专题1 有理数及其运算 单元练习 2026-2027学年浙教版七年级数学上册

**基本信息** 本单元卷聚焦“有理数及其运算”核心内容，通过典例引领、变式拓展及实际应用问题，全面覆盖概念理解与运算能力，适配初中数学单元复习，助力抽象能力与模型意识培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|2题型（典例1-2及变式）|有理数分类、数轴、相反数（如典例2辨析相反数定义）|突出符号意识，通过变式（如变式1含字母有理数判断）深化抽象能力| |运算应用|2题型（典例3-4及变式）|大小比较、混合运算（如典例4含乘方与分配律计算）|分层设计运算梯度，结合数轴直观（典例3）培养几何直观| |实际情境|2题型（典例5-6及综合题）|行程问题（典例5）、科学记数法（典例6）|融入生活素材（如积分制任务14），体现模型意识与应用能力|

专题1　有理数及其运算 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 题型一　有理数的分类 【典例1】 将下列各数填在相应的横线上。 －3.8，－20%，4.3，－，42，0，－，－32。 整数：　42，0，－32　；  分数：　－3.8，－20%，4.3，－，－　；  正数：　4.3，42，－　；  负数：　－3.8，－20%，－，－32　。  【点悟】 整数和分数统称有理数，整数包括正整数、0和负整数，分数包括正分数和负分数。 【变式1】 若m表示任意的有理数，则下列式子中，一定表示负数的是(　C　) A. －m B. －m2 C. －m2－1 D. －(m－1)2 题型二　数轴、相反数、绝对值、倒数 【典例2】 下列说法中，正确的是(　C　) A. －1的倒数是1 B. 两个数比较，绝对值大的反而小 C. －a不一定是负数 D. 符号相反的两个数互为相反数 【点悟】 (1)互为相反数的两个数的和等于0。 (2)0没有倒数。 (3)绝对值的几何意义为该数在数轴上的对应点到原点的距离。 【变式2－1】 如图，在数轴上用①，②，③，④注明了四段的范围，若某段上有两个整数，则这段是(　C　) 变式2－1图 A.① B.② C.③ D.④ 【变式2－2】 如图，数轴上每一小段的长度为1，点A，B，C，D在数轴上对应的数分别为a，b，c，d。 变式2－2图 (1)若a与d互为相反数，则c=　－1　。  (2)若|b|＞|d|，则c　＜　0(填“＞”“＜”或“=”)，此时在a，b，c，d中，可能互为相反数的是　c与d　。  【解析】 (2)若|b|＞|d|，则原点在BD中点的右侧，此时点C显然在原点左侧，故c＜0。 因为原点在BD中点的右侧，所以a，b，c都是负数，|a|＞|d|。 又因为|b|＞|d|，所以a和d，b和d不可能互为相反数。 而d可能是正数，当原点位于CD的中点处时，c和d互为相反数。 综上所述，在a，b，c，d中，可能互为相反数的是c和d。 题型三　有理数的大小比较 【典例3】 把32，(－2)3，0，，－(2－5)，＋(－1)表示在数轴上，并将它们按从小到大的顺序排列(用“＜”连接)。 解：32=9，(－2)3=－8，，－(2－5)=3，＋(－1)=－1。 在数轴上表示如答图所示： 典例3答图 按从小到大的顺序排列为(－2)3＜＋(－1)＜0＜＜－(2－5)＜32。 　　【点悟】 (1)比较两个有理数的大小，通常使用以下法则：正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。 (2)比较多个有理数的大小，通常借助数轴，数轴上右边的数总比左边的大。 【变式3－1】 a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示。把a，－a，b，－b，0按照由小到大的顺序排列，正确的是(　B　) 变式3－1图 A.－b＜－a＜0＜b＜a B.－a＜b＜0＜－b＜a C.－a＜－b＜0＜b＜a D.－b＜－a＜0＜a＜b 【解析】 由数轴得，b＜0＜a，|b|＜|a|， 所以0＜－b＜a，－a＜b＜0， 所以－a＜b＜0＜－b＜a。 【变式3－2】 绝对值不大于3的整数共有　7　个。  【解析】 绝对值不大于3的整数有－3，－2，－1，0，1，2，3，共7个。 题型四　有理数的运算 【典例4】 计算： (1)－12－(－4.2)； (2)－99×36； (3)－81÷÷(－16)； (4)－32×。 解：(1)原式==－24＋11.6=－12.4。 (2)原式=×36=－3 600＋=－3 599。 (3)原式=－36×÷(－16) =－16÷(－16)=1。 (4)原式=－9××(－15＋15)=0。 【点悟】 进行有理数的混合运算时，要注意明确运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行；如有括号，先进行括号里的运算。 【变式4－1】 用分配律计算，去括号后正确的是(　D　) A.－ B.－ C.－ D.－ 【变式4－2】 计算： (1)－12 026×(－5)＋|－4|＋； (2)－33＋×(－24)； (3)(－370)×＋0.25×24.5－5×(－25%)。 解：(1)原式=－1×(－5)＋4－ =5＋4－ =8。 (2)原式=－27－×24＋×24－×24 =－27－16＋12－15=－46。 (3)原式=370×0.25＋0.25×24.5＋5.5×0.25 =(370＋24.5＋5.5)×0.25=400×0.25=100。 题型五　有理数的应用 【典例5】 某供电局路线检修班乘汽车沿南北方向检修路线，检修班的记录员把当天行车情况记录如下： 到达 地点 起点 A B C D E F G H I J 前进 方向 北 南 北 北 南 北 南 北 南 北 所走 路程 /km 0 10 4 6 2 5 12 3 9 10 7 　　(1)J地与起点之间的距离为多少千米？ 　　(2)若汽车每千米耗油0.12升。这天检修班从起点开始，最后到达J地，一共耗油多少升(精确到0.1升)？ 解：(1)规定向北为正，向南为负， 则路程为(＋10)＋(－4)＋(＋6)＋(＋2)＋(－5)＋(＋12)＋(－3)＋(＋9)＋(－10)＋(＋7) =10－4＋6＋2－5＋12－3＋9－10＋7 =24(千米)。 答：J地与起点之间的距离为24千米。 (2)(10＋4＋6＋2＋5＋12＋3＋9＋10＋7)×0.12=68×0.12=8.16≈8.2(升)。 答：一共耗油8.2升。 【点悟】 (1)用正数和负数表示具有相反意义的量，列式计算。 (2)合理运用运算律，能使运算过程简便。 【变式5】 一件商品的原售价为2 000元，销售时先提价10%，再降价10%，则现在的售价与原售价相比(　B　) A.提高了20元 B.减少了20元 C.提高了10元 D.没有变化 【解析】 2 000×(1＋10%)×(1－10%)－2 000=－20(元)，即现在的售价与原售价相比减少了20元。 题型六　近似数与科学记数法 【典例6】 某自动控制器的芯片中含有2 020 000 000 个晶体管，数据2 020 000 000用科学记数法可表示为(　B　) A.0.202×1010 B.2.02×109 C.20.2×108 D.2.02×1010 【点悟】 科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为正整数。在确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同。 【变式6】 近似数3.60×105精确到　千　位。  【解析】 因为题目中3.60中0所在的数位是千位， 所以3.60×105精确到千位。 1.的倒数是(　A　) A. C.－ D.－ 2.在数2，－2，，－中，最小的为(　A　) A.－2 B. C.－ D.2 3.某市冬季中的一天，中午12时的气温是－3 ℃，经过6小时气温下降了7 ℃，那么当天18时的气温是(　B　) A.10 ℃ B.－10 ℃ C.4 ℃ D.－4 ℃ 4.下列说法中，正确的是(　D　) A.有理数的绝对值一定比0大 B.有理数的相反数一定比0小 C.如果一个数的相反数与绝对值相等，那么这个数是0 D.互为相反数的两个数的绝对值相等 5.若(a－2)2＋|b＋3|=0，则ab=　－6　。  6.某电商平台元旦期间的销售额最终定格在14.3亿元。数据14.3亿用科学记数法表示为　1.43×109　。  7.把下列各数填入相应的横线： －5，，0，＋1.5，－30%，－(－6)，。 有理数：　－5，，0，＋1.5，－30%，－(－6)　；  正数：  ，＋1.5，－(－6)，　；  负数：　－5，－30%　；  分数：  ，＋1.5，－30%　。  8.用简便方法计算： (1)×24； (2)－×(－112)＋×34×23。 解：(1)原式=×24－×24－×24 =4－18－15 =－29。 (2)原式=×112－×34×23 ==12。 9.下面是小明同学做过的一道题，请先阅读解题过程，然后回答所提出的问题。 计算：－14－(1－0.5)×÷[－2－(－3)2]。 解：原式=1－÷(－11)　第1步 =1－÷(－11)　第2步 =1－　第3步 =。　第4步 (1)上述解法中，从第　1　步开始出现错误。  (2)请写出本题的正确解法。 解：(2)原式=－1－÷(－2－9) =－1－÷(－11) =－1－ =－1＋ =－。 10.以2厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上的点A，B，C刚好对着直尺上的刻度2，刻度8和刻度10，如图所示。设点A，B，C在数轴上所表示的数的和是p，该数轴的原点为O。 第10题图 (1)若点A所表示的数是－1，则点C所表示的数是　3　。  (2)若点A，B所表示的数互为相反数，求p的值。 (3)若点C，O之间的距离为4厘米，求p的值。 解：(2)若点A和B所表示的数互为相反数，则原点O在刻度5的位置， 由点O表示0，1 cm代表0.5个单位长度可得，点A，B，C所表示的数分别为－1.5，1.5，2.5， 所以p=－1.5＋1.5＋2.5=2.5。 (3)因为点C，O之间的距离为4厘米， 所以点O在直尺刻度6或刻度14的位置。 ①当点O在刻度6的位置时，同(2)可得点A，B，C所表示的数分别为－2，1，2， 所以p=－2＋1＋2=1； ②当点O在刻度14的位置时，同理可得点A，B，C所表示的数分别为－6，－3，－2， 所以p=－6＋(－3)＋(－2)=－11。 综上所述，p的值为1或－11。 11.数轴上表示整数的点称为整点。某数轴以1 cm为1个单位长度，若在这个数轴上随意画出一条长为50 cm的线段AB，则线段AB盖住的整点个数是(　D　) A.50 B.51 C.49或50或51 D.50或51 【解析】 若线段AB的端点恰好与整点重合，则线段AB刚好盖住51个整点；若线段AB的端点不与整点重合，则线段AB盖住50个整点，则线段AB盖住的整点个数是50或51。 12.计算：÷|24－(－3)2|×(－5)=　－3　。  【解析】 原式=÷|24－9|×(－5)=9÷15×(－5)=－3。 13.将从1开始的连续自然数按如图所示的规律排列，则2 026的位置在第　46　行第　1　个。  第13题图 【解析】 寻找规律得，前1行共有1个数，前2行共有1＋3=4=22 个数，前3行共有1＋3＋5=9=32 个数，…，前n 行共有1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)=n2 个数。 因为2 025=452，所以2 026在第46行。 又因为第46行的数从左到右依次排列， 所以2 026的位置在第46行第1个。 14.根据以下素材，探索完成任务。 哪种积分方式得分更高？ 素材1 某班级利用积分制鼓励每人每天需完成10道计算题，小明每天实际完成的题量与规定数量有出入，下表是小明某周每天完成的情况(以10题为标准，超出记为正，少做记为负)： 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 题量/道 ＋2 －1 －3 ＋4 ＋1 素材2 积分有两种计算方式： 方式A：实行固定积分制，每完成1道题奖励10积分。 方式B：实行多劳多得制，积分按日计算，每完成1道题得9积分，若当天超出10道，则超出部分每道额外得12积分；若当天不足10道，则每少1道扣5积分。 问题解决 任务1 (1)该周小明做题最多的一天比最少的一天多完成　7　道题。  任务2 (2)该周小明共完成多少道计算题？ 任务3 (3)请判断该周用哪种积分计算方式对小明更有利(通过计算说明理由)。 解：(2)10×5＋(2－1－3＋4＋1) =50＋3 =53(道)。 答：该周小明实际完成53道计算题。 (3)用方式B对小明更有利。理由如下： 方式A：53×10=530(分)； 方式B：53×9＋(2＋4＋1)×12＋(－1－3)×5 =477＋7×12－4×5 =477＋84－20 =541(分)。 因为530＜541， 所以用方式B对小明更有利。 15.如图，已知数轴上点A表示的数为6，点B表示的数为－4，C为线段AB的中点。动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t(t＞0)秒。 (1)点C表示的数是　1　。  (2)当t=　5　秒时，点P到达点A处。  (3)点P表示的数是　－4＋2t　(用含字母t的代数式表示)。  (4)当t的值为多少时，线段PC的长为2个单位长度？ 第15题图 解：(1)[6＋(－4)]÷2=2÷2=1。 故点C表示的数是1。 (2)[6－(－4)]÷2 =10÷2 =5(秒)， 所以当t=5秒时，点P到达点A处。 (4)若点P在点C左边， －4＋2t=1－2， 解得t=1.5； 若点P在点C右边， －4＋2t=1＋2， 解得t=3.5。 综上所述，当t=1.5或3.5时，线段PC的长为2个单位长度。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1　有理数及其运算 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 题型一　有理数的分类 【典例1】 将下列各数填在相应的横线上。 －3.8，－20%，4.3，－，42，0，－，－32。 整数： ；  分数： ；  正数： ；  负数： 。  【变式1】 若m表示任意的有理数，则下列式子中，一定表示负数的是( ) A. －m B. －m2 C. －m2－1 D. －(m－1)2 题型二　数轴、相反数、绝对值、倒数 【典例2】 下列说法中，正确的是( ) A. －1的倒数是1 B. 两个数比较，绝对值大的反而小 C. －a不一定是负数 D. 符号相反的两个数互为相反数 【点悟】 (1)互为相反数的两个数的和等于0。 (2)0没有倒数。 (3)绝对值的几何意义为该数在数轴上的对应点到原点的距离。 【变式2－1】 如图，在数轴上用①，②，③，④注明了四段的范围，若某段上有两个整数，则这段是( ) 变式2－1图 A.① B.② C.③ D.④ 【变式2－2】 如图，数轴上每一小段的长度为1，点A，B，C，D在数轴上对应的数分别为a，b，c，d。 变式2－2图 (1)若a与d互为相反数，则c= 。  (2)若|b|＞|d|，则c 0(填“＞”“＜”或“=”)，此时在a，b，c，d中，可能互为相反数的是 。  题型三　有理数的大小比较 【典例3】 把32，(－2)3，0，，－(2－5)，＋(－1)表示在数轴上，并将它们按从小到大的顺序排列(用“＜”连接)。 　 【变式3－1】 a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示。把a，－a，b，－b，0按照由小到大的顺序排列，正确的是( ) 变式3－1图 A.－b＜－a＜0＜b＜a B.－a＜b＜0＜－b＜a C.－a＜－b＜0＜b＜a D.－b＜－a＜0＜a＜b 【变式3－2】 绝对值不大于3的整数共有 个。  题型四　有理数的运算 【典例4】 计算： (1)－12－(－4.2)； (2)－99×36； (3)－81÷÷(－16)； (4)－32×。 【变式4－1】 用分配律计算，去括号后正确的是( ) A.－ B.－ C.－ D.－ 【变式4－2】 计算： (1)－12 026×(－5)＋|－4|＋； (2)－33＋×(－24)； (3)(－370)×＋0.25×24.5－5×(－25%)。 题型五　有理数的应用 【典例5】 某供电局路线检修班乘汽车沿南北方向检修路线，检修班的记录员把当天行车情况记录如下： 到达 地点 起点 A B C D E F G H I J 前进 方向 北 南 北 北 南 北 南 北 南 北 所走 路程 /km 0 10 4 6 2 5 12 3 9 10 7 　　(1)J地与起点之间的距离为多少千米？ 　　(2)若汽车每千米耗油0.12升。这天检修班从起点开始，最后到达J地，一共耗油多少升(精确到0.1升)？ 【变式5】 一件商品的原售价为2 000元，销售时先提价10%，再降价10%，则现在的售价与原售价相比( ) A.提高了20元 B.减少了20元 C.提高了10元 D.没有变化 题型六　近似数与科学记数法 【典例6】 某自动控制器的芯片中含有2 020 000 000 个晶体管，数据2 020 000 000用科学记数法可表示为( ) A.0.202×1010 B.2.02×109 C.20.2×108 D.2.02×1010 【点悟】 科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为正整数。在确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同。 【变式6】 近似数3.60×105精确到 位。  1.的倒数是( ) A. C.－ D.－ 2.在数2，－2，，－中，最小的为( ) A.－2 B. C.－ D.2 3.某市冬季中的一天，中午12时的气温是－3 ℃，经过6小时气温下降了7 ℃，那么当天18时的气温是( ) A.10 ℃ B.－10 ℃ C.4 ℃ D.－4 ℃ 4.下列说法中，正确的是( ) A.有理数的绝对值一定比0大 B.有理数的相反数一定比0小 C.如果一个数的相反数与绝对值相等，那么这个数是0 D.互为相反数的两个数的绝对值相等 5.若(a－2)2＋|b＋3|=0，则ab= 。  6.某电商平台元旦期间的销售额最终定格在14.3亿元。数据14.3亿用科学记数法表示为 。  7.把下列各数填入相应的横线： －5，，0，＋1.5，－30%，－(－6)，。 有理数： ；  正数： ；  负数： ；  分数： 。  8.用简便方法计算： (1)×24； (2)－×(－112)＋×34×23。 9.下面是小明同学做过的一道题，请先阅读解题过程，然后回答所提出的问题。 计算：－14－(1－0.5)×÷[－2－(－3)2]。 解：原式=1－÷(－11)　第1步 =1－÷(－11)　第2步 =1－　第3步 =。　第4步 (1)上述解法中，从第 步开始出现错误。  (2)请写出本题的正确解法。 10.以2厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上的点A，B，C刚好对着直尺上的刻度2，刻度8和刻度10，如图所示。设点A，B，C在数轴上所表示的数的和是p，该数轴的原点为O。 第10题图 (1)若点A所表示的数是－1，则点C所表示的数是 。  (2)若点A，B所表示的数互为相反数，求p的值。 (3)若点C，O之间的距离为4厘米，求p的值。 11.数轴上表示整数的点称为整点。某数轴以1 cm为1个单位长度，若在这个数轴上随意画出一条长为50 cm的线段AB，则线段AB盖住的整点个数是( ) A.50 B.51 C.49或50或51 D.50或51 12.计算：÷|24－(－3)2|×(－5)= 。  13.将从1开始的连续自然数按如图所示的规律排列，则2 026的位置在第 行第 个。  第13题图 14.根据以下素材，探索完成任务。 哪种积分方式得分更高？ 素材1 某班级利用积分制鼓励每人每天需完成10道计算题，小明每天实际完成的题量与规定数量有出入，下表是小明某周每天完成的情况(以10题为标准，超出记为正，少做记为负)： 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 题量/道 ＋2 －1 －3 ＋4 ＋1 素材2 积分有两种计算方式： 方式A：实行固定积分制，每完成1道题奖励10积分。 方式B：实行多劳多得制，积分按日计算，每完成1道题得9积分，若当天超出10道，则超出部分每道额外得12积分；若当天不足10道，则每少1道扣5积分。 问题解决 任务1 (1)该周小明做题最多的一天比最少的一天多完成 道题。  任务2 (2)该周小明共完成多少道计算题？ 任务3 (3)请判断该周用哪种积分计算方式对小明更有利(通过计算说明理由)。 15.如图，已知数轴上点A表示的数为6，点B表示的数为－4，C为线段AB的中点。动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t(t＞0)秒。 (1)点C表示的数是 。  (2)当t= 秒时，点P到达点A处。  (3)点P表示的数是 (用含字母t的代数式表示)。  (4)当t的值为多少时，线段PC的长为2个单位长度？ 第15题图 学科网（北京）股份有限公司 $