专题14.4 全等三角形章节复习 同步讲义 -2026-2027学年人教版新教材数学八年级上册

本讲义系统梳理全等三角形的定义、性质、判定（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）及角平分线的性质与判定，结合思维导图构建知识网络，形成从概念到性质、判定再到应用及尺规作图的完整学习支架。 资料通过19个题型讲练（含倍长中线、旋转等模型）、中考真题及分层训练，培养几何直观与推理意识，如动态动点问题提升空间观念，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用能力。

null 专题14.4 全等三角形（章节复习）「重点难点同步培优讲义」 （知识梳理+19个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共53题） 【人教版数学新教材•八年级上册（第14章 全等三角形）原卷版】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 全等三角形 2 知识点二 全等三角形的性质 3 知识点三 全等三角形的判定 3 知识点四 角的平分线的性质和判定 5 题型讲练 5 题型一 全等三角形的性质 5 题型二 全等的性质和SAS综合(SAS) 6 题型三 全等的性质和ASA(AAS）综合(ASA或者AAS) 7 题型四 全等的性质和SSS综合(SSS) 8 题型五 全等的性质和HL综合(HL) 9 题型六 添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合) 10 题型七 灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 11 题型八 结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 12 题型九 倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 13 题型十 旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 15 题型十一 垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 17 题型十二 全等三角形综合问题 18 题型十三 尺规作一个角等于已知角 19 题型十四 过直线外一点作已知直线的平行线 20 题型十五 尺规作图一作三角形 21 题型十六 利用全等图形求正方形 23 题型十七 作角平分线(尺规作图） 24 题型十八 角平分线的性质与判定定理 25 题型十九 角平分线性质的实际应用 26 中考真题演练 27 难度分层训练 29 【基础夯实】 29 【培优拔高】 31 知识点一 全等三角形 （一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 （二）全等三角形中的对应元素 1、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F。 对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF。 对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。 2、对应元素的确定方法 （1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。 （2）图形位置确定法 ①公共边一定是对应边； ②公共角一定是对应角； ③对顶角一定是对应角; （3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。 （三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 知识点二 全等三角形的性质 （一）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 （二）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。 ∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）。 ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。 知识点三 全等三角形的判定 1.判定全等三角形（边边边） 三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 2. 判定全等三角形（边角边） （1）用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B') ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。 ②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。 ③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D'; ④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。 （2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 3.判定全等三角形（角边角） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 4. 判定全等三角形（角角边） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 5. 判定全等三角形（直角边、斜边） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 知识点四 角的平分线的性质和判定 （一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 （二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 （三） 角的平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 几何表示： ∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上 题型一 全等三角形的性质 【典例精讲】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，，，D为的中点．点P在线段上以4cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上以a cm/s的速度由点C向点A运动．设运动的时间为t s． (1)填空：______cm，______cm（用含t，a的代数式表示）； (2)当时，若，求此时t的值； (3)当时，以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形仍全等，求对应的t，a的值． 【变式训练】（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，点A、B、C在同一直线上，点在上，连接并延长交于点，且，，． (1)求的长； (2)若，猜想的度数，并说明理由． 题型二 全等的性质和SAS综合(SAS) 【典例精讲】如图，点E在BC上，，． (1)说明：； (2)若，求的度数． 【变式训练】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，在和中，，，，在同一条直线上，连接，， (1)写出一组平行的边，并说明理由； (2)在（1）的条件下，若的面积为10，，求的面积． 题型三 全等的性质和ASA(AAS）综合(ASA或者AAS) 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图所示，在中，于，于，与交于点，且． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【变式训练】．（25-26八年级上·广西贵港·期末）岳阳楼位于湖南省岳阳市岳阳楼区，地处岳阳古城西门城墙之上，因范仲淹作《岳阳楼记》著称于世，是古代四大名楼之一，设，两点分别为岳阳楼底座的两端（其中，两点均在地面上）．因为，两点间的实际距离无法直接测量，某学习小组分别设计出了如下两种方案： 甲：如图①，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可得线段的长； 乙：如图②，先确定直线，过点作，在点处用测角仪确定，射线交直线于点，测出的长即可得线段的长； 问：甲、乙两位同学的方案都合理吗？请用所学知识分别论证． 题型四 全等的性质和SSS综合(SSS) 【典例精讲】（24-25八年级上·甘肃庆阳·期中）两组邻边分别相等的四边形，我们称它为筝形．如图，在筝形中，，，，相交于点． (1)求证：． (2)如果，，求筝形的面积． 【变式训练】（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）（1）如图1，四边形中，，，E、F分别在、上，且，探究并直接写出、、之间的数量关系； （2）如图2，四边形中，，，E、F分别在、上，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）如图3，四边形中，，，若E在的延长线上，F在的延长线上，仍满足，直接写出与的数量关系． 题型五 全等的性质和HL综合(HL) 【典例精讲】（25-26八年级上·广东梅州·阶段检测）如图所示，E，F分别为线段上的两个动点，且于点E，于点F，若，，交于点M． (1)求证：，． (2)当E，F两点移动到如图所示的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立，说明理由． 【变式训练】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，，，，与交于点，连结． (1)求证：； (2)过点作于点，于点，求证：； (3)若，求的度数（直接写出答案）． 题型六 添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合) 【典例精讲】（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，点、、、四点共线，，，添加一个条件，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·河南郑州·期末）学完三角形和图形的轴对称相关知识后，老师出示了以下问题： (1)【基础探究】如图（1），点分别在线段上，与相交于点，，若要使，需要添加一个条件．请从“条件：①；②；③”中选择一个你认为正确的条件，说明． (2)【类比迁移】如图（2），在中，，，分别平分 和，，交于点．小明发现，图（1）中，若连接，则和关于线段所在的直线成轴对称图形，但图（2）不是轴对称图形，于是小明过点作的对称点，构造出轴对称图形．得出以下结论：①；②；③；④，其中正确的是 （填序号）． (3)【拓展应用】如图（3），点是平分线上的一点，、分别是、边上的动点，若使，请直接写出和的数量关系． 题型七 灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【典例精讲】（25-26八年级上·广东广州·期中）【探究】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为__________． A．    B． C． D． 【应用】 （2）提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 （3）根据以上经验，如图3，，，，连接、，E是的中点，证明：． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·单元复习）如图，在中，．点在内，连接，，且的平分线交的延长线于点，连接．求证：． 题型八 结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 【典例精讲】（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法） (1)在图①中的边上找一点E，使得； (2)在图②中画出一个，使，D为格点（点D不与点C重合）； (3)在图③中的边上找一点E，连接，使． 【变式训练】（24-25八年级上·广东汕头·阶段检测）（1）如图1，是的平分线，点是上一点，点是上一点，在上求作一点，使得，请保留清晰的作图痕迹． （2）如图2，在中，，，、分别是和的角平分线，与相交于点，请探究线段、、之间的关系，请证明你的结论． 题型九 倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）【问题原型】在数学活动课上，老师给出以下问题：如图1，是的中线，，求证：． 【解决问题】小聪同学想到这个问题可能与已学过的“大边对大角”有关，但小明同学随即提出疑问：题目所涉及的和并不在同一个三角形中，因此不能直接用“大边对大角”进行证明，小强同学由“是的中线”想到了一种思路：如图2，延长至E，使，连接，得到，易证，这样就将已知的不在同一个三角形中的两个角的大小关系转化为在同一个三角形中两个角的大小关系． 请根据小强同学的思路写出证明的完整过程． 【变式训练】（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）综合与实践： 【问题提出】某中学数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在 中 ，，，是 的中点，求边上的中线 的取值范围． 【问题探究】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接．依据“”可以证明：， 这样 的取值范围迎刃而解． (1)请写出 的推理过程； (2)探究得出 的取值范围是_______； 【问题拓展】 (3)如图2，中，，，是的中线，，垂足为，，且，求的长． 题型十 旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】（24-25八年级上·山东德州·期中）已知在中，，在中．，，点、、在同一条直线上，与相交于点，连接． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当时，完成下列问题： ①判断与的关系； ②若，，求线段的长． 【变式训练】已知：在中，于点，． (1)如图1，的度数为________度． (2)如图2，点、分别在、上，且，连接、，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，交于点，过点作于点，连接，点在延长线上，连接、，若，判断线段与的数量和位置关系，并证明你的结论． 题型十一 垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】（24-25八年级上·云南文山·阶段检测）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 【变式训练】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，三点在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)当满足__________时，？ 题型十二 全等三角形综合问题 【典例精讲】（24-25八年级上·黑龙江·单元测试）如图，为等腰直角三角形，，直线经过点A且绕点A在所在平面内转动，作，为垂足． (1)如图①，求证：； (2)在图②和图③中，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出三条线段的数量关系． 【变式训练】（23-24八年级上·湖南岳阳·期中）如图①，在△中，，90°，直线是过点的任意一条直线，于点，于点．    (1)求证：△△． (2)猜想，，三条线段之间的数量关系．（不写证明） (3)在图②中，将图①中的直线绕点逆时针旋转一任意角度，经过三角形的内部（不与，重合）时，上述三条线段之间又有怎样的数量关系？请写出结论，并画出图形． 题型十三 尺规作一个角等于已知角 【典例精讲】（25-26八年级上·重庆·期中）如图，Rt中，，，是上一点，，且，，与交于点，过点作的垂线交的延长线于点，延长，交于点，，垂足为．有下列结论：①；②；③；④．正确的结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式训练】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中， ，E是的中点，平分． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 题型十四 过直线外一点作已知直线的平行线 【典例精讲】（25-26八年级上·广西桂林·期末）如图，已知，延长至D． (1)求作：在射线的上方作，使得．（要求：利用尺规作图完成，不写作法，保留作图痕迹） (2)结合（1）所作的图形，求证： 【变式训练】（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）【阅读与思考】 （1）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图1所示，由作图可知，依据_______（选择“”、“”、“”、“”、“”中适合的一个填写）可以判定，从而得到． 【应用与拓展】 （2）如图2，E是线段上一点，点D在的延长线上，连接、，且，； ①尺规作图：在射线的左侧作，使得，交于点F（不写作法，保留作图痕迹）． ②判断与有怎样的数量关系，并证明你的结论． 题型十五 尺规作图一作三角形 44．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）要求过直线外一点，作直线，使得，嘉嘉和淇淇尺规作图的过程如图所示，下列判断正确的是（　　） A．只有嘉嘉的正确 B．只有淇淇的正确 C．两人的都不正确 D．两人的都正确 【变式训练】（25-26八年级上·北京门头沟·期末）下面是小亮设计的尺规作图过程： 已知：如图，直线和直线外一点． 求作：直线的平行直线，使它经过点． 作法：①过点作水平直线交直线于点； ②在射线上取一点A（），以点为圆心，长为半径画弧，与射线交于点； ③以点为圆心，长为半径画弧，交线段的延长线于点； ④以点为圆心，长为半径画弧，两弧在直线的上方交于点； ⑤作直线． 所以直线就是所求作的平行线． 根据小亮设计的尺规作图过程，回答以下问题： (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明： 证明：连接，， ∵，， ∴，（依据： ） ∴ = ， ∴ 直线． 题型十六 利用全等图形求正方形 【典例精讲】．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）下面是小明设计的“已知两边及夹角作三角形”的尺规作图过程． 已知：线段a，b及． 求作：，使得，，． 作法：如图， ①以O为圆心，a长为半径作弧，交于点P； ②以O为圆心，b长为半径作弧，交于点Q； ③作射线； ④以A为圆心，长为半径作弧，交于点B； ⑤分别以A，B为圆心，，长为半径作弧，两弧交于直线上方的点C； ⑥连接、． 就是所求作的三角形． 根据小明设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明： 证明：，， ① ， ② ，（ ③ ） （ ④ ）（填推理的依据） ，，，． 就是所求作的三角形． 【变式训练】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）如图，已知线段b和． (1)请用无刻度的直尺和圆规作；使，；（保留作图痕迹，不写作法） (2)请作适当的辅助线证明． 题型十七 作角平分线(尺规作图） 【典例精讲】（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，在中，．以点A为圆心，适当的长为半径画弧，分别交，于D，E两点，再分别以点D、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，射线交于点G，若，，则的面积为（　　） A．12 B．16 C．24 D．32 【变式训练】（25-26八年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，在中，． (1)①在图1中作的平分线交于点D（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； ②在①的条件下，若，，求的面积． (2)如图2，平分，F是线段上一点，延交线段于H点，，求证：． 题型十八 角平分线的性质与判定定理 【典例精讲】如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点E，，，则的面积等于__________． 【变式训练】（25-26八年级上·江西宜春·期末）课本再现 我们知道，角的平分线上的点到角两边的距离相等．反过来，交换这个性质的题设和结论，得到的命题还成立吗？也就是说，到角两边距离相等的点一定在角的平分线上吗？通过判定两个三角形全等，可以得到：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． (1)定理证明 已知：如图，点在内部，，，垂足分别为，且．求证：点在的平分线上． (2)定理应用 如图，四边形中，，，求证：平分． 题型十九 角平分线性质的实际应用 【典例精讲】如图，两条公路，交于点O，村庄M，N的位置如图所示，M在公路上，现要修建一个快递站P，使快递站到两条公路的距离相等，且到两村庄的距离也相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．    【变式训练】计算 (1)． (2)． (3)如图，已知：，，，求证：． (4)如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m、n的距离也必须相等．试问发射塔应修在哪儿？在图上标出P点位置．（保留痕迹，不写作法） 【真题演练1】（2026·云南·中考真题）如图，，，点是线段的中点．求证：． 【真题演练2】2026·山东·中考真题）如图，直线，直线分别交，于点，．以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点；作射线交于点．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【真题演练3】（2024·山东青岛·中考真题）已知：如图，四边形，E为边上一点． 求作：四边形内一点P，使，且点P到的距离相等． 【真题演练4】（2024·山东泰安·中考真题）如图，中，，分别以顶点A，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线分别与，交于点和点；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和点，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，若射线恰好经过点，则下列四个结论： ①；②垂直平分线段；③；④． 其中，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【真题演练5】（2025·四川达州·中考真题）开启作角平分线的智慧之窗 问题：作的平分线 作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线，工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上．即得为的平分线； 讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑．认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是_______； 对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②_______________； 对丙同学的作法陷入了沉思． 任务： (1)请你将上述讨论得出的依据补充完整； (2)完成对丙同学作法的验证． 已知，求证：平分． 【基础夯实】 1．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）如图，已知，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广西贵港·期末）如图，在中，，D是边上的一点，，，则点D到的距离为（   ） A．3 B．4 C．8 D．12 3．（25-26八年级上·江西上饶·期中）小华利用已学知识用尺规作一个角等于已知角，具体情况如图所示则小华得到与全等的依据是__________． 4．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）墙面上贴有规格相同的正方形瓷砖，其示意图如下，正方形瓷砖与正方形瓷砖之间用三角形瓷砖和三角形瓷砖拼接，于点C，于点D，点B，C，E与点B，D，G分别在同一直线上．求证：． 5．（25-26八年级上·河北邢台·期末）【综合与实践】如图，工人师傅要在墙壁上的点处用电钻打孔，墙壁厚（即），与墙面垂直，要使钻头从墙壁对面的点处打出，且满足点与点的竖直距离长． 【方法】 先在点处作一直线平行于地面，并在直线上截取___________，再过点作___________，在射线上截取，连接，然后沿着的方向打孔，就能使钻头正好从满足要求的点处打出． 【任务】 (1)将上面做法中横线处补充完整； (2)利用所学的全等三角形的知识说明的理由． 【培优拔高】 1．（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，中，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点．下列结论不一定成立的是（   ） A． B．点在的平分线上 C． D．若，点到的距离为，则 2．（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，三边的长分别为，与的平分线交于点，若点到的距离为，则有下列结论：①垂直平分；②；③点到点的距离为；④．其中一定正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 3．（25-26八年级上·山东·期末）如图，平分，点P在上，点B，C分别在，边上，有如下条件：①，；②；③．选取其中一个可以得到的条件，序号是________．（写出所有可能的情况） 4．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）如图，在四边形中，，点E为对角线上一点，，且． (1)若，试求的长； (2)若，求的度数． 5．（25-26八年级上·陕西延安·期末）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题，某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习．如图，在四边形中，，，分别是直线，上的点． (1)如图①，若，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你帮该数学小组完成解题过程； (2)如图②，若，点在的延长线上，且，点在的延长线上，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14.4 全等三角形（章节复习）「重点难点同步培优讲义」 （知识梳理+19个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共53题） 【人教版数学新教材•八年级上册（第14章 全等三角形）解析版】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 全等三角形 2 知识点二 全等三角形的性质 3 知识点三 全等三角形的判定 3 知识点四 角的平分线的性质和判定 5 题型讲练 5 题型一 全等三角形的性质 5 题型二 全等的性质和SAS综合(SAS) 7 题型三 全等的性质和ASA(AAS）综合(ASA或者AAS) 10 题型四 全等的性质和SSS综合(SSS) 12 题型五 全等的性质和HL综合(HL) 16 题型六 添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合) 19 题型七 灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 22 题型八 结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 26 题型九 倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 29 题型十 旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 32 题型十一 垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 36 题型十二 全等三角形综合问题 39 题型十三 尺规作一个角等于已知角 43 题型十四 过直线外一点作已知直线的平行线 46 题型十五 尺规作图一作三角形 48 题型十六 利用全等图形求正方形 51 题型十七 作角平分线(尺规作图） 53 题型十八 角平分线的性质与判定定理 56 题型十九 角平分线性质的实际应用 58 中考真题演练 61 难度分层训练 66 【基础夯实】 66 【培优拔高】 69 知识点一 全等三角形 （一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 （二）全等三角形中的对应元素 1、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F。 对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF。 对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。 2、对应元素的确定方法 （1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。 （2）图形位置确定法 ①公共边一定是对应边； ②公共角一定是对应角； ③对顶角一定是对应角; （3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。 （三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 知识点二 全等三角形的性质 （一）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 （二）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。 ∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）。 ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。 知识点三 全等三角形的判定 1.判定全等三角形（边边边） 三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 2. 判定全等三角形（边角边） （1）用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B') ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。 ②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。 ③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D'; ④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。 （2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 3.判定全等三角形（角边角） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 4. 判定全等三角形（角角边） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 5. 判定全等三角形（直角边、斜边） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 知识点四 角的平分线的性质和判定 （一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 （二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 （三） 角的平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 几何表示： ∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上 题型一 全等三角形的性质 【典例精讲】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，，，D为的中点．点P在线段上以4cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上以a cm/s的速度由点C向点A运动．设运动的时间为t s． (1)填空：______cm，______cm（用含t，a的代数式表示）； (2)当时，若，求此时t的值； (3)当时，以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形仍全等，求对应的t，a的值． 【答案】(1)， (2) (3)，；或，； 【思路引导】本题考查了几何动点问题，涉及了全等三角形的性质，找准对应边是解题关键； （1）根据动点的运动速度、方向即可求解； （2）由，得，即可求解； （3）由得一定有一组对应边为；分类讨论若，，若，，两种情况即可； 【规范解答】（1）解：由题意得：， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵D为的中点． ∴， ∵， ∴， ∴，解得：； （3）解：∵， ∴一定有一组对应边为； 若，，由（2）得：，； 若，，则，解得：，； 【变式训练】（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，点A、B、C在同一直线上，点在上，连接并延长交于点，且，，． (1)求的长； (2)若，猜想的度数，并说明理由． 【答案】(1)5 (2)，理由见解析 【思路引导】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和，熟练掌握全等三角形的对应边，对应角相等是解题的关键． （1）根据全等三角形的对应边相等以及线段的和差关系计算即可； （2）根据全等三角形的对应角相等结合三角形内角和即可得到结论． 【规范解答】（1）证明：，， ，， ； （2）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ， ． 题型二 全等的性质和SAS综合(SAS) 【典例精讲】如图，点E在BC上，，． (1)说明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）根据平行线的性质得出相等的角，利用证明三角形全等； （2）利用全等三角形的性质得出相等的角，然后利用三角形的外角的性质即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴． 【变式训练】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，在和中，，，，在同一条直线上，连接，， (1)写出一组平行的边，并说明理由； (2)在（1）的条件下，若的面积为10，，求的面积． 【答案】(1)，理由见详解（答案不唯一） (2)8 【思路引导】本题主要考查全等三角形的性质与判定、平行线的判定定理及三角形的中线与面积关系，熟练掌握全等三角形的性质与判定、平行线的判定定理及三角形的中线与面积关系是解题的关键； （1）根据全等三角形的性质及平行线的判定定理可进行求解； （2）由题意易得，则有，然后根据可得，进而问题可求解． 【规范解答】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴； ，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ，理由如下： ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴，即， ∵的面积为10，， ∴， ∴． 题型三 全等的性质和ASA(AAS）综合(ASA或者AAS) 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图所示，在中，于，于，与交于点，且． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解答此题的关键． （1）由同角的余角相等得出，再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，，由此计算即可得出结果． 【规范解答】（1）证明：∵于，于， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【变式训练】．（25-26八年级上·广西贵港·期末）岳阳楼位于湖南省岳阳市岳阳楼区，地处岳阳古城西门城墙之上，因范仲淹作《岳阳楼记》著称于世，是古代四大名楼之一，设，两点分别为岳阳楼底座的两端（其中，两点均在地面上）．因为，两点间的实际距离无法直接测量，某学习小组分别设计出了如下两种方案： 甲：如图①，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可得线段的长； 乙：如图②，先确定直线，过点作，在点处用测角仪确定，射线交直线于点，测出的长即可得线段的长； 问：甲、乙两位同学的方案都合理吗？请用所学知识分别论证． 【答案】合理，见解析 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的应用．甲方案作出的是全等三角形，然后根据全等三角形对应边相等测量可得结论，乙方案作出的是全等三角形，然后根据全等三角形对应边相等测量可得结论． 【规范解答】答：①甲同学的方案合理． 证明：在与中， ， ， 测出的长即可得线段的长． ②乙同学的方案合理： ， ， 在与中， ， ， ． 测量的长即可得线段的长． 题型四 全等的性质和SSS综合(SSS) 【典例精讲】（24-25八年级上·甘肃庆阳·期中）两组邻边分别相等的四边形，我们称它为筝形．如图，在筝形中，，，，相交于点． (1)求证：． (2)如果，，求筝形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】此题考查全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，解题关键在于掌握全等三角形的判定定理． （1）利用证，由得，利用等腰三角形的性质即可得． （2）由（1）知，利用三角形面积公式即可求解． 【规范解答】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，，， ∴筝形的面积为． 【变式训练】（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）（1）如图1，四边形中，，，E、F分别在、上，且，探究并直接写出、、之间的数量关系； （2）如图2，四边形中，，，E、F分别在、上，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）如图3，四边形中，，，若E在的延长线上，F在的延长线上，仍满足，直接写出与的数量关系． 【答案】（1）；（2）结论仍然成立．理由见解析；（3） 【思路引导】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． （1）延长到点，使，连接，先证出，再证出，根据全等三角形的性质可得，，然后证出，根据全等三角形的性质可得，根据等量代换即可得； （2）延长到点，使，连接，先证出，再证出，根据全等三角形的性质可得，，然后证出，根据全等三角形的性质可得，根据等量代换即可得； （3）在射线上取一点，使，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，，则可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据和等量代换即可得． 【规范解答】解：如图1，延长到点，使，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴． （2）结论仍然成立．理由如下： 如图2，延长到点，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴． （3）如图3，在射线上取一点，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 题型五 全等的性质和HL综合(HL) 【典例精讲】（25-26八年级上·广东梅州·阶段检测）如图所示，E，F分别为线段上的两个动点，且于点E，于点F，若，，交于点M． (1)求证：，． (2)当E，F两点移动到如图所示的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)结论成立，理由见解析 【思路引导】（1）先证明，由全等三角形的性质得出，再证明，再由全等三角形的性质得出，． （2）同（1）求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，； （2）解：结论成立，理由如下： 同（1）得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． 【变式训练】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，，，，与交于点，连结． (1)求证：； (2)过点作于点，于点，求证：； (3)若，求的度数（直接写出答案）． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，对顶角相等，等面积法等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，可得，证明，由全等三角形性质即可求证； （）由（）得，，，则，所以，然后代入即可求解； （）设与交于点，由（）得，，由（）得，，则，根据三角形内角和定理可得，所以，然后证明，所以，从而求解． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（）得，，， ∴， ∵于点，于点， ∴， ∴； （3）解：如图，设与交于点， 由（）得，，由（）得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵于点，于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 题型六 添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合) 【典例精讲】（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，点、、、四点共线，，，添加一个条件，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有等．求出，根据推出，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【规范解答】解：， ， 即， A．，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； B．，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； C．， ， ，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； D．，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式训练】（24-25七年级下·河南郑州·期末）学完三角形和图形的轴对称相关知识后，老师出示了以下问题： (1)【基础探究】如图（1），点分别在线段上，与相交于点，，若要使，需要添加一个条件．请从“条件：①；②；③”中选择一个你认为正确的条件，说明． (2)【类比迁移】如图（2），在中，，，分别平分 和，，交于点．小明发现，图（1）中，若连接，则和关于线段所在的直线成轴对称图形，但图（2）不是轴对称图形，于是小明过点作的对称点，构造出轴对称图形．得出以下结论：①；②；③；④，其中正确的是 （填序号）． (3)【拓展应用】如图（3），点是平分线上的一点，、分别是、边上的动点，若使，请直接写出和的数量关系． 【答案】(1)选择条件②，见解析 (2)①②④ (3)或 【思路引导】本题考查选择合适的条件证明三角形全等，全等三角形的判定和性质，与角平分线有关的三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）选择条件②，利用证明即可； （2）根据轴对称的性质，得到，，证明，进而得到，根据三角形的内角和定理，角平分线的定义，求出，推出，再证明，进而推出，根据全等三角形的面积相等，推出即可； （3）作于点，于点，证明，得到，分分别与重合以及与不重合，两种情况进行讨论求解即可． 【规范解答】（1）解：选择条件②，证明如下： 在和中， ， ∴； （2）解：过点作的对称点， 则：，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∴；故②正确； ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴；故①正确； ∵，， ∴，， ∴；故④正确； 无法得到，故③错误； 综上：正确的是①②④； （3）作于点，于点，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 当分别与重合时，满足， 则：， 当与不重合时， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 题型七 灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【典例精讲】（25-26八年级上·广东广州·期中）【探究】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为__________． A．    B． C． D． 【应用】 （2）提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 （3）根据以上经验，如图3，，，，连接、，E是的中点，证明：． 【答案】（1）B；（2）；（3）见解析 【思路引导】（1）先利用三角形的中线的意义得出，再根据对顶角的性质得出，从而可证明； （2）先证明，根据全等三角形的性质可得出，再利用三角形三边关系求解即可； （3）先证明，从而可得，，再证明，从而可得，于是可得． 【规范解答】（1）解：因为是的中线， 所以， 延长至点E， 所以， 又， 所以， 故选：B； （2）解：延长至点，使，连接，如图， 则， 在与中， ， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴的取值范围为； （3）证明：延长至，使，连接，如图： ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【考点剖析】本题考查了全等的性质和综合（），倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)，确定第三边的取值范围，灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）等知识点，解题关键是掌握上述知识点． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·单元复习）如图，在中，．点在内，连接，，且的平分线交的延长线于点，连接．求证：． 【答案】见解析 【思路引导】由可证，再分别计算、、、、的值，再由证，可得． 【规范解答】证明：由题意，得． ， ． 在和中， ， ， ， ． ， ． 在和中， ， ， ． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质等知识． 熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 题型八 结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 【典例精讲】（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法） (1)在图①中的边上找一点E，使得； (2)在图②中画出一个，使，D为格点（点D不与点C重合）； (3)在图③中的边上找一点E，连接，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】本题考查了格点作图，全等三角形的性质，根据相关知识点正确作图是解题关键． （1）取格点、，由全等的性质可得； （2）由可知，和同底等高，则过点与平行的直线上的格点为点，可作； （3）取格点、，由全等的性质可得，进而得出，则与的交点即为点． 【规范解答】（1）解：如图，点即为所求作； （2）解：如图，即为所求作； （3）解：如图，点即为所求作． 【变式训练】（24-25八年级上·广东汕头·阶段检测）（1）如图1，是的平分线，点是上一点，点是上一点，在上求作一点，使得，请保留清晰的作图痕迹． （2）如图2，在中，，，、分别是和的角平分线，与相交于点，请探究线段、、之间的关系，请证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析． 【思路引导】本题考查角平分线定义，全等三角形判定及性质，尺规作图等． （1）当时，可以证明出，即以点为圆心，以长为半径画弧交于一点，则此点为所要求的点，可以作出图形； （2）在上截取，证明，继而再证明，即可得到本题答案． 【规范解答】解：（1）当时， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴以点为圆心，以长为半径画弧交于一点，则此点为所要求的点，如下图所示： （2），理由如下： 在上截取， 在和中， ， ， ， ，、分别是和的角平分线，与相交于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 题型九 倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）【问题原型】在数学活动课上，老师给出以下问题：如图1，是的中线，，求证：． 【解决问题】小聪同学想到这个问题可能与已学过的“大边对大角”有关，但小明同学随即提出疑问：题目所涉及的和并不在同一个三角形中，因此不能直接用“大边对大角”进行证明，小强同学由“是的中线”想到了一种思路：如图2，延长至E，使，连接，得到，易证，这样就将已知的不在同一个三角形中的两个角的大小关系转化为在同一个三角形中两个角的大小关系． 请根据小强同学的思路写出证明的完整过程． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质． 延长至E，使，连接，根据是中线得到，证明得到，可知，根据“大边对大角”得到，即可证明． 【规范解答】证明：延长至E，使，连接， ∵是中线， ∴ ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式训练】（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）综合与实践： 【问题提出】某中学数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在 中 ，，，是 的中点，求边上的中线 的取值范围． 【问题探究】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接．依据“”可以证明：， 这样 的取值范围迎刃而解． (1)请写出 的推理过程； (2)探究得出 的取值范围是_______； 【问题拓展】 (3)如图2，中，，，是的中线，，垂足为，，且，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）． 【思路引导】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据证明； （2）根据全等三角形的性质、三角形的三边关系计算； （3）延长交的延长线于，证明，根据全等三角形的性质解答． 【规范解答】（1）证明：延长 到点， 使 连接， 是 的中点， ， 在 和  中， ， ； （2）解：， ， ， ， 故答案为：； （3）解：如图，延长 交 的延长线于点，    ，， ，      是 的中线， ， 在 和 中， ， ， ，， ， 垂直平分， ， ． 题型十 旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】（24-25八年级上·山东德州·期中）已知在中，，在中．，，点、、在同一条直线上，与相交于点，连接． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当时，完成下列问题： ①判断与的关系； ②若，，求线段的长． 【答案】(1) (2)①，；② 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． （1）证明得到，利用三角形内角和可得； （2）①证明得到，，再由 ，得到，即可得到，； ②由可得，由外角的性质和等腰三角形的性质可求，即可求解． 【规范解答】（1）解： ， ， ， 在和中， ， ， 又 ，，， ； （2）证明：① ， ， ， 在和中， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ∴，； ② ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ． 【变式训练】已知：在中，于点，． (1)如图1，的度数为________度． (2)如图2，点、分别在、上，且，连接、，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，交于点，过点作于点，连接，点在延长线上，连接、，若，判断线段与的数量和位置关系，并证明你的结论． 【答案】(1)90 (2)见解析 (3)，； 【思路引导】（1）根据等腰三角形的性质计算即可； （2）证明即可； （3）先证出，再证可得，即可证出最终得到，． 【规范解答】（1）∵， ∴ ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ 即 （3）连接，、与分别交于L、K，过H作于M，于P， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴， ∴ ∴， 【考点剖析】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 题型十一 垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】（24-25八年级上·云南文山·阶段检测）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义和余角的性质得到，根据全等三角形的性质推出； （2）根据余角的性质得到根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论； （3）由（2）得且，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【规范解答】（1）证明：， ， 又，， ， ， ， 在和中， ， ∴， （2）解：，理由如下： ，， ， 又， ∴， ，， ， 即； （3）解：由（2）得且，， ∴， ∴ ， ∴，则， ∴． 【变式训练】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，三点在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)当满足__________时，？ 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明． （1）根据证明，得出，即可证明； （2）根据，得出，根据三角形全等的性质即可得出，得出，根据平行线的判定得出． 【规范解答】（1）证明：在和中 ， ∴； ∴， ∵， ∴． （2）解：当时，．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． 题型十二 全等三角形综合问题 【典例精讲】（24-25八年级上·黑龙江·单元测试）如图，为等腰直角三角形，，直线经过点A且绕点A在所在平面内转动，作，为垂足． (1)如图①，求证：； (2)在图②和图③中，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出三条线段的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)不成立，见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）在上截取，连接，利用全等三角形判定，得出，进而用判定得到，得出，再通过线段的等量代换即可证明； （2）在上截取，连接，用类似（1）的方法可得图②和图③中（1）的结论不成立，写出数量关系即可． 【规范解答】（1）证明：如图，在上截取，连接， 为等腰直角三角形，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ． （2）解：在图②和图③中，（1）的结论不成立． 图②中，结论：； 图③中，结论：． 对于②，截取，连接， 为等腰直角三角形，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ． 对于③，截取，连接，同理可证：． 【变式训练】（23-24八年级上·湖南岳阳·期中）如图①，在△中，，90°，直线是过点的任意一条直线，于点，于点．    (1)求证：△△． (2)猜想，，三条线段之间的数量关系．（不写证明） (3)在图②中，将图①中的直线绕点逆时针旋转一任意角度，经过三角形的内部（不与，重合）时，上述三条线段之间又有怎样的数量关系？请写出结论，并画出图形． 【答案】(1)见解析 (2) (3)图见解析，或，理由见解析 【思路引导】本题考查几何变换综合题，需要学生掌握三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． （1）利用判定； （2）根据全等三角形的对应边相等可以求得，进而即可得到结论； （3）与（1）证明过程同理，并结合图形，进行线段的等量代换以及线段的和差运算，则或，即可作答． 【规范解答】（1）证明：于点，于点，， ，，， ． 在和中 ， ． （2）解：．理由如下： 由（1）知，，则 ∴ ∴ （3）解：结论：或． 理由：设与的交点为， 当离点近时，结论为； 当离点近时，结论为（注：当为中点时，，两点重合，线段不存在）． 当离点近时，如图：    同（1）可证明， ，． ， ． 当离点近时，如图：        同理，得． 题型十三 尺规作一个角等于已知角 【典例精讲】（25-26八年级上·重庆·期中）如图，Rt中，，，是上一点，，且，，与交于点，过点作的垂线交的延长线于点，延长，交于点，，垂足为．有下列结论：①；②；③；④．正确的结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【思路引导】此题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明，推出，即可判断①正确；求出，，得到，证得，进而证明，得到，由此得到②正确；证明，得到，由此判断故③正确；过点E作于点M，得，证得，由全等三角形的性质得对应高，由此，再证，得，由此判断故④正确 ． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，故②正确； ∵ ∴， ∴， ∴，故③正确； 过点E作于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 正确的结论有4个， 故选：A 【变式训练】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中， ，E是的中点，平分． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2) 【思路引导】此题考查角平分线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解题关键是掌握角平分线的性质和判定定理． （1）过点作于点，证明，，即可求证； （2）由题可得，代入即可求解． 【规范解答】（1）证明：如图；过点作于点， ∵平分． ∴， 在与中 ， ∴， ∴， ， ∵E是的中点， ∴， 在与中， ， ∴ ， ∴， ∴； （2）∵由（1）可知， ∴． 题型十四 过直线外一点作已知直线的平行线 【典例精讲】（25-26八年级上·广西桂林·期末）如图，已知，延长至D． (1)求作：在射线的上方作，使得．（要求：利用尺规作图完成，不写作法，保留作图痕迹） (2)结合（1）所作的图形，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了作图-基本作图，平行线的判定和性质． （1）利用基本作图作即可； （2）证明，得到，根据平角的定义证明即可． 【规范解答】（1）解：如图，∠DCE为所作； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）【阅读与思考】 （1）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图1所示，由作图可知，依据_______（选择“”、“”、“”、“”、“”中适合的一个填写）可以判定，从而得到． 【应用与拓展】 （2）如图2，E是线段上一点，点D在的延长线上，连接、，且，； ①尺规作图：在射线的左侧作，使得，交于点F（不写作法，保留作图痕迹）． ②判断与有怎样的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）①见解析；②，证明见解析 【思路引导】本题考查尺规作图——作一个角等于已知角，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定，理解作一个角等于已知角的尺规作图方法，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）根据作图可得，，，依据“”可以判定，即可解答； （2）①根据作一个角等于已知角的尺规作图方法作图即可； ②由等角对等边得到，从而证明，得到，再由即可得到． 【规范解答】解：（1）由作图可得，，，依据“”可以判定，从而得到． 故答案为：． （2）①如图，即为所求． ②，理由如下： 证明：∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型十五 尺规作图一作三角形 44．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）要求过直线外一点，作直线，使得，嘉嘉和淇淇尺规作图的过程如图所示，下列判断正确的是（　　） A．只有嘉嘉的正确 B．只有淇淇的正确 C．两人的都不正确 D．两人的都正确 【答案】D 【思路引导】本题考查尺规作图的基本操作、平行线的判定定理、全等三角形的判定与性质，解读两人尺规作图对应的几何逻辑是解题关键． 根据直线平行的判定法则对嘉嘉和淇淇的尺规作图过程进行分析． 【规范解答】解：嘉嘉的作法正确．理由：由作图可知， ∴； 淇淇的作法正确．理由：在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：． 【变式训练】（25-26八年级上·北京门头沟·期末）下面是小亮设计的尺规作图过程： 已知：如图，直线和直线外一点． 求作：直线的平行直线，使它经过点． 作法：①过点作水平直线交直线于点； ②在射线上取一点A（），以点为圆心，长为半径画弧，与射线交于点； ③以点为圆心，长为半径画弧，交线段的延长线于点； ④以点为圆心，长为半径画弧，两弧在直线的上方交于点； ⑤作直线． 所以直线就是所求作的平行线． 根据小亮设计的尺规作图过程，回答以下问题： (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明： 证明：连接，， ∵，， ∴，（依据： ） ∴ = ， ∴ 直线． 【答案】(1)图见解析 (2)，， 【思路引导】本题考查尺规作图—作全等三角形，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握尺规作图的方法是解题的关键． （1）根据所给方法逐步作图即可； （2）根据作图方法可知，，根据可证，根据对应角相等得出，进而可证 直线． 【规范解答】（1）解：补全图形如下； （2）证明：连接，， ∵，， ∴，（依据：） ∴， ∴ 直线． 故答案为：，，． 题型十六 利用全等图形求正方形 【典例精讲】．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）下面是小明设计的“已知两边及夹角作三角形”的尺规作图过程． 已知：线段a，b及． 求作：，使得，，． 作法：如图， ①以O为圆心，a长为半径作弧，交于点P； ②以O为圆心，b长为半径作弧，交于点Q； ③作射线； ④以A为圆心，长为半径作弧，交于点B； ⑤分别以A，B为圆心，，长为半径作弧，两弧交于直线上方的点C； ⑥连接、． 就是所求作的三角形． 根据小明设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明： 证明：，， ① ， ② ，（ ③ ） （ ④ ）（填推理的依据） ，，，． 就是所求作的三角形． 【答案】(1)见解析 (2)；全等三角形对应角相等 【思路引导】本题主要考查了作三角形，全等三角形的性质与判定等等， （1）根据题意作图即可； （2）利用证明得到，再由可知所作三角形即为所求． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵， ， ∴．（全等三角形对应角相等） ， ， ∴就是所求作的三角形． 故答案为：；全等三角形对应角相等． 【变式训练】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）如图，已知线段b和． (1)请用无刻度的直尺和圆规作；使，；（保留作图痕迹，不写作法） (2)请作适当的辅助线证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查作图复杂作图，全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握作图技能． （1）画射线，截取，利用画一个角等于已知角的方法作即可； （2）如图所示，过点B作，证明出，即可得到． 【规范解答】（1）解：作图如下： （2）解：如图所示，过点B作 ∴ ∵， ∴ ∴． 题型十七 作角平分线(尺规作图） 【典例精讲】（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，在中，．以点A为圆心，适当的长为半径画弧，分别交，于D，E两点，再分别以点D、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，射线交于点G，若，，则的面积为（　　） A．12 B．16 C．24 D．32 【答案】B 【思路引导】过点G作于点H，根据题意得，是的角平分线，得，根据三角形面积公式，即可求出的面积． 【规范解答】解：过点G作于点H， 根据题意得，是的角平分线， ∵，， ∴， ∴． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，在中，． (1)①在图1中作的平分线交于点D（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； ②在①的条件下，若，，求的面积． (2)如图2，平分，F是线段上一点，延交线段于H点，，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【思路引导】（1）①根据角平分线的作法作图即可； ②过点作于点，由角平分线的性质得到，再结合三角形面积公式求解即可． （2）过点分别作于，于，根据角平分线的性质可得，再证明，即可得证． 【规范解答】（1）①解：即为的平分线，如图所示． ②解：如图，过点作于点． ∵平分，，， ∴， ∴ ； （2）证明：过点分别作于，于． 平分， ， ， ， 同理， ， 在和中， ， ， ． 题型十八 角平分线的性质与判定定理 【典例精讲】如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点E，，，则的面积等于__________． 【答案】 【思路引导】作于F，根据角平分线的性质定理得到，根据三角形面积公式计算即可． 【规范解答】解：过E作于F， ∵是边上的高线，平分， ∴， ∵， ∴的面积为， 【变式训练】（25-26八年级上·江西宜春·期末）课本再现 我们知道，角的平分线上的点到角两边的距离相等．反过来，交换这个性质的题设和结论，得到的命题还成立吗？也就是说，到角两边距离相等的点一定在角的平分线上吗？通过判定两个三角形全等，可以得到：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． (1)定理证明 已知：如图，点在内部，，，垂足分别为，且．求证：点在的平分线上． (2)定理应用 如图，四边形中，，，求证：平分． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直的定义，同角的补角相等，角平分线的判定等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）证明，所以，从而得证； （）过点作，，垂足分别是点，，由同角的补角相等得出，然后证明，所以，最后由角平分线的判定即可求证． 【规范解答】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在的平分线上； （2）证明：过点作，，垂足分别是点，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴点在的平分线上， ∴平分． 题型十九 角平分线性质的实际应用 【典例精讲】如图，两条公路，交于点O，村庄M，N的位置如图所示，M在公路上，现要修建一个快递站P，使快递站到两条公路的距离相等，且到两村庄的距离也相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．    【答案】见解析 【思路引导】作线段的垂直平分线，作的角平分线，则交于一点，即为点P． 【规范解答】解：点P即为所求，如图所示：    【考点剖析】本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式训练】计算 (1)． (2)． (3)如图，已知：，，，求证：． (4)如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m、n的距离也必须相等．试问发射塔应修在哪儿？在图上标出P点位置．（保留痕迹，不写作法） 【答案】(1) (2) (3)见详解 (4)见详解 【思路引导】（1）根据同底数幂的乘法、除法以及幂的乘方运算法则计算即可； （2）根据平方差公式以及多项式除以单项式的运算法则计算即可； （3）利用“”证明，即可作答； （4）线段的垂直平分线与两条道路的夹角的角平分线的交点，即是所求的点，据此作图即可． 【规范解答】（1） ； （2） ； （3）∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （4）设两条高速公路m、n的交于点E，以E为圆心画圆，分别交高速公路m、n于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于一半的长度为半径画圆弧，两弧交于点F，连接；连接，再分别以A、B为圆心，以大于一半的长度为半径画圆弧，两弧分别交于点G、H，连接，交于点P，作图如下： 即P点即为所求． 根据作图可知：是线段垂直平分线，是的角平分线， 又∵交于点P， ∴根据垂直平分线和角平分线的性质可知：点P到两个城镇A，B的距离相等，到两条高速公路m、n的距离也相等， ∴即P点即为所求． 【考点剖析】本题主要考查了整式的运算，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的尺规作图和性质，角平分线的尺规作图与性质等知识，掌握角平分线的尺规作图与性质是解答本题的关键． 【真题演练1】（2026·云南·中考真题）如图，，，点是线段的中点．求证：． 【答案】证明：∵点是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴． 【思路引导】利用判定方法“”证明即可． 【规范解答】略 【真题演练2】2026·山东·中考真题）如图，直线，直线分别交，于点，．以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点；作射线交于点．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据作图痕迹可知平分，利用平行线的性质求出的度数，进而求出，最后利用三角形内角和定理求解． 【规范解答】解：由作图可知，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 在中， 【真题演练3】（2024·山东青岛·中考真题）已知：如图，四边形，E为边上一点． 求作：四边形内一点P，使，且点P到的距离相等． 【答案】 点P即为所求． 【思路引导】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，解题的关键是掌握作角平分线和作一个角等于已知角的尺规作图方法．作的平分线，以E为顶点，为一边作，交于P，点P即为所求． 【规范解答】解：作的平分线，以E为顶点，为一边作，交于P，如图，点P即为所求． 【真题演练4】（2024·山东泰安·中考真题）如图，中，，分别以顶点A，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线分别与，交于点和点；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和点，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，若射线恰好经过点，则下列四个结论： ①；②垂直平分线段；③；④． 其中，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路引导】本题主要考查作图-复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 由作图可知垂直平分线段、平分，进而证明可判定①；再说明可得垂直平分线段可判定②；根据直角三角形的性质可得可判定③，根据三角形的面积公式即可判定④． 【规范解答】解：由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴， 由作图可知平分， ∴， ∵， ∴，故①正确， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分线段，故②正确， ∵， ∴，故③正确， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确． 故选：D． 【真题演练5】（2025·四川达州·中考真题）开启作角平分线的智慧之窗 问题：作的平分线 作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线，工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上．即得为的平分线； 讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑．认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是_______； 对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②_______________； 对丙同学的作法陷入了沉思． 任务： (1)请你将上述讨论得出的依据补充完整； (2)完成对丙同学作法的验证． 已知，求证：平分． 【答案】(1)；全等三角形的对应角相等 (2) 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质与判定，作角平分线，等边对等角，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键； （1）根据作角平分线的方法可得对甲同学和工人师傅的作法其判定全等的方法是，对于乙同学作法，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②全等三角形的对应角相等，选取全等三角形的判定方法证明，即可求解； （2）根据已知得出，进而可得，根据等边对等角可得，等量代换可得，即可得证． 【规范解答】（1）解：对甲同学和工人师傅的作法依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是 对于乙同学作法，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②全等三角形的对应角相等 证明如下：根据作图可得， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴平分； 故答案为：；全等三角形的对应角相等． （2）略 【基础夯实】 1．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）如图，已知，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查全等三角形的性质和三角形外角的性质，先求出，再由是的外角，得到，即可解答． 【规范解答】解：∵，，， ， 是的外角， ． 故选：A． 2．（25-26八年级上·广西贵港·期末）如图，在中，，D是边上的一点，，，则点D到的距离为（   ） A．3 B．4 C．8 D．12 【答案】B 【思路引导】本题考查了角平分线的性质定理，角平分线上的点到角的两边的距离相等．根据题意易求，由角平分线的性质定理可知D点到的距离等于D点到的距离的长度，则答案可解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴是的角平分线， ∴D点到和的距离相等， ∵表示D点到的距离，， ∴D到的距离为4． 故选：B． 3．（25-26八年级上·江西上饶·期中）小华利用已学知识用尺规作一个角等于已知角，具体情况如图所示则小华得到与全等的依据是__________． 【答案】 【思路引导】利用作图痕迹得到，，根据全等三角形的判定方法即可解答． 【规范解答】解：由作图痕迹得，， ． 4．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）墙面上贴有规格相同的正方形瓷砖，其示意图如下，正方形瓷砖与正方形瓷砖之间用三角形瓷砖和三角形瓷砖拼接，于点C，于点D，点B，C，E与点B，D，G分别在同一直线上．求证：． 【答案】证明：根据题意可知， ∵，， ∴在和中， ， ∴， ∴． 【思路引导】根据题意易得，然后可得，进而问题可求证． 【规范解答】略 5．（25-26八年级上·河北邢台·期末）【综合与实践】如图，工人师傅要在墙壁上的点处用电钻打孔，墙壁厚（即），与墙面垂直，要使钻头从墙壁对面的点处打出，且满足点与点的竖直距离长． 【方法】 先在点处作一直线平行于地面，并在直线上截取___________，再过点作___________，在射线上截取，连接，然后沿着的方向打孔，就能使钻头正好从满足要求的点处打出． 【任务】 (1)将上面做法中横线处补充完整； (2)利用所学的全等三角形的知识说明的理由． 【答案】(1)； (2)见解析 【思路引导】本题考查全等三角形的实际应用，掌握好全等三角形的判定定理与性质是关键． （1）根据全等三角形的判定定理进行填空即可； （2）结合条件容易证明，从而证明． 【规范解答】（1）解：由题意可知，需构造， ∴，． 故答案为：；． （2）解：由题意可知、、三点共线，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【培优拔高】 1．（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，中，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点．下列结论不一定成立的是（   ） A． B．点在的平分线上 C． D．若，点到的距离为，则 【答案】C 【思路引导】本题考查了三角形内角和，角平分线的性质，平行线的性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 结合平行线的性质以及角平分线的定义得，则，故；连接，过点分别作，结合角平线定理可得，进而可证，得到即可；运用三角形内角和得；结合角平分线的性质以及三角形面积公式列式计算，即可作答． 【规范解答】解：∵和的平分线交于点D，过点D作的平行线交于点E，交于点F． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故A是正确的，不符合题意； 连接，过点分别作，如图所示： ∵中，和的平分线交于点D， ， ， 又， ， ， ∴平分， 故B是正确的，不符合题意； ∵， ∴， ∴， 故C是错误的，符合题意； ∵点D到的距离为n， ∴， 则 故D是正确的，不符合题意； 故选：C ． 2．（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，三边的长分别为，与的平分线交于点，若点到的距离为，则有下列结论：①垂直平分；②；③点到点的距离为；④．其中一定正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了角平分线的性质和定义，线段的垂直平分线的判定，等腰三角形的性质，三角形内角和，三角形面积计算，熟练掌握相应知识是解题的关键．利用角平分线的性质以及已知条件对①②③④进行判断即可求解． 【规范解答】解：由平分，与不一定相等，因此不一定垂直平分，故不正确； ∵、分别平分、， ∴，， ∴， ∴，故正确； ∵平分， ∴点到的距离等于点到的距离， 如图，过点作于，则，连接， ∴点到的距离大于，故不正确； 如图，连接，过点作于，过点作于，过点作于， ∵、分别平分、， ∴， ∴，故正确； 综上所述，正确． 故选：C． 3．（25-26八年级上·山东·期末）如图，平分，点P在上，点B，C分别在，边上，有如下条件：①，；②；③．选取其中一个可以得到的条件，序号是________．（写出所有可能的情况） 【答案】①②③ 【思路引导】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质． 由平分，点在上，于点于点，根据角平分线的性质得，可判断①符合题意；若，由，根据“”证明，得，可判断②符合题意；若，由，根据“”证明，得，可判断③符合题意，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：①∵平分，点在上，于点于点， ，故①符合题意； ②∵平分，点分别在边上， ， 在和中， ， ， ，故②符合题意； ③在和中， ， ， ，故③符合题意， 故答案为：①②③． 4．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）如图，在四边形中，，点E为对角线上一点，，且． (1)若，试求的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)6 (2) 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质及等腰三角形的性质． （1）由“”可证，从而求得结果； （2）由全等三角形的性质可得，再由等腰三角形的性质可求解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26八年级上·陕西延安·期末）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题，某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习．如图，在四边形中，，，分别是直线，上的点． (1)如图①，若，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你帮该数学小组完成解题过程； (2)如图②，若，点在的延长线上，且，点在的延长线上，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见详解； (2)，理由见详解 【思路引导】（1）延长到点，使，连接，通过证明，得到对应角、对应边相等，继而得证，得到． （2）在的延长线上取一点，使得，连接，通过证明，得到对应角、对应边相等，继而得证，得到，根据圆周角为，得到． 【规范解答】（1）解：线段之间的数量关系为：，理由： 如图，延长到点，使，连接， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由： 如图，在的延长线上取一点，使得，连接， ，， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 即， ． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $null