第14讲 一元二次方程的应用(实际问题)（暑假预习讲义）新八年级数学新教材沪教版五四制

第14讲 一元二次方程的应用(实际问题) 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 传播问题（一元二次方程的应用） 题型2 增长率问题（一元二次方程的应用）（重点） 题型3 与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 题型4 数字问题（一元二次方程的应用） 题型5 营销问题（一元二次方程的应用） 题型6 动态几何问题（一元二次方程的应用） 题型7 行程问题（一元二次方程的应用） 题型8 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 题型9 其他问题（一元二次方程的应用）（难点） 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 列一元二次方程解应用题、审设列解验答、直接设元、间接设元、平均增长率、传播问题、销售利润、几何图形面积、数字问题、行程问题、动态几何、握手循环赛、等量关系、实际意义检验 1.掌握列一元二次方程解实际问题的一般步骤，明确“审、设、列、解、验、答"六步流程，理解直接设元与间接设元的适用场景，掌握将实际问题抽象为数学方程的建模方法。 2.掌握各类常见应用题的等量关系，能熟练处理传播问题、平均增长率(降低率)问题、几何图形问题、数字问题、营销利润问题、行程问题、握手循环赛问题等主流题型，准确列出对应一元二次方程。 3.养成解应用题的检验习惯，既能检验方程求解是否正确，也能判断解是否符合实际问题的意义，正确舍去不合理解。 4.能应对动态几何、综合营销等较复杂的应用题，提升等量关系梳理、方程建模与运算求解的综合能力。 学习重点：1.列一元二次方程解应用题的六步标准解题流程，核心是找准等量关系、正确列出方程。 2.平均增长率(降低率)、销售利润、几何图形面积三类高频重点题型的解题方法与列式逻辑。 3.方程解的双重检验:运算正确性检验与实际意义检验，剔除不符合题意的根。 学习难点：1.动态几何、复杂图形类问题中等量关系的梳理，以及间接设元方法的灵活运用。 2.传播、握手循环赛、营销调价等特色题型的模型识别与列式推导。 3.多条件叠加的综合应用题建模，以及对解的实际含义的精准判断。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01列一元二次方程解实际问题的一般步骤 1.列方程解实际问题的实质 列方程解实际问题就是先把实际问题抽象为数学问题(即转化)然后通过解决数学问题来解决实际问题。 2.列一元二次方程解实际问题的一般步骤 （1）审:是指审清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量以及它们之间的数量关系. （2）设:是指设元,也就是设未知数,设元又分直接设元和间接设元.所谓直接设元就是问什么设什么;如果直接设元列方程比较难或列出的方程比较复杂,这时可以考虑间接设元,间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的,但更便于列出方程,因此间接设元也是常用的一种方法. （3）列:列方程,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个等量关系,然后列代数式表示这个等量关系，就得到含有未知数的等式，即方程. （4）解:解方程,求出未知数的值. （5）验:检验方程的解是否正确及能否使实际问题有意义. （6）答:回答问题一定要遵循“问什么答什么，怎样问就怎样答”的原则. 简记：审设列解验答。 知识点02列一元二次方程解常见的实际问题 常见题型 列方程的理论依据 行程问题 路程=速度×时间 平均增长率(降低率)问题 为起始量,为终止量，为增长(或降低)的次数， 平均增长率公式:(为平均增长率) 平均降低率公式:(为平均降低率) 传播问题 传播的第二轮可以抽象为一元二次方程，设为传染源数，为每个传染源传播的个数，则传播两轮后感染总个数为 销售利润问题 利润=售价-进价; ； 售价=进价×(1+利润率); 总利润=总售价－总成本=单件利润×总销售量 几何图形问题 利用几何图形的面积、周长公式 存款利息问题 本息和＝本金+利息;利息＝本金×利率×期数 数字问题 两位整数＝十位数字×10＋个位数字; 三位整数＝百位数字×100＋十位数字×10＋个位数字 工程问题 一般情况把工作总量设为单位“1” 当甲独立完成整个工作时，工作时间与工作效率互为倒数 工作效率×工作时间＝工作总量 动态几何问题 运用几何知识以及行程公式， 一般采用间接设元的方法 夏季即将来临，服装店李老板决定低价处理春装，对某款原价144元的春装连续两次降价后售价为100元，设平均每次降价的百分率为，根据题意列方程，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设平均每次降价的百分率为， 根据题意得，． 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为22米．停车场内车道的宽度相等，若停车位的总占地面积为544平方米．求车道的宽度（单位：米）．设停车场内车道的宽度为x米，根据题意所列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键．由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位可合并为一个长为米，宽为米的矩形，结合停车位的占地面积为544平方米，即可列出关于的一元二次方程，即可求解． 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为米，则停车位可合并为一个长为米，宽为米的矩形， 根据题意得：， 故选：D． 某种型号的优盘经过两次降价后，每只由原来的元下降至元，求这种型号的优盘平均每次降价的百分率． 【答案】这种型号的优盘平均每次降价的百分率为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．设这种型号的优盘平均每次降价的百分率为，根据题意列方程即可求解． 【详解】解：设这种型号的优盘平均每次降价的百分率为， 根据题意得： ，（不合题意，舍去）， 答：这种型号的优盘平均每次降价的百分率为． 题型1 传播问题（一元二次方程的应用） 【例1】某村为提高当地“村”总决赛的热度，发起了邀请好友转发海报得门票的活动．小方从公众号转发链接给自己后，又转发给个好友，收到链接的每个好友又转发给个互不相同的人，此时小方的这条链接共被转发133次，刚好满足领取门票的资格，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用——传播问题，个好友转发给个互不相同的人时，转发了次，加上小方转给自己的1次和转给好友的次，共133次，由此可列方程． 【详解】解：由题意得，， 故选B． 【例2】有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染了______个人． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故答案为：10． 【技巧归纳】 1．核心模型：初始 1 个传染源，每轮每人传染 人，两轮后总感染人数为 。 2．审题要点：区分＂总人数＂与＂新增／转发次数＂，明确是否计入初始主体。 3．易错点：易混淆累计总量与新增量，解后需结合实际意义舍去负根。 【变式1-1】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是157，设每个支干长出的小分支数目为x，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．根据题意主干，支干和小分支的总数是157，列出方程即可． 【详解】解：每个支干长出x个小分支，根据题意得： ， 故选：A． 【变式1-2】今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，戴口罩可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染．现在有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多），设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为________． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，现在有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多），据此列方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 列方程得：， 故答案为： 【变式1-3】流感是一种传染性极强的疾病，如果有1人患病，经过两轮传染后有121人患病，设每轮传染中平均一个人传染了个人，那么所列方程为________________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据传染模型，每轮传染中平均每人传染人，经过两轮传染后总患病人数为初始人数的倍，列方程即可． 【详解】解：有1人患传染病，且每轮传染中平均一个人传染了个人， 第1轮传染中有x个人被传染，第一轮传染中有个人被传染， 第2轮：这人每人再传染x人，新增个患者， ∴两轮后总患病数为． ∵两轮后有121人患病， ∴列方程得：， 整理得：， 故答案为：． 【变式1-4】化学是一门以实验为基础的学科，小华在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，第一节课手把手教会了同一个学习小组的名同学做该实验，第二节课小华因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班43名同学恰好都会做这个实验了．求的值． 【答案】的值为6 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解题目中数量关系，掌握一元二次方程的运用是解题的关键． 小华第一节课手把手教会了同一个学习小组的名同学做该实验，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，全班43名同学恰好都会做，由此数量关系列式即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得（不符合题意，舍去）， 答：的值为6． 【变式1-5】若一人患上流感，经过两轮传染后，共有144人被传染上流感，这时引起有关部门注意，加以控制，以后每轮传染少5人，问第四轮传染后共有多少人患流感？ 【答案】第四轮传染后共有7056人患流感 【分析】设每轮传染中平均每人传染了x人，根据经过两轮传染后共有144人患了流感，可求出x，进而求出第四轮过后，又被感染的人数． 本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了x人，依题意有：， 故， ∴或， ∴，（不合题意，舍去）， （人）． 答：第四轮传染后共有7056人患流感． 题型2 增长率问题（一元二次方程的应用） 【例3】某社区为改善环境，决定加大绿化投入．四月份绿化投入25万元，六月份绿化投入48万元，设平均每月绿化投入的增长率为，根据题意，可列得方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及连续增长问题．四月份到六月份间隔两个月，每月增长率为x，六月份的投入为四月份投入连续两次增长后的结果．根据题意列出方程即可． 【详解】解：四月份投入25万元，每月增长率为x，则五月份投入为万元，六月份在五月份基础上再增长，投入为万元， 根据题意，六月份投入48万元，因此方程为， 故选：C． 【例4】为了解决老百姓看病难的问题，卫生部门决定下调药品的价格．某种药品经过两次连续降价后，由每盒100元下调至64元，求这种药品平均每次降价的百分率___________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设平均每次降价的百分率为，根据两次连续降价后的价格关系列方程求解，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为， 根据题意，得， 即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴． 故药品每次降价的百分率是， 故答案为：． 【技巧归纳】 1．核心公式：基础量为 ，平均增长率为 ，两次变化后终值为 ；下降率对应 ． 2．审题要点：区分＂期末单值＂与＂累计总量＂，不可盲目套用求和式． 3．易错点：升降率符号易混淆，解出结果后需验证是否符合实际意义． 【变式2-1】我国通过药品集中采购，大大减轻了群众的医药负担．某种药品经过两次降价，药价从每盒140元下调至35元．设平均每次降价的百分率是，可列出方程（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格降价的百分率），把相应数值代入即可求解． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为，则第一次降价后的价格为元， 第二次降价后的价格在第一次降价后的价格的基础上降低的，为元， 所以可列方程为． 故选：D． 【变式2-2】某厂前年的产值为400万元，去年的产值比前年的增长率为x，如果这个增长率保持不变，预计今年的产值将达到600万元．根据题意可列出方程为__________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程解决实际问题．根据增长率为x不变，则去年产值是前年产值的倍，今年产值是去年产值的倍，因此今年产值是前年产值的倍，结合今年产值达到600万元，列出方程． 【详解】解：根据题意，得． 故答案为：． 【变式2-3】元旦期间某商场为了吸引顾客，对某种商品连续两次降价，每次降价的百分率相同．已知该商品原来每件售价为元，降价两次后每件售价为元，则每次降价的百分率是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设每次降价的百分率为，根据连续两次降价后价格的关系列出方程，解方程得到的值，并验证合理性． 【详解】解：设每次降价的百分率为，则第一次降价后价格为元，第二次降价后价格为元． 根据题意，有 解得：或（舍去） 故答案为：． 【变式2-4】公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)该品牌头盔的实际售价应定为元/个 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据4月份销售150个，6月份销售216个，列出方程进行求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，由题意，得：， 解得：或（舍去）； 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，由题意，得： ， 解得：， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴； 答：该品牌头盔的实际售价应定为元/个． 题型3 与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 【例5】为实施国家劳动教育课程实验，某校开发出一块长为30米、宽为25米的长方形菜园（如图），为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等宽的小道，要使种植面积为650平方米．设小道的宽为x米，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意用x表示出矩形的长和宽是解题的关键．由题意得种植的矩形的长为，宽为，即可求解． 【详解】解：∵小道的宽为x米， ∴需要种植的矩形的长为米，宽为米， 则， 故选：A． 【例6】已知点在线段上，且满足，那么___________．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确建立方程是解题关键．设，则，，代入化简可得一个关于的一元二次方程，解方程即可得． 【详解】解：设，则， ∵点在线段上， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， 即， 故答案为：． 【技巧归纳】 1.矩形小道面积题:采用平移法拼接种植区域，转化为新矩形面积列方程，注意交叉重叠部分不可重复扣除. 2.线段比例题:设参数表示线段长，由等量关系列方程，求比值可整体求解，舍去不符合题意的负根. 3.易错点:平移时易弄错长宽增减量，几何解需验证实际意义. 【变式3-1】如图，从一个长10分米、宽8分米的铁片中间截去一个面积为60平方分米的小长方形，使剩下长方形框四周宽度一样，如果设这个宽度为分米，那么所列出的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设这个宽度为分米，根据中间小长方形面积为60平方分米，列出方程即可． 【详解】解：设这个宽度为分米，则中间小长方形的长为分米，宽为分米，根据题意得：， 故选：C． 【变式3-2】为了喜迎周年庆，物美超市筹备了精彩的文艺演出，筹办组在一块边长为的正方形空地上搭建舞台，并设计了如图所示的方案，其中阴影部分为舞台．舞台区域的宽均为，中间空白部分的面积为，则该正方形空地的边长为_______米． 【答案】15 【分析】本题考查一元二次方程的应用．若设正方形空地的边长为x米，则中间空白的长为米，宽为米，根据长方形面积公式即可列出方程． 【详解】解：根据题意，得． 整理，得． 解得（舍去），． 所以，该正方形空地的边长为15米， 故答案为：15． 【变式3-3】如图，为美化环境，某地准备将一片面积为的矩形空地建为一个花圃，花圃中间共设有条等宽的水渠，将花圃分为了个形状相同的矩形区域，在每个区域内种植花草，花草的总面积为，若测得空地的宽为，则水渠的宽度为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．先求出空地的长，设水渠的宽度为，根据题意列方程即可求解． 【详解】解：设水渠的宽度为， 空地的长为：， 根据题意得：， 整理得：，即， 解得：，（不合题意，舍去）， 则水渠的宽度为， 故答案为：． 【变式3-4】如图，要设计一本书的封面，封面长，宽，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形．如果要使四周彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？ (1)依题意可知正中央的长方形的长宽之比为 ；正中央的长方形面积是封面面积的 ． 请依据问题1的数量关系解决问题： 解：设正中央的长方形长宽分别为 、 ．（依题意列方程求解） (2)你还有其他的方法吗？（提示：可利用上、下边衬与左、右边衬的宽度比．） 解：设上、下边衬的宽度是 ，则左、右边衬的宽度是 ．（依题意列方程求解．） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由封面长，宽，得正中央的长方形的长宽之比为，故设正中央的长方形长宽分别为、．列方程为，再计算即可； （2）由正中央的长方形的长宽之比为，得上、下边衬与左、右边衬的宽度比；设上、下边衬的宽度是，则左、右边衬的宽度是，列方程为，再计算即可． 【详解】（1）解：依题意可知正中央的长方形的长宽之比为， 正中央的长方形面积是封面面积的； 设正中央的长方形长宽分别为、， 列方程为：， 解得， ∴正中央的长方形长宽分别为、， ∴上、下边衬， 左、右边衬； （2）解：依题意可知正中央的长方形的长宽之比为， 故上、下边衬与左、右边衬的宽度比， 设上、下边衬的宽度是，则左、右边衬的宽度是， 列方程为：， ∴(舍去)， ∴上、下边衬的宽度是，左、右边衬的宽度是． 【变式3-5】某人利用米长的墙为一边，用长米的竹篱笆作为另三边，围成一个面积为平方米的长方形菜园，长方形菜园的长和宽各是多少？ 【答案】长方形菜园的长和宽分别是米和米 【分析】设垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为米，由墙长为米，可得，根据长方形菜园的面积为20平方米，列方程解方程即可求解． 【详解】解：设垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为米， ∵墙长为米， ∴， 解得， ∵长方形菜园的面积为20平方米， ∴， 整理得， ∴， ∴（舍去，∵），， 当时，， ∴长方形菜园的长和宽分别是米和米， 答：长方形菜园的长和宽分别是米和米． 题型4 数字问题（一元二次方程的应用） 【例7】两个相邻奇数的积是195，则这两个奇数的和为（   ） A．26 B．28 C．或26 D．或28 【答案】D 【分析】设两个相邻奇数为和，根据乘积为列方程求解，再求和即可，注意需考虑正负两种情况． 本题考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式． 【详解】解：设这两个相邻奇数分别为和，则它们的乘积为： 展开得： 当时，两个奇数为和，和为； 当时，两个奇数为和，和为。 因此，这两个奇数的和为或， 故选：D 【例8】淇淇在计算两个正数和时，误计算成这两个数的积，结果由正确答案8变成了15，则这两个正数中，较大的正数是_______． 【答案】5 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设其中一个正数为，则另一个正数为，根据两个数的积是15，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：设其中一个正数为，则另一个正数为， 由题意得， 整理得，即， 解得，， ∴较大的正数是5， 故答案为：5． 【技巧归纳】 1. 相邻奇偶数设元:两数差为2，设其中一数为a，另一数为x+2，依数量关系列方程 2.和积类题型:已知两数和与积，可借助根与系数关系快速对应方程求解. 3.易错点:无范围限定时勿遗漏负解;限定正数、正整数时需验根，舍去不合理解. 【变式4-1】已知两个相邻的偶数之积为，若设较小的偶数为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列一元二次方程，设较小的偶数为，则较大的偶数为，根据题意得出方程，即可求解． 【详解】解：设较小的偶数为，则较大的偶数为，根据题意得 故选：D． 【变式4-2】2024年11月22日是二十四节气之一的“小雪”，“小雪”标志着降雪的开始和气温的进一步降低．如图是2024年11月的月历表，在月历表中用方框圈出9个数字，若圈出的9个数字中，最大数与最小数的乘积为297，则最小的数为______． 【答案】11 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 设最小数为x，可知最大数为，根据题意得出，再求出解即可． 【详解】解：最小数为x，可知最大数为，根据题意，得 ， 解得． ∴最小的数为11． 故答案为：11． 【变式4-3】有一个两位数等于其数字之积的2倍，其十位数字比个位数字小3，求这个两位数． 【答案】36 【分析】本题主要考查利用一元二次方程解决数字问题．熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键，设设个位数字为，则十位数字是，由题可得，整理并解得的值， 从而可得答案． 【详解】解：设个位数字为，则十位数字是． 根据题意可得：，     整理得：， ， 解得：，（不是整数，舍去）． 答：这个两位数为． 题型5 营销问题（一元二次方程的应用） 【例9】某种时装，平均每天销售20件，每件可盈利40元，若每件降价1元，则每天可以多售出5件，如果每天要盈利1600元，若设每件可降价x元，根据题意列出的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每件可降价x元，则每件时装可盈利元，销售量为件，再根据总盈利为1600元列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 【例10】“双11”购物节，某电商平台的一款智能电饭煲经过了两次降价，售价由原来的元降到元，设平均每次降价的百分率为，那么可列方程为________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是根据题意，设平均每次降价的百分率为，列出方程，即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为， ∴， 故答案为：． 【技巧归纳】 1．利润类：总利润 = 单件利润 × 销售量，价格变动对应销量反向变动，依等量关系列一元二次方程． 2．连续降价类：原价为 ，平均降价率为 ，两次降价后售价为 ． 3．易错点：易混淆销量增减方向，升降率符号易写错，解后需结合实际意义取舍． 【变式5-1】某商场销售一批衬衣，平均每天可售出30件，每件衬衣盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衣降价10元，商场平均每天可多售出20件．若商场平均每天盈利2000元．每件衬衣应降价（　　）元． A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】D 【分析】利用衬衣平均每天售出的件数每件盈利每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可． 【详解】解：设每件衬衫应降价元． 根据题意，得：， 整理，得， 解得，． “增加盈利，减少库存”， 应舍去， ． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数每件盈利每天销售的利润是解题关键． 【变式5-2】某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元平均每天可多售出20箱，若要使每天销售饮料获利1440元，则每箱应降价__________元． 【答案】4 【分析】根据销售每箱饮料的利润销售总箱数=销售总利润，由此列方程解答即可． 【详解】解：设每箱降价x元，则每天多售出箱， ∴ ， 整理得： ， 解得： 或 ， ∵要扩大销售， ∴ 答：每箱降价4元． 【变式5-3】甲商品的售价为每件40元． (1)若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件元．若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率； (2)经调查，该商品每降价元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件，若该商场希望该商品每月销售额为26250元，且尽可能扩大销售量，则该商品在原售价的基础上应如何调整？ 【答案】(1) (2)该商品在原售价的基础上，再降低25元 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用：平均变化率问题和销售问题，正确分析题目中的数量关系是解题的关键． (1)设调价百分率为x，根据售价从原来每件40元经两次调价后调至每件元，可列方程求解． (2)根据已知条件求出多售的件数，根据该商场希望该商品每月销售额为26250元列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设这种商品平均降价率是x， 依题意得： 解得：，（舍去） 答：这个降价率为。 （2）设降价y元，则多销售件， 根据题意得， 解得：， 因为尽可能扩大销售量，所以（舍去） 答：该商品在原售价的基础上，再降低25元．- 【变式5-4】为弘扬崇明土布传统文化，展现匠人技艺魅力，瀛洲土布馆推出崇明土布刺绣“小马”挂件．该挂件每件成本25元，当售价定为35元时，每日可售出48件．市场调研显示，售价每降低1元，每日销量就会增加6件． (1)当该挂件降价元，每日售出的数量是_____件(用的代数式表示)； (2)当该挂件降价多少元时，土布馆每日销售这款挂件的利润恰好为432元． 【答案】(1) (2)当该挂件降价4元时，土布馆每日销售这款挂件的利润恰好为432元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）根据“售价每降低1元，每日销量就会增加6件”，列代数式即可； （2）根据单件利润乘以销售量等于总利润列出方程，并求解即可． 【详解】（1）解：∵售价每降低1元，每日销量就会增加6件， ∴当该挂件降价元，每日售出的数量是件， 故答案为：； （2）解： 整理得 解得或（不符合题意，舍去） 答：当该挂件降价4元时，土布馆每日销售这款挂件的利润恰好为432元． 题型6 动态几何问题（一元二次方程的应用） 【例11】如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以每秒1个单位长度的速度移动，点Q从点C出发向终点A以每秒2个单位长度的速度移动，P，Q两点同时出发，其中一点先到达终点时P，Q两点同时停止移动．则当的面积等于8时，经过了（    ） A．1秒 B．6秒 C．8秒 D．1秒或8秒 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 设经过了秒，的面积等于8，用含的代数式表示和，根据三角形的面积公式建立方程，求解即可． 【详解】解：设经过了秒，的面积等于8，则 ， 解得：，， ∵点Q从点C到点A需要的时间是：（秒）， ∴，不合题意，应舍去， 因此，则当的面积等于8时，经过了1秒. 故答案为：A． 【例12】如图所示，中，，厘米，厘米，占从点开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，经过__________秒钟的面积等于5平方厘米． 【答案】1 【分析】本题考查了实际问题与一元二次方程：动态几何问题，根据运动速度以及运动方向得，，，根据面积列式，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：经过秒钟的面积等于5平方厘米， 由题意得：，，， 则， ∵的面积等于5平方厘米 ∴ 解得 ∵ ∴舍去 ∴ 故答案为：1 【技巧归纳】 设运动时间为t，用含t的代数式表示直角边长度，结合面积公式列一元二次方程求解. 易错点:需关注动点运动范围与时间取值上限，解后验证结果，舍去超出线段长度的不合理解. 注意速度对应线段的增减方向，避免边长表达式列错. 【变式6-1】如图，在中，，，，点沿边从点出发向终点以的速度移动；同时点沿边从点出发向终点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当的面积为时，点运动的时间是（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．利用时间路程速度，可求出点，到达终点所需时间，当运动时间为秒时，，，根据的面积为，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】解：，． 当运动时间为秒时，，，， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 点的运动时间是． 故选：A． 【变式6-2】根据物理学规律，如果把一物体从地面以的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：）约为．根据上述规律，则物体经过______秒落回地面． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的时间应用，根据落回地面时，物体的高度为0列出方程求解即k． 【详解】解：当时，解得（舍去）或， ∴物体经过秒落回底面， 故答案为：． 【变式6-3】如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，Q从点B开始沿边向C点以的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，几秒钟后，的面积等于？ 【答案】2秒或4秒后的面积等于 【分析】本题考查了动点问题，三角形面积公式及一元二次方程的建立与求解，先分析点P、Q的运动情况，表示出和的长度，根据三角形面积公式列出方程并求解方程即可． 【详解】解：设x秒后的面积等于， 在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，Q从点B开始沿边向C点以的速度移动， ，， ， ， 解得：，， 即2秒或4秒后的面积等于． 题型7 行程问题（一元二次方程的应用） 【例13】汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意把路程的值代入求解． 根据路程和时间之间的关系，将代入求出t即可． 【详解】解：依题意得： ， 整理得， 解得(不合题意舍去)，， 即行驶需要． 故选：C. 【例14】汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为______． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意把路程的值代入求解． 根据路程和时间之间的关系，将代入求出t即可． 【详解】解：依题意得， 整理得， 解得(不合题意舍去)，， 即行驶需要． 故答案为： 【技巧归纳】 将已知路程代入 关系式，转化为一元二次方程求解时间。 易错点：时间取值必为非负数，解出后舍去负根；注意题目中路程与时间的单位是否统一，避免单位不匹配造成计算失误。 【变式7-1】飞机起飞前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行时是匀加速运动，其公式为，如 果飞机起飞前滑行距离，其中，则飞机起飞的时间 ________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，将题中所给数据代入进行求解即可． 【详解】解：将，代入得： ， 解得：，（舍去）， 故答案为：． 【变式7-2】在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了________秒． 【答案】/ 【分析】本题考查一元一次方程及一元二次方程的应用，是匀减速运动的问题，速度应为平均速度，基本等量关系：平均速度时间路程，列方程并解方程即可解决，注意速度单位的转化和题目的问题相符． 【详解】解：时速为108千米米/秒， 设紧急刹车后又滑行30米需要时间为x秒， 则， 解得：． 平均每秒减速（米/秒）； 设刹车后汽车滑行10米时用了t秒， 依题意列方程：， 解方程得，（不合题意，舍去）， 即， 故答案为：． 【变式7-3】新疆阿勒泰有“中国雪都”之称，很多滑雪爱好者都到将军山滑雪场滑雪．已知滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）之间的关系是．若某滑雪者在山坡上的出发点和终点的距离是176m，他需要______s能到达终点． 【答案】 8 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；根据滑行距离与时间的关系式，将已知距离代入方程，解一元二次方程求时间． 【详解】解：由题意，滑行距离S与时间t的关系为． 当时，有． 整理得． 为方便计算，方程两边同乘2，得． ． 因为， 所以． 解得，． 由于时间不能为负数，故． 故答案为8． 题型8 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【例15】某省举办的城市业余足球联赛采用主客场双循环赛制，每支球队与其他球队需进行两场比赛（主场和客场各一次）．本赛季该联赛共完成比赛156场．设参加联赛的球队有x支，根据题意，为求解x，以下列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据实际问题列方程，根据双循环赛制中，每两支球队之间进行两场比赛，总比赛场数为球队数x与的乘积列方程即可． 【详解】解：设有x支球队，则每支球队与其他支球队各进行两场比赛，总比赛场数为， 由题意得：， 故选B． 【例16】某班班主任为在开学季让学生带着新的梦想、新的希望开启新的学期，组织学生互送贺卡一张互相鼓励，若全班共送出贺卡1722张，设该班有x人，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键. 设该班有x人，则每人需送出张，根据全班共送出贺卡1722张，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设该班有x人，则每人需送出张， 依题意得：， 故选：A． 【技巧归纳】 核心公式：单循环（握手、单场赛）总次数为 ；双循环（互送贺卡、主客场）总次数为 。 审题关键：区分单向与双向交互，判断是否需除以 2 。 易错点：易混淆单双循环模型，错乘或漏乘系数 ，解后需验证结果为正整数。 【变式8-1】春节前夕一群学生举行一次聚会，聚会时每两个人之间都互赠一张贺卡，这样共送出了张贺卡．设这群学生共有人，根据题意可列一元二次方程是______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，解题关键是明确“每两个人之间都互赠一张贺卡”意味着每个人需要向除自己外的所有人各送一张，从而推导总贺卡数的表达式．据此解答即可． 【详解】解：设这群学生共有人， ∵每个人需要向除自己外的人各赠送1张贺卡， ∴总共送出的贺卡数为张． 已知共送出张贺卡， ∴可列方程为． 故答案为：． 【变式8-2】某校八年级举行篮球比赛，每个班级都要和其他班级比赛一次，且两个班级之间只比赛一次，结果一共进行了21场比赛，设八年级共有x个班级，那么列出方程是________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，每个班级需与其他个班级比赛，但每场比赛被计算了两次，因此总比赛场数为 ，根据总场数为21，列出方程即可． 【详解】解：设八年级共有x个班级， 根据题意，每两个班级之间进行一场比赛，总比赛场数为； 因此，方程为 ， 故答案为： ． 【变式8-3】会议上每两个参加会议的人都互握一次手，一共握手66次，设有人参加会议，则可列方程______． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 每个人与其他人都握手一次，但每对握手只算一次，因此总握手次数为个人中选个人的组合数，即，设其等于66即可； 【详解】设参加会议有人，每个人都与其他人握手，共握手次数为，因为每对握手被重复计算了一次，所以实际握手次数为，根据题意，总握手次数为66次， 列方程． 故答案为：． 【变式8-4】如图是今年某月的日历表，小欧用一个平行四边形，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是264，求小欧框出的最小数． 【答案】12 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键．设最小数为x，根据题意，得到最大数为，列出方程为，解方程即可． 【详解】设最小数为x，则最大数为， ， ， 解得（舍去）， 所以小欧框出的最小数是12． 【变式8-5】作为国内围棋顶级职业联赛，2025“三国赤壁古战场杯”中国围棋甲级联赛吸引了众多爱好者关注．联赛采用循环赛制．每支队伍需与其余所有队伍各赛一场，充分展现各队实力．已知本次联赛共进行了120场激烈对决，求有多少支参赛队伍？ 【答案】有16支参赛队伍 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设有支参赛队伍，根据本次联赛共进行了120场激烈对决列方程求解即可． 【详解】解：设有支参赛队伍 解得（舍去） 答：有16支参赛队伍 题型9 其他问题（一元二次方程的应用） 【例17】假设每一个参加宴会的人跟其他参会的人都握一次手，在宴会结束时，所有的参会者总共握手28次，那么参会人士共有多少人？设参会人士共有x人，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设参会人士共有x人，则根据两两握手一次，共握了28次手可列出方程，解出即可． 【详解】解：设参会人士共有x人， 则根据分析可得：． 故选：C． 【例18】我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽，”其大意如下：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则可列方程为________． 【答案】 【分析】本题考查了列一元二次方程，设这批椽的数量为x株，再结合题意列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设这批椽的数量为x株， 由题意可列方程为， 故答案为：． 【技巧归纳】 握手问题属单循环模型，总次数为 ，两两交互仅计一次，切勿漏除以 2 。 古算类应用题需先读懂题意，理清数量、单价与总费用的等量关系，用含 的代数式表示对应量后列方程。易错点：易混淆单双循环模型，古算题易因题意理解偏差列错等式。 【变式9-1】参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛场，设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．设有个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛场，可列出方程． 【详解】解：设共有个队参加比赛， 根据题意得：， 故选：D． 【变式9-2】联欢会上，每位同学向其他同学赠送1件礼物，结果共有互赠礼物870件，求参加联欢会的同学人数，设参加联欢会的同学有x人，那么可列出方程______． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设参加联欢会的同学有x人，则每人送出件礼物，根据共送礼物870件可列出方程． 【详解】解：设参加联欢会的同学有x人，则每人送出件礼物， 由题意得，． 故答案为：． 【变式9-3】某小组每人给其他人送一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共有________人． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并列出方程是解决本题的关键． 设小组人数为n，则每人送出张照片，总照片数为，求解即可． 【详解】解：设小组共有n人， 根据题意得，总照片数为 解得或（不符合题意，舍去）， ∴小组共有10人． 故答案为：10． 【变式9-4】某果农计划在一片向阳的坡地上种植50棵桃树，果农想通过增加种植桃树的数量来增加产量．经过咨询专业技术人员，发现按原计划种树，每棵桃树在生产周期内的平均产量是120个桃子，若每多种1棵桃树，则每棵桃树在生产周期内的平均产量就会减少2个桃子．如果要使桃子产量增加到6050个，那么应多种多少棵桃树？ 【答案】应多种5棵桃树 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设多种x棵树，根据总产量等于每棵桃树的产量乘以桃树的数量，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设多种x棵树， 则， 整理得：， 解得， 答：应多种5棵桃树． 1．在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡张，设参加活动的同学有人，根据题意，可列方程（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设参加活动的同学有x人，则每人送出（）张贺卡，根据参加活动的同学共送贺卡42张，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设参加活动的同学有x人，则每人送出（）张贺卡， 依题意得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．某工厂七月份的产值是100万元，计划第三季度共创产值484万元．若每个月产值的增长率相同，并设这个增长率为x，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，掌握增长率的计算方法是解题的关键； 根据每个月产值的平均增长率为x，七月份的产值是100万元，表示之后两个月的产值，然后已知第三季度的总产值，列方程即可． 【详解】解：∵每个月产值的平均增长率为x，七月份的产值是100万元， ∴八月份产值为， 九月份产值为， ∵计划第三季度共创产值484万元， ∴， 故选：D． 3．有一人患了流感，经过两轮传染后，共有81人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x个人，下列结论：①1轮后有个人患了流感；②第2轮又增加个人患流感；③依题意可得方程；④不考虑其他因素经过三轮一共会有648人感染．所以正确的结论为（    ） A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】第一轮的传染源是1个人，他传染了x人，则第一轮后共有人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x人，则第二轮后共有人患了流感，而此时患流感人数为81，根据这个等量关系列出方程，再进行一一判断即可． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了x人． 则第一轮后共有人患了流感，故①正确； 第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x人， 则第2轮又增加个人患流感，故②错误； 依题意，得，即，故③正确； 解方程，得，（舍去）． 每轮传染中平均每人传染了8人． 经过三轮一共会有人感染，故④错误； 综上可知，正确的结论有①③， 故选A． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系列出一元二次方程． 4．随着互联网购物急速增加，快递业逐渐成为我国发展最快的行业之一，某快递店十月份揽件5000件、十月、十一月、十二月合计揽件20000件，如果该快递店十一月、十二月月揽件量的增长率都是，那么由题意可得方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，就能找到等量关系并列出方程，这是解决问题的关键．同时，还要注意增长率问题的一般规律． 设该快递店十一月、十二月月揽件量的增长率都是x，根据关系式“三个月总揽件数十月揽件数十一月揽件数十二月揽件数”即可列出方程． 【详解】解：设该快递店十一月、十二月月揽件量的增长率都是，由题意可得： ， 故选：B． 5．如图，公园里有一段长20米的墙，工人师傅计划利用墙和40米的栅栏围成一个面积为198平方米的封闭矩形绿化区域，设矩形中垂直于墙的一边的栅栏长为x米，下列说法正确的是（    ） A．由题意得 B．x的取值范围是 C．只有一种围法 D．只有两种围法 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．由题意可得平行于墙的一边长为米，即可建立一元二次方程求解． 【详解】解：∵垂直于墙的一边长为米， ∴平行于墙的一边长为米， 则：，故A错误； ∵， 解得：，故B错误； 对于方程，化简得：， 解方程得：，， ∵ ∴， 故只有一种围法，故C正确、D错误； 故选：C． 6．某商场购进一款年货大礼包，经调研发现，当该款大礼包每盒的售价为元时，每天可售出盒，每盒的售价每降低元，每天的销量增加盒，要使该款大礼包每天的销售额达到元，每盒的售价应降低多少元？若设该款大礼包每盒降价元，则可列方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设该款大礼包每盒降价元，根据该款大礼包每天的销售额达到6000元，列出方程即可． 【详解】解：设该款大礼包每盒降价元，根据题意得， ，即 故选：D． 7．容器内盛满60升纯酒精，倒出一部分后用水加满，第二次倒出比第一次多14升的溶液，再用水加满．这时容器内纯酒精和水正好各占一半，则第一次倒出了多少升酒精（　　） A．10或96 B．10 C．96 D．26 【答案】B 【分析】设第一次倒出了酒精升，则第二次倒出溶液升，根据倒出两次后容器内纯酒精还剩下升，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设第一次倒出了酒精升，则第二次倒出溶液升， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 第一次倒出了酒精10升． 故选：B 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8．我国西部某地决定加快植树造林的速度，如果计划用两年的时间将防风林的面积从现在的2万亩扩大到万亩，则这两年平均每年的增长率为________． 【答案】 【分析】设这两年平均每年的增长率为x，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了平均增长率问题，正确列方程并熟练解答是解题的关键． 【详解】设这两年平均每年的增长率为x，根据题意，得， 解得（舍去）， 故答案为：． 9．现有一张矩形纸片，其周长为厘米，将纸片的四个角各剪下一个边长为厘米的正方形，然后沿虚线（如图所示）将纸片折成一个无盖的长方体．如果所得的长方体的体积是立方厘米，设原矩形纸片的长是厘米，那么可列出方程为________． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，首先要注意读懂题意，正确理解题意，然后才能利用题目的数量关系列出方程． 设原矩形纸片的长是，表示长方体纸盒的长、宽、高，然后根据体积列出方程即可． 【详解】解： 设原矩形纸片的长是，则宽为， 长方体纸盒的长为，宽为，高为， 由长方体体积是立方厘米得： ． 故答案为：． 10．有一个两位数，如果个位上的数比十位上的数大1，并其十位上的数的平方比个位上的数也大1，那么这个两位数是__________． 【答案】23 【分析】设十位上的数为x，则个位上的数位，十位上的数的平方比个位上的数也大1，再建立方程求出其解就可以得出结论． 【详解】解：设原两位数的十位数字为x， 根据题意得： ∴， 解得：，（不符合题意舍去） 答：这个两位数为23， 故答案为23． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． 11．若把一个正方形的一边增加，另一边增加，所得的长方形比原正方形面积多，设原正方形的边长为x，则可列方程为____________． 【答案】 【分析】设原正方形的边长为x，则所得的长方形的长为，宽为，根据“所得的长方形比原正方形面积多，”列出方程，即可求解． 【详解】解：设原正方形的边长为x，则所得的长方形的长为，宽为，根据题意得： ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 12．小杰将元压岁钱按一年定期存入银行，到期后取出元用来购买学习用品，剩下的元和应得的利息又全部按一年定期存入银行．若存款的年利率为，这样到期后账户里有元，由题意可列方程：________． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程．可以设存款利率为，第一年提取元后存款为，第二年后可得存款为，此题得解． 【详解】解：设存款利率为，则第一年提取200元后存款为， 根据题意，可列方程为：， 故答案为：． 13．“一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展．某品牌头盔的进价为元/个，经测算当售价为元/个时，月销售量为个；售价每上涨元，则月销售量减少个，为使月销售利润达到元，并尽可能让顾客得到实惠，求该品牌头盔的售价应定为每个多少元． 【答案】元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设该品牌头盔的售价定为元/个，则每个头盔的销售利润为元，月销售量为个，利用月销售利润每个头盔的销售利润月销售量，列出一元二次方程，解之可得出值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设该品牌头盔的售价定为每个元，则每个头盔的销售利润为元，月销售量为：（个）， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴． 答：该品牌头盔的售价应定为每个元． 14．安阳市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)该品牌头盔每个应涨价5元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设头盔每个涨价元，根据“月销售利润达到6000元”，得出关于的一元二次方程求解，根据“尽可能让市民得到实惠”取舍即可． 【详解】（1）解：设头盔销售量的月增长率为， 根据题意得： ， 解得（舍去）， 答：头盔销售量的月增长率为； （2）解：设头盔每个涨价元， 根据题意得： ， 整理得， 解得， 要尽可能让顾客得到实惠， ， 答：该品牌的头盔每个应涨价5元． 2/14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 一元二次方程的应用(实际问题) 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 传播问题（一元二次方程的应用） 题型2 增长率问题（一元二次方程的应用） 题型3 与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 题型4 数字问题（一元二次方程的应用） 题型5 营销问题（一元二次方程的应用） 题型6 动态几何问题（一元二次方程的应用） 题型7 行程问题（一元二次方程的应用） 题型8 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 题型9 其他问题（一元二次方程的应用） 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 列一元二次方程解应用题、审设列解验答、直接设元、间接设元、平均增长率、传播问题、销售利润、几何图形面积、数字问题、行程问题、动态几何、握手循环赛、等量关系、实际意义检验 1.掌握列一元二次方程解实际问题的一般步骤，明确“审、设、列、解、验、答"六步流程，理解直接设元与间接设元的适用场景，掌握将实际问题抽象为数学方程的建模方法。 2.掌握各类常见应用题的等量关系，能熟练处理传播问题、平均增长率(降低率)问题、几何图形问题、数字问题、营销利润问题、行程问题、握手循环赛问题等主流题型，准确列出对应一元二次方程。 3.养成解应用题的检验习惯，既能检验方程求解是否正确，也能判断解是否符合实际问题的意义，正确舍去不合理解。 4.能应对动态几何、综合营销等较复杂的应用题，提升等量关系梳理、方程建模与运算求解的综合能力。 学习重点：1.列一元二次方程解应用题的六步标准解题流程，核心是找准等量关系、正确列出方程。 2.平均增长率(降低率)、销售利润、几何图形面积三类高频重点题型的解题方法与列式逻辑。 3.方程解的双重检验:运算正确性检验与实际意义检验，剔除不符合题意的根。 学习难点：1.动态几何、复杂图形类问题中等量关系的梳理，以及间接设元方法的灵活运用。 2.传播、握手循环赛、营销调价等特色题型的模型识别与列式推导。 3.多条件叠加的综合应用题建模，以及对解的实际含义的精准判断。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01列一元二次方程解实际问题的一般步骤 1.列方程解实际问题的实质 列方程解实际问题就是先把实际问题抽象为数学问题(即转化)然后通过解决数学问题来解决实际问题。 2.列一元二次方程解实际问题的一般步骤 （1）审:是指审清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量以及它们之间的数量关系. （2）设:是指设元,也就是设未知数,设元又分直接设元和间接设元.所谓直接设元就是问什么设什么;如果直接设元列方程比较难或列出的方程比较复杂,这时可以考虑间接设元,间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的,但更便于列出方程,因此间接设元也是常用的一种方法. （3）列:列方程,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个等量关系,然后列代数式表示这个等量关系，就得到含有未知数的等式，即方程. （4）解:解方程,求出未知数的值. （5）验:检验方程的解是否正确及能否使实际问题有意义. （6）答:回答问题一定要遵循“问什么答什么，怎样问就怎样答”的原则. 简记：审设列解验答。 知识点02列一元二次方程解常见的实际问题 常见题型 列方程的理论依据 行程问题 路程=速度×时间 平均增长率(降低率)问题 为起始量,为终止量，为增长(或降低)的次数， 平均增长率公式:(为平均增长率) 平均降低率公式:(为平均降低率) 传播问题 传播的第二轮可以抽象为一元二次方程，设为传染源数，为每个传染源传播的个数，则传播两轮后感染总个数为 销售利润问题 利润=售价-进价; ； 售价=进价×(1+利润率); 总利润=总售价－总成本=单件利润×总销售量 几何图形问题 利用几何图形的面积、周长公式 存款利息问题 本息和＝本金+利息;利息＝本金×利率×期数 数字问题 两位整数＝十位数字×10＋个位数字; 三位整数＝百位数字×100＋十位数字×10＋个位数字 工程问题 一般情况把工作总量设为单位“1” 当甲独立完成整个工作时，工作时间与工作效率互为倒数 工作效率×工作时间＝工作总量 动态几何问题 运用几何知识以及行程公式， 一般采用间接设元的方法 夏季即将来临，服装店李老板决定低价处理春装，对某款原价144元的春装连续两次降价后售价为100元，设平均每次降价的百分率为，根据题意列方程，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为22米．停车场内车道的宽度相等，若停车位的总占地面积为544平方米．求车道的宽度（单位：米）．设停车场内车道的宽度为x米，根据题意所列方程为（   ） A． B． C． D． 某种型号的优盘经过两次降价后，每只由原来的元下降至元，求这种型号的优盘平均每次降价的百分率． 题型1 传播问题（一元二次方程的应用） 【例1】某村为提高当地“村”总决赛的热度，发起了邀请好友转发海报得门票的活动．小方从公众号转发链接给自己后，又转发给个好友，收到链接的每个好友又转发给个互不相同的人，此时小方的这条链接共被转发133次，刚好满足领取门票的资格，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 【例2】有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染了______个人． 【技巧归纳】 1．核心模型：初始 1 个传染源，每轮每人传染 人，两轮后总感染人数为 。 2．审题要点：区分＂总人数＂与＂新增／转发次数＂，明确是否计入初始主体。 3．易错点：易混淆累计总量与新增量，解后需结合实际意义舍去负根。 【变式1-1】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是157，设每个支干长出的小分支数目为x，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，戴口罩可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染．现在有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多），设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为________． 【变式1-3】流感是一种传染性极强的疾病，如果有1人患病，经过两轮传染后有121人患病，设每轮传染中平均一个人传染了个人，那么所列方程为________________． 【变式1-4】化学是一门以实验为基础的学科，小华在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，第一节课手把手教会了同一个学习小组的名同学做该实验，第二节课小华因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班43名同学恰好都会做这个实验了．求的值． 【变式1-5】若一人患上流感，经过两轮传染后，共有144人被传染上流感，这时引起有关部门注意，加以控制，以后每轮传染少5人，问第四轮传染后共有多少人患流感？ 题型2 增长率问题（一元二次方程的应用） 【例3】某社区为改善环境，决定加大绿化投入．四月份绿化投入25万元，六月份绿化投入48万元，设平均每月绿化投入的增长率为，根据题意，可列得方程为（   ） A． B． C． D． 【例4】为了解决老百姓看病难的问题，卫生部门决定下调药品的价格．某种药品经过两次连续降价后，由每盒100元下调至64元，求这种药品平均每次降价的百分率___________． 【技巧归纳】 1．核心公式：基础量为 ，平均增长率为 ，两次变化后终值为 ；下降率对应 ． 2．审题要点：区分＂期末单值＂与＂累计总量＂，不可盲目套用求和式． 3．易错点：升降率符号易混淆，解出结果后需验证是否符合实际意义． 【变式2-1】我国通过药品集中采购，大大减轻了群众的医药负担．某种药品经过两次降价，药价从每盒140元下调至35元．设平均每次降价的百分率是，可列出方程（  ） A． B． C． D． 【变式2-2】某厂前年的产值为400万元，去年的产值比前年的增长率为x，如果这个增长率保持不变，预计今年的产值将达到600万元．根据题意可列出方程为__________． 【变式2-3】元旦期间某商场为了吸引顾客，对某种商品连续两次降价，每次降价的百分率相同．已知该商品原来每件售价为元，降价两次后每件售价为元，则每次降价的百分率是______． 【变式2-4】公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 题型3 与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 【例5】为实施国家劳动教育课程实验，某校开发出一块长为30米、宽为25米的长方形菜园（如图），为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等宽的小道，要使种植面积为650平方米．设小道的宽为x米，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【例6】已知点在线段上，且满足，那么___________．（结果保留根号） 【技巧归纳】 1.矩形小道面积题:采用平移法拼接种植区域，转化为新矩形面积列方程，注意交叉重叠部分不可重复扣除. 2.线段比例题:设参数表示线段长，由等量关系列方程，求比值可整体求解，舍去不符合题意的负根. 3.易错点:平移时易弄错长宽增减量，几何解需验证实际意义. 【变式3-1】如图，从一个长10分米、宽8分米的铁片中间截去一个面积为60平方分米的小长方形，使剩下长方形框四周宽度一样，如果设这个宽度为分米，那么所列出的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】为了喜迎周年庆，物美超市筹备了精彩的文艺演出，筹办组在一块边长为的正方形空地上搭建舞台，并设计了如图所示的方案，其中阴影部分为舞台．舞台区域的宽均为，中间空白部分的面积为，则该正方形空地的边长为_______米． 【变式3-3】如图，为美化环境，某地准备将一片面积为的矩形空地建为一个花圃，花圃中间共设有条等宽的水渠，将花圃分为了个形状相同的矩形区域，在每个区域内种植花草，花草的总面积为，若测得空地的宽为，则水渠的宽度为______． 【变式3-4】如图，要设计一本书的封面，封面长，宽，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形．如果要使四周彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？ (1)依题意可知正中央的长方形的长宽之比为 ；正中央的长方形面积是封面面积的 ． 请依据问题1的数量关系解决问题： 解：设正中央的长方形长宽分别为 、 ．（依题意列方程求解） (2)你还有其他的方法吗？（提示：可利用上、下边衬与左、右边衬的宽度比．） 解：设上、下边衬的宽度是 ，则左、右边衬的宽度是 ．（依题意列方程求解．） 【变式3-5】某人利用米长的墙为一边，用长米的竹篱笆作为另三边，围成一个面积为平方米的长方形菜园，长方形菜园的长和宽各是多少？ 题型4 数字问题（一元二次方程的应用） 【例7】两个相邻奇数的积是195，则这两个奇数的和为（   ） A．26 B．28 C．或26 D．或28 【例8】淇淇在计算两个正数和时，误计算成这两个数的积，结果由正确答案8变成了15，则这两个正数中，较大的正数是_______． 【技巧归纳】 1. 相邻奇偶数设元:两数差为2，设其中一数为a，另一数为x+2，依数量关系列方程 2.和积类题型:已知两数和与积，可借助根与系数关系快速对应方程求解. 3.易错点:无范围限定时勿遗漏负解;限定正数、正整数时需验根，舍去不合理解. 【变式4-1】已知两个相邻的偶数之积为，若设较小的偶数为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】2024年11月22日是二十四节气之一的“小雪”，“小雪”标志着降雪的开始和气温的进一步降低．如图是2024年11月的月历表，在月历表中用方框圈出9个数字，若圈出的9个数字中，最大数与最小数的乘积为297，则最小的数为______． 【变式4-3】有一个两位数等于其数字之积的2倍，其十位数字比个位数字小3，求这个两位数． 题型5 营销问题（一元二次方程的应用） 【例9】某种时装，平均每天销售20件，每件可盈利40元，若每件降价1元，则每天可以多售出5件，如果每天要盈利1600元，若设每件可降价x元，根据题意列出的方程是（   ） A． B． C． D． 【例10】“双11”购物节，某电商平台的一款智能电饭煲经过了两次降价，售价由原来的元降到元，设平均每次降价的百分率为，那么可列方程为________． 【技巧归纳】 1．利润类：总利润 = 单件利润 × 销售量，价格变动对应销量反向变动，依等量关系列一元二次方程． 2．连续降价类：原价为 ，平均降价率为 ，两次降价后售价为 ． 3．易错点：易混淆销量增减方向，升降率符号易写错，解后需结合实际意义取舍． 【变式5-1】某商场销售一批衬衣，平均每天可售出30件，每件衬衣盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衣降价10元，商场平均每天可多售出20件．若商场平均每天盈利2000元．每件衬衣应降价（　　）元． A．10 B．15 C．20 D．25 【变式5-2】某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元平均每天可多售出20箱，若要使每天销售饮料获利1440元，则每箱应降价__________元． 【变式5-3】甲商品的售价为每件40元． (1)若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件元．若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率； (2)经调查，该商品每降价元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件，若该商场希望该商品每月销售额为26250元，且尽可能扩大销售量，则该商品在原售价的基础上应如何调整？ 【变式5-4】为弘扬崇明土布传统文化，展现匠人技艺魅力，瀛洲土布馆推出崇明土布刺绣“小马”挂件．该挂件每件成本25元，当售价定为35元时，每日可售出48件．市场调研显示，售价每降低1元，每日销量就会增加6件． (1)当该挂件降价元，每日售出的数量是_____件(用的代数式表示)； (2)当该挂件降价多少元时，土布馆每日销售这款挂件的利润恰好为432元． 题型6 动态几何问题（一元二次方程的应用） 【例11】如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以每秒1个单位长度的速度移动，点Q从点C出发向终点A以每秒2个单位长度的速度移动，P，Q两点同时出发，其中一点先到达终点时P，Q两点同时停止移动．则当的面积等于8时，经过了（    ） A．1秒 B．6秒 C．8秒 D．1秒或8秒 【例12】如图所示，中，，厘米，厘米，占从点开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，经过__________秒钟的面积等于5平方厘米． 【技巧归纳】 设运动时间为t，用含t的代数式表示直角边长度，结合面积公式列一元二次方程求解. 易错点:需关注动点运动范围与时间取值上限，解后验证结果，舍去超出线段长度的不合理解. 注意速度对应线段的增减方向，避免边长表达式列错. 【变式6-1】如图，在中，，，，点沿边从点出发向终点以的速度移动；同时点沿边从点出发向终点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当的面积为时，点运动的时间是（　　） A． B．或 C． D．或 【变式6-2】根据物理学规律，如果把一物体从地面以的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：）约为．根据上述规律，则物体经过______秒落回地面． 【变式6-3】如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，Q从点B开始沿边向C点以的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，几秒钟后，的面积等于？ 题型7 行程问题（一元二次方程的应用） 【例13】汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为（   ） A． B． C． D． 【例14】汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为______． 【技巧归纳】 将已知路程代入 关系式，转化为一元二次方程求解时间。 易错点：时间取值必为非负数，解出后舍去负根；注意题目中路程与时间的单位是否统一，避免单位不匹配造成计算失误。 【变式7-1】飞机起飞前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行时是匀加速运动，其公式为，如 果飞机起飞前滑行距离，其中，则飞机起飞的时间 ________． 【变式7-2】在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了________秒． 【变式7-3】新疆阿勒泰有“中国雪都”之称，很多滑雪爱好者都到将军山滑雪场滑雪．已知滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）之间的关系是．若某滑雪者在山坡上的出发点和终点的距离是176m，他需要______s能到达终点． 题型8 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【例15】某省举办的城市业余足球联赛采用主客场双循环赛制，每支球队与其他球队需进行两场比赛（主场和客场各一次）．本赛季该联赛共完成比赛156场．设参加联赛的球队有x支，根据题意，为求解x，以下列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【例16】某班班主任为在开学季让学生带着新的梦想、新的希望开启新的学期，组织学生互送贺卡一张互相鼓励，若全班共送出贺卡1722张，设该班有x人，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 【技巧归纳】 核心公式：单循环（握手、单场赛）总次数为 ；双循环（互送贺卡、主客场）总次数为 。 审题关键：区分单向与双向交互，判断是否需除以 2 。 易错点：易混淆单双循环模型，错乘或漏乘系数 ，解后需验证结果为正整数。 【变式8-1】春节前夕一群学生举行一次聚会，聚会时每两个人之间都互赠一张贺卡，这样共送出了张贺卡．设这群学生共有人，根据题意可列一元二次方程是______． 【变式8-2】某校八年级举行篮球比赛，每个班级都要和其他班级比赛一次，且两个班级之间只比赛一次，结果一共进行了21场比赛，设八年级共有x个班级，那么列出方程是________． 【变式8-3】会议上每两个参加会议的人都互握一次手，一共握手66次，设有人参加会议，则可列方程______． 【变式8-4】如图是今年某月的日历表，小欧用一个平行四边形，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是264，求小欧框出的最小数． 【变式8-5】作为国内围棋顶级职业联赛，2025“三国赤壁古战场杯”中国围棋甲级联赛吸引了众多爱好者关注．联赛采用循环赛制．每支队伍需与其余所有队伍各赛一场，充分展现各队实力．已知本次联赛共进行了120场激烈对决，求有多少支参赛队伍？ 题型9 其他问题（一元二次方程的应用） 【例17】假设每一个参加宴会的人跟其他参会的人都握一次手，在宴会结束时，所有的参会者总共握手28次，那么参会人士共有多少人？设参会人士共有x人，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 【例18】我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽，”其大意如下：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则可列方程为________． 【技巧归纳】 握手问题属单循环模型，总次数为 ，两两交互仅计一次，切勿漏除以 2 。 古算类应用题需先读懂题意，理清数量、单价与总费用的等量关系，用含 的代数式表示对应量后列方程。易错点：易混淆单双循环模型，古算题易因题意理解偏差列错等式。 【变式9-1】参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛场，设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】联欢会上，每位同学向其他同学赠送1件礼物，结果共有互赠礼物870件，求参加联欢会的同学人数，设参加联欢会的同学有x人，那么可列出方程______． 【变式9-3】某小组每人给其他人送一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共有________人． 【变式9-4】某果农计划在一片向阳的坡地上种植50棵桃树，果农想通过增加种植桃树的数量来增加产量．经过咨询专业技术人员，发现按原计划种树，每棵桃树在生产周期内的平均产量是120个桃子，若每多种1棵桃树，则每棵桃树在生产周期内的平均产量就会减少2个桃子．如果要使桃子产量增加到6050个，那么应多种多少棵桃树？ 1．在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡张，设参加活动的同学有人，根据题意，可列方程（  ） A． B． C． D． 2．某工厂七月份的产值是100万元，计划第三季度共创产值484万元．若每个月产值的增长率相同，并设这个增长率为x，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．有一人患了流感，经过两轮传染后，共有81人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x个人，下列结论：①1轮后有个人患了流感；②第2轮又增加个人患流感；③依题意可得方程；④不考虑其他因素经过三轮一共会有648人感染．所以正确的结论为（    ） A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 4．随着互联网购物急速增加，快递业逐渐成为我国发展最快的行业之一，某快递店十月份揽件5000件、十月、十一月、十二月合计揽件20000件，如果该快递店十一月、十二月月揽件量的增长率都是，那么由题意可得方程（   ） A． B． C． D． 5．如图，公园里有一段长20米的墙，工人师傅计划利用墙和40米的栅栏围成一个面积为198平方米的封闭矩形绿化区域，设矩形中垂直于墙的一边的栅栏长为x米，下列说法正确的是（    ） A．由题意得 B．x的取值范围是 C．只有一种围法 D．只有两种围法 6．某商场购进一款年货大礼包，经调研发现，当该款大礼包每盒的售价为元时，每天可售出盒，每盒的售价每降低元，每天的销量增加盒，要使该款大礼包每天的销售额达到元，每盒的售价应降低多少元？若设该款大礼包每盒降价元，则可列方程为(   ) A． B． C． D． 7．容器内盛满60升纯酒精，倒出一部分后用水加满，第二次倒出比第一次多14升的溶液，再用水加满．这时容器内纯酒精和水正好各占一半，则第一次倒出了多少升酒精（　　） A．10或96 B．10 C．96 D．26 8．我国西部某地决定加快植树造林的速度，如果计划用两年的时间将防风林的面积从现在的2万亩扩大到万亩，则这两年平均每年的增长率为________． 9．现有一张矩形纸片，其周长为厘米，将纸片的四个角各剪下一个边长为厘米的正方形，然后沿虚线（如图所示）将纸片折成一个无盖的长方体．如果所得的长方体的体积是立方厘米，设原矩形纸片的长是厘米，那么可列出方程为________． 10．有一个两位数，如果个位上的数比十位上的数大1，并其十位上的数的平方比个位上的数也大1，那么这个两位数是__________． 11．若把一个正方形的一边增加，另一边增加，所得的长方形比原正方形面积多，设原正方形的边长为x，则可列方程为____________． 12．小杰将元压岁钱按一年定期存入银行，到期后取出元用来购买学习用品，剩下的元和应得的利息又全部按一年定期存入银行．若存款的年利率为，这样到期后账户里有元，由题意可列方程：________． 13．“一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展．某品牌头盔的进价为元/个，经测算当售价为元/个时，月销售量为个；售价每上涨元，则月销售量减少个，为使月销售利润达到元，并尽可能让顾客得到实惠，求该品牌头盔的售价应定为每个多少元． 14．安阳市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 2/14 学科网（北京）股份有限公司 $