第2章 第10讲 指数与指数函数（word教参）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（提升版）

该高中数学高考复习讲义聚焦指数与指数函数核心考点，按知识整合、激活思维、聚焦知识的逻辑重构体系，涵盖根式、分数指数幂、指数函数图象与性质等内容。通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生突破运算化简、图象应用、性质综合等难点，体现复习的系统性和针对性。 资料采用分层训练与题型视角分类策略，如在指数函数性质应用中，通过单调性与最值、比大小与解不等式等视角设计例题，培养学生数学思维和运算能力。设置激活思维、随堂内化、配套精练三级练习，配合即时反馈，确保高效复习，为教师把控节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第10讲　指数与指数函数 知识整合　体系重构 激活思维 1．(教材经典题)设a＞0，则下列运算中正确的是(　　) A．aa＝a　 B．a÷a＝a C．aa－＝0　 D．(a)4＝a 2．(教材经典题改编)设a＝30.7，b＝2－0.4，c＝90.4，则(　　) A．b＜c＜a　 B．c＜a＜b C．a＜b＜c　 D．b＜a＜c 3．(教材经典题改编)已知x＋x－＝5，则x＋x－1的值为(　　) A．5　 B．23 C．25　 D．27 4．下列函数的值域是(0，＋∞)的有(　　) A．y＝4　 B．y＝ C．y＝　 D．y＝ 5．函数y＝ax+2 026＋2 026(a＞0，a≠1)的图象恒过定点______． 聚焦知识 1．根式 (1) 概念：式子叫做_______，其中n叫做根指数，a叫做被开方数． (2) 性质：()n＝a(a使得有意义)；当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝ 2．分数指数幂 (1) 规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝_________(a＞0，m，n∈N*且n＞1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝_______(a＞0，m，n∈N*且n＞1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂_______． (2) 有理指数幂的运算性质：aras＝________； (ar)s＝_________；(ab)r＝_________，其中a＞0，b＞0，r，s∈Q． 3．指数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 R 值域 _________ 性质 过定点_______，即当x＝0时，y＝1 当x＞0时，________； 当x＜0时，________ 当x＜0时，______； 当x＞0时，_______ 在(－∞，＋∞)上是____ 在(－∞，＋∞)上是_____ 4．常用结论 (1) 画指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图象时注意两个关键点：(1，a)，(0，1)． (2) 底数a的大小决定了图象相对位置的高低，不论是a＞1，还是0＜a＜1，在第一象限内底数越大，函数图象越高，即“底大图高”． (3) f(x)＝ax与g(x)＝(a＞0且a≠1)的图象关于y轴对称． 题型突破　思维拓展 举题说法 指数式的求值与化简 例1　(1) 计算－(－9.6)0＋－＋－2的值为(　　) A．　 B．π C．π2　 D．2 (2) 已知x－x－1＝2(x＞0)，求的值． 指数幂运算的一般原则：(1) 负指数幂化成正指数幂的倒数．(2) 底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(3) 若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示． 变式1　(1) 已知ex－e－x＝2，则ex－e－x＝____． (2)(2025·福州质检)牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间y(单位：h)与储藏温度x(单位：℃)的关系式为y＝kerx(k，r为常数)．若牛奶在0 ℃的冰箱中，保鲜时间约是100 h，在5 ℃的冰箱中，保鲜时间约是80 h，那么在10 ℃的冰箱中的保鲜时间约是____h． 指数函数的图象及应用 例2　(1)(多选)若函数y＝ax＋b－1(a＞0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，则下列说法中正确的有(　　) A．a＞1　 B．0＜a＜1 C．b＞0　 D．b＜0 (2)(2025·龙岩质检)已知f(x)＝，当a＜b＜c时，有f(a)＞f(c)＞f(b)，则必有(　　) A．a＜0，b＜0，c＜0 B．a＜0，b＞0，c＞0 C．2－a＜2c D．1＜2a＋2c＜2 变式2　已知函数f(x)＝若实数a，b，c满足a＜b＜c且f(a)＝f(b)＝f(c)，则3a＋3b＋3c的取值范围为(　　) A．(3，9)　 B．(5，9)　 C．(5，11)　 D．(3，11) 指数函数的性质及应用 视角1　单调性与最值 例 3－1　(1)(2023·新高考Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2]　 B．[－2，0) C．(0，2]　 D．[2，＋∞) (2) 函数f(x)＝+4x的值域为________． (3)(2025·宿迁期中)(多选)若定义在[－1，1]上的函数f(x)＝－2·9x＋4·3x，则下列结论中正确的是(　　) A．f(x)的单调递减区间是[0，1] B．f(x)的单调递增区间是[－1，1] C．f(x)的最大值是f(0)＝2 D．f(x)的最小值是f(1)＝－6 ． 视角2　比大小与解不等式 例 3－2　(1)(2025·石家庄调研)已知a＝，b＝1.10.7，c＝，将a，b，c按照从小到大的顺序排列为(　　) A．c＜b＜a　 B．b＜a＜c C．c＜a＜b　 D．b＜c＜a (2)(2025·济南3月模拟)若函数f(x)＝则f(2x)＋f(x－3)＞0的解集是(　　) A．(－∞，1)　 B．(1，＋∞) C．(－∞，－3)　 D．(－3，＋∞) 视角3　综合应用 例3－3　已知f(x)＝是定义在R上的奇函数． (1) 求f(x)的解析式； (2) 已知0＜a＜1，若对于任意的x∈[1，＋∞)，存在m∈[－2，1]，使得f(x)－x2＋2x＋≤am+1成立，求实数a的取值范围． 随堂内化 1．(2025·新乡二模)3+＝(　　) A．16　 B．8 C．32　 D．16 2．若x满足不等式2x2＋1≤x－2，则函数y＝2x的值域是(　　) A．　 B． C．　 D．[2，＋∞) 3．(2025·安庆二模)若函数f(x)＝a·2－＋b的图象经过原点，且无限接近直线y＝2但又不与该直线相交，则(　　) A．函数f(x)不具有奇偶性 B．a＝2 C．函数f(x)的值域为(－∞，2) D．函数f(x)的单调递增区间为[0，＋∞) 4．(2025·聊城一模)设实数a＞0，函数f(x)＝为奇函数，则f(lg 3)＝____． 配套精练 一、单项选择题 1．已知a＝0.30.6，b＝0.30.5，c＝0.40.5，则(　　) A．a＞b＞c　 B．a＞c＞b C．b＞c＞a　 D．c＞b＞a 2．设函数f(x)＝3|a－2x|在区间(1，2)上单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，2]　 B．(－∞，4] C．[2，＋∞)　 D．[4，＋∞) 3．(2025·杭州期末)已知函数f(x)＝2x＋m·2－x(m∈R)是奇函数，则下列关系正确的是(　　) A．f(1)＜f(2)　 B．f(1)＞f(2) C．f(2)＝2f(1)　 D．f(2)＝＋f(1) 4．(2025·漳州三模)某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气中的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系为P＝P0e－kt，其中P0＞0，k＞0．若在前5 h内消除了10%的污染物，则15 h后污染物含量还剩余(　　) A．70%　 B．85% C．81%　 D．72.9% 5．(2025·德州模拟)设f(x)＝则满足f(1－x)＞f(2x)的x的取值范围是(　　) A．(－∞，－1]　 B．(0，＋∞) C．(－1，0)　 D．(－∞，0) 二、多项选择题 6．(2025·绍兴模拟)已知函数f(x)＝，则下列结论错误的是(　　) A．当λ＝1时，f(x)是偶函数，且在区间(0，1)上单调递增 B．当λ＝1时，f(x)是奇函数，且在区间(0，1)上单调递减 C．当λ＝－1时，f(x)是偶函数，且在区间(0，1)上单调递减 D．当λ＝－1时，f(x)是奇函数，且在区间(0，1)上单调递增 7．(2025·宁德质检)设函数f(x)＝，a，b，c∈R，且a＜b＜c，则下列说法正确的是(　　) A．函数y＝f(x)有最小值0，无最大值 B．函数y＝f(x)的图象与直线y＝1有两个不同的交点 C．若f(a)＞f(c)＞f(b)，则2a＋2c＜2 D．若f(a)＝f(b)，则22a＋2b的取值范围是 8．已知函数f(x)＝若x1＜x2＜x3，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，则(　　) A．x2＋x3＝2 B．x1＜0＜x2＜1＜x3 C．|x3|＞|x1|＞|x2| D．0＜x2f(x1)≤ 三、填空题 9．化简：÷×＝_________． 10．(2026·德州期初)已知n＞0，函数f(x)＝，若f(x)＋f(－x)＝0，则m＋n＝____． 11．已知函数f(x)＝a·4x－3·2x－1(a∈R)，若关于x的方程f(x)＝(1－a)·2x＋3有解，则a的取值范围为__________． 四、解答题 12．我们知道：设函数y＝f(x)的定义域为D，那么“函数y＝f(x)的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“∀x∈D，f(－x)＝－f(x)”．有同学发现可以将其推广为：设函数y＝f(x)的定义域为D，那么“函数y＝f(x)的图象关于点(m，n)成中心对称图形”的充要条件是“∀x∈D，f(2m－x)＋f(x)＝2n”． (1) 判断函数f(x)＝的奇偶性，并证明． (2) 判断函数g(x)＝的图象是否为中心对称图形，若是，求出其对称中心坐标；若不是，请说明理由． 13．已知函数f(x)的图象可由函数y＝ax－1＋2(a＞0且a≠1)的图象先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到，且f(2)＝16． (1) 求a的值； (2) 若函数g(x)＝，证明：g(x)＋g(1－x)＝1； (3) 若函数y1＝|f(x)＋m|与y2＝|f(－x)＋m|在区间[1，2]上都是单调的，且单调性相同，求实数m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲　指数与指数函数 知识整合　体系重构 激活思维 1．(教材经典题)设a＞0，则下列运算中正确的是(　D　) A．aa＝a　 B．a÷a＝a C．aa－＝0　 D．(a)4＝a 【解析】 对于A，aa＝a＋＝a；对于B，a÷a＝a1－＝a；对于C，aa－＝a0＝1；对于D，(a)4＝a． 2．(教材经典题改编)设a＝30.7，b＝2－0.4，c＝90.4，则(　D　) A．b＜c＜a　 B．c＜a＜b C．a＜b＜c　 D．b＜a＜c 【解析】 b＝2－0.4＜20＝1，c＝90.4＝30.8＞30.7＝a＞30＝1，所以b＜a＜c． 3．(教材经典题改编)已知x＋x－＝5，则x＋x－1的值为(　B　) A．5　 B．23 C．25　 D．27 【解析】 因为x＋x－＝5，所以(x＋x－)2＝52，即x＋x－1＋2＝25，所以x＋x－1＝23． 4．下列函数的值域是(0，＋∞)的有(　C　) A．y＝4　 B．y＝ C．y＝　 D．y＝ 【解析】 对于A，y＝4的值域是(0，1)∪(1，＋∞)；对于B，y＝的值域是[0，＋∞)；对于C，y＝的值域是(0，＋∞)；对于D，y＝的值域是[0，1)． 5．函数y＝ax+2 026＋2 026(a＞0，a≠1)的图象恒过定点__(－2_026，2_027)__． 