第2章 第11讲 第2课时 对数函数的图象与性质（word教参）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（提升版）

该高中数学高考复习讲义聚焦对数函数的图象与性质核心考点，涵盖定义域、值域、单调性等知识，按知识整合、激活思维、聚焦知识、题型突破的逻辑架构，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建知识体系，突破应用难点。 讲义突出题型分层与素养导向，如通过函数图象识别培养数学眼光，比较大小问题训练数学思维，设置A组夯基、B组提升练习。典例精讲结合即时变式，助力学生高效掌握解题方法，为教师精准把控复习节奏提供有力支持。

第2课时　对数函数的图象与性质 知识整合　体系重构 激活思维 1．(教材经典题)若函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(x)可能是(　　) A．y＝1－x－1, x∈(0，＋∞) B．y＝－，x∈(0，＋∞) C．y＝ln x D．y＝x－1，x∈(0，＋∞) 2．(教材经典题改编)函数y＝的定义域是(　　) A．(0，1)　 B． C．　 D．∪(1，＋∞) 3．(教材经典题改编)若loga＜1，则实数a的取值范围是(　　) A．(0，1)　 B． C．　 D．∪(1，＋∞) 4．(教材经典题改编)已知a＝log0.26，b＝log0.36，c＝log0.46，则(　　) A．a＜b＜c　 B．c＜b＜a C．c＜a＜b　 D．b＜c＜a 5．若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则实数a的取值范围为(　　) A．[1，2)　 B．[1，2] C．[1，＋∞)　 D．[2，＋∞) 聚焦知识 1．对数函数的图象及其性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域：_______，值域：_______ ①图象过定点_______； ②函数y＝logax与y＝logx(a＞0且a≠1)的图象关于________对称； ③在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐______ 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 在(0，＋∞)上是____ 在(0，＋∞)上是____ 2．反函数 指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 题型突破　思维拓展 举题说法 对数函数图象的应用 例1　(1)(多选)下列函数的图象过定点(1，2)的有(　　) A．y＝loga(3x－2)＋2　 B．y＝log2x＋1 C．y＝ax＋1　 D．y＝4x－2 (2) 已知a＞0，且a≠1，则函数y＝loga的图象一定经过(　　) A．一、二象限　 B．一、三象限 C．二、四象限　 D．三、四象限 (3)(2025·绍兴调研)(多选)已知函数f(x)＝若x1＜x2＜x3＜x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则下列结论中正确的有(　　) A．x1＋x2＝－1 B．x3x4＝1 C．0＜x1＋x2＋x3＋x4＜ D．0＜x1x2x3x4＜1 对数函数图象的识别及应用方法 (1) 在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． (2) 一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 变式1　(多选)已知函数f(x)＝若方程y＝f(x)－m有4个不同的零点x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则(　　) A．－3＜m＜1　 B．x1x2＝1 C．x3＋x4＝8　 D．的取值范围为(2，4－) 对数函数性质的应用 视角1　比较大小 例 2－1　分别比较下列各组数的大小： (1) log3.82.5，log2.82.9，log2.84.6； (2) 8－0.7，log70.8，log0.80.7； 变式 2－1　(2025·阳泉期末)已知定义域为R的函数f(x)为偶函数，且f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，则下列判断正确的是(　　) A．f＜f(log4)＜f(log45) B．f＜f(log45)＜f(log4) C．f(log4)＜f(log45)＜f D．f(log45)＜f(log4)＜f 视角2　解不等式 例 2－2　(1) 不等式log2x＜－x＋1的解集是_________． (2) 若函数f(x)＝loga(a＞0且a≠1)满足f(3)＝－1，则不等式f(x)＞1的解集为________． 变式 2－2　　已知f(x)＝|log3x|，若f(a)＞f(3)，则实数a的取值范围为_________． 视角3　求参数的范围 例 2－3　(1)(2025·驻马店期末)设函数f(x)＝log3(x2－ax＋3)在区间(0，1)上单调递减，则a的最大值为(　　) A．2　 B．3 C．4　 D．5 (2) 若函数f(x)＝loga(a＞0且a≠1)有最小值，则实数a的取值范围是_________． 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用． 变式 2－3　(2025·聊城期末)设a＞0，且a≠1，函数f(x)＝的值域为[2，＋∞)，则实数a的取值范围是________． 　反函数的应用 例3　(2025·郑州质检)若x1满足2x＝5－x，x2满足x＋log2x＝5，则x1＋x2＝(　　) A．2　 B．3 C．4　 D．5 互为反函数的常用结论 (1) 同底的指数函数、对数函数互为反函数． (2) 若f(x)与g(x)互为反函数，则f(x)的定义域、值域分别为g(x)的值域、定义域． 变式3　(2025·宿迁期中)已知x1 是方程x·3x＝2的根，x2 是方程x·log3x＝2的根，则x1x2的值为(　　) A．2　 B．3 C．6　 D．10 随堂内化 1．已知函数f(x)＝1＋loga(2x－3)(a＞0，a≠1)恒过定点(m，n)，则m＋n＝(　　) A．1　 B．2 C．3　 D．4 2．已知a＝log30.5，b＝log3π，c＝log43，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＜b＜c　 B．b＜a＜c C．a＜c＜b　 D．c＜a＜b 3．(2025·无锡期中)已知函数f(x)＝ln ＋，则下列函数是奇函数的是(　　) A．f(x＋1)＋1　 B．f(x－1)＋1 C．f(x－1)－1　 D．f(x＋1)－1 4．(多选)已知函数f(x)＝关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实数根，则实数a的取值可以是(　　) A．1　 B．2 C．3　 D．4 配套精练 A组　夯基精练 一、单项选择题 1．(2023·新高考Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则a＝(　　) A．－1　 B．0 C．　 D．1 2．(2025·太原一模)已知a＝，b＝log23，c＝log35，则下列结论正确的是(　　) A．a＞b＞c　 B．b＞a＞c C．b＞c＞a　 D．a＞c＞b 3．(2025·德州期中)已知关于x的函数y＝log(x2＋ax＋a－1)在[－3，－2]上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，4]　 B．(－∞，4) C．(－∞，3]　 D．(－∞，3) 4．(2025·常州期中)已知函数f(x)＝loga(2－ax)(a＞0且a≠1)，若∃x∈[1，2]，使得f(x)≥1成立，则实数a的取值范围是(　　) A．　 B．∪(1，2] C．(1，2]　 D． 二、多项选择题 5．已知函数f(x)＝lg(x2＋ax－a－1)，下述论述正确的是(　　) A．当a＝0时，f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．f(x)一定没有最小值 C．当a＝0时，f(x)的定义域为R D．若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是[－4，＋∞) 6．(2025·大同开学检测)已知函数f(x)＝|loga(x＋1)|(a＞0且a≠1)，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)的图象恒过某个定点 B．f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增 C．f(x)图象上存在两个不同的点关于y轴对称 D．若对任意x∈，f(x)＜1恒成立，则实数a的取值范围是∪(3，＋∞) 三、填空题 7．(2026·苏州期初)设函数f(x)＝ln |x＋1|－ln |x－1|，则f(x)是____函数(填“奇”或“偶”)；且在(－1，1)上单调递____，在(－∞，－1)上单调递____(填“增”或“减”)． 8．已知函数f(x)＝logax＋2(a＞0且a≠1)在[1，3]上的值域为[2，4]，则实数a＝________． 9．已知x1，x2分别是方程ex＋x－2＝0，ln x＋x－2＝0的根，则x1＋x2＝____． 四、解答题 10．已知函数f(x)＝log2(2x+1－4x＋1)． (1) 求不等式f(x)＞0的解集； (2) 若∀x∈(0，1)，f(x)＞x＋a恒成立，求实数a的取值范围． 11．已知函数f(x)＝log的图象关于原点对称，其中a为常数． (1) 求a的值； (2) 若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log(x－1)＜m恒成立，求实数m的取值范围； (3) 若关于x的方程f(x)＝log(x＋k)在[2，3]上有解，求实数k的取值范围． B组　能力提升练 12．(2025·湛江期末)已知f(x)＝log2x，且f(a)＋a＝0，bf(b)＝2b＋4，则f(a)＋f(b)＝____． 13．(2026·黄冈期初)已知函数f(x)＝log2(4x＋1)－mx(m∈R)是偶函数． (1) 求m的值； (2) 若g(x)＝4f(x)，a＞0，b∈R，不等式bg2(x)－ag(x)＋a＋b≥0对任意x∈[－1，1]恒成立，求的取值范围 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　对数函数的图象与性质 知识整合　体系重构 激活思维 1．(教材经典题)若函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(x)可能是(　C　) A．y＝1－x－1, x∈(0，＋∞) B．y＝－，x∈(0，＋∞) C．y＝ln x D．y＝x－1，x∈(0，＋∞) 【解析】 根据f(2)＜1，f(3)＞1，可知y＝ln x满足． 2．(教材经典题改编)函数y＝的定义域是(　B　) A．(0，1)　 B． C．　 D．∪(1，＋∞) 【解析】 由log0.5(4x－3)≥0，得0＜4x－3≤1，解得＜x≤1． 3．(教材经典题改编)若loga＜1，则实数a的取值范围是(　D　) A．(0，1)　 B． C．　 D．∪(1，＋∞) 【解析】 由题意得a＞0且a≠1，loga＜1，当0＜a＜1时，得0＜a＜；当a＞1时，得a＞1．综上，a∈∪(1，＋∞)． 4．(教材经典题改编)已知a＝log0.26，b＝log0.36，c＝log0.46，则(　B　) A．a＜b＜c　 B．c＜b＜a C．c＜a＜b　 D．b＜c＜a 【解析】 方法一：如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y1＝log0.2x，y2＝log0.3x，y3＝log0.4x的图象，由图象可知，当x＝6时，log0.26＞log0.36＞log0.46，即a＞b＞c． 方法二：易知0＞log60.4＞log60.3＞log60.2，所以＜＜，即log0.46＜log0.36＜log0.26，即a＞b＞c． 5．若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则实数a的取值范围为(　A　) A．[1，2)　 B．[1，2] C．[1，＋∞)　 D．[2，＋∞) 【解析】 令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，图象的对称轴为x＝a，要使函数f(x)在(－∞，1]上单调递减，则有即解得1≤a＜2． 聚焦知识 1．对数函数的图象及其性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域：__(0，＋∞)__，值域：__R__ ①图象过定点__(1，0)__； ②函数y＝logax与y＝logx(a＞0且a≠1)的图象关于__x轴__对称； ③在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐__增大__ 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 在(0，＋∞)上是__增函数__ 在(0，＋∞)上是__减函数__ 2．反函数 指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 题型突破　思维拓展 举题说法 对数函数图象的应用 例1　(1)(多选)下列函数的图象过定点(1，2)的有(　AD　) A．y＝loga(3x－2)＋2　 B．y＝log2x＋1 C．y＝ax＋1　 D．y＝4x－2 (2) 已知a＞0，且a≠1，则函数y＝loga的图象一定经过(　D　) A．一、二象限　 B．一、三象限 C．二、四象限　 D．三、四象限 【解析】 当x＝0时，y＝loga＝－1，则当0＜a＜1时，作出函数图象如图(1)所示，由图知函数图象过二、三、四象限；当a＞1时，作出函数图象如图(2)所示，由图知函数图象过一、三、四象限，所以函数y＝loga的图象一定经过三、四象限． 图(1) 图(2) (3)(2025·绍兴调研)(多选)已知函数f(x)＝若x1＜x2＜x3＜x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则下列结论中正确的有(　BCD　) A．x1＋x2＝－1 B．x3x4＝1 C．0＜x1＋x2＋x3＋x4＜ D．0＜x1x2x3x4＜1 【解析】 作出函数f(x)＝的图象如图所示，设f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝t，则0＜t＜1，则直线y＝t与函数y＝f(x)的图象4个交点横坐标分别为x1，x2，x3，x4．对于A，函数y＝－x2－2x图象关于直线x＝－1对称，则x1＋x2＝－2，故A不正确；对于B，由图象可知＝，且0＜x3＜1＜x4，所以－log2x3＝log2x4，即log2(x3x4)＝0，所以x3x4＝1，故B正确；当x≤0时，f(x)＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1≤1，由图象可知，∈(0，1)，则0＜－log2x3＜1，可得＜x3＜1，所以x1＋x2＋x3＋x4＝x3＋－2∈，C正确；由图象可知－2＜x1＜－1，所以x1x2x3x4＝x1·(－2－x1)＝－x－2x1＝－(x1＋1)2＋1∈(0，1)，D正确． 对数函数图象的识别及应用方法 (1) 在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． (2) 一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 变式1　(多选)已知函数f(x)＝若方程y＝f(x)－m有4个不同的零点x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则(　BCD　) A．－3＜m＜1　 B．x1x2＝1 C．x3＋x4＝8　 D．的取值范围为(2，4－) 【解析】 作出f(x)的图象如图所示，令f(x)＝m，则log2x2＝－log2x1，x3＋x4＝8，故x1x2＝1，x3＋x4＝8，0＜m＜1，A错误，B，C正确．＝x3，令x2－8x＋13＝0，则x＝4－或x＝4＋，结合图象可知x3∈(2，4－)，D正确． 对数函数性质的应用 视角1　比较大小 例 2－1　分别比较下列各组数的大小： (1) log3.82.5，log2.82.9，log2.84.6； 【解答】　因为y＝log2.8x在(0，＋∞)上是增函数，所以log2.84.6＞log2.82.9＞log2.82.8＝1．又y＝log3.8x在(0，＋∞)上是增函数，所以log3.82.5＜log3.83.8＝1，所以log3.82.5＜log2.82.9＜log2.84.6． (2) 8－0.7，log70.8，log0.80.7； 【解答】　因为y＝8x在R上是增函数，所以0＜8－0.7＜80＝1．因为y＝log7x在(0，＋∞)上是增函数，所以log70.8＜log71＝0．因为y＝log0.8x在(0，＋∞)上是减函数，所以log0.80.7＞log0.80.8＝1．所以log0.80.7＞8－0.7＞log70.8． 变式 2－1　(2025·阳泉期末)已知定义域为R的函数f(x)为偶函数，且f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，则下列判断正确的是(　A　) A．f＜f(log4)＜f(log45) B．f＜f(log45)＜f(log4) C．f(log4)＜f(log45)＜f D．f(log45)＜f(log4)＜f 【解析】 因为log4＝－log34，所以f＝f(－log34)＝f(log34)．因为ln 3·ln 5＜2＝2＜2＝ln 24，故＞，即log34＞log45．又＝log33＝log3＞log3＝log34，所以＞log34＞log45．又f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，所以f＜f(log34)＜f(log45)，即f＜f(log4)＜f(log45)． 视角2　解不等式 例 2－2　(1) 不等式log2x＜－x＋1的解集是__(0，1)__． 【解析】 不等式log2x＜－x＋1，即log2x＋x－1＜0，令f(x)＝log2x＋x－1，x∈(0，＋∞)，因为y＝log2x与y＝x－1均在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f(1)＝0，所以当0＜x＜1时f(x)＜0，则不等式log2x＜－x＋1的解集是(0，1)． (2) 若函数f(x)＝loga(a＞0且a≠1)满足f(3)＝－1，则不等式f(x)＞1的解集为__(5，6)__． 【解析】 由f(3)＝－1可得f(3)＝loga＝－1，可知a＝3．f(x)＞1即为log3＞1，可得＞3，即－3＝＞0，所以4(5－x)(x－6)＞0，解得5＜x＜6，即所求解集为(5，6)． 变式 2－2　　已知f(x)＝|log3x|，若f(a)＞f(3)，则实数a的取值范围为__∪(3，＋∞)__． 【解析】 由f(a)＞f(3)，得|log3a|＞|log33|＝1，所以log3a＞1或log3a＜－1，解得a＞3或0＜a＜，即实数a的取值范围为∪(3，＋∞)． 视角3　求参数的范围 例 2－3　(1)(2025·驻马店期末)设函数f(x)＝log3(x2－ax＋3)在区间(0，1)上单调递减，则a的最大值为(　C　) A．2　 B．3 C．4　 D．5 【解析】 令u(x)＝x2－ax＋3，g(x)＝log3u(x)，则f(x)可视为由u(x)和g(x)构成的复合函数，由对数函数性质得g(x)在区间(0，1)上单调递增，因为f(x)在区间(0，1)上单调递减，所以由复合函数性质得u(x)在区间(0，1)上单调递减．由二次函数性质得u(x)＝x2－ax＋3的对称轴为直线x＝，显然u(x)开口向上，故解得2≤a≤4，则a的最大值为4． (2) 若函数f(x)＝loga(a＞0且a≠1)有最小值，则实数a的取值范围是__(1，)__． 【解析】 令u(x)＝x2－ax＋＝＋－，则u(x)有最小值－，欲使函数f(x)＝loga有最小值，则有解得1＜a＜，即实数a的取值范围为(1，)． 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用． 变式 2－3　(2025·聊城期末)设a＞0，且a≠1，函数f(x)＝的值域为[2，＋∞)，则实数a的取值范围是__(1，]__． 【解析】 因为f(x)＝当x≤2时，f(x)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，则f(x)在(－∞，2]上单调递减，所以f(x)≥f(2)＝2，即f(x)∈[2，＋∞)．要使得函数f(x)的值域为[2，＋∞)，所以当x＞2时，logax≥2，所以解得1＜a≤． 　反函数的应用 例3　(2025·郑州质检)若x1满足2x＝5－x，x2满足x＋log2x＝5，则x1＋x2＝(　D　) A．2　 B．3 C．4　 D．5 【解析】 由题意5－x1＝2x1，5－x2＝log2x2，故x1和x2分别是直线y＝5－x和曲线y＝2x、曲线y＝log2x交点的横坐标．根据函数y＝2x和函数y＝log2x互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称，故曲线y＝2x、曲线y＝log2x和直线y＝5－x的图象交点关于直线y＝x对称．即点(x1，5－x1)和点(x2，5－x2)构成的线段的中点在直线y＝x上，即＝，得x1＋x2＝5． 互为反函数的常用结论 (1) 同底的指数函数、对数函数互为反函数． (2) 若f(x)与g(x)互为反函数，则f(x)的定义域、值域分别为g(x)的值域、定义域． 变式3　(2025·宿迁期中)已知x1 是方程x·3x＝2的根，x2 是方程x·log3x＝2的根，则x1x2的值为(　A　) A．2　 B．3 C．6　 D．10 【解析】 方程x·3x＝2可变形为方程3x＝，方程x·log3x＝2可变形为方程log3x＝．由题意x1是函数y＝3x与函数y＝的交点横坐标，x2是函数y＝log3x与函数y＝的交点横坐标．因为函数y＝3x与函数y＝log3x互为反函数，所以函数y＝log3x与函数y＝的交点横坐标x2等于函数y＝3x与函数y＝的交点纵坐标，即(x1，x2)在函数y＝图象上．又因为y＝图象上点的横、纵坐标之积为2，所以x1x2＝2． 随堂内化 1．已知函数f(x)＝1＋loga(2x－3)(a＞0，a≠1)恒过定点(m，n)，则m＋n＝(　C　) A．1　 B．2 C．3　 D．4 【解析】 令2x－3＝1，得x＝2，此时f(2)＝1＋loga1＝1，所以f(x)恒过定点(2，1)，则m＝2，n＝1，所以m＋n＝3． 2．已知a＝log30.5，b＝log3π，c＝log43，则a，b，c的大小关系是(　C　) A．a＜b＜c　 B．b＜a＜c C．a＜c＜b　 D．c＜a＜b 【解析】 因为a＝log30.5＜log31＝0，b＝log3π＞log33＝1，0＝log41＜c＝log43＜log44＝1，所以a＜c＜b． 3．(2025·无锡期中)已知函数f(x)＝ln ＋，则下列函数是奇函数的是(　D　) A．f(x＋1)＋1　 B．f(x－1)＋1 C．f(x－1)－1　 D．f(x＋1)－1 【解析】 易知f(x＋1)＝ln ＋＝ln ＋1＋，所以f(x＋1)－1＝ln ＋(x∈(－1，0)∪(0，1))．令g(x)＝ln ＋，则g(－x)＝ln －，显然g(x)＋g(－x)＝0，所以g(x)为奇函数，故D正确． 4．(多选)已知函数f(x)＝关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实数根，则实数a的取值可以是(　BCD　) A．1　 B．2 C．3　 D．4 【解析】 方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实数根，即y＝f(x)与y＝－x＋a有且只有1个交点，作出y＝f(x)的图象与直线y＝－x＋a如图所示，由图可知当a≤1时，y＝f(x)与y＝－x＋a有2个交点；当a＞1时，y＝f(x)与y＝－x＋a有且只有1个交点． 配套精练 A组　夯基精练 一、单项选择题 1．(2023·新高考Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则a＝(　B　) A．－1　 B．0 C．　 D．1 【解析】 因为f(x)为偶函数，所以f(1)＝f(－1)，即(1＋a)ln ＝(－1＋a)ln 3，解得a＝0．当a＝0时，f(x)＝x ln ，由(2x－1)(2x＋1)＞0，解得x＞或x＜－，则其定义域为，关于原点对称．f(－x)＝(－x)ln ＝(－x)ln ＝(－x)ln －1＝x ln ＝f(x)，此时f(x)为偶函数，故a＝0． 2．(2025·太原一模)已知a＝，b＝log23，c＝log35，则下列结论正确的是(　B　) A．a＞b＞c　 B．b＞a＞c C．b＞c＞a　 D．a＞c＞b 【解析】 由a＝＝log22＝log22＜log23＝b，a＝＝log33＝log3＞log35＝c，所以b＞a＞c． 3．(2025·德州期中)已知关于x的函数y＝log(x2＋ax＋a－1)在[－3，－2]上单调递增，则实数a的取值范围是(　D　) A．(－∞，4]　 B．(－∞，4) C．(－∞，3]　 D．(－∞，3) 【解析】 令t＝x2＋ax＋a－1，则y＝logt，所以y＝logt在(0，＋∞)上单调递减．由复合函数的单调性可知，t＝x2＋ax＋a－1在[－3，－2]上单调递减，所以则所以a＜3． 4．(2025·常州期中)已知函数f(x)＝loga(2－ax)(a＞0且a≠1)，若∃x∈[1，2]，使得f(x)≥1成立，则实数a的取值范围是(　A　) A．　 B．∪(1，2] C．(1，2]　 D． 【解析】 因为y＝2－ax在[1，2]上单调递减，所以x＝2时，2－2a＞0，即a＜1，所以0＜a＜1，此时y＝logat单调递减，所以f(x)在[1，2]上单调递增，所以f(x)max＝f(2)＝loga(2－2a)≥1，所以2－2a≤a，解得a≥．综上所述，实数a的取值范围是． 二、多项选择题 5．已知函数f(x)＝lg(x2＋ax－a－1)，下述论述正确的是(　AB　) A．当a＝0时，f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．f(x)一定没有最小值 C．当a＝0时，f(x)的定义域为R D．若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是[－4，＋∞) 【解析】 对于A，当a＝0时，由x2－1＞0得x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故A正确，C错误；对于B，因为二次函数t＝x2＋ax－a－1的图象开口向上，且Δ＝a2－4(－a－1)＝(a＋2)2≥0，所以f(x)＝lg(x2＋ax－a－1)的值域为R，故B正确；对于D，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则y＝x2＋ax－a－1在[2，＋∞)上单调递增，则对称轴x＝－≤2，解得a≥－4，但当a＝－4时，f(x)＝lg(x2－4x＋3)在x＝2处无定义，故D错误． 6．(2025·大同开学检测)已知函数f(x)＝|loga(x＋1)|(a＞0且a≠1)，则下列说法正确的是(　ABD　) A．f(x)的图象恒过某个定点 B．f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增 C．f(x)图象上存在两个不同的点关于y轴对称 D．若对任意x∈，f(x)＜1恒成立，则实数a的取值范围是∪(3，＋∞) 【解析】 对于A，因为f(0)＝|loga1|＝0，故f(x)的图象恒过原点，故A正确．对于B，若a＞1，则f(x)＝故f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；若0＜a＜1，则f(x)＝故f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故B正确．对于C，考虑f(x)＝f(－x)，x＞－1，x≠0是否有解，而f(x)＝f(－x)，x＞－1，x≠0等价于|loga(x＋1)|＝|loga(－x＋1)|，x＞－1，x≠0，也即等价于|ln(x＋1)|＝|ln(－x＋1)|，x＞－1，x≠0，也即等价于ln(x＋1)＝ln(－x＋1)，x＞－1，x≠0或ln(x＋1)＝－ln(－x＋1)，x＞－1，x≠0，两个方程均无解，故f(x)图象上不存在两个不同的点关于y轴对称，故C错误．对于D，若对任意x∈，f(x)＜1恒成立，则对任意x∈，|loga(x＋1)|＜1恒成立，即|ln(x＋1)|＜|ln a|恒成立，故|ln a|＞max＝ln 3，故ln a＜－ln 3或ln a＞ln 3，所以0＜a＜或a＞3，故D正确． 三、填空题 7．(2026·苏州期初)设函数f(x)＝ln |x＋1|－ln |x－1|，则f(x)是__奇__函数(填“奇”或“偶”)；且在(－1，1)上单调递__增__，在(－∞，－1)上单调递__减__(填“增”或“减”)． 【解析】 由解得x≠－1且x≠1，则函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，＋∞)，关于原点对称，而f(－x)＝ln －ln ＝ln －ln ＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数．当x∈(－1，1)时，f(x)＝ln(x＋1)－ln(1－x)＝ln ＝ln ，则函数f(x)在(－1，1)上单调递增．当x∈(－∞，－1)时，f(x)＝ln(－x－1)－ln(1－x)＝ln ＝ln ，则函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减． 8．已知函数f(x)＝logax＋2(a＞0且a≠1)在[1，3]上的值域为[2，4]，则实数a＝____． 【解析】 若0＜a＜1，则f(x)＝logax＋2在[1，3]上单调递减，则loga3＋2≤f(x)≤2，不符合题意；若a＞1，则f(x)＝logax＋2在[1，3]上单调递增，则2≤f(x)≤loga3＋2．又f(x)的值域为[2，4]，所以loga3＋2＝4，解得a＝． 9．已知x1，x2分别是方程ex＋x－2＝0，ln x＋x－2＝0的根，则x1＋x2＝__2__． 【解析】 由题意可得x1是函数y＝ex的图象与直线y＝－x＋2的交点A的横坐标，x2是函数y＝ln x的图象与直线y＝－x＋2的交点B的横坐标．因为y＝ex的图象与y＝ln x的图象关于直线y＝x对称，而直线y＝－x＋2也关于直线y＝x对称，所以线段AB的中点就是直线y＝－x＋2与y＝x的交点．由得即线段AB的中点为(1，1)，所以＝1，得x1＋x2＝2． 四、解答题 10．已知函数f(x)＝log2(2x+1－4x＋1)． (1) 求不等式f(x)＞0的解集； 【解答】 由题意可知f(x)＞0，即2x+1－4x＋1＞1．令t＝2x＞0，则有2t－t2＞0，解得0＜t＜2，所以0＜2x＜2，即x＜1．所以不等式f(x)＞0的解集为(－∞，1)． (2) 若∀x∈(0，1)，f(x)＞x＋a恒成立，求实数a的取值范围． 【解答】 由题意可知f(x)＞x＋a，即log2(2x+1－4x＋1)－x＞a，即log2＞a．又＝－2x＋＋2，令n＝2x∈(1，2)，g(n)＝－n＋＋2，易知g(n)在(1，2)上单调递减，所以＜g(n)＜2，所以－1＜log2g(n)＜1．因为∀x∈(0，1)，f(x)＞x＋a，所以a≤－1．故实数a的取值范围为(－∞，－1]． 11．已知函数f(x)＝log的图象关于原点对称，其中a为常数． (1) 求a的值； 【解答】 因为函数f(x)＝log的图象关于原点对称，所以f(x)＋f(－x)＝0，即log＋log＝0，所以log＝0恒成立，所以×＝1恒成立，即1－a2x2＝1－x2恒成立，即(a2－1)x2＝0恒成立，所以a2－1＝0，解得a＝±1，又a＝1时，f(x)＝log无意义，故a＝－1． (2) 若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log(x－1)＜m恒成立，求实数m的取值范围； 【解答】 因为x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log(x－1)＜m恒成立，即log＋log(x－1)＜m恒成立，所以log(x＋1)＜m在x∈(1，＋∞)上恒成立．因为y＝log(x＋1)是减函数，所以当x∈(1，＋∞)时，log(x＋1)∈，故m≥－，即实数m的取值范围是． (3) 若关于x的方程f(x)＝log(x＋k)在[2，3]上有解，求实数k的取值范围． 【解答】 因为f(x)＝log＝log在[2，3]上单调递增，g(x)＝log(x＋k)在[2，3]上单调递减，又关于x的方程f(x)＝log(x＋k)在[2，3]上有解，所以即解得－1≤k≤1，所以实数k的取值范围是[－1，1]． B组　能力提升练 12．(2025·湛江期末)已知f(x)＝log2x，且f(a)＋a＝0，bf(b)＝2b＋4，则f(a)＋f(b)＝__2__． 【解析】 由题意得f(x)的定义域为(0，＋∞)，则a＞0，b＞0，f(a)＋a＝log2a＋a＝0．由bf(b)＝blog2b＝2b＋4，得log2b－2－＝log2－＝0，即log2＋＝0．设函数g(x)＝log2x＋x，易得g(x)在(0，＋∞)上单调递增．因为a＞0，＞0，g(a)＝g，所以a＝，即ab＝4．故f(a)＋f(b)＝log2a＋log2b＝log2(ab)＝2． 13．(2026·黄冈期初)已知函数f(x)＝log2(4x＋1)－mx(m∈R)是偶函数． (1) 求m的值； 【解答】 因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即log2(4x＋1)－mx＝log2(4－x＋1)＋mx，即log2＝2mx，而log2＝log24x＝2x，所以m＝1． (2) 若g(x)＝4f(x)，a＞0，b∈R，不等式bg2(x)－ag(x)＋a＋b≥0对任意x∈[－1，1]恒成立，求的取值范围． 【解答】 因为m＝1，所以f(x)＝log2(4x＋1)－x＝log2＝log2(2x＋2－x)，所以g(x)＝4f(x)＝2．又x∈[－1，1]，令t＝2x∈，而对勾函数p(t)＝t＋，t＞0在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当t∈时，p(t)∈，所以g(x)∈．因为bg2(x)－ag(x)＋a＋b≥0，所以g2(x)－g(x)＋1＋≥0，所以≥．令c＝g(x)－1，所以＝＝，c∈，而c＋在上单调递增，则在上单调递减，所以≥，所以的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $