专题01 集合与逻辑（期中复习讲义）高一数学上学期沪教版

专题01 集合与逻辑 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 集合的概念与集合元素的性质 考点二 集合间的关系（子集、真子集、空集） 考点三 集合交、并、补运算 考点四 命题、推出关系 考点五 充分条件、必要条件、充要条件 考点六 反证法 05 重难题型突破 题型01 集合间的基本关系 题型02 集合的基本运算 题型03 根据集合的运算求参数 题型04 充分条件和必要条件的判断 题型05 根据充分条件、必要条件求参数 题型06 充要条件的证明 题型07 命题与反证法 题型08 集合的新定义 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 1.命题考点分布 集合元素特征（确定性、互异性、无序性）、集合表示方法、元素与集合关系、子集与真子集、空集相关性质、集合交并补运算、含参数集合问题，以及命题判断、充分必要条件、推出关系为本章节高频考点；互异性检验、忽略空集讨论、充分必要条件集合范围判断失误是主要失分点。 2.命题角度特点 基础题：考查集合简单运算、命题真假判断，侧重概念记忆； 中档题：结合集合包含、运算结果求参数范围，极易遗漏空集，数集运算常利用数轴判断端点；逻辑板块重点考查充分、必要条件判定，巧用“小充分，大必要”集合口诀解题； 命题联动：集合常搭配不等式，逻辑部分可与集合综合出题，反证法偶尔出现在简单证明。 3.考情总结 期中多以选择、填空题考查，部分试卷解答题开篇设置集合运算，整体以基础、中档题为主。逻辑条件判断属于易混淆易错题型，反证法考查频次偏低，本专题极少设置压轴难题，侧重基础概念与简单综合应用。 识记 1.熟记集合核心概念，牢记元素三大特性、常用数集符号，掌握列举法、描述法、区间三种集合表示。 2.记牢子集、真子集、空集的定义与子集个数相关公式；熟记交、并、补的符号与运算性质。 3.掌握命题、推出关系概念，熟记充分、必要、充要条件定义，背诵小充分，大必要口诀，记住反证法四步步骤，做到符号书写规范，概念不混淆。 理解 1.深入理解互异性、空集的本质含义，分清子集与真子集的差异，读懂各类集合表达形式。 2.理解交、并、补的集合含义，区分逻辑连词“且”与“或”；理解推出关系的逻辑意义。 3.弄懂充分必要条件与集合范围的对应关系；理解反证法的推理逻辑，能够区分命题的条件和结论，辨别命题真假。 应用 1.能灵活选用集合的三种表示方法，借助数轴完成交并补运算，处理含参集合务必讨论空集、检验互异性。 2.熟练运用子集个数公式；依靠集合范围判定充分、必要条件，准确辨析四种条件类型。 3.会举反例反驳假命题，简单题型可使用反证法证明；结合不等式解决集合综合题，谨慎处理区间端点取舍。 考点一 集合的概念与集合元素的性质 1.集合元素三大特性：确定性、互异性、无序性。期中考试中互异性是高频考点，常结合含参数题目考查。确定性要求对象能够明确判定是否属于该集合；互异性要求集合内部元素互不重复；无序性代表集合元素没有先后排列顺序。 2.熟练记忆常用数集符号：N自然数集（包含0）、（）正整数集、Z整数集、Q有理数集、R实数集，注意区分自然数集与正整数集的区别。 3.集合的三种表示方法：列举法、描述法、区间法。列举法适合元素数量较少的有限集合；描述法重点关注竖线前面的代表元素；区间法专门用来表示实数集合，需区分闭区间、开区间、半开半闭区间端点能否取到。 ⚠️易混易错 使用描述法解题，一定要看清代表元素，代表元素不同，集合表示的含义就完全不同；求解参数得到结果后，务必回代原式检验互异性，剔除会造成元素重复的参数；区分∅与{∅}，∅是空集，不含任何元素，而{∅}是以空集作为元素的集合，里面存在一个元素，并不是空集。 考点二 集合间的关系（子集、真子集、空集） 1.子集定义：若集合A中任意一个元素都属于集合B，则A⊆B，集合自身是本身的子集；真子集A⫋B，代表A是B的子集，同时B中存在元素不在A内；集合相等：A⊆B且B⊆A，即两个集合元素完全相同。 2.空集两条核心规定：∅是任意集合的子集；∅是任意非空集合的真子集，空集没有真子集。 3.若集合含有n个元素：子集个数个，非空子集−1，真子集−1，非空真子集−2。该公式在期中填空、选择题中高频考查。 ⚠️易混易错 已知子集关系求参数题型，千万不能忽略空集的讨论，这是期中最普遍的失分点；分清符号∈与⊆，∈用于元素和集合之间，⊆用于集合与集合之间，二者不可混用；计算子集个数前，要先用互异性确定集合真实元素个数，不要直接代入题目给出的字母数量。 考点三 集合交、并、补运算 1.交集A∩B：由既属于A又属于B的全部公共元素组成，对应逻辑连词且；并集A∪B：把属于A或者属于B的所有元素合并，对应逻辑连词或，并集结果自动去重。牢记交集、并集的交换律、结合律等运算性质。 2.补集A：在给定全集U中，剔除集合A所有元素后剩余元素构成的集合；没有特殊说明时，全集默认U=R，如果题目指定其他全集，必须严格按题干执行。 3.面对连续实数构成的数集运算，优先借助数轴辅助分析，做题时仔细判断区间端点是否包含，也就是等号取舍问题。 ⚠️易混易错 混淆逻辑连接词"且"与"或"，导致交集、并集运算结果颠倒；数轴解题时端点的等号取舍容易出错；做补集运算时直接默认全集是实数集，忽略题干给定的限定全集；混淆A∩B=∅与A∪B=∅的含义。 考点四 命题、推出关系 1.命题定义：能够判断真假的陈述句，分为真命题、假命题。疑问句、感叹句、祈使句无法判断真假，都不属于命题。 2.推出关系：如果命题"若p，则q"为真命题，记作p⇒q，表示由条件p可以推理得到结论q；推出关系具备传递性：若p⇒q，q⇒r，则p⇒r，这是逻辑推理的基础。 3.命题真假判定：证明一个命题为假，只需举出一个反例；证明命题为真，需要完整严谨的逻辑推理，可选用直接证明或反证法。 ⚠️易混易错 把疑问句、祈使句当成命题；p⇒q成立，不代表q⇒p也成立，不能随意逆推；举反例只需找到一个满足条件但不满足结论的例子，不需要多个；注意区分命题的条件p和结论q，不要颠倒二者位置。 考点五 充分条件、必要条件、充要条件 1.若p⇒q：p是q的充分条件，q是p的必要条件；当p⇒q同时q⇒p，记作p⇔q，二者互为充要条件。 2.四类条件辨析：充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要条件，期中常以选择题形式考查。 3.实用判断口诀：小充分，大必要。可以把条件p、q转化为对应集合，通过集合范围大小快速判断条件关系。 ⚠️易混易错 分不清谁推出谁，把充分条件、必要条件搞颠倒；不会将文字条件转化为对应集合，不会使用"小充分，大必要"；做题时混淆条件和结论，误把结论当作条件去推导；注意充要条件需要双向都可以推出，只单向推导不成立。 考点六 反证法 1.反证法完整四步流程：分清命题的条件与结论；做出与原结论相互矛盾的假设；从假设和已知条件出发推理，推导出矛盾；由矛盾判定假设错误，从而肯定原命题结论成立。 2.推出的矛盾可以分为三类：与题目已知条件矛盾、与公理定理矛盾、推导出自相矛盾。期中考试一般以简单证明小题的形式出现。 ⚠️易混易错 反证法只需要否定结论，条件保持不变，不能否定题目已知条件；做假设时，没有写出结论的完整反面，出现漏情况；推理过程中加入题目没有给出的额外条件，推理必须依托已知条件和假设；注意识别什么时候适合用反证法。 题型01 集合间的基本关系 💡破题要诀 判断子集、真子集、集合相等，优先分析集合内元素，有不等式则借助数轴或韦恩图辅助分析。 遇到，必须优先讨论的情况，不要直接忽略空集。计算子集个数先统计集合元素个数，套用相关公式，做完核对子集、真子集、非空的区别，防止公式用错。 【例1】已知集合 或， ．若 ，则实数 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】． 若，则，满足； 若，由得，即， 因其含有端点，故需，即，得； 若，由得，即， 同理需，即，得； 综上的取值范围是． 【例2】已知集合，若，则实数的取值是_________ 【答案】或 【详解】由题意可知，解得且且， 又因为， 所以或， 由，可得或（舍）； 由，可得或（舍）； 综上，或. 【变式1-1】已知，则集合的子集个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】由， 可得，集合中有个元素，故子集个数. 【变式1-2】设，，，若，则_______． 【答案】 【详解】，，且， 根据集合相等条件可得，，即， 所以． 【变式1-3】若集合有且仅有两个子集，则实数的值为_______. 【答案】或 【详解】集合有且仅有两个子集，即集合只有个元素， 即方程只有1个解， 当时，即，，，只有个解，符合要求； 当时，，解得. 综上，或. 题型02 集合的基本运算 💡破题要诀 做交、并、补运算，分清逻辑词汇：交集对应“且”，并集对应“或”，补集要看清题目给定的全集。 涉及不等式、区间运算，画数轴标记范围，重点检验区间端点，确认等号是否可取。可以借助韦恩图简化分析，运算结束后回代元素，验证结果是否符合集合运算定义。 【例3】设全集，集合，，则（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【详解】因为集合，， 所以，所以或. 【例4】已知：，，则用列举法表示_____． 【答案】 【详解】由两式相加得：， 代入，得：， 所以. 【变式2-1】已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知，， 则，即. 【变式2-2】集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由， 解不等式，得， ，， 又， . 【变式2-3】已知全集，集合，. (1)求，； (2)求，. 【答案】(1)， (2)，或 【分析】 【详解】（1）因为，， 所以， . （2）因为，， 所以或. 又，所以. 又或 所以或. 题型03 根据集合的运算求参数 💡破题要诀 由集合运算结果反求参数，第一步优先考虑集合为空集的可能性，空集是高频漏解点。 把集合条件转化为不等式或者方程，借助数轴定位参数范围；求出参数之后，代入原集合检验元素互异性，剔除造成元素重复的取值，最后综合所有有效情况写出答案。 【例5】已知集合，，若，则实数a的值为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】，或. 当时，不成立； 当时，即时，合题意. 综上，实数的值为. 【例6】集合或.若，则的取值范围是_______； 【答案】 【详解】集合或， 由，得，解得， 所以的取值范围为. 【变式3-1】已知集合，集合，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，解得或， 因为，所以， 当时，，此时满足， 当时，令，解得， 此时得到，解得， 当时，令，解得， 可得，解得，综上可得，故B正确. 【变式3-2】若，，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由补集的性质知，又因为，所以. 又，，所以. 即实数的取值范围是. 【变式3-3】已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）当时，，又， 所以． （2）由知．当时，，解得． 当时，，解得． 综上，实数的取值范围为． 题型04 充分条件和必要条件的判断 💡破题要诀 可以用定义法，判断与是否成立；也可以转化集合，记住口诀“小充分，大必要”。 先找准谁是条件、谁是结论，不要颠倒两者位置。若条件对应集合范围更小，则为充分条件；范围更大，则为必要条件，做完再举简单例子验证推导关系是否成立。 【例7】设都是实数，则“且”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为且，所以且， 所以“且”是“且”的充分条件； 当，，满足且，但不满足且， 所以“且”是“且”的不必要条件； 所以“且”是“且”的充分不必要条件. 【例8】使或成立的一个充分不必要条件是（ ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】C 【详解】由题意可得只需满足所选条件组成的集合是集合或的真子集即可，因为集合是集合或的真子集，故C正确. 【变式4-1】设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，满足，但， 若，因为， 所以成立， 故“”是“”的必要不充分条件. 【变式4-2】设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，得，当且仅当时取等号， 反之，由，得，，则， 因此“”是“”的必要不充分条件. 【变式4-3】下列命题正确的是（ ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”的充要条件是“” C．“”是“”的既不充分也不必要条件 D．“，”是“”的必要不充分条件 【答案】A 【详解】对于A，当时，，所以“”是“”的不充分条件； 由，可得，所以，所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件，故A正确； 对于B，取，满足，但此时无意义， 所以“”是“”的不必要条件； 由，得，所以， 所以“”是“”的充分条件； 所以“”的充分不必要条件是“”，故B错误； 对于C，由，得，解得或. 但得不出或，所以“”是“”的不充分条件； 又或可得出，所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件，故C错误； 对于D，当，时，有成立， 所以“，”是“”的充分条件； 而，但，不成立，即由不能得到，， 所以“，”是“”的不必要条件； 所以，“，”是“”的充分不必要条件，故D错误. 题型05 根据充分条件、必要条件求参数 💡破题要诀 将充分、必要条件翻译成两个集合之间的包含关系，充分条件对应子集关系，必要条件对应超集关系。 画出数轴写出参数对应的不等式组，仔细处理端点能否取等号。 不要忘记讨论集合为空集的特殊情形；解完参数，选取边界数值代入原题检验，排除不符合题意的边界取值。 【例9】已知和，且是的必要条件但不是充分条件，则实数的取值集合为________. 【答案】 【详解】由，得或，故； 由，得：，故； “ 是 的必要条件但不是充分条件”等价于 且 ， 或 ， 解得：或. 故答案为： 【例10】设全集，集合，非空集合，其中. (1)若“”是“”的充分条件，求的取值范围； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1） 由题意得到，由“”是“”的充分条件可得， 则 ，解得，则实数的取值范围是. （2）由于集合B为非空集合，所以，解得， 由“”是“”的必要不充分条件可得是的真子集， 所以 ，解得，所以， 当且仅当 ，即 时，.该方程组无解，所以恒成立，因此是的真子集的条件与的条件相同 故实数a的取值范围是. 【变式5-1】已知命题，或，若是的充分不必要条件，则的取值范围为_______． 【答案】 【详解】命题对应集合， 命题对应集合或， 若是的充分不必要条件，则集合是集合的真子集， 则有或，解得或，即， 又，故的取值范围为. 【变式5-2】若“或”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________． 【答案】 【详解】由必要不充分条件的定义可知或，或，所以或，即或． 【变式5-3】已知命题：“关于的方程有一正根一负根”为真命题． (1)求实数的取值范围； (2)命题：，是否存在实数使得是的充分不必要条件，若存在，求出实数的取值范围：若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【详解】（1）因为命题为真命题，所以，解得 所以实数的取值范围是． （2）令，， 因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 则，解得， 综上所述，存在符合条件的实数，且实数的取值范围是． 题型06 充要条件的证明 💡破题要诀 充要条件证明分为两个方向，既要证明充分性（条件⇒结论），又要证明必要性（结论⇒条件），两个方向缺一不可。 审题分清充分性、必要性分别对应的推导顺序，避免证明方向写反。推理过程逻辑严谨，每一步要有依据；证明完成后，简单反向验证，确认双向推导均可以成立 【例11】已知，是正实数，求证：成立的充要条件是. 【答案】证明: ， ， 因为，是正实数， 所以， 得证. 【详解】略. 【例12】已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 【答案】 必要性：设方程与的公共根为， 则，，两式相加，得或（因为，所以不成立，故舍去）， 将代入，得， 整理得，所以，因此，必要性成立． 充分性：当时，． 可化为，即， 所以方程的两根为，． 同理，由可得， 所以方程的两根为，． 显然，故两方程有一个公共根，因此充分性成立． 故关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 【详解】略 【变式6-1】已知，证明：“”是“”的充要条件. 【答案】证明: 先证充分性： 由得，则，因此； 再证必要性： 由，得，由，得， 因此，则 所以“是“”的充要条件. 【详解】略. 【变式6-2】证明：“中两边上的高相等”是“为等腰三角形”的充要条件． 【答案】充分性：在中，设边上的高为，边上的高为． 则， 因为，所以， 故为等腰三角形，充分性成立． 必要性：若为等腰三角形，设，边上的高为，边上的高为， 则根据三角形面积公式， 可得，必要性成立． 故“两边上的高相等”是“为等腰三角形”的充要条件． 【详解】略 【变式6-3】设函数，且，证明：对于，的充要条件是. 【答案】 证明：因为，所以函数图象的对称轴为直线， 所以. 先证充分性：因为，且，所以； 再证必要性：因为对于，，所以，即，从而. 综上可知，对于，的充要条件是. 【详解】略 题型07 命题与反证法 💡破题要诀 判断命题，看语句是否为可以判断真假的陈述句；假命题只需要举出一个反例即可否定。 运用反证法时，只否定命题的结论，不否定已知条件，从假设出发推理，推出与条件、公理矛盾。 注意结论否定要写正确，遇到“至少、至多”类词语，准确改写反面表述，最后说明假设错误，原命题成立。 【例13】已知，且，求证：和至少有一个大于． 【答案】 假设和都不大于，则， 又，所以， 所以，与矛盾，故假设不成立， 所以和至少有一个大于. 【详解】略 【例14】已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，求实数的取值范围？ 【答案】或 【详解】由已知命题“存在，使得等式成立”是假命题， 等价于“任意，等式成立”是真命题， 又因为，所以，要使，则需或. 所以实数的取值范围为或. 【变式7-1】用反证法证明命题：“若，则”时，应假设________. 【答案】或 【详解】用反证法证明命题“若，则”，应假设为“或”. 故答案为：或. 【变式7-2】已知全集，命题甲：已知集合；命题乙：已知集合，且. (1)若命题甲为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题乙是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题甲和乙中至少有一个真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）根据题意，， 由于，所以，得， 所以实数的取值范围为； （2）当命题乙是真命题时，方程无正数解， 当方程无解时，即，得，解得； 当方程有唯一解时，即，得，解得或， 当时，此时方程为，解得，不符合条件； 当时，此时方程为，解得，符合条件； 当方程有两个解时，即，得，解得或， 当两个解为负时，则满足，解得, 所以 综上所述，实数a的取值范围是. （3）当命题甲是真命题时，由题意得，解得， 由（2）可知命题乙是真命题时，， 命题甲和乙中至少有一个真命题，得， 综上所述，命题甲和乙中至少有一个真命题，实数a的取值范围为. 【变式7-3】用反证法证明：“已知，若，则.” 【答案】 假设， 则， 与矛盾， 故假设不成立，所以原命题成立. 【详解】略 题型08 集合的新定义 💡破题要诀 认真读懂题目给出全新集合定义，把陌生定义拆解翻译成熟悉的交、并、子集等原有集合运算。 严格遵循题干规则，不能凭固有经验主观修改定义。可以代入简单小例子理解规则，再处理题目问题，做完选取特殊元素代入，检验是否符合题目给出的新定义。 【例15】有限集所含元素个数用表示，定义，已知，集合，，若，则的所有可能取值个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】由题意，得集合，故， 又，或， 由题意可知，为关于的方程的一根， 当时，则，则方程只有一个实根，可得， 此时方程无实数根，则满足条件， 当时，则方程有三个实根，必有， 此时，关于的方程的两根分别为，分以下两种情况讨论： ①若是方程的一根时，则，解得， 当时，则，合乎题意； 当时，则，合乎题意； ②当方程有两个相等的实根，则，解得， 当时，则，合乎题意； 当时，则，合乎题意； 综上，的可能的取值为. 【例16】若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素，但互不为对方的子集，则称两个集合构成“偏食”.对于集合，，若这两个集合构成“全食”或“偏食”，则实数a的取值集合为___________. 【答案】 【详解】当时，集合为空集，则集合是集合的子集，两集合构成“全食”， 当时，， 两集合无论构成“全食”还是“偏食”，两集合的交集都不能是空集， 若，则，此时，满足，两集合构成“全食”； 若，则，此时，两集合构成“偏食”； 综上所述，的取值集合为. 【变式8-1】已知非空数集M具有如下性质：①若则；②若，则．下列说法中正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对于A，由于集合非空，取任意元素，根据性质①，得， 若，令，，则，， 令，，不存在，即，矛盾，所以，A错误； 对于B，因为，根据性质②，得，进而，，…，，，B错误； 对于C，因为，，所以，因为，，所以，C正确； 对于D，若，，则，D错误． 【变式8-2】已知集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”，则下列说法中正确的是_________． ①不是“可分集合”； ②是“可分集合”； ③四个元素的集合可能是“可分集合”； ④五个元素的集合不是“可分集合”． 【答案】①②④ 【详解】对于①，去掉3后，不满足定义，不是“可分集合”，①正确； 对于②，集合所有元素之和为， 当去掉元素1时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素3时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素5时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素7时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素9时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意， 因此集合是“可分集合”，②正确； 对于③，不妨设，去掉，则，去掉，则， 于是，与矛盾，因此一定不是“可分集合”，③错误； 对于④，不妨设， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有（1），或者（2）， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有（3），或者（4）， 由（1）（3）或（2）（4）得，矛盾； 由（1）（4）或（2）（3）得，矛盾， 因此集合不是“可分集合”，④正确． 【变式8-3】设集合是非空数集，若对任意、，都有，则称集合为“闭集合”．则下列说法正确的是________ ①．正整数集是“闭集合”           ②．集合是“闭集合” ③．若集合是“闭集合”，则集合可以是有限集 ④．若集合、都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 【答案】①③④ 【详解】对于①，对任意的、，必有成立，故正整数集是“闭集合”，①正确； 对于②，对于，因，故集合不是“闭集合”，②错误； 对于③，若取，因、、均在集合中，即为“闭集合”，③正确； 对于④，对任意的、，则、且、， 因为集合、都是“闭集合”，所以且，故， 因此一定是“闭集合”，④正确． 基础固本练（限时：15分钟） 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 因为，所以. 2．对任意实数，给出下列命题，其中真命题是（ ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”是“ ”的充要条件 【答案】D 【详解】当，时，满足，但，所以由“”推不出“”， 则“”不是“”的充分条件，故错误； 若“”，则一定有“”， 所以“”是“”的必要条件，故错误； 当，，时，满足，但， 所以“”不是“”的充要条件，故错误； ，所以“”是“ ”的充要条件，故正确． 3．设集合，，若，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】由且集合中的元素互不相同，是两集合的公共元素，故有． 分两种情况： ①且． 因，得； 代入，得． ②且． 则，从而，与矛盾． 所以，从而． 4．已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为______ 【答案】 【详解】由得. 因为是的充分不必要条件， 所以，解得. 所以实数的取值范围为. 5．设集合，则________． 【答案】 【详解】联立方程，解得或. 所以. 6．用反证法证明命题“已知为正数，为正整数，求证：如果，那么”时，应当作出的假设为：“假设___________________”. 【答案】 【详解】反证法的核心逻辑是：先否定原命题的结论，再通过推导引出矛盾，从而反证原结论成立. 本题中原命题的结论是“”，对这个结论的全盘否定就是“不大于”，即，故应假设. 7．已知命题“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【详解】当“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集，即. 故答案为：. 8．（1）已知集合，，求：； （2）已知集合，，若，求实数的取值集合. 【答案】（1），；（2） 【详解】（1）集合，， 则或，， 则，； （2），，， 则，且，故只需，解得， 验证：当时，，，满足，且集合元素满足互异性， 因此m的取值集合为. 9．已知集合，． (1)当时，求实数的范围； (2)设；，若是的必要不充分条件，求实数的范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，即. （2）由题可得是的真子集， 当时，则； 当时，，则（等号不同时成立），解得 综上，实数的范围为． 10．已知集合，，． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意，对进行因式分解可得： ，求解可得：，因此， 解绝对值不等式可得，因此， 因为，所以，分两种情况讨论： 当为空集时：即，解得，此时空集是任意集合的子集，符合条件， 当为非空集合时：即，要使，需满足 ， 解得，综上所述，的取值范围是. （2）因为，且，所以集合与集合有交集， 当为空集时，即，此时，不符合题意， 当为非空集合时，即，要使，需满足， 解得，综上所述，的取值范围是. 11．已知命题：关于的方程有实数根． (1)若命题为真命题，求实数的取值集合； (2)已知集合，判断“”是“”的什么条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选择），并简要说明理由． 【答案】(1) (2)充分不必要条件.理由：由于，，故是A的真子集， 故“”是“”的充分不必要条件. 【详解】（1）命题：关于的方程有实数根，则， 即，故； （2）充分不必要条件. 理由略 综合进阶练（限时：15分钟） 12．“集合恰有3个真子集”的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若一个集合的元素个数为，则它的真子集个数为. 因为集合恰有个真子集，所以集合中只有个元素， 因为，，则有当，时，；当，时，；当，时，， 则的取值范围为． 充分不必要条件要求选项对应的的范围应该是集合的真子集. 选项，：与集合相等，为充要条件，错误； 选项，：是集合的真子集，为充分不必要条件，正确； 选项，：包含集合，为必要不充分条件，错误； 选项，：与集合相交，互相不包含，为既不充分也不必要条件，错误. 13．学校举办秋季运动会，某班级报名参加跑步比赛的有15人，参加球类比赛的有14人，参加跳绳比赛的有8人，其中只报名参加一项比赛的有20人，则兼报三项比赛的人数最多为______． 【答案】5 【详解】设兼报三项比赛的人数为人，报两项比赛的人数为人， 参加比赛的总人数为人， 因为只报名参加一项比赛的有20人，所以由容斥原理得，即， 因为，，所以，即， 因为为整数，所以最大为5，此时， 因此兼报三项比赛的人数最多为5人. 14．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得 ， ， 所以， 故． 15．证明：若，则或. 【答案】 证明：反证法证明，假设且， 且，，这与已知条件矛盾， 假设不成立，原命题成立， 即“若，则或”成立. 【详解】略 16．已知集合. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)或 【分析】 【详解】（1）当时，，又，所以， 又或，所以. （2）因为，则，又， 当，即时，，符合题意， 当时，，由，得到，解得， 所以实数的取值范围为或. 17．已知，． (1)若是的充分不必要条件，求的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】 【详解】（1）由，可知， 因为p是q的充分不必要条件，所以，解得， 即a的取值范围是． （2）当，即时，，满足题意， 当，即时，或， 因为是p的必要不充分条件，所以或， 解得或， 综上，a的取值范围是得或． 18．关于的方程（）的解集为（），关于的方程（）的解集为 (1)求证： (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明： 设，∴，故， ∴是方程的解，∴，∴； (2) 【分析】 【详解】（1）略； （2）∵，∴有实根， ∴，∴， ∵集合为方程即的根的集合， 由（1）的结论且集合为方程根的集合， ∴因式分解后必定含有因式， 由多项式的除法：， ∵，∴无实根或其根为方程的根， 当无实根时， ，解得， 当的根为方程的根时， ①当有两不等实根时，由韦达定理，其根不可能与的根相同； ②当有两相等实根时，即即时， 方程的根为，此根刚好是的根，满足条件． 综上：故的取值范围是. 19．已知命题：关于的方程有实数根，命题：. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围 (3)当时，若与有且只有一个真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】 【详解】（1）因为命题是真命题， 所以． 即，解得， 所以实数a的取值范围是； （2）由（1）可知：， 记，， 因为是的必要不充分条件，所以， 所以或， 解得，所以实数的取值范围是； （3）当时，命题：， 当命题为真，命题为假时，此时； 当命题为假，命题为真时，此时； 综上，实数得取值范围为：或. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与逻辑 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 集合的概念与集合元素的性质 考点二 集合间的关系（子集、真子集、空集） 考点三 集合交、并、补运算 考点四 命题、推出关系 考点五 充分条件、必要条件、充要条件 考点六 反证法 05 重难题型突破 题型01 集合间的基本关系 题型02 集合的基本运算 题型03 根据集合的运算求参数 题型04 充分条件和必要条件的判断 题型05 根据充分条件、必要条件求参数 题型06 充要条件的证明 题型07 命题与反证法 题型08 集合的新定义 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 1.命题考点分布 集合元素特征（确定性、互异性、无序性）、集合表示方法、元素与集合关系、子集与真子集、空集相关性质、集合交并补运算、含参数集合问题，以及命题判断、充分必要条件、推出关系为本章节高频考点；互异性检验、忽略空集讨论、充分必要条件集合范围判断失误是主要失分点。 2.命题角度特点 基础题：考查集合简单运算、命题真假判断，侧重概念记忆； 中档题：结合集合包含、运算结果求参数范围，极易遗漏空集，数集运算常利用数轴判断端点；逻辑板块重点考查充分、必要条件判定，巧用“小充分，大必要”集合口诀解题； 命题联动：集合常搭配不等式，逻辑部分可与集合综合出题，反证法偶尔出现在简单证明。 3.考情总结 期中多以选择、填空题考查，部分试卷解答题开篇设置集合运算，整体以基础、中档题为主。逻辑条件判断属于易混淆易错题型，反证法考查频次偏低，本专题极少设置压轴难题，侧重基础概念与简单综合应用。 识记 1.熟记集合核心概念，牢记元素三大特性、常用数集符号，掌握列举法、描述法、区间三种集合表示。 2.记牢子集、真子集、空集的定义与子集个数相关公式；熟记交、并、补的符号与运算性质。 3.掌握命题、推出关系概念，熟记充分、必要、充要条件定义，背诵小充分，大必要口诀，记住反证法四步步骤，做到符号书写规范，概念不混淆。 理解 1.深入理解互异性、空集的本质含义，分清子集与真子集的差异，读懂各类集合表达形式。 2.理解交、并、补的集合含义，区分逻辑连词“且”与“或”；理解推出关系的逻辑意义。 3.弄懂充分必要条件与集合范围的对应关系；理解反证法的推理逻辑，能够区分命题的条件和结论，辨别命题真假。 应用 1.能灵活选用集合的三种表示方法，借助数轴完成交并补运算，处理含参集合务必讨论空集、检验互异性。 2.熟练运用子集个数公式；依靠集合范围判定充分、必要条件，准确辨析四种条件类型。 3.会举反例反驳假命题，简单题型可使用反证法证明；结合不等式解决集合综合题，谨慎处理区间端点取舍。 考点一 集合的概念与集合元素的性质 1.集合元素三大特性：_______、_______、_______。期中考试中_______是高频考点，常结合含参数题目考查。_______要求对象能够明确判定是否属于该集合；_______要求集合内部元素互不重复；_______代表集合元素没有先后排列顺序。 2.熟练记忆常用数集符号：_______自然数集（包含0）、_______正整数集、_______整数集、_______有理数集、_______实数集，注意区分自然数集与正整数集的区别。 3.集合的三种表示方法：_______、_______、_______。_______适合元素数量较少的有限集合；_______重点关注竖线前面的代表元素；_______专门用来表示实数集合，需区分闭区间、开区间、半开半闭区间端点能否取到。 ⚠️易混易错 使用描述法解题，一定要看清代表元素，代表元素不同，集合表示的含义就完全不同；求解参数得到结果后，务必回代原式检验互异性，剔除会造成元素重复的参数；区分∅与{∅}，∅是空集，不含任何元素，而{∅}是以空集作为元素的集合，里面存在一个元素，并不是空集。 考点二 集合间的关系（子集、真子集、空集） 1.子集定义：若集合A中任意一个元素都属于集合B，则A_______B，集合自身是本身的_______；真子集A_______B，代表A是B的子集，同时B中存在元素不在A内；集合相等：A⊆B且B⊆A，即两个集合元素完全_______。 2.空集两条核心规定：∅是任意集合的_______；∅是任意非空集合的_______，空集没有真子集。 3.若集合含有n个元素：子集个数_______个，非空子集_______，真子集_______，非空真子集_______。该公式在期中填空、选择题中高频考查。 ⚠️易混易错 已知子集关系求参数题型，千万不能忽略空集的讨论，这是期中最普遍的失分点；分清符号∈与⊆，∈用于元素和集合之间，⊆用于集合与集合之间，二者不可混用；计算子集个数前，要先用互异性确定集合真实元素个数，不要直接代入题目给出的字母数量。 考点三 集合交、并、补运算 1.交集A∩B：由既属于A又属于B的全部公共元素组成，对应逻辑连词_______；并集A∪B：把属于A或者属于B的所有元素合并，对应逻辑连词_______，并集结果自动去重。牢记交集、并集的交换律、结合律等运算性质。 2.补集A：在给定全集U中，剔除集合A所有元素后剩余元素构成的集合；没有特殊说明时，全集默认U=R，如果题目指定其他全集，必须严格按题干执行。 3.面对连续实数构成的数集运算，优先借助_______辅助分析，做题时仔细判断区间_______是否包含，也就是等号取舍问题。 ⚠️易混易错 混淆逻辑连接词"且"与"或"，导致交集、并集运算结果颠倒；数轴解题时端点的等号取舍容易出错；做补集运算时直接默认全集是实数集，忽略题干给定的限定全集；混淆A∩B=∅与A∪B=∅的含义。 考点四 命题、推出关系 1.命题定义：能够判断真假的_______，分为真命题、假命题。疑问句、感叹句、祈使句无法判断真假，都不属于命题。 2.推出关系：如果命题"若p，则q"为真命题，记作_______，表示由条件p可以推理得到结论q；推出关系具备传递性：若p⇒q，q⇒r，则_______，这是逻辑推理的基础。 3.命题真假判定：证明一个命题为假，只需举出一个_______；证明命题为真，需要完整严谨的逻辑推理，可选用直接证明或反证法。 ⚠️易混易错 把疑问句、祈使句当成命题；p⇒q成立，不代表q⇒p也成立，不能随意逆推；举反例只需找到一个满足条件但不满足结论的例子，不需要多个；注意区分命题的条件p和结论q，不要颠倒二者位置。 考点五 充分条件、必要条件、充要条件 1.若p⇒q：p是q的_______条件，q是p的_______条件；当p⇒q同时q⇒p，记作p⇔q，二者互为_______条件。 2.四类条件辨析：_______、_______、_______，期中常以选择题形式考查。 3.实用判断口诀：小充分，大必要。可以把条件p、q转化为对应_______，通过集合范围大小快速判断条件关系。 ⚠️易混易错 分不清谁推出谁，把充分条件、必要条件搞颠倒；不会将文字条件转化为对应集合，不会使用"小充分，大必要"；做题时混淆条件和结论，误把结论当作条件去推导；注意充要条件需要双向都可以推出，只单向推导不成立。 考点六 反证法 1.反证法完整四步流程：分清命题的条件与结论；做出与_______相互矛盾的假设；从假设和已知条件出发推理，推导出矛盾；由矛盾判定假设_______，从而肯定原命题结论成立。 2.推出的矛盾可以分为三类：与题目已知条件矛盾、与公理定理矛盾、推导出自相矛盾。期中考试一般以简单证明小题的形式出现。 ⚠️易混易错 反证法只需要否定结论，条件保持不变，不能否定题目已知条件；做假设时，没有写出结论的完整反面，出现漏情况；推理过程中加入题目没有给出的额外条件，推理必须依托已知条件和假设；注意识别什么时候适合用反证法。 题型01 集合间的基本关系 💡破题要诀 判断子集、真子集、集合相等，优先分析集合内元素，有不等式则借助数轴或韦恩图辅助分析。 遇到，必须优先讨论的情况，不要直接忽略空集。计算子集个数先统计集合元素个数，套用相关公式，做完核对子集、真子集、非空的区别，防止公式用错。 【例1】已知集合 或， ．若 ，则实数 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】已知集合，若，则实数的取值是_________ 【变式1-1】已知，则集合的子集个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】设，，，若，则_______． 【变式1-3】若集合有且仅有两个子集，则实数的值为_______. 题型02 集合的基本运算 💡破题要诀 做交、并、补运算，分清逻辑词汇：交集对应“且”，并集对应“或”，补集要看清题目给定的全集。 涉及不等式、区间运算，画数轴标记范围，重点检验区间端点，确认等号是否可取。可以借助韦恩图简化分析，运算结束后回代元素，验证结果是否符合集合运算定义。 【例3】设全集，集合，，则（    ） A． B．或 C．或 D．或 【例4】已知：，，则用列举法表示_____． 【变式2-1】已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知全集，集合，. (1)求，； (2)求，. 题型03 根据集合的运算求参数 💡破题要诀 由集合运算结果反求参数，第一步优先考虑集合为空集的可能性，空集是高频漏解点。 把集合条件转化为不等式或者方程，借助数轴定位参数范围；求出参数之后，代入原集合检验元素互异性，剔除造成元素重复的取值，最后综合所有有效情况写出答案。 【例5】已知集合，，若，则实数a的值为（     ） A．1 B． C． D． 【例6】集合或.若，则的取值范围是_______； 【变式3-1】已知集合，集合，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】若，，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 题型04 充分条件和必要条件的判断 💡破题要诀 可以用定义法，判断与是否成立；也可以转化集合，记住口诀“小充分，大必要”。 先找准谁是条件、谁是结论，不要颠倒两者位置。若条件对应集合范围更小，则为充分条件；范围更大，则为必要条件，做完再举简单例子验证推导关系是否成立。 【例7】设都是实数，则“且”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例8】使或成立的一个充分不必要条件是（ ） A．或 B．或 C． D．或 【变式4-1】设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4-2】设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4-3】下列命题正确的是（ ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”的充要条件是“” C．“”是“”的既不充分也不必要条件 D．“，”是“”的必要不充分条件 题型05 根据充分条件、必要条件求参数 💡破题要诀 将充分、必要条件翻译成两个集合之间的包含关系，充分条件对应子集关系，必要条件对应超集关系。 画出数轴写出参数对应的不等式组，仔细处理端点能否取等号。 不要忘记讨论集合为空集的特殊情形；解完参数，选取边界数值代入原题检验，排除不符合题意的边界取值。 【例9】已知和，且是的必要条件但不是充分条件，则实数的取值集合为________. 【例10】设全集，集合，非空集合，其中. (1)若“”是“”的充分条件，求的取值范围； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 【变式5-1】已知命题，或，若是的充分不必要条件，则的取值范围为_______． 【变式5-2】若“或”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________． 【变式5-3】已知命题：“关于的方程有一正根一负根”为真命题． (1)求实数的取值范围； (2)命题：，是否存在实数使得是的充分不必要条件，若存在，求出实数的取值范围：若不存在，说明理由． 题型06 充要条件的证明 💡破题要诀 充要条件证明分为两个方向，既要证明充分性（条件⇒结论），又要证明必要性（结论⇒条件），两个方向缺一不可。 审题分清充分性、必要性分别对应的推导顺序，避免证明方向写反。推理过程逻辑严谨，每一步要有依据；证明完成后，简单反向验证，确认双向推导均可以成立 【例11】已知，是正实数，求证：成立的充要条件是. 【例12】已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 【变式6-1】已知，证明：“”是“”的充要条件. 【变式6-2】证明：“中两边上的高相等”是“为等腰三角形”的充要条件． 【变式6-3】设函数，且，证明：对于，的充要条件是. 题型07 命题与反证法 💡破题要诀 判断命题，看语句是否为可以判断真假的陈述句；假命题只需要举出一个反例即可否定。 运用反证法时，只否定命题的结论，不否定已知条件，从假设出发推理，推出与条件、公理矛盾。 注意结论否定要写正确，遇到“至少、至多”类词语，准确改写反面表述，最后说明假设错误，原命题成立。 【例13】已知，且，求证：和至少有一个大于． 【例14】已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，求实数的取值范围？ 【变式7-1】用反证法证明命题：“若，则”时，应假设________. 【变式7-2】已知全集，命题甲：已知集合；命题乙：已知集合，且. (1)若命题甲为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题乙是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题甲和乙中至少有一个真命题，求实数的取值范围. 【变式7-3】用反证法证明：“已知，若，则.” 题型08 集合的新定义 💡破题要诀 认真读懂题目给出全新集合定义，把陌生定义拆解翻译成熟悉的交、并、子集等原有集合运算。 严格遵循题干规则，不能凭固有经验主观修改定义。可以代入简单小例子理解规则，再处理题目问题，做完选取特殊元素代入，检验是否符合题目给出的新定义。 【例15】有限集所含元素个数用表示，定义，已知，集合，，若，则的所有可能取值个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例16】若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素，但互不为对方的子集，则称两个集合构成“偏食”.对于集合，，若这两个集合构成“全食”或“偏食”，则实数a的取值集合为___________. 【变式8-1】已知非空数集M具有如下性质：①若则；②若，则．下列说法中正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【变式8-2】已知集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”，则下列说法中正确的是_________． ①不是“可分集合”； ②是“可分集合”； ③四个元素的集合可能是“可分集合”； ④五个元素的集合不是“可分集合”． 【变式8-3】设集合是非空数集，若对任意、，都有，则称集合为“闭集合”．则下列说法正确的是________ ①．正整数集是“闭集合”           ②．集合是“闭集合” ③．若集合是“闭集合”，则集合可以是有限集 ④．若集合、都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 基础固本练（限时：15分钟） 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．对任意实数，给出下列命题，其中真命题是（ ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”是“ ”的充要条件 3．设集合，，若，则的值为（    ） A． B． C． D．或 4．已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为______ 5．设集合，则________． 6．用反证法证明命题“已知为正数，为正整数，求证：如果，那么”时，应当作出的假设为：“假设___________________”. 7．已知命题“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____. 8．（1）已知集合，，求：； （2）已知集合，，若，求实数的取值集合. 9．已知集合，． (1)当时，求实数的范围； (2)设；，若是的必要不充分条件，求实数的范围． 10．已知集合，，． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 11．已知命题：关于的方程有实数根． (1)若命题为真命题，求实数的取值集合； (2)已知集合，判断“”是“”的什么条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选择），并简要说明理由． 综合进阶练（限时：15分钟） 12．“集合恰有3个真子集”的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 13．学校举办秋季运动会，某班级报名参加跑步比赛的有15人，参加球类比赛的有14人，参加跳绳比赛的有8人，其中只报名参加一项比赛的有20人，则兼报三项比赛的人数最多为______． 14．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 15．证明：若，则或. 16．已知集合. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 17．已知，． (1)若是的充分不必要条件，求的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求的取值范围． 18．关于的方程（）的解集为（），关于的方程（）的解集为 (1)求证： (2)若，求实数的取值范围． 19．已知命题：关于的方程有实数根，命题：. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围 (3)当时，若与有且只有一个真命题，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $