25.2.3 因式分解法暑假自学练2026-2027学年数学人教版九年级上学期

**基本信息** 聚焦因式分解法系统性训练，整合十字相乘、换元等方法，构建“原理-技巧-应用”逻辑链，培养运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|单选1-5、填空8-9、解答14（约10题）|因式分解基本步骤（移项→分解→转化）|从“ab=0”原理到直接应用，强化方程求解规范性| |方法拓展|单选6-7、填空10-13、解答16-17（约10题）|十字相乘法、换元法、错误辨析（如忽略x=0）|技巧迁移至新定义运算、根的关系，深化推理能力| |综合创新|解答15、18（2题）|“同伴方程”定义应用、高次方程降次|结合实际情境（三角形周长）与跨知识整合，发展应用意识|

25.2.3 因式分解法 暑假自学练 2026-2027学年 初中数学人教版（2024）九年级上学期 一、单选题 1．一元二次方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 2．三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（    ） A．15 B．13 C．11或8 D．11和13 3．定义一种新运算，规定：，如：，则方程的解为（     ） A． B．， C．， D．， 4．关于的方程的根是（均为常数，），则关于的方程的根是（） A． B． C． D． 5．用因式分解法解一元二次方程，将它转化为两个一元一次方程是 （ ） A．， B．， C．， D．， 6．下列说法：①不能用因式分解法求解；②使用因式分解法求解较简单；③方程的解是；④方程的解是．其中，不正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如果两个代数式a，b满足，且c是有理数，那么我们称a与b是关于c的“友好代数式”．若与是关于16的“友好代数式”（m，n是有理数），则的值为（    ） A．或4 B．或4 C． D．或 二、填空题 8．如果一元二次方程的两个根恰好是一个等腰三角形的两条边长，那么这个等腰三角形的周长为_________． 9．已知关于x的一元二次方程有一根为0，则它的另一个根是_____． 10．若关于x的一元二次方程的根为，，则一元二次方程的根为______． 11．对于实数a，b定义运算“”如下：，若，则_____． 12．已知实数满足，则的值为___________． 13．对于实数a、b，定义新运算“※”，a※，若是一元二次方程的两个根，则___________． 三、解答题 14．用因式分解法解方程：． 15．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如：和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． (1)根据定义，判断一元二次方程与是否属于“同伴方程”； (2)关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值． 16．阅读与理解： （1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答 解：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）； ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字相乘法． （2）例：解方程． 解：， 或， ，； 请用上述方法解答下列问题． （3）①因式分解：______； ②解方程：； ③已知，求的值． 17．按要求解答下列问题： 小华与小芳两位同学解方程的过程如下框： 小华： 解：两边同时除以，得，∴． 小芳： 解：，， 或， 解得：，． 任务： (1)小华的解法是错误的，原因是 ． (2)小芳的解法是 （填“正确”或“错误”）．如果小芳的解法正确，请写出用配方法或公式法求解原方程的过程；如果小芳的解法错误，请直接写出原方程正确的解． 18．【阅读材料】 解方程：，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，则，于是原方程可转化为，解得．当时，，所以；当时，，所以． 所以原方程有四个根：． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． 【问题】 (1)在解方程时，若设，则原方程可转化为___________ (2)若，则___________ (3)参照上面解题的思想方法解方程：． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C B B B C D D 1．C 解：， 则或， 解得：，． 2．B 先解一元二次方程得到第三边的可能值，再根据三角形三边关系判断符合条件的第三边，最后计算周长即可得到答案. 解：∵ ， ∴ 因式分解得 ， 解得 ， ∵ 三角形两边长分别为3和6， ∴ 当第三边长为时，，不满足三角形三边关系，此种情况舍去， 当第三边长为时，满足三角形三边关系，此时三角形周长为 . 3．B 按照新运算规则将方程转化为常规一元二次方程，再用因式分解法求解即可． 根据题意得，， 原方程可化为， ， 或， 解得，． 4．B 将方程变形为，对照已知方程及其根得出或，求解即可． 解：∵关于的方程的根是， ∴关于的方程，即满足或， 解得：． 5．C 题目主要考查因式分解法解一元二次方程，理解因式分解方法是解题关键 根据因式分解法的原理，若两数相乘为零，则至少有一个因数为零，将原方程的每个因式分别等于零，即可转化为两个一元一次方程，即可求解 解：原方程为 ， 根据因式分解法，若两数乘积为0，则至少有一个数为0， ∴， 故选：C 6．D 本题主要考查了关于一元二次方程的解法及相关概念，熟练掌握因式分解法是解题的关键，逐一分析四个说法的正确性即可． 解：①中：方程移项为，可因式分解为，解为，因此能用因式分解法，①错误； ②中：方程，不能直接因式分解求解，需要展开为，再进行计算，所以因式分解法不简单，②错误； ③中：方程，当或时，等式左边，，可得或不是方程的解，③错误； ④中：方程移项变形为，解为或，④错误． 综上，四个说法均不正确，不正确的个数为4， 故选：D． 7．D 根据定义求解即可． 解：根据定义，得， ， ， ， ， 故， ， 解得或， 当时，，此时； 当时，，此时． 8．20 先解一元二次方程，根据根的情况可知有两种方式，用三角形三边关系排除一组后即可得出三角形周长．本题考查等腰三角形的定义，解一元二次方程，三角形三边关系．不要忽略了用三角形三边关系判断能否构成三角形． 解：∵， ∴ 则， 即， ∵4，4，8不能构成三角形， ∴这个等腰三角形的三边成为8，8，4， ∴ ∴周长为20． 故答案为：20． 9．2 将代入，结合一元二次方程的定义求出m的值，进而得到原方程，求解即可． 解：∵关于x的一元二次方程有一根为0， ∴将代入得， 解得：， ∵一元二次方程 ∴，即， ∴， ∴原方程为， 解得：， 即它的另一个根是2． 10．， 先整理所求一元二次方程，通过换元法将其转化为与已知方程形式一致的方程，利用已知方程的根得到换元后未知数的值，进而求出所求方程的根． 解：整理方程，移项得： 设，则上述方程可化为， 根据题意可知：一元二次方程的根为，， 因此可得：或， 解得，． 11．或/4或 利用新定义得到，整理得到，然后利用因式分解法解方程． 解：根据题意得：， ， ， 或， 所以． 故答案为：或． 本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 12．2 本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程的解法是解题关键．设，则，利用因式分解法解方程可得的值，再根据即可得． 解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴， 即， 故答案为：2． 13．3或4 本题考查了解一元二次方程，解此题的关键是能得出符合条件的所有情况，难度适中．先求出方程的解，根据题意的两种情况，根据新定义得出即可． 解：解方程得，或，， 当，时，， 当，时，， 故答案为：3或4． 14．， 本题考查了解一元二次方程．先移项，再利用因式分解法解方程即可． 解：， ∴， ∴， 所以或， 解得，． 15．(1)属于 (2)或． 本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法，从而完成求解． （1）结合题意，通过求解一元二次方程，即可得到答案； （2）首先求解，得，；结合题意，将，分别代入，从而计算得m的值；再经检验符合m的值是否符合题意，从而完成求解． （1）解：解方程，得，， 解方程，得，， ∴一元二次方程与有且只有一个相同的实数根， ∴一元二次方程与属于“同伴方程”； （2）解：解，得，， 当相同的实数根是时，则， 解得， 把代入，得， 解得，， ∴两个方程有且仅有一个相同的实数根，符合题意； 当相同的实数根是时，则， 解得， 把代入，得， 解得，， ∴两个方程有且仅有一个相同的实数根，符合题意； ∴m的值为或． 16．（3）①；②；③或 本题考查了十字相乘法因式分解，利用十字相乘法因式分解解一元二次方程，掌握十字相乘法分解因式是解答本题的关键． （3）①利用十字相乘法分解即可； ②利用十字相乘法因式分解因式求解即可； ③利用十字相乘法因式分解因式得，进而可求出的值． （3）解：①． 故答案为：； ②∵， ∴， ∴或， ∴； ③∵， ∴， ∴或， ∴或． 17．(1)见解析； (2)小芳的解法错误，，． （）根据根据题意得小华忽略的情况是没有考虑； （）根据一元二次方程的解法即可求解； 本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握解法是解题的关键． （1）根据题意得：小华忽略的情况是没有考虑， 故答案为：没有考虑； （2）小芳的解法错误， 由 或， 解得：，． 18．(1) (2) (3)， （1）直接代入得关于y的方程，即可得到结果； （2）设，则原方程可转化为，x的方程得出，即可求解； （3）设，则原方程可转化为，求出，即可得出关于x的方程，然后解关于x的分式方程，即可求解． （1）解：， 设，则原方程可转化为； （2）解：， 设，则原方程可转化为， 即， ∵， ∴， 即； （3）解：， 设，则原方程可转化为， 解得：， 当时，， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的解； 当时，， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的解； 综上所述，原方程的解是，． 学科网（北京）股份有限公司 $