1.1 三角形内角和定理 分层练习2025-2026学年北师大版数学八年级下册

北师大版（2024）八年级下册 1.1 三角形内角和定理 分层练习 已知两角求第三角的大小 1在△ABC中，已知∠A＝55°，∠B＝35°，则这个三角形是(　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 2如图，小明书上的三角形被墨迹遮挡了一部分，测得剩余两个角的度数为44°，68°，于是他很快判断这个三角形是(　　) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 3在△ABC中，若∠A＝43°，∠B＝47°，则这个三角形是 　           　． 4三角形三个内角度数之比为1:2:3，其中最大的角度数为 　　． 已知两角或三角的数量关系求三角形内角 1已知点D在△ABC内，若∠ABD= ∠ACD=则∠BDC等于(　　) A.3∠A B.∠A C.120°+∠A D.60°+∠A 2△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2:3:4，则∠A的度数为(　　) A.35° B.40° C.70° D.110° 3如图，三角形中的x的值是 　  　． 4如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，且∠ABD＝∠A，∠C＝3∠A． (1)求△ABC各内角的度数； (2)求∠ADB的度数． 三角形内角和与平行线问题 1如图，△DAF沿直线AD平移得到△CDE，CE，AF的延长线交于点B．若∠AFD＝111°，则∠CED的度数为(　　) A.69° B.111° C.112° D.113° 2如图，AB∥CD，∠D＝42°，∠CBA＝64°，则∠CBD的度数是(　　) A.42° B.64° C.74° D.106° 3如图，D，E，F，G是△ABC边上的点，∠ABC＝∠ADE，∠DEB＝∠GFC． (1)求证：BE∥GF； (2)若BE平分∠ABC，∠BDE＝110°，∠C＝50°，求∠CGF的度数． 4已知：如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G．直线EG，FG有何关系？写出证明过程． 解：EG⊥FG，理由是： ∵AB∥CD， ∴∠BEF+∠DFE＝180°( 　                                       　)． ∵EG平分∠BEF，FG平分∠DFE， ∴∠GEF＝∠BEF，∠GFE＝∠DFE( 　                 　)， ∴∠GEF+∠GFE＝(∠BEF+∠DFE)( 　                      　)， ∴∠GEF+∠GFE＝×180°＝90°． 在△EFG中，　                          　( 　                               　)， ∴∠G＝180°﹣(∠GEF+∠GFE)＝180°﹣90°＝90°． ∴　               　( 　               　)． 与三角形高线，角平分线相关的问题 1如图，AB∥CD，CE⊥CD于点 C，∠BAE为钝角，∠BAE的平分线与∠AEC的平分线交于点F，则∠F的度数为(　　) A.30° B.45° C.50° D.无法确定 2如图，P是△ABC内一点，连接BP，CP，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠A＝100°，则∠BPC的度数为(　　) A.110° B.120° C.130° D.140° 3如图，在△ABC中，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，若∠BDE＝50°，则∠A的度数是(　　) A.40° B.50° C.60° D.70° 4在△ABC中，AD为边BC上的高，∠BAD＝50°，∠CAD＝20°，则∠BAC的度数为 　                   　． 5如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∠BDC＝118°，则∠A＝　  　． 6如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，求∠BOC的度数． 三角形内角和的实际应用 1如图，一艘轮船在A处看见巡逻艇C在其北偏东62°的方向上，此时一艘客船在B处看见巡逻艇C在其北偏东13°的方向上．则此时在巡逻艇上看这两艘船的视角∠ACB的度数是(　　) A.13° B.49° C.62° D.75° 2如图，两面镜子AB，BC的夹角为∠α，当光线经过镜子后反射，∠1＝∠2，∠3＝∠4．若∠α＝70°，则∠β的度数是(　　) A.30° B.35° C.40° D.45° 3如图，某轮船上午8时在A处测得灯塔S在其北偏东60°的方向上，向东行驶至中午12时，在B处测得灯塔S在其北偏西30°的方向上(自己完成图形)，已知轮船行驶的速度为20 km/h，则∠ASB＝________，AB的长为________km. 4如图是一种躺椅及其侧面结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与前支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G，D，AB与DM交于点N．当OE⊥OF，且∠ODC＝32°时，人躺着最舒服，求此时∠ANM的度数． 5如图，B岛在A岛的南偏西40°方向，C岛在A岛的南偏东15°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，求从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数． 北师大版（2024）八年级下册 1.1 三角形内角和定理 分层练习（参考答案） 1已知两角求第三角的大小 1在△ABC中，已知∠A＝55°，∠B＝35°，则这个三角形是(　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 【答案】B 【解析】∵∠A＝55°，∠B＝35°， ∴180°﹣35°﹣55°＝90°， 所以三角形是一个直角三角形． 故选：B． 2如图，小明书上的三角形被墨迹遮挡了一部分，测得剩余两个角的度数为44°，68°，于是他很快判断这个三角形是(　　) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 【答案】B 【解析】如图所示， 依题意得∠A＝44°，∠B＝68°， 由三角形的内角和定理得∠C＝180°﹣(∠A+∠C)＝180°﹣(44°+68°)＝68°， ∴∠B＝∠C＝68°． ∴△ABC为等腰三角形． 故选：B． 3在△ABC中，若∠A＝43°，∠B＝47°，则这个三角形是 　           　． 【答案】直角三角形 【解析】∵∠A＝43°，∠B＝47°，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形. 故答案为：直角三角形． 4三角形三个内角度数之比为1:2:3，其中最大的角度数为 　　． 【答案】90° 【解析】若三角形三个内角度数的比为1:2:3， 设一个角是x度，则另两角分别是2x度，3x度． 根据三角形内角和定理得到x+2x+3x＝180， 解得x＝30． 则最大的角是3x＝90． 故答案为：90°． 2已知两角或三角的数量关系求三角形内角 1已知点D在△ABC内，若∠ABD= ∠ACD=则∠BDC等于(　　) A.3∠A B.∠A C.120°+∠A D.60°+∠A 【答案】C 【解析】∵∠ABD=, ∠ACD=， ∴∠ABD+∠ACD＝(∠ABC+∠ACB)， ∴∠DBC+∠DCB＝(∠ABC+∠ACB)， ∵∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠BDC，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴180°﹣∠BDC＝(180°﹣∠A)， ∴∠BDC＝120°+∠A． 故选：C． 2△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2:3:4，则∠A的度数为(　　) A.35° B.40° C.70° D.110° 【答案】B 【解析】∵△ABC中∠A∶∠B∶∠C＝2:3:4， ∴设∠A＝2x，∠B＝3x，∠C＝4x． ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴2x+3x+4x＝180°，解得x＝20°， ∴∠A＝2x＝40°． 故选：B． 3如图，三角形中的x的值是 　  　． 【答案】54 【解析】依题意得2x+72＝180， 解得x＝54， 故答案为：54． 4如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，且∠ABD＝∠A，∠C＝3∠A． (1)求△ABC各内角的度数； (2)求∠ADB的度数． 【答案】解：(1)∵BD是∠ABC的平分线，∠ABD＝∠A， ∴∠CBD＝∠ABD＝∠A， ∴∠ABC＝∠CBD+∠ABD＝2∠A， ∵∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴∠A+2∠A+3∠A＝180°， ∴∠A＝30°， ∴∠ABC＝2∠A＝60°，∠C＝3∠A＝90°. (2)由(1)可知∠ABD＝∠A＝30°， ∵∠ADB+∠ABD+∠A＝180°， ∴∠ADB＝180°﹣(∠ABD+∠A)＝120°． 3三角形内角和与平行线问题 1如图，△DAF沿直线AD平移得到△CDE，CE，AF的延长线交于点B．若∠AFD＝111°，则∠CED的度数为(　　) A.69° B.111° C.112° D.113° 【答案】B 【解析】∵△DAF沿直线AD平移得到△CDE， ∴∠CED＝∠AFD＝111°. 故选：B． 2如图，AB∥CD，∠D＝42°，∠CBA＝64°，则∠CBD的度数是(　　) A.42° B.64° C.74° D.106° 【答案】C 3如图，D，E，F，G是△ABC边上的点，∠ABC＝∠ADE，∠DEB＝∠GFC． (1)求证：BE∥GF； (2)若BE平分∠ABC，∠BDE＝110°，∠C＝50°，求∠CGF的度数． 【答案】(1)证明：∵∠ABC＝∠ADE， ∴DE∥BC， ∴∠BED＝∠EBC， ∵∠DEB＝∠GFC， ∴∠EBC＝∠GFC， ∴BE∥GF. (2)解：∵DE∥BC， ∴∠BDE+∠ABC＝180°， ∴∠ABC＝180°﹣∠BDE＝70°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠EBC＝∠ABC＝35°， ∵BE∥GF， ∴∠GFC＝∠EBC＝35°， ∵∠C+∠GFC+∠CGF＝180°， ∴∠CGF＝180°﹣∠C﹣∠GFC＝95°． 4已知：如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G．直线EG，FG有何关系？写出证明过程． 解：EG⊥FG，理由是： ∵AB∥CD， ∴∠BEF+∠DFE＝180°( 　                                       　)． ∵EG平分∠BEF，FG平分∠DFE， ∴∠GEF＝∠BEF，∠GFE＝∠DFE( 　                 　)， ∴∠GEF+∠GFE＝(∠BEF+∠DFE)( 　                      　)， ∴∠GEF+∠GFE＝×180°＝90°． 在△EFG中，　                          　( 　                               　)， ∴∠G＝180°﹣(∠GEF+∠GFE)＝180°﹣90°＝90°． ∴　               　( 　               　)． 【答案】解：EG⊥FG，理由是： ∵AB∥CD， ∴∠BEF+∠DFE＝180°(两直线平行，同旁内角互补)． ∵EG平分∠BEF，FG平分∠DFE， ∴∠GEF＝∠BEF，∠GFE＝∠DFE(角平分线定义)， ∴∠GEF+∠GFE＝(∠BEF+∠DFE)(等式的性质)， ∴∠GEF+∠GFE＝×180°＝90°． 在△EFG中，∠GEF+∠EFG+∠G＝180°(三角形的内角和为180°)， ∴∠G＝180°﹣(∠GEF+∠GFE)＝180°﹣90°＝90°． ∴EG⊥FG(垂直定义)． 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；角平分线定义；等式的性质；∠GEF+∠EFG+∠G＝180°；三角形的内角和为180°；EG⊥FG；垂直定义． 4与三角形高线，角平分线相关的问题 1如图，AB∥CD，CE⊥CD于点 C，∠BAE为钝角，∠BAE的平分线与∠AEC的平分线交于点F，则∠F的度数为(　　) A.30° B.45° C.50° D.无法确定 【答案】B 【解析】过E点作EG∥AB， ∴∠BAE+∠AEG＝180°， ∵AB∥CD， ∴EG∥CD， ∴∠GEC+∠C＝180°， ∴∠BAE+∠AEC+∠C＝360°， ∵CE⊥CD于点 C， ∴∠C＝90°， ∴∠BAE+∠AEC＝270°， ∵∠BAE的平分线与∠AEC的平分线交于点F， ∴∠AEF＝∠AEC，∠EAF＝∠BAE， ∴∠AEF+∠EAF＝135°， ∵∠AEF+∠EAF+∠F＝180°， ∴∠F＝180°﹣135°＝45°． 故选：B． 2如图，P是△ABC内一点，连接BP，CP，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠A＝100°，则∠BPC的度数为(　　) A.110° B.120° C.130° D.140° 【答案】D 【解析】在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∵∠A＝100°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣100°＝80°， 即∠1+∠2+∠3+∠4＝80°， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴2∠2+2∠4＝80°， ∴∠2+∠4＝40°， 在△BPC中，∠BPC+∠2+∠4＝180°， ∴∠BPC＝140°. 故选：D． 3如图，在△ABC中，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，若∠BDE＝50°，则∠A的度数是(　　) A.40° B.50° C.60° D.70° 【答案】B 【解析】∵DE∥AB，∠BDE＝50°， ∴∠ABD＝∠BDE＝50°， 而BD平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠ABD＝100°， ∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝180°﹣100°﹣30°＝50°． 故选：B． 4在△ABC中，AD为边BC上的高，∠BAD＝50°，∠CAD＝20°，则∠BAC的度数为 　                   　． 【答案】70°或30° 【解析】如图1，∵AD为边BC上的高， ∴∠ADC＝∠ADB＝90°， ∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝50°+20°＝70°， 如图2，∵AD为边BC上的高， ∴∠ADC＝∠ADB＝90°， ∴∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝50°﹣20°＝30°. 故答案为：70°或30°． 5如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∠BDC＝118°，则∠A＝　  　． 【答案】56° 【解析】由三角形内角和定理知∠DBC+∠DCB+∠BDC＝180°， ∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠BDC＝62°， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB， ∴∠ABC＝2∠DBC，∠ACB＝2∠DCB， ∴∠ABC+∠ACB＝2(∠DBC+∠DCB)＝124°， 由三角形内角和定理知∠A＝180°﹣(∠ABC+∠ACB)＝180°﹣124°＝56°． 故答案为：56°． 6如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，求∠BOC的度数． 【答案】解：∵由三角形内角和定理得，∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝130°， ∵BO，CO平分∠ABC，∠ACB， ∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB， ∴∠1＋∠2＝∠ABC＋∠ACB＝(∠ABC＋∠ACB)＝×130°＝65°， ∴∠BOC＝180°－(∠1＋∠2)＝180°－65°＝115°. 5三角形内角和的实际应用 1如图，一艘轮船在A处看见巡逻艇C在其北偏东62°的方向上，此时一艘客船在B处看见巡逻艇C在其北偏东13°的方向上．则此时在巡逻艇上看这两艘船的视角∠ACB的度数是(　　) A.13° B.49° C.62° D.75° 【答案】B 【解析】由题意得，∠CAB＝90°﹣62°＝28°，∠ABC＝90°+13°＝103°， ∴∠ACB＝180°−∠CAB﹣∠ABC＝49°． 故选：B． 2如图，两面镜子AB，BC的夹角为∠α，当光线经过镜子后反射，∠1＝∠2，∠3＝∠4．若∠α＝70°，则∠β的度数是(　　) A.30° B.35° C.40° D.45° 【答案】C 【解析】如图， 由题意得∠5＝180°﹣(∠1+∠2)＝180°﹣2∠2，∠6＝180°﹣(∠3+∠4)＝180°﹣2∠3， ∵∠α＝70°， ∴∠2+∠3＝180°﹣∠α＝110°， ∵∠β＝180°﹣(∠5+∠6) ∴∠β＝180°﹣(180°﹣2∠2+180°﹣2∠3) ＝2(∠2+∠3)﹣180° ＝2×110°﹣180° ＝220°﹣180° ＝40°． 故选：C． 3如图，某轮船上午8时在A处测得灯塔S在其北偏东60°的方向上，向东行驶至中午12时，在B处测得灯塔S在其北偏西30°的方向上(自己完成图形)，已知轮船行驶的速度为20 km/h，则∠ASB＝________，AB的长为________km. 【答案】90°；80 【解析】由图可知， ∠SAB＝90°－∠SAD＝90°－60°＝30°，∠SBA＝90°－∠SBC＝90°－30°＝60°， ∴∠ASB＝180°－∠SAB－∠SBA＝180°－30°－60°＝90°， ∴AB＝20×(12－8)＝80(km)． 故答案为：90°；80. 4如图是一种躺椅及其侧面结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与前支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G，D，AB与DM交于点N．当OE⊥OF，且∠ODC＝32°时，人躺着最舒服，求此时∠ANM的度数． 【答案】解：因为OE⊥OF， 所以∠GOD＝90°，(垂直的定义) 因为∠ODC＝32°， 所以∠OGD＝180°﹣∠GOD﹣∠ODC，(三角形三个内角的和等于180°) 所以∠OGD＝180°﹣90°﹣32°＝58°， 由题意，知AB∥CD， 所以∠AOE＝∠OGD＝58°，(两直线平行，内错角相等) 由题意，知DM∥OE， 所以∠AND＝∠AOE＝58°，(两直线平行，同位角相等) 所以∠ANM＝180°-∠AND =122°．(平角的定义) 5如图，B岛在A岛的南偏西40°方向，C岛在A岛的南偏东15°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，求从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数． 【答案】解：由题意得，BE∥AD，∠BAD＝40°， ∠CAD＝15°，∠EBC＝80°， ∴∠EBA＝∠BAD＝40°，∠BAC＝40°＋15°＝55°， ∴∠ABC＝∠EBC－∠EBA＝80°－40°＝40°， ∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－55°－40°＝85°. 学科网（北京）股份有限公司 $