聚焦知识 1．根式 (1) 概念：式子叫做__根式__，其中n叫做根指数，a叫做被开方数． (2) 性质：()n＝a(a使得有意义)；当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝ 2．分数指数幂 (1) 规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝____(a＞0，m，n∈N*且n＞1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝____(a＞0，m，n∈N*且n＞1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂__没有意义__． (2) 有理指数幂的运算性质：aras＝__ar＋s__； (ar)s＝__ars__；(ab)r＝__arbr__，其中a＞0，b＞0，r，s∈Q． 3．指数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 R 值域 __(0，＋∞)__ 性质 过定点__(0，1)__，即当x＝0时，y＝1 当x＞0时，__y＞1__； 当x＜0时，__0＜y＜1__ 当x＜0时，__y＞1__； 当x＞0时，__0＜y＜1__ 在(－∞，＋∞)上是__增函数__ 在(－∞，＋∞)上是__减函数__ 4．常用结论 (1) 画指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图象时注意两个关键点：(1，a)，(0，1)． (2) 底数a的大小决定了图象相对位置的高低，不论是a＞1，还是0＜a＜1，在第一象限内底数越大，函数图象越高，即“底大图高”． (3) f(x)＝ax与g(x)＝(a＞0且a≠1)的图象关于y轴对称． 题型突破　思维拓展 举题说法 指数式的求值与化简 例1　(1) 计算－(－9.6)0＋－＋－2的值为(　B　) A．　 B．π C．π2　 D．2 【解析】 原式＝＋1－1＋|－π|－2＋2＝π． (2) 已知x－x－1＝2(x＞0)，求的值． 【解答】　因为x－x－1＝2(x＞0)，所以(x－x－1)2＝12，即x2＋x－2－2＝12，所以x2＋x－2＝14，所以(x＋x－1)2＝x2＋x－2＋2＝16，故x＋x－1＝4，所以＝＝＝． 指数幂运算的一般原则：(1) 负指数幂化成正指数幂的倒数．(2) 底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(3) 若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示． 变式1　(1) 已知ex－e－x＝2，则ex－e－x＝__14__． 【解析】 因为ex－e－x＝2，所以两边同时3次方得(ex－e－x)3＝8，化简得ex－e－x－3(ex－e－x)＝8，又因为ex－e－x＝2，所以ex－e－x＝8＋6＝14． (2)(2025·福州质检)牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间y(单位：h)与储藏温度x(单位：℃)的关系式为y＝kerx(k，r为常数)．若牛奶在0 ℃的冰箱中，保鲜时间约是100 h，在5 ℃的冰箱中，保鲜时间约是80 h，那么在10 ℃的冰箱中的保鲜时间约是__64__h． 【解析】 根据题意，得解得所以y＝100x，所以当x＝10时，y＝100×10＝64．故在10 ℃的冰箱中的保鲜时间约是64 h． 指数函数的图象及应用 例2　(1)(多选)若函数y＝ax＋b－1(a＞0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，则下列说法中正确的有(　AD　) A．a＞1　 B．0＜a＜1 C．b＞0　 D．b＜0 【解析】 因为函数y＝ax＋b－1(a＞0，且a≠1)的图象经过第 一、三、四象限，所以其大致图象如图所示．由图象可知函数为增函数，所以a＞1．当x＝0时，y＝1＋b－1＝b＜0． (2)(2025·龙岩质检)已知f(x)＝，当a＜b＜c时，有f(a)＞f(c)＞f(b)，则必有(　D　) A．a＜0，b＜0，c＜0 B．a＜0，b＞0，c＞0 C．2－a＜2c D．1＜2a＋2c＜2 【解析】 画出f(x)＝的图象如图所示．对于A，当a＜0，b＜0，c＜0时，f(x)单调递减，得不到f(a)＞f(c)＞f(b)，故A错误；对于B，如图，当a＜b＜c时，有f(a)＞f(c)＞f(b)，则b可能小于零，也可能大于零，故B错误；对于C，如图，当－a＞c＞0时，2－a＞2c，故C错误；对于D，由图象可知，a＜0，c＞0，所以0＜2a＜1，2c＞1，又f(a)＞f(c)，所以1－2a＞2c－1，所以1＜2a＋2c＜2，故D正确． 变式2　已知函数f(x)＝若实数a，b，c满足a＜b＜c且f(a)＝f(b)＝f(c)，则3a＋3b＋3c的取值范围为(　C　) A．(3，9)　 B．(5，9)　 C．(5，11)　 D．(3，11) 【解析】 作出f(x)的图象如图所示，因为a＜b＜c且f(a)＝f(b)＝f(c)，由图象可得a∈(－∞，0)，b∈(0，1)，c∈(1，2)．因为f(a)＝f(b)，所以1－3a＝3b－1，即3a＋3b＝2．因为c∈(1，2)，所以3c∈(3，9)，则3a＋3b＋3c＝2＋3c∈(5，11)． 指数函数的性质及应用 视角1　单调性与最值 例 3－1　(1)(2023·新高考Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则a的取值范围是(　D　) A．(－∞，－2]　 B．[－2，0) C．(0，2]　 D．[2，＋∞) 【解析】 函数y＝2x在R上单调递增，而函数f(x)＝2x(x－a)在(0，1)上单调递减，则有函数y＝x(x－a)＝－在(0，1)上单调递减，因此≥1，解得a≥2，即a的取值范围是[2，＋∞)． (2) 函数f(x)＝+4x的值域为____． 【解析】 易知二次函数y＝－x2＋4x的图象开口向下，当x＝2时，取得最大值4．又函数y＝是减函数，所以f(x)＝+4x的值域为． (3)(2025·宿迁期中)(多选)若定义在[－1，1]上的函数f(x)＝－2·9x＋4·3x，则下列结论中正确的是(　ACD　) A．f(x)的单调递减区间是[0，1] B．f(x)的单调递增区间是[－1，1] C．f(x)的最大值是f(0)＝2 D．f(x)的最小值是f(1)＝－6 【解析】 设t＝3x，x∈[－1，1]，则t＝3x是增函数，且t∈．又函数y＝－2t2＋4t＝－2(t－1)2＋2在上单调递增，在[1，3]上单调递减，因此f(x)在[－1，0]上单调递增，在[0，1]上单调递减，故A正确，B错误；f(x)max＝f(0)＝2，故C正确；又f(－1)＝，f(1)＝－6，因此f(x)的最小值是－6，故D正确． 视角2　比大小与解不等式 例 3－2　(1)(2025·石家庄调研)已知a＝，b＝1.10.7，c＝，将a，b，c按照从小到大的顺序排列为(　C　) A．c＜b＜a　 B．b＜a＜c C．c＜a＜b　 D．b＜c＜a 【解析】 a＝＝∈(0，1)，c＝∈(0，1)且＞，b＝1.10.7＞1，所以c＜a＜b． (2)(2025·济南3月模拟)若函数f(x)＝则f(2x)＋f(x－3)＞0的解集是(　A　) A．(－∞，1)　 B．(1，＋∞) C．(－∞，－3)　 D．(－3，＋∞) 【解析】 当x＞0时，f(x)＝1－ex，－x＜0，f(－x)＝e－(－x)－1＝ex－1＝－f(x)；当x＜0时，f(x)＝e－x－1，－x＞0，f(－x)＝1－e－x＝－f(x)；且当x＝0时，f(x)＝0，所以f(x)为奇函数．易知f(x)为R上的减函数，则f(2x)＋f(x－3)＞0⇔f(2x)＞－f(x－3)＝f(3－x)⇒2x＜3－x⇒x＜1，所以原不等式的解集为(－∞，1)． 视角3　综合应用 例3－3　已知f(x)＝是定义在R上的奇函数． (1) 求f(x)的解析式； 【解答】　因为f(x)＝是定义在R上的奇函数，所以有f(0)＝0，即b＝1．又由f(－1)＝－f(1) ，可得t＝，所以f(x)＝＝，而此时f(－x)＝＝＝＝－f(x)，所以b＝1，t＝满足题意，f(x)＝． (2) 已知0＜a＜1，若对于任意的x∈[1，＋∞)，存在m∈[－2，1]，使得f(x)－x2＋2x＋≤am+1成立，求实数a的取值范围． 【解答】　令g(x)＝f(x)－x2＋2x＋＝－(x－1)2＋．因为y＝3x＋1＞0且单调递增，所以y＝在[1，＋∞)上单调递减．因为y＝－(x－1)2＋在[1，＋∞)上单调递减，所以g(x)在[1，＋∞)上单调递减且g(x)max＝g(1)＝2．令h(m)＝am+1(－2≤m≤1)，对任意的x∈[1，＋∞)，存在m∈[－2，1]，使得f(x)－x2＋2x＋≤am+1成立，等价于g(x)max≤h(m)max，即2≤h(m)max．因为0＜a＜1，所以h(m)＝am+1在[－2，1]上单调递减，所以h(m)max＝h(－2)＝，故≥2，解得0＜a≤．综上所述，实数a的取值范围为． 随堂内化 1．(2025·新乡二模)3+＝(　A　) A．16　 B．8 C．32　 D．16 【解析】 由3+＝3+＝2(3－)(3+)＝24＝16． 2．若x满足不等式2x2＋1≤x－2，则函数y＝2x的值域是(　B　) A．　 B． C．　 D．[2，＋∞) 【解析】 由2x2＋1≤x－2可得2x2＋1≤x－2＝2－2(x－2)，因为y＝2x在R上单调递增，所以x2＋1≤－2x＋4，即x2＋2x－3≤0，解得－3≤x≤1，所以2－3≤y＝2x≤21，即函数y＝2x的值域是． 3．(2025·安庆二模)若函数f(x)＝a·2－＋b的图象经过原点，且无限接近直线y＝2但又不与该直线相交，则(　D　) A．函数f(x)不具有奇偶性 B．a＝2 C．函数f(x)的值域为(－∞，2) D．函数f(x)的单调递增区间为[0，＋∞) 【解析】 因为f(x)的定义域为R，且f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，A错误；由函数f(x)的图象过原点，有f(0)＝0，即a＋b＝0，所以f(x)＝a(2－－1)．由于－1＜2－－1≤0，f(x)的图象无限接近直线y＝2但又不与该直线相交，故a＜0，且0≤a(2－－1)＜－a，故a＝－2，B，C错误；由上面的分析可得函数f(x)＝－2·2－＋2＝显然f(x)的单调递增区间为[0，＋∞)，故D正确． 4．(2025·聊城一模)设实数a＞0，函数f(x)＝为奇函数，则f(lg 3)＝__2__． 【解析】 因为a＞0，且函数f(x)＝为奇函数，所以f(－x)＝＝＝＝－f(x)＝－，整理可得(a2－1)10x＝0，则a2－1＝0．又a＞0，解得a＝1，所以f(x)＝，故f(lg 3)＝＝＝2． 配套精练 一、单项选择题 1．已知a＝0.30.6，b＝0.30.5，c＝0.40.5，则(　D　) A．a＞b＞c　 B．a＞c＞b C．b＞c＞a　 D．c＞b＞a 【解析】方法一：由指数函数y＝0.3x在定义域内单调递减，得a＜b．由幂函数y＝x0.5在定义域内单调递增，得c＞b．综上，c＞b＞a．方法二：因为＝0.30.1＜1，且＝＜1，又a，b，c都为正数，所以c＞b＞a． 2．设函数f(x)＝3|a－2x|在区间(1，2)上单调递减，则a的取值范围是(　D　) A．(－∞，2]　 B．(－∞，4] C．[2，＋∞)　 D．[4，＋∞) 【解析】 函数y＝3x在R上单调递增，而函数f(x)＝3|a－2x|在区间(1，2)上单调递减，所以y＝|a－2x|在区间(1，2)上单调递减，所以a－2×2≥0，即a≥4． 3．(2025·杭州期末)已知函数f(x)＝2x＋m·2－x(m∈R)是奇函数，则下列关系正确的是(　A　) A．f(1)＜f(2)　 B．f(1)＞f(2) C．f(2)＝2f(1)　 D．f(2)＝＋f(1) 【解析】 因为f(x)＝2x＋m·2－x(m∈R)是奇函数，所以f(0)＝0，即m＝－1(经检验满足要求)，此时f(x)＝2x－2－x在R上单调递增，所以f(1)＜f(2)．又f(1)＝，f(2)＝，故f(2)≠2f(1)，且f(2)≠＋f(1)． 4．(2025·漳州三模)某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气中的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系为P＝P0e－kt，其中P0＞0，k＞0．若在前5 h内消除了10%的污染物，则15 h后污染物含量还剩余(　D　) A．70%　 B．85% C．81%　 D．72.9% 【解析】 当t＝0时，P＝P0·e－k·0＝P0；当t＝5时，＝0.9，即e－5k＝0.9；当t＝15时，＝e－15k＝(e－5k)3＝0.93＝0.729＝72.9%． 5．(2025·德州模拟)设f(x)＝则满足f(1－x)＞f(2x)的x的取值范围是(　D　) A．(－∞，－1]　 B．(0，＋∞) C．(－1，0)　 D．(－∞，0) 【解析】 当x≤1时，f(x)＝ex－1＋x单调递增，故f(x)max＝e1－1＋1＝2；当x＞1时，由对勾函数得f(x)＝x＋在(1，＋∞)上单调递增，且f(x)＞f(1)＝2．综上，f(x)＝单调递增．因为f(1－x)＞f(2x)，所以1－x＞2x，即2x＋x－1＜0．设h(x)＝2x＋x－1，可知h(x)单调递增，且h(0)＝0，故x＜0． 二、多项选择题 6．(2025·绍兴模拟)已知函数f(x)＝，则下列结论错误的是(　ABC　) A．当λ＝1时，f(x)是偶函数，且在区间(0，1)上单调递增 B．当λ＝1时，f(x)是奇函数，且在区间(0，1)上单调递减 C．当λ＝－1时，f(x)是偶函数，且在区间(0，1)上单调递减 D．当λ＝－1时，f(x)是奇函数，且在区间(0，1)上单调递增 【解析】 对于A，B，当λ＝1时，f(x)＝，其定义域为R，f(－x)＝＝＝f(x)，故f(x)为偶函数．又f(x)＝＝，当x∈(0，1)时，令t＝ex∈(1，e)，因为y＝t＋在t∈(1，e)上单调递增，t＝ex在x∈(0，1)上单调递增，故y＝ex＋e－x在(0，1)上单调递增，故f(x)＝在(0，1)上单调递减，故A，B错误．对于C，D，当λ＝－1时，f(x)＝，x≠0，f(－x)＝＝＝－f(x)，故f(x)为奇函数．又f(x)＝＝，当x∈(0，1)时，y＝e－x，y＝－ex均为减函数，故y＝e－x－ex为(0，1)上的减函数，故f(x)＝为(0，1)上的增函数，故C错误，D正确． 7．(2025·宁德质检)设函数f(x)＝，a，b，c∈R，且a＜b＜c，则下列说法正确的是(　ACD　) A．函数y＝f(x)有最小值0，无最大值 B．函数y＝f(x)的图象与直线y＝1有两个不同的交点 C．若f(a)＞f(c)＞f(b)，则2a＋2c＜2 D．若f(a)＝f(b)，则22a＋2b的取值范围是 【解析】 由题意作出f(x)的图象如图(1)所示．对于A，当x＝0时，f(x)min＝0，无最大值，故A正确；对于B，函数y＝f(x)的图象与直线y＝1只有一个交点，故B错误；对于C，由a＜b＜c，且f(a)＞f(c)＞f(b)可知，a，b，c在图象中的位置如图(1)所示，f(a)＜1，且a＜0，f(c)＜1，且c＞0，则0＜c＜1，则0＜f(c)＜f(a)＜1，所以2c－1＜1－2a，所以2a＋2c＜2，故C正确；对于D，由图(2)可知f(a)＜1，f(b)＜1，且a＜0，b＞0，则f(a)＝f(b)，即＝，则1－2a＝2b－1，2a＋2b＝2，所以2b＝2－2a，所以22a＋2b＝22a－2a＋2＝2＋，因为a＜0，所以0＜2a＜1，所以22a＋2b＝22a－2a＋2＝2＋∈，故D正确． 图(1) 图(2) 8．已知函数f(x)＝若x1＜x2＜x3，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，则(　ABD　) A．x2＋x3＝2 B．x1＜0＜x2＜1＜x3 C．|x3|＞|x1|＞|x2| D．0＜x2f(x1)≤ 【解析】 当x＜0时，函数f(x)＝2x单调递增，值域为(0，1)．当0≤x≤1时，函数f(x)＝1－x单调递减，值域为[0，1]；当x≥1时，函数f(x)＝x－1单调递增，值域为[0，＋∞)．令f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝t，x1＜x2＜x3，因此函数y＝f(x)的图象与直线y＝t有3个交点，显然0＜t＜1，作出函数y＝f(x)的图象与直线y＝t如图所示，观察图象知x1＜0＜x2＜1＜x3，B正确；由1－x2＝x3－1，得x2＋x3＝2，A正确；当x1＝－2时，t＝，由1－x2＝＝x3－1，得x2＝，x3＝，此时|x1|最大，C错误；显然x2∈(0，1)，则x2f(x1)＝x2f(x2)＝x2(1－x2)＝－＋∈，D正确． 三、填空题 9．化简：÷×＝__a__． 【解析】 原式＝÷(1－2ba－)×a＝××a ＝××a＝＝＝a． 10．(2026·德州期初)已知n＞0，函数f(x)＝，若f(x)＋f(－x)＝0，则m＋n＝__1__． 【解析】 令x＝0，可得f(0)＝＝0，所以m＝0，所以f(x)＝＝3(2n－1)x－3－x．又f(x)＋f(－x)＝0，所以f(－1)＝－f(1)，则31－2n－3＝－32n－1＋，即31－2n＋32n－1＝3＋．因为n＞0，所以2n－1＝1，解得n＝1，经验证f(x)＝＝3x－3－x满足题设，所以m＋n＝1． 11．已知函数f(x)＝a·4x－3·2x－1(a∈R)，若关于x的方程f(x)＝(1－a)·2x＋3有解，则a的取值范围为__(0，＋∞)__． 【解析】 方程f(x)＝(1－a)·2x＋3有解，即a·4x－3·2x－1＝(1－a)·2x＋3有解，即a·(4x＋2x)＝4·2x＋4有解，所以a＝＝＝有解．令g(x)＝＝x－2，则g(x)∈(0，＋∞)，所以a∈(0，＋∞)． 四、解答题 12．我们知道：设函数y＝f(x)的定义域为D，那么“函数y＝f(x)的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“∀x∈D，f(－x)＝－f(x)”．有同学发现可以将其推广为：设函数y＝f(x)的定义域为D，那么“函数y＝f(x)的图象关于点(m，n)成中心对称图形”的充要条件是“∀x∈D，f(2m－x)＋f(x)＝2n”． (1) 判断函数f(x)＝的奇偶性，并证明． 【解答】　函数f(x)为奇函数．证明如下：函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝＝＝＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数． (2) 判断函数g(x)＝的图象是否为中心对称图形，若是，求出其对称中心坐标；若不是，请说明理由． 【解答】　由3x+1－1≠0，得x≠－1，所以函数g(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，明显定义域仅关于点(－1，0)对称，故若函数g(x)＝的图象是中心对称图形，则其对称中心横坐标必为－1，设其对称中心为点(－1，n), 则由题意可知有∀x∈D，g(－2－x)＋g(x)＝2n．令x＝－2，可得2n＝g(0)＋g(－2)＝1－3＝－2，所以n＝－1，所以若函数g(x)为中心对称图形，其对称中心必为点(－1，－1)．下面论证函数g(x)＝的图象关于点(－1，－1)成中心对称图形，即只需证明∀x∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，g(－2－x)＋g(x)＝－2．因为g(－2－x)＋g(x)＝＋＝＋＝＋＝＝－2×＝－2，即得证． 13．已知函数f(x)的图象可由函数y＝ax－1＋2(a＞0且a≠1)的图象先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到，且f(2)＝16． (1) 求a的值； 【解答】 函数y＝ax－1＋2的图象向下平移2个单位长度后得到y＝ax－1的图象，再向左平移1个单位长度得到y＝ax的图象，所以f(x)＝ax．又f(2)＝a2＝16，所以a＝4(负值舍去)． (2) 若函数g(x)＝，证明：g(x)＋g(1－x)＝1； 【解答】 由(1)可知g(x)＝，所以g(x)＋g(1－x)＝＋＝＋＝＋＝＝1． (3) 若函数y1＝|f(x)＋m|与y2＝|f(－x)＋m|在区间[1，2]上都是单调的，且单调性相同，求实数m的取值范围． 【解答】 由(1)可知y1＝|4x＋m|，y2＝|4－x＋m|，若两函数在区间[1，2]上都是增函数，则在区间[1，2]上恒成立，可得解得－4≤m≤－．若两函数在区间[1，2]上都是减函数，则在区间[1，2]上恒成立，可得该不等式组无解．综上，实数m的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $