第25章 25.1 一元二次方程的概念-【初中必刷题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦九年级上册“一元二次方程”，涵盖定义、一般形式、根及模型建立等核心知识点，通过“刷基础-刷提升-刷易错”递进设计，搭建从概念辨析到实际应用的学习支架，帮助学生衔接知识脉络。 其亮点在于结合全运会篮球比赛、正方形纸板做盒子等现实情境，运用模型意识构建方程，通过《周髀算经》几何法等传统文化题培养抽象能力与推理意识。分层练习与易错警示助力学生巩固，教师可高效开展针对性教学，提升学生数学思维与应用能力。

数 学 九年级上册 RJ 1 2 3 第二十五章 一元二次方程 4 25.1 一元二次方程的概念 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 一元二次方程的定义 1.【2025山东日照质检】下列方程中：; ; ;; ，是一元二次方程的有 ( ) A A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 【解析】一元二次方程需要满足的三个条件：（1）是整式方程；（2）化简后只 含有一个未知数；（3）化简后未知数的最高次数是2. ① 分母中有未知数，不是整式方程 × ② 含有两个未知数 × ③ 满足一元二次方程的三个条件 √ ④ 当 时，不含有二次项 × ⑤ 化简得 ,不含有二次项 × 故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 2.关于的方程 ，有以下说法，其中正确的是( ) D A.当时， 是一元二次方程 B.当时， 是一元二次方程 C.当时， 是一元一次方程 D.以上说法都不对 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 【解析】 故A、B、C选项中的说法都不正确,故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 知识点2 一元二次方程的一般形式 3.【2025湖北孝感质检】一元二次方程 化成一般形式是________ ________ （二次项系数大于0），其中一次项系数是_____. 【解析】一元二次方程化成一般形式是 ，其 中一次项系数是.故答案为， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4.【2026河南洛阳期中】若关于的一元二次方程 化成一 般形式后，其二次项系数为1，常数项为 ，则该方程中的一次项系数为___. 5 【解析】， ，由题意 得，解得， 该方程中的一次项系数为 ，故 答案为5． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 知识点3 一元二次方程的根（解） 5.已知是关于的一元二次方程的一个根，则 的值是 ( ) C A. B.0 C.1 D.0或1 【解析】由题意可得是方程的一个根，将 代入方程 中，可得，解得 ，故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 6.下表是代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程 的根是( ) … 0 1 2 3 4 … … 12 6 2 0 0 2 6 12 … C A.， B.， C.， D.， 【解析】由题意得当时，，当时，， 方 程的根是， ，故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 7.【2026广东惠州期中】若是方程的一个根，则 的值为_______. 2 019 【解析】是方程的一个根，，, 原式 ．故答案为2 019． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 知识点4 建立一元二次方程模型 8. 2025年是“全运年”，第十五届全运会于2025年11月9日 日在 粤港澳大湾区举行.为了激励学生运动，各学校也开展篮球比赛，每两支队都要进 行两场比赛，共要比赛56场，若有 支队参赛，则可得方程为_______________ （化成一般形式）. 【解析】依题意得共要比赛场，所以 ，整理得 .故答案为 . 刷有所得 本题是双循环赛制,支球队，比赛场数为 场.双循环赛制的轮次、场次 以及比赛时间均是单循环赛制的两倍. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 9.【2026广东深圳质检】一块正方形纸板，在四个角上分别截去一个边长为 的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的长方体盒子，使它的容积为 ，则所用的正方形纸板的边长应是多少厘米？如果设正方形纸板的边长是 ，请列出方程，并把它化成一般形式（不用解方程）. 【解】正方形纸板的边长是 ，则没有盖的长方体盒子的长、宽均为 ，高为.根据题意列方程为 ，化 为一般形式为 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 刷易错 易错点 忽略一元二次方程中二次项系数不为0而出错 10.【2025河南新乡期末】如果关于 的一元二次方程 有一个解是，那么 的值是( ) B A.3 B. C. D.0或 【解析】把代入方程中，得 ，解得 或3.当时，原方程二次项系数 ，不符合题意，故舍去， .故选B. 易错警示 注意一元二次方程中二次项系数不为0. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 提升 1.【2026安徽淮南期中，中】若是关于的方程 的一个 根，设，，则与 的大小关系为( ) A A. B. C. D.不确定 【解析】由条件可知 ，即 ，，， ．故选A． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 19 2.【2025山东威海期末，中】若，，满足则关于 的方程 的两个根的平方和是( ) C A.2 B.3 C.5 D.8 【解析】，，满足 关于 的方程 的两个根为,， 关于 的方程 的两个根的平方和为 .故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 20 3. 传统文化［较难］《周髀算经》中有一种几何方法可以用来 解形如 的方程的正数解，方法如下：如图，将四个长为 ，宽为 的长方形纸片（面积均为24）拼成一个大正方形，则大 A A. B. C. D. 【解析】，， 构造的图形中长方形的长为 ，宽为， 构造的图形中小正方形的边长为 ，大 正方形的边长为， ，故选A. 正方形的面积为，边长为11，故得 的正数解为 .小明按此方法解关于的方程 时，构造出同样的图 形.已知大正方形的面积为12，小正方形的面积为4，则方程的正数解为( ) 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 21 4.【2026甘肃临夏质检，中】若是关于的方程 的一个 根，则关于的方程 必有一个根为__________. 【解析】方程 变形为 是关于的方程 的一个 根，是关于的方程 的一个根， 此时，即关于的方程 必有一个根为 ．故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 5.［中］如图，点为数轴原点，点与点 表示的数分别为1和3，宸宸在数轴上 以为直角顶点作，，再以为圆心， 长为半径画圆，交数轴于 ,两点.莲莲说:“若,分别表示和，我发现 是一元二次方程 的一个根.”琮琮说:“ 一定不是此方程的根.” 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 （1）写出与 表示的数. 【解】在中，，， ， .， ， ，点表示的数为，即， 点表示的 数为，即 . （2）求出 的值. 【解】把代入方程得 ， 解得，即的值为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 （3）你认为琮琮说得对吗？为什么？ 【解】琮琮说得不对.理由如下：把 代入方程得 ， 一定是 此方程的根. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 刷素养 走向重高 6.思想方法 转化思想【2025江苏镇江期末，较难】 （1）观察下表中每个方程的解的特点： 方程 方程的解 方程 方程的解 ， ， ， ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26 方程 方程的解 方程 方程的解 ， ， … … … … 猜想：方程 的两个根与方程________ __________的两个根互为倒数； 【解】由表格可得方程 的两个根与方 程的两个根互为倒数，故答案为 . 续表 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 （2）请证明你的猜想.（提示:采用“换元法”） 【证明】由题易得,则两边同除以，得 .设 ，方程可变形为，设方程的解是 ， ，可得方程的解是，.把代入 ， 得；把代入，得，所以方程 的解是 ，，即方程 的两个根与 方程 的两个根互为倒数. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 28 $