1.1 三角形内角和定理 暑期专项练习2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 该专项以三角形内角和定理为核心，通过概念辨析、公式应用、综合证明等题型，系统提炼辅助线添加、外角性质转化等解题方法，构建从基础到综合的知识逻辑链，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|单选1-8题|内角和公式直接应用、概念辨析|定理→多边形内角和公式→命题真假判断| |综合拓展|填空11-15题|多边形内外角转化、实际情境建模|定理→外角性质→方位角计算/规律探究| |证明探究|解答16-20题|辅助线构造、折叠性质应用|定理→平行线/角平分线→多步推理证明|

1.1 三角形内角和定理 暑期专项练习2025-2026学年 北师大版八年级数学下册 一、单选题 1．如图，下列关于四边形的说法中不正确的是（   ） A．四边形是凸四边形 B．四边形有1条对角线 C．四边形有4个内角 D．是四边形的外角 2．历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是心思，也是美丽的几何．如图所示，南宋哥窑青釉八方杯最具代表性，杯口呈八边形．则八边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 3．下列命题是真命题的是（     ） A．三角形的外角等于任意两内角之和 B．两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 C．同位角相等 D．三角形任意两边之和大于第三边 4．如图，在中，，分别是边，上的点，将沿折叠；使点落在点处，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图为商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，，则（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，是边上的高，是的平分线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 7．如图，直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，以为边在正六边形的内部作正方形 ，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．如图，已知，下列作辅助线的方法不能证明三角形的内角和为的是（     ） A． B． C． D． 10．如图，在中，分别是的高线和角平分线，点在的延长线上，垂直于，交于点，交于点．下列结论： ①： ②； ③； 其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 11．如图三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向．从岛看两岛的视角是___________度，从岛看两岛的视角是___________度． 12．如图是某广场地面的一部分，地面的中央是一块正六边形地砖，周围用正三角形和正方形地砖密铺，从里向外共10层（不包括中央的正六边形地砖）．每一层的外边界都围成一个多边形，若中央的正六边形地砖的边长为，则第层边界所围成的多边形的周长是_________． 13．若正多边形的内角和是，则正多边形的一个外角为_______． 14．将正六边形与正五边形按如图所示的方式摆放，公共顶点为，且正六边形的边与正五边形的边在同一条直线上，则的度数是_________°． 15．如图，延长五边形的各边，再用线段与各边的延长线相连，则________°． 三、解答题 16．如图，点在线段上，点在线段上，，． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，，，求的度数． 17．如图，在中，点D，E分别在边和上，，求的度数． 18．解答下列问题． (1)一个正n边形的每个内角都为，求这个正n边形的边数． (2)已知一个多边形的内角和的一半比外角和多，求这个多边形边数及对角线的条数． 19．如图，中，，的平分线和的外角平分线相交于点，分别交和的延长线于，．过作交的延长线于点，交的延长线于点，连接交于点． 求证下列结论： (1)； (2)； (3)； 20．几何图形千变万化，但是不同的图形之间往往存在联系，下面让我们一起来探索： (1)下列有、两题，请你选择其中一个进行证明(若两题都证明，按题A给分)． ．如图①，和是的两个外角，求证； ．如图②、是边、上的点，将沿翻折至，若点在内部，．我选择 作答 (2)如图③，、分别平分四边形的外角、．已知，，求的度数； (3)如图④，已知五边形，延长至，延长至，连接，点、分别在边、上，将沿翻折至，若，，，．请你直接写出的度数用含、的代数式表示) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D C B D B B D C 1．B 【详解】解：A、四边形是凸四边形，原说法正确，不符合题意； B、四边形有2条对角线，原说法不正确，符合题意； C、四边形有4个内角，原说法正确，不符合题意； D、是四边形的外角，原说法正确，不符合题意 2．C 【详解】解：八边形的内角和为． 3．D 【分析】利用三角形外角性质、全等三角形判定、平行线性质、三角形三边关系，逐一判断各选项即可得出结果． 【详解】解：A，∵三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，并非任意两内角之和， ∴是假命题，不符合题意； B，∵两边及其中一边的对角对应相等不能判定两个三角形全等， ∴是假命题，不符合题意； C，∵只有两直线平行时，同位角才相等，题目未给出两直线平行的前提， ∴是假命题，不符合题意； D，∵三角形的三边关系为任意两边之和大于第三边， ∴是真命题，符合题意． 4．C 【分析】由三角形内角和定理可得的度数，由平角的定义可得的度数，再由折叠的性质可得的度数，据此由角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴． 5．B 【分析】由，，得，，在中，，故． 【详解】解：，，， ，， 在中，， ． 6．D 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义；根据三角形内角和定理求得的度数，根据角平分线的定义求出的度数，然后在中，利用三角形内角和定理求得的度数，根据即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 是的平分线， ， ∵是边上的高， ∴， ∴， ． 故选：D． 7．B 【分析】根据平行线的性质得到，根据三角形内角和计算即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴． 8．B 【分析】根据正多边形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 9．D 【分析】根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：A、如图， ∵， ∴， ∵， ∴，即三角形的内角和为，故本选项不符合题意； B、如图， ∵， ∴， ∴，即三角形的内角和为，故本选项不符合题意； C、如图， ∵， ∴， ∵， ∴，即三角形的内角和为，故本选项不符合题意； D、无法证明三角形的内角和为，故本选项符合题意 10．C 【分析】利用余角性质可得，即可判定①；由角平分线的定义得，由三角形外角性质得，，进而可得，即可判定②；由角平分线的定义和三角形外角性质得，进而可得，即可判定③，综上即可求解． 【详解】解：①∵是的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ②∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，故②正确； ③∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误； 综上，结论正确的有个． 11． 【分析】本题主要考查了方位角的概念，平行线的性质以及三角形内角和定理．首先根据方位角的定义求出 的度数，然后利用平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）求出 的度数，进而求得 的度数，最后利用三角形内角和定理求出 的度数． 【详解】解：由题意可知，，， 所以 因为 所以 所以 在 中 ． 12． 【分析】先分析每层边数的规律以及边长的规律，再根据周长公式计算第层边界所围成多边形的周长． 【详解】观察图形，可知正方形、正三角形和正六边形的边长相等，均为， 第一层共有个三角形和个正方形，共条边， 第二层共有个三角形和个正方形，共条边， 第三层共有个三角形和个正方形，共条边， 第层共有个三角形和个正方形，共条边， 因此第层边界所围成的多边形共条边，周长为． 13． 【分析】先根据已知内角和求出正多边形的边数，再根据多边形外角和性质计算一个外角的度数． 【详解】解：设该正多边形的边数为， 根据多边形内角和公式可得：， 解得：， 多边形的外角和为，且正多边形的每个外角都相等， 该正多边形的一个外角为． 14． 【分析】利用正多边形的外角和与内角和，先求出，，，即可求解． 【详解】解：∵正多边形的外角和为，是正六边形的外角，是正五边形的外角， ∴，， ∴ ∵是正五边形的内角， ∴， ∵是正六边形的内角， ∴， ∴． 15．360 【分析】首先根据外角的性质可得：，，，，，根据多边形的外角和为，所以，即可解答． 【详解】解：如图， 由三角形外角的性质，得，，，，， 多边形的外角和为， ， ． 16．(1)，见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，垂直定义， 对于（1），先根据“两直线平行，内错角相等”得，进而得出，再根据“同位角相等，两直线平行”得出答案； 对于（2），先根据“两直线平行，同旁内角互补”得，再根据角平分线定义得，然后根据垂直定义得，最后根据“两直线平行，同位角相等”得出答案． 【详解】（1）证明：，理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 17． 【分析】先通过三角形内角和定理求出，再求出，最后根据两直线平行，内错角相等求出. 【详解】由三角形内角和为可知， ， 由两直线平行，内错角相等得 . 18．(1)6 (2)边数为，对角线条数为 【分析】（1）根据题意先确定多边形每个外角的度数，然后求解即可； （2）设这个多边形的边数为，多边形内角和为，任意多边形外角和为，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵正边形每个内角为， ∴每个外角的度数为 ， ∵任意多边形的外角和为， ∴边数 ； （2）设这个多边形的边数为，多边形内角和为，任意多边形外角和为， 根据题意列方程得 ， 解得 ， ∴边形对角线条数公式为，将代入得 ， ∴因此这个多边形边数为，对角线条数为． 19．(1)证明：的角平分线和的外角平分线， 在中 ； (2)证明：，， ， 为的角平分线， ， 在和中 ， ，； (3)证明：， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ， . 【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出，再根据角平分线的定义 然后利用三角形的内角和定理整理即可得解； （2）证明得出，，即可； （3）利用角角边证明全等，然后根据全等三角形对应边相等得到，从而得证. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 20．(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，多边形的外角和定理，折叠的性质； （1）选择，根据三角形的外角的性质，即可得证；选择B，由翻折性质得：，，进而根据三角形的外角的性质，折叠的性质证明，即可得证； （2）延长，交于点，根据折叠的性质以及角平分线的定义得出，即可求解； （3）由（2）可知：，设，，根据，得出，由（1）B可知：，即可求解． 【详解】（1）证明：选择，证明如下： ，，， ， ； 选择B，证明如下： 由翻折性质得：，， ，， ， ， ， 又，， ， ， 即； 故答案为：或． （2）延长，交于点，如图③所示： 由（1）可知：，， 则 ，， ， 、分别平分、， ， ； （3）由（2）可知：， ，， ， 设，， ，， ，， ， 即， ， ， 由（1）B可知：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $