第2章 微专题3 复合函数的零点问题（word教参）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（提升版）

该高中数学高考复习讲义聚焦复合函数零点问题核心考点，涵盖内外自复合、内外双函数复合及二次可/不可因式分解型等类型，通过考点梳理、方法指导与真题训练，帮助学生构建解题框架，突破难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以分类突破与分层训练为特色，运用换元法、数形结合等策略，培养学生数学思维与模型观念，如通过典型例题解析不同复合类型，配合变式巩固与分层精练，确保高效复习，提升学生应考能力，为教师把控复习节奏提供有力指导。

　复合函数的零点问题 内外自复合型 例1　(2025·黄冈质检)已知函数f(x)＝则方程f(f(x))＝k的实数解的个数至多是(　B　) A．5　 B．6 C．7　 D．8 【解析】 设t＝f(x)，则f(f(x))＝k化为f(t)＝k，作出f(x)＝的大致图象如图所示．由图可得，当k＞－3时，f(t)＝k有两个根t1，t2，且t1＜－2，t2＞，即t＝f(x)＜－2或t＝f(x)＞，此时方程f(f(x))＝k最多有5个根．当－4＜k≤－3时，f(t)＝k有三个根t1，t2，t3，且－2≤t1＜－1，－1＜t2≤0，＜t3≤，即－2≤t＝f(x)＜－1或－1＜t＝f(x)≤0或＜t＝f(x)≤，此时方程f(f(x))＝k最多有6个根．当k＝－4时，f(t)＝k有两个根t1，t2，且t1＝－1，t2＝，即f(x)＝－1或f(x)＝，此时方程f(f(x))＝k有4个根．当k＜－4时，f(t)＝k有一个根t1，且0＜t1＜，即0＜f(x)＜，此时方程f(f(x))＝k有2个根．综上，方程f(f(x))＝k的实数解的个数至多是6． 变式1　已知函数f(x)＝若函数y＝f(f(x))－k有3个不同的零点，则实数k的取值范围是(　B　) A．(1，4)　 B．(1，4] C．[1，4)　 D．[1，4] 【解析】 当x＜0时，f(x)＞0，则f(f(x))＝f(－x＋1)＝(－x＋1)2－3＝x2－2x－2；当0≤x＜时，f(x)＜0，则f(f(x))＝f(x2－3)＝－x2＋4；当x≥时，f(x)≥0，则f(f(x))＝f(x2－3)＝x4－6x2＋6．综上，f(f(x))＝当x≥时，y＝x4－6x2＋6＝(x2－3)2－3，因为t＝x2－3单调递增且t≥0时y＝t2－3单调递增，所以y＝(x2－3)2－3在[，＋∞)上单调递增，且ymin＝－3，故画出函数y＝f(f(x))的图象如图所示．函数y＝f(f(x))－k有3个不同的零点等价于y＝f(f(x))和y＝k有3个不同的交点，所以由图象可得1＜k≤4． 内外双函数复合型 例2　已知函数f(x)＝ax－x2，g(x)＝若方程g(f(x))＝0有四个不等的实数根，则实数a的取值范围是(　D　) A．(－4，0) B．(0，4) C．(－∞，－4)∪(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(4，＋∞) 【解析】 由题意，当a＞0时，由g(t)＝0，解得t＝0或t＝a．又由g(f(x))＝0，得f(x)＝0或f(x)＝a，此时方程f(x)＝0有两解，方程f(x)＝a有两不相等解时，Δ＝a2－4a＞0，解得a＞4．当a＝0时，由g(f(x))＝0，即f(x)＝0，可得x2＝0只有一解．当a＜0时，由g(t)＝0得t＝0或t＝．又由g(f(x))＝0可得f(x)＝0或f(x)＝．方程f(x)＝0有两解，只要f(x)＝有两不相等解即可，即方程x2－ax＋＝0有两不相等解，则a2－2a＞0，解得a＜0．综上，a∈(－∞，0)∪(4，＋∞)． 对于嵌套型复合函数y＝f(g(x))的零点个数问题，求解思路如下：①确定内层函数u＝g(x)和外层函数y＝f(u)；②确定外层函数y＝f(u)的零点u＝ui(i＝1，2，3，…，n)；③确定u＝ui(i＝1，2，3，…，n)与内层函数u＝g(x)图象的交点个数分别为a1，a2，a3，…，an，则函数y＝f(g(x))的零点个数为a1＋a2＋a3＋…＋an． 变式2　设函数f(x)＝x2－4x＋3，g(x)＝2|x|，若方程f(g(x))＝t有四个实数根，则实数t的取值范围是(　B　) A．(－1，＋∞)　 B．(－1，0)　 C．(－1，1)　 D．(0，1) 【解析】 g(x)＝2|x|是偶函数且x＜0时g(x)单调递减，x＞0时g(x)单调递增．设m＝g(x)∈[1，＋∞)，f(g(x))＝t即f(m)＝t，方程f(g(x))＝t有四个实数根，必须m＝g(t)有两个不等实根，且f(m)＝t有两个不等实根，即f(m)＝t，m∈(1，＋∞)有两个不等实根．又f(x)＝x2－4x＋3在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，f(1)＝f(3)＝0，f(2)＝－1，若f(m)＝t有两个大于1的不等实根，必须t∈(－1，0)． 二次可因式分解型 例3　(2025·池州二模)已知函数f(x)＝若f2(x)－(a＋2)f(x)＋2a＝0有4个互不相同的根，则a的取值范围为(　B　) A．(2，3)　 B．(2，3] C．(3，＋∞)　 D．[3，＋∞) 【解析】 令t＝f(x)，则方程f2(x)－(a＋2)f(x)＋2a＝0可转化为t2－(a＋2)t＋2a＝0，即(t－2)(t－a)＝0，则t1＝2，t2＝a，所以f(x)＝2或f(x)＝a．当x≤0时，f(x)＝ex＋2，因为指数函数y＝ex在(－∞，0]上单调递增，所以f(x)＝ex＋2在(－∞，0]上单调递增，且f(x)∈(2，3]．当x＞0时，f(x)＝x＋在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，f(1)＝1＋＝2，作出f(x)的图象如图所示．对于f(x)＝2，当x＞0时，x＋＝2，即x2－2x＋1＝0，解得x＝1，有1个根．因为f2(x)－(a＋2)f(x)＋2a＝0有4个互不相同的根，f(x)＝2已经有1个根，所以f(x)＝a需要有3个不同的根．结合f(x)的图象可知，当2＜a≤3时，y＝f(x)与y＝a有3个不同的交点，即f(x)＝a有3个不同的根． 此类问题的关键：先换元再因式分解，后数形结合． 变式3　已知函数f(x)＝若关于x的方程f2(x)＋(2a－3)f(x)＋a2－3a＝0有5个不同的实数根，则a的取值范围为__(－1，0]∪(2，3]__． 【解析】 当x＜0时，f(x)＝－x2－6x－5在(－∞，－3]上单调递增，在[－3，0)上单调递减，且f(－3)＝4．当x≥0时，f(x)＝1－x在[0，＋∞)上单调递增，且f(x)∈[0，1)．作出函数y＝f(x)的图象如图所示，方程f2(x)＋(2a－3)f(x)＋a2－3a＝0化为[f(x)＋a][f(x)＋a－3]＝0，解得f(x)＝－a或f(x)＝3－a．方程f2(x)＋(2a－3)f(x)＋a2－3a＝0有5个不等的实数根，等价于y＝f(x)的图象与直线y＝－a和y＝3－a共有五个交点，而－a＜3－a，因此或解得2＜a≤3或－1＜a≤0，所以a的取值范围为(－1，0]∪(2，3]． 二次不可因式分解型 例4　(2025·青岛质检)已知f(x)＝－x2＋2，若关于x的方程f2(x)＋mf(x)＋n＝0(m，n∈R)恰有3个互不相等的实根，则实数m的取值范围为(　D　) A．{m|m＜－1} B．{m|m≤0} C．{m|m＜－1或m＞0} D．{m|m＝0或m＜－1} 【解析】 记方程t2＋mt＋n＝0的两根为t1，t2(t1≤t2)，当t1≠t2时，f2(x)＋mf(x)＋n＝0(m，n∈R)恰有3个互不相等的实根，等价于f(x)与y＝t1和y＝t2共有3个不同的交点．作出f(x)的图象如图所示，由图可知，①当t1＝0，t2＞1时，即解得m＜－1．②当t1＝t2时，f2(x)＋mf(x)＋n＝0(m，n∈R)恰好有3个互不相等的实根，等价于f(x)与y＝t1有3个不同的交点，由图可知，此时t1＝t2＝0，即解得m＝0．综上，实数m的取值范围为{m|m＝0或m＜－1}． 变式4　(2025·邯郸质检)已知函数f(x)＝若方程f2(x)＋bf(x)＋＝0有6个相异实根，则实数b的取值范围为(　B　) A．(－2，－1)　 B． C．　 D．(－2，0) 【解析】 令t＝f(x)，则原方程等价为t2＋bt＋＝0(*)．作出函数f(x)的图象如图所示，要使f2(x)＋bf(x)＋＝0有6个相异实根，则等价为(*)式有两个不相等的根t1，t2，且0＜t1＜1，0＜t2＜1．令g(t)＝t2＋bt＋，则可得即解得－＜b＜－1． 配套精练 一、单项选择题 1．已知函数f(x)＝则y＝f(f(x))－1的零点个数为(　C　) A．4　 B．5 C．6　 D．7 【解析】 作出函数f(x)的大致图象如图所示，由ex－3＝1得x＝ln 4，由2－(x＋1)2＝1解得x＝－2或x＝0．令f(f(x))－1＝0，得f(f(x))＝1，则f(x)＝－2或f(x)＝0或f(x)＝ln 4．结合图象可知：当f(x)＝－2时，有1个解；当f(x)＝0时有2个解；当f(x)＝ln 4时，由于1＜ln 4＜2，所以有3个解，故y＝f(f(x))－1的零点个数为6． 2．(2025·潍坊调研)已知函数f(x)＝若方程f(f(x))＝有且仅有一根，则实数k的取值范围是(　A　) A．　 B． C．[0，＋∞)　 D． 【解析】 若k≥0，则f(f(x))＝⇔f(x)＝－1，而当x≥0时f(x)≥2，当x＜0时f(x)＞0，所以f(x)＝－1无解．若k＜0，则f(f(x))＝⇔f(x)＝－1或f(x)＝－，其中f(x)＝－1有一根为－，则由题意知f(x)＝－无解．而当x≥0时f(x)≤2，当x＜0时f(x)＜1，所以f(x)的值域为(－∞，2]，从而－＞2，解得k＞－，所以－＜k＜0．综上，k的取值范围是． 3．已知函数f(x)＝x＋＋a，g(x)＝x2－6x＋5，当a＞时，方程f(g(x))＝0根的个数为(　C　) A．4　 B．3 C．2　 D．1 【解析】 令t＝g(x)＝x2－6x＋5，则 t≥－4，所以f(t)＝0，即t＋＋a＝0⇔t2＋at＋1＝0①．因为Δ＝a2－4＞0，所以方程①有两个不相等的实根t1，t2，不妨设t1＜t2．因为(－4)2＋a(－4)＋1＝－4a＋17＜0，且02＋a·0＋1＞0，所以t1＜－4(舍去)，－4＜t2＜0，所以t2＝x2－6x＋5(－4＜t2＜0)．由于函数y＝t2与函数y＝x2－6x＋5图象有两个交点，所以方程f(g(x))＝0根的个数为2． 4．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(f(x))＝0有且仅有两个实数根，则实数a的取值范围是(　C　) A．(0，1)　 B．(－∞，0)∪(0，1) C．[1，＋∞)　 D．(0，1)∪(1，＋∞) 【解析】 令u＝f(x)，则f(u)＝0．①当a＝0时，若u≤0，f(u)＝0；若u＞0，由f(u)＝log2u＝0，得u＝1．故由f(f(x))＝0得f(x)≤0或f(x)＝1．如图所示，满足f(x)≤0的x有无数个，方程f(x)＝1只有一个解，不满足题意．②当a≠0时，若u≤0，则f(u)＝a·2u≠0；若u＞0，由f(u)＝log2u＝0，得u＝1，所以由f(f(x))＝0得f(x)＝1．当x＞0时，由f(x)＝log2x＝1，可得x＝2，因为关于x的方程f(f(x))＝0有且仅有两个实数根，则方程f(x)＝1在(－∞，0]上有且仅有一个实数根．若a＞0且x≤0，f(x)＝a·2x∈(0，a]，故a≥1；若a＜0且x≤0，f(x)＝a·2x＜0，不满足题意．综上所述，实数a的取值范围是[1，＋∞)． 二、多项选择题 5．若f(x)和g(x)都是定义在R上的函数，且f(g(x))＝x有实数解，则g(f(x))可能是(　ACD　) A．x2＋x－　 B．x2＋x＋ C．x2－　 D．x2＋ 【解析】 设f(g(x))＝x有实数解x0，则f(g(x0))＝x0，因为f(x)和g(x)都是R上的函数，所以有g(f(g(x0)))＝g(x0)，再令t＝g(x0)，则有g(f(t))＝t，从而可知g(f(x))＝x至少有一个解是t．对于A，由g(f(x))＝x2＋x－＝x，此方程有解，故A正确；对于B，由g(f(x))＝x2＋x＋＝x，此方程无解，故B错误；对于C，由g(f(x))＝x2－＝x，此方程有解，故C正确；对于D，由g(f(x))＝x2＋＝x，此方程有解，故D正确． 6．(2025·常熟质检)已知函数f(x)＝若关于x的方程f2(x)－2af(x)＋a2－1＝0有8个不相等的实数根，则实数a的取值可以为(　AB　) A．2　 B．3 C．4　 D．5 【解析】 作出f(x)的图象如图所示，设f(x)＝t，则关于x的方程f2(x)－2af(x)＋a2－1＝0可化为t2－2at＋a2－1＝0，观察图象知，直线y＝t与y＝f(x)的图象最多有4个公共点，即关于x的方程f(x)＝t最多有4个不相等的实数根，而关于x的方程f2(x)－2af(x)＋a2－1＝0有8个不相等的实数根，则关于t的方程t2－2at＋a2－1＝0有两个不相等的实数根t1，t2且1≤t1＜t2＜5．设g(t)＝t2－2at＋a2－1，对称轴为t＝a，则即解得2≤a＜4，所以实数a的取值范围为[2，4)． 三、填空题 7．若函数f(x)＝则方程f(f(x))＝2的所有根之积为____． 【解析】 令t＝f(x)，由f(f(x))＝2可得f(t)＝2．当t≤0时，由f(t)＝－t2－2t＝2，即t2＋2t＋2＝0，则Δ＝4－4×2＜0，方程t2＋2t＋2＝0无解．当t＞0时，由f(t)＝|log2t|＝2，可得t＝或t＝4．①当t＝时，当x≤0时，由f(x)＝－x2－2x＝可得x2＋2x＋＝0，解得x1＝，x2＝，则x1x2＝．当x＞0时，由f(x)＝|log2x|＝可得x3＝2，x4＝2－，则x3x4＝1．②当t＝4时，当x≤0时，由f(x)＝－x2－2x＝4可得x2＋2x＋4＝0，Δ＝4－4×4＜0，方程x2＋2x＋4＝0无解．当x＞0时，由f(x)＝|log2x|＝4可得x5＝24，x6＝2－4，则x3x4＝1．因此方程f(f(x))＝2所有根之积为x1x2x3x4x5x6＝． 8．若函数f(x)＝g(x)＝f2(x)－(2a＋2)f(x)＋a2＋2a有3个不同的零点x1，x2，x3，则实数a的取值范围是__[－4，－2)__；若x3＝，则x1＋x2＋x3＝__－__． 【解析】 令g(x)＝f2(x)－(2a＋2)f(x)＋a2＋2a＝[f(x)－a][f(x)－a－2]＝0，解得f(x)＝a或f(x)＝a＋2．作出f(x)的图象如图，要使g(x)有3个不同的零点，则f(x)的图象与直线y＝a和y＝a＋2一共有3个交点．由图可知当即－4≤a＜－2时，f(x)的图象与直线y＝a有1个交点，与直线y＝a＋2有2个交点，符合题意．易得f＝－1，所以a＋2＝－1，即a＝－3．不妨设x1＜x2，由log2(－x)＝－1，得x1＝－，由log2(－x)＝－3，得x2＝－，所以x1＋x2＋x3＝－． 9．(2025·诸暨调研)设m是不为0的实数，已知函数f(x)＝若函数F(x)＝2f2(x)－mf(x)有7个零点，则实数m的取值范围是__(0，2)__． 【解析】 作出函数f(x)的图象如图所示，由F(x)＝f(x)[2f(x)－m]＝0，得f(x)＝0或2f(x)－m＝0．当f(x)＝0时，f(x)有3个零点，要使函数F(x)＝2f2(x)－mf(x)有7个零点，则当2f(x)－m＝0时，f(x)＝(m≠0)，即y＝f(x)的图象与y＝有4个交点．结合图象可得0＜＜1，解得0＜m＜2，即实数m的取值范围为(0，2)． 10．已知函数f(x)＝g(x)＝f(f(x))－a，若g(x)有2个不同的零点，则实数a的取值范围是__(－∞，1]__． 【解析】 设h(x)＝f(f(x))，当x≤0时，ex＞0，f(f(x))＝ln ex＝x；当0＜x≤1时，ln x≤0，f(f(x))＝eln x＝x；当x＞1时，ln x＞0，f(f(x))＝ln(ln x)．综上可得，h(x)＝函数y＝ln(ln x)的定义域为(1，＋∞)，由复合函数单调性可知函数y＝ln(ln x)单调递增．又h(e)＝ln(ln e)＝0，作出h(x)的图象如图所示．由图象可知，当a≤1时，曲线h(x)与直线y＝a恒有两个交点，即g(x)有2个不同的零点，所以实数a的取值范围是(－∞，1]． 11．已知f(x)＝若函数g(x)＝f2(x)－af(x)－1有5个不同的零点，则实数a的取值范围是__∪__． 【解析】 作出f(x)的图象如图所示，令t＝f(x)，要使函数g(x)＝f2(x)－af(x)－1有5个不同的零点，即函数h(t)＝t2－at－1有两个零点t1，t2且－1＜t1≤2，t2＞2或－1＜t1≤2，t2＝－1．当－1＜t1≤2，t2＝－1时，即h(－1)＝a＝0，所以h(t)＝t2－1＝0有两根－1和1，符合题意；当－1＜t1≤2，t2＞2时，又因为h(0)＝－1，所以解得a＞．综上所述，实数a的取值范围为∪． 学科网（北京）股份有限公司 $ 　复合函数的零点问题 内外自复合型 例1　(2025·黄冈质检)已知函数f(x)＝则方程f(f(x))＝k的实数解的个数至多是(　　) A．5　 B．6 C．7　 D．8 变式1　已知函数f(x)＝若函数y＝f(f(x))－k有3个不同的零点，则实数k的取值范围是(　　) A．(1，4)　 B．(1，4] C．[1，4)　 D．[1，4] 内外双函数复合型 例2　已知函数f(x)＝ax－x2，g(x)＝若方程g(f(x))＝0有四个不等的实数根，则实数a的取值范围是(　　) A．(－4，0) B．(0，4) C．(－∞，－4)∪(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(4，＋∞) 对于嵌套型复合函数y＝f(g(x))的零点个数问题，求解思路如下：①确定内层函数u＝g(x)和外层函数y＝f(u)；②确定外层函数y＝f(u)的零点u＝ui(i＝1，2，3，…，n)；③确定u＝ui(i＝1，2，3，…，n)与内层函数u＝g(x)图象的交点个数分别为a1，a2，a3，…，an，则函数y＝f(g(x))的零点个数为a1＋a2＋a3＋…＋an． 变式2　设函数f(x)＝x2－4x＋3，g(x)＝2|x|，若方程f(g(x))＝t有四个实数根，则实数t的取值范围是(　　) A．(－1，＋∞)　 B．(－1，0)　 C．(－1，1)　 D．(0，1) 二次可因式分解型 例3　(2025·池州二模)已知函数f(x)＝若f2(x)－(a＋2)f(x)＋2a＝0有4个互不相同的根，则a的取值范围为(　　) A．(2，3)　 B．(2，3] C．(3，＋∞)　 D．[3，＋∞) 此类问题的关键：先换元再因式分解，后数形结合． 变式3　已知函数f(x)＝若关于x的方程f2(x)＋(2a－3)f(x)＋a2－3a＝0有5个不同的实数根，则a的取值范围为___________． 二次不可因式分解型 例4　(2025·青岛质检)已知f(x)＝－x2＋2，若关于x的方程f2(x)＋mf(x)＋n＝0(m，n∈R)恰有3个互不相等的实根，则实数m的取值范围为( 　) A．{m|m＜－1} B．{m|m≤0} C．{m|m＜－1或m＞0} D．{m|m＝0或m＜－1} 变式4　(2025·邯郸质检)已知函数f(x)＝若方程f2(x)＋bf(x)＋＝0有6个相异实根，则实数b的取值范围为(　　) A．(－2，－1)　 B． C．　 D．(－2，0) 配套精练 一、单项选择题 1．已知函数f(x)＝则y＝f(f(x))－1的零点个数为(　　) A．4　 B．5 C．6　 D．7 2．(2025·潍坊调研)已知函数f(x)＝若方程f(f(x))＝有且仅有一根，则实数k的取值范围是(　　) A．　 B． C．[0，＋∞)　 D． 3．已知函数f(x)＝x＋＋a，g(x)＝x2－6x＋5，当a＞时，方程f(g(x))＝0根的个数为(　　) A．4　 B．3 C．2　 D．1 4．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(f(x))＝0有且仅有两个实数根，则实数a的取值范围是(　　) A．(0，1)　 B．(－∞，0)∪(0，1) C．[1，＋∞)　 D．(0，1)∪(1，＋∞) 二、多项选择题 5．若f(x)和g(x)都是定义在R上的函数，且f(g(x))＝x有实数解，则g(f(x))可能是(　　) A．x2＋x－　 B．x2＋x＋ C．x2－　 D．x2＋ 6．(2025·常熟质检)已知函数f(x)＝若关于x的方程f2(x)－2af(x)＋a2－1＝0有8个不相等的实数根，则实数a的取值可以为( 　) A．2　 B．3 C．4　 D．5 三、填空题 7．若函数f(x)＝则方程f(f(x))＝2的所有根之积为____． 8．若函数f(x)＝g(x)＝f2(x)－(2a＋2)f(x)＋a2＋2a有3个不同的零点x1，x2，x3，则实数a的取值范围是_________；若x3＝，则x1＋x2＋x3＝__________． 9．(2025·诸暨调研)设m是不为0的实数，已知函数f(x)＝若函数F(x)＝2f2(x)－mf(x)有7个零点，则实数m的取值范围是________． 10．已知函数f(x)＝g(x)＝f(f(x))－a，若g(x)有2个不同的零点，则实数a的取值范围是___________． 11．已知f(x)＝若函数g(x)＝f2(x)－af(x)－1有5个不同的零点，则实数a的取值范围是__________． 学科网（北京）股份有限公司 $