精品解析：浙江省宁波市九校2024-2025学年高二下学期6月期末数学试题

宁波市2024学年第二学期期末九校联考高二数学试题 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据指数函数对数函数的单调性解出集合，然后根据交集的定义计算. 【详解】由题意，， ， 于是. 故选：C 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数除法法则，结合条件,直接解出复数. 【详解】因为，所以. 故选：D. 3. 已知非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用投影向量公式和数量积的运算即可求出结果. 【详解】由，可得， 所以，所以， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：B. 4. 演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 极差 【答案】A 【解析】 【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案． 【详解】设9位评委评分按从小到大排列为． 则①原始中位数为，去掉最低分，最高分，后剩余， 中位数仍为，A正确． ②原始平均数，后来平均数 平均数受极端值影响较大，与不一定相同，B不正确 ③ 由②易知，C不正确． ④原极差，后来极差可能相等可能变小，D不正确． 【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解. 5. 若对，不等式恒成立，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦型函数的值域可得当时，，当时，，设，由的单调性及对称性可知，继而即可求解. 【详解】，所以，， 所以当， 即时，， 当，即时，， 所以当时，， 当时，， 设， 则在上单调递减，在上单调递增， 且的图象关于直线对称， 所以， 所以，即， 又，故. 所以. 故选：. 6. 如图，是正方体体对角线（含端点）上的动点，为棱（含端点）上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的最小值为 B. 异面直线与所成角的最大值为 C. 对于任意给定的，存在点，使得 D. 对于任意给定的，存在点，使得 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】以为坐标原点，建系如图，设正方体的边长为1，则， 设，，则， 设异面直线与所成的角为， 则， 因，由于，则时，， 又，，于是，则， 又，结合余弦函数的单调性可知，，故AB错误； 对于C.设，，则， 由上述分析，，， 当时，无解，故C错误； 对于D.，令，得， 即对于任意的M，存在点P使得，故D正确. 故选：D. 7. 设是定义在R上的函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若为偶函数，则为偶函数 B. 若为奇函数，则为奇函数 C. 若为单调函数且为周期函数，则为周期函数 D. 若为单调函数且为单调函数，则为单调函数 【答案】C 【解析】 【分析】ABD可举出反例，C可利用函数的周期性进行推导. 【详解】A选项，不妨设， 当时，，且， ，故为偶函数，但不是偶函数，A错误； B选项，令，当时，， ，，所以恒等于，单调递增且为奇函数， 当不是单调函数，也不是奇函数，B错误； C选项，为一个周期为的函数，则， 又为单调函数，所以， 则为一个周期为的周期函数，C正确； D选项，若的值域不是R，则无法判断该值域以外的部分是否单调， 例如，单调递增，且单调递增， 但不是单调函数，D错误 故选：C 8. 若，，其中是自然对数的底数，则（附：） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简函数，再构造函数结合函数单调性结合对数运算及单调性计算求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 设且单调递增，且，所以， 令单调递增， ， 所以，A选项错误； 因为且在R单调递增，，所以， 所以，且，所以，且， 设则在单调递增，所以，所以， 所以，B选项错误； 因为，所以，所以， 设 ， 因为单调递增，所以，C选项正确； 因为单调递减，且， 所以，D选项错误； 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个选项正确的有（ ） A. 如果由一组样本数据得到的经验回归方程是，那么经验回归直线至少经过点中的一个 B. 一组样本数据47，48，48，49，50，51，52，60，该组数据的第60百分位数为50 C. 在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好 D. 设两个变量之间的线性相关系数为，则的充要条件是成对数据构成的点都在经验回归直线上 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据经验回归直线的性质、百分位数的计算、残差的意义以及线性相关系数的性质，对选项逐一进行判断. 