2025--2026学年人教版七年级数学下册期末质量调研试卷

**基本信息** 2026年人教版七年级数学下册期末试卷，以折叠拦道闸、光线折射、《算法统宗》“隔沟计算”等真实情境为载体，覆盖二元一次方程、不等式、平行线等核心知识，梯度设计考查抽象能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|二元一次方程解、不等式性质、无理数判断|第10题以《算法统宗》为背景，考查方程组建模，体现文化传承| |填空题|10题|平方根、立方根、不等式组解集|第13题结合学生娱乐方式调查，考查数据估算，培养数据意识| |解答题|10题|平行线证明、方程组求解、几何综合|25题通过动态几何情境，分层考查平行判定、角平分线性质及分类讨论，发展推理能力与空间观念|

2026年人教版七年级数学下册期末质量调研试卷 一．选择题（共10小题） 1．下列各组是二元一次方程x﹣2y＝1的解的是（　　） A． B． C． D． 2．已知a＞b＞c，下列式子一定成立的是（　　） A．a+b＞b+c B．ab＞bc C．ac＞bc D．a+b＞c 3．如图，固定木条a，c，使∠2＝115°，旋转木条b，要使得a∥b，则∠1应调整为（　　） A．65° B．75° C．85° D．90° 4．下列各数中，是无理数的是（　　） A． B． C． D． 5．折叠拦道闸如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中BA⊥AE，垂足为A，CD∥AE，则∠ABC+∠BCD＝（　　） A．200° B．230° C．250° D．270° 6．若将个四数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是（　　） A． B． C． D． 7．下列不等式变形正确的是（　　） A．由x＞y，得x+1＜y+1 B．由x＞y，得2﹣x＜2﹣y C．由3x＞3y，得x＜y D．由，得x＞y 8．光线从空气斜射向水中时会发生折射现象，长方形ABFE为盛满水的水槽，一束光线从点P射向水面上的点D，折射后照到水槽底部的点C．测得α＝50°，β＝30°，若P，D，B三点在同一条直线上，则∠BDC的度数为（　　） A．40° B．30° C．20° D．10° 9．下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（　　） A．调查某一批导弹的杀伤半径 B．调查某电视栏目的收视率 C．调查某辆将要使用的轻轨列车的零部件质量 D．调查某一批新能源汽车的使用寿命 10．《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共10小题） 11．不等式组的解集是　 　 ． 12．若a、b是2026的两个平方根（a≠b），则a+b的值为　 　 ． 13．为引导学生合理规划周末时间，养成健康向上的课余生活习惯，学校针对学生周末娱乐方式开展专项抽样调查，科学分析学生课余时间分配情况．本次调查将学生周末主要娱乐方式分为五类：A（看视频），B（玩游戏），C（看课外书），D（运动），E（其他）．以下是根据调查结果绘制的统计图的一部分，其中每名学生只统计最主要的一项娱乐方式．则估计该校1600名学生中看视频和玩游戏为主的学生有　 　 人． 14．不等式组的解集为　 　 ． 15．的立方根是　 　 ． 16．请写出一个使为有理数的x的值：　 　 ． 17．请写出一个数轴上到原点的距离小于的点所表示的整数　 　 ．（写出一个即可） 18．　 　 ． 19．一个正整数a满足，则a＝　 　 ． 20．的平方根是 　 　 ，2的绝对值是 　 　 ． 三．解答题（共10小题） 21．解不等式组． 22．解方程组：． 23．求不等式组的解集． 24．解不等式：3（1﹣2x）＞4x﹣2，并将其解集表示在数轴上． 25．如图1，G，E是直线AB上两点，点G在点E左侧，过点G的直线GP与过点E的直线EP交于点P，直线PE交直线CD于点H，满足点E在线段PH上，∠PEG+∠PHD＝180°． （1）求证：AB∥CD； （2）如图2，点Q在直线AB，CD之间，PH平分∠QHD，GF平分∠PGB，点F，G，Q在同一直线上，且2∠Q﹣∠PGE＝40°，求∠PHD的度数； （3）在（2）的条件下，若点J是直线PG上一点，直线JH交直线AB于点K，点K在点B左侧，请直接写出∠JKB和∠PHJ的数量关系，（题中所有角都是大于0°且小于180°的角）． 26．如图，已知∠DEH+∠EHG＝180°，DE平分∠BDF，∠C＝∠A．求证：∠AEH＝∠F． 证明：∵∠DEH+∠EHG＝180°， ∴ED∥　 　 （　 　 ）， ∴∠1＝∠C（　 　 ）， ∠2＝　 　 （两直线平行，内错角相等）． ∵DE平分∠BDF， ∴∠1＝∠2， ∴∠C＝　 　 ， 又∵∠C＝∠A， ∴∠A＝　 　 ． ∴AB∥　 　 （　 　 ）． ∴∠AEH＝∠F（　 　 ）． 27．证明“两直线平行，同位角相等．” 已知：AB∥CD， 求证：∠1＝∠2． 证明：假设　 　 ，那么可以过直线AB与EF的交点O作直线GH， 使∠EOH＝∠2， ∵∠EOH＝∠2， ∴　 　 ，（　 　 ） ∴过点O有两条直线AB，GH都与CD平行， 这与基本事实“　 　 ”矛盾， ∴假设不成立， ∴∠1＝∠2． 28．【感知探究】 如图①，已知AB∥CD，点M在AB上，点N在CD上，求证：∠AME+∠E+∠CNE＝360°． 【类比迁移】 如图②，∠F、∠BMF、∠DNF的数量关系为 　 　 （不需要证明）． 【结论应用】 如图③，已知AB∥DE，∠BAC＝120°，∠D＝80°，则∠ACD＝　 　 ． 【拓展延伸】 如图④，已知AB∥CD，AF、CF分别平分∠BAE和∠DCE，探究∠AEC，∠AFC之间的关系，并说明理由． 29．如图，在三角形ABC中，点D、F在BC边上，点E在AB边上，点G在AC边上，EF与GD的延长线交于点H，∠1＝∠B，∠2+∠3＝180°． （1）试说明：EH∥AD； （2）若∠DGC＝62°，∠4＝24°，求∠H的度数． 30．已知：AB∥CD，点E、F分别在AB、CD上，M为AB与CD之间一点． （1）如图1，求证：∠EMF＝∠BEM+∠MFD； （2）如图2，∠BEM＝40°，MH平分∠EMF，∠BEM的平分线与MH的反向延长线交于点N，若∠MFD＝60°，求∠N的度数； （3）如图3，FT平分∠MFC，TE平分∠FTM，∠TMF＝90°，请求出的值． 2026年人教版七年级数学下册期末质量调研试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．【分析】把各选项的x和y的值代入方程检验即可． 【解答】解：把各选项的x和y的值代入方程检验可得： A、当 时，方程 的左边＝2﹣2×4＝﹣6，右边＝1， ∴方程左边≠方程右边， ∴不是二元一次方程的解，故A不符合题意； B、当 时，方程的左边＝3﹣2×4＝﹣5，右边＝1， ∴方程左边≠方程右边， ∴不是二元一次方程的解，故B不符合题意； C、当 时，方程左边＝5﹣2×2＝1，方程右边＝1， ∴方程左边＝方程右边， ∴是二元一次方程的解，故C符合题意； D、当 时，方程左边＝5﹣2×4＝﹣3，方程右边＝1， ∴方程左边≠方程右边， ∴不是二元一次方程的解，故D不符合题意． 故选：C． 2．【分析】根据不等式的性质逐项推理即可． 【解答】解：A，∵a＞c，根据不等式基本性质，不等式两边同时加同一个整式，不等号方向不变， ∴两边同时加b得a+b＞c+b，故A一定成立，符合题意． B，若b≤0，由a＞c可得ab≤bc，例如b＝0时，ab＝bc＝0，故B不一定成立，不符合题意． C，若c≤0，由a＞b可得ac≤bc，例如c＝0时，ac＝bc＝0，故C不一定成立，不符合题意． D，举反例：取a＝﹣2，b＝﹣3，c＝﹣4，满足a＞b＞c，此时a+b＝﹣5＜﹣4＝c，故D不一定成立，不符合题意． 故选：A． 3．【分析】根据平行的性质推理即可． 【解答】解：∵∠2＝115°，b∥a， ∴∠1＝180°﹣∠2＝65°， ∴要使得a∥b，则∠1应调整为65°． 故选：A． 4．【分析】根据无理数的定义逐项进行判断即可． 【解答】解：A．4，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； B．是无理数，故本选项符合题意； C．2，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； D．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意． 故选：B． 5．【分析】过B作BK∥CD，得到BK∥AE，推出∠C+∠CBK＝180°，∠ABK+∠BAE＝180°，得到∠ABC+∠BCD+∠BAE＝360°，由垂直的定义得到∠BAE＝90°，即可求出∠ABC+∠BCD的度数． 【解答】解：过B作BK∥CD， ∵CD∥AE， ∴BK∥AE， ∴∠C+∠CBK＝180°，∠ABK+∠BAE＝180°， ∴∠C+∠CBK+∠ABK+∠BAE＝360°， ∴∠ABC+∠BCD+∠BAE＝360°， ∵BA⊥AE， ∴∠BAE＝90°， ∴∠ABC+∠BCD＝270°． 故选：D． 6．【分析】逐一确定，，，各在数轴上的大体位置进行确定结果． 【解答】解：由数轴可知盖住的数大于0小于3， ∵，，，， ∴四个数，，，，只有被墨迹覆盖． 故选：B． 7．【分析】根据不等式的性质逐项进行分析，即可作答． 【解答】解：A、由x＞y，得x+1＞y+1，故不符合题意； B、由x＞y，得2﹣x＜2﹣y，故符合题意； C、由3x＞3y，得x＞y，故不符合题意； D、由，得x＜y，故不符合题意． 故选：B． 8．【分析】根据“对顶角相等”得∠BDC+β＝α，代入数据求解即可． 【解答】解：根据“对顶角相等”得∠BDC+β＝α， ∵α＝50°，β＝30°， ∴∠BDC＝α﹣β＝20°． 故选：C． 9．【分析】全面调查与抽样调查的优缺点：①全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查．②抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度；据此进行判断即可． 【解答】解：调查某一批导弹的杀伤半径，适合采用抽样调查，则A不符合题意， 调查某电视栏目的收视率，适合采用抽样调查，则B不符合题意， 调查某辆将要使用的轻轨列车的零部件质量，适合采用全面调查，则C符合题意， 调查某一批新能源汽车的使用寿命，适合采用抽样调查，则D不符合题意， 故选：C． 10．【分析】根据甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．可以列出相应的方程组． 【解答】解：由题意可得， ， 故选：B． 二．填空题（共10小题） 11．【分析】根据解一元一次不等式组的步骤进行求解即可． 【解答】解：解不等式x﹣3≤0得，x≤3， 解不等式x﹣2＞3x+2得，x＜﹣2， 所以不等式组的解集为x＜﹣2． 故答案为：x＜﹣2． 12．【分析】根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，据此可求出a+b的值． 【解答】解：∵a，b是2026的两个平方根，且a≠b， ∴a与b互为相反数， 若a、b是2026的两个平方根（a≠b），则a+b＝0． 故答案为：0． 13．【分析】先求出本次调查的样本容量，再用1600分别乘以样本中看视频和玩游戏为主的百分比并求和即可． 【解答】解：45÷22.5%＝200（人）， （人）， 所以，估计看视频和玩游戏为主的学生有776人． 故答案为：776． 14．【分析】根据一元一次不等式的解法分别解出两个不等式，根据不等式的解集的确定方法得到不等式组的解集． 【解答】解：解不等式1﹣2x≥﹣3得x≤2， 解不等式得x＞﹣6， ∴不等式组的解集为：﹣6＜x≤2， 故答案为：﹣6＜x≤2． 15．【分析】先计算的值，再求其立方根即可． 【解答】解：∵，2， ∴的立方根是2． 故答案为：2． 16．【分析】根据算术平方根的定义写出一个x的值使为有理数即可． 【解答】解：当x＝9时，1为有理数， ∴x的值可以是9， 故答案为：9（答案不唯一）． 17．【分析】分别估算出、的取值范围，然后举例即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴数轴上到原点的距离小于的点所表示的整数可以是1， 故答案为：1（答案不唯一）． 18．【分析】谁的立方等于﹣64，谁就是﹣64的立方根． 【解答】解：∵（﹣4）3＝﹣64， ∴4， 故答案为﹣4， 19．【分析】找出与33相邻的两个完全平方数，确定的取值范围，即可得到正整数a的值． 【解答】解：∵25＜33＜36， ∴，即， ∵， ∴a＝5． 故答案为：5． 20．【分析】8，再求8的平方根即可；20，2的绝对值是它本身． 【解答】解：∵8， ∴8的平方根为±，即±2； ∵20， ∴2的绝对值是2． 故答案为：±2；2． 三．解答题（共10小题） 21．【分析】分别解出①②，结合即可求解． 【解答】解：， 由不等式①得x＜6， 由不等式②得x≥2， 所以不等式组的解集为2≤x＜6． 22．【分析】利用代入消元法解方程组即可． 【解答】解：， 由①得：x＝y+2③， 将③代入②得：2y+4+3y＝﹣1， 解得：y＝﹣1， 将y＝﹣1代入③得：x＝﹣1+2＝1， 故原方程组的解为． 23．【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 【解答】解：， 解不等式①得：x≥﹣3， 解不等式②得：x＜﹣1， ∴原不等式组的解集为：﹣3≤x＜﹣1， ∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 24．【分析】按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【解答】解：3（1﹣2x）＞4x﹣2， 3﹣6x＞4x﹣2， ﹣6x﹣4x＞﹣2﹣3， ﹣10x＞﹣5， x＜0.5， ∴该不等式的解集在数轴上表示如图所示： 25．【分析】（1）根据对顶角可得∠PEG＝∠BEH，即可求证结论； （2）过点Q作QK∥AB，则∠GQK＝∠EGF，由角平分线的定义可知，∠PGB＝2∠EGF＝2∠GQK，∠QHD＝2∠PHD，由2∠GQH﹣∠PGE＝40°，可得∠CHQ＝20°，进而可得∠QHD＝2∠PHD＝180°﹣∠CHQ＝160°，即可得结论； （3）根据点M和点N的位置不同，分三种情况讨论即可． 【解答】（1）证明：G，E是直线AB上两点，点G在点E左侧，过点G的直线GP与过点E的直线EP交于点P，直线PE交直线CD于点H， ∵∠PEG＝∠BEH，∠PEG+∠PHD＝180°， ∴∠BEH+∠PHD＝180°， ∴AB∥CD； （2）解：过点Q作QK∥AB，如图所示， 则∠GQK＝∠EGF， 由（1）知，AB∥CD， ∴QK∥CD， ∴∠HQK＝∠CHQ， ∴∠GQH＝∠GQK+∠HQK＝∠EGF+∠CHQ， ∵GF平分∠PGB， ∴∠PGE＝2∠EGF＝2∠GQK， ∵2∠GQH﹣∠PGE＝40°， ∴2（∠EGF+∠CHQ）﹣∠PGE＝2∠EGF+2∠CHQ﹣∠PGE＝2∠CHQ＝40°， ∴∠CHQ＝20°， ∵PH平分∠QHD， ∴∠QHD＝2∠PHD＝180°﹣∠CHQ＝160°， ∴∠PHD＝80°； 即∠PHD的度数为80°； （3）解：∠MNB和∠PHM的数量关系是∠MNB+∠PHM＝100°或∠MNB﹣∠PHM＝80°或∠MNB+∠PHM＝80°， 理由如下： 在（2）的条件下，， 若点M在PG的延长线上， ∵AB∥CD， ∴∠HEN＝∠PHD＝80°， ∵∠MNB+∠PHM+∠HEN＝180°， ∴∠MNB+∠PHM＝180°﹣∠HEN＝100°； 若点M在PG上， ∵AB∥CD， ∴∠HEN＝∠PHD＝80°， ∵∠ENH+∠PHM+∠HEN＝∠ENH+∠MNB＝180°， ∴∠MNB＝∠PHM+∠HEN， ∴∠MNB﹣∠PHM＝∠HEN＝80°； 若点M在GP的延长线上， ∴∠HEN+∠PHD＝180°， ∵∠HEN＝180°﹣∠PHD＝100°， ∵∠HNE+∠PHM+∠HEN＝180°，∠MNB＝∠HNE， ∴∠MNB+∠PHM＝180°﹣∠HEN＝180°﹣100°＝80°， 综上所述，∠MNB+∠PHM＝100°或∠MNB﹣∠PHM＝80°或∠MNB+∠PHM＝80°． 26．【分析】运用平行的判定和性质即可求证． 【解答】证明：∵∠DEH+∠EHG＝180°， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∴∠1＝∠C（两直线平行，同位角相等）， （两直线平行，内错角相等）． ∵DE平分∠BDF， ∴∠1＝∠2， ∴， 又∵∠C＝∠A， ∴． ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴∠AEH＝∠F（两直线平行，内错角相等）， 故答案为：AC；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；∠DGC；∠DGC；∠DGC；DF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 27．【分析】根据平行线的判定与性质，将所给证明过程补充完整即可． 【解答】证明：假设∠1≠∠2， 那么可以过直线AB与EF的交点O作直线GH，使∠EOH＝∠2， ∵∠EOH＝∠2， ∴GH∥CD，（同位角相等，两直线平行）， ∴过点O有两条直线AB，GH都与CD平行， 这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾， ∴假设不成立， ∴∠1＝∠2． 故答案为：∠1≠∠2；GH∥CD；同位角相等，两直线平行；过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 28．【分析】（1）过点E作EF∥AB，如图①根据平行线的性质可求解； （2）如图②，过F作FH∥AB，根据平行线的性质即可得到结论； （3）如图③，过C作CG∥AB，根据平行线的性质即可得到结论； （4）过点E作EM∥CD，过点F作FN∥AB，根据平行线的性质即可得到结论． 【解答】解：感知探究， 证明：过点E作EF∥AB， 则∠AME+∠MEF＝180°， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠FEN+∠CNE＝180°， ∴∠AME+∠E+∠CNE＝360°， 类比迁移： ∠BMF＝∠MFN+∠FND． 证明：如图②，过F作FK∥AB， ∴∠BMF＝∠MFK， ∵AB∥CD， ∴FK∥CD， ∴∠FND＝∠KFN， ∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND， 即：∠BMF＝∠MFN+∠FND． 故答案为：∠BMF＝∠MFN+∠FND； 结论应用： 如图③，过C作CG∥AB， ∴∠GCA＝180°﹣∠BAC＝60°， ∵AB∥DE， ∴CG∥DE， ∴∠GCD＝∠CDE＝80°， ∴∠ACD＝20°， 拓展延伸： ∠AEC+2∠AFC＝360°， 理由如下： 过点E作EM∥CD，过点F作FN∥AB， 则∠7+∠3+∠4＝180°，∠1＝∠5， ∵AB∥CD， ∴EM∥AB，FN∥CD， ∴∠6+∠1+∠2＝180°，∠4＝∠8， ∴∠6＝180°﹣∠1﹣∠2， ∵AF平分∠BAE，CF平分∠DCE， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠7＝180°﹣∠3﹣∠4＝180°﹣2∠4，∠6＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣2∠1， ∴∠6+∠7＝180°﹣2∠1+180°﹣2∠4＝360°﹣2（∠1+∠4）， ∠5+∠8＝∠1+∠4， ∴∠6+∠7+2（∠5+∠8）＝360°﹣2（∠1+∠4）+2（∠1+∠4）＝360°， 即∠AEC+2∠AFC＝360°． 29．【分析】（1）题目已知∠1＝∠B．观察图形，∠1（即∠GDC）与∠B是直线DG和AB被直线BC所截形成的同位角．根据“同位角相等，两直线平行”，可以得出DG∥AB．利用平行性质转化角度：因为DG∥AB，根据“两直线平行，同位角相等”，直线AD截DG和AB所得的同位角相等，即∠2＝∠BAD（∠2 即∠ADG）．结合已知条件证明平行：题目已知∠2+∠3＝180°，对比两个等式：∠BAD+∠3＝180°和∠BEH+∠3＝180°，根据“同角的补角相等”，可以得出∠BAD＝∠BEH．观察图形，∠BAD和∠BEH是直线AD和EH被直线AB所截形成的同位角．根据“同位角相等，两直线平行”，得出EH∥AD； （2）由DG∥AB，根据“两直线平行，同位角相等”，∠DGC＝∠BAC．已知∠DGC＝62°，所以∠BAC＝62°由图可知，∠BAC＝∠BAD+∠4．所以∠BAD＝∠BAC﹣∠4＝62°﹣24°＝38°，因为∠2＝∠BAD，所以∠2＝38°，已知∠2+∠3＝180°，所以∠3＝180°﹣∠2＝180°﹣38°＝142°．计算∠H 的度数：由第（1）问已证EH∥AD．根据“两直线平行，内错角相等”，∠H＝∠ADG．观察图形，∠ADG 就是∠2．所以∠H＝∠2＝38°． 【解答】（1）证明：∵∠1＝∠B（已知）， ∴DG∥AB（同位角相等，两直线平行）． ∴∠2＝∠BAD（两直线平行，同位角相等）． ∵∠2+∠3＝180°（已知）， ∴∠BAD+∠3＝180°（等量代换）． ∠3+∠BEH＝180°（邻补角的定义）， ∴∠BAD＝∠BEH（同角的补角相等）． ∴EH∥AD（同位角相等，两直线平行）； （2）∵DG∥AB （已证）， ∴∠BAC＝∠DGC（两直线平行，同位角相等）． ∵∠DGC＝62°， ∴∠BAC＝62°， ∵∠4＝24°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠4＝62°﹣24°＝38°． ∵∠2＝∠BAD（已证）， ∴∠2＝38°， ∵EH∥AD（已证）， ∴∠H＝∠2（两直线平行，内错角相等）． ∴∠H＝38°． 答：∠H 的度数为38°． 30．【分析】（1）过M向左作MQ∥AB，利用平行线的性质得到∠EMQ＝∠BEM，∠FMQ＝∠MFD，然后利用角的和差解题即可； （2）设直线MH、CD交于点G，由（1）得，∠BEN+∠G＝∠N，∠BEM+∠DFM＝∠EMF，过F作FP∥MG，则有∠MFP＝∠FMH，然后根据∠DFM＝∠MFP+∠DFP解题即可； （3）设∠MFD＝x，则有∠CFT＝∠TFM＝90°﹣0.5x，过点T向右作TS∥AB，可得∠STF＝∠CFT，由（1）得∠STM+∠MFD＝∠TMF＝90°，可以求出∠STM，进而计算∠ETF，即可求比值． 【解答】（1）证明：过M向左作MQ∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥MQ∥CD（平行于同一直线的两直线相互平行）， ∴∠EMQ＝∠BEM，∠FMQ＝∠MFD（两直线平行，内错角相等）， ∴∠EMQ+∠FMQ＝∠BEM+∠MFD， ∴∠EMF＝∠BEM+∠MFD； （2）解：设直线MH、CD交于点G， ∵MH平分∠EMF，∠BEM＝40°， ∴（角平分线的性质）， 设∠EMH＝∠FMH＝α， ∵AB∥CD， 由（1）得，∠BEN+∠G＝∠N， ∴∠G＝∠N﹣∠BEN＝∠N﹣20°， 由（1）得，∠BEM+∠DFM＝∠EMF， ∴∠MFD＝∠EMF﹣∠BEM＝2α﹣40°＝60°，即α＝50°， 过F作FP∥MG，则∠MFP＝∠FMH＝α＝50°，∠DFP＝∠G＝∠N﹣20°， ∴∠MFD＝∠MFP+∠DFP＝50°+∠N﹣20°＝60°， ∴∠N＝30°； （3）解：设∠MFD＝x， ∵FT平分∠MFC， ∴∠CFT＝∠TFM＝90°﹣0.5x（角平分线的性质）， 过点T向右作TS∥AB， ∵AB∥CD， ∴TS∥CD（平行于同一直线的两直线相互平行）， ∴∠STF＝∠CFT＝90°﹣0.5x（两直线平行，内错角相等）， 由（1）得∠STM+∠MFD＝∠TMF＝90°， ∴∠STM＝90°﹣x， ∴∠FTM＝∠STF﹣∠STM＝（90°﹣0.5x）﹣（90°﹣x）＝0.5x， ∵TE平分∠FTM， ∴， ∴． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/24 8:54:27；用户：邢连强；邮箱：15269958113；学号：39535311 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $