辽宁省2025-2026学年高二下学期数学期末自编模拟卷05

**基本信息** 聚焦选择性必修三与一轮复习核心内容，通过数列证明、函数极值、导数应用等综合题，考查数学抽象、逻辑推理与运算能力，适配高二期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、数列、函数定义域|基础巩固，如第2题数列递推求项| |多选|3/18|等比数列、函数性质|部分选对得分，如第11题函数零点讨论| |填空|3/15|不等式恒成立、数列求和|中档能力，如第14题导数极值参数范围| |解答|5/77|数列求和、导数应用、函数证明|分层递进，如第19题三问考查切线、零点与不等式证明，体现创新应用|

辽宁省2026年高二数学下学期期末模拟卷05 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：选择性必修三全册，一轮复习指对幂函数、函数图像、函数零点。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则的元素个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解绝对值不等式及一元二次不等式可得集合，再由交集的定义可得. 【详解】由得，即， 又因为，所以，即. 由，解得，所以. 因此，，所以的元素个数为. 2．在数列中，，，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分别求得，得到数列的周期，结合周期性，即可求解. 【详解】由数列满足，，可得，，， 可得该数列的周期为，所以． 3．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的定义域为，的定义域需要满足 解得，且． 的定义域为． 4．的最小值为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】B 【详解】因为， 当且仅当，即，时，等号成立, 所以的最小值为9. 5．已知公差大于0的等差数列的前项和为，若，的前项和为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 设数列的公差为，则，所以， ，， 所以当时，，当时，， 所以 ， 所以. 6．已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设可推导出，当 时，，令并判断其单调性、奇偶性，进而利用不等式性质求不等式的解集. 【详解】由，得， 因为，，所以，即， 设，则在上单调递减， 而，则，解得； 因为为上的奇函数，所以， 则为上的偶函数，故在上单调递增， 而，则，解得； 当时，，故该点不在解集内. 综上，原不等式的解集为. 7．已知函数，则函数的图象的对称中心的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】若函数的图象关于点对称，则对定义域内任意满足，结合函数定义域先确定对称中心横坐标的可能值，再代入验证即可. 【详解】∵ 要使函数有意义，则，即，解得，故函数定义域为. 若函数存在对称中心，则横坐标为区间中点，接下来验证的值： ， ， ∴ ， 即对任意定义域内的，都满足，故函数的图象的对称中心为. 【点睛】方法点睛：求解函数对称中心时，若函数定义域为对称区间，可先猜想对称中心横坐标为区间中点，再利用对称中心的性质代入验证，计算时可结合对数运算、奇偶函数的性质简化运算. 8．若函数的最小值为，则正实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数求出函数的单调性，根据单调性得到函数的最小值的表达式，结合题意即可求解. 【详解】已知函数，则， 令，由于，正实数，所以得， 令，则，由于，正实数，所以恒成立， 所以是一个单调递增的函数，当时，；当时，； 因此方程有且仅有一个实数根，设为，即， 因为，当时，有，解得，矛盾，因此， 当时，，即，函数单调递减； 当时，，即，函数单调递增； 所以函数在处取得最小值， 由于函数的最小值为，即，则有， 同时极值点满足， 代入上式得，解得， 则有，解得，故A正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知等比数列的前项和为，公比为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】设等比数列的公比为， 由，得，又，则，所以，A项正确； 又因，则，进而， 所以，B项正确； ，C项正确； ，D项错误. 10．已知，下列说法不正确的是（    ） A．在处的切线方程为 B．的单调递增区间为 C．的极大值为 D．方程有两个不同的解 【答案】BD 【分析】根据导数的几何意义即可判断A；令即可求出函数的单调增区间，即可判断B；求出函数的减区间，再根据极大值的定义即可判断C；作出函数的大致图象，结合函数图象即可判断D. 【详解】由，得， 对于A，， 所以在处的切线方程为，故A正确； 对于B，令，则，所以的单调递增区间为，故B错误； 对于C，令，则，所以函数的单调递减区间为， 所以的极大值为，故C正确； 对于D，方程的解的个数， 即为函数图象交点的个数， 当时，，当时，且， 如图，作出函数的大致图象， 由图可知，方程仅有一个解，故D错误. 11．已知函数，则下列说法正确的有（    ） A． B．有3个实数根 C．若有8个实数根，则 D．若有4个实数根，从小到大分别为，则 【答案】ACD 【分析】直接计算，根据自变量范围进行取舍即得判断AB；设，结合图象，将问题转化为方程在上有两个相异实根的问题，利用一元二次方程的根的分布列出不等式组计算即得参数范围判断C；则需要作出函数的图象，利用函数与方程的关系，结合函数的对称性和图象变换，由双勾函数的单调性即可判断D. 【详解】对于A，由题意，，故A正确； 对于B，当时，由，可得， 解得，因，故得； 当时，由可得，或， 解得或，故有x＝－2±，共四个实数根，故B错误； 对于C，设，则方程，即， 由图知，要使原方程有8个实数根，需使有两个相异实根， 且，，设， 依题意，需使， 解得，故C正确； 对于D，作出函数的图象，由时，≤5， 且，可知当时，直线与函数有两个交点； 又由时，， 当时，直线与函数均有两个交点，故由有4个实数根可得，， 由图知，， 则，解得＝4，又由解得， 由解得x＝1，则有，于是， 因函数在单调递减，故， 则，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若不等式 对一切实数恒成立，则的取值范围__________． 【答案】 【分析】分二次项系数和两种情况讨论，当时结合一元二次不等式恒成立的条件求解参数范围. 【详解】若不等式对一切实数恒成立的问题，需分和两种情况讨论： 当时： 此时不等式变为：， 该式对所有实数恒成立，故符合条件； 当时： 此时不等式为二次不等式，需满足：， ， 令，即：， 结合，解得：， 综上，的取值范围是. 13．已知数列的前项和为，，则_________． 【答案】324 【分析】分为奇数和偶数两种情况，发现数列的特点，再分组求和即可． 【详解】由， 当为奇数时，为偶数， 则，， 两式相减得； 当为偶数时，为奇数， 则，， 两式相加得， 则 ． 14．已知，函数在处取得极大值，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先求出导数，然后分，和三种情况讨论，利用导数得到函数的单调性，再根据极值点的定义进行判断，即可得解. 【详解】函数的定义域为，对求导可得 . 令，解得或. ①当，即时， 当或时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极大值，在处取得极小值，符合题意； ②当，即时，恒成立， 所以在上单调递增，无极值，不符合题意； ③当，即时， 当或时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极大值，在处取得极小值，不符合题意， 综上，的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知数列满足，． (1)证明：求，的值，并证明数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)，， 证明：当时，可得， 当时，可得， 因为，，， 所以，， 所以数列为首项为，公比为的等比数列． (2) 【分析】（1）根据递推公式及等比数列的定义证明即可； （2）由（1）求出，即可求出，从而得到，利用错位相减法计算即可． 【详解】（1）略 （2）由（1）得，， 则，， 所以 ， 所以， 则， 所以， 即． 16．已知函数，其中 ． (1)当 时，求函数单调区间和极值； (2)若 ，求a的取值范围． 【答案】(1)单减区间为，单增区间为；极小值，无极大值 (2) 【分析】（1）通过对函数求导，令导数为0找临界点，通过求导判断导函数的单调性，列表判断导数和函数的符号，最后写出单调区间和极值. （2）先对函数求导确定函数唯一最小值点，借助隐零点代换消去参数求解最小值不等式，再由参数与零点的函数单调性推出a的范围. 【详解】（1）当 时，，函数定义域为，， 令，因为 ，所以在单调递增． 又 ，x、、的变化情况如下表： x 1 - 0 + 单调递减 单调递增 所以的单减区间为，单增区间为； 时有极小值，无极大值. （2）①当 时， ，不满足题意； ②所以 ，此时 ，令 ， 因为 ，所以是上的增函数， 当 时， ； 时， ， 所以存在唯一正实数使得 ，即 ， 此时在上单调递减，在上单调递增， 所以. 由题意得 ，由 得， 代入上式得 ，整理得 ， 解得 ，即 . 令 ，其中 ， 则 ，所以是区间上的增函数. 因为， ， 所以 ，所以a的取值范围是. 17．已知是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)若函数，记函数的最小值，求的解析式； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用函数的奇偶性，结合已知条件求出函数在上的解析式； （2）利用函数单调性分情况讨论求出相应最小值，进而求出的解析式. 【详解】（1）已知是定义在上的奇函数，则， 若，则，则， 又因为为奇函数，则， 综上可得，． （2）当时，， 则函数开口向上，且对称轴的方程为， ①当时，函数在区间单调递增， 故当时，函数取得最小值，最小值是， ②当时，函数在单调递减，在单调递增， 故当时，函数取最小值，最小值是， ③当时，函数在区间单调递减， 故当时，函数取得最小值，最小值是， 所以函数的最小值． 18．已知函数，函数图象与的图象关于对称． (1)若函数是奇函数，求实数的值 (2)不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据给定条件，求出函数，再利用奇函数的定义求解. （2）由（1）的信息，利用对数函数单调性，结合二次函数性质求解. 【详解】（1）函数，由函数图象与的图象关于对称，得， 由为奇函数，得， 则 ，整理得，而，解得， 此时函数定义域为，且，符合题意， 所以实数的值为2. （2）由（1）知， 依题意，不等式 在上恒成立，则 ，即， ，不等式 恒成立， 因此在恒成立， 当时，， ，当且仅当时取等号， 于是，解得，所以的取值范围为. 19．已知函数，，其中，函数的导函数为． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)判断的零点个数，并说明理由； (3)若，且，求证：． 【答案】(1) (2)两个，理由如下： ，， 令，，可知，同号，， 当，；，， 所以在单调递增，在单调递减，   因为，，， 所以在上存在唯一零点，且， 由零点存在性定理， 则当，；，， 即，；，， 所以在单调递减，在单调递增，   则， 令，，， 则在单调递增，由， 所以时，，即， 因为，当，， 所以在和各存在一个零点， 故在存在两个零点． (3)由（2）知，b是在的零点，则， 且是的极小值点，，则只需证，   由，得：，， 又， 由（2）中，代入得：，   而，则只需证：， 即证：，   令，，则， 所以在单调递减，   由，得，即：， 故原不等式成立，即． 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求出切线斜率，进而求出切线方程； （2）利用导数分析函数单调性，结合单调性，由零点存在定理得两个单调区间内各存在1个零点； （3）由是的极小值点，把证明转化为证明，利用消元化简，最终把不等式转化为证明，构造函数并求导，分析函数单调性，由单调性证明不等式． 【详解】（1）当时，，定义域为，则， 因为，则切线斜率， 切线方程：，即． （2）略 （3）略 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省2026年高二数学下学期期末模拟卷05 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：选择性必修三全册，一轮复习指对幂函数、函数图像、函数零点。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则的元素个数为（    ） A． B． C． D． 2．在数列中，，，则（    ） A．2 B． C． D． 3．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 4．的最小值为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 5．已知公差大于0的等差数列的前项和为，若，的前项和为，则（     ） A． B． C． D． 6．已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 7．已知函数，则函数的图象的对称中心的坐标为（     ） A． B． C． D． 8．若函数的最小值为，则正实数的值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知等比数列的前项和为，公比为，若，则（    ） A． B． C． D． 10．已知，下列说法不正确的是（    ） A．在处的切线方程为 B．的单调递增区间为 C．的极大值为 D．方程有两个不同的解 11．已知函数，则下列说法正确的有（    ） A． B．有3个实数根 C．若有8个实数根，则 D．若有4个实数根，从小到大分别为，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若不等式 对一切实数恒成立，则的取值范围__________． 13．已知数列的前项和为，，则_________． 14．已知，函数在处取得极大值，则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知数列满足，． (1)证明：求，的值，并证明数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 16．已知函数，其中 ． (1)当 时，求函数单调区间和极值； (2)若 ，求a的取值范围． 17．已知是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)若函数，记函数的最小值，求的解析式； 18．已知函数，函数图象与的图象关于对称． (1)若函数是奇函数，求实数的值 (2)不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 19．已知函数，，其中，函数的导函数为． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)判断的零点个数，并说明理由； (3)若，且，求证：． 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $