第2章 微专题2 抽象函数的性质（word教参）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（提升版）

该高中数学高考复习讲义聚焦抽象函数的对称性、周期性及综合应用核心考点，按“性质梳理-典例剖析-变式拓展-分层精练”逻辑架构，通过考点梳理（如对称性定义、周期关系推导）、方法指导（例题解题步骤分解）、真题训练（配套各地质检题），帮助学生构建知识体系，突破抽象函数性质综合应用难点。 讲义突出数学思维与数学语言融合，如例2结合奇偶性推导函数对称性和周期，培养推理能力，设置单选、多选、填空分层练习，配合即时反馈。能高效帮助学生掌握抽象函数性质应用规律，提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰教学路径。

草学科网书城圆 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 微专题2 抽象函数的性质 视角①对称性 例1(1)已知函数x一1)为偶函数，且函数x)在[一1，+∞)上单调递增， 则关于x的不等式1一2≤一7)的解集为(A) A.(-∞，3) B.(3,+∞) C.(-∞，2) D.(2,+∞) 【解析】因为x一1)为偶函数，所以x一1)的图象关于y轴对称，则x) 的图象关于直线x=一1对称.因为x)在[一1，十∞)上单调递增，所以x)在 (-∞，一1]上单调递减.因为1一2)<-7)=5)，所以一7<1一2<5，解 得x<3. (2)已知函数xx∈R)满足一x)=2一x),若函数y=与y=x)图象的交 点为(1，)，(x2,y),…,(0,y10),则G,十y月=10· 【解析】因为函数x)x∈R)满足一x)=2-x,即满足=1，所以y= 关于点(0,1)对称.又函数y==1十关于点(0,1)对称，所以函数y=与y= 独家授权侵权必究 学科网书城圆 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 )图象的交点(，)，(x2,),,(10,y)也关于点(0,1)对称，故交点 (1,y),(,),·,(0,)成对出现，且每一对点都关于(0,1)对称，故 x十)=(x1+x2十…十x10)十(0y1十y2+…+y10)=0+×2=10. 总结提炼 若函数y=x)满足孔a十x)=a一x)或x)=2a一x),则函数y=x)的图象 关于直线x=a对称.推广：若函数y=x)满足a十x)=b一x),则函数y=x) 的图象关于直线x=对称. 变式1已知定义在R上的函数x)在（∞，2]上单调递增，若函数x+2) 为偶函数，且3)=0，则不等式x)>0的解集为（一∞，0）U(1,3)· 【解析】由函数x十2)为偶函数，可知函数x)的图象关于x=2对称. 又函数x在（一∞，2]上单调递增，故函数w在(2，十∞）上单调递减.由3) =0,知1)=0，作出函数x)的大致图象如图所示.由图可知，当x<0时，由 xx)>0,可得x)<0,则x<0;当x>0时，由x)>0,可得)>0，则1< x<3.综上，不等式x)>0的解集为（一∞，0）U(1,3) 视角已对称性、周期性的综合 例2(1)2025·湖州质检)已知定义域为R的函数x),满足2x)是奇函数， 独家授权侵权必究· 草学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 3x一1)是偶函数，则下列说法不一定正确的是(B) A.x)的图象关于直线x=一1对称 B.-3)=1 C.x的一个周期为4 D.x)的图象关于点(O,O)对称 【解析】由3x一1)是偶函数，可知一3x一1)=3x一1)，则x)关于x= 一1对称，故A正确；因为2x)是奇函数，所以x)也是奇函数，关于点(0,0) 对称，故D正确；由AD可知，人-2-)=w)=一人-)，即人-2十)=- x),即x)=一x十2)，则x)=一x十2)=x+4),所以x)是周期函数，一 个周期为4，故C正确；由x=一x十2)可知，一3)=一尤-1)，函数x)关 于x=一1对称，但一1)不确定，故B错误. (2)(2025·济南调研)已知定义在R上的函数，g(x)满足x)+g(2一x)= 5,gx)一x一4)=3，且g(x+2)为偶函数，则1)+2)+3)+…+2025)= 2025. 【解析】因为函数g(x+2)为偶函数，所以gx十2)=g(一x十2)，即x)十 ·独家授权侵权必究 草学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 g(2-x)=x)十g(2+x)=5①，又g(x)-x-4)=3,即g(x+2)-x-2)=3②， 所以①-②得w)十x一2)=2，即x+2)十)=2，两式相减得x+2)一x- 2)=0,即x十2)=x-2)→x十4)=w),所以x)为周期函数，周期为4.又 x)+g(2-x)=5,-x)+g(2+x)=5,gx+2)=g(-x+2),所以x)=-x), 即x)为偶函数.又x+2)+x)=2,所以1)+-1)=21)=2→1)=1,1) +3)=2,2)+4)=2,所以1)+2)+3)+4)=4，所以1)+2)+3) +…+2025)=506×4+2025)=2024+1)=2025. 总结提炼 函数对称性与周期性的关系 (1)若函数y=x)的图象关于直线x=a,x=b都对称，则x)为周期函数且 2b一d是它的一个周期. (2)若函数y=x)(x∈R)的图象关于两点A(a,),B(b,y0)都对称，则2b 一叫是y=x)的一个周期. (3)若函数y=x)x∈R)的图象关于点A(a,o)和直线x=b都对称，则4b 一a4是y=x)的一个周期. } 独家授权侵权必究 草学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 变式2(1)2025·开封质检)已知是R上的连续函数，满足：Vx, y∈R,x十y)十x一)=x),且1)=1，则下列说法中正确的是(D) A.0)=0 B.x)为奇函数 C.x)的一个周期为8 D.是孔x的一个对称中心 【解析】对于A,令x=1,y=0,则1+0)+1-0)=10)，所以 21)=10),因为1)=1，所以0)=2，故A不正确；对于B,令x=0,则 0+)+0-)=0)y),即)+-)=2)，即-)=y),则x)为偶函 数，故B不正确；对于C,令y=1,则x十1)十x一1)=x1)=),故x十 2)十x)=x十1)，两式相加并整理得x十2)十x一1)=0，即x十3)=一x), 故x十6)=一x+3)=一[一x]=),故)的一个周期为6，则9)=3)= 2)一1)=1)一0)一1)=一0)=-2≠1)，故x)的一个周期为8不成立， C不正确；对于D,由x十3)=一x),且x)为偶函数，故x十3)=一一x), 所以是的一个对称中心，故D正确. ·独家授权侵权必究 草学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 (2)(2026·黄冈期初)（多选）已知定义在R上的函数x)和g(x),若x十2)为 奇函数，gx)为偶函数，且x+1)十g(3一x)=4,则(BCD) A.g(2)=2 B.6)=0 C.x)的图象关于x=4对称 D.8为g(x)的一个周期 【解析】对于A,由x十2)为奇函数，则x十2)=一一x+2),故x十 1)=--x+3),由x+1)+g(3-x)=4,则--x+3)十g(3-x)=4,-x+2 +1)十g(3+x-2)=4,即-x+3)+g(1+x)=4,则g(3-x)十g(1+x)=8.令x =1,则2g(2)=8,即g(2)=4,故A错误.对于B,由g(x为偶函数，则gx)= g(-),由x+1)十g3-x)=4,则x+4)十g(-x)=4,4-x)十gx)=4,故 x+4)十g(-x)-4-x)-gx=4-4=0,又gx)=g(-x),则x+4)=4- x),则x十2)=6-x),则2)=6).由x十2)=一术-x十2)，则2)=一 2),故2)=0，故6)=0，故B正确.对于C,由x+4)=4一x,则x)的 图象关于x=4对称，故C正确.对于D,由g(3一x)十g(1十)=8，则g(-)十 g(4十x)=8,又gx)=g(一x),则gx)十g(4+x)=8,则g(x-4)+g(x)=8,则g(x) ·独家授权侵权必究 草学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 十g(4+x)=gx一4)+gx),即g(4+x)=gx-4),即8为g(x)的一个周期，故D 正确. 配套精练 一、单项选择题 1.(2025·安庆质检)若函数x)的图象关于点(1,0)对称，则(C) A.x十1)为偶函数 B.x一1)为偶函数 C.x+1)为奇函数 D.x一1)为奇函数 【解析】因为函数x的图象关于点(1，O)对称，所以将的图象向左平 移1个单位长度后所得图象关于原点对称，即x十1)是奇函数. 2.(2025·厦门质检)已知x)是定义在R上的奇函数，x+1)=1一x),且 -1)=1,则2029)=(D) A.1 B.0 C.-2021 D.-1 【解析】因为为奇函数，所以x十1)=1一x)=一x一1)，所以x十 3)=x+2+1)=一x+2-1)=x-1),所以x+4)=x),即x)是周期为4的 ·独家授权侵权必究· 草学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 函数，故2029)=1)=一-1)=一1. 3.(2025·南通一调)已知定义在R上的奇函数x)满足x)=4一x),且 x在[一2,2]上单调递增.设a=fb=fc=一13)，则(D) A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a 【解析】由=4一x知的图象关于直线x=2对称.由x)为奇函 数知)的图象关于点(0,0)中心对称，从而是周期为8的周期函数.作出 x)的大致图象如图所示，因为在[一2,2]上单调递增，所以人x)在[2,6]上 单调递减.又f=f,f=寸，-13)=3)，2<<3<<6，所以f-13)<f,即 b<c<a. 4.(2025·株洲质检)已知偶函数x)满足：(x)+(x+2)=4,且xf>0, 若2)<0，则2025)=(C) A.1 B. ·独家授权侵权必究 草学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 C.- D.-1 【解析】由f(x)+fx+2)=4,用x代换x十2，可得x+2)+f(x+4)= 4,联立方程组可得f(x十4=(x),即x十4)=x).又x)为偶函数，且x)f >0,可得x)与f同号，所以x十4)=x),可得函数x)是周期为4的函数. 因为2)<0,1)与2)同号，则1)<0，令x=一1，可得f(-1)+f(1)=2f(1) =4,所以1)=一，则2025)=506×4+1)=1)=-. 5.己知函数x)对x∈R都有x)=x+4)+人2)，若函数y=x十3)的图象 关于直线x=一3对称，且对x1,∈[0,2]，当x≠x时，都有（一x)[x2)一 x)]>0,则下列结论错误的是(D) A.2)=0 B.x是偶函数 C.x是周期为4的周期函数 D.3)≤-4) 【解析】因为y=x+3)的图象关于直线x=一3对称，所以y=x)的图 象关于y轴对称，即x)是偶函数，B正确；在x)=x十4)十2)中，令x=一 ·独家授权侵权必究 草学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 2,得-2)=22)，因为-2)=2)，所以2)=22)，解得2)=0，A正确； )=x十4)，x)是周期为4的周期函数，C正确；对Hx1,x∈[0,2]，当 x1≠为时，都有(x一x)[x)一x]>0,故x)在[0,2]上单调递增，又)是周 期为4的周期函数，且x)是偶函数，故0)=一4)，3)=-1)=1)，因为 1)>0),所以3)>-4)，D错误. 二、多项选择题 6.(2025·湘潭调研)已知函数x)的定义域为R,f为奇函数，且对于任意 x∈R,都有2一3x)=3x),则(BCD) A.x+1)=x) B.f=0 C.x+2)为偶函数 D.f为奇函数 【解析】由2-3x)=3),得2一x)=).由f是奇函数，得f=一f 即x)=一1一x),所以2-)=一1-)，即x+1)=一，所以x+2)= x,故A错误；由x)=一1一x),得f=0,由x+1)=一x),得f=一f,所 以f=0,故B正确；由x十2)=x),2一x)=x),得2一x)=2十x),即x +2)为偶函数，故C正确；由x)=一1一x),x十2)=x),得)=一一1一 ·独家授权侵权必究· 草学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 x),则f=一∫，即f为奇函数，故D正确. 7.(2025·石家庄三模)已知函数孔x)是定义在R上的偶函数，x十1)是定义 在R上的奇函数，则(AC) A.x)的图象关于点(1,0)中心对称 B.x是周期为2的函数 C.2027)=0 D.∑)=0 【解析】对于A,因为y=x十1)是R上的奇函数，其图象关于原点对称， 又y=x十1)的图象可看成是函数y=x)的图象向左平移1个单位长度得到，所 以x)的图象关于点(1，O)中心对称，故A正确；对于B,由y=x十1)是R上 的奇函数，得一x+1)=一x+1),即-x)=一x+2),又一x)=x),则 x+2)=一x),所以x+4)=一x+2)=),故)是周期为4的函数，故B 错误；对于C,由-x=-x十2)，令x=一1，得1)=-1)，则1)=0， 所以2027)=506×4+3)=3)=-1)=1)=0，故C正确；对于D,由x +2)+x)=0,得2)十4)=0，又1)=3)=0，x)是周期为4的函数，所以 ·独家授权侵权必究 草学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zXXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 ∑)=4[1)+2)+3)+4)]+1)+2)+3)=2)，而2)的值无法确定，故 D错误. 8.(2026·唐山期初)已知非常数函数x)是定义在R上的偶函数，且0)= 0,2x-1)=x),则(ABD) A.1)=0 B.2是x)的一个周期 C.当且仅当x∈Z时，x)=0 D.x)不存在最小正周期 【解析】由2x-1)=x),令x=0,得-1)=0)，又x)是定义在R上 的偶函数，则1)=术-1)=0)=0，A正确.由2x一1)=x),令2x=t,有t 一1)=f,由2x一1)=x),令2x=一t,有一t-1)=f.又x是定义在R上的 偶函数，=寸，则有t-1)=(一t一1)，所以函数)的图象关于直线x=一1对 称，有（一x)=x一2）.又x)是定义在R上的偶函数，则尺一)=x一2)= ),故x十2)=x),所以2是x)的一个周期，B正确.由2x一1)=x),令 x=，得0)=f=0,故C错误.若T是x)的一个周期，则x十T)=x),所以 ·独家授权侵权必究 草学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 w)=2x一1)=2x一1+T)=f=f,则也是x)的一个周期，结合B可知，2， 1,,,,…都是x)的周期，所以x)不存在最小正周期，D正确. 三、填空题 9.已知定义在R上的两个函数x)和g(x)满足x)十(1一x)=3.若y=x) 的图象关于点(1,0)对称，则0)=3· 【解析】函数g(x)的定义域为R,且y=g(w的图象关于点(1,0)对称，所 以g(x)+g(2-)=0,所以g(1)=0.又x+g(1-x)=3,当x=0时，0)+g(1) =3,所以0)=3. 10.(2025·芜湖期末)已知函数)的定义域为R,y=x)一1为奇函数，y =x十1)为偶函数，若2025)=2，则3)=0· 【解析】由y=x)-1为奇函数得-)十x)=2,由y=x十1)为偶函数 得1一x=1+x)→x)=2-x),所以有-)十2一x)=2,即w+2+x)= 2→x+2)十x+4)=2,所以x十4)=x),函数x)的一个周期为4，所以2 025)=4×506+1)=1)=2,又1)+3)=2，所以3)=0. 11.(2025·福州调研)已知十1)是定义在R上的奇函数，且x十4)=2 ·独家授权侵权必究 草学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 -x),当x∈(1,3]时，x)=e-2x,则2025)+2026)=e一4· 【解析】由x+1)是定义在R上的奇函数，得一x十1)=一x十1)，即 2-x)=一x).又x+4)=2一x),则x+4)=一x),x+8)=一x+4)= ),因此函数x)的周期为8.当x∈(1,3]时，w)=e-2",则2)=e2-4, 结合1)=0，所以2025)+2026)=1)+2)=e2-4. ·独家授权侵权必究· 　抽象函数的性质 对称性 例 1(1) 已知函数f(x－1)为偶函数，且函数f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，则关于x的不等式f(1－2x)＜f(－7)的解集为(　　) A．(－∞，3)　 B．(3，＋∞) C．(－∞，2)　 D．(2，＋∞) (2) 已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x10，y10)，则(xi＋yi)＝____． 若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．推广：若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． 变式 1　已知定义在R上的函数f(x)在(－∞，2]上单调递增，若函数f(x＋2)为偶函数，且f(3)＝0，则不等式xf(x)＞0的解集为__________． 对称性、周期性的综合 例2　(1)(2025·湖州质检)已知定义域为R的函数f(x)，满足f(2x)是奇函数，f(3x－1)是偶函数，则下列说法不一定正确的是(　　) A．f(x)的图象关于直线x＝－1对称 B．f(－3)＝1 C．f(x)的一个周期为4 D．f(x)的图象关于点(0，0)对称 (2)(2025·济南调研)已知定义在R上的函数f(x)，g(x)满足f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝3，且g(x＋2) 为偶函数，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 025)＝___________． 函数对称性与周期性的关系 (1) 若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a，x＝b都对称，则f(x)为周期函数且2|b－a|是它的一个周期． (2) 若函数y＝f(x)(x∈R)的图象关于两点A(a，y0)，B(b，y0)都对称，则2|b－a|是y＝f(x)的一个周期． (3) 若函数y＝f(x)(x∈R)的图象关于点A(a，y0)和直线x＝b都对称，则4|b－a|是y＝f(x)的一个周期． 变式2　(1)(2025·开封质检)已知f(x)是R上的连续函数，满足：∀x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，且f(1)＝1，则下列说法中正确的是(　　) A．f(0)＝0 B．f(x)为奇函数 C．f(x)的一个周期为8 D．是f(x)的一个对称中心 (2)(2026·黄冈期初)(多选)已知定义在R上的函数f(x)和g(x)，若f(x＋2)为奇函数，g(x)为偶函数，且f(x＋1)＋g(3－x)＝4，则(　　) A．g(2)＝2　 B．f(6)＝0 C．f(x)的图象关于x＝4对称 D．8为g(x)的一个周期 配套精练 一、单项选择题 1．(2025·安庆质检)若函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，则(　　) A．f(x＋1)为偶函数　 B．f(x－1)为偶函数 C．f(x＋1)为奇函数　 D．f(x－1)为奇函数 2．(2025·厦门质检)已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋1)＝f(1－x)，且f(－1)＝1，则f(2 029)＝(　　) A．1　 B．0 C．－2 021　 D．－1 3．(2025·南通一调)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝f(4－x)，且f(x)在[－2，2]上单调递增．设a＝f，b＝f，c＝f(－13)，则(　　) A．a＜b＜c　 B．c＜b＜a C．b＜a＜c　 D．b＜c＜a 4．(2025·株洲质检)已知偶函数f(x)满足：f2(x)＋f2(x＋2)＝4，且f(x)f＞0，若f(2)＜0，则f(2 025)＝(　　) A．1　 B． C．－　 D．－1 5．已知函数f(x)对∀x∈R都有f(x)＝f(x＋4)＋f(2)，若函数y＝f(x＋3)的图象关于直线x＝－3对称，且对∀x1，x2∈[0，2]，当x1≠x2时，都有(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]＞0，则下列结论错误的是(　　) A．f(2)＝0 B．f(x)是偶函数 C．f(x)是周期为4的周期函数 D．f(3)＜f(－4) 二、多项选择题 6．(2025·湘潭调研)已知函数f(x)的定义域为R，f为奇函数，且对于任意x∈R，都有f(2－3x)＝f(3x)，则(　　) A．f(x＋1)＝f(x)　 B．f＝0 C．f(x＋2)为偶函数　 D．f为奇函数 7．(2025·石家庄三模)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x＋1)是定义在R上的奇函数，则(　　) A．f(x)的图象关于点(1，0)中心对称 B．f(x)是周期为2的函数 C．f(2 027)＝0 D．f(i)＝0 8．(2026·唐山期初)已知非常数函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝0，f(2x－1)＝f(x)，则(　　) A．f(1)＝0 B．2是f(x)的一个周期 C．当且仅当x∈Z时，f(x)＝0 D．f(x)不存在最小正周期 三、填空题 9．已知定义在R上的两个函数f(x)和g(x)满足f(x)＋g(1－x)＝3．若y＝g(x)的图象关于点(1，0)对称，则f(0)＝____． 10．(2025·芜湖期末)已知函数f(x)的定义域为R，y＝f(x)－1为奇函数，y＝f(x＋1)为偶函数，若f(2 025)＝2，则f(3)＝____． 11．(2025·福州调研)已知f(x＋1)是定义在R上的奇函数，且f(x＋4)＝f(2－x)，当x∈(1，3]时，f(x)＝ex－2x，则f(2 025)＋f(2 026)＝__________． 学科网（北京）股份有限公司 $