第6章 第27讲 数列的概念与简单表示（word教参）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（提升版）

该高中数学高考复习讲义围绕数列概念与简单表示核心考点，整合通项公式、递推关系、前n项和与通项转化及数列函数性质，通过知识体系重构夯实基础，结合激活思维题与题型突破的方法指导、真题训练，形成“概念梳理-方法提炼-应用强化”的系统复习路径。 讲义以问题驱动激活数学思维，如例2中通过S_n与a_n关系转化培养推理能力，设计分层练习（随堂内化与A/B组精练）。融入教材经典题改编与模拟题，助力学生提升运算能力与模型意识，为教师把控复习节奏、高效提升学生应考能力提供实战资源。

第六章　数　列 第27讲　数列的概念与简单表示 知识整合　体系重构 激活思维 1．(教材经典题改编)已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋2n，那么120是这个数列的第________项(　 　) A．9　 B．10 C．11　 D．12 2．(教材经典题改编)(多选)根据下面的图形的规律及相对应的点数，判断下列说法正确的是(　 　) A．第五个图形对应的点数为20 B．第五个图形对应的点数为21 C．图形的点数构成的数列的一个通项公式为an＝5n－4 D．图形的点数构成的数列的一个通项公式为an＝4n－3 3．(教材经典题改编)(多选)已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝，则下列说法正确的是(　 　) A．数列{an}的首项为a1＝ B．数列{an}的通项公式为an＝ C．数列{an}为递减数列 D．数列{an}为递增数列 4．(教材经典题改编)已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝－2n2，则{an}的通项公式为_______________． 5．(教材经典题改编)已知f(x)＝(x∈R)，设数列{an}的通项公式为an＝f(n)(n∈N*)，则an的最小值为___________． 聚焦知识 1．数列的有关概念 名称 概念 通项 公式 如果数列{an}的第n项an与它的_____________之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式 递推 公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式 数列{an} 的前n 项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an．常见用法还有：an＝ 2．数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数______________ 无穷数列 项数_____________ 项与项间的大小关系 递增数列 an＋1＞an 其中n∈N* 递减数列 an＋1＜an 常数列 an＋1＝an 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 3．数列与函数的关系 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是____________，对应的函数值是____________，记为an＝f(n)． 题型突破　思维拓展 举题说法 数列中的项与通项公式 例1　(1) 已知数列－1，，－，，…，则该数列的第211项为(　 　) A．－　 B． C．－　 D． (2) 数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的一个通项公式是an＝(　 ) A．(10n－1)　 B．(10n－1) C．　 D．(10n－1) 已知数列的前几项求通项公式，主要从结构特征来考虑： (1) 负号用(－1)n与(－1)n＋1或(－1)n－1来调节，这是因为n和n＋1或n－1奇偶交错． (2) 分式形式的数列，分子、分母找通项，要充分借助分子、分母的关系． 变式1　(1) 数列，－，，－，…的一个通项公式为(　 　) A．(－1)n　 B．(－1)n－1 C．(－1)n　 D．(－1)n－1 (2)(2025·临沂期中)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝1，an＝an－1＋2an－2(n≥3)，则S9＝(　 　) A．341　 B．340 C．61　 D．60 由an与Sn的关系求通项 例2　(1) 设数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，若b1＝－1，b5＝8b2，(1－2n)Sn＝n(n＋1)Tn，则an＝____________． (2) 设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an(2Sn－1)＝2S(n≥2，n∈N*)，则an＝______________． Sn与an的关系问题转化的两个方向： (1) 利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解； (2) 利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解． 变式2　(2025·岳阳质检)已知数列{an}满足4n－1a1＋4n－2a2＋…＋an＝n(n∈N*)，则an＝____________． 数列的函数性质 视角1　单调性与最值 例3－1(1) (2025·泉州三检)(多选)已知数列{an}的前n项和Sn＝kn2＋n－k＋2，则下列说法正确的是(　 　) A．若{an}是等差数列，则k＝2 B．若{an}不是递增数列，则k≤ C．若Sn＜Sn＋2，则k＞2 D．若的最小值为3，则k≥ (2)(2025·漳州期初)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，当取最小值时，n＝_______________． 探究数列的单调性可以从连续函数角度考察，但在数列中可采用作差、作商比较法．其中，作差比较法是根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列或递减数列或常数列． 视角2　周期性 例3－2(2025·滁州一模)已知数列{an}的第1项和第2项均为1，以后各项由an＋2＝an＋1＋an(n∈N*)给出．若数列{an}的各项除以3所得余数组成一个新数列{bn}，则b2 025＋b2 026＝(　 　) A．1　 B．2 C．3　 D．4 解决数列周期性问题的方法：先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． 变式 3　在数列{an}中，a1＝4，a2＝3，an＋1＝(n∈N*，n≥2)，则a1 000＝(　 　) A．　 B． C．3　 D． 随堂内化 1．数列0，，，，，…的一个通项公式是(　 　) A．an＝　 B．an＝ C．an＝　 D．an＝ 2．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则a2 026＝(　 　) A．－3　 B．－ C．　 D．2 3．(2025·汕尾、肇庆二模) 已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝n2＋3n＋2，则下列判断正确的是(　 　) A．数列{an}为等差数列 B．a5＝11 C．数列{Sn}存在最大值 D．数列存在最大值 4．设数列{bn}的通项公式为bn＝(2n－1)·n＋1，则{bn}中的最大项的值为______________． 配套精练 A组　夯基精练 一、单项选择题 1．(2025·武汉4月调研)已知数列{an}的通项公式为an＝2n－11，Sn为其前n项和，则Sn的最小值为(　 　) A．－9　 B．－7 C．－3　 D．－19 2．(2026·保定期中)已知数列{an}中，a1＝－2，a＝an＋1＋7，则a2 026＝(　 　) A．－3　 B．－2 C．2　 D．3 3．已知数列{an}满足anan＋1＝2an＋1－an－1，且a1＝3，则a2 026＝(　 　) A．　 B．－4 C．　 D． 4．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋1＋Sn＝n(n∈N*)，则下列说法正确的是(　 ) A．数列{an＋1＋an}是常数列 B．若a1＜，则{an}是递增数列 C．若a1＝－1，则S2 026＝1 013 D．若a1＝1，则{an}的最小项的值为－1 5．已知数列{an}满足an＝λn2－n，对任意n∈{1,2,3}都有an＞an＋1，且对任意n∈{n|n≥7，n∈N}都有an＜an＋1，则实数λ的取值范围是(　 　) A．　 B． C．　 D． 二、多项选择题 6．已知数列{an}满足a1＝1，Sn－1＝3an(n≥2)，则下列结论正确的是(　 　) A．a2＝　 B．{an}是等比数列 C．an＋1＝an，n≥2　 D．Sn－1＝n－1，n≥2 7．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，前n项和为Sn，则下列说法正确的是(　 　) A．数列{an}有最小项，也有最大项 B．使an∈Z的项共有5项 C．满足anan＋1an＋2≤0的n的值共有5个 D．使Sn取得最小值的n为4 8．已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和Sn满足an·Sn＝9(n＝1,2，…)，则下列说法正确的是(　 　) A．{an}的第2项小于3 B．{an}为等比数列 C．{an}为递减数列 D．{an}中存在小于的项 三、填空题 9．洛卡斯是19世纪法国数学家，他以研究斐波那契数列而著名．洛卡斯数列就是以他的名字命名，洛卡斯数列{Ln}为1,3,4,7,11,18,29,47,76，…，即L1＝1，L2＝3，且Ln＋2＝Ln＋1＋Ln(n∈N*)．设数列{Ln}的各项依次除以4所得余数形成的数列为{an}，则a2 025＝____________． 10．(2025·张家口二模)已知数列{an}不是递增数列，且an＝则实数k的取值范围为___________． 11．(2025·湖州、衢州、丽水质检改)若函数f(x)满足f(x)＋f(4－x)＝4，已知数列{an}中，首项a1＝，an＝a1＋＋＋…＋，n∈N*，则f(ai)＝__158__． 四、解答题 12．已知数列{an}，若存在正整数T，对一切n∈N*，都有an＋T＝an，则称数列{an}为周期数列，T是它的一个周期． (1) 已知bn＝sin，cn＝n，求数列{bn·cn}的前40项和S40； (2) 数列1,2,1,2，…的最小正周期是多少？并求这个数列的前n项和Tn． 13．(2026·苏州期初)已知数列{an}的前n项为Sn，且Sn＝n2．正项等比数列{bn}的首项为1，Tn为其前n项和，且T5＝5T3－4． (1) 求an，bn； (2) 当λ＞0时，若λSn≤Tn＋1对任意的n∈N*恒成立，求实数λ的最大值． B组　创新题体验 14．(2025·德州期中节选)已知数列{an}，从中选取第i1项，第i2项，…，第im项(i1＜i2＜…＜im)，顺次排列构成数列{bk}，其中bk＝aik，1≤k≤m，则称新数列{bk}为{an}的长度为m的子列．规定：数列{an}的任意一项都是{an}的长度为1的子列． (1) 写出2,8,4,7,5,6,9的三个长度为4的递增子列； (2) 若数列{an}满足an＝3n－1，n∈N*，其子列{bk}的长度m＝4，且{bk}的每一子列的所有项的和都不相同，求＋＋＋的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章　数　列 第27讲　数列的概念与简单表示 知识整合　体系重构 激活思维 1．(教材经典题改编)已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋2n，那么120是这个数列的第________项(　B　) A．9　 B．10 C．11　 D．12 【解析】 令n2＋2n＝120，得n＝－12(舍去)或n＝10，所以120是数列{an}的第10项． 2．(教材经典题改编)(多选)根据下面的图形的规律及相对应的点数，判断下列说法正确的是(　BC　) A．第五个图形对应的点数为20 B．第五个图形对应的点数为21 C．图形的点数构成的数列的一个通项公式为an＝5n－4 D．图形的点数构成的数列的一个通项公式为an＝4n－3 【解析】 设第n个图形对应的点数为an(n∈N*)．因为a1＝1，a2＝1＋5，a3＝1＋2×5，a4＝1＋3×5，所以该数列的第5项为a5＝1＋4×5＝21，数列{an}的一个通项公式为an＝1＋5(n－1)＝5n－4． 3．(教材经典题改编)(多选)已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝，则下列说法正确的是(　ABC　) A．数列{an}的首项为a1＝ B．数列{an}的通项公式为an＝ C．数列{an}为递减数列 D．数列{an}为递增数列 【解析】 由a1＝S1＝，知A正确；当n＞1时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，当n＝1时，也满足上式，故数列{an}的通项公式为an＝，知B，C正确，D错误． 4．(教材经典题改编)已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝－2n2，则{an}的通项公式为__an＝－4n＋2__． 【解析】 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2n2＋2(n－1)2＝－4n＋2；当n＝1时，a1＝S1＝－2，满足an＝－4n＋2，故{an}的通项公式为an＝－4n＋2． 5．(教材经典题改编)已知f(x)＝(x∈R)，设数列{an}的通项公式为an＝f(n)(n∈N*)，则an的最小值为____． 【解析】 由题意得an＝＝1－．因为n为正整数，所以2n≥2,0＜≤，1－≥，所以an≥． 聚焦知识 1．数列的有关概念 名称 概念 通项 公式 如果数列{an}的第n项an与它的__序号n__之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式 递推 公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式 数列{an} 的前n 项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an．常见用法还有：an＝ 2．数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数__有限__ 无穷数列 项数__无限__ 项与项间的大小关系 递增数列 an＋1＞an 其中n∈N* 递减数列 an＋1＜an 常数列 an＋1＝an 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 3．数列与函数的关系 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是__序号n__，对应的函数值是__数列的第n项an__，记为an＝f(n)． 题型突破　思维拓展 举题说法 数列中的项与通项公式 例1　(1) 已知数列－1，，－，，…，则该数列的第211项为(　A　) A．－　 B． C．－　 D． 【解析】 由题意，该数列可表示为－，，－，，…，则该数列的一个通项公式为an＝(－1)n·，所以a211＝(－1)211＝－． (2) 数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的一个通项公式是an＝(　C　) A．(10n－1)　 B．(10n－1) C．　 D．(10n－1) 【解析】 数列9,99,999,9 999，…的一个通项公式是bn＝10n－1，则数列0.9,0.99,0.999,0.999 9，…的一个通项公式是cn＝×(10n－1)＝1－，则数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的一个通项公式是an＝． 已知数列的前几项求通项公式，主要从结构特征来考虑： (1) 负号用(－1)n与(－1)n＋1或(－1)n－1来调节，这是因为n和n＋1或n－1奇偶交错． (2) 分式形式的数列，分子、分母找通项，要充分借助分子、分母的关系． 变式1　(1) 数列，－，，－，…的一个通项公式为(　D　) A．(－1)n　 B．(－1)n－1 C．(－1)n　 D．(－1)n－1 (2)(2025·临沂期中)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝1，an＝an－1＋2an－2(n≥3)，则S9＝(　A　) A．341　 B．340 C．61　 D．60 【解析】　因为a1＝1，a2＝1，an＝an－1＋2an－2，所以a3＝a2＋2a1＝1＋2＝3，a4＝a3＋2a2＝3＋2＝5，a5＝a4＋2a3＝5＋6＝11，a6＝a5＋2a4＝11＋10＝21，a7＝a6＋2a5＝21＋22＝43，a8＝a7＋2a6＝43＋2×21＝85，a9＝a8＋2a7＝85＋2×43＝171，所以S9＝1＋1＋3＋5＋11＋21＋43＋85＋171＝341． 由an与Sn的关系求通项 例2　(1) 设数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，若b1＝－1，b5＝8b2，(1－2n)Sn＝n(n＋1)Tn，则an＝__2n__． 【解析】 设等比数列{bn}的公比为q．由b5＝8b2，得q3＝8，解得q＝2．又b1＝－1，所以bn＝－2n－1，所以Tn＝＝1－2n，代入(1－2n)Sn＝n(n＋1)Tn，解得Sn＝n(n＋1)．当n＝1时，a1＝S1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n(n＋1)－n(n－1)＝2n，又a1＝2也满足上式，所以an＝2n． (2) 设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an(2Sn－1)＝2S(n≥2，n∈N*)，则an＝____． 【解析】 由于an(2Sn－1)＝2S，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，所以(Sn－Sn－1)(2Sn－1)＝2S，所以2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn，即2＝－，故是以＝1为首项，2为公差的等差数列，所以＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以Sn＝．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－，所以an＝ Sn与an的关系问题转化的两个方向： (1) 利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解； (2) 利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解． 变式2　(2025·岳阳质检)已知数列{an}满足4n－1a1＋4n－2a2＋…＋an＝n(n∈N*)，则an＝__4－3n__． 【解析】 由4n－1a1＋4n－2a2＋…＋an＝n(n∈N*)，可得＋＋…＋＝(n∈N*)，所以＋＋…＋＝(n∈N*，n≥2)．两式相减得＝－＝＝(n∈N*，n≥2)，所以an＝4－3n(n∈N*，n≥2)．当n＝1时，41－1a1＝1，所以a1＝1，也适合上式．综上，an＝4－3n． 数列的函数性质 视角1　单调性与最值 例3－1(1) (2025·泉州三检)(多选)已知数列{an}的前n项和Sn＝kn2＋n－k＋2，则下列说法正确的是(　ABD　) A．若{an}是等差数列，则k＝2 B．若{an}不是递增数列，则k≤ C．若Sn＜Sn＋2，则k＞2 D．若的最小值为3，则k≥ 【解析】 若{an}为等差数列，则Sn＝na1＋d＝n2＋n，所以－k＋2＝0，解得k＝2，故A正确．Sn－1＝k(n－1)2＋(n－1)－k＋2(n≥2)，则an＝Sn－Sn－1＝2kn－k＋1(n≥2)，当n＝1时，a1＝S1＝k＋1－k＋2＝3，所以an＝因为{an}不是递增数列，所以k≤0或解得k≤，故B正确．若Sn＜Sn＋2，则kn2＋n－k＋2＜k(n＋2)2＋(n＋2)－k＋2，整理得k＞，又＜0，所以k≥0，故C错误．因为的最小值为3，所以＝kn＋1＋≥3恒成立，即k(n2－1)≥2n－2，当n＝1时，成立；当n≥2时，k≥，则k≥＝，故D正确． (2)(2025·漳州期初)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，当取最小值时，n＝__3__． 【解析】 因为Sn＝n2＋n，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n；当n＝1时，a1＝S1＝2，也满足an＝2n，故an＝2n．＝＝＋，又y＝x＋在(1,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，故当n＝3时，n＋取得最小值，即n＝3时，取得最小值． 探究数列的单调性可以从连续函数角度考察，但在数列中可采用作差、作商比较法．其中，作差比较法是根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列或递减数列或常数列． 视角2　周期性 例3－2(2025·滁州一模)已知数列{an}的第1项和第2项均为1，以后各项由an＋2＝an＋1＋an(n∈N*)给出．若数列{an}的各项除以3所得余数组成一个新数列{bn}，则b2 025＋b2 026＝(　B　) A．1　 B．2 C．3　 D．4 【解析】 由题意知数列{an}为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144，…，此数列各项除以3的余数依次构成的数列{bn}为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0，…，是以8为周期的周期数列，所以b2 025＋b2 026＝b1＋b2＝2． 解决数列周期性问题的方法：先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． 变式 3　在数列{an}中，a1＝4，a2＝3，an＋1＝(n∈N*，n≥2)，则a1 000＝(　A　) A．　 B． C．3　 D． 【解析】 因为a1＝4，a2＝3，an＋1＝(n∈N*，n≥2)，令n＝2，可得a3＝＝；令n＝3，可得a4＝＝；令n＝4，可得a5＝＝；令n＝5，可得a6＝＝；令n＝6，可得a7＝＝4；令n＝7，可得a8＝＝3；…；可知数列{an}是以6为周期的周期数列，所以a1 000＝a166×6＋4＝a4＝． 随堂内化 1．数列0，，，，，…的一个通项公式是(　C　) A．an＝　 B．an＝ C．an＝　 D．an＝ 【解析】 已知数列可化为0，，，，，…，故an＝． 2．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则a2 026＝(　C　) A．－3　 B．－ C．　 D．2 【解析】 因为a1＝2，an＋1＝，所以a2＝＝，a3＝＝－，a4＝＝－3，a5＝＝2，…，可知数列{an}是周期为4的周期数列．又2 026＝4×506＋2，所以a2 026＝a2＝． 3．(2025·汕尾、肇庆二模) 已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝n2＋3n＋2，则下列判断正确的是(　D　) A．数列{an}为等差数列 B．a5＝11 C．数列{Sn}存在最大值 D．数列存在最大值 【解析】 由Sn＝n2＋3n＋2可知，当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2＋3(n－1)＋2，因为an＝所以an＝故数列{an}是从第二项开始的等差数列，故A错误．a5＝2×5＋2＝12，故B错误．由Sn＝n2＋3n＋2知，数列{Sn}为递增数列，Sn不存在最大值，故C错误．由＝知，数列为递减数列，故存在最大值，故D正确． 4．设数列{bn}的通项公式为bn＝(2n－1)·n＋1，则{bn}中的最大项的值为__15×9__． 【解析】 bn＋1－bn＝(2n＋1)·n＋2－(2n－1)·n＋1＝n＋1·，当n≤7时，bn＋1＞bn；当n≥8时，bn＋1＜bn，所以b1＜b2＜…＜b8＞b9＞…＞bn＞…，故数列{bn}的最大项为b8，其值为15×9． 配套精练 A组　夯基精练 一、单项选择题 1．(2025·武汉4月调研)已知数列{an}的通项公式为an＝2n－11，Sn为其前n项和，则Sn的最小值为(　D　) A．－9　 B．－7 C．－3　 D．－19 【解析】 令an＝2n－11＜0，因为n∈N*，所以解得n＝1,2,3，所以数列{an}的前3项为负，从第4项起为正，所以Sn的最小值为S3＝21－11＋22－11＋23－11＝14－33＝－19． 2．(2026·保定期中)已知数列{an}中，a1＝－2，a＝an＋1＋7，则a2 026＝(　A　) A．－3　 B．－2 C．2　 D．3 【解析】 因为a1＝－2，an＋1＝a－7，所以a2＝a－7＝4－7＝－3，a3＝a－7＝9－7＝2，a4＝a－7＝4－7＝－3，a5＝a－7＝9－7＝2，…，所以数列{an}从第2项起，偶数项均为－3，奇数项均为2，则a2 026＝－3． 3．已知数列{an}满足anan＋1＝2an＋1－an－1，且a1＝3，则a2 026＝(　A　) A．　 B．－4 C．　 D． 【解析】 由题意可知3a2＝2a2－3－1⇒a2＝－4，同理a3＝－，a4＝，a5＝，a6＝，a7＝3，a8＝－4，…，故{an}是以6为周期的数列，所以a2 026＝a6×337＋4＝a4＝． 4．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋1＋Sn＝n(n∈N*)，则下列说法正确的是(　D　) A．数列{an＋1＋an}是常数列 B．若a1＜，则{an}是递增数列 C．若a1＝－1，则S2 026＝1 013 D．若a1＝1，则{an}的最小项的值为－1 【解析】 当n＝1时，S2＋S1＝2a1＋a2＝1，当n≥2时，Sn＋Sn－1＝n－1，则an＋1＋an＝1，而a1＋a2＝1不一定成立，故{an＋1＋an}不一定是常数列，A错误；由an＋1＋an＝an＋an－1＝…＝a3＋a2＝1，显然an＋1＝an－1＝an－3＝…且an＝an－2＝an－4＝…，即{an}不单调，B错误；若a1＝－1，则a2＝3，a3＝－2，故n≥2时，{an}的偶数项为3，奇数项为－2，而S2 026＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a2 024＋a2 025)＋a2 026＝－1＋1 012＋3＝1 014，C错误；若a1＝1，则a2＝－1，a3＝2，故n≥2时，{an}的偶数项为－1，奇数项为2，故{an}的最小项的值为－1，D正确． 5．已知数列{an}满足an＝λn2－n，对任意n∈{1,2,3}都有an＞an＋1，且对任意n∈{n|n≥7，n∈N}都有an＜an＋1，则实数λ的取值范围是(　C　) A．　 B． C．　 D． 【解析】 因为对任意n∈{1,2,3}都有an＞an＋1，所以数列{an}在[1,4]上是递减数列，因为对任意n∈{n|n≥7，n∈N}都有an＜an＋1，所以数列{an}在[7，＋∞)上是递增数列，所以解得＜λ＜，所以实数λ的取值范围是． 二、多项选择题 6．已知数列{an}满足a1＝1，Sn－1＝3an(n≥2)，则下列结论正确的是(　AC　) A．a2＝　 B．{an}是等比数列 C．an＋1＝an，n≥2　 D．Sn－1＝n－1，n≥2 【解析】 因为Sn－1＝3an(n≥2)，所以当n＝2时，S1＝a1＝3a2＝1，解得a2＝，故A正确；因为Sn＝3an＋1，所以Sn－Sn－1＝3an＋1－3an(n≥2)，所以an＝3an＋1－3an(n≥2)，即an＋1＝an(n≥2)，而a2＝a1，故B不正确，C正确；Sn－1＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝1＋＝n－2，n≥2，故D错误． 7．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，前n项和为Sn，则下列说法正确的是(　ABD　) A．数列{an}有最小项，也有最大项 B．使an∈Z的项共有5项 C．满足anan＋1an＋2≤0的n的值共有5个 D．使Sn取得最小值的n为4 【解析】 因为an＝(n∈N*)，所以an＋1－an＝－＝，令an＋1－an＞0，即(2n－7)(2n－9)＜0，解得＜n＜，又n∈N*，所以当n＝4时，an＋1－an＞0，当1≤n≤3或n≥5时，an＋1－an＜0．令an＝＞0，解得n＞，所以a1＝－＞a2＝－＞a3＝－3＞a4＝－9，a5＞a6＞a7＞…＞0，所以数列{an}有最小项a4＝－9，也有最大项a5＝9，故A正确．由an∈Z，知∈Z，又n∈N*，所以n＝3或n＝4或n＝5或n＝6或n＝9，所以使an∈Z的项共有5项，故B正确．要使anan＋1an＋2≤0，又an≠0，所以an，an＋1，an＋2中有1个负数或3个负数，所以n＝1或n＝2或n＝4，故满足anan＋1an＋2≤0的n的值共有3个，故C错误．因为当n≤4时，an＜0，当n≥5时，an＞0，所以当n＝4时，Sn取得最小值，故D正确． 8．已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和Sn满足an·Sn＝9(n＝1,2，…)，则下列说法正确的是(　ACD　) A．{an}的第2项小于3 B．{an}为等比数列 C．{an}为递减数列 D．{an}中存在小于的项 【解析】 由题意可知an＞0，当n＝1时，a＝9，可得a1＝3；当n≥2时，由Sn＝可得Sn－1＝，两式作差可得an＝－，所以＝－an，则－a2＝3，整理可得a＋3a2－9＝0，且a2＞0，解得a2＝＜3，A正确；假设数列{an}为等比数列，设其公比为q，则a＝a1a3，即2＝，所以S＝S1S3，可得a(1＋q)2＝a(1＋q＋q2)，解得q＝0，不合题意，故数列{an}不是等比数列，B错误；当n≥2时，an＝－＝＞0，可得an＜an－1，所以数列{an}为递减数列，C正确；假设对任意的n∈N*，an≥，则S100 000≥100 000×＝1 000，所以a100 000＝≤＜，与假设矛盾，假设不成立，D正确． 三、填空题 9．洛卡斯是19世纪法国数学家，他以研究斐波那契数列而著名．洛卡斯数列就是以他的名字命名，洛卡斯数列{Ln}为1,3,4,7,11,18,29,47,76，…，即L1＝1，L2＝3，且Ln＋2＝Ln＋1＋Ln(n∈N*)．设数列{Ln}的各项依次除以4所得余数形成的数列为{an}，则a2 025＝__0__． 【解析】 {Ln}的各项除以4的余数分别为1,3,0,3,3,2,1,3,0，…，故可得{an}的周期为6，且前6项分别为1,3,0,3,3,2，所以a2 025＝a6×337＋3＝a3＝0． 10．(2025·张家口二模)已知数列{an}不是递增数列，且an＝则实数k的取值范围为____． 【解析】 因为{an}不是递增数列，所以k≤0或解得k≤． 11．(2025·湖州、衢州、丽水质检改)若函数f(x)满足f(x)＋f(4－x)＝4，已知数列{an}中，首项a1＝，an＝a1＋＋＋…＋，n∈N*，则f(ai)＝__158__． 【解析】 由an＝a1＋＋＋…＋，得an＋1＝a1＋＋＋…＋＋，所以an＋1＝an＋，整理得＝，即是常数列．又a1＝，所以＝＝，an＝n，所以an＋a80－n＝4，n∈{1,2,3，…，79}，因为f(x)＋f(4－x)＝4，所以2f(ai)＝[f(a1)＋f(a79)]＋[f(a2)＋f(a78)]＋…＋[f(a79)＋f(a1)]＝4×79，所以f(ai)＝2×79＝158． 四、解答题 12．已知数列{an}，若存在正整数T，对一切n∈N*，都有an＋T＝an，则称数列{an}为周期数列，T是它的一个周期． (1) 已知bn＝sin，cn＝n，求数列{bn·cn}的前40项和S40； 【解答】 bn＝sin＝(k∈N)，故S40＝(1＋0－3＋0)＋(5＋0－7＋0)＋…＋(37＋0－39＋0)＝－2×10＝－20． (2) 数列1,2,1,2，…的最小正周期是多少？并求这个数列的前n项和Tn． 【解答】 由周期数列的定义可知该数列的最小正周期为2．当n为奇数时，Tn＝·1＋·2＝；当n为偶数时，Tn＝·(1＋2)＝．因此，Tn＝－． 13．(2026·苏州期初)已知数列{an}的前n项为Sn，且Sn＝n2．正项等比数列{bn}的首项为1，Tn为其前n项和，且T5＝5T3－4． (1) 求an，bn； 【解答】 由Sn＝n2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，当n＝1时，a1＝S1＝1，满足上式，所以an＝2n－1．由T5＝5T3－4，正项等比数列{bn}的首项为1，当公比q＝1时，T5＝5b1＝5,5T3－4＝15b1－4＝11，不满足T5＝5T3－4；当公比q≠1，且q＞0时，＝5×－4，解得q＝2，此时bn＝2n－1．综上所述，bn＝2n－1． (2) 当λ＞0时，若λSn≤Tn＋1对任意的n∈N*恒成立，求实数λ的最大值． 【解答】 由λSn≤Tn＋1，λ＞0，得λ·n2≤＋1＝2n，即λ≤对任意的n∈N*恒成立，当n＝1时，＝2；当n≥2时，设数列在第n项取得最小值，则解得＋1≤n≤＋2，而n∈N*，则n＝3，此时取得最小值，由于＜2，即λ≤，则实数λ的最大值为． B组　创新题体验 14．(2025·德州期中节选)已知数列{an}，从中选取第i1项，第i2项，…，第im项(i1＜i2＜…＜im)，顺次排列构成数列{bk}，其中bk＝aik，1≤k≤m，则称新数列{bk}为{an}的长度为m的子列．规定：数列{an}的任意一项都是{an}的长度为1的子列． (1) 写出2,8,4,7,5,6,9的三个长度为4的递增子列； 【解答】 根据题意可知，从所有数字中任意取4个并按照从小到大的顺序排列，即可得出符合题意的递增子列，可取2,4,7,9；2,4,5,6；2,4,5,9；2,4,6,9；2,5,6,9；4,5,6,9中任意三个． (2) 若数列{an}满足an＝3n－1，n∈N*，其子列{bk}的长度m＝4，且{bk}的每一子列的所有项的和都不相同，求＋＋＋的最大值． 【解答】 因为{bk}的长度m＝4，且{bk}的每一子列的所有项的和都不相同，由an＝3n－1可知b1＜b2＜b3＜b4，为使＋＋＋的值最大，所以尽量使b1，b2，b3，b4的取值最小即可，从而b1的最小值为2，b2的最小值为5，取b1＝2，b2＝5．因为b1＋b2＝2＋5＝7，则b3的最小值为8，取b3＝8．若b4＝11，则b1＋b4＝2＋11＝13＝b2＋b3，不符合题意；若b4＝14，则b1＋b3＝10，b2＋b3＝13，b1＋b4＝16，b2＋b4＝19，b3＋b4＝22；b1＋b2＋b3＝15，b1＋b2＋b4＝21，b1＋b3＋b4＝24，b2＋b3＋b4＝27；b1＋b2＋b3＋b4＝29，以上数值均不相同，所以b4的最小值为14．当b1，b2，b3，b4均取最小值时，则，，，均取到对应的最大值，所以＋＋＋的最大值为＋＋＋＝． 学科网（北京）股份有限公司 $