第3章 第14讲 导数的几何意义和四则运算（word教参）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（提升版）

该高中数学高考复习讲义围绕导数的几何意义和四则运算核心考点，按概念（平均与瞬时变化率）、几何物理意义、运算公式法则及应用题型的逻辑架构整合知识。通过激活思维题组、聚焦知识梳理、题型突破（导数运算、切线方程等视角）、随堂内化真题训练的教学流程，帮助学生系统构建知识网络，突破难点。 讲义采用分层精练（A组夯基、B组提升）和真题融入策略，如结合2024全国甲卷、2025新高考Ⅰ卷真题讲解切线方程。通过区分“在某点处”与“过某点”切线培养数学思维，用公切线问题训练数学语言表达，确保学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏提供精准指导。

第三章　一元函数的导数及其应用 第14讲　导数的几何意义和四则运算 知识整合　体系重构 激活思维 1．(教材经典题)函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是(　　) A．f′(1)＞f′(2)＞f′(3)＞0 B．0＞f′(3)＞f′(2)＞f′(1) C．f′(3)＞f′(2)＞f′(1)＞0 D．f′(1)＞f′(2)＞0＞f′(3) 2．(教材经典题改编)(多选)下列求导运算正确的是(　　) A．y＝x5在x＝3处的导数是405 B．y＝ln x在x＝处的导数是 C．y＝sin x在x＝2π处的导数是0 D．y＝ex在x＝0处的导数是1 3．设函数f(x)满足 ＝1，则f′(x0)＝(　　) A．1　 B．2 C．　 D．3 4．(教材经典题)一个质量为m＝3 kg的物体做直线运动，设位移y(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数y(t)＝1＋t2 表示，并且物体的动能Ek＝mv2(单位：J)，则物体开始运动后第5 s时的动能为______J． 5．(教材经典题)曲线y＝在点处的切线方程是______． 聚焦知识 1．概念 (1) 平均变化率：已知函数y＝f(x)，把式子＝称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率． (2) 瞬时变化率：f(x)在x＝x0处的导数就是f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，即f′(x0)＝ ；当把上式中的x0看作变量x时，f′(x)即为f(x)的导函数，简称导数． 2．几何意义 曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是_______． 3．物理意义 若物体的位移函数为y＝s(t)，则瞬时速度v＝________，加速度a＝________． 4．运算 (1) 基本公式 ①C′＝0；②(xn)′＝__________； ③(sin x)′＝________； ④(cos x)′＝________； ⑤(ax)′＝________； ⑥(ex)′＝________； ⑦(logax)′＝_______； ⑧(ln x)′＝_______． (2) 运算法则 ①[f(x)±g(x)]′＝________； ②[f(x)g(x)]′＝_________； ③′＝_______；__ ④复合函数求导法则 [f(g(x))]′＝_________． 5．常用结论 (1) 奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． (2) 曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点． 题型突破　思维拓展 举题说法 导数的运算 视角1　导数的定义 例 1－1　(1) 已知某容器的高度为20 cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系式为h＝t3＋t2，当t＝t0时，液体上升高度的瞬时变化率为3 cm/s，则当t＝t0＋1时，液体上升高度的瞬时变化率为(　　) A．5 cm/s　 B．6 cm/s C．8 cm/s　 D．10 cm/s (2) 已知函数f(x)＝2ln x＋8x，则 的值为(　　) A．－20　 B．－10 C．10　 D．20 视角2　导数的运算 例 1－2　(1)(教材经典题)求下列函数的导数． ①y＝2x＋log2x；　　　②y＝； ③y＝(3x＋1)2ln(3x)；④y＝3xe－3x． (2) 已知函数f(x)＝x3＋f′(1)x2＋3x＋10，则f(3)＝(　　) A．－1　 B．0 C．－8　 D．1 (1) 求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导． (2) 抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解． (3) 复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元． 变式 1(1) 已知f(x)的导函数是f′(x)，若f′(x0)＝2，则 ＝(　　) A．　 B．1 C．2　 D．4 (2)(2026·镇江期初)(多选)下列求导结果正确的有(　　) A．(e2＋x)′＝e2＋1 B．′＝ C．′＝＋ D．(x2cos x)′＝2xcos x－x2sin x 导数的几何意义 视角1　求切线方程 例 2－1　(1)(2024·全国甲卷理)设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0,1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为(　　) A．　 B． C．　 D． (2) 已知曲线y＝x3＋，那么曲线过点P(2,4)的切线方程为_________． 求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解． 变式 2－1　(1)(2025·济南期初)曲线 y＝ln在点(0,0)处的切线方程为_______． (2)(2025·赣州期末)过点(0，－2)作曲线y＝x－的切线的斜率为____． 视角2　求参数值(或范围) 例 2－2　(1)(2025·新高考Ⅰ卷) 若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的切线，则a＝____． (2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是_______． 处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的关系列出有关参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上． 变式 2－2　(1)(2025·阳泉期末)若直线y＝3x＋a与曲线y＝ln x＋2x相切，则实数a的值为____． (2)(2025·芜湖期末)若过点(2，t)可以作曲线y＝ln x的两条切线，则实数t的取值范围是_______． 　公切线 例3　(1)(2025·广州二模节选)若直线l：y＝2x＋m与曲线y＝e2x和曲线y＝(a∈R，且a＞0)都相切，则a的值为____． (2)(2025·郑州调研)若曲线y＝ln x与曲线y＝x2＋2x＋a(x＜0)有公切线，则实数a的取值范围是(　　) A．(－ln 2－1，＋∞) B．[－ln 2－1，＋∞) C．(－ln 2＋1，＋∞) D．[－ln 2＋1，＋∞) 曲线f(x)和g(x)的公切线问题： 设切点 设曲线f(x)的切点A(x1，f(x1)) 设曲线g(x)的切点B(x2，g(x2)) 求公切线的 斜率 k＝f′(x1) k＝g′(x2) 写出并整理切线方程 y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)， 整理得 y＝f′(x1)x－f′(x1)x1＋f(x1) y－g(x2)＝g′(x2)(x－x2)， 整理得 y＝g′(x2)x－g′(x2)x2＋g(x2) 联立已 知条件 消去x1得到关于x2的方程(或消去x2得到关于x1的方程)，从而得到公切线方程 变式3　(2025·黄冈调研)若过原点的直线l与曲线y＝ex，y＝ln(x＋a)都相切，则实数a等于(　　) A．　 B． C．　 D． 随堂内化 1．(2024·全国甲卷文)曲线f(x)＝x6＋3x－1在点(0，－1)处的切线与坐标轴围成的面积为(　　) A．　 B． C．　 D．－ 2．(2025·莆田二模)若曲线y＝xex－x在点P处切线的斜率为－1，则P的坐标为(　　) A．(－1，－1)　 B． C．(1，e－1)　 D．(1,2e－1) 3．(2025·保定质检)已知函数f(x)＝ax2与g(x)＝ln x的图象在公共点处有共同的切线，则实数a的值为________． 配套精练 A组　夯基精练 一、单项选择题 1．若f(x)＝2x，则 ＝(　　) A．1　 B．－1 C．ln 2　 D．－ln 2 2．下列求导运算正确的是(　　) A．(e3x)′＝3ex B．′＝x C．(3－2sin x)′＝2cos x D．′＝ 3．(2025·安庆三模)曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和 y＝x围成的三角形的面积为(　　) A．　 B． C．　 D．1 4．(2025·邯郸期初)已知可导函数f(x)，g(x)定义域均为R，对任意x满足f(x)＋2x2g＝x－1，且f(1)＝1，则f′(1)＋g′＝(　　) A．1　 B．2 C．3　 D．4 5．(2025·威海质检)函数f(x)＝2＋ln x与函数g(x)＝ex公切线的斜率为(　　) A．1　 B．±e C．1或e　 D．1或e2 二、多项选择题 6．(2025·洛阳质检)下列函数在点x＝0处有切线的是(　　) A．f(x)＝3x2＋cos x B．g(x)＝x·sin x C．h(x)＝＋2x D．w(x)＝ 7．(2025·泰安质检)若直线y＝x＋b是函数f(x)的一条切线，则函数f(x)可能是(　　) A．f(x)＝　 B．f(x)＝x4 C．f(x)＝sin x　 D．f(x)＝ex 8．已知函数f(x)＝ex，下列结论正确的是(　　) A．曲线y＝f(x)的切线斜率可以是1 B．曲线y＝f(x)的切线斜率可以是－1 C．过点(0,1)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有1条 D．过点(0,0)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有2条 三、填空题 9．(2025·漳州二模)若曲线y＝ln x在x＝1处的切线也是曲线y＝x2＋3x－2＋a的切线，则实数a＝____． 10．(2025·泉州调研)随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益．假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N(单位：贝克)与时间t(单位：天)满足函数关系N(t)＝N02－，其中N0为t＝0时钍234的含量．已知t＝24时，钍234含量的瞬时变化率为－8ln 2，则N(120)＝____贝克． 11．(2024·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0,1)处的切线也是曲线y＝ln(x＋1)＋a的切线，则a＝____． 四、解答题 12．(2025·苏州期末)已知函数f(x)＝ax2＋(a－2)x－ln x． (1) 若a＝1，求f(x)的极小值； (2)若f(x)的图象与直线y＝kx－1切于点，求k的值． 13．(2025·景德镇三模节选)已知函数f(x)＝x2－asin x＋axcos x． (1) 当a＝4时，求f(x)在(0，π)上的单调区间； (2) 若存在经过坐标原点的直线与f(x)的导函数图象相切，求切线方程及其切点的横坐标． B组　能力提升练 14．(2025·郑州三模)若直线y＝x为曲线y＝eax＋b的一条切线，则的最小值为____． 15．(2025·赣州期末) 若曲线y＝(x＞0)与曲线y＝2ln x存在公切线，则a的取值范围为________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章　一元函数的导数及其应用 第14讲　导数的几何意义和四则运算 知识整合　体系重构 激活思维 1．(教材经典题)函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是(　A　) A．f′(1)＞f′(2)＞f′(3)＞0 B．0＞f′(3)＞f′(2)＞f′(1) C．f′(3)＞f′(2)＞f′(1)＞0 D．f′(1)＞f′(2)＞0＞f′(3) 【解析】 由图象可知函数f(x)是单调递增的，所以f′(1)，f′(2)，f′(3)均为正．从图中还可以看出函数f(x)切线的斜率是随着自变量x的增大而逐渐减小的，因此该函数的导函数单调递减，所以有f′(1)＞f′(2)＞f′(3)＞0． 2．(教材经典题改编)(多选)下列求导运算正确的是(　AD　) A．y＝x5在x＝3处的导数是405 B．y＝ln x在x＝处的导数是 C．y＝sin x在x＝2π处的导数是0 D．y＝ex在x＝0处的导数是1 【解析】 对于A，因为y＝x5，所以y′＝5x4，所以在x＝3处的导数为5×34＝405，故A正确；对于B，因为y＝ln x，所以y′＝，所以在x＝处的导数为，故B错误；对于C，因为y＝sin x，所以y′＝cos x，所以在x＝2π处的导数为cos 2π＝1，故C错误；对于D，因为y＝ex，所以y′＝ex，所以在x＝0处的导数为e0＝1，故D正确． 3．设函数f(x)满足 ＝1，则f′(x0)＝(　B　) A．1　 B．2 C．　 D．3 【解析】 由 ＝1，得 ＝1，所以f′(x0)＝ ＝2． 4．(教材经典题)一个质量为m＝3 kg的物体做直线运动，设位移y(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数y(t)＝1＋t2 表示，并且物体的动能Ek＝mv2(单位：J)，则物体开始运动后第5 s时的动能为__150__J． 【解析】 因为y＝1＋t2，求导得y′＝2t，所以该物体在t＝5 s的瞬时速度为10 m/s，则物体开始运动后第5 s时的动能为mv2＝×3×102＝150(J)． 5．(教材经典题)曲线y＝在点处的切线方程是__y＝x＋__． 【解析】 设y＝f(x)＝(3x－1)，则f′(x)＝3×(3x－1)－＝(3x－1)－，则f′＝1，因此曲线y＝在点处的切线方程为y－1＝x－，即y＝x＋． 聚焦知识 1．概念 (1) 平均变化率：已知函数y＝f(x)，把式子＝称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率． (2) 瞬时变化率：f(x)在x＝x0处的导数就是f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，即f′(x0)＝ ；当把上式中的x0看作变量x时，f′(x)即为f(x)的导函数，简称导数． 2．几何意义 曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是__y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)__． 3．物理意义 若物体的位移函数为y＝s(t)，则瞬时速度v＝__s′(t)__，加速度a＝__s″(t)__． 4．运算 (1) 基本公式 ①C′＝0；②(xn)′＝__nxn－1__； ③(sin x)′＝__cos x__； ④(cos x)′＝__－sin x__； ⑤(ax)′＝__axln a__； ⑥(ex)′＝__ex__； ⑦(logax)′＝____； ⑧(ln x)′＝____． (2) 运算法则 ①[f(x)±g(x)]′＝__f′(x)±g′(x)__； ②[f(x)g(x)]′＝__f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)__； ③′＝__(g(x)≠0)；__ ④复合函数求导法则 [f(g(x))]′＝__f′(g(x))·g′(x)__． 5．常用结论 (1) 奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． (2) 曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点． 题型突破　思维拓展 举题说法 导数的运算 视角1　导数的定义 例 1－1　(1) 已知某容器的高度为20 cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系式为h＝t3＋t2，当t＝t0时，液体上升高度的瞬时变化率为3 cm/s，则当t＝t0＋1时，液体上升高度的瞬时变化率为(　C　) A．5 cm/s　 B．6 cm/s C．8 cm/s　 D．10 cm/s 【解析】 由h＝t3＋t2，得h′＝t2＋2t．当t＝t0时，h′＝t＋2t0＝3，解得t0＝1(t0＝－3舍去)．故当t＝t0＋1＝2时，液体上升高度的瞬时变化率为22＋2×2＝8(cm/s)． (2) 已知函数f(x)＝2ln x＋8x，则 的值为(　D　) A．－20　 B．－10 C．10　 D．20 【解析】 因为f(x)＝2ln x＋8x，所以f′(x)＝＋8，所以 ＝2 ＝2f′(1)＝20． 视角2　导数的运算 例 1－2　(1)(教材经典题)求下列函数的导数． ①y＝2x＋log2x；　　　②y＝； ③y＝(3x＋1)2ln(3x)；④y＝3xe－3x． 【解答】　①y′＝2xln 2＋． ②y′＝＝． ③y′＝[(3x＋1)2]′ln(3x)＋(3x＋1)2[ln(3x)]′＝6(3x＋1)ln(3x)＋． ④y′＝(3x)′e－3x＋3x(e－3x)′＝3xe－3xln 3－3x＋1e－3x． (2) 已知函数f(x)＝x3＋f′(1)x2＋3x＋10，则f(3)＝(　C　) A．－1　 B．0 C．－8　 D．1 【解析】 因为函数f(x)＝x3＋f′(1)x2＋3x＋10，所以f′(x)＝x2＋2f′(1)x＋3，则f′(1)＝1＋2f′(1)＋3，解得f′(1)＝－4，则f(x)＝x3－4x2＋3x＋10，所以f(3)＝×33－4×32＋3×3＋10＝－8． (1) 求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导． (2) 抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解． (3) 复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元． 变式 1(1) 已知f(x)的导函数是f′(x)，若f′(x0)＝2，则 ＝(　B　) A．　 B．1 C．2　 D．4 【解析】 因为f′(x0)＝2，所以 ＝ ＝f′(x0)＝1． (2)(2026·镇江期初)(多选)下列求导结果正确的有(　BD　) A．(e2＋x)′＝e2＋1 B．′＝ C．′＝＋ D．(x2cos x)′＝2xcos x－x2sin x 【解析】 对于A，(e2＋x)′＝1，故A错误；对于B，′＝＝，故B正确；对于C，′＝ln 2·2x＋，故C错误；对于D，(x2cos x)′＝2xcos x－x2sin x，故D正确． 导数的几何意义 视角1　求切线方程 例 2－1　(1)(2024·全国甲卷理)设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0,1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为(　A　) A．　 B． C．　 D． 【解析】 f(x)＝，则f′(x)＝，故f′(0)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(0,1)处的切线方程为y＝3x＋1．令x＝0，解得y＝1，令y＝0，解得x＝－，故所求三角形的面积为S＝×－×1＝． (2) 已知曲线y＝x3＋，那么曲线过点P(2,4)的切线方程为__y＝4x－4或y＝x＋2__． 【解析】 设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A，y′＝x2，则切线的斜率为k＝y′|x＝x0＝x，所以切线方程为y－x－＝x(x－x0)，代入点P(2,4)，可得4－x－＝x(2－x0)，即x－3x＋4＝0，解得x0＝2或x0＝－1，故所求的切线方程为y＝4x－4或y＝x＋2． 求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解． 变式 2－1　(1)(2025·济南期初)曲线 y＝ln在点(0,0)处的切线方程为__y＝2x__． 【解析】 函数y＝ln的定义域为(－1，1)，因为y＝ln＝ln(1＋x)－ln(1－x)，所以y′＝＋，当x＝0时，y′＝1＋1＝2，y＝0，所以曲线y＝ln在点(0,0)处的切线方程为y＝2x． (2)(2025·赣州期末)过点(0，－2)作曲线y＝x－的切线的斜率为__2__． 【解析】 f′(x)＝1＋，设切点横坐标为x0，故曲线y＝x－在x0处的切线方程为y－＝(x－x0)．将x＝0，y＝－2代入，得－2－＝(－x0)，解得x0＝1，所以k＝1＋＝2． 视角2　求参数值(或范围) 例 2－2　(1)(2025·新高考Ⅰ卷) 若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的切线，则a＝__4__． 【解析】 对于y＝ex＋x＋a，其导数为y′＝ex＋1，因为直线y＝2x＋5是曲线的切线，所以令y′＝ex＋1＝2，解得x＝0，将x＝0代入切线方程y＝2x＋5，可得y＝5，所以切点坐标为(0,5)．因为切点(0,5)在曲线y＝ex＋x＋a上，所以5＝e0＋0＋a，解得a＝4． (2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)__． 【解析】 由y＝(x＋a)ex，得y′＝(x＋a＋1)ex，设切点为(x0，(x0＋a) ex0)，则切线斜率为(x0＋a＋1) ex0，可得切线方程为y－(x0＋a) ex0＝(x0＋a＋1) ex0 (x－x0)．又切线过原点，可得－(x0＋a) ex0＝－x0(x0＋a＋1) ex0，化简得x＋ax0－a＝0(*)．又切线有两条，即方程(*)有两个不等实根，则Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0． 处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的关系列出有关参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上． 变式 2－2　(1)(2025·阳泉期末)若直线y＝3x＋a与曲线y＝ln x＋2x相切，则实数a的值为__－1__． 【解析】 设切点坐标为(t，ln t＋2t)，由y＝ln x＋2x得y′＝＋2，所以切线的斜率为k＝＋2，所以曲线在(t，ln t＋2t)处的切线方程为y＝(x－t)＋ln t＋2t，即y＝x＋ln t－1，所以＋2＝3，所以t＝1，所以a＝ln t－1＝－1． (2)(2025·芜湖期末)若过点(2，t)可以作曲线y＝ln x的两条切线，则实数t的取值范围是(ln 2，＋∞)__． 【解析】 设切点为(x0，ln x0)(x0＞0)，由题得y′＝，故切线的斜率为，切线方程为y－ln x0＝(x－x0)．若切线经过点(2，t)，则t－ln x0＝(2－x0)，故(t＋1)x0－x0ln x0－2＝0有两个不同的实数根．不妨设g(x)＝(t＋1)x－xln x－2(x＞0)，则g′(x)＝t－ln x．当0＜x＜et时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；当x＞et时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，故g(x)max＝g(et)＝et－2．则et－2＞0，即t＞ln 2，所以实数t的取值范围为(ln 2，＋∞)． 　公切线 例3　(1)(2025·广州二模节选)若直线l：y＝2x＋m与曲线y＝e2x和曲线y＝(a∈R，且a＞0)都相切，则a的值为__8__． 【解析】方法一：设直线l：y＝2x＋m与曲线y＝f(x)＝e2x的切点坐标为(x0，y0)．由于f′(x)＝2e2x，则f ′(x0)＝2e2x0＝2，解得x0＝0，y0＝e2x0＝1，则切点坐标为(0,1)，此时直线l：y＝2x＋1．由得4x2＋(4－a)x＋1＝0，由Δ＝(4－a)2－16＝0，解得a＝8或a＝0(舍去)，当a＝8时，得x＝，符合题意，所以a＝8． 方法二：设直线l：y＝2x＋m与曲线y＝f(x)＝e2x的切点坐标为(x0，y0)．由于f′(x)＝2e2x，则f′(x0)＝2e2x0＝2，解得x0＝0，y0＝e2x0＝1，则切点坐标为(0,1)，直线l：y＝2x＋1．当a＞0时，函数g(x)＝的定义域为[0，＋∞)．设直线l与曲线y＝g(x)＝的切点坐标为(x1，y1)．由g′(x)＝，得g′(x1)＝＝2，得a＝16x1，得l：y－＝2(x－x1)，即y＝2x－2x1＋，则－2x1＋＝1，解得x1＝，a＝8． (2)(2025·郑州调研)若曲线y＝ln x与曲线y＝x2＋2x＋a(x＜0)有公切线，则实数a的取值范围是(　A　) A．(－ln 2－1，＋∞) B．[－ln 2－1，＋∞) C．(－ln 2＋1，＋∞) D．[－ln 2＋1，＋∞) 【解析】 设公切线与函数f(x)＝ln x切于点A(x1，ln x1)(x1＞0)，由f(x)＝ln x，得f′(x)＝，所以公切线的斜率为，所以公切线方程为y－ln x1＝(x－x1)，化简得y＝·x＋(ln x1－1)．设公切线与函数g(x)＝x2＋2x＋a(x＜0)切于点B(x2，x＋2x2＋a)(x2＜0)，由g′(x)＝2x＋2，则公切线的斜率为2x2＋2，所以公切线方程为y－(x＋2x2＋a)＝(2x2＋2)(x－x2)，化简得y＝2(x2＋1)x－x＋a，所以消去x1，得a＝x－ln(2x2＋2)－1．由x1＞0，得－1＜x2＜0．令F(x)＝x2－ln(2x＋2)－1(－1＜x＜0)，则F′(x)＝2x－＜0，所以F(x)在(－1,0)上单调递减，所以F(x)＞F(0)＝－ln 2－1，当x→－1时，F(x)→＋∞，所以由题意得a＞－ln 2－1，即实数a的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)． 曲线f(x)和g(x)的公切线问题： 设切点 设曲线f(x)的切点A(x1，f(x1)) 设曲线g(x)的切点B(x2，g(x2)) 求公切线的 斜率 k＝f′(x1) k＝g′(x2) 写出并整理切线方程 y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)， 整理得 y＝f′(x1)x－f′(x1)x1＋f(x1) y－g(x2)＝g′(x2)(x－x2)， 整理得 y＝g′(x2)x－g′(x2)x2＋g(x2) 联立已 知条件 消去x1得到关于x2的方程(或消去x2得到关于x1的方程)，从而得到公切线方程 变式3　(2025·黄冈调研)若过原点的直线l与曲线y＝ex，y＝ln(x＋a)都相切，则实数a等于(　D　) A．　 B． C．　 D． 【解析】 由y＝ex得y′＝ex，由y＝ln(x＋a)得y′＝．设过原点的直线l分别与曲线y＝ex，y＝ln(x＋a)相切于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由导数的几何意义得＝ex1，且y1＝ex1，故x1＝1，所以直线l的斜率为e，所以＝＝e，所以ln(x2＋a)＝ex2，所以ex2＝－1，即x2＝－，代入＝e，得a＝． 随堂内化 1．(2024·全国甲卷文)曲线f(x)＝x6＋3x－1在点(0，－1)处的切线与坐标轴围成的面积为(　A　) A．　 B． C．　 D．－ 【解析】 因为f(x)＝x6＋3x－1，所以f′(x)＝6x5＋3，曲线在点(0，－1)处的切线斜率k＝3，故曲线在点(0，－1)处的切线方程为y＋1＝3x，即y＝3x－1，则其与坐标轴围成的面积S＝×1×＝． 2．(2025·莆田二模)若曲线y＝xex－x在点P处切线的斜率为－1，则P的坐标为(　B　) A．(－1，－1)　 B． C．(1，e－1)　 D．(1,2e－1) 【解析】 y′＝(x＋1)ex－1，令(x＋1)ex－1＝－1，则(x＋1)ex＝0，故x＝－1．当x＝－1时，y＝－e－1－(－1)＝1－，即P的坐标为． 3．(2025·保定质检)已知函数f(x)＝ax2与g(x)＝ln x的图象在公共点处有共同的切线，则实数a的值为____． 【解析】 设公共点为P(x0，y0)(x0＞0)，则ax＝ln x0．由f(x)＝ax2，得f′(x)＝2ax，由g(x)＝ln x，得g′(x)＝．因为函数f(x) 与g(x) 的图象在公共点P(x0，y0) 处有共同的切线，所以f′(x0)＝g′(x0)，即2ax0＝，得a＝，所以·x＝ln x0，解得x0＝e，所以a＝＝＝． 配套精练 A组　夯基精练 一、单项选择题 1．若f(x)＝2x，则 ＝(　D　) A．1　 B．－1 C．ln 2　 D．－ln 2 【解析】 由f(x)＝2x，得f′(x)＝2xln 2，所以 ＝－f′(1)＝－×2ln 2＝－ln 2． 2．下列求导运算正确的是(　D　) A．(e3x)′＝3ex B．′＝x C．(3－2sin x)′＝2cos x D．′＝ 【解析】 对于A，(e3x)′＝e3x·(3x)′＝3e3x，故A错误；对于B，′＝＝＝，故B错误；对于C，(3－2sin x)′＝－2cos x，故C错误；对于D，′＝·′＝·＝，故D正确． 3．(2025·安庆三模)曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和 y＝x围成的三角形的面积为(　A　) A．　 B． C．　 D．1 【解析】 y′＝－2e－2x⇒y′|x＝0＝－2，所以在点(0,2)处的切线方程为y＝－2x＋2，它与y＝x的交点为，与y＝0的交点为(1,0)，所以三角形面积为××1＝． 4．(2025·邯郸期初)已知可导函数f(x)，g(x)定义域均为R，对任意x满足f(x)＋2x2g＝x－1，且f(1)＝1，则f′(1)＋g′＝(　C　) A．1　 B．2 C．3　 D．4 【解析】 令x＝1，则f(1)＋2×12×g＝1－1，解得g＝－＝－．由f(x)＋2x2g＝x－1，得f′(x)＋(2x2)′g＋2x2′＝(x－1)′，即f′(x)＋4xg＋x2g′＝1．令x＝1，得f′(1)＋4×1×g＋12×g′＝1，即f′(1)＋4g＋g′＝1，解得f′(1)＋g′＝1－4g＝1－4×＝3． 5．(2025·威海质检)函数f(x)＝2＋ln x与函数g(x)＝ex公切线的斜率为(　C　) A．1　 B．±e C．1或e　 D．1或e2 【解析】 设切点分别为(x1，f(x1))，(x2，g(x2))，x1＞0，x2＞0，且导数为f′(x)＝，g′(x)＝ex，所以切线方程既为y－(2＋ln x1)＝(x－x1)，也为y－ex2＝ex2 (x－x2)，所以且ln ＝ln ex2⇒－ln x1＝x2，所以1＋ln x1＝(1＋ln x1)×⇒(1＋ln x1)(x1－1)＝0，所以x1＝1或x1＝，所以公切线的斜率为k＝＝1或e． 二、多项选择题 6．(2025·洛阳质检)下列函数在点x＝0处有切线的是(　ABD　) A．f(x)＝3x2＋cos x B．g(x)＝x·sin x C．h(x)＝＋2x D．w(x)＝ 7．(2025·泰安质检)若直线y＝x＋b是函数f(x)的一条切线，则函数f(x)可能是(　BCD　) A．f(x)＝　 B．f(x)＝x4 C．f(x)＝sin x　 D．f(x)＝ex 【解析】 对于A，由f(x)＝得f′(x)＝－，令f′(x)＝－＝，无解，故A错误；对于B，由f(x)＝x4得f′(x)＝4x3，令f′(x)＝4x3＝，解得x＝，故B正确；对于C，由f(x)＝sin x得f′(x)＝cos x，令f′(x)＝cos x＝，有解，故C正确；对于D，由f(x)＝ex得f′(x)＝ex，令f′(x)＝ex＝，解得x＝－ln 2，故D正确． 8．已知函数f(x)＝ex，下列结论正确的是(　AC　) A．曲线y＝f(x)的切线斜率可以是1 B．曲线y＝f(x)的切线斜率可以是－1 C．过点(0,1)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有1条 D．过点(0,0)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有2条 【解析】 由题意知f′(x)＝ex．对于A，令f′(x)＝ex＝1，得x＝0，所以曲线y＝f(x)的切线斜率可以是1，故A正确；对于B，令f′(x)＝ex＝－1，无解，所以曲线y＝f(x)的切线斜率不可以是－1，故B错误；对于C，设切点为(x0，ex0)，由f′(x)＝ex，得切线方程为y－ex0＝ex0 (x－x0)，又切线过点(0,1)，所以1－ex0＝－ex0·x0，则ex0＝，易知ex0＝有且仅有一解为x0＝0，所以切线方程为y－1＝x，即y＝x＋1，所以过点(0,1)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有1条，故C正确；对于D，设切点为(x0，ex0)，则切线方程为y－ex0＝ex0 (x－x0)，因为点(0,0)在切线上，所以ex0＝x0 ex0，解得x0＝1，所以过点(0,0)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有1条，故D错误． 三、填空题 9．(2025·漳州二模)若曲线y＝ln x在x＝1处的切线也是曲线y＝x2＋3x－2＋a的切线，则实数a＝__2__． 【解析】 令y＝f(x)＝ln x，则f(1)＝0，故切点为(1,0)，设切线斜率为k，而f′(x)＝，则k＝f′(1)＝1，则曲线在x＝1处的切线方程为y＝x－1．由题意得曲线y＝ln x在x＝1处的切线也是曲线y＝x2＋3x－2＋a的切线，联立y＝x－1，y＝x2＋3x－2＋a，得x2＋2x－1＋a＝0，则Δ＝4－4(a－1)＝0，解得a＝2． 10．(2025·泉州调研)随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益．假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N(单位：贝克)与时间t(单位：天)满足函数关系N(t)＝N02－，其中N0为t＝0时钍234的含量．已知t＝24时，钍234含量的瞬时变化率为－8ln 2，则N(120)＝__12__贝克． 【解析】 由题意，得N′(t)＝－·2－·N0，所以－8 ln 2＝－··N0，解得N0＝384，则N(t)＝N02－＝384·2－，所以N(120)＝384·2－＝12(贝克)． 11．(2024·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0,1)处的切线也是曲线y＝ln(x＋1)＋a的切线，则a＝__ln 2__． 【解析】 由y＝ex＋x，可得y′＝ex＋1，则曲线在点(0,1)处切线的斜率为e0＋1＝2，切线方程为y－1＝2x，即y＝2x＋1．因为曲线y＝ex＋x在点(0,1)处的切线也是曲线y＝ln(x＋1)＋a的切线，设y＝ln(x＋1)＋a的切点的横坐标为x0，所以切线的斜率为＝2，可得x0＝－．将x0＝－代入y＝2x＋1，可得切点坐标为．又切点在曲线y＝ln(x＋1)＋a上，所以0＝ln＋a，解得a＝ln 2． 四、解答题 12．(2025·苏州期末)已知函数f(x)＝ax2＋(a－2)x－ln x． (1) 若a＝1，求f(x)的极小值； 【解答】 f(x)的定义域为，当a＝1时，f(x)＝x2－x－ln x，f′(x)＝＝．当0＜x＜1时，f′(x)＜0，f(x)在(0,1)上单调递减；当x＞1时，f′(x)＞0，f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)在x＝1处取得极小值，极小值为f(1)＝0． (2)若f(x)的图象与直线y＝kx－1切于点，求k的值． 【解答】 f′(x)＝2ax＋(a－2)－，由题意得消去k得－2＋ln ＝0．令g(x)＝－2＋ln ，易知g(x)在(0，＋∞)上单调递增，且g(2)＝0，所以a＝2．将a＝2代入a2＋(a－2)－＝k，得k＝3，所以k＝3． 13．(2025·景德镇三模节选)已知函数f(x)＝x2－asin x＋axcos x． (1) 当a＝4时，求f(x)在(0，π)上的单调区间； 【解答】 当a＝4时，f(x)＝x2－4sin x＋4xcos x，f′(x)＝2x(1－2sin x)，当x∈(0，π)时，令f′(x)＝0解得x＝或．当x∈时，f′(x)＞0，所以f(x)在上单调递增，同理f(x)在上单调递减，f(x)在上单调递增．所以f(x)的单调递增区间是和，单调递减区间是． (2) 若存在经过坐标原点的直线与f(x)的导函数图象相切，求切线方程及其切点的横坐标． 【解答】 设g(x)＝f′(x)＝x(2－asin x)，g′(x)＝2－asin x－axcos x，过点(x0，g(x0))的切线方程为y＝g′(x0)(x－x0)＋g(x0)．当切点为原点O(0,0)时，g′(0)＝2，此时切线方程为y＝2x；当切线经过原点O(0,0)(不为切点)时，因为y＝(2－asin x0－ax0cos x0)(x－x0)＋x0(2－asin x0)，将原点O(0,0)代入，并整理得cos x0＝0，所以x0＝kπ＋，其中k∈Z．当k为奇数时，g′(x0)＝2＋a；当k为偶数时，g′(x0)＝2－a．即经过坐标原点与f(x)的导函数图象相切的直线有三条，l1：y＝2x，切点横坐标为0；l2：y＝(2＋a)x，切点横坐标为x0＝2nπ－，n∈Z，l3：y＝(2－a)x，切点横坐标为x0＝2nπ＋，n∈Z． B组　能力提升练 14．(2025·郑州三模)若直线y＝x为曲线y＝eax＋b的一条切线，则的最小值为__－1__． 【解析】 y′＝aeax＋b，设直线y＝x与曲线y＝eax＋b相切于点(x，x)，则x＝eax＋b且aeax＋b＝1，解得eax＋b＝，所以x＝，从而得b＝－1－ln a，所以＝．设g(a)＝(a＞0)，g′(a)＝＝．令g′(a)＜0得0＜a＜1，令g′(a)＞0得a＞1，所以g(a)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以g(a)min＝g(1)＝－1，即的最小值为－1． 15．(2025·赣州期末) 若曲线y＝(x＞0)与曲线y＝2ln x存在公切线，则a的取值范围为____． 【解析】 由y＝(x＞0)，则y′＝′＝－，设切点为，切线斜率为－，所以切线方程为y－＝－(x－m)，即y＝－＋．由y＝2ln x(x＞0)，得y′＝(2ln x)′＝，设切点为(n,2ln n)，切线斜率为，所以切线方程为y－2ln n＝(x－n)，即y＝＋2ln n－2．根据题设有即又m，n＞ 0，即a＜0且ln n－1＜0，即0＜n＜e．由以上关系式消去m并整理得2a＝－n(ln n－1)2在n∈(0，e)上有解．令f(n)＝－n(ln n－1)2，n∈(0，e)，则f′(n)＝1－ln 2n．当f′(n)＞0时，则－1＜ln n＜1，即＜n＜e，此时f(n)单调递增；当f′(n)＜0时，则ln n＜－1或ln n＞1，即0＜n＜，此时f(n)单调递减．又f＝－2＝－，f(e)＝－e(ln e－1)2＝0，所以2a∈，即a∈． 学科网（北京）股份有限公司 $