荆山公学2025-2026学年高二下学期学业水平考试模拟卷数学（2026年06月30日）

**基本信息** 聚焦高二学业水平核心内容，以奥运会志愿者、圆锥形水杯等真实情境设计问题，融合统计、立体几何、函数等模块，考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12/36|复数、向量、统计（第3题百分位数）、集合等|基础概念与辨析，如第2题充要条件判断| |多选题|3/18|复数（第13题纯虚数）、不等式（第14题最值）、立体几何|多选项分层考查，如第15题截面与外接球| |填空题|3/9|概率（第16题抽卡片）、函数性质（第17题抽象函数）|情境化小题，如第18题平面几何最值| |解答题|3/37|概率（第19题志愿者选拔）、解三角形（第20题面积与中线）、导数（第21题单调性与零点）|综合应用，如第21题三问梯度设计，考查逻辑推理与创新意识|

荆山公学高二学业水平考试模拟卷 数 学 (考试时间:2026年06月30日 满分：100分) 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试内容：人教A版必修一+必修二+选择性必修一空间向量与立体几何。 4.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题（共36分） 1．（本题3分）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（本题3分）设向量，，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．（本题3分）某工厂抽检了51个零件，并统计了这51个零件的直径（单位：）数据，得到如下的表格：由表可知这51个零件的直径的第40百分位数为（     ） 直径/ 49 50 51 52 53 54 频数 8 9 8 13 12 1 A． B． C． D． 4．（本题3分）集合且的非空子集的个数为（   ） A．15 B．31 C．32 D．64 5．（本题3分）若，则= （   ） A． B． C． D． 6．（本题3分）已知函数 的图象向左平移（ ）个单位长度后关于轴对称，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 7．（本题3分）在正方体中，点分别在线段和上，且，，则直线和所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．（本题3分）已知为两个随机事件，，，则下列结论错误的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．若互斥，则 9．（本题3分）若关于x的不等式恒成立，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 10．（本题3分）已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 11．（本题3分）一个轴截面为倒立正三角形的圆锥形水杯，内部装有高度为的水，现将一个半径为2的实心铁球放入水杯中，恰好完全浸没，水未溢出（如图），则（   ） A．100 B．120 C．144 D．216 12．（本题3分）已知奇函数的定义域为，满足对任意、 ，且，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 13．（本题6分）已知复数：， ，则下列说法正确的是（    ） A．若为纯虚数，则 B．若为实数，则 C．复数对应的点不可能在第一、三象限的角平分线上 D．设，复数z满足，则的最大值为 14．（本题6分）若正实数满足 ，则（     ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最小值是 15．（本题6分）如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别为棱 ，的中点，则（   ）    A．平面截正方体所得的截面图形为等腰梯形 B．平面 C．异面直线与 所成角的余弦值为 D．三棱锥外接球的表面积为 第II卷（非选择题） 三、填空题（共9分） 16．（本题3分）从分别写有0，1，2，3的四张卡片中不放回地抽取两张，则抽到的两张卡片上数字之和大于3的概率为______． 17．（本题3分）已知是定义在上的函数，，且，则_______； 18．（本题3分）在平面凸四边形中，已知，，，，则的最小值为________． 四、解答题（共37分） 19．（本题12分）现有7名奥运会志愿者．其中志愿者通晓日语， 通晓俄语， 通晓韩语， 从中选出通晓日语，俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组． (1)求被选中的概率； (2)求和不全被选中的概率． 20．（本题12分）记的内角的对边分别为，面积为，已知，． (1)求； (2)若边上的中线，求； (3)若，点分别在边上，线段将分成面积相等的两部分，求的最小值． 21．（本题13分）已知函数． (1)求函数的单调性； (2)设，若函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围； (3)设，是否存在正实数，使得函数在内的最小值为6？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B B D D A C D A 题号 11 12 13 14 15 答案 B C AD BCD ABD 1．D 【详解】， 该复数的共轭复数为，在复平面内对应的点为，位于第四象限. 2．C 【详解】因为向量，， 由，得，即，得到或， 所以由可以推出，但推不出， 所以“”是“”的必要不充分条件． 3．B 【详解】首先计算， 根据百分位数的定义，第40百分位数应为这组数据从小到大排列后的第21项数据， 直径为的频数为8，直径为的频数为9，累加频数为17， 直径为的频数为8，累加频数为25，即占据第18个至第25的位置， 因此，这51个零件的直径的第40百分位数为. 4．B 【详解】因为， 所以集合有5个元素，故的非空子集个数是． 5．D 【详解】 已知，，所以 ， 已知，故，又， 因此， . 所以 ， 代入数值计算： . 6．D 【详解】由题可得， 所以， 因为函数的图象关于轴对称，所以，即， 又，所以的最小值是． 7．A 【详解】设正方体的棱长为1，以D为坐标原点， 分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向， 建立空间直角坐标系. 则，，，. ∴， ，, . 设直线和所成角为，则，所以. 8．C 【详解】对于选项A，根据对立事件的概率公式，得，故选项A正确； 对于选项B，因为，所以，故选项B正确； 对于选项C，根据概率的加法公式，得，故选项C错误； 对于选项D，因为事件互斥，所以， 因此，故选项D正确. 9．D 【详解】关于x的不等式恒成立. 1、恒成立， 即当时，恒成立， 所以只需，所以； 2、恒成立恒成立， 即当时，恒成立，而， 当a=0时，不可能对整个区间成立， 故a>0，恒成立， 所以只需，所以， 联立即，计算. 10．A 【详解】，，， ，故，故． 11．B 【详解】如图所示，为圆锥底面的圆心，根据内切球的性质可知，垂直于底面，垂足为， 则,,由于圆锥轴截面为倒立正三角形， 那么, 在中，,， 在中，， 故，， ， 当球未放入水中时,如图所示，底面直径，圆心， 在中,，， ，由于，所以. 12．C 【详解】设，定义域为， 因为是定义域为的奇函数，故， 则， 因此是定义域为的偶函数。 对任意，，由， 可得当时，，即， 因此在上单调递增；由偶函数对称性可知，在上单调递减， 由，得，且， 当时，两边同乘（不等号方向不变），得，即， 结合在上单调递增，得； 当时，两边同乘（不等号方向改变），得，即， 又在上单调递减，得； 综上，不等式的解集为. 13．AD 【详解】对于A，， 因为为纯虚数，所以，则，故A正确； 对于B，， 若为实数，则，此方程无解，故B错误； 对于C，， 若复数对应的点在第一、三象限的角平分线上， 则，解得，故C错误； 对于D，设，则，设，则， 因为复数z满足，所以，即， 则，则的最大值为点到原点的距离加上， 即的最大值为，故D正确. 14．BCD 【详解】对于A，由， 则， 当且仅当即时等号成立，所以的最小值是，故A错误； 对于B，由基本不等式得，即， 当且仅当时等号成立，所以的最大值是，故B正确； 对于C，由， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值是，故C正确； 对于D，因为，所以，又，所以， 所以，设， 由二次函数开口向上，对称轴为：， 所以该二次函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，故D正确. 15．ABD 【详解】对于A，  取 中点 ，连接，，因， 为中点， 所以，， 正方体中，，， 则，， 易得，故四边形为等腰梯形， 且平面与平面为同一平面， 即平面截正方体所得的截面图形为等腰梯形，A正确. 对于B，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，  则，，，，，，，， 所以，，， ，， 设平面的法向量为， 则，即，故可取. 因为，所以， 又平面，所以平面，B正确. 对于C，由上建系，，， 设异面直线与 所成角为， 则，C错误. 对于D，设三棱锥外接球的球心为， 则 ， 即， 解得，即球心，所以外接球半径， 故三棱锥外接球的表面积为，D正确. 16． 【详解】从分别写有0，1，2，3的四张卡片中不放回地抽取两张的基本事件有： 共6种抽法； 抽到的两张卡片上数字之和大于3的基本事件有共2种抽法， 所以抽到的两张卡片上数字之和大于3的概率为. 17．11 【详解】因为，， 所以令，故，解得， 令，故，解得，令，故，解得， 令，故，解得.故答案为：11 18． 【详解】设，则，在中，由正弦定理得， 所以， 在中，，，则， 所以 ， 因为，所以， 所以，所以的最小值为.   19．(1)，(2) 【详解】（1）由题意从7名奥运会志愿者中选出通晓日语，俄语和韩语的志愿者各1名， 共有， ， 共12种等可能情况， 被选中的情况有共4种， 故被选中的概率为； （2）事件和不全被选中的对立事件为和全被选中， 和全被选中情况有共3种， 故事件和不全被选中的概率为. 20．(1)，(2)，(3)4 【详解】（1）已知，则，解得. 因为，所以. （2），是边上的中线，   在中， . 根据余弦定理，，代入化简得. 已知，，所以，即. 由(1)知，因此. 所以. （3）由，，解得，.   由正弦定理，解得，， 则. 设，， 由平分面积得 . 结合得. 由余弦定理， 由基本不等式，等号成立当且仅当， 因此最小值为. 21．(1)在上单调递增；(2)；(3)存在，. 【详解】（1）因为，所以解得，所以函数的定义域为； 因为在上单调递增，且在上单调递增， 所以函数在上单调递增； （2）由已知，是增函数，因为函数在上有且仅有一个零点， 所以，解得，所以的范围是； （3）假设存在正实数满足题意，，则，， 设，则，， 由基本不等式有，当且仅当时等号成立， 若，则，此时满足题意， 若，即， 设，， ， 因为，所以，， 所以时，，，是增函数， 时，，，不合题意； 当时，，，是减函数， 时，，，不合题意； 综上，存在正实数，使得函数在内的最小值为6，满足条件时. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $