，，则我们也可以得到关于的方程的两个解也为，，那么我们称这两个解为“共生根”，由得到两个“共生根”与各项系数之间的关系为：，． 材料2：已知实数，满足，，且，根据材料1求的值． 解：由题知，是方程足的两个不相等的“共生根”， 根据材料1得：，， ． 解决以下问题： (1)方程的两个“共生根”为，，则_______，_______； (2)已知实数，满足，，且，求的值； (3)已知实数，满足，，且，求． （25-26八年级上·上海·期中）下列关于x的方程中两实数根之和为1的是（ ） A．； B．； C．； D．. （25-26八年级上·上海·期中）已知方程，有一个根是，则另外一个根是（   ）． A． B． C． D． （25-26八年级上·上海嘉定·期末）若关于的一元二次方程两根为、，且，则的值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 （25-26八年级上·上海崇明·期末）已知方程有两个实数根，则的值是（    ） A． B． C． D． （25-26八年级上·上海宝山·期末）一元二次方程的两根为，则的值为（    ） A． B． C． D． （25-26八年级上·上海奉贤·期中）若关于的一元二次方程有实数根，那么下列说法不正确的是（） A．若，则方程的一个根为1 B．若，则方程的一个根为0 C．若，则方程的两根互为相反数 D．若，则方程的两个根互为倒数 （25-26八年级上·上海浦东新·期末）方程的根是与，则________． （25-26八年级上·上海·期末）已知方程的两个解是，那么__________． （25-26八年级上·上海普陀·期末）如果关于的一元二次方程的两实数根互为相反数，那么的值为______． （25-26八年级上·上海黄浦·期末）若、是方程的两个实数根，则的值为______． （25-26八年级上·上海闵行·期末）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，且满足，那么实数的值是______． （25-26八年级上·上海青浦·期末）关于的方程有两个实数根，请求下列各式的值： (1)填空：_____；_____； (2)； 已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根； (2)设的两个实数根为，，若，求m的值． 十六世纪的法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中，发现方程的根与系数之间存在着特殊关系，由于该关系最早由韦达发现，人们把这个关系称之为韦达定理．韦达定理：有一元二次方程形如的两根分别为，，则有，． (1)，是关于x的一元二次方程的两实根，且，求k的值． (2)已知：是一元二次方程的两个实数根，设，，…，，根据根的定义，有，，将两式相加，得，于是，得．根据以上信息，解答下列问题： ①直接写出，的值． ②经计算可得：，，，当时，请猜想，，之间满足的数量关系，并给出证明． 2/14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 根与系数的关系（韦达定理） 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型一、利用根与系数的关系确定方程的解 题型二、利用根与系数的关系确定对称式代数式的值 题型三、利用根与系数的关系确定非对称式代数式的值 题型四、判别式及根与系数的关系的综合 题型五、根于系数的关系的归纳探究问题 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 根的判别式、韦达定理、对称式变形、非对称式转化、归纳探究、整体思想、参数讨论. 1. 理解一元二次方程根与系数关系（韦达定理）的推导逻辑，掌握，的适用条件（且）. 2. 熟练运用韦达定理进行对称式（如）、非对称式（如）的代数变形与求值. 3. 掌握“先判别，再用韦达”的解题流程，能结合几何图形、新定义问题综合分析根的性质. 4. 能从特殊到一般归纳根与系数的规律，解决含参数的探究类问题，提升逻辑推理能力. 学习重点： 1. 韦达定理的推导及、的前提验证. 2. 对称式（如）、非对称式的变形技巧. 3. 利用韦达定理确定方程解、代数式值的解题步骤. 4. 判别式与韦达定理的综合应用（如判断根的符号、范围）. 5. 根与系数关系的归纳探究方法（从特殊数据找通项）. 学习难点： 1. 非对称式转化为对称式的思路构建（如利用根的定义消元）. 2. 含参数时与韦达定理的联立讨论（避免漏解）. 3. 归纳探究中规律的验证（需代入原方程检验合理性）. 4. 几何综合题中根与系数关系的建模（将图形性质转化为代数关系）. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 一元二次方程的根与系数关系的定理 一、探索一元二次方程的根与系数的关系 （1） 方程的根与系数的关系 设方程①的两实数根分别为和，则该方程可化为.整理，得② .比较①②的系数，得，.所以方程的根与系数的关系为，. 当一元二次方程二次项系数为1时，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。 （2） 方程（a≠0）的根与系数的关系的推导 若一元二次方程（a≠0）有实数根，设这两个实数根分别为， 由求根公式得（）， 令，. 由此可得+=+=， =·=. 所以，. 一元二次方程两根之和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比.此结论称为一元二次方程根与系数的关系（也叫“韦达定理”）. 二、以，为实数根的一元二次方程（二次项系数为1） 三、与一元二次方程两根有关的几个代数式的变形 前提条件：（1）方程是一元二次方程（2）方程有实数根，即△≥0. （1） （2） （3） （4） （5） （6） 若是方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，关键是利用韦达定理得到两根之和与两根之积，再对所求代数式进行变形代入计算． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴根据韦达定理，得，； 将变形为，代入得； 故答案为：． 以和为根，且二次项系数为1的一元二次方程的一般式为___________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记两根之和与两根之积是解题的关键． 根据根与系数的关系，设方程为，则两根之和为，两根之积为，通过计算两根的和与积，确定和的值． 【详解】设一元二次方程为，两根分别为，， 根据根与系数的关系， ，即， ，即， 因此，所求方程为． 故答案为：． 题型一、利用根与系数的关系确定方程的解 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则k的值和方程的另一个根分别为（    ） A．1和2 B．和2 C．2和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是把代入方程计算即可求出的值，再把的值代入方程，求出另一个根即可． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 原方程可化为， 设方程的另一个根为，则， ． 故选：B． 已知一元二次方程的一个根为，则另一根为（　　） A．1 B．3.5 C．2 D． 【答案】B 【分析】设方程的另一个根为t，根据两根之积得到然后解一次方程即可． 本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时， ． 【详解】解：设方程的另一个根为t， 根据题意得，解得， 故选：B． 利用韦达定理，，结合方程已知条件（如一根、根的关系）列关于未知系数或根的方程. 易错点是忽视的前提，以及二次项系数的限制，解题时需先验证判别式，再应用根与系数关系. 已知是关于的一元二次方程的一个根，求的值和该方程的另一个根． 【答案】的值是，该方程的另一个根是 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系和解二元一次方程组，设方程的另一个根为，根据根与系数的关系得出，，求出组成的方程组的解即可．解题的关键是掌握：如果和是方程（、、为常数，）的两个根，则，． 【详解】解：设方程的另一个根为， 依题意，得：，， 解得：，， ∴的值是，该方程的另一个根是． （25-26八年级上·上海·阶段检测）已知方程的一个根是另一个根的2倍，则的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系；设方程的两个根为r和，利用根与系数的关系求和与积，解出r后求k. 【详解】解：设方程的两个根为r和， ∴两根之和， ∴， ∴， ∴另一个根为， ∵两根之积， ∴. 故选：C. （25-26八年级上·上海·阶段检测）请写出一个方程，使这个方程的一次项系数是，且它的两个根分别是2和，这个方程是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据题意，写出符合要求的一元二次方程即可． 【详解】解：令这个方程为， 因为方程的两个根分别是2和， 则这个方程的两根之和为，两根之积为， 所以，， 当时，，则， 所以这个方程可以是 故答案为：． 题型二、利用根与系数的关系确定对称式代数式的值 已知，是一元二次方程的两个实数根，则（     ） A．3 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求解，若是一元二次方程的两个实数根，则，直接代入系数即可得到结果． 【详解】解：∵ 是一元二次方程的两个实数根， ∴ 根据根与系数的关系得 ． 已知，是方程的两个实数根，则的值是（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，通过根与系数的关系求出和的值，然后代入进行计算，即可作答． 【详解】∵，是方程的两个实数根， ∴ ∴ ， 故选：A 对称式可通过变形转化为含和的形式，如. 关键是熟练掌握常见对称式的变形公式，易错点是变形错误，需牢记完全平方公式等代数恒等变换，同时注意的隐含条件. 已知m，n是方程的两个实数根，若，则c的值是（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系；利用一元二次方程根与系数的关系，求出和，代入已知等式求解． 【详解】解：∵m，n是方程的实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 若实数m、n满足且，则的值是（   ） A．3 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键，若一元二次方程的两个根分别为和，则． 利用根与系数的关系进行求解即可． 【详解】解：∵实数m、n满足且， 即 ∴m和n是的两个根， ∴， 则， 故选：A． 设，是一元二次方程的两个实数根，则（   ） A．3 B．4 C．13 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，先根据根与系数的关系得到，再利用完全平方公式把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， 故选：C． 若，是方程的两个根，则的值为（    ） A．6 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．对于一元二次方程的两个根，满足，．先根据根与系数的关系求出和的值，再将转化成，然后将和的值代入即可得解． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴ ， 故选：D． 题型三、利用根与系数的关系确定非对称式代数式的值 一元二次方程的两个根为，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根定义、根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题关键．根据一元二次方程的根定义、根与系数的关系即可得． 【详解】由一元二次方程的根定义得：，即， 由一元二次方程根与系数的关系得：， 则， 故选：D． 已知m，n是一元二次方程 的两个实数根，则代数式 的值等于(    ) A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的定义，正确将原式变形为是解题的关键．根据一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程解的定义得到，再把原式变形为，由此代值计算即可． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴ ， 故选C． 非对称式需通过构造对称式或利用方程根的定义转化，如将代入方程得，再结合韦达定理消元. 易错点是转化思路不清晰，需灵活运用根的满足方程这一性质，同时注意运算过程中的符号错误. 若是方程的两个实数根，则的值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，由m，n是方程的两个实数根 ，得，，将所求式子变形后整体代入即可． 【详解】解∶∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选∶C． 已知为一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A． B．0 C．7 D．11 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意得出，，代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵为一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 若，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2024 B．2022 C． D．4048 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，由，是方程的两个实数根，得到，，进而即可求解，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：B． 题型四、判别式及根与系数的关系的综合 一元二次方程所有实数根的积是_______． 【答案】 【分析】此题考查一元二次方程根的判别式，以及根与系数的关系，解题关键是掌握一元二次方程的两根之积为，直接利用该关系计算方程所有实数根的积即可． 【详解】解：∵在一元二次方程中，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴所有实数根的积是． 故答案为． 已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根． (2)若方程的两实数根为满足，求k的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据方程的系数结合一元二次方程根的判别式，可得出，进而可证出方程总有两个实数根； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入得出方程解之即可． 【详解】（1）解：关于x的一元二次方程， ， ∴方程总有两个实数根． （2）解：∵方程的两实数根为， ， ， ， 解得：． 先由确定参数范围，再结合韦达定理分析根的关系（如正负、大小）. 易错点是忽略单独使用韦达定理，或参数范围求解错误，需联立判别式与根的条件综合判断，注意二次项系数. 已知关于x的一元二次方程 . (1)求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根 ，满足 ，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，解一元二次方程，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）求出判别式的符号，即可得证； （2）根据根与系数的关系，进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由题意，， ∴， ∴， ∴， 解得：． 已知关于的一元二次方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)若此方程的一个根是另一个根的3倍，求这两个根． 【答案】(1)见解析 (2)此方程的两个根为， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系． （1）根据根的判别式证明即可； （2）设方程的两根分别为t，，根据根与系数的关系得，得到，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴此方程有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的两根分别为t，， 根据根与系数的关系得， ∴， ∴方程的两根分别为1和3， 即方程的两个根为，． 已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若，是此方程的两个实数根，且，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解二元一次方程组，利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）先根据根与系数的关系得出，，然后联立方程组，求出，进一步得出关于m的方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵一元二次方程， ∴， ∴该方程总有两个实数根． （2）解：根据根与系数的关系，，， 又∵， 联立方程组∶ ， 解得， 代入，得， 即， ∴， ∴． 已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何实数时，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一根为，求的值及方程的另一根． 【答案】(1)见解析 (2)，方程的另一根为 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟知根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）只需要证明即可； （2）设方程的另一个根为n，由根与系数的关系可得，解之即可得到答案． 【详解】（1）证明：由题意得，， ∵， ∴， ∴不论为何实数时，原方程总有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的另一个根为n， 则， ∴， ∴，方程的另一根为． 已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是原方程的两根，且满足，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，解题的关键是掌握以上公式和性质． （1）利用根的判别式进行证明即可； （2）利用根与系数的关系列出一元二次方程，然后进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴原方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵、是原方程的两根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得，． 题型五、根于系数的关系的归纳探究问题 （25-26八年级上·上海浦东新·期末）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若方程和为“同伴方程”，则m的值为________． 【答案】或 【分析】本题考查解一元二次方程及“同伴方程”的定义，先求解方程的实数根，再分两种情况将相同根代入方程求出，同时验证另一个根是否不同，确保符合“同伴方程”的定义即可． 【详解】解：先解方程 因式分解得 则或 解得， 因为方程和为“同伴方程”，分两种情况讨论： ①当是两个方程相同的实数根时，将代入，得 计算得 即，解得 此时根据根与系数的关系，方程的另一个根为，，符合“同伴方程”的定义． ②当是两个方程相同的实数根时，将代入，得 计算得 即，解得 此时根据根与系数的关系，方程的另一个根为，，符合“同伴方程”的定义． 综上，的值为或． “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题： (1)方程的倒方程是 ． (2)若是的倒方程的解，求出c的值； (3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解法和倒方程的定义是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根与系数的关系进一步解答即可； 【详解】（1）解：方程的倒方程是； （2）解：由题意得：方程的倒方程为， 把代入方程得 ：， ∴ （3）由题意得：方程的倒方程为， ∵m，n是方程的两个实数根， ∴， ， ∴ ∴ ； （25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知、是关于x的一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；②． (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求的值． (3)已知是直角三角形，，的长为，若的两边、的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及勾股定理，理解所给“差根方程”的定义及勾股定理是解题的关键． （1）根据所给“差根方程”的定义进行判断即可； （2）根据所给“差根方程”的定义进行计算即可； （3）设直角三角形两直角边，根据所给“差根方程”的定义，结合勾股定理进行计算即可； 【详解】（1）解：① ，因式分解得根，，符合差根方程定义； ② ，因式分解得根，，不符合． 故答案为：①． （2）解：方程中，，， 因为是差根方程，所以， 平方得： ， 代入得，即， 解得． （3）解：设直角三角形两直角边， 由勾股定理得： ， 因为是差根方程的两根，所以， 平方得： ， 代入得： ， 解得． ， 因为，所以． 以为根的一元二次方程为， 即，验证得，符合差根方程定义． （25-26八年级上·上海闵行·期中）定义：关于的一元二次方程（其中a、b、c是实数，且）是关于的一元二次方程（其中a、b、c是实数，且）的“友好方程”．例如：是的“友好方程”．求： (1)方程的“友好方程”是________． (2)若关于的一元二次方程（其中a、b、c是实数．且）的一个解为3，请判断是否为该方程的“友好方程”的一个解？请说明理由． (3)若关于的一元二次方程（其中是实数）与它的“友好方程”有完全相同的解，求的值以及原方程的根． 【答案】(1) (2)是该方程的“友好方程”的一个解，理由见解析 (3)；原方程的根为和 【分析】本题考查一元二次方程及新定义问题，熟练掌握一元二次方程的性质与解法是解题的关键． （1）仿照题中给出的新定义以及例子，求出“友好方程”即可； （2）根据方程的一个解为3，得到，写出其“友好方程”，当时，得到关于 a、b、c得方程，据此进行计算求解即可； （3）根据题意，得到其“友好方程”，由于两个方程有完全相同的解，则根据两根之和相等列出方程组，结合，得到的值，将的值代入到原方程中，通过因式分解得到方程的解即可． 【详解】（1）解：由题意得：中、、，根据“友好方程”的定义，方程的“友好方程”是， 故答案为：； （2）解：方程的一个解为3， ， 其“友好方程”为：， 当时， 把代入上式得： 因此，是该方程的“友好方程”的一个解； （3）解：设方程的解为、， 则 其“友好方程”的解也为、， 则 由题意列方程为：， 解得，或 且 那么原方程为 令或 解得，． 答：的值为以及原方程的根为和． （24-25八年级上·上海·阶段检测）阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个根分别是，那么．例如：已知方程的两根分别是，则：． 请同学们阅读后利用以上结论完成以下问题： (1)已知方程的两根分别是，求和的值； (2)已知方程的两根分别是，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的应用，掌握如果一元二次方程程的两个根分别是，那么是解题的关键． （1）直接根据公式求解即可； （2）先化为一般式，将化为，再求出值，代入即可． 【详解】（1）解：， 则； （2）解： ， 则， 而， ∴． 阅读理解： 材料1：若代数式在实数范围内可因式分解为. 令我们可以得到该方程的两个解为，，则我们也可以得到关于的方程的两个解也为，，那么我们称这两个解为“共生根”，由得到两个“共生根”与各项系数之间的关系为：，． 材料2：已知实数，满足，，且，根据材料1求的值． 解：由题知，是方程足的两个不相等的“共生根”， 根据材料1得：，， ． 解决以下问题： (1)方程的两个“共生根”为，，则_______，_______； (2)已知实数，满足，，且，求的值； (3)已知实数，满足，，且，求． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是看懂材料，学以致用． （1）直接利用根与系数的关系求解； （2）利用、满足的等式，可把、可看作方程的两个不相等的“共生根”，则利用根与系数的关系得到，，接着把化简，然后利用整体代入的方法计算； （3）把整理后得到，整理后得到，则，可看作方程的两个不相等的“共生根”，利用根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解：根据题意得：，， 故答案为：，； （2），，且， ，可看作方程的两个不相等的“共生根”， ，， ， ； （3）， ， ， ，即，且， ，可看作方程的两个不相等的“共生根”， ，， ． （25-26八年级上·上海·期中）下列关于x的方程中两实数根之和为1的是（ ） A．； B．； C．； D．. 【答案】D 【分析】本题考查的是根的判别式的应用，根与系数的关系，对于一元二次方程 ，两实数根之和为 ，且需判别式 ；分别验证各选项即可. 【详解】解：选项A：∵ ， ∴ ，无实数根；不符合题意； 选项B：∵ ， ∴，无实数根；不符合题意； 选项C：∵ ， ∴ ，无实数根；不符合题意； 选项D：∵ ， ∴，有两实数根； ∴ 两根之和为 ，符合题意； 故选：D （25-26八年级上·上海·期中）已知方程，有一个根是，则另外一个根是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是利用两根之和公式求出另一根． 设方程的另一个根为，根据一元二次方程根与系数的关系（两根之和等于），求出． 【详解】解：对于方程，设另一个根为， 根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和为， 已知一个根是，则， 解得． 故选：D． （25-26八年级上·上海嘉定·期末）若关于的一元二次方程两根为、，且，则的值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系可得， ，结合已知条件 求解的值． 【详解】解：∵ 方程的两根为、， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ . 故选：B． （25-26八年级上·上海崇明·期末）已知方程有两个实数根，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元二次方程和韦达定理，掌握解一元二次方程的方法和韦达定理是解题关键． 本题所给一元二次方程较简单，可解出方程的根，再代入求解即可；也可通分所求式子，再用韦达定理求解即可． 【详解】解：法一：方程 因式分解，得 ， ∴ ，， ∴ ； 法二：由韦达定理，可得，， ∴， 故选：C． （25-26八年级上·上海宝山·期末）一元二次方程的两根为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系得，，再由进行求解，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，那么将，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴根据根与系数的关系，得，， ∵， ∴将，代入，得 原式， 故选：A． （25-26八年级上·上海奉贤·期中）若关于的一元二次方程有实数根，那么下列说法不正确的是（） A．若，则方程的一个根为1 B．若，则方程的一个根为0 C．若，则方程的两根互为相反数 D．若，则方程的两个根互为倒数 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，掌握知识点是解题的关键． 根据一元二次方程的根的情况，逐项分析判断即可． 【详解】解：对于A：∵当时，代入方程得， ∴当，方程的一个根为，但1不一定是方程的根，故错误． 对于B：∵时，方程化为，∴有一个根为0，正确． 对于C：∵时，方程化为，解得，两根互为相反数，正确． 对于D：∵时，两根之积为，∴两根互为倒数，正确． 综上，不正确的是A． 故选A． （25-26八年级上·上海浦东新·期末）方程的根是与，则________． 【答案】 【分析】先通过一元二次方程的根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再利用完全平方公式的变形计算目标式子的值． 【详解】解：对于一元二次方程，其中二次项系数，一次项系数，常数项． 根据根与系数的关系可得： ，． 由完全平方公式的变形可知． 将，代入上式： （25-26八年级上·上海·期末）已知方程的两个解是，那么__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，分母有理化．根据根与系数关系，求出两根之和、两根之积，代入求值即可． 【详解】解：方程的两根为， ∴，， ∴， 故答案为：． （25-26八年级上·上海普陀·期末）如果关于的一元二次方程的两实数根互为相反数，那么的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系，两实数根互为相反数则根之和为零，由此得出k的可能值，再通过判别式检验确保有实数根． 【详解】解：设方程的两根为和， 由根与系数的关系，得， ∵关于的一元二次方程的两实数根互为相反数， ∴， 解得， ∵， ∴当时，，此时方程无解； 当时，，此时方程有两实数根； ∴ 故答案为：． （25-26八年级上·上海黄浦·期末）若、是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】2023 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，利用一元二次方程的解和根与系数的关系，由a是方程根得，由根与系数关系得，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵ a是方程的根， ∴，即， 又∵ a，b是方程的两个实数根， ∴， ∴． 故答案为：2023． （25-26八年级上·上海闵行·期末）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，且满足，那么实数的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到，，将根与系数的关系代入整理后的条件中得，解出的值，并验证判别式非负以确保实数根存在即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∵ ， ， ∴， ， 解得． 当时，， 满足实数根条件， 故答案为：． （25-26八年级上·上海青浦·期末）关于的方程有两个实数根，请求下列各式的值： (1)填空：_____；_____； (2)； 【答案】(1)5； (2)8 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系，乘法公式的变形计算是 关键． （1）确定一元二次方程二次项，一次项，常数项的值，根据根与系数的关系代入求值即可； （2）根据分式的计算法则得到，代入计算即可． 【详解】（1）解：关于x的方程有两个实数根， ∴， 故答案为：5；； （2）解：∵ ∴原式． 已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根； (2)设的两个实数根为，，若，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）计算得出，即可得证； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，再根据，并结合完全平方公式，整体代入计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：由题意可得： ， ∵， ∴， ∴无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵设的两个实数根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 整理可得， 解得或． 十六世纪的法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中，发现方程的根与系数之间存在着特殊关系，由于该关系最早由韦达发现，人们把这个关系称之为韦达定理．韦达定理：有一元二次方程形如的两根分别为，，则有，． (1)，是关于x的一元二次方程的两实根，且，求k的值． (2)已知：是一元二次方程的两个实数根，设，，…，，根据根的定义，有，，将两式相加，得，于是，得．根据以上信息，解答下列问题： ①直接写出，的值． ②经计算可得：，，，当时，请猜想，，之间满足的数量关系，并给出证明． 【答案】(1)k的值为1 (2)①，；②猜想：当时，，证明见解析 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的根的定义； （1）根据根与系数的关系即可求出答案． （2）①根据根与系数的关系，可得由根的定义可知，，，根据一元二次方程的解的定义可得，进而求得； ②根据题意，，，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵，是关于x的一元二次方程的两实根， ∴ 解得：， 由根与系数的关系可知∶， ，即， 整理得：， 解得： (舍去)， ， ∴k的值为1． （2）①由根的定义可知，， 又∵是一元二次方程的两个实数根， ， ②猜想：当时， 证明：因为为方程的根，所以有，等式两边都乘以，得 同理可得： 两式相加可得： 根据题意，，， ∴，且根据题意，因此， 所以当3时，有． 2/14 学科网（北京）股份有限公司 $