《第5章分式》期末复习优生辅导训练题2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 以分式概念为起点，通过分层题型构建“概念辨析-性质应用-运算深化-方程综合-实际建模”的逻辑体系，强化运算能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|4题（如第1题）|定义法（分式意义/值为零条件）|从分式定义延伸至最简公分母等核心概念| |性质运算|6题（如第2、15题）|等价变形（分子分母同乘除）、分步运算（先乘方再乘除后加减）|性质是运算基础，运算深化性质理解| |方程综合|3题（如第6、17题）|增根检验法、参数分类讨论|分式方程与整式方程转化，体现转化思想| |实际建模|3题（如第7、20题）|等量关系分析法（行程/工程问题）|用数学语言表达现实问题，发展应用意识|

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《第5章分式》期末复习优生辅导训练题（附答案） 一、单选题 1．下列说法正确的是（   ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．当分式值为0时， D．无论x为何值，的值总为正数 2．下列各式与相等的是（   ） A． B． C． D． 3．已知，以下结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 4．对于任意的值都有，则，值为（    ） A．， B．， C．， D．， 5．已知，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．已知关于的方程解为正数，则的取值范围是（） A． B．且 C． D．且 7．过年回家对中国人而言，是刻在骨子里的文化执念与情感刚需，核心意义在于阖家团圆与辞旧迎新的仪式感．放寒假后，小陈爸爸驾驶汽车开往距离出发地的爷爷家，出发后的前按原计划的速度匀速行驶，后按原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前到达爷爷家．若设前的行驶速度为，则根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．不改变分式的值，把分式的分子和分母各项的系数都化为整数得______． 9．已知x为整数，则能使代数式的值为整数的所有x的值之和为_________． 10．已知，则________． 11．如果，那么的值为 __________． 12．定义，即当时，；当时，，则_____． 13．某工厂计划生产个口罩，但在实际生产时……求该工厂实际每天生产口罩的个数．在这个问题中，若设该工厂实际每天生产口罩个，由题意，可列出的方程为，则问题中“……”所表示的条件应该是________． 14．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如，，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：______； （2）分式的最小值为______． 三、解答题 15．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 16．下列是化简的两种方法的部分过程： 方法一： … 方法二： … (1)请选择一种方法完成化简过程； (2)当时，求原代数式的值． 17．已知，关于x的方程：． (1)若方程无解，求m的取值； (2)若方程的解为整数，求整数m的取值． 18．阅读理解： 例题：已知实数满足，求分式的值． 解：． 的倒数 ∴ (1)已知实数满足，求分式的值． (2)已知实数满足，求分式的值． 19．有这样一段叙述：“要比较与的大小，可以先求出与的差，再看这个差是正数、负数还是0”．由此可见，要比较两个代数式的值的大小，只要考查它们的差即可． 问题：甲、乙两人两次同时去同一个商店购买水果（假设两次购水果的单价不同，分别为元，元，），甲每次购水果20千克，乙每次购水果用去20元． （1）用含，的代数式表示：甲两次购水果共付 元；乙两次共购 千克水果；甲两次购水果的平均单价为 元/千克，乙两次购水果的平均单价为 元/千克； （2）现规定：谁购水果的平均单价低，谁购水果的方式就合算，请你判断甲、乙两人的购水果方式哪一个更合算？并说明理由． 20．列方程解下列问题：某工厂生产甲、乙两种产品．每天生产的甲产品比每天生产的乙产品多300个：2天生产的甲产品比3天生产的乙产品多400个． (1)求该工厂每天生产的甲、乙产品各多少个？ (2)为了满足市场需求，工厂进行技术改造．改造后，每天生产乙产品增加的数量比每天生产甲产品增加的数量的多50个．若生产4800个甲产品的天数比生产3200个乙产品所需的天数少2天，求每天生产甲产品增加的数量． 参考答案 1．D 【分析】本题考查分式的相关概念，包括分式有意义的条件、最简公分母的确定、分式值为零的条件及分式值的正负判断，解题关键是掌握分式相关的基本性质． 【详解】解：对于A选项，∵分式有意义的条件是分母不为，即，不是，∴A错误； 对于B选项，∵确定最简公分母需取系数最小公倍数与各字母因式最高次幂的乘积，∴分式与的最简公分母是，不是，∴B错误； 对于C选项，∵分式值为需满足分子为且分母不为，由得，又即，∴，不是，∴C错误； 对于D选项，∵对任意都有，∴，分子，∴恒成立，∴D正确． 故选：D． 2．C 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质逐一判断即可，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、选项分子分母同时加，不符合分式基本性质，值改变，不符合题意； 、选项分子分母未同乘（或除以）同一个整式，值改变，不符合题意； 、∵， ∴， ∵该分式有意义时，即，此时， ∴约分后得，与原式相等，符合题意； 、选项无法因式分解为含的整式，无法约分得到原式，不符合题意； 故选：． 3．C 【分析】本题考查了分式的加减乘除运算．先对B进行通分化简，再将化简后的B与A进行运算，验证各选项结论，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ 又∵， ∴，故选项C正确， ∵， ∴，故选项A不正确， ∵， ∴，故选项B不正确， ∵， ∴，故选项D不正确， 故选：C． 4．B 【分析】对等式右边通分并进行加法运算，再根据对应项系数相等列方程组求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查分式的加法，二元一次方程组．掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 5．B 【分析】本题考查了分式的运算，解题的关键是对已知条件进行变形，求出的值，再对所求式子进行变形计算． 先将已知的三个分式等式取倒数，得到关于的等式，然后求出的值，最后对所求式子取倒数并代入计算． 【详解】解：已知，等式两边取倒数，可得，即①； 同理，由，取倒数得，即②； 由，取倒数得，即③； 将，可得，所以， 对取倒数，可得， 所以． 故选：B． 6．D 【分析】本题考查根据分式方程的解求参数．先将方程两边同乘，转化为整式方程，求出方程的解，再根据方程的解为正数和最简公分母不为0列出不等式，求解即可． 【详解】解：方程两边同乘，得， 解得， ∵方程的解为正数， ∴当时，且， ∴， 解得且． 故选：D． 7．A 【分析】本题考查分式方程在行程问题中的应用，解题的关键是找出等量关系，列出方程．根据“实际比原计划提前到达”的条件，分析原计划与实际行驶剩余路程的时间关系来列方程． 【详解】解：∵设前的行驶速度为， ∴原计划中行驶后剩余路程的时间为， 又∵后速度变为， ∴实际行驶剩余路程的时间为， ∵实际比原计划提前到达，该提前时间为剩余路段原计划时间与实际时间的差值， ∴ 故选：A． 8． 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，分式的分子分母都乘以，再化简即可，解题的关键是利用分式的分子、分母同乘以一个不等于的数，分式的值不变． 【详解】解：原式， 故答案为：． 9． 【分析】将分式化成一个整式加上一个真分式的形式，求出满足条件的x的值，最后求和即可． 【详解】解：原式==3+， ∵代数式的值为整数， ∴x+1=±1，±2， ∴x=0，2，1，3． ∴0+（2）+1+（3）=4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了分式的整数值，考核学生的计算能力，将分式变形是解题的关键． 10． 【分析】先由已知得到，再将原式变形为，进而代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴，则， ∴． 11．2 【分析】先根据已知条件用b分别表示c和，然后把它们代入所求的分式中，化简即可得到分式的值． 【详解】解：∵a+=1， ∴b=, ∵b+=1， ∴+=1， ∴=1， ∴c+2-2a=c-ac， 化简得：ac+2=2a ∴===2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查分式的化简求值：先根据已知条件用一个字母表示另外两个字母，然后代入所求的分式中进行计算是解题关键． 12． 2027 【分析】先推导得到，且，据此对原式两两配对，再加上的值即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴，， 原式 ． 13．每天比原计划多生产个，结果提前天完成 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再设出未知数，列出方程．根据方程，左边表示原计划生产时间减去实际生产时间，差值为天，表明实际生产时间比原计划少天，即提前天完成；同时，分母表示原计划每天生产个数，实际每天生产个，因此实际每天比原计划多生产个． 【详解】解：设实际每天生产口罩个，则原计划每天生产个； 原计划生产时间为天，实际生产时间为天； 方程表示原计划时间比实际时间多天，即实际提前天完成，且实际每天生产比原计划多个． 故答案为：每天比原计划多生产个，结果提前天完成． 14． 3+ 3 【分析】此题考查分式的变形计算，分式的四则混合运算，同分母分式加法逆运算． （1）将分子化为分母的倍数与常数的和，然后拆分分式； （2）先将分式化为整式与常数分子的分式的和，再利用分母求最小值． 【详解】（1）解：； （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，分式取得最小值3． 15．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式的混合运算： （1）先计算乘方，再根据分式乘除法法则计算即可； （2）先化为同分母分式，根据同分母分式加减法运算法则计算即可； （3）根据分式除法法则计算，再约分即可； （4）根据异分母分式加减混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 16．(1)，完成化简过程见解析 (2)当时，原代数式的值为 【分析】（1）若选方法一：因为​可变形为，所以先将括号内的分式化为同分母分式，再进行加法运算．因为分式除法需转化为乘法，所以将除法运算变为乘以除数的倒数．因为要化简，所以对分子分母分别进行因式分解，再约分得到最简形式．若选方法二：因为分式除法对加法的分配律成立，所以将括号内的两个分式分别与除数做除法运算．因为分式除法需转化为乘法，所以将每一项的除法运算变为乘以除数的倒数．因为要化简，所以对分子分母分别进行因式分解，再约分后合并得到最简形式． （2）因为已得到最简代数式，所以将代入最简式计算即可． 【详解】（1）选择方法一： ． 选择方法二： ． （2）当时，原式． 17．(1)或或 (2)或 【分析】本题考查了分式方程的增根，解分式方程． （）根据分式方程的解法得出，分当时方程有增根，当时原分式方程无解，从而求解； （）由，得，然后根据方程的解为整数得出，，最后求解并检验即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 当时，得， 解得； 当时，得， 解得， ∴若方程有增根，的取值为或； ∵， ∴当时原分式方程无解， ∴， ∵当或时方程有增根， ∴若方程无解，的取值为或或； （2）解：∵， ∴， ∵方程的解为整数， ∴，， 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，； 当时，； ∴或． 18．(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的求值： （1）仿照题意求解即可； （2）先求出，再根据求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ ， ∴． 19．（1）（20x＋20y）；（）；；（2）乙购买水果的方式更合算些，理由见解析 【分析】（1）根据两次购买水果的单价及买的千克数，表示出甲两次买水果的钱数即可；用20元除以两次单价，相加即可得到乙购买水果的千克数；表示出甲两次购买水果的平均单价为Q1元，乙两次购买水果的平均单价为Q2元即可； （2）由（1）得到Q1−Q2，通分并利用同分母分式的减法法则计算，利用完全平方公式整理后判断差为正数，可得出Q1＞Q2，即乙购买水果的方式更合算些． 【详解】解：（1）甲每次购买水果共需要付款（20x＋20y）元； 乙两次共购买（）千克的水果； 甲两次购水果的平均单价Q1＝，乙两次购水果的平均单价Q2＝40÷（）=； 故答案为：（20x＋20y）；（）；； （2）乙购买水果的方式更合算些，理由为： Q1−Q2＝-=， ∵x≠y，x＞0，y＞0， ∴（x−y）2＞0，2（x＋y）＞0， ∴＞0， ∴Q1−Q2＞0，即Q1＞Q2， ∴乙购买水果的方式更合算些． 【点睛】此题考查了分式混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键．在通常情况下，判断两个代数式值的大小，只要考虑它们的差就可以． 20．(1)该工厂每天生产甲产品500个，乙产品200个． (2)每天生产甲产品增加的数量是300个． 【分析】（1）根据甲乙日产量的数量关系设未知数，利用“2天生产的甲产品比3天生产的乙产品多400个”的条件列一元一次方程求解； （2）设甲产品日增加量为未知数，根据增加量的关系表示出改造后甲乙的日产量，再利用生产天数的数量关系列分式方程，检验后得到结果． 【详解】（1）解：设该工厂每天生产乙产品个，则每天生产甲产品个． 根据题意列方程得 解得 则 答：该工厂每天生产甲产品500个，乙产品200个． （2）解：设每天生产甲产品增加的数量为个，则每天生产乙产品增加的数量为个． 改造后每天生产甲产品数量为个，每天生产乙产品数量为个． 根据题意列方程得 解得 检验：当时，，所以是原方程的解，且符合题意． 答：每天生产甲产品增加的数量是300个． 学科网（北京）股份有限公司 $