第2章 第12讲 函数的图象 （word教参）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（提升版）

该高中数学高考复习讲义聚焦函数图象核心考点，涵盖图象变换（平移、对称、伸缩、翻折）、识别及应用（性质研究、方程不等式求解、参数范围），按“知识整合-方法梳理-题型突破-分层练习”逻辑架构，通过激活思维题巩固基础，聚焦知识模块提炼变换规律，题型突破结合真题讲解方法，助力学生系统构建知识网络。 讲义突出数学思维与直观想象，如例2通过定义域、单调性、奇偶性多维度识别图象，培养学生用数学眼光分析问题，例3利用min函数研究性质强化数学语言表达能力。设置夯基与提升分层练习，配合即时反馈，确保高效突破难点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第12讲　函数的图象 知识整合　体系重构 激活思维 1．将函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与函数y＝ex的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝ex+1　 B．f(x)＝ex－1 C．f(x)＝e－x+1　 D．f(x)＝e－x－1 2．(教材经典题)如图，①②③④中不属于函数y＝logx，y＝logx，y＝log2x的一个是(　　) A．①　 B．② C．③　 D．④ 3．(教材经典题改编)已知指数函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx图象顶点的横坐标的取值范围是_______． 4．已知图(1)中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图(2)中的图象对应的函数在下列给出的四式中只可能是(　　) 图(1)　　　　图(2) A．y＝f(|x|)　 B．y＝|f(x)| C．y＝f(－|x|)　 D．y＝－f(|x|) 聚焦知识 利用图象变换法作函数的图象 (1) 平移变换 (2) 对称变换 y＝f(x)的图象y＝__________的图象； y＝f(x)的图象y＝_________的图象； y＝f(x)的图象y＝_________的图象； y＝ax(a＞0且a≠1)的图象y＝_________(a＞0且a≠1)的图象． (3) 伸缩变换 y＝f(x)的图象y＝f(ax)的图象； y＝f(x)的图象y＝Af(x)的图象． (4) 翻折变换 y＝f(x)的图象y＝________的图象； y＝f(x)的图象y＝_________的图象． 题型突破　思维拓展 举题说法 作函数的图象 例1　分别作出下列函数的图象： (1) y＝|lg(x－1)|； (2) y＝2x+1－1； (3) y＝x2－|x|－2； (4) y＝． 作函数图象的一般方法：(1) 直接法．(2) 图象变换法：若所求函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，则可利用基本初等函数的图象变换作出所求函数图象，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响． 变式1　作出下列函数的图象： (1) y＝2－； (2) y＝－1； 函数图象的识别 例2　(1) 函数f(x)＝的部分图象大致为( 　) 　　　 A　　　　　　　B　　　　　　　　C　　　　　　　D (2) 如图(1)是某地风景优美的公园地图，其形状如一颗爱心．图(2)是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为(　　) 　 A．y＝ B．y＝x C．y＝ D．y＝ 函数图象的识别可从以下方面入手： (1) 从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2) 从函数的单调性，判断图象的变化趋势． (3) 从函数的奇偶性，判断图象的对称性． (4) 从函数的周期性，判断图象的循环往复． (5) 从函数的特征点，排除不合要求的图象． 函数图象的应用 视角1　利用图象研究函数性质 例 3－1　(2025·威海质检)(多选)对任意两个实数a，b，定义min{a，b}＝若f(x)＝2－x2，g(x)＝x2，则下列关于函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}的说法中正确的有(　　) A．函数F(x)是偶函数 B．方程F(x)＝0有3个解 C．函数F(x)在区间[－1，1]上单调递增 D．函数F(x)有4个单调区间 视角2　解方程(或不等式) 例 3－2　(1) 已知函数f(x)＝若f(a－3)＝f(a＋2)，则f(a)＝(　　) A．2　 B． C．1　 D．0 (2)(2025·厦门质检)已知函数f(x)＝则f(x)≤x的解集为(　　) A．(－∞，0] B．(－1，0] C．(－1，0]∪[1，＋∞) D．[1，＋∞) 视角3　求参数的范围 例 3－3　已知函数f(x)＝若对任意的x∈R，f(x)≥a(x＋2)恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A．　 B．[0，1] C．　 D．[1，e] 　类周期函数 例4　(2019·全国卷)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x－2)＝2f(x)，且当x∈(0，2]时，f(x)＝x(2－x)．若对任意的x∈[a，＋∞)，都有f(x)≤成立，则a的取值范围是(　　) A．　 B． C．　 D． 变式4　已知定义在R上的函数y＝f(x)满足f(x)＝2f(x＋2)，当x∈(0，2]时，f(x)＝4x(2－x)．若方程f(x)＝a在区间内有实数解，则实数a的取值范围为___________． 随堂内化 1．函数y＝1－的图象是(　　) 　　　 A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D 2．(2025·珠海期初考)已知函数f(x)＝(a∈R)在R上没有零点，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－1)∪{0}　 B．(－∞，－1) C．(－1，＋∞)　 D．(0，＋∞) 3．(2026·太原期初)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(4－x)，若函数y＝与y＝f(x)的图象有6个交点，交点横坐标为xi(i＝1，2，3，4，5，6)，则i＝(　　) A．4　 B．6 C．8　 D．12 配套精练 A组　夯基精练 一、单项选择题 1．将函数f(x)＝ln(1－x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后的大致图象为(　　) 　　　　　　　　　 A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D 2．(2025·宿迁期中)函数y＝sin 2x·ln 的图象大致是(　　) 　　　　　　 A　　　　　　　B　　　　　　　C　　　　　　　D 3．(2025·安庆调研)如图所示为函数f(x)的图象，则f(x)的解析式可能是(　　) A．f(x)＝　 B．f(x)＝x(2x＋2－x) C．f(x)＝x(2x－2－x)　 D．f(x)＝ 4．(2025·晋城一模)已知f(x)为定义在R上的奇函数，f(1)＝f(4)＝0，当0＜x＜2时，f(x)单调递减，当x＞2时，f(x)单调递增，则不等式≤0的解集为(　　) A．(－∞，－1]∪[0，3]∪[4，＋∞) B．[－4，－1]∪(0，1]∪(3，4] C．(－∞，－4]∪[－1，1]∪(3，＋∞) D．[－4，－1]∪[0，1]∪(3，4] 5．已知函数f(x)＝那么不等式f(x)≥的解集为(　　) A．(0，1]　 B．(0，2] C．[0，4]　 D．[1，6] 6．若ex1·x3＝ln x2·x3＝1，则下列不等关系一定不成立的是(　　) A．x3＞x2＞x1　 B．x3＞x1＞x2 C．x2＞x1＝x3　 D．x2＞x1＞x3 7．(2025·漯河调研)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝1－．若对任意x∈(－∞，t]，都有f(x)≤2，则t的最大值为(　　) A．2　 B．3 C．　 D． 二、多项选择题 8．对于函数f(x)＝(x∈R)时，下列结论中正确的有(　　) A．f(x)的图象关于点(－1，1)对称 B．f(x)是单调函数 C．f(x)的值域为(－1，1) D．函数g(x)＝f(x)－x有且只有一个零点 9．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有三个零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则下列结论中正确的有(　　) A．m的取值范围为(0，1) B．x3的取值范围为[2，＋∞) C．2x1＋2x2＝2 D．2x1＋x2的最大值为1 三、填空题 10．将函数f(x)＝ln |x－a|的图象向左平移2个单位长度，所得函数在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的最大值为____． 11．已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)＞0的解集是________ 12．设不等式F(x)＜0的解集为M，若M中只有唯一整数，则称M是最优解．若关于x的不等式－mx＋2＜0有最优解，则实数m的取值范围是__________． 13．设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0，1]时，f(x)＝x(x－1)．若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，则m的取值范围是___________． B组　能力提升练 14．已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－a|，g(x)＝－x2＋2ax＋4a，其中a≥1． (1) 当a＝1，x∈[－2，2]时，请在指定直角坐标系中，画出函数f(x)的图象； (2) 用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记为M(x)＝max{f(x)，g(x)}，则当x＞0时，求函数M(x)的解析式； (3) 用m(x)表示f(x)，g(x)中的较小者，记为m(x)＝min{f(x)，g(x)}，若min{f(x)，g(x)}≤8恒成立，求a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲　函数的图象 知识整合　体系重构 激活思维 1．将函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与函数y＝ex的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式为(　D　) A．f(x)＝ex+1　 B．f(x)＝ex－1 C．f(x)＝e－x+1　 D．f(x)＝e－x－1 【解析】 与y＝ex的图象关于y轴对称的图象对应的函数为y＝e－x．由题意知f(x)的图象向右平移1个单位长度，得到y＝e－x的图象，所以f(x)的图象是由y＝e－x的图象向左平移1个单位长度得到的，所以f(x)＝e－x－1． 2．(教材经典题)如图，①②③④中不属于函数y＝logx，y＝logx，y＝log2x的一个是(　C　) A．①　 B．② C．③　 D．④ 【解析】 ①②③④分别对应函数y＝logx，y＝logx，y＝log3x，y＝log2x． 3．(教材经典题改编)已知指数函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx图象顶点的横坐标的取值范围是____． 【解析】 由指数函数y＝的图象可知，0＜＜1，所以－＜－＜0，所以二次函数y＝ax2＋bx图象顶点的横坐标的取值范围是． 4．已知图(1)中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图(2)中的图象对应的函数在下列给出的四式中只可能是(　C　) 图(1)　　　　图(2) A．y＝f(|x|)　 B．y＝|f(x)| C．y＝f(－|x|)　 D．y＝－f(|x|) 聚焦知识 利用图象变换法作函数的图象 (1) 平移变换 (2) 对称变换 y＝f(x)的图象y＝__－f(x)__的图象； y＝f(x)的图象y＝__f(－x)__的图象； y＝f(x)的图象y＝__－f(－x)__的图象； y＝ax(a＞0且a≠1)的图象y＝__logax__(a＞0且a≠1)的图象． (3) 伸缩变换 y＝f(x)的图象y＝f(ax)的图象； y＝f(x)的图象y＝Af(x)的图象． (4) 翻折变换 y＝f(x)的图象y＝__|f(x)|__的图象； y＝f(x)的图象y＝__f(|x|)__的图象． 题型突破　思维拓展 举题说法 作函数的图象 例1　分别作出下列函数的图象： (1) y＝|lg(x－1)|； 【解答】　首先作出y＝lg x的图象，然后将其向右平移1个单位长度，得到y＝lg(x－1)的图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得所求函数y＝|lg(x－1)|的图象，如图所示(实线部分)． (2) y＝2x+1－1； 【解答】　将y＝2x的图象向左平移1个单位长度，得到y＝2x+1的图象，再将所得图象向下平移1个单位长度，得到y＝2x+1－1的图象，如图所示． (3) y＝x2－|x|－2； 【解答】　y＝x2－|x|－2＝其图象如图所示． (4) y＝． 【解答】　因为y＝＝2＋，所以该函数的图象可由y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图所示． 作函数图象的一般方法：(1) 直接法．(2) 图象变换法：若所求函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，则可利用基本初等函数的图象变换作出所求函数图象，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响． 变式1　作出下列函数的图象： (1) y＝2－； 【解答】　设g(x)＝y＝2－＝作出其图象如图所示． (2) y＝－1； 【解答】　设h(x)＝y＝|x－1|－1，其图象可看作由函数y＝的图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，又y＝＝所以可作出y＝－1的图象如图所示． 函数图象的识别 例2　(1) 函数f(x)＝的部分图象大致为(　C　) 　　　 A　　　　　　　B　　　　　　　　C　　　　　　　D 【解析】 因为f(x)＝，所以f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且关于原点对称．又f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，排除A，D．当0＜x＜1时，f(x)＜0，当x＞1时，f(x)＞0，排除B，故选C． (2) 如图(1)是某地风景优美的公园地图，其形状如一颗爱心．图(2)是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为(　C　) 　 A．y＝ B．y＝x C．y＝ D．y＝ 【解析】 对于A，因为y＝＝≤＝2(当且仅当x2＝4－x2，即x＝±时取等号)，所以y＝在(－2，2)上的最大值为2，与图象不符，A错误．对于B，当x∈(－2，0)时，y＝x＜0，与图象不符，B错误．对于C，因为y＝＝，所以当x＝±1时，ymax＝1．又y＝过点(－2，0)，(2，0)，(0，0)，由－x2＋2≥0得(－2)≤0，解得－2≤x≤2，即函数定义域为[－2，2]．又＝，所以y＝是定义在[－2，2]上的偶函数，图象关于y轴对称．当x∈[0，2]时，y＝＝，则函数在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减．综上所述，y＝与图象相符，C正确．对于D，由－x2＋2x≥0得0≤x≤2，所以y＝不存在x∈[－2，0)部分的图象，D错误． 函数图象的识别可从以下方面入手： (1) 从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2) 从函数的单调性，判断图象的变化趋势． (3) 从函数的奇偶性，判断图象的对称性． (4) 从函数的周期性，判断图象的循环往复． (5) 从函数的特征点，排除不合要求的图象． 函数图象的应用 视角1　利用图象研究函数性质 例 3－1　(2025·威海质检)(多选)对任意两个实数a，b，定义min{a，b}＝若f(x)＝2－x2，g(x)＝x2，则下列关于函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}的说法中正确的有(　ABD　) A．函数F(x)是偶函数 B．方程F(x)＝0有3个解 C．函数F(x)在区间[－1，1]上单调递增 D．函数F(x)有4个单调区间 【解析】 根据函数f(x)＝2－x2与g(x)＝x2，画出函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}的图象如图中实线部分所示．由图象可知，函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}的图象关于y轴对称，故A正确；函数F(x)的图象与x轴有3个交点，所以方程F(x)＝0有3个解，故B正确；函数F(x)在(－∞，－1]上单调递增，在[－1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，故C错误，D正确． 视角2　解方程(或不等式) 例 3－2　(1) 已知函数f(x)＝若f(a－3)＝f(a＋2)，则f(a)＝(　B　) A．2　 B． C．1　 D．0 【解析】 作出函数f(x)的图象如图所示，因为f(a－3)＝f(a＋2)，且a－3＜a＋2，所以即－2＜a≤3，此时f(a－3)＝a－3＋3＝a，f(a＋2)＝，所以a＝，即a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1(不满足a＝，舍去)，则f(a)＝． (2)(2025·厦门质检)已知函数f(x)＝则f(x)≤x的解集为(　C　) A．(－∞，0] B．(－1，0] C．(－1，0]∪[1，＋∞) D．[1，＋∞) 【解析】 作出函数y＝f(x)与y＝x的图象如图所示，结合图象知不等式f(x)≤x的解集为(－1，0]∪[1，＋∞)． 视角3　求参数的范围 例 3－3　已知函数f(x)＝若对任意的x∈R，f(x)≥a(x＋2)恒成立，则实数a的取值范围为(　A　) A．　 B．[0，1] C．　 D．[1，e] 【解析】 画出函数f(x)＝的图象如图所示，因为对任意的x∈R，f(x)≥a(x＋2)恒成立，即y＝f(x)的图象恒在y＝a(x＋2)的上方(或重合)．又y＝a(x＋2)表示过定点(－2，0)的直线，设函数y＝ex(x≤1)在(x0，ex0)(x0≤1)处的切线恰好过点(－2，0)，由y′＝ex，则y′|x＝x0＝ex0，所以切线方程为y－ex0＝ex0 (x－x0)，则0－ex0＝ex0 (－2－x0)，解得x0＝－1，此时切线方程为y＝e－1x＋2e－1，切线的斜率为e－1．所以当x≤1时，f(x)≥e－1(x＋2)．当x＞1时，2x－e－1(x＋2)＝(2－e－1)x－2e－1＞2－3e－1＞0，由图可知0≤a≤e－1，即实数a的取值范围为． 　类周期函数 例4　(2019·全国卷)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x－2)＝2f(x)，且当x∈(0，2]时，f(x)＝x(2－x)．若对任意的x∈[a，＋∞)，都有f(x)≤成立，则a的取值范围是(　A　) A．　 B． C．　 D． 【解析】 因为当x∈(0，2]时，f(x)＝x(2－x)；f(x－2)＝2f(x), 所以f(x)＝f(x－2)．即若f(x)在(0，2]上的点的横坐标增加2，则对应y值变为原来的；若减少2，则对应y值变为原来的2倍．当x∈(0，2]时，f(x)＝x(2－x)＝－(x－1)2＋1，f(x)max＝f(1)＝1，而f(0)＝2f(2)＝0，故当a＜0时，对任意的x∈[a，＋∞)，f(x)≤不成立．当x∈(2，4]时，f(x)＝f(x－2)＝－(x－3)2＋∈，同理当x∈(4，6]时，f(x)＝－(x－5)2＋∈，以此类推，当x＞4时，必有f(x)≤．作出函数f(x)的部分图象和直线y＝如图所示．因为当x∈(2，4]时，f(x)＝－(x－3)2＋∈，令－(x－3)2＋＝，解得x1＝，x2＝．因为当x∈[a，＋∞)时，f(x)≤恒成立，所以a≥． 变式4　已知定义在R上的函数y＝f(x)满足f(x)＝2f(x＋2)，当x∈(0，2]时，f(x)＝4x(2－x)．若方程f(x)＝a在区间内有实数解，则实数a的取值范围为____． 【解析】 当x∈(2，4]时，x－2∈(0，2]，所以f(x－2)＝4(x－2)(4－x)＝2f(x)，即f(x)＝2(x－2)(4－x)．当x∈(4，6]时，x－2∈(2，4]，所以f(x－2)＝2(x－4)(6－x)＝2f(x)，即f(x)＝(x－4)(6－x)，则f＝×＝．当x∈(6，8]时，x－2∈(4，6]，所以f(x－2)＝(x－6)(8－x)＝2f(x)，即f(x)＝(x－6)(8－x)．画出f(x)的部分图象如图所示，由图象可知，当a∈时，方程f(x)＝a在区间内有实数解，所以实数a的取值范围为． 随堂内化 1．函数y＝1－的图象是(　B　) 　　　 A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D 2．(2025·珠海期初考)已知函数f(x)＝(a∈R)在R上没有零点，则实数a的取值范围是(　A　) A．(－∞，－1)∪{0}　 B．(－∞，－1) C．(－1，＋∞)　 D．(0，＋∞) 【解析】 设g(x)＝作出g(x)的图象如图所示，问题转化为g(x)的图象与直线y＝－a没有交点，所以－a＝0或－a＞1，解得a＝0或a＜－1． 3．(2026·太原期初)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(4－x)，若函数y＝与y＝f(x)的图象有6个交点，交点横坐标为xi(i＝1，2，3，4，5，6)，则i＝(　D　) A．4　 B．6 C．8　 D．12 【解析】 由f(x)＝f(4－x)知f(x)的图象关于直线x＝2对称，又y＝的图象也关于直线x＝2对称，所以函数y＝与y＝f(x)的图象有6个交点，分3对分别关于直线x＝2对称，每对交点的横坐标之和为4，所以i＝12． 配套精练 A组　夯基精练 一、单项选择题 1．将函数f(x)＝ln(1－x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后的大致图象为(　C　) 　　　　　　　　　 A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D 【解析】 将函数f(x)＝ln(1－x)的图象向右平移1个单位长度，得到函数y＝ln [1－(x－1)]＝ln(2－x)的图象，再向上平移2个单位长度，所得图象对应的函数为y＝ln(2－x)＋2．根据复合函数的单调性可知y＝ln(2－x)＋2在(－∞，2)上为减函数，且y＝ln(2－x)＋2的图象过点(1，2)，故C正确． 2．(2025·宿迁期中)函数y＝sin 2x·ln 的图象大致是(　D　) 　　　　　　 A　　　　　　　B　　　　　　　C　　　　　　　D 【解析】 y＝sin 2x·ln 的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，令f(x)＝sin 2x·ln ，则f(－x)＝sin(－2x)·ln ＝－sin 2x·ln ＝－f(x)，因此y＝sin 2x·ln 为奇函数，其图象关于原点对称，排除A，B；当x∈时，2x∈(0，π)，则sin 2x＞0，1＋＞1，则ln ＞0，于是y＝sin 2x·ln ＞0，排除C，故选D． 3．(2025·安庆调研)如图所示为函数f(x)的图象，则f(x)的解析式可能是(　D　) A．f(x)＝　 B．f(x)＝x(2x＋2－x) C．f(x)＝x(2x－2－x)　 D．f(x)＝ 【解析】 由图知f(x)在x＝0处有定义，排除A；对于C，由图象知f(x)为奇函数，而f(x)＝x(2x－2－x)＝f(－x)＝－x(2－x－2x)，排除C；对于B，当x趋近于正无穷时，f(x)趋近于正无穷，与图象所体现的几何直观不符，排除B；对于D，易知f(x)为奇函数，且当x趋近于正无穷时，f(x)趋近于0，符合图象所体现的几何直观． 4．(2025·晋城一模)已知f(x)为定义在R上的奇函数，f(1)＝f(4)＝0，当0＜x＜2时，f(x)单调递减，当x＞2时，f(x)单调递增，则不等式≤0的解集为(　D　) A．(－∞，－1]∪[0，3]∪[4，＋∞) B．[－4，－1]∪(0，1]∪(3，4] C．(－∞，－4]∪[－1，1]∪(3，＋∞) D．[－4，－1]∪[0，1]∪(3，4] 【解析】 因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，又f(1)＝f(4)＝0，所以f(－1)＝f(－4)＝0，根据题意作出f(x)的大致图象如图所示．≤0等价于或由图可得x∈[－4，－1]∪[0，1]∪(3，4]． 5．已知函数f(x)＝那么不等式f(x)≥的解集为(　C　) A．(0，1]　 B．(0，2] C．[0，4]　 D．[1，6] 【解析】 若f(x)≥，当0≤x≤1时，2x≥1≥；当1＜x＜2时，2x＞2＞；当x≥2时，令6－x≥，整理可得(－2)(＋3)≤0，且＋3＞0，可得≤2，即2≤x≤4．分别作出y＝f(x)和y＝的图象如图所示，结合图象可知不等式f(x)≥的解集为[0，4]． 6．若ex1·x3＝ln x2·x3＝1，则下列不等关系一定不成立的是(　B　) A．x3＞x2＞x1　 B．x3＞x1＞x2 C．x2＞x1＝x3　 D．x2＞x1＞x3 【解析】 因为ex1·x3＝ln x2·x3＝1，则ex1＝ln x2＝，由ex1＞0，得x2＞1，x3＞0．作函数y＝ex，y＝ln x，y＝(x＞0)的图象和直线y＝m如图所示，变换m的值可以发现x3＞x2＞x1，x2＞x1＝x3，x2＞x1＞x3均能够成立，x3＞x1＞x2不可能成立． 7．(2025·漯河调研)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝1－．若对任意x∈(－∞，t]，都有f(x)≤2，则t的最大值为(　C　) A．2　 B．3 C．　 D． 【解析】 因为当x∈[0，1]时，f(x)＝1－，所以f(x)＝当x∈[1，2]时，x－1∈[0，1]，由f(x)＝2f(x－1)，所以f(x)＝同理可得f(x)＝依此类推，可作出函数f(x)的部分图象如图所示．当2≤x≤时，令f(x)＝2，则8x－16＝2，得x＝．若对任意x∈(－∞，t]，都有f(x)≤2，则t≤，故实数t的最大值为． 二、多项选择题 8．对于函数f(x)＝(x∈R)时，下列结论中正确的有(　BCD　) A．f(x)的图象关于点(－1，1)对称 B．f(x)是单调函数 C．f(x)的值域为(－1，1) D．函数g(x)＝f(x)－x有且只有一个零点 9．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有三个零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则下列结论中正确的有(　AC　) A．m的取值范围为(0，1) B．x3的取值范围为[2，＋∞) C．2x1＋2x2＝2 D．2x1＋x2的最大值为1 【解析】 作出f(x)＝的图象如图所示，由图可得0＜m＜1，A正确；当＝1时，x＝2，故x3＞2，B错误；又＝，且x1＜0＜x2＜1，故－(2x1－1)＝2x2－1, 可得2x1＋2x2＝2，C正确；又2＝2x1＋2x2≥2，可得2x1＋x2≤1, 又x1≠x2，故等号不成立，即2x1＋x2＜1，D错误． 三、填空题 10．将函数f(x)＝ln |x－a|的图象向左平移2个单位长度，所得函数在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的最大值为__2__． 【解析】 把函数f(x)＝ln |x－a|的图象向左平移2个单位长度，得到函数g(x)＝ln |x＋2－a|的图象，则函数g(x)在(a－2，＋∞)上单调递增，又因为所得函数在(0，＋∞)上单调递增，所以a－2≤0，即a≤2，所以实数a的最大值为2． 11．已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)＞0的解集是__(－∞，0)∪(1，＋∞)__． 【解析】 因为f(x)＝2x－x－1，所以f(x)＞0等价于2x＞x＋1．在同一平面直角坐标系中作出y＝2x和y＝x＋1的图象如图所示，两函数图象的交点坐标为(0，1)，(1，2)．由图可知，当x＜0或x＞1时，2x＞x＋1成立，所以不等式f(x)＞0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)． 12．设不等式F(x)＜0的解集为M，若M中只有唯一整数，则称M是最优解．若关于x的不等式－mx＋2＜0有最优解，则实数m的取值范围是__∪__． 【解析】 由题意，－mx＋2＜0可转化为＜mx－2，在同一平面直角坐标系中分别作出函数f(x)＝|x2－2x－3|，g(x)＝mx－2的图象如图所示，易知当m＝0时不满足题意．当m＞0时，要存在唯一的整数x0，满足f(x0)＜g(x0)，则即解得＜m≤．当m＜0时，要存在唯一的整数x0，满足f(x0)＜g(x0)，则即解得－≤m＜－2．综上，实数m的取值范围是∪． 13．设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0，1]时，f(x)＝x(x－1)．若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，则m的取值范围是____． 【解析】 当x∈(0，1]时，f(x)＝x(x－1)，f(x＋1)＝2f(x)，所以f(x)＝2f(x－1)，即f(x)的图象向右平移1个单位长度，图象上的点的纵坐标变为原来的2倍．如图所示，当2＜x≤3时，f(x)＝4f(x－2)＝4(x－2)(x－3)，令4(x－2)(x－3)＝－，解得x1＝，x2＝，所以要使对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，则m≤，即m∈． B组　能力提升练 14．已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－a|，g(x)＝－x2＋2ax＋4a，其中a≥1． (1) 当a＝1，x∈[－2，2]时，请在指定直角坐标系中，画出函数f(x)的图象； 【解答】 当a＝1时，f(x)＝|x＋1|＋|x－1|，x∈[－2，2]．当－2≤x≤－1时，f(x)＝－(x＋1)－(x－1)＝－2x；当1≤x≤2时，f(x)＝(x＋1)＋(x－1)＝2x；当－1＜x＜1时，f(x)＝(x＋1)－(x－1)＝2．综上，f(x)＝画出f(x)的图象如图(1)所示． 图(1) 图(2) 图(3) (2) 用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记为M(x)＝max{f(x)，g(x)}，则当x＞0时，求函数M(x)的解析式； 【解答】 因为a≥1，所以当x≤－a时，f(x)＝－(x＋a)－(x－a)＝－2x；当x≥a时，f(x)＝(x＋a)＋(x－a)＝2x；当－a＜x＜a时，f(x)＝(x＋a)－(x－a)＝2a，所以f(x)＝所以当x＞0时，f(x)＝g(x)＝－x2＋2ax＋4a，图象开口向下，对称轴为x＝a，所以g(x)max＝g(a)＝－a2＋2a2＋4a＝a2＋4a．又g(0)＝4a＞2a，所以0＜x＜a时，M(x)＝g(x)．当x≥a时，令g(x)≥f(x)，即－x2＋2ax＋4a≥2x，即x2＋(2－2a)x－4a≤0，即(x＋2)(x－2a)≤0，解得a≤x≤2a；令g(x)＜f(x)，即－x2＋2ax＋4a＜2x，解得x＞2a．综上，M(x)＝ (3) 用m(x)表示f(x)，g(x)中的较小者，记为m(x)＝min{f(x)，g(x)}，若min{f(x)，g(x)}≤8恒成立，求a的取值范围． 【解答】 由(2)知f(x)＝当x＝－a时，f(－a)＝2a，g(－a)＝－(－a)2＋2a(－a)＋4a＝－3a2＋4a．令h(a)＝2a－(－3a2＋4a)＝3a2－2a，a≥1，h(a)图象开口向上，对称轴为a＝，所以h(a)在[1，＋∞)上单调递增，h(a)min＝h(1)＝3－2＞0．设g(x)在y轴左侧与线段AB交于点C，在y轴右侧与射线y＝2x交于点D，画出f(x)，g(x)在同一直角坐标系中的图象如图(2)所示．记点C的横坐标为xC，由(2)知点D的横坐标为2a，所以m(x)的图象如图(3)所示．由图(3)可知，当x＝2a时，m(x)max＝4a，所以4a≤8，解得a≤2．又a≥1，所以1≤a≤2，即a的取值范围为[1，2]． 学科网（北京）股份有限公司 $