精品解析：浙江宁波市2025-2026学年第二学期期末考试高二数学试题

宁波市2025学年第二学期期末考试 高二数学试题卷 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡“贴条形码区”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试题卷上的答案无效． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，不要折叠、不要弄破． 选择题部分（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 从，，，，这五个数中随机取两个数，则其中一个是另一个两倍的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 平面向量，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 某生物种群数量与时间之间的关系可以由函数刻画，其中常数表示该种群数量的初始值，常数表示该种群环境容纳量，常数表示内禀增长率，则（ ） A. 存在，使得函数在区间的图象是中心对称图形，且 B. 存在，使得函数在区间的图象是中心对称图形，且 C. 存在，使得函数在区间的图象是中心对称图形，且 D. 不存在，使得函数在区间的图象是中心对称图形 8. 中国茶文化源远流长，茶壶造型千姿百态．比如起源于巴蜀茶馆的长嘴壶（图1），其细长的壶嘴能隔座注水，既美观又具实用之妙．如图2，一个长嘴壶，壶身视为圆柱，壶嘴视为直线且不计容积，壶底直径16厘米，壶身高12厘米，壶嘴长40厘米，与壶身夹角为60度，壶嘴最低点连接壶底．若将壶身向壶嘴方向转15度时，刚好可以使壶中的水倒出，则将茶壶水平放置时壶中的水面高度为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设直线是三条不同的直线，平面，是两个不同的平面，则下列四个命题中正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，，则 10. 定义在 上的函数满足为偶函数，且，则（ ） A. 函数为偶函数 B. 函数为周期函数 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在内至少有个零点 11. 已知点分别是平面四边形边的中点，且，，，则（ ） A. B. C. D. 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数，则______． 13. ，是两个相互独立的随机事件，且，，则______． 14. 若对任意的，函数在区间上单调递增，则正实数的取值范围是____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某市名学生在某次数学竞赛中的成绩的频率分布直方图如下： （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计这次数学竞赛成绩的中位数和平均数；（精确到0.1） （3）估计这次数学竞赛中63分以上的人数． 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，满足． （1）求； （2）若，，求的面积． 17. 如图，在四棱锥中，，，，平面 ，． （1）求证：； （2）若，且二面角的大小为， （i）求直线与平面 所成角的大小； （ii）求 的长． 18. 已知定义在上的函数． （1）若，求证：对任意成立； （2）给定函数，若满足方程，则称是的一个“不动点”．若函数在上仅有一个“不动点”，求 的取值范围． 19. 已知函数( ，)，()． （1）求证：； （2）若对任意，存在，使得，求实数的最大值； （3）记的最大值为，最小值为 ．解关于 的不等式：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁波市2025学年第二学期期末考试 高二数学试题卷 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡“贴条形码区”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试题卷上的答案无效． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，不要折叠、不要弄破． 选择题部分（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查复数的四则运算和几何意义，属于基础题，利用复数的四则运算化简复数z，再根据其几何意义即可求解． 【详解】∵复数， ∴复数z对应的点的坐标是， ∴复数在复平面内对应的点位于第四象限． 故选：D． 2. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的定义计算即可. 【详解】由题可知. 3. 已知，，则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】应用不等式性质及特殊值法结合充分必要条件定义判断求解. 【详解】满足“”成立，“且”不成立， 又因为“且”可以得出“”， 所以“”是“且”的必要不充分条件. 4. 从，，，，这五个数中随机取两个数，则其中一个是另一个两倍的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合组合定义，利用古典概型直接求解概率即可. 【详解】由题知，从五个数中随机取两个数种类为， 又是的二倍，是的二倍，是的二倍，是的二倍， 所以其中一个是另一个两倍的情况就四种， 所以要求的概率为. 5. 平面向量，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出向量与的坐标，利用夹角公式求解即可. 【详解】因为，， 所以，， 设与的夹角为，则， 所以， 所以. 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】， . . . 7. 某生物种群数量与时间之间的关系可以由函数刻画，其中常数表示该种群数量的初始值，常数表示该种群环境容纳量，常数表示内禀增长率，则（ ） A. 存在，使得函数在区间的图象是中心对称图形，且 B. 存在，使得函数在区间的图象是中心对称图形，且 C. 存在，使得函数在区间的图象是中心对称图形，且 D. 不存在，使得函数在区间的图象是中心对称图形 【答案】A 【解析】 【分析】根据解析式得，即可得对称中心，再求出即可得答案. 【详解】由题设且，则，令， 则， 所以 ， 在区间内函数的图象关于点中心对称， 因此，，如，使函数在区间上的图象是中心对称图形， 且， 选项B、C关于大于或小于的描述均错误，选项D的“不存在”描述错误. 8. 中国茶文化源远流长，茶壶造型千姿百态．比如起源于巴蜀茶馆的长嘴壶（图1），其细长的壶嘴能隔座注水，既美观又具实用之妙．如图2，一个长嘴壶，壶身视为圆柱，壶嘴视为直线且不计容积，壶底直径16厘米，壶身高12厘米，壶嘴长40厘米，与壶身夹角为60度，壶嘴最低点连接壶底．若将壶身向壶嘴方向转15度时，刚好可以使壶中的水倒出，则将茶壶水平放置时壶中的水面高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意，茶壶水平放置时壶中的水面高度为，作出将壶身向壶嘴方向转15度时的图形，易得点在一条水平线上，，分别求出及 与，利用正弦定理即可求得答案. 【详解】设茶壶水平放置时壶中的水面高度为，将壶身向壶嘴方向转15度时水面分别与茶壶的边交于点， 取的中点为，过点作于点.则，， ，， 因，则，在中，由正弦定理，得，即（*）， 又因， ， ， 代入（*），整理得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设直线是三条不同的直线，平面，是两个不同的平面，则下列四个命题中正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据线面、面面之间平行、垂直的判定定理可逐一判断. 【详解】对于A，因为，所以垂直于内的两条相交直线， 又，所以垂直于内的两条相交直线，则，故A正确. 对于B，若，，，则与可能相交，也可能平行，如都平行于与的交线时，也满足，，，但是与相交，故B错误. 对于C，若，，，，当时，或或者与相交； 当与相交时，由线面垂直的判定定理可知，故C错误. 对于D，若，，则或， 又，所以在平面内可找到一条直线垂直于平面，由面面垂直的判定定理可知，故D正确. 10. 定义在 上的函数满足为偶函数，且，则（ ） A. 函数为偶函数 B. 函数为周期函数 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在内至少有个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知及奇偶性的定义判断A，再由已知及偶函数性质判断B，最后利用奇偶性、周期性研究函数的对称性和零点判断C、D. 【详解】因为是偶函数，所以， 因为，所以， 将 替换为，得， 结合，可得，即， A：由上推导可知，所以函数为偶函数，正确， B：由，可得， 所以函数是周期为的周期函数，正确， C：由（关于 轴对称）和周期为， 因为，所以，而， 因此， 则函数图象关于点对称，不是关于直线 对称，错误； D：在中，令，得， 因为是偶函数，所以，代入得，解得， 结合周期为，可知均为， 同理，由，可知也为， 在区间内，所有奇数点都是函数的零点，共有个， 因此至少有个零点，正确. 11. 已知点分别是平面四边形边的中点，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，由向量的加减法运算，即可判断；对于B，结合A和向量的线性运算，即可判断；对于C，结合B、向量的数量积及线性运算，即可判断；对于D由向量的线性运算及数量积运算可得，由于无法确定一定成立，即可判断. 【详解】对于A，连接, 则 , 所以，故A正确； 对于B，由A可知， 平方得， 即， 解得，故B正确； 对于C，因为 ,故C正确； 对于D，因为, 所以, 即 ， 由已知条件无法确定一定成立，故D错误. 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数，则______． 【答案】3 【解析】 【详解】由题意可得，， 所以. 13. ，是两个相互独立的随机事件，且，，则______． 【答案】0.8## 【解析】 【分析】应用概率基本性质及独立事件概率公式计算求解. 【详解】，是两个相互独立的随机事件，且，，则 14. 若对任意的，函数在区间上单调递增，则正实数的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】由函数周期求得的取值范围，讨论的不同取值范围，由取值范围求得取值范围，由题意得到集合的包含关系，建立不等式组，结合题意求得的范围. 【详解】由题意可知，即，∴，即， ∵，∴， 由题意可知， 即，解得， 当时，取最小值， 当时，取最大值， 当，即时，， 取，则，且，则，即正实数的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某市名学生在某次数学竞赛中的成绩的频率分布直方图如下： （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计这次数学竞赛成绩的中位数和平均数；（精确到0.1） （3）估计这次数学竞赛中63分以上的人数． 【答案】（1） （2）估计中位数为77.1，平均数为76.5 （3）855人 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中各小矩形的面积和为1列方程求解； （2）根据频率分布直方图中中位数左右两侧的矩形面积相等，均为，区间中点乘以相应组的频率可估计平均数，即可求解； （3）首先求出63分以上的频率，进而可得63分以上的人数. 【小问1详解】 由题意得，解得； 【小问2详解】 由（1）得成绩落在的频率为，落在的频率为，落在的频率为，落在的频率为，落在的频率为， 因为，所以中位数落在上， 则可估计中位数为， 平均数为； 【小问3详解】 设为63分以上的频率，为63分以上的人数， 则，所以， 故63分以上的人数估计为855人． 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，满足． （1）求； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理、三角恒等变换化简已知条件，由此求得. （2）利用余弦定理列方程求得，进而求得的面积. 【小问1详解】 由余弦定理，得，， 从而，， 故， ，．又，所以； 【小问2详解】 由余弦定理，得， ，，，，解得或． 当时，；当时，． 综上，的面积为或． 17. 如图，在四棱锥中，，，，平面 ，． （1）求证：； （2）若，且二面角的大小为， （i）求直线与平面 所成角的大小； （ii）求 的长． 【答案】（1）因为平面 ，平面 ，所以， 又因为，，，所以, 所以,所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）通过证明平面来证得. （2）（i）先判断为直线与平面 所成角的平面角，进而计算出线面角的大小. （ii）作出二面角的平面角，由此列方程求得的长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）因为平面 ， 由线面角的定义知，为直线与平面 所成角的平面角． 又因为，故线面所成角的大小为； （ii）因为平面 ，平面 ， 所以，又，平面，所以平面． 过 作垂线，垂足为 ， 又，平面，所以平面． 过 作垂线，垂足为 ，则为二面角的平面角． 故， 因为，所以，故， 所以，又，， 解得． 18. 已知定义在上的函数． （1）若，求证：对任意成立； （2）给定函数，若满足方程，则称是的一个“不动点”．若函数在上仅有一个“不动点”，求 的取值范围． 【答案】（1）证明：由，得， 解得，此时． 因， ，当且仅当时，即时取等，， 故对任意成立； （2）． 【解析】 【分析】（1）先由条件利用对数运算性质求出，再利用作差法计算，借助于基本不等式和对数函数的单调性证明即得证； （2）先由对数型函数的定义域为，推得恒成立，利用基本不等式得到，由函数的不动点定义推得，，换元后根据对勾函数的图形性质，结合函数与方程的思想即可求得参数的范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由的定义域为，得恒成立，即恒成立， 又，当且仅当时等号成立，故得． 设函数在上的“不动点”为 ，则， 即，整理得，， 令，则， 则在上单调递减，上单调递增， 又，，， 依题意，要使与的图象在上仅有一个交点，需使或， 又，所以或， 综上，实数 的取值范围是． 19. 已知函数( ，)，()． （1）求证：； （2）若对任意，存在，使得，求实数的最大值； （3）记的最大值为，最小值为 ．解关于 的不等式：． 【答案】（1），． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先计算，然后利用作差法比较大小即可. （2）先求出的最大值，然后将问题转化成恒成立问题，再令，求出的最小值即可. （3）先利用三角恒等变换求出的值，然后求解关于的不等式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，则，且． 注意到的分子和分母恒大于等于0，且当时，的分子最大，分母最小， 所以． 由题设，只需对任意，有成立． 令，显然，且， 即，其中，． 由，解得，或（舍去）． 当时，可取等号成立．所以，． 故，即实数 的最大值为． 【小问3详解】 设，则． 则， 即，其中． 由，得， 即，所以． 由，得（这里显然有），即． 则，，即，． 故原不等式的解集为，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $