25.2.2 公式法课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的公式法，通过复习配方法步骤衔接直接开平方法，搭建从具体解法到一般公式推导的学习支架，帮助学生梳理知识脉络。 其亮点在于以合作探究推导求根公式，培养数学思维中的推理能力，结合人体雕像比例等典例发展数学眼光中的抽象能力与应用意识。分层练习与当堂检测巩固知识，学生能提升解决问题能力，教师可高效开展教学。

人教版数学九年级上册 第二十五章 一元二次方程 25.2降次——解一元二次方程 25.2.2 公式法 学习目标 1 2 会用公式法解一元二次方程，会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等. 经历探究一元二次方程求根公式的过程，初步了解从具体到抽象、从特殊到一般的认识规律． 目录 1 4 2 3 巩固练习 典例分析 复习引入 合作探究 5 6 当堂检测 课堂小结 7 布置作业 1 复习引入 一元二次方程 概念 相关概念 解法 应用 只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2的方程. 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根. 直接开平方法 ... 降次 配方法 转化 配方法的基本步骤有哪些？ 将方程二次项系数化成 1 移项 配方 用直接开平方法求得方程的解 1 复习引入 化为(x+n)2=p (n, p 是常数, p≥0) 的形式 将方程二次项系数化成 1 移项 配方 化为(x+n)2=p (n, p 是常数, p≥0) 的形式 用直接开平方法求得方程的解 2 合作探究 ax2+bx+c=0 (a≠0) x2+ x+ =0 x2+ x= x2+ x+( )2= +( )2 (x+ )2= ① ？ 2 合作探究 (x+ )2= ① 因为a≠0，所以4a2>0.式子b24ac的值有以下三种情况： (1)当b24ac>0时，>0，由①得 x+ =±. 方程有两个不相等的实数根 x1=，x2=. 2 合作探究 (x+ )2= ① 因为a≠0，所以4a2>0.式子b24ac的值有以下三种情况： (2)当b24ac=0时，=0，由①可知， 方程有两个相等的实数根 x1=x2=. 2 合作探究 (x+ )2= ① 因为a≠0，所以4a2>0.式子b24ac的值有以下三种情况： (3)当b24ac<0时，<0，由①可知(x+ )2<0， 而x取任何实数都不能使(x+ )2<0成立，因此方程无实数根. 2 合作探究 (x+ )2= ① 式子b24ac可以判别一元二次方程的根的情况，因此把它叫作一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ=b24ac. 归纳总结 由上可知，对于方程ax2+bx+c=0 (a≠0)， 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根； 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； 当Δ<0时，方程无实数根. 2 合作探究 求根公式表达了用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0的结果.解一个具体的一元二次方程时，把各系数代入求根公式，可以直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法. 当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的实数根可写为 x= 的形式，这个式子叫作一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式. 3 典例分析 例3 用公式法解下列方程： (1) x2−4x−7=0； (2) 2x2−2x+1=0； 解：(1)因为a=1，b=−4，c=−7，所以 Δ=b2−4ac=(−4)2−4×1×(−7)=44>0. 方程有两个不相等的实数根 x= = =2±， 即 x1=2+，x2=2−. 确定a，b，c的值时，要注意它们的符号. 3 典例分析 例3 用公式法解下列方程： (1) x2−4x−7=0； (2) 2x2−2x+1=0； 解：(2)因为a=2，b=−2，c=1，所以 Δ=b2−4ac=(−2)2−4×2×1=0. 方程有两个相等的实数根 x1=x2==−=. 3 典例分析 例3 用公式法解下列方程： (3) 5x2−3x=x+1； (4) x2+17=8x. 解：(3)方程化为5x2−4x−1=0，此时a=5，b=−4，c=−1，所以 Δ=b2−4ac=(−4)2−4×5×(−1)=36>0. 方程有两个不相等的实数根 即 x= = = ， x1=1，x2=− . 3 典例分析 例3 用公式法解下列方程： (3) 5x2−3x=x+1； (4) x2+17=8x. 解：(4)方程化为x2−8x+17=0，此时a=1，b=−8，c=17，所以 Δ=b2−4ac=(−8)2−4×1×17=−4<0. 方程无实数根. 3 典例分析 引言问题 在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感. 如果某人体雕像全身长为5 m，按照上述比例，雕 像腰部以下为多长？ 5-x x 分析：设雕像腰部以下的身长BC为x m，根据题意，列方程得： x2+5x−25=0. 请你选择合适的方法解这个方程. 3 典例分析 x2+5x−25=0. 用公式法解这个方程，得 x= =. 即 x1=，x2=. 如果结果保留小数点后两位，那么x1≈3.09，x2≈-8.09. 关于这两个根，只有x1≈3.09符合问题的实际意义，因此雕像腰部以下身长约为3.09 m. 3 典例分析 中考演练（2026江苏扬州）关于x的一元二次方程x2+kx−1=0根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 A 4 巩固练习 1. 下列方程中，没有实数根的是（     ） A．x2−2x=0 B．x2−2=0 C．x2+2x=0 D．x2+2=0 D 4 巩固练习 2. 已知关于x的一元二次方程x2−(2k−1)x+k2−k=0，求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根． 证明：∵Δ=[−(2k−1)]2−4(k2−k) =4k2−4k+1−4k2+4k =1>0， ∴无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根． 4 巩固练习 3. 用公式法解下列方程： （1）x2+x−6=0； （2）x2−x−=0； （3）3x2−6x+4=0； （4）2x2−3x=0； （5）x2+4x+8=4x+11； （6）x(2x−4)=5−8x. 快速核对答案 4 巩固练习 5 当堂检测 1. 判断下列一元二次方程中根的情况： ① x2+2x−4=0 ________________________     ② x2−4x+4=0 ________________________ ③ x2−2x−5=0 ________________________     ④ x2+3x+4=0 ________________________ 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 有两个不相等的实数根 没有实数根 2. 若关于x的一元二次方程3x2−k=0没有实数根，则k的取值范围是（     ） A．k>0 B．k<0 C．k≥0 D．k≤0 B 5 当堂检测 5 当堂检测 3. 用合适的方法解方程： (1) x2+4x=5； (2) x2+x=1； 解： x2+4x=5， x2+4x+4=5+4， (x+2)2=9， x+2=±3， x1=1，x2=−5； 解：化为一般形式得x2+x−1=0， 其中a=1，b=1，c=−1. ∵Δ=b2−4ac=12−4×1×(−1)=5>0， ∴x=， ∴x1=，x2=． 6 课堂小结 一元二次方程 概念 相关概念 解法 应用 只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2的方程. 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根. 直接开平方法 ... 降次 配方法 转化 公式法 应用 7 布置作业 A B 习题25.2：第4，5题. 习题25.2：第9，10题. $