精品解析：吉林省长春市南湖实验中学2022-2023学年七年级下学期第一次月考数学试卷

长春市南湖实验中学七年级下学期第一次月考数学试卷 一．选择题（每题3分，共24分） 1. 下列方程中，是一元一次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各数中，不是不等式2-3x＞5的解的是（ ） A. -2 B. -3 C. -1 D. -1.35 3. 已知关于x的方程的解是，则a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 用加减消元法解方程组 时，下列②-①结果正确的是（ ） A. 要消去x，可以将①×3-②×5. B. 要消去y，可以将①×5+②×2. C. 要消去x，可以将①×5-②×2. D. 要消去y，可以将①×3+②×2. 5. 若，则（　　） A. B. C. D. 6. 在满足不等式的x取值中，x可取的最大整数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 无法确定 7. 在《九章算术》中记载一道这样的题：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50，如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．甲、乙两人各需带多少钱？设甲需带钱，乙带钱，根据题意可列方程组为　　 A. B. C. D. 8. 如果关于的方程的解是非负数，那么与的关系是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每题3分，共18分） 9. 已知方程，改写成用含的式子表示的形式______． 10. 若2a与1-a互为相反数，则a等于______________． 11. 列不等式表示：“x的一半与2的差不大于”______． 12. 某公司销售一种进价为21元的电子产品，按标价的九折销售，仍可获利20%，则这种电子产品的标价为_________元. 13. 已知□x-2y=8中，x的系数已经模糊不清（用“□”表示），但已知是这个方程的一个解，则□表示的数为___ 14. 如图，长为4a的长方形，沿图中虚线裁剪成四个形状大小完全相同的小长方形，那么每个小长方形的周长为___________（用含a的代数式表示）． 三．解答题 15. 解下列方程： （1）4x﹣4＝6﹣x； （2）﹣＝1． 16. 解下列方程组： （1） （2） 17. 解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 18. 完成下面的证明：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，连接DE，DF，DE∥AB，∠BFD＝∠CED，连接BE交DF于点G，求证：∠EGF+∠AEG＝180°． 证明：∵DE∥AB（已知）， ∴∠A＝∠CED（　 　） 又∵∠BFD＝∠CED（已知）， ∴∠A＝∠BFD（　 　） ∴DF∥AE（　 　） ∴∠EGF+∠AEG＝180°（　 　） 19. 某班原分成两个小组进行课外体育活动，第一组28人，第二组20人，根据学校活动器材的数量，要将第一组的人数调整为第二组的一半，应从第一组调多少人到第二组去？ 20. 若二元一次方程组和有相同解，求的值． 21. 在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫做格点．（请利用网格作图，画出的线请用铅笔描粗描黑） （1）过点C画AB的垂线，并标出垂线所过格点E； （2）过点C画AB的平行线CF，并标出平行线所过格点F； （3）直线CE与直线CF的位置关系是　 　； （4）连接AC，BC，则三角形ABC的面积为　 　． 22. 学校为数学竞赛准备了若干钢笔和笔记本（每支钢笔的价格相同，每本笔记本的价格相同）作为竞赛的奖品．若购买2支钢笔和3本笔记本需62元，购买5支钢笔和1本笔记本需90元． （1）购买一支钢笔和一本笔记本各需多少钱？ （2）若学校准备购买钢笔和笔记本共80件奖品，并且购买的费用不超过1100元，则学校最多可以购买多少支钢笔？ 23. 如图，已知 中，，，，点D为 中点，点P的运动速度为． （1）如果点P在线段 上由点B向终点C运动，同时，点Q在线段上由点C向终点A运动，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等． ①经过2秒后， ， ； ②经过1秒后，与是否相等，请说明理由； （2）如果点P在线段 上由点B向终点C运动，同时，点Q在线段上由点C向终点A运动，若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，求当点Q的运动速度为多少时，能使且? （3）若点Q以（2）中的运动速度从点C出发，点P从点B同时出发，都沿 三边逆时针方向运动，则经过 秒后，点P与点Q第一次在 的 边上相遇．（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程） 24. 如图，已知A、B、C是数轴上的三点，点C表示的数是6，点B与点C之间的距离是4，点B与点A的距离是12，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发向左运动，动点Q以每秒2个单位长度的速度从点B出发向左运动，动点R以每秒个单位长度的速度从点A出发向右运动，当点P运动到点B时，P和Q的速度互换，设P、Q、R的运动时间为t秒． （1）数轴上点A表示的数为 ．点B表示的数为 ； （2）当点P运动到点B时，求t的值； （3）若图②，以为长，1个单位长度为宽，作长方形，求长方形的周长L（用含t的代数式表示）； （4）在（3）的条件下，当点R和点O至少有一个点落在长方形的边上时，直接写出t的取值范围 （在横线上直接写答案，不必写解答过程） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市南湖实验中学七年级下学期第一次月考数学试卷 一．选择题（每题3分，共24分） 1. 下列方程中，是一元一次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元一次方程的定义作答． 【详解】A、该方程中未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，故本选项不符合题意； B、该方程符合一元一次方程的定义，故本选项符合题意； C、该方程中含有2个未知数，不是一元一次方程，故本选项不符合题意； D、该方程是分式方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的定义，解题关键在于掌握只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1的整式，这样的方程叫一元一次方程． 2. 下列各数中，不是不等式2-3x＞5的解的是（ ） A. -2 B. -3 C. -1 D. -1.35 【答案】C 【解析】 【详解】解不等式2-3x＞5可得x＜-1，因此可知-1不是不等式2-3x＞5的解. 故选C. 3. 已知关于x的方程的解是，则a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵关于的方程的解是， ∴将代入方程得：， 解得. 4. 用加减消元法解方程组 时，下列②-①结果正确的是（ ） A. 要消去x，可以将①×3-②×5. B. 要消去y，可以将①×5+②×2. C. 要消去x，可以将①×5-②×2. D. 要消去y，可以将①×3+②×2. 【答案】C 【解析】 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可． 【详解】解：对于原方程组，若要消去x，则可以将①×5-②×2； 若要消去y，则可以将①×3+②×5； 故选：C． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 5. 若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，∴，故不正确，不符合题意； B．∵，∴，故不正确，不符合题意； C．∵，∴，故不正确，不符合题意； D．∵，∴，正确，符合题意； 故选D． 6. 在满足不等式的x取值中，x可取的最大整数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】去括号，移项，合并同类项，解不等式：，可得：＜，从而可得的最大整数解，从而可得答案． 【详解】解： ＜ 为整数， 可取的最大整数为 故选： 【点睛】本题考查的是一元一次不等式的整数解，掌握解一元一次不等式是解题的关键． 7. 在《九章算术》中记载一道这样的题：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50，如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．甲、乙两人各需带多少钱？设甲需带钱，乙带钱，根据题意可列方程组为　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50，如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．得到等量关系，列二元一次方程组即可 【详解】解：设甲需带钱，乙带钱， 根据题意，得：， 答案：D 【点睛】本题考查列二元一次方程组解决实际问题，找到等量关系是关键 8. 如果关于的方程的解是非负数，那么与的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解方程求出，根据方程的解是非负数得出，求出不等式的解集即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 关于的方程的解是非负数， ， 解得：，， 故选：． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，解一元一次不等式等知识点，能求出方程的解是解此题的关键． 二．填空题（每题3分，共18分） 9. 已知方程，改写成用含的式子表示的形式______． 【答案】 【解析】 【分析】将看做已知数求出即可． 【详解】解：， ， ； 故答案为：． 【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将看做已知数求出． 10. 若2a与1-a互为相反数，则a等于______________． 【答案】-1 【解析】 【详解】∵2a与1-a互为相反数， ∴ 解得 故答案是：-1． 11. 列不等式表示：“x的一半与2的差不大于”______． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意可得：x的一半为， x的一半与2的差为， 差不大于，因此列不等式得. 12. 某公司销售一种进价为21元的电子产品，按标价的九折销售，仍可获利20%，则这种电子产品的标价为_________元. 【答案】28 【解析】 【详解】设这种电子产品的标价为x元， 由题意得：0.9x−21=21×20%， 解得：x=28， 所以这种电子产品的标价为28元． 故答案为28. 13. 已知□x-2y=8中，x的系数已经模糊不清（用“□”表示），但已知是这个方程的一个解，则□表示的数为___ 【答案】5 【解析】 【分析】设a=□，即方程为ax-2y=8，把 代入方程，得到一个含有未知数的一元一次方程，从而可以求出a的值． 【详解】解：设a=□，即方程为ax-2y=8， 把方程的解 代入方程ax-2y=8， 得 2a-2=8， 解得a=5． 即□表示的数为5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查的是方程的解的含义，解题关键是把方程的解代入原方程，把关于x和y的方程转化为关于□的一元一次方程，求解即可． 14. 如图，长为4a的长方形，沿图中虚线裁剪成四个形状大小完全相同的小长方形，那么每个小长方形的周长为___________（用含a的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】根据图形可得小长方形的长是宽的2倍，则有小长方形的宽为a，长为2a，然后问题可求解． 【详解】解：由题意及图得：小长方形的长是宽的2倍， ∴小长方形的宽为， ∴小长方形的长为2a， ∴小长方形的周长为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查整式的加减，熟练掌握整式的加减是解题的关键． 三．解答题 15. 解下列方程： （1）4x﹣4＝6﹣x； （2）﹣＝1． 【答案】（1）x＝2；（2）x＝﹣1 【解析】 【分析】（1）移项、合并同类项、系数化为1，据此求解即可． （2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求解即可． 【详解】解：（1）4x﹣4＝6﹣x； 移项，得：4x+x＝6+4， 合并同类项，得：5x＝10， 系数化为1，得：x＝2． （2）﹣＝1 去分母，得：3（x﹣1）﹣2（4x﹣2）＝6， 去括号，得：3x﹣3﹣8x+4＝6， 移项，得：3x﹣8x＝6+3﹣4， 合并同类项，得：﹣5x＝5， 系数化为1，得：x＝﹣1． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行解题． 16. 解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可； （2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可． 【详解】（1）， 由②得：y=3x-7③， 把③代入①得：4x-3(3x-7)=6， 解得：x=3， 把x=3代入③得：y=9-7=2， 则方程组的解为； （2）方程组整理得：， ②-①得：3y=-3， 解得：y=-1， 把y=-1代入②得：x+1=6， 解得：x=5， 则方程组的解为． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 17. 解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元一次不等式的求解步骤求解即可． 【详解】解： 数轴表示如下图： 【点睛】此题考查了一元一次不等式的求解，解题的关键是掌握一元一次不等式的求解方法． 18. 完成下面的证明：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，连接DE，DF，DE∥AB，∠BFD＝∠CED，连接BE交DF于点G，求证：∠EGF+∠AEG＝180°． 证明：∵DE∥AB（已知）， ∴∠A＝∠CED（　 　） 又∵∠BFD＝∠CED（已知）， ∴∠A＝∠BFD（　 　） ∴DF∥AE（　 　） ∴∠EGF+∠AEG＝180°（　 　） 【答案】两直线平行，同位角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 【解析】 【分析】依据两直线平行, 同位角相等以及等量代换, 即可得到∠A=∠BFD, 再根据同位角相等, 两直线平行, 即可得出DF//AF, 进而得出∠EGF+∠AEG=180°. 【详解】证明：∵DE∥AB（已知）， ∴∠A=∠CED（两直线平行，同位角相等） 又∵∠BFD=∠CED（已知）， ∴∠A=∠BFD（等量代换） ∴DF∥AE（同位角相等，两直线平行） ∴∠EGF+∠AEG=180°（两直线平行，同旁内角互补） 故答案为两直线平行，同位角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质. 19. 某班原分成两个小组进行课外体育活动，第一组28人，第二组20人，根据学校活动器材的数量，要将第一组的人数调整为第二组的一半，应从第一组调多少人到第二组去？ 【答案】应从第一组调12人到第二组去 【解析】 【分析】设应从第一组调x人到第二组去，根据第一组28人，第二组20人打扫包干区，要使第一组人数是第二组人数的一半，从而可列方程求解． 【详解】解：设应从第一组调x人到第二组去，根据题意，得 解得： 经检验，符合题意 答：应从第一组调12人到第二组去， 【点睛】本题考查的是调配问题，关键知道调配后的数量关系从而可列方程求解． 20. 若二元一次方程组和有相同解，求的值． 【答案】 16 【解析】 【分析】方程组和方程有相同解，说明二元一次方程组的解满足，先利用加减消元法求出方程组的解，再代入求出的值，最后计算即可． 【详解】解： ， ，得，解得， 将代入①，得，解得， 所以原方程组的解为， 因为二元一次方程组和有相同解， 将代入，得， 解得， 代入得． 21. 在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫做格点．（请利用网格作图，画出的线请用铅笔描粗描黑） （1）过点C画AB的垂线，并标出垂线所过格点E； （2）过点C画AB的平行线CF，并标出平行线所过格点F； （3）直线CE与直线CF的位置关系是　 　； （4）连接AC，BC，则三角形ABC的面积为　 　． 【答案】（1）如图，直线CE即为所求；见解析；（2）如图，直线CF即为所求；见解析；（3）CE⊥CF（4）． 【解析】 【分析】（1）构造全等三角形解决问题即可； （2）构造平行四边形解决问题即可； （3）根据平行线的性质即可判断； （4）利用分割法计算三角形的面积即可； 【详解】解：（1）如图，直线CE即为所求； （2）如图，直线CF即为所求； （3）∵CF∥AB，CE⊥AB， ∴CE⊥CF； （4）S△ABC＝20﹣×3×4﹣×1×4﹣×1×5＝． 【点睛】本题考查作图—应用与设计、平行线的判定和性质、全等三角形和平行四边形的应用、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 22. 学校为数学竞赛准备了若干钢笔和笔记本（每支钢笔的价格相同，每本笔记本的价格相同）作为竞赛的奖品．若购买2支钢笔和3本笔记本需62元，购买5支钢笔和1本笔记本需90元． （1）购买一支钢笔和一本笔记本各需多少钱？ （2）若学校准备购买钢笔和笔记本共80件奖品，并且购买的费用不超过1100元，则学校最多可以购买多少支钢笔？ 【答案】（1）一支钢笔16元，一本笔记本10元．（2）学校最多可以购买50支钢笔． 【解析】 【分析】（1）根据相等关系“购买2支钢笔和3本笔记本共需62元，购买5支钢笔和1本笔记本共需90元”，列方程组求出未知数的值，即可得解； （2）设购买钢笔的数量为x，则笔记本的数量为80﹣x，根据总费用不超过1100元，列出不等式解答即可． 【详解】解：（1）设一支钢笔需x元，一本笔记本需y元，由题意得：， 解得：； 答：一支钢笔需16元，一本笔记本需10元； （2）设购买钢笔的数量为x，则笔记本的数量为80﹣x，由题意得：16x+10（80﹣x）≤1100，解得：x≤50． 答：工会最多可以购买50支钢笔． 23. 如图，已知 中，，，，点D为 中点，点P的运动速度为． （1）如果点P在线段 上由点B向终点C运动，同时，点Q在线段上由点C向终点A运动，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等． ①经过2秒后， ， ； ②经过1秒后，与是否相等，请说明理由； （2）如果点P在线段 上由点B向终点C运动，同时，点Q在线段上由点C向终点A运动，若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，求当点Q的运动速度为多少时，能使且? （3）若点Q以（2）中的运动速度从点C出发，点P从点B同时出发，都沿 三边逆时针方向运动，则经过 秒后，点P与点Q第一次在 的 边上相遇．（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程） 【答案】（1）①4，4； ②相等，理由如下： ∵点D为 中点，， ∴， ∵， ∴． （2） （3）24， 【解析】 【分析】（1）①利用路程速度时间，即可求解； ②由点D为 中点，可得，可求得，即可判断； （2）设运动时间为 ，由，可得，点Q的运动速度为，由，即可求解； （3）由题意得，点Q追上点P的时间为，则可得点P的运动路程为，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵点P的运动速度为，点Q的运动速度与点P的运动速度相等， ∴，． ②略 【小问2详解】 解：设运动时间为 ， ∵， ∴， 解得， 设点Q的运动速度为， ∵，由（1）可知，， ∴， 解得， ∴点Q的运动速度为． 【小问3详解】 解：设点Q追上点P的时间为 ， 由题意得，， 解得， ∴点Q追上点P的时间为， ∴点P的运动路程为， ∵， ， ∴经过24秒后，点P与点Q第一次在 的 边上相遇． 24. 如图，已知A、B、C是数轴上的三点，点C表示的数是6，点B与点C之间的距离是4，点B与点A的距离是12，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发向左运动，动点Q以每秒2个单位长度的速度从点B出发向左运动，动点R以每秒个单位长度的速度从点A出发向右运动，当点P运动到点B时，P和Q的速度互换，设P、Q、R的运动时间为t秒． （1）数轴上点A表示的数为 ．点B表示的数为 ； （2）当点P运动到点B时，求t的值； （3）若图②，以为长，1个单位长度为宽，作长方形，求长方形的周长L（用含t的代数式表示）； （4）在（3）的条件下，当点R和点O至少有一个点落在长方形的边上时，直接写出t的取值范围 （在横线上直接写答案，不必写解答过程） 【答案】（1），2 （2）4秒 （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）由点C表示的数是6，点B与点C之间的距离是4，点B与点A的距离是12，即可求解； （2）由题意得，，即可求解； （3）分点P在点B左侧运动时和点P运动到点B左侧时（分点P在点Q右侧和点P在点Q左侧）进行计算，即可求解； （4）由（3）可知，点P与点Q相遇时，，此时点P、点Q表示的数是，点R表示的数是，则当点R和点O至少有一个点落在长方形的边上时，，分点O在上和点R在上进行计算，即可求解． 【小问1详解】 解：∵点C表示的数是6，点B与点C之间的距离是4，点B与点A的距离是12， ∴点B表示的数是， ∵点B与点A的距离是12， ∴点A表示的数是． 【小问2详解】 解：由题意得，， ∴ ， ∴当点P运动到点B时， t的值为4秒． 【小问3详解】 解：当点P在点B左侧运动时，由（2）可知，， 由题意得，点P表示的数是，点Q表示的数是， ∴， ∴； 当点P运动到点B左侧，此时， 当点P在点Q右侧时， 则点P表示的数是， 由（2）可知，当点P运动4秒到点B，此时点Q运动到， ∴点Q表示的数是， ∴， 解得， ∴， ∴； 当点P在点Q左侧时，则， ∴， ∴， ∴； 当时， ∵点P表示的数是， 点Q表示的数是， ∴， ∴不能形成长方形； 综上所述，． 【小问4详解】 解：由（3）可知，点P与点Q相遇时，， 此时点P、点Q表示的数是，点R表示的数是， ∴当点R和点O至少有一个点落在长方形的边上时，， 当点O在上时， 当时，由（3）可知，点P表示的数是，点Q表示的数是， ∴， 解得， ∴； 当时，由（3）可知，点P表示的数是，点Q表示的数是，点P在点Q右侧， ∴， 解得， ∴； ∴当点O在上时，； 当点R在上时，点R表示的数为， 当时， 时，点P表示的数是，点Q表示的数是，点R表示的数是 ∴点R不可能在上； 当时，由（3）可知，点P表示的数是，点Q表示的数是，点P在点Q右侧， ∴， 解得， ∴当点R在上时，； 当点O和点R都在上时， 由可知，当点R在上时，， 此时点P表示的数是，点Q表示的数是，点P在点Q右侧， ∴， 解得， ∴原不等式组无解； 综上所述，t的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $