专题3代数式单元练习 2026-2027学年浙教版七年级数学上册

**基本信息** 以“概念-运算-应用”为逻辑主线，通过6大题型（含典例及变式）系统构建代数式专项训练体系，提炼同类项“两相同两无关”等实用方法，培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |列代数式|1典例+2变式|数形结合与实际问题转化|从数轴表示到九连环模型，建立代数表达与几何直观的联系| |求代数式的值|1典例+2变式|整体代入法|基于代数式结构特征，培养运算能力与推理意识| |整式的有关概念|1典例+1变式|概念辨析（系数/次数）|明确单项式、多项式的核心要素，夯实基础概念| |同类项|1典例+1变式|定义识别（两相同两无关）|通过对比辨析，强化同类项本质特征的理解| |整式的加减|1典例+3变式|去括号与合并同类项|遵循运算规则，提升代数变形的准确性与规范性| |规律探索型问题|1典例+1变式|归纳推理与模型构建|从图形排列到数式规律，发展创新意识与模型观念|

专题3　代数式 题型一　列代数式 【典例1】 已知O，A，B，C四点在数轴上的位置如图所示，其中O为原点，且AC=1，OA=OB。若点C表示的数为x，则点B所表示的数为(　B　) 典例1图 A.－(x＋1) B.－(x－1) C.x＋1 D.x－1 【解析】 因为AC=1，点C表示的数为x， 所以点A表示的数为x－1。 因为O为原点，OA=OB，所以点B表示的数为－(x－1)。 【点悟】 列代数式时，在语言叙述的数量关系中，先读到的一般应先写，不同级的运算中，若要优先低级运算，则要把代数式中代表低级运算的这部分用括号括起来。 【变式1－1】 如图，在数轴上从左往右依次有四点A，B，C，D，对应的数分别为a，b，c，d，且C为AD的中点，BD=2AB。若3b＋c＋d=5，则a=　2－d　(用只含d的代数式表示)。  变式1－1图 【解析】 因为C为AD的中点， 所以c=，即a＋d=2c。 又因为BD=2AB，所以d－b=2(b－a)，即d=3b－2a。 又因为3b＋c＋d=5，所以d=－3b－c＋5， 两式相加，得2d=－2a－c＋5， 所以c=－2a－2d＋5， 则a＋d=2(－2a－2d＋5)， 整理，得a=2－d。 【变式1－2】 九连环作为一种中国传统民间玩具，由九个完全一样的圆环和中间的直杆连接而成(如图1)，从上往下看，可以看成九个水平摆放且间距一样的圆环(如图2)，若相邻两个圆环之间重叠部分的宽度均为a，整个九连环的宽度为b，则一个圆环的直径可以表示为  　(用含a，b的代数式表示)。  变式1－2图 题型二　求代数式的值 【典例2】 如果代数式4y2－2y＋5的值为1，那么代数式2y2－y＋1的值为(　A　) A.－1 B.2 C.3 D.4 【解析】 因为4y2－2y＋5=1， 所以4y2－2y=－4，所以2y2－y=－2， 所以2y2－y＋1=－2＋1=－1。 【点悟】 求代数式的值常用的有两种方法： (1)直接代入法； (2)整体代入法。 【变式2－1】 已知x=2y＋3，则代数式4x－8y＋9的值为　21　。  【解析】 因为x=2y＋3，所以x－2y=3，所以4x－8y＋9=4(x－2y)＋9=4×3＋9=21。 【变式2－2】 如果当x=2时，代数式ax3＋bx＋4的值为8，那么当x=－2时，这个代数式的值为　0　。  【解析】 当x=2时，原式=8a＋2b＋4=8，即8a＋2b=4。 当x=－2时，原式=－8a－2b＋4=－(8a＋2b)＋4=－4＋4=0。 题型三　整式的有关概念 【典例3】 下列说法中，正确的是(　B　) A.单项式的系数是，次数是4 B.单项式－xy2z的系数是－1，次数是4 C.单项式m的次数是1，没有系数 D.2x2＋xy2＋3是二次多项式 【解析】 单项式的系数是，次数是3，A错误。 B正确。 单项式m的次数是1，系数是1，C错误。 2x2＋xy2＋3是三次多项式，D错误。故选B。 【点悟】 (1)在确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键。注意π是数，应作为系数；确定系数时要带上符号。 (2)几个单项式的和叫作多项式，每个单项式叫作多项式的项，其中不含字母的项叫作常数项。多项式中次数最高的项的次数叫作多项式的次数。 【变式3】 下列说法中，正确的是(　C　) A.单项式是整式，整式也是单项式 B.25与x5是同类项 C.单项式－πx3y的系数是－π，次数是4 D.＋2是一次多项式 题型四　同类项 【典例4】 已知2xn＋1y3与x4y3是同类项，则n的值是(　B　) A.2 　B.3 C.4 D.5 【点悟】 所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项。注意同类项定义中的两个“相同”：①所含字母相同；②相同字母的指数相同。还要注意同类项定义中隐含的两个“无关”：①与字母的顺序无关；②与系数无关。 【变式4】 下列各组中的两项，属于同类项的是(　D　) A.a与－a2 B.x2y3z与－x2y3 C.x2与y2 D.yx2与－5x2y 题型五　整式的加减 【典例5】 化简： (1)3ab－4a＋2ab－5a； (2)2(a2－ab)－3。 解：(1)原式=(3＋2)ab－(4＋5)a=5ab－9a。 (2)原式=2a2－2ab－2a2＋3ab=ab。 【点悟】 应用整式的加减进行化简求值，一般先去括号，再合并同类项，最后代入求值。若从已知条件中无法求出字母的值，则应观察已知条件与所要求值的代数式之间的关系，尝试通过整体代入的方法解决问题。 【变式5－1】 化简： (1)4(2a2－b)－(2b－3a2)－2(a2－2b)； (2)－2(mn－3m2)－[m2－5(mn－m2)＋2mn]。 解：(1)原式=8a2－4b－2b＋3a2－2a2＋4b =9a2－2b。 (2)原式=－2mn＋6m2－(m2－5mn＋5m2＋2mn) =－2mn＋6m2－(6m2－3mn) =－2mn＋6m2－6m2＋3mn =mn。 【变式5－2】 先化简，再求值：2(2xy2－3x2y2)－3(－2x2y2＋xy2)，其中x=25，|y＋2|=0。 解：原式=4xy2－6x2y2＋6x2y2－3xy2 =xy2。 因为|y＋2|=0， 所以y=－2。 当x=25，y=－2时，原式=25×(－2)2=100。 【变式5－3】 已知m，x，y满足：①(x－5)2＋|m＋1|=0；②－2aby＋1与4ab5是同类项。求代数式(2x2－3xy＋y2)－m(x2－xy＋y2)的值。 解：因为(x－5)2＋|m＋1|=0，所以x=5，m=－1。 因为－2aby＋1与4ab5是同类项，所以y=4， 所以(2x2－3xy＋y2)－m(x2－xy＋y2)=2x2－3xy＋y2＋x2－xy＋y2=3x2－4xy＋2y2 =3×52－4×5×4＋2×42 =75－80＋32 =27。 题型六　规律探索型问题 【典例6】 如图，某校图书馆把无线网络密码做成了数学题，小红在图书馆看书时，思索了一会儿，在电脑上输入密码，顺利地连接到了图书馆的无线网络。那么她输入的密码是　404888　。  典例6图 【解析】 通过观察发现，密码第一个两位数是5×8=40，第二个两位数是6×8=48，第三个两位数是40＋48=88，由此可得密码为404888。 【变式6】 古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点(或圆球)在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15……我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角堆垛(如图所示，顶层有1个球，下一层有3个球，再下一层有6个球)。若一个“落一形”三角堆垛有10层，则该堆垛球的总个数为(　B　) 变式6图 A.55 B.220 C.285 D.385 【解析】 第1层：1； 第2层：3=1＋2； 第3层：6=1＋2＋3； 第4层：10=1＋2＋3＋4； 第5层：15=1＋2＋3＋4＋5； …… 所以第n层的“三角形数”为， 所以若一个“落一形”三角堆垛有10层，则该堆垛球的总个数为1＋3＋6＋…＋55=220。 1.下列选项中的量不能用“0.9a”表示的是(　A　) A.一条边长为a，且这条边上的高线长为0.9的三角形的面积 B.原价为a元/千克的商品打九折后的售价 C.以0.9千米/分的速度匀速行驶a分钟所经过的路程 D.一本书共a页，看了整本书的后剩下的页数 2.下列各组整式中，次数相同的一组是(　D　) A.2t与t2 B.2t与t(t＋2) C.t2与t＋2 D.2t与t 3.若a＞3，则化简的结果是(　A　) A.3 B.－3 C.2a－3 D.2a＋3 4.下列说法中，正确的是(　B　) A.－a既是单项式，也是多项式 B.x＋＋1不是多项式 C.－a表示负数 D.的系数是3a 5.如果代数式－2a＋3b＋8的值为18，那么代数式9b－6a＋2的值为(　C　) A.28 B.－28 C.32 D.－32 【解析】 因为－2a＋3b＋8=18，所以－2a＋3b=10， 所以9b－6a＋2=3(－2a＋3b)＋2=3×10＋2=32。 6.若2xm－1y2与x2yn＋1是同类项，则m＋n=　4　。  【解析】 由题意，得m－1=2，n＋1=2，两式相加，得m＋n=4。 7.某工厂第一年的产值为a万元，第二年的产值增加了x%，则第二年的产值为　(1＋x%)a　万元。  8.先化简，再求值： (1)2(a2b－ab)－3，其中a=，b=2； (2)2－4ab＋a2，其中a=，b=－1； (3)4[x2－2(y2＋xy－2)]＋2(x2＋2y2)，其中(x＋2)2＋|y＋3|=0。 解：(1)原式=2a2b－2ab－3a2b＋2ab=－a2b。 当a=，b=2时，原式=－()2×2=－6。 (2)原式=6ab－a2－4ab＋a2=2ab。 当a=，b=－1时，原式=2××(－1)=－1。 (3)原式=4(x2－2y2－2xy＋4)＋2x2＋4y2 =4x2－8y2－8xy＋16＋2x2＋4y2 =6x2－4y2－8xy＋16。 因为(x＋2)2＋|y＋3|=0， 所以x＋2=0，y＋3=0，解得x=－2，y=－3。 当x=－2，y=－3时，原式=6×(－2)2－4×(－3)2－8×(－2)×(－3)＋16=－44。 9.已知代数式A=2x2＋3xy＋2y－1，B=x2－xy＋x－。 (1)当x=y=－2时，求A－2B的值。 (2)若A－2B的值与x的取值无关，求y的值。 解：(1)A－2B=2x2＋3xy＋2y－1－2 =2x2＋3xy＋2y－1－2x2＋2xy－2x＋1 =5xy＋2y－2x， 当x=y=－2时， A－2B=5xy＋2y－2x =5×(－2)×(－2)＋2×(－2)－2×(－2) =20。 (2)由(1)可知A－2B=5xy＋2y－2x=(5y－2)x＋2y， 若A－2B的值与x的取值无关，则5y－2=0， 解得y=。 10.小桂和小依玩猜数游戏，他们的对话如图所示，请按照他们的对话内容解决下列问题： 第10题图 (1)设小桂出生的月份为x，人口数为y，用含x，y的代数式表示小桂所说的结果。 (2)若小桂所说的结果为123，求小桂出生的月份和他家的人口数。 解：(1)由题意得，小桂所说的结果为5(2x＋10)＋y。 (2)由题意得，5(2x＋10)＋y=123， 整理，得10x＋y=73。 因为x的取值为1到12的整数，y的取值为1到9的整数， 所以y=3，则10x＋3=73，解得x=7。 答：小桂是7月份出生的，他家的人口数为3。 11.如图，各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为(　D　) 第11题图 A.220 B.232 C.242 D.252 【解析】 观察图形知，左上角(即a所在位置)的数是1，2，3，…；左下角(即b所在位置)的数是1＋1，2＋1，3＋1，…；右上角(即22所在位置)的数是2×(1＋1)，2×(2＋1)，2×(3＋1)，…；右下角(即x所在位置)的数是(4－1)×(2＋1)，(6－1)×(3＋1)，(8－1)×(4＋1)，…。 因为22=2×11=2×(10＋1)， 所以a=10，b=11， 所以x=(22－1)×(11＋1)=252。 12.有7个如图1的边长分别为a，b的小长方形，拼成如图2的大长方形。 第12题图 (1)观察图2，请你写出a，b满足的等量关系(用含a的代数式表示b)。 (2)将7个图1所示的小长方形放入一个大长方形中，摆放方式如图3所示(小长方形都呈水平或竖直摆放)，图中的阴影部分分别记为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ。 ①记阴影部分Ⅰ，Ⅱ的周长分别为m1，m2，试求的值。 ②若a=3，求阴影部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积之和。 解：(1)由题可知4a=3b，所以b=a。 (2)①阴影部分Ⅰ，Ⅱ的周长分别为m1=4b， m2=2(3a＋b＋2a)=10a＋2b， 所以。 ②阴影部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积之和=(3a＋2b)(2a＋b)－7ab。 若a=3，则b=a=4。 将a=3，b=4代入，得(3a＋2b)(2a＋b)－7ab =(9＋8)×(6＋4)－7×3×4=86， 所以阴影部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积之和为86。 13.“数形结合”是一种把“数”与“图形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题的数学思想。例如，在“数”的层面，|x－2|表示x与2的差的绝对值，而在“形”的层面，|x－2|则表示x与2两数在数轴上所对应的点之间的距离。进一步地，|x－1|＋|x＋2|可理解为在数轴上x对应的点到1和－2所对应的点的距离之和。请根据以上知识，结合数轴解决以下问题： 【新知演练】(1)|x－3|可理解为　x　与　3　在数轴上所对应的两点之间的距离。  (2)若|x＋3|=3，则x的值为　－6或0　。  【问题解决】(3)①|x－3|＋|x＋2|的最小值是　5　。  ②|x＋3|＋|x＋6|＋|x－2|的最小值为　8　。  【拓展应用】(4)如图，在一条笔直的公路边有三个居民区A，B，C和市民广场O，居民区A，B，C分别位于市民广场左侧5千米，右侧1千米，右侧3千米。A小区有居民3 000人，B小区有居民2 000人，C小区有居民1 000人。现因防疫需求，要在该公路上建一个流感检测实验室P，用于接收这3个小区的全员流感样本。若流感样本的运输和包装成本为每千米10元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低？最低成本是多少？ 第13题图 解：(3)②|x＋3|＋|x＋6|＋|x－2|表示在数轴上x对应的点分别与－3，－6和2在数轴上所对应的点之间的距离之和，利用数轴，容易得出，当x表示－3时，这个距离之和取最小值，此时，|x＋3|＋|x＋6|＋|x－2|的值为2－(－6)=8，而当x≠－3时，这个距离之和都会比8更大，即当x≠－3时，|x＋3|＋|x＋6|＋|x－2|＞8，则|x＋3|＋|x＋6|＋|x－2|的最小值是8。 (4)以市民广场O为原点，A，B，C分别为－5，1，3建立数轴，设实验室P对应的数字为x， 总运输和包装成本为30|x＋5|＋20|x－1|＋10|x－3|，易知－5≤x≤3时，总成本可能取到最小值， 当1＜x≤3时，30|x＋5|＋20|x－1|＋10|x－3|=30(x＋5)＋20(x－1)－10(x－3)=(40x＋160)元， 当－5≤x≤1时，30|x＋5|＋20|x－1|＋10|x－3|=30(x＋5)－20(x－1)－10(x－3)=200(元)。 因为1＜x≤3， 所以40x＋160＞200， 则当实验室建在A，B之间(包含点A，B)时，才能使总运输和包装成本最低，最低成本是200元。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3　代数式 题型一　列代数式 【典例1】 已知O，A，B，C四点在数轴上的位置如图所示，其中O为原点，且AC=1，OA=OB。若点C表示的数为x，则点B所表示的数为( ) 典例1图 A.－(x＋1) B.－(x－1) C.x＋1 D.x－1 【变式1－1】 如图，在数轴上从左往右依次有四点A，B，C，D，对应的数分别为a，b，c，d，且C为AD的中点，BD=2AB。若3b＋c＋d=5，则a= (用只含d的代数式表示)。  变式1－1图 【变式1－2】 九连环作为一种中国传统民间玩具，由九个完全一样的圆环和中间的直杆连接而成(如图1)，从上往下看，可以看成九个水平摆放且间距一样的圆环(如图2)，若相邻两个圆环之间重叠部分的宽度均为a，整个九连环的宽度为b，则一个圆环的直径可以表示为 (用含a，b的代数式表示)。  变式1－2图 题型二　求代数式的值 【典例2】 如果代数式4y2－2y＋5的值为1，那么代数式2y2－y＋1的值为( ) A.－1 B.2 C.3 D.4 【变式2－1】 已知x=2y＋3，则代数式4x－8y＋9的值为 。  【变式2－2】 如果当x=2时，代数式ax3＋bx＋4的值为8，那么当x=－2时，这个代数式的值为 。  题型三　整式的有关概念 【典例3】 下列说法中，正确的是( ) A.单项式的系数是，次数是4 B.单项式－xy2z的系数是－1，次数是4 C.单项式m的次数是1，没有系数 D.2x2＋xy2＋3是二次多项式 【变式3】 下列说法中，正确的是( ) A.单项式是整式，整式也是单项式 B.25与x5是同类项 C.单项式－πx3y的系数是－π，次数是4 D.＋2是一次多项式 题型四　同类项 【典例4】 已知2xn＋1y3与x4y3是同类项，则n的值是( ) A.2 　B.3 C.4 D.5 【点悟】 所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项。注意同类项定义中的两个“相同”：①所含字母相同；②相同字母的指数相同。还要注意同类项定义中隐含的两个“无关”：①与字母的顺序无关；②与系数无关。 【变式4】 下列各组中的两项，属于同类项的是( ) A.a与－a2 B.x2y3z与－x2y3 C.x2与y2 D.yx2与－5x2y 题型五　整式的加减 【典例5】 化简： (1)3ab－4a＋2ab－5a； (2)2(a2－ab)－3。 【变式5－1】 化简： (1)4(2a2－b)－(2b－3a2)－2(a2－2b)； (2)－2(mn－3m2)－[m2－5(mn－m2)＋2mn]。 【变式5－2】 先化简，再求值：2(2xy2－3x2y2)－3(－2x2y2＋xy2)，其中x=25，|y＋2|=0。 【变式5－3】 已知m，x，y满足：①(x－5)2＋|m＋1|=0；②－2aby＋1与4ab5是同类项。求代数式(2x2－3xy＋y2)－m(x2－xy＋y2)的值。 题型六　规律探索型问题 【典例6】 如图，某校图书馆把无线网络密码做成了数学题，小红在图书馆看书时，思索了一会儿，在电脑上输入密码，顺利地连接到了图书馆的无线网络。那么她输入的密码是 。  典例6图 【变式6】 古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点(或圆球)在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15……我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角堆垛(如图所示，顶层有1个球，下一层有3个球，再下一层有6个球)。若一个“落一形”三角堆垛有10层，则该堆垛球的总个数为( ) 变式6图 A.55 B.220 C.285 D.385 1.下列选项中的量不能用“0.9a”表示的是( ) A.一条边长为a，且这条边上的高线长为0.9的三角形的面积 B.原价为a元/千克的商品打九折后的售价 C.以0.9千米/分的速度匀速行驶a分钟所经过的路程 D.一本书共a页，看了整本书的后剩下的页数 2.下列各组整式中，次数相同的一组是( ) A.2t与t2 B.2t与t(t＋2) C.t2与t＋2 D.2t与t 3.若a＞3，则化简的结果是( ) A.3 B.－3 C.2a－3 D.2a＋3 4.下列说法中，正确的是( ) A.－a既是单项式，也是多项式 B.x＋＋1不是多项式 C.－a表示负数 D.的系数是3a 5.如果代数式－2a＋3b＋8的值为18，那么代数式9b－6a＋2的值为( ) A.28 B.－28 C.32 D.－32 6.若2xm－1y2与x2yn＋1是同类项，则m＋n= 。  7.某工厂第一年的产值为a万元，第二年的产值增加了x%，则第二年的产值为 万元。  8.先化简，再求值： (1)2(a2b－ab)－3，其中a=，b=2； (2)2－4ab＋a2，其中a=，b=－1； (3)4[x2－2(y2＋xy－2)]＋2(x2＋2y2)，其中(x＋2)2＋|y＋3|=0。 9.已知代数式A=2x2＋3xy＋2y－1，B=x2－xy＋x－。 (1)当x=y=－2时，求A－2B的值。 (2)若A－2B的值与x的取值无关，求y的值。 10.小桂和小依玩猜数游戏，他们的对话如图所示，请按照他们的对话内容解决下列问题： 第10题图 (1)设小桂出生的月份为x，人口数为y，用含x，y的代数式表示小桂所说的结果。 (2)若小桂所说的结果为123，求小桂出生的月份和他家的人口数。 11.如图，各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为( ) 第11题图 A.220 B.232 C.242 D.252 12.有7个如图1的边长分别为a，b的小长方形，拼成如图2的大长方形。 第12题图 (1)观察图2，请你写出a，b满足的等量关系(用含a的代数式表示b)。 (2)将7个图1所示的小长方形放入一个大长方形中，摆放方式如图3所示(小长方形都呈水平或竖直摆放)，图中的阴影部分分别记为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ。 ①记阴影部分Ⅰ，Ⅱ的周长分别为m1，m2，试求的值。 ②若a=3，求阴影部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积之和。 13.“数形结合”是一种把“数”与“图形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题的数学思想。例如，在“数”的层面，|x－2|表示x与2的差的绝对值，而在“形”的层面，|x－2|则表示x与2两数在数轴上所对应的点之间的距离。进一步地，|x－1|＋|x＋2|可理解为在数轴上x对应的点到1和－2所对应的点的距离之和。请根据以上知识，结合数轴解决以下问题： 【新知演练】(1)|x－3|可理解为 与 在数轴上所对应的两点之间的距离。  (2)若|x＋3|=3，则x的值为 。  【问题解决】(3)①|x－3|＋|x＋2|的最小值是 。  ②|x＋3|＋|x＋6|＋|x－2|的最小值为 。  【拓展应用】(4)如图，在一条笔直的公路边有三个居民区A，B，C和市民广场O，居民区A，B，C分别位于市民广场左侧5千米，右侧1千米，右侧3千米。A小区有居民3 000人，B小区有居民2 000人，C小区有居民1 000人。现因防疫需求，要在该公路上建一个流感检测实验室P，用于接收这3个小区的全员流感样本。若流感样本的运输和包装成本为每千米10元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低？最低成本是多少？ 第13题图 学科网（北京）股份有限公司 $