辽宁大连市2025-2026学年高二下学期数学期末考试模拟卷（拔高）（八）

**基本信息** 以实际情境与数学探究为核心，覆盖函数、数列、概率统计等模块，通过分层设计考查数学抽象、逻辑推理与数据建模能力，如海水养殖产量对比、微型轴承钢珠直径分布等题体现现实应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、数列、函数性质等|基础概念与逻辑判断结合，如第3题等差数列求和| |多选题|3/18|线性回归、函数奇偶性|多选项辨析，如第10题爬楼梯递推关系| |填空题|3/15|条件概率、极值点、数列求和|简洁计算与推理，如第13题函数极值点范围| |解答题|5/77|统计案例（养殖产量）、导数应用（切线最值）、概率分布|综合实际情境与逻辑推理，如第15题结合独立性检验与分布列考查数据分析|

2025-2026学年大连市高二下学期数学期末考试模拟 (拔高卷)（八） 高二数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题） 1、 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求. 1．集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，则“”是“”的（     ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 3．已知等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．17 B．19 C．25 D．30 4．已知函数，若，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 5．某精密仪器厂生产一种微型轴承钢珠，其直径（单位：）服从正态分布.若，且，则下列描述正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 6．设，是一个随机试验的两个事件，且，，，则（     ） A．事件，不相互独立 B． C． D． 7．已知函数，点，，，，若成等比数列，且曲线在三点处的切线的斜率依次成等差数列，则（   ） A． B． C． D． 8．若不等式恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 2、 多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．为了研究与的线性相关关系，收集了 10组样本数据，已知样本点的中心为，且 ，，的分位数为，若关于的经验回归方程为 则下列说法正确的是（    ） A． B．与负相关 C． D．样本相关系数必大于0 10．如果一个人爬楼梯的方式有两种，一次上1个台阶或2个台阶，设爬上第个台阶的方法数为， 则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知函数及其导函数的定义域均为 ，若函数和均为奇函数，则（   ） A．函数的图象关于直线 对称 B．函数的图象关于直线 对称 C． D． 第Ⅱ卷（非选择题） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．两位游客准备分别从华清池、兵马俑、钟楼、大雁塔、华山5个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择华清池”，事件“两位游客选择景点不同”，则______． 13．已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是________． 14．已知数列的前项和为，，则_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了50个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：），其箱产量如下表所示. 养殖法 箱产量 箱产量 箱产量 旧养殖法 30 20 新养殖法 15 35 (1)根据小概率的独立性检验，分析箱产量与养殖方法是否有关； (2)现需从抽取的新、旧网箱中各选1箱产品进行进一步检测，记为所选产品中箱产量不低于的箱数，求的分布列和期望. 附：，，. 16．已知函数在处取得极小值． (1)求实数，的值； (2)若的切线过点，求的最大值． 17．已知数列的前n项和，函数对任意的都有，数列满足 (1)求数列，的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 18．一个不透明的袋子中装有大小形状完全相同的6个小球，其中3个黑球、3个白球.现从袋中随机逐个抽取小球，若每次取出的是黑球，则放回袋子中，否则不放回，直至3个白球全部取出． (1)求在第2次取出的小球为黑球的条件下，第1次取出的小球为白球的概率； (2)记抽取3次取出白球的数量为，求随机变量的分布列和期望． 19．已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程 (2)当时，证明： (3)若有两个极小值点，，且对任意满足条件的，，都有 恒成立，求符合条件的整数的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年大连市高二下学期数学期末考试模拟（拔高）（八）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C A C D B B CD ABD 题号 11 答案 BC 1．D 【详解】由题意可得， 解，得，则， 故， 故. 2．A 【分析】先求解不等式得到对应解集，再通过两个取值范围的包含关系判断充分性和必要性是否成立. 【详解】首先求解不等式： 将不等式变形为，因式分解得，解得. 充分性验证：若则成立，即成立. 必要性验证：若则，但不一定成立. 所以“”是“”的充分非必要条件. 3．C 【详解】因为为等差数列，故，故， 而，故，故，则公差， 故. 4．A 【分析】根据对数函数与绝对值的性质化简，再由指数函数、对数函数和幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】由题意可得， 因为函数在上单调递增，所以， 又因函数在上单调递增，则， 所以， 因，且在上单调递增， 所以，即. 故. 5．C 【详解】∵ 直径服从正态分布，∴ 正态分布曲线的对称轴为，. ∵ ， ∴ . 又∵ ，根据正态分布的对称性，点与点关于对称轴对称， ∴ ，解得，即. 综上可得，，故选项C正确. 6．D 【分析】对于A，根据，，的关系，求出，依据独立事件的定义判断即可． 对于B，利用条件概率公式求解即可． 对于C，根据求出，和比较即可．对于D，求出，，利用条件概率公式计算即可． 【详解】对于A，已知，即 ，所以， 因，所以事件，相互独立，A错误． 对于B，根据条件概率公式得，B错误． 对于C，，而，所以，C错误． 对于D，，． 根据条件概率公式，D正确． 7．B 【分析】先求函数导数得到切线斜率表达式，再根据等比数列设元、等差数列斜率条件列出等式，化简后利用公比不为的条件解得的值，最后代入函数求出． 【详解】由，得， 设，， 因为曲线在三点处的切线的斜率依次成等差数列， 所以， 即， 化简得， 又，所以， 因为，所以， 则． 8．B 【详解】设． 当时，；当时，． 因为对定义域内的恒成立， 所以在上恒成立，且在上恒成立． 又是开口向上的二次函数，故必为的较大零点． 于是，整理得所以 因为的两根乘积为，所以另一根为 要使在上恒成立，需另一根不大于，即 同时，由于是较大零点，且两根乘积为，所以． 令则，且 由基本不等式得所以 当，即时取等，此时 代回可知的两根为和， 而，，满足在上成立，在上成立． 因此的最小值为. 9．CD 【详解】选项A：样本点的中心为，关于的经验回归方程为， 所以代入可得，解得，故A错误； 选项B：因为回归系数，因此与正相关，故B错误； 选项C：的分位数为，， 即，因为，所以解得，故C正确； 选项D：因为回归系数，所以与正相关， 因此样本相关系数，故D正确. 10．ABD 【分析】由题知，且,再根据递推关系依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：根据题意，爬上第个台阶有两种可能， 一种是从第个台阶上一次上1个台阶爬上来，有种方式； 一种是从第个台阶上一次上2个台阶爬上来，有种方式， 所以，，且 所以，，故正确； 所以，，故C选项错误； 因为， 所以，，故B正确； ， ， ， ．．． ， 累加可得 ， 故 D 正确， 故选： ABD． 11．BC 【分析】先根据函数奇偶性判断函数的对称性，再通过求导、变量代换等方法推导函数的周期性，最后通过举例判断选项D是否成立. 【详解】对于A，由 是奇函数得 ， 则 关于点 中心对称，不是关于直线 对称，因此A错误； 对于B，对 两边对 求导得： ， 所以 关于直线 对称，因此B正确； 对于C，因为 为奇函数，所以 又由 可得 所以 令 则 所以 为常数． 又由 为奇函数，取 得 所以 因此 即 于是 故 C 正确． 对于D，取 则为奇函数． 又 所以 也是奇函数，满足题设条件． 此时 每 项和为 ． 又 所以. 因此D不一定成立，故D错误． 12． 【详解】依题意，，，所以． 13． 【分析】对求导，化简得到，令，转化为直线与有两个交点，求解即可. 【详解】由题意可得，，所以等价于， 即在时，有两个不同的解，所以，令， 问题转化为直线与有两个交点时，的取值范围，所以， 令，解得，解得，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，因此在处，取得最大值，所以， 当时，，当时，，所以. 14．324 【分析】分为奇数和偶数两种情况，发现数列的特点，再分组求和即可． 【详解】由， 当为奇数时，为偶数， 则，， 两式相减得； 当为偶数时，为奇数， 则，， 两式相加得， 则 ． 15．(1) 根据小概率的独立性检验，箱产量与养殖方法有关； (2) X的分布列为 X 0 1 2 P 期望 【分析】（1）进行零假设：箱产量与养殖方法无关，提取列联表数据代入卡方公式计算统计量，与临界值对比，作出相应判断； （2）确定X的所有可能取值，结合独立事件概率公式计算对应概率，得分布列，再由期望定义计算期望. 【详解】（1）零假设：箱产量与养殖方法相互独立，即二者无关. 补充完整列联表，得 养殖法 箱产量 合计 箱产量 箱产量 旧养殖法 30 20 50 新养殖法 15 35 50 合计 45 55 100 ， 依据的独立性检验，不成立，即认为箱产量与养殖方法有关，该推断犯错误的概率不超过0.005. （2） X的可能取值为. 记事件为“旧养殖法所选网箱产量”，事件为“新养殖法所选网箱产量”，相互独立， 以频率代替概率得，，，. ； ； 。. 因此的分布列为： X 0 1 2 P 的期望.. 16．(1)， (2) 【分析】（1）通过极值点的函数值和导数值列方程组求解参数，并借助导数及极值点定义进行检验； （2）借助导数的几何意义设切点构造函数求最值. 【详解】（1），由题意可得，解得； 检验：此时，， 则当时，，当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 故函数在处取得极小值，符合题意， 故，； （2）由（1）得，则， 设过点的切线的切点坐标为， 则， 有， 整理得，令， 则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则的最大值为. 17．(1)，bn (2) 【分析】（1）需先根据数列前项和公式求的通项公式，再利用函数性质及倒序相加法求的通项公式； （2）先得出的表达式，再用错位相减法求前项和. 【详解】（1）由题意，当时，， 当时，， ∵当时，也满足上式， ∴，， 对于数列：由， 可得 两式相加， 可得 ，. （2）由（1），可得， 则 两式相减， 可得 ∴. 18．(1) (2) 【分析】（1）记事件“第2次取出的小球为黑球”，事件“第1次取出的小球为白球”，求出，进而利用条件概率公式计算求解； （2）分析的所有可能取值，求出相应概率，进而求出分布列和期望． 【详解】（1）记事件“第2次取出的小球为黑球”，事件“第1次取出的小球为白球”， 则，， 所以． （2）由题意，的所有可能取值为，，，，则 ， ， ， ， 所以随机变量的分布列为： 期望为：． 19．(1) (2)由题意得，函数的定义域为， ． 求导得， 当时，因为，所以， 当时，，； 当时，，． 故在处取极小值（最小值），． 因为，所以 ，即． 当时，令， 则，令得． 在递减，在递增， 最小值． 因为，所以，， 故（当且仅当且时等号成立）． 当时，，； 当时，，． 故在处取极小值（最小值） ． 综上，当时，． (3)2 【分析】（1）求导计算切线斜率，进而求得切线方程；（2）求导并化简导函数，分析函数的符号，确定函数单调性，求得；（3）建立方程关系，变量代换，构造函数求最值. 【详解】（1）当时，． ， 在点处，切线斜率， 由点斜式方程得切线方程为，即． （2）由题意得，函数的定义域为，． 求导得， 当时，因为，所以，: 当时，，； 当时，，． 故在处取极小值（最小值），． 因为，所以 ，即． 当时，令， 则，令得． 在递减，在递增， 最小值． 因为，所以，， 故（当且仅当且时等号成立）． 当时，，； 当时，，． 故在处取极小值（最小值） ． 综上，当时，． （3）不符合题意； 当时，在递减，在递增， ，，，，， 有两个零点， ，故， 则，，，单调递减， ，，，单调递增， ，，，单调递减， ，，，单调递增， 此时的极小值点为，且，． 两边取对数得，，， 令，则， 代入解得，， 于是， 设，求导得， 令， ， ，，单调递增， ，，单调递减， ，，， 所以在内存在唯一零点， 使得在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得最小值． ， ，， 故整数的最大值为2． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $