第25章 25.2 降次——解一元二次方程-25.2.3 因式分解法-【初中必刷题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦第二十五章“一元二次方程”中“因式分解法”，通过具体例题（如x²=3x漏解问题）导入，衔接降次思想，搭建从一元二次方程转化为一元一次方程的学习支架，帮助学生理解解法原理。 其亮点是结合多地期中质检真题，通过分类讨论（如含绝对值方程）和开放性试题（构造方程）培养数学思维中的推理意识与创新意识，例题解析注重易错警示（如约去含未知数代数式漏解），助力学生形成严谨思维，为教师提供丰富素材，提升教学效率。

数 学 九年级上册 RJ 1 2 3 第二十五章 一元二次方程 4 25.2 降次——解一元二次方程 25.2.3 因式分解法 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 1.【2025山西吕梁期中】我们解一元二次方程 时，可以运用因式分解法， 将此方程化为，得到两个一元一次方程：， ， 从而得到原方程的解为， .这种解法体现的数学思想是( ) D A.整体思想 B.模型思想 C.函数思想 D.转化思想 【解析】把一元二次方程化为两个一元一次方程的解法体现的数学思想是转化思 想.故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 7 2.【2026贵州遵义期中】小聪在解方程时，只得到一个根 ，则被漏 掉的一个根是( ) B A. B. C. D. 【解析】，，，或 ，即 或.小聪只得到，故被漏掉的根是 .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 3.【2026山西太原质检】已知 ，则 的值为( ) D A.或2 B. 或8 C.2 D.8 【解析】令，则原方程变为.提取公因式 ， 得,解得或.由题意可知， 舍去 ，.因此 的值为8.故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 9 4. 开放性试题 【2026江苏无锡校级期中】请构造一个一元二次方程，使它 的一个根为2，另一个根比小，比 大，则构造的一元二次方程是 _____________________________. （答案不唯一） 【解析】 一元二次方程的一个根为2，另一个根比小，比 大，则可以设另 一个根为，，．故答案为 （答案不唯一）． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 10 5.【2025陕西西安质检】用因式分解法解方程： （1） ； 【解】因式分解，得 ， 或，， . （2） . 【解】整理得，因式分解，得，. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 11 知识点2 用合适的方法解一元二次方程 6.【2026河南南阳质检】下列方程中，最适合用因式分解法解方程的是( ) C A. B. C. D. 【解析】A选项，整理得 ，左边不可以分解因式，故不符合题意； B选项， ，左边不能分解因式，故不符合题意；C选项， ,, ，适合用因 式分解法求解，故符合题意；D选项， ，左边不能分解因式，故不 符合题意．故选C． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 12 7.【2025浙江杭州期中】 （1）关于的方程 ，下列解法完全正确的是 _______________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ ___________________________________________________.（填“甲”“乙”“丙” 或“丁”） 【解】方程两 边不能同时除以，这样会漏解,故甲错误；移项时 没有变号，故乙 错误；没有将原方程整理成一元二次方程的一般形式，所以 的值错误，故丙错误； 利用配方法解方程，计算正确,故丁正确.故答案为丁. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 13 甲 乙 两边同时除以 ， 得 移项得 ， ， 或 ， ， 丙 丁 整理得 ， ，， ， ， ， ， 整理得 ， 配方得 ， ， ， ， 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 14 （2）选择合适的方法解方程： ① . 【解】整理得，开方得 ， ， . ② . 【解】，移项，得 ， ， ，或 ， , ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 15 ③ . 【解】，，则 ， ， ． ④ . 【解】因式分解得， 或 ，， ． 易错警示 解一元二次方程时不能随便在方程两边约去含有未知数的代数式，约去的前提是 该代数式不为0，否则会出现漏解现象. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 16 提升 1.【2026河北沧州期中，中】关于的方程的两个根， 满 足，且，则 的值为( ) C A. B.1 C.3 D.9 【解析】，， 或 ，，.由 得 ， .故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 17 2.【2026浙江杭州期中，中】已知关于的方程有 个解，关于 的方程有个解，其中，则与 的关系为( ) C A.或 B.或 C.或 D.或 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 18 【解析】，或，即 或 ，.当，时，方程 变为 ,解得，此时;当, 时，方程 变为，解得，此时;当且 时，方程,或,解得 或 ，此时.综上,当或时，，，则 ；当 且时，，，则,或 ．故选C． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 19 关键点拨 解题的关键在于对方程中和 的取值进行分类讨论． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 20 微专题2 “十字相乘法”解一元二次方程 3.【2025吉林白城质检，中】【阅读与理解】将多项式 分解因式，我 们可以按下面的方法分解： ①拆分二次项与常数项：， . ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次 项） . ③横向写出两因式： . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 21 我们把这种分解因式的方法称为十字相乘法. 根据乘法原理：若，则或，方程 可以这样求解： 方程左边因式分解得，所以原方程的解为， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 22 【解决问题】 （1）二次项系数为1 试用上述方法和原理解下列方程： ① ； 【解】方程左边因式分解，得，或 ， ， . ② ； 【解】方程左边因式分解，得，或 ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 23 ③ 【解】方程左边因式分解，得，或 ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 24 （2）二次项系数不为1 解方程: . 【解】方程左边因式分解，得， 或 ，， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 25 4.【2026广东汕头质检，中】已知关于的一元二次方程 .若 平行四边形的两边, 的长是已知方程的两个实数根. （1）若平行四边形是矩形，且 ,求矩形的面积. 【解】当时，，解得，，即, 的长分别为 1,4或4,1， 矩形的面积为 . （2）当取何值时,平行四边形 是菱形?求此菱形的边长. 【解】 平行四边形是菱形，，， , 即，解得.当时,方程为 ，解得 ， 此菱形的边长为1. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 26 刷素养 走向重高 5.思想方法 分类讨论 ［中］阅读材料，解答问题： 解方程： . 解:①当，即时,， , 解得（不合题意，舍去）， . ②当，即时,， , 解得（不合题意，舍去）, . 综上所述，原方程的解是或 . 依照上述解法，解方程: . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 27 【解】①当，即时，， ，解得 ，；②当，即时， ， ，解得（不合题意，舍去）， （不合题意，舍去）. 综上所述，原方程的解是或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 28 $