第2章 第13讲 函数与方程（word教参）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（提升版）

该高中数学高考复习讲义聚焦函数与方程核心考点，涵盖函数零点概念、存在定理、二分法及零点区间判定、个数判定、参数确定等高考高频题型。通过知识整合构建体系，激活思维引入问题，聚焦知识梳理要点，题型突破结合方法指导与变式训练，形成从基础到应用的系统性复习路径，助力学生突破难点。 讲义突出教材经典题与高考真题结合，采用题型分类突破策略，如零点个数判定通过直接求解、定理应用、数形结合培养数学思维与几何直观。配套A组夯基、B组提升分层练习，配合随堂内化即时反馈，确保高效复习。既提升学生用数学语言表达问题的能力，又为教师提供精准复习节奏把控依据，保障复习效果。

第13讲　函数与方程 知识整合　体系重构 激活思维 1．(教材经典题改编)f(x)＝ln x＋2x－6的零点个数是(　　) A．0　 B．1 C．2　 D．3 2．(教材经典题改编)函数y＝－ln x　的零点所在区间是(　　) A．(3，4)　 B．(2，3) C．(1，2)　 D．(0，1) 3．(教材经典题)已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＞b＞c　 B．b＞c＞a C．c＞a＞b　 D．b＞a＞c 4．(教材经典题改编)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，0)　 B． C．(1，＋∞)　 D．(0，1) 聚焦知识 1．函数零点 (1) 概念：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，亦即函数y＝f(x)的图象与x轴交点的_________，即：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． (2) 存在定理：①条件：(ⅰ) 函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；(ⅱ) __________＜0． ②结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得________，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 2．二分法 (1) 对于在区间[a，b]上连续不断，且满足f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使区间两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． (2) 步骤：第一步：确定区间[a，b]，验证__________，给定精确度ε； 第二步：求区间[a，b]的中点c； 第三步：计算f(c)：①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；②若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；③若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))；④判断是否达到精确度ε，即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则，重复第二、三步． 3．常用结论 (1) 若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根． (2) 由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0，如图所示，所以f(a)·f(b)＜0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件． 题型突破　思维拓展 举题说法 零点所在区间的判定 例1　已知函数f(x)＝e－x－2x－5的零点位于区间(m，m＋1)(m∈Z)上，则m＝(　　) A．－2　 B．－1 C．0　 D．1 确定函数零点所在区间的方法：(1) 解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．(2) 利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0．若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(3) 数形结合法：通过画函数图象，判断图象与x轴在给定区间上是否有交点． 变式1　(2025·靖江质检)函数f(x)＝x＋log2(x－1)的零点所在的区间为(　　) A．　 B． C．　 D． 零点个数的判定 例2　(2025·绵阳质检)若函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋f(－x)，则函数g(x)的零点个数为____． 函数零点个数的判断方法：(1) 直接求零点．(2) 函数零点存在定理，应注意：满足条件的零点可能不唯一；不满足条件时，也可能有零点．(3) 作出两函数的图象，观察其交点个数即得零点个数． 变式2　若函数f(x)＝则函数y＝f(x)－3的零点个数是(　　) A．1　 B．2 C．3　 D．4 根据零点情况确定参数 视角1　根据零点个数求参数范围 例3－1　已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－2只有两个零点，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2)　 B．(－3，4) C．(－3，6)　 D．(－∞，－3]∪{6} 视角2　根据零点所在区间求参数范围 例 3－2　　已知函数f(x)＝3x－，若存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是(　　) A．　 B． C．(－∞，0)　 D． 已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法： (1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数取值范围； (2) 值域法：将问题转化成求函数的值域问题加以解决； (3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后利用数形结合求解． 变式3　(2025·抚顺二模)若函数f(x)＝kx－4＋xlog2x在区间[1，4)内有零点，则实数k的取值范围为(　　) A．[－4，1)　 B．(－4，1] C．[－1，4)　 D．(－1，4] 等高线问题 例4　已知函数f(x)＝若x1＜x2＜x3＜x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则＋＋＋的取值范围是(　　) A．　 B．(－∞，2) C．　 D． 随堂内化 1．已知函数f(x)＝ 令h(x)＝f(x)－k，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)的单调递增区间为(0，＋∞) B．当k∈(－4，－3)时，h(x)有3个零点 C．当k＝－2时，h(x)的所有零点之和为－1 D．当k∈(－∞，－4)时，h(x)有1个零点 2．(2025·济宁期中)已知x0是函数f(x)＝2x＋x－1的一个零点，若x1∈(－1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则(　　) A．f(x1)＞0，f(x2)＜0 B．f(x1)＜0，f(x2)＞0 C．f(x1)＞0，f(x2)＞0 D．f(x1)＜0，f(x2)＜0 3．已知函数f(x)＝如果函数f(x)恰有两个零点，那么实数m的取值范围为___________． 配套精练 A组　夯基精练 一、单项选择题 1．已知方程3x＋2x－10＝0的解在(k，k＋1)(k∈Z)内，则k＝(　　) A．0　 B．1 C．2　 D．3 2．(2025·南昌一模)已知f(x)＝则方程f(x)＝8所有的根之和为(　　) A．1　 B．2 C．5　 D．7 3．方程x－＝0的解的个数为(　　) A．2　　 B．3　 C．4　　 D．2或3或4 4．已知函数f(x)＝2x＋x－4，g(x)＝ex＋x－4，h(x)＝ln x＋x－4的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＜b＜c　 B．c＜b＜a C．b＜a＜c　 D．c＜a＜b 5．(2025·承德期末)已知奇函数f(x)的定义域为[－2，2]，且f(x)在[0，2]上的图象如图所示，则函数g(x)＝[f(x)－x][f(x)＋x＋1]的零点个数为(　　) A．7　 B．6 C．5　 D．4 二、多项选择题 6．已知函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： x －1 1 3 5 7 f(x) －11 7 2 －3 8 则一定包含f(x)的零点的区间是(　　) A．(－1，1)　 B．(1，3) C．(3，5)　 D．(5，7) 7．已知函数f(x)＝则关于x的方程f(x)＝ax＋2的根的个数可能是(　　) A．0　 B．1 C．2　 D．3 8．已知函数f(x)＝则关于x的方程f(x)－k＝0，则下列判断正确的是(　　) A．k＝1时方程f(x)－k＝0有3个不同的实数根 B．方程f(x)－k＝0至少有2个不同的实数根 C．若方程f(x)－k＝0有3个不同的实数根，则k的取值范围为(0，1] D．若方程f(x)－k＝0有3个不同的实数根x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3的取值范围为[－1，＋∞) 三、填空题 9．函数f(x)＝sin x－log2x的零点个数为_______． 10．设函数f(x)＝若f(x)恰有3个零点，则实数m的取值范围为________． 四、解答题 11．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－4x＋1． (1) 求函数f(x)的解析式； (2) 讨论函数g(x)＝f(x)－mx零点的个数． 12．已知函数f(x)为二次函数，f(x)的图象过点(0，2)，对称轴为直线x＝－，函数f(x)在R上的最小值为． (1) 求f(x)的解析式； (2) 当x∈[m－2，m]，m∈R时，求函数f(x)的最小值(用m表示)； (3) 若函数F(x)＝f(x)－ax在(0，3)上只有一个零点，求实数a的取值范围． B组　能力提升练 13．已知函数f(x)＝|x2－5x＋4|－kx有三个零点x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝(　　) A．7　 B．8 C．15　 D．16 14．(2025·漯河期末)已知函数f(x)＝2－ln |x－2|，则此函数的所有零点的和为____． 15．(2025·淄博期末)已知函数f(x)＝若存在实数x1，x2，x3且x1＜x2＜x3，使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，则x1f(x1)＋x2f(x2)＋x3f(x3)的取值范围为________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲　函数与方程 知识整合　体系重构 激活思维 1．(教材经典题改编)f(x)＝ln x＋2x－6的零点个数是(　B　) A．0　 B．1 C．2　 D．3 2．(教材经典题改编)函数y＝－ln x　的零点所在区间是(　B　) A．(3，4)　 B．(2，3) C．(1，2)　 D．(0，1) 3．(教材经典题)已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为(　B　) A．a＞b＞c　 B．b＞c＞a C．c＞a＞b　 D．b＞a＞c 【解析】 在同一平面直角坐标系中分别作出函数y＝2x，y＝log2x，y＝x3及y＝－x的图象如图所示，由图象可知b＞c＞a． 4．(教材经典题改编)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是(　D　) A．(－∞，0)　 B． C．(1，＋∞)　 D．(0，1) 【解析】 令g(x)＝f(x)－m＝0，得f(x)＝m，根据分段函数f(x)的解析式，作出函数f(x)的图象如图所示．由题可知函数y＝f(x)的图象和直线y＝m有3个交点，根据图象可得实数m的取值范围是(0，1)． 聚焦知识 1．函数零点 (1) 概念：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，亦即函数y＝f(x)的图象与x轴交点的__横坐标__，即：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． (2) 存在定理：①条件：(ⅰ) 函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；(ⅱ) __f(a)·f(b)__＜0． ②结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得__f(c)＝0__，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 2．二分法 (1) 对于在区间[a，b]上连续不断，且满足f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使区间两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． (2) 步骤：第一步：确定区间[a，b]，验证__f(a)·f(b)＜0__，给定精确度ε； 第二步：求区间[a，b]的中点c； 第三步：计算f(c)：①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；②若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；③若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))；④判断是否达到精确度ε，即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则，重复第二、三步． 3．常用结论 (1) 若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根． (2) 由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0，如图所示，所以f(a)·f(b)＜0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件． 题型突破　思维拓展 举题说法 零点所在区间的判定 例1　已知函数f(x)＝e－x－2x－5的零点位于区间(m，m＋1)(m∈Z)上，则m＝(　A　) A．－2　 B．－1 C．0　 D．1 【解析】 因为函数f(x)＝e－x－2x－5是连续减函数，f(－2)＝e2－1＞0，f(－1)＝e－3＜0，所以f(－2)·f(－1)＜0，函数f(x)＝e－x－2x－5的零点位于区间(－2，－1)，即(m，m＋1)上，又m∈Z，所以m＝－2． 确定函数零点所在区间的方法：(1) 解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．(2) 利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0．若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(3) 数形结合法：通过画函数图象，判断图象与x轴在给定区间上是否有交点． 变式1　(2025·靖江质检)函数f(x)＝x＋log2(x－1)的零点所在的区间为(　B　) A．　 B． C．　 D． 【解析】 f(x)的定义域为(1，＋∞)，f＝＋log2＝－2＝－＜0，f＝＋log2＝－1＝＞0，f(2)＝2＞0，f＝＋log2＞0，因为f·f＜0，所以由函数零点存在定理得零点所在的区间为． 零点个数的判定 例2　(2025·绵阳质检)若函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋f(－x)，则函数g(x)的零点个数为__5__． 【解析】 令g(x)＝0，则有f(x)＋f(－x)＝0，所以f(x)＝－f(－x)．当x＞0时，则有2＋ln x＝－(－x)＝x，即ln x＝x－2．在同一平面直角坐标系中作出y＝ln x的图象与直线y＝x－2，如图(1)所示．由图可得此时两函数的图象有两个交点，即当x＞0时，g(x)有2个零点．当x＜0时，则有x＝－[2＋ln(－x)]＝－ln(－x)－2，即ln(－x)＝－x－2．在同一平面直角坐标系中作出y＝ln(－x)的图象与直线y＝－x－2，如图(2)所示，由图可得此时两函数的图象有两个交点，即当x＜0时，g(x)有2个零点．当x＝0时，f(x)＝f(－x)＝0，此时g(x)＝f(x)＋f(－x)＝0，有1个零点为x＝0．综上所述，g(x)共有5个零点． 图(1) 图(2) 函数零点个数的判断方法：(1) 直接求零点．(2) 函数零点存在定理，应注意：满足条件的零点可能不唯一；不满足条件时，也可能有零点．(3) 作出两函数的图象，观察其交点个数即得零点个数． 变式2　若函数f(x)＝则函数y＝f(x)－3的零点个数是(　B　) A．1　 B．2 C．3　 D．4 【解析】方法一：(直接法)由y＝f(x)－3＝0，得f(x)＝3．当x＞0时，得ln x＝3或ln x＝－3，解得x＝e3或x＝e－3；当x≤0时，得－2x(x＋2)＝3，无解．所以函数y＝f(x)－3的零点个数是2． 方法二：(图象法)作出函数f(x)的图象如图所示，函数y＝f(x)－3的零点个数即y＝f(x)的图象与直线y＝3的交点个数，由图知y＝f(x)的图象与直线y＝3有2个交点，故函数y＝f(x)－3的零点个数是2． 根据零点情况确定参数 视角1　根据零点个数求参数范围 例3－1　已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－2只有两个零点，则实数a的取值范围是(　D　) A．(－∞，2)　 B．(－3，4) C．(－3，6)　 D．(－∞，－3]∪{6} 【解析】 当x≥1时，由f(x)－2＝ln x－1＝0，得x＝e，此时函数有一个零点，所以当x＜1时，y＝f(x)－2＝x2＋4x＋a－2有且仅有一个零点，即a＝－x2－4x＋2在(－∞，1)上有唯一解，即y＝－x2－4x＋2(x＜1)的图象与直线y＝a有且仅有一个交点．作出y＝－x2－4x＋2(x＜1)的图象如图所示，由图象可知：当a≤－3或a＝6时，y＝－x2－4x＋2(x＜1)的图象与直线y＝a有且仅有一个交点，所以实数a的取值范围为(－∞，－3]∪{6}． 视角2　根据零点所在区间求参数范围 例 3－2　　已知函数f(x)＝3x－，若存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是(　B　) A．　 B． C．(－∞，0)　 D． 【解析】 由f(x)＝3x－＝0，可得a＝3x－，令g(x)＝3x－，其中x∈(－∞，－1)．由于存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围即为函数g(x)在(－∞，－1)上的值域．因为函数y＝3x，y＝－在(－∞，－1)上均单调递增，所以函数g(x)在(－∞，－1)上单调递增．当x∈(－∞，－1)时，g(x)＝3x－＜g(－1)＝3－1＋1＝，又g(x)＝3x－＞0，所以函数g(x)在(－∞，－1)上的值域为．因此实数a的取值范围是． 已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法： (1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数取值范围； (2) 值域法：将问题转化成求函数的值域问题加以解决； (3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后利用数形结合求解． 变式3　(2025·抚顺二模)若函数f(x)＝kx－4＋xlog2x在区间[1，4)内有零点，则实数k的取值范围为(　D　) A．[－4，1)　 B．(－4，1] C．[－1，4)　 D．(－1，4] 【解析】 当x∈[1，4)时，由f(x)＝kx－4＋xlog2x＝0可得k＋log2x－＝0．令g(x)＝k＋log2x－，因为函数y＝log2x，y＝k－在[1，4)上均为增函数，所以函数g(x)＝k＋log2x－在[1，4)上为增函数．因为函数f(x)在区间[1，4)内有零点，则函数g(x)在区间[1，4)内有零点，所以解得－1＜k≤4，因此，实数k的取值范围是(－1，4]． 等高线问题 例4　已知函数f(x)＝若x1＜x2＜x3＜x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则＋＋＋的取值范围是(　A　) A．　 B．(－∞，2) C．　 D． 【解析】 画出f(x)＝的图象如图所示，设f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝a，则a∈(0，3)．令x2＋4x＋3＝3，解得x＝－4或0，又y＝x2＋4x＋3的对称轴为x＝－2，所以由对称性可得x1＋x2＝－4，且x1∈(－4，－3)，x2∈(－1，0)，则＋＝＝＝＝．因为x2∈(－1，0)，所以(x2＋2)2－4∈(－3，0)，故＋＝∈．又－3＝3－，故＋＝3，所以＋＋＋∈． 随堂内化 1．已知函数f(x)＝ 令h(x)＝f(x)－k，则下列说法正确的是(　D　) A．f(x)的单调递增区间为(0，＋∞) B．当k∈(－4，－3)时，h(x)有3个零点 C．当k＝－2时，h(x)的所有零点之和为－1 D．当k∈(－∞，－4)时，h(x)有1个零点 【解析】 作出 f(x)的图象如图所示，由图象可知，f(x)的单调递增区间为，(0，＋∞)，故A错误．由图可知，当－＜k＜－3时，y＝f(x)的图象与直线y＝k有3个交点；当k＝－时，y＝f(x)的图象与直线y＝k有2个交点；当－4＜k＜－时，y＝f(x)的图象与直线y＝k有1个交点．综上，当k∈(－4，－3)时，y＝f(x)的图象与直线y＝k有3个交点或2个交点或1个交点，即h(x)有3个零点或2个零点或1个零点，故B错误．当k＝－2时，由x2＋x－3＝－2，x≤0可得x＝，由－2＋ln x＝－2，x＞0可得x＝1，所以h(x)的所有零点之和为＋1＝，故C错误．当k∈(－∞，－4)时，由图可知，y＝f(x)的图象与直线y＝k有1个交点，即h(x)有1个零点，故D正确． 2．(2025·济宁期中)已知x0是函数f(x)＝2x＋x－1的一个零点，若x1∈(－1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则(　B　) A．f(x1)＞0，f(x2)＜0 B．f(x1)＜0，f(x2)＞0 C．f(x1)＞0，f(x2)＞0 D．f(x1)＜0，f(x2)＜0 【解析】 由于函数y＝2x，y＝x－1在R上均为增函数，所以函数f(x)＝2x＋x－1在R上为增函数．因为x1∈(－1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，所以f(x1)＜f(x0)＝0，f(x2)＞f(x0)＝0． 3．已知函数f(x)＝如果函数f(x)恰有两个零点，那么实数m的取值范围为__[－2，0)∪[4，＋∞)__． 【解析】 若m＜－2，则f(x)在(－∞，m]上无零点，在(m，＋∞)上有1个零点x＝4，不符合题意．若－2≤m＜0，则f(x)在(－∞，m]上有1个零点x＝－2，在(m，＋∞)上有1个零点x＝4，符合题意．若0≤m＜4，则f(x)在(－∞，m]上有2个零点x＝－2，x＝0，在(m，＋∞)上有1个零点x＝4，不符合题意．若m≥4，则f(x)在(－∞，m]上有2个零点x＝－2，x＝0，在(m，＋∞)上无零点，符合题意．综上所述，－2≤m＜0或m≥4，即m的取值范围为[－2，0)∪[4，＋∞)． 配套精练 A组　夯基精练 一、单项选择题 1．已知方程3x＋2x－10＝0的解在(k，k＋1)(k∈Z)内，则k＝(　B　) A．0　 B．1 C．2　 D．3 【解析】 设f(x)＝3x＋2x－10，则f(x)在定义域内单调递增，故f(x)在定义域内至多有一个零点．因为f(1)＝3＋2－10＝－5＜0，f(2)＝9＋4－10＝3＞0，所以f(x)仅在(1，2)内存在零点，即方程3x＋2x－10＝0的解在(1，2)内，故k＝1． 2．(2025·南昌一模)已知f(x)＝则方程f(x)＝8所有的根之和为(　A　) A．1　 B．2 C．5　 D．7 【解析】 若x＜0，由x2－2x＝8⇒(x＋2)(x－4)＝0，解得x＝－2；若x＞0，由2x＝8⇒x＝3．因为－2＋3＝1，所以方程f(x)＝8的所有根的和为1． 3．方程x－＝0的解的个数为(　A　) A．2　　 B．3　 C．4　　 D．2或3或4 【解析】 方程x－＝0的解的个数，等价于函数y＝x和函数y＝的图象的交点个数，作出两函数的图象，如图所示．数形结合可得，函数y＝x和函数y＝的图象的交点个数为2，故方程x－＝0的解的个数为2． 4．已知函数f(x)＝2x＋x－4，g(x)＝ex＋x－4，h(x)＝ln x＋x－4的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小关系是(　C　) A．a＜b＜c　 B．c＜b＜a C．b＜a＜c　 D．c＜a＜b 【解析】 f(x)的零点可以看成y＝2x与y＝4－x图象的交点的横坐标，g(x)的零点可以看成y＝ex与y＝4－x图象的交点的横坐标，h(x)的零点可以看成y＝ln x与y＝4－x图象的交点的横坐标，在同一平面直角坐标系中分别画出y＝2x，y＝ex，y＝ln x，y＝4－x的图象，如图所示，可知c＞a＞b． 5．(2025·承德期末)已知奇函数f(x)的定义域为[－2，2]，且f(x)在[0，2]上的图象如图所示，则函数g(x)＝[f(x)－x][f(x)＋x＋1]的零点个数为(　B　) A．7　 B．6 C．5　 D．4 【解析】 令g(x)＝[f(x)－x][f(x)＋x＋1]＝0得f(x)＝x或f(x)＝－x－1．如图，画出f(x)在[－2，2]上的图象与直线y＝x，直线y＝－x－1．由图可知，f(x)的图象与直线y＝x有5个交点，f(x)的图象与直线y＝－x－1有1个交点，则g(x)的零点个数为5＋1＝6． 二、多项选择题 6．已知函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： x －1 1 3 5 7 f(x) －11 7 2 －3 8 则一定包含f(x)的零点的区间是(　ACD　) A．(－1，1)　 B．(1，3) C．(3，5)　 D．(5，7) 【解析】 因为f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且f(－1)f(1)＜0，f(3)f(5)＜0，f(5)f(7)＜0，所以一定包含f(x)的零点的区间是(－1，1)，(3，5)，(5，7)． 7．已知函数f(x)＝则关于x的方程f(x)＝ax＋2的根的个数可能是(　ABD　) A．0　 B．1 C．2　 D．3 【解析】 作出函数y＝f(x)的图象如图所示，将原问题转化为直线y＝ax＋2(过定点(0，2))与函数y＝f(x)的图象的交点个数问题．由图可知，当a＝0时，直线y＝2与函数y＝f(x)的图象只有一个交点；当a＜0时，直线y＝ax＋2与函数y＝f(x)的图象没有交点；当a＞0时，直线y＝ax＋2与函数y＝f(x)的图象有三个交点． 8．已知函数f(x)＝则关于x的方程f(x)－k＝0，则下列判断正确的是(　ACD　) A．k＝1时方程f(x)－k＝0有3个不同的实数根 B．方程f(x)－k＝0至少有2个不同的实数根 C．若方程f(x)－k＝0有3个不同的实数根，则k的取值范围为(0，1] D．若方程f(x)－k＝0有3个不同的实数根x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3的取值范围为[－1，＋∞) 【解析】 作出f(x)的图象如图所示，方程f(x)－k＝0根的问题可以转换成y＝k和y＝f(x)图象的交点问题．对于A，由图象可知，当k＝1时，方程f(x)－k＝0有3个不同的实数根，故A正确；对于B，当k＜0时，结合图象可知，方程无解，故B错误；对于C，由图象可知y＝k和y＝f(x)的图象有3个交点时，k的取值范围为(0，1]，故C正确；对于D，设x1＜x2＜x3，结合图象可知x1＋x2＝－2，x3≥1，所以x1＋x2＋x3≥－1，故D正确． 三、填空题 9．函数f(x)＝sin x－log2x的零点个数为__1__． 【解析】 注意到log22＝1，在同一平面直角坐标系中作出y＝sin x与y＝log2x的图象如图所示，易知零点个数为1． 10．设函数f(x)＝若f(x)恰有3个零点，则实数m的取值范围为__(－1，2]__． 【解析】 由题意，设函数g(x)＝问题转化为y＝g(x)的图象与y＝m有3个交点．在平面直角坐标系内，作出函数g(x)的图象如图所示，结合图象可知，－1＜m≤2，故实数m的取值范围为(－1，2]． 四、解答题 11．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－4x＋1． (1) 求函数f(x)的解析式； 【解答】 当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)2＋4x＋1＝x2＋4x＋1．由f(x)为奇函数，可得f(－x)＝－f(x)，所以当x＜0时，f(x)＝－f(－x)＝－x2－4x－1．当x＝0时，f(0)＝0，则f(x)＝ (2) 讨论函数g(x)＝f(x)－mx零点的个数． 【解答】 由g(x)＝f(x)－mx，且f(x)为奇函数，y＝－mx也为奇函数，可得g(x)为奇函数．可令g(x)＝0，即f(x)＝mx．当x＝0时，显然g(x)＝0，无论m取何值，x＝0均为g(x)的零点．当x＞0时，由f(x)＝mx，即x2－4x＋1＝mx，可得m＝x＋－4，作出y＝x＋－4的图象，如图所示．当m＝－2时，函数g(x)在(0，＋∞)上有1个零点；当m＞－2时，函数g(x)在(0，＋∞)上有2个零点；当m＜－2时，函数g(x)在(0，＋∞)上无零点．根据奇函数的对称性可得，当m＝－2时，函数g(x)在(－∞，＋∞)上有3个零点；当m＞－2时，函数g(x)在(－∞，＋∞)上有5个零点；当m＜－2时，函数g(x)在(－∞，＋∞)上有1个零点． 12．已知函数f(x)为二次函数，f(x)的图象过点(0，2)，对称轴为直线x＝－，函数f(x)在R上的最小值为． (1) 求f(x)的解析式； 【解答】 由f(x)图象的对称轴为x＝－，函数f(x)在R上的最小值为，可设f(x)＝a＋，将点(0，2)代入f(x)得a＝1，故f(x)＝＋． (2) 当x∈[m－2，m]，m∈R时，求函数f(x)的最小值(用m表示)； 【解答】 f(x)图象的对称轴为x＝－，当m≤－时，f(x)在[m－2，m]上单调递减，所以f(x)min＝f(m)＝＋；当－＜m＜时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)min＝f＝；当m≥时，f(x)在[m－2，m]上单调递增，所以f(x)min＝f(m－2)＝＋．综上，f(x)min＝ (3) 若函数F(x)＝f(x)－ax在(0，3)上只有一个零点，求实数a的取值范围． 【解答】 函数F(x)＝f(x)－ax在(0，3)上只有一个零点，即方程x2＋x＋2＝ax在(0，3)上只有一解，亦即函数y＝x＋＋1在(0，3)上的图象与直线y＝a只有一个交点．作出函数y＝x＋＋1在(0，3)上的图象，由图可知，a＝2＋1或a≥，即实数a的取值范围为{2＋1}∪． B组　能力提升练 13．已知函数f(x)＝|x2－5x＋4|－kx有三个零点x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝(　B　) A．7　 B．8 C．15　 D．16 【解析】 由f(x)＝|x2－5x＋4|－kx有三个零点，即方程|x2－5x＋4|＝kx有三个不同的解．作出y＝|x2－5x＋4|和y＝kx的图象如图所示，可知两个函数图象有三个交点，且三个交点均大于0，且y＝kx的图象与y＝－x2＋5x－4(1≤x≤4)的图象相切，则－x2＋5x－4＝kx，即x2－(5－k)x＋4＝0，Δ＝(5－k)2－4×4＝0，得k＝1或k＝9．当k＝9时，y＝9x与y＝－x2＋5x－4的切点横坐标不在1≤x≤4范围内，故舍去．所以k＝1，所以x2－4x＋4＝0，解得x2＝2．令x2－5x＋4＝x，即x2－6x＋4＝0，可得x1＋x3＝6，所以x1＋x2＋x3＝8． 14．(2025·漯河期末)已知函数f(x)＝2－ln |x－2|，则此函数的所有零点的和为__12__． 【解析】 由题意f(x)的零点个数，即为函数y＝2与y＝ln 的图象的交点个数，函数y＝ln 的图象关于直线x＝2对称，函数y＝2是周期为4的周期函数，且图象也关于直线x＝2对称，作出它们的图象如图所示．函数y＝2的最大值是2，ln ＝ln 8＞2，因此由图象可得它们在直线x＝2右侧有三个交点，则总共有6个交点，所以f(x)的所有零点的和为4×3＝12． 15．(2025·淄博期末)已知函数f(x)＝若存在实数x1，x2，x3且x1＜x2＜x3，使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，则x1f(x1)＋x2f(x2)＋x3f(x3)的取值范围为____． 【解析】 作出f(x)的图象如图所示，令x＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝2k＋1(k∈Z)，故当x∈[0，2]时，对称轴为直线x＝1，则x2＋x3＝2．因为f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，所以x1f(x1)＋x2f(x2)＋x3f(x3)＝f(x1)(x1＋2)．因为f(x1)＝－x1＋1，所以x1f(x1)＋x2f(x2)＋x3f(x3)＝f(x1)(x1＋2)＝(－x1＋1)(x1＋2)＝－x－x1＋2＝－2＋．由f(x1)＝－x1＋1∈(1，2]可得x1∈[－1，0)，则－≤x1＋＜，则0≤2≤，所以x1f(x1)＋x2f(x2)＋x3f(x3)＝－2＋∈． 学科网（北京）股份有限公司 $