【详解】对于选项A：经验回归直线是由最小二乘法求得的，它不一定经过样本数据中的任何一个点，而是一定经过样本点的中心，所以A错误； 对于选项B：因为，所以第60百分位数是第5个数，即50，所以B正确； 对于选项C：在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，说明预测值与观测值的误差越小，即模型的拟合效果越好，所以C正确； 对于选项D：当时，说明两个变量完全线性相关，成对数据构成的点都在经验回归直线上；反之，若成对数据构成的点都在经验回归直线上，则两个变量完全线性相关，，所以的充要条件是成对数据构成的点都在经验回归直线上，D正确. 故选：BCD. 10. 已知函数的部分图象如图，则（ ） A. 是图象的一条对称轴 B. 在区间上单调递增 C. 函数的零点个数为11个 D. 在上的零点之和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由因式分解和余弦的二倍角公式求出函数解析式，根据函数图象得出函数的周期和所过的点，求出函数的两个参数，得到具体函数解析式，再根据余弦函数的对称轴，单调区间，零点，和最值，分别判断各选项正误. 【详解】由题意得， 由图象可知，解得，所以，解得， 所以，图象经过点，且在处递增趋势， 可得，解得，因为，所以， 可得， 当时，，所以是函数图象的对称轴，所以A正确； 当时，，可知在此区间上不单调，所以B错误； 令，即， 可知，最小正周期为， ，当时，， 当时，，解得， 易知单调递增，所以在上单调递增， 因为，所以可得大致图象： 由图可知，曲线与有11个交点，所以C正确. 令，则，解得， 当时，可知或0，则有两个零点，， 零点之和为，所以D正确； 故选：ACD. 11. 设且，已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象不是中心对称图形 B. 的图象是轴对称图形 C. 是周期函数，且最小正周期为 D. 存在最大值与最小值 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简，根据函数的对称性，周期的定义判断BC；令，，对实数的取值进行分类讨论，结合奇偶性、单调性可判断D选项；证明为曲线的对称轴，结合单调性推出矛盾，可判断A选项. 【详解】因为， 对于B选项， ， 故函数的图象关于直线对称，B对； 对于C选项，因为， 故函数是周期函数，且为函数的一个周期，C错； 对于D选项，令，， 则，故函数为偶函数， 故只需考虑函数在上的最大值和最小值即可. 当时，， 当时，，，则， 所以，函数在上的最大值为，最小值为， 此时函数既有最小值，又有最大值； 当时，同理可知，函数既有最小值，又有最大值. 综上所述，函数既有最小值，又有最大值，D对； 对于A选项，因为 ， ， 所以，故函数的图象也关于直线对称， 由B选项可知，函数的图象也关于直线对称， 当时，，， 则函数在上单调递增， 当时，函数在上单调递增， 此时函数在上单调递增， 由对称性，周期性可得若曲线有对称中心，则点为其一个对称中心， 但 ， 故函数不是中心对称图形； 当时，同理可知函数不是中心对称图形. 综上所述，函数不是中心对称图形，A正确. 故选：ABD. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项展开式通项可求得展开式中的系数. 【详解】的展开式通项为， 令，可得，因此展开式中的系数为. 故答案为：. 13. 已知的面积为，且所对的边记为，满足，则的最大值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用余弦定理结合三角形面积公式计算可得，利用基本不等式得，结合弦切互化计算可得，即可得解. 【详解】根据余弦定理，，即， 则的面积为， 所以，. 又由，可得，当且仅当时等号成立， 所以，，则为锐角， 所以， 所以的最大值为. 故答案为：. 14. 某同学进行一项投篮测试，持续投篮直至出现连续三次投篮成功（通过测试）或连续两次失败（未通过测试）.已知该同学每次投篮的成功率均为，则该同学通过测试的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】分别表示投篮失败1次、连续失败2次、成功1次、连续成功2次和连续成功3次的情况下最终通过的概率，再列出递推公式求解即可． 【详解】用表示投篮失败1次的情况下最终通过的概率， 用表示连续失败2次的情况下最终通过的概率， 用表示投篮成功1次的情况下最终通过的概率， 用表示连续成功2次的情况下最终通过的概率， 用表示连续成功3次的情况下最终通过的概率， 该同学每次成功的概率为，依题意有，， 以及，，， 所以方程组， 解得，，， 所以通过概率为， 代入原题数据，得． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 设函数，函数. （1）若对于任意的，总存在，使得，求实数的取值范围； （2）若存在，使得成立，求实数的最大值. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）转化为，由基本不等式得到，由函数单调性得到，从而得到不等式，求出答案； （2）参变分离得到，变形后，由基本不等式求出的最大值，从而求出答案. 【小问1详解】 对于任意的，总存在，使得， 即， 其中，， 当且仅当，即时，等号成立， 故， 因为是减函数，所以当时，， 所以，解得. 【小问2详解】 时，可得，， 即， 因为，分离参数可得 ， 由题意，不等式在存在解集，则 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以，解得， 所以的最大值为1. 16. 如图，在中，，且，点与分别在直线的两侧，且. （1）求的大小； （2）求的最大值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式将题设条件化简得，再次利用正弦定理将边化角得，即可得解； （2）设，利用（1）中结论，用角表示边长，利用余弦定理结合三角恒等变换计算将所求边长表示成关于角的正弦型函数，利用三角函数的性质可求得最值. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 所以， 又， 所以， 所以， 所以， 由已知，，所以， 又，所以， 则或， 所以或（舍）. 又，即. 由正弦定理得，得， 所以，则. 【小问2详解】 由（1）得是直角三角形，设，因为，则. 在中，由余弦定理得 ， 当，即时，，所以长度的最大值为. 17. 如图所示，已知四棱锥中，. （1）求证：平面； （2）当四棱锥的体积最大时，求二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形全等及三线合一证明，然后利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）先通过二面角定义作出二面角的平面角，求出四棱锥体积最大时，从而在直角三角形中求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 所以，设，连接，则，点为的中点， 又，所以，又，且， 所以，又，平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 由（1）可知，平面，平面，所以平面平面， 取的中点为O，连接，则，平面平面， 平面，所以平面，过点作，垂足为H，连接， 则，所以为二面角的平面角， 因为四棱锥的体积为 ，当且仅当即体积最大， 此时， 在中，，所以， 所以二面角的大小为. 18. 为了推动更多人去阅读和写作，联合国教科文组织确定每年4月23日为“世界读书日”.某高中为了促进学生阅读，组织了一场知识竞赛，比赛按照班为单位参与，分为预选赛和决赛.预选赛的规则是每个班在规定的时间内分别答题，答对题目数量最多的前两个班进入决赛.决赛规则是两个班轮流答题，无论是否答对，第一个班答完后第二个班即进入答题. （1）若甲班在预选阶段前面2道题每题答对的概率是，从第3题开始每道题答对的概率是，用表示在前4次答题中答对的题目数量，求. （2）若乙班在预选阶段每道题答对的概率是，用表示在前10次答题中答对的次数，以概率作为判断标准，乙班最有可能答对的题目数量是多少？ （3）为了增加比赛的趣味性，在决赛中增加如下环节：抽签决定先回答问题的班级，第一道题目由主持人给出，第一个班级在答完题目后，选择一个题目给另一个班级作答，然后再抽签决定第二轮首先回答问题的班级，以此类推.当两个班级都答过一次题目后称为一轮比赛，一轮比赛中，如果只有一个班级答对，答对的班级得1分，答错的班级得分；如果两个班级都答对或者都答错，均得0分.用事件分别表示在一轮比赛中甲班和乙班答对题目.已知有如下关系：①；②，从以上两个条件中任选一个判断的关系，并在时计算经过一轮比赛后甲、乙两班得分相同的概率. 【答案】（1） （2）6 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意的所有可能取值为：，再利用独立事件的乘法公式计算出所有情况的概率，接着计算期望即可； （2）由，再确定最大概率的项即可； （3）先判断事件的关系，得到条件①②下独立，再利用独立性计算两班得分相同的概率，即同时答对或同时打错的概率之和即可. 【小问1详解】 的所有可能取值为：， ， ， ， ， ， . 【小问2详解】 ，假设最有可能答对题目的数量是次，则， ，即， ， 解得，又，所以，即乙班最有可能答对6个题. 【小问3详解】 选择①：， 知 ， 故，即相互独立. 选择②：，由已知等式知， 则， ，即相互独立， 用表示“经过一轮比赛后甲、乙两班得分相同”， ， 经过一轮比赛后甲、乙两班得分相同的概率为. 19. 在一个抽奖游戏中，有编号为1，2，3的三个外观相同的空箱子，现随机选择一个箱子放入一件奖品，然后让抽奖人随机选定一个箱子.某次游戏，在抽奖人打开箱子前，主持人先打开抽奖人选择之外的一个箱子，发现是空箱，此时抽奖人可以考虑换箱子也可以不换箱子.记事件为抽奖人第一次选中的是空箱，事件为主持人打开的是空箱. （1）如果主持人知道内情即知道奖品所在的箱子，抽奖人换箱子中奖的概率； （2）如果主持人不知道内情即不知道奖品所在的箱子，抽奖人不换箱子中奖的概率； （3）如果主持人知道内情的概率为，抽奖人不换箱子中奖的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据概率的性质可得，则独立，利用条件概率求得不换箱子不中奖和不换箱子中奖的概率的概率，即可得解. （2）求得，即可判断. （3）记事件表示主持人知道内情，结合互斥事件的概率加法公式，利用条件概率得，进而求出，即可求出抽奖人不换箱子中奖的概率. 【小问1详解】 如果主持人知道内情，则他必然打开空箱子，，则， ，所以独立， 所以， 说明不换箱子不中奖的概率是，不换箱子中奖的概率是，于是，换箱子中奖的概率是. 【小问2详解】 如果主持人不知道内情，， 于是，， 说明换箱子与不换箱子中奖概率都是. 【小问3详解】 如果主持人知道内情的概率为，事件表示主持人知道内情，则， ， 又，设， ， ， 因此，. 说明不换箱子不中奖的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁波市2024学年第二学期期末九校联考高二数学试题 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 极差 5. 若对，不等式恒成立，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 6. 如图，是正方体体对角线（含端点）上的动点，为棱（含端点）上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的最小值为 B. 异面直线与所成角的最大值为 C. 对于任意给定的，存在点，使得 D. 对于任意给定的，存在点，使得 7. 设是定义在R上的函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若为偶函数，则为偶函数 B. 若为奇函数，则为奇函数 C. 若为单调函数且为周期函数，则为周期函数 D. 若为单调函数且为单调函数，则为单调函数 8. 若，，其中是自然对数的底数，则（附：） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个选项正确的有（ ） A. 如果由一组样本数据得到的经验回归方程是，那么经验回归直线至少经过点中的一个 B. 一组样本数据47，48，48，49，50，51，52，60，该组数据的第60百分位数为50 C. 在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好 D. 设两个变量之间的线性相关系数为，则的充要条件是成对数据构成的点都在经验回归直线上 10. 已知函数的部分图象如图，则（ ） A. 是图象的一条对称轴 B. 在区间上单调递增 C. 函数的零点个数为11个 D. 在上的零点之和为 11. 设且，已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象不是中心对称图形 B. 的图象是轴对称图形 C. 是周期函数，且最小正周期为 D. 存在最大值与最小值 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为__________. 13. 已知的面积为，且所对的边记为，满足，则的最大值为__________. 14. 某同学进行一项投篮测试，持续投篮直至出现连续三次投篮成功（通过测试）或连续两次失败（未通过测试）.已知该同学每次投篮的成功率均为，则该同学通过测试的概率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 设函数，函数. （1）若对于任意的，总存在，使得，求实数的取值范围； （2）若存在，使得成立，求实数的最大值. 16. 如图，在中，，且，点与分别在直线的两侧，且. （1）求的大小； （2）求的最大值. 17. 如图所示，已知四棱锥中，. （1）求证：平面； （2）当四棱锥的体积最大时，求二面角的大小. 18. 为了推动更多人去阅读和写作，联合国教科文组织确定每年4月23日为“世界读书日”.某高中为了促进学生阅读，组织了一场知识竞赛，比赛按照班为单位参与，分为预选赛和决赛.预选赛的规则是每个班在规定的时间内分别答题，答对题目数量最多的前两个班进入决赛.决赛规则是两个班轮流答题，无论是否答对，第一个班答完后第二个班即进入答题. （1）若甲班在预选阶段前面2道题每题答对的概率是，从第3题开始每道题答对的概率是，用表示在前4次答题中答对的题目数量，求. （2）若乙班在预选阶段每道题答对的概率是，用表示在前10次答题中答对的次数，以概率作为判断标准，乙班最有可能答对的题目数量是多少？ （3）为了增加比赛的趣味性，在决赛中增加如下环节：抽签决定先回答问题的班级，第一道题目由主持人给出，第一个班级在答完题目后，选择一个题目给另一个班级作答，然后再抽签决定第二轮首先回答问题的班级，以此类推.当两个班级都答过一次题目后称为一轮比赛，一轮比赛中，如果只有一个班级答对，答对的班级得1分，答错的班级得分；如果两个班级都答对或者都答错，均得0分.用事件分别表示在一轮比赛中甲班和乙班答对题目.已知有如下关系：①；②，从以上两个条件中任选一个判断的关系，并在时计算经过一轮比赛后甲、乙两班得分相同的概率. 19. 在一个抽奖游戏中，有编号为1，2，3的三个外观相同的空箱子，现随机选择一个箱子放入一件奖品，然后让抽奖人随机选定一个箱子.某次游戏，在抽奖人打开箱子前，主持人先打开抽奖人选择之外的一个箱子，发现是空箱，此时抽奖人可以考虑换箱子也可以不换箱子.记事件为抽奖人第一次选中的是空箱，事件为主持人打开的是空箱. （1）如果主持人知道内情即知道奖品所在的箱子，抽奖人换箱子中奖的概率； （2）如果主持人不知道内情即不知道奖品所在的箱子，抽奖人不换箱子中奖的概率； （3）如果主持人知道内情的概率为，抽奖人不换箱子中奖的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $