第2章 第9讲 二次函数与幂函数（word教参）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（提升版）

该高中数学讲义聚焦二次函数与幂函数高考核心考点，整合二次函数解析式、图象性质、幂函数定义及五种常见类型，通过激活思维、聚焦知识、题型突破、随堂内化及分层精练，系统梳理考点内在联系，指导解题方法，强化真题训练，助力学生突破难点。 资料采用分层教学与题型归类策略，如二次函数根分布问题通过例题变式训练，培养学生数学思维与逻辑推理能力。设置基础巩固与创新体验练习，配合即时反馈，帮助教师精准把控复习节奏，有效提升学生应考能力与数学素养。

第9讲　二次函数与幂函数 知识整合　体系重构 激活思维 1．已知幂函数f(x)的图象经过点，则f的值等于(　　) A．　 B．4 C．8　 D． 2．(教材经典题改编)若幂函数的图象过点(2，)，则它的单调递增区间为(　　) A．(－∞，0] B．[0，＋∞) C．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．R 3．(教材经典题改编)若函数f(x)＝4x2－kx－8在上是减函数，则实数k的取值范围是______． 4．已知函数f(x)＝3x2－2(m＋3)x＋m＋3的值域为[0，＋∞)，那么实数m的取值范围为________． 5．已知函数f(x)＝x2＋ax－1在区间[0，3]上有最小值－2，那么实数a＝_____． 聚焦知识 1．二次函数解析式的三种形式 (1) 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (2) 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)； (3) 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 2．二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 图象 (抛物线) 定义域 __R__ 值域 ________ _________ 对称轴 x＝________ 顶点坐标 ____________ 奇偶性 当b＝0时是____函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上单调递____；在上单调递____ 在上单调递____；在上单调递____ 3．幂函数的定义 一般地，函数_________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 4．幂函数的性质 (1) 幂函数在_________上都有定义；(2) 幂函数的图象都过点__________；(3) 当α＞0时，幂函数的图象都过点________与_______，且在(0，＋∞)上单调____；(4) 当α＜0时，幂函数的图象都____点(0，0)，在(0，＋∞)上单调____． 5．五种常见幂函数 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 图象 性质 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上 单调递增 在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增 在R上 单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减 公共点 (1，1) 　　 题型突破　思维拓展 举题说法 幂函数 例1　(2026·太原期初)(多选)已知函数f(x)＝(m2＋m－1)xm是幂函数，则(　　) A．f(1)＝1　 B．m2＋m＝2 C．f(x)是偶函数 D．当f(2)＜2时，f(x)＝x－2 幂函数y＝xα的图象与性质一般从两个方面考查：(1) α的正负：当α＞0时，图象过原点和(1，1)，在第一象限的图象上升；当α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降．(2) 曲线在第一象限的凹凸性：当α＞1时，曲线下凹；当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＜0时，曲线下凹． 变式1　(多选)已知函数f(x)＝xα的图象经过点(4，2)，则下列说法正确的有(　　) A．f(x)为增函数 B．f(x)为偶函数 C．若x＞1，则f(x)＞1 D．若0＜x1＜x2，则＜f 二次函数的图象与性质 例 2－1　在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋4bx与幂函数y＝x(x＞0)图象的关系可能为(　　) 　　　 A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D 例 2－2　已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)满足f(x)＝0有两个实数根x1，x2． (1) 若a＝1，c＝b＋，x1≠x2，求实数b的取值范围； (2) 若f(0)＝1，f(1)＝0，记f(x)在x∈[－1，1]时的最小值为g(a)，求g(a)的表达式． 对二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当a＞0时，f(x)在区间[p，q]上的最大值是M，最小值是m，令x0＝：(1) 若－≤p，则m＝f(p)，M＝f(q)；(2) 若p＜－＜x0，则m＝f，M＝f(q)；(3) 若x0≤－＜q，则m＝f，M＝f(p)；(4) 若－≥q，则m＝f(q)，M＝f(p)． 变式2　(1) 已知二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，则＋的最小值为____． (2) 函数y＝－x2＋2ax＋2，x∈[－1，3]的最小值 ymin＝__________． (3) 已知f(x)＝x2－6x＋10在区间[a，a＋1]上的最大值为4，则实数a＝___． 二次方程根的分布 例3　(1) 若关于x的二次方程mx2＋(2m－1)x－m＋2＝0(m＞0)的两个互异的实数根都小于1，则实数m的取值范围是_________． (2) 已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0，若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，则实数m的取值范围是_______． (3) 已知关于x的方程ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a的取值范围是_______． 变式3　若方程x2＋ax－2＝0在区间[1，5]上有根，则实数a的取值范围为_________． 随堂内化 1．已知幂函数f(x)＝mxn的图象过点(，2)，设a＝f(m)，b＝f(n)，c＝f(ln 2)，则(　　) A．c＜b＜a　 B．c＜a＜b C．b＜c＜a　 D．a＜b＜c 2．(2025·韶关质检)已知幂函数f(x)＝(a－1)xn的图象过点(2，8)，且f(b－2)＜f(1－2b)，则b的取值范围是(　　) A．(0，1)　 B．(1，2) C．(－∞，1)　 D．(1，＋∞) 3．若函数f(x)＝x2－2ax＋1－a在[0，2]上的最小值为－1，则a＝(　　) A．2或　 B．1或 C．2　 D．1 4．若方程7x2－(m＋13)x－m－2＝0的一个根在区间(0，1)上，另一根在区间(1，2)上，则实数m的取值范围为__________． 配套精练 A组　夯基精练 一、单项选择题 1．如图，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是(　　) A．n＜m＜0　 B．m＜n＜0 C．n＞m＞0　 D．m＞n＞0 2．已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(1－x)＝f(x)，且f(x)的最大值是8，则此二次函数的解析式为f(x)＝(　　) A．－4x2＋4x＋7　 B．4x2＋4x＋7 C．－4x2－4x＋7　 D．－4x2＋4x－7 3．若a＝，b＝log，c＝3－，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＞b＞c　 B．b＞c＞a C．b＞a＞c　 D．c＞b＞a 4．在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝ax2＋x＋1和函数g(x)＝ax＋1的图象不可能是(　　) 　　　 A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D 二、多项选择题 5．已知幂函数f(x)＝xm，则(　　) A．f(－32)＝ B．f(x)的定义域是R C．f(x)是偶函数 D．不等式f(x－1)≥f(2)的解集是[－1，1)∪(1，3] 6．(2025·泉州质检)已知二次函数y＝(m－2)x2＋2mx＋m－3的图象与x轴有两个交点(x1，0)，(x2，0)，则下列说法正确的是(　　) A．该二次函数的图象一定过定点(－1，－5) B．若该函数图象开口向下，则m的取值范围为 C．当m＞2，且1≤x≤2时，y的最大值为4m－5 D．当m＞2，且－3＜x1＜－2，－1＜x2＜0时，m的取值范围为 三、填空题 7．为了落实“提速降费”的要求，某市移动公司欲下调移动用户的消费资费，已知该公司共有移动用户10万人，人均月消费50元．经测算，若人均月消费下降x%(x为正数)，则用户人数会增加万人．若要保证该公司月总收入不减少，则x的取值范围为____． 8．已知幂函数f(x)＝xp2－2p－3(p∈N*)的图象关于y轴对称，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减，实数a满足(a2－1)＜(3a＋3)，则实数a的取值范围是____． 9．(2025·合肥二模)已知函数f(x)＝的最小值为－1，则实数a＝____． 四、解答题 10．求实数m的取值范围，使关于x的方程x2＋2(m－1)x＋2m＋6＝0分别满足下列条件： (1) 有两个实根，且一个比2大，一个比2小； (2) 有两个实根α，β，且满足0＜α＜1＜β＜4； (3) 至少有一个正根． 11．已知二次函数f(x)满足f(x＋2)－f(x)＝4x＋6，且f(－1)＝0． (1) 求f(x)的解析式； (2) 记g(x)＝f(x)－x2－|2x－m|，m∈R，当x∈[m，m＋2]时，求g(x)的最大值(用m表示)． 12．(2026·镇江期初)已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a＞1)． (1) 若f(x)的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值； (2) 若g(x)＝＋f()，对任意的x∈[－1，1]，g(x)＞0恒成立，求实数a的取值范围． B组　创新题体验 13．(2025·八省联考)已知函数f(x)＝x|x－a|－2a2，若当x＞2时，f(x)＞0恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，1]　 B．[－2，1] C．[－1，2]　 D．[－1，＋∞) 14．(2025·潍坊调研)已知函数f(x)＝若c＝0，则f(x)的值域是_________；若f(x)的值域是，则实数c的取值范围是_______． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲　二次函数与幂函数 知识整合　体系重构 激活思维 1．已知幂函数f(x)的图象经过点，则f的值等于(　B　) A．　 B．4 C．8　 D． 【解析】 设幂函数f(x)＝xα，因为幂函数f(x)的图象经过点，所以2α＝，α＝－，所以f(x)＝x－，则f＝＝4． 2．(教材经典题改编)若幂函数的图象过点(2，)，则它的单调递增区间为(　B　) A．(－∞，0] B．[0，＋∞) C．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．R 【解析】 设幂函数为y＝xα，则2α＝，可得α＝，所以y＝x，则所求的单调递增区间为[0，＋∞)． 3．(教材经典题改编)若函数f(x)＝4x2－kx－8在上是减函数，则实数k的取值范围是__[2，＋∞)__． 【解析】 函数f(x)＝4x2－kx－8图象的对称轴为x＝，由于f(x)在上是减函数，所以≥⇒k≥2． 4．已知函数f(x)＝3x2－2(m＋3)x＋m＋3的值域为[0，＋∞)，那么实数m的取值范围为__{0，－3}__． 【解析】　由题意得Δ＝4(m＋3)2－4×3×(m＋3)＝0，则m＝0或m＝－3，所以实数m的取值范围是{0，－3}． 5．已知函数f(x)＝x2＋ax－1在区间[0，3]上有最小值－2，那么实数a＝___－2__． 【解析】　当－≤0，即a≥0时，函数在区间[0，3]上为增函数，故f(x)min＝f(0)＝－1，不符合题意，舍去；当－≥3，即a≤－6时，函数在区间[0，3]上为减函数，故f(x)min＝f(3)＝8＋3a＝－2，解得a＝－，与a≤－6矛盾，舍去；当0＜－＜3，即－6＜a＜0时，f(x)min＝f＝－2，解得a＝－2，经检验符合题意．故a＝－2． 聚焦知识 1．二次函数解析式的三种形式 (1) 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (2) 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)； (3) 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 2．二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 图象 (抛物线) 定义域 __R__ 值域 ____ ____ 对称轴 x＝__－__ 顶点坐标 ____ 奇偶性 当b＝0时是__偶__函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上单调递__减__；在上单调递__增__ 在上单调递__增__；在上单调递__减__ 3．幂函数的定义 一般地，函数__y＝xα__叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 4．幂函数的性质 (1) 幂函数在__(0，＋∞)__上都有定义；(2) 幂函数的图象都过点__(1，1)__；(3) 当α＞0时，幂函数的图象都过点__(0，0)__与__(1，1)__，且在(0，＋∞)上单调__递增__；(4) 当α＜0时，幂函数的图象都__不过__点(0，0)，在(0，＋∞)上单调__递减__． 5．五种常见幂函数 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 图象 性质 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上 单调递增 在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增 在R上 单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减 公共点 (1，1) 　　题型突破　思维拓展 举题说法 幂函数 例1　(2026·太原期初)(多选)已知函数f(x)＝(m2＋m－1)xm是幂函数，则(　ABD　) A．f(1)＝1　 B．m2＋m＝2 C．f(x)是偶函数 D．当f(2)＜2时，f(x)＝x－2 【解析】 由f(x)＝(m2＋m－1)xm是幂函数知m2＋m－1＝1，解得m＝1或－2，所以f(x)＝x或f(x)＝x－2，所以f(1)＝1，m2＋m＝2，故A，B正确．当m＝1时，f(x)＝x，f(x)是奇函数，故C错误．对于f(x)＝x－2，当x＝2时，f(2)＝＜2；对于f(x)＝x，当x＝2时，f(2)＝2＜2不成立，故当f(2)＜2时，f(x)＝x－2，故D正确． 幂函数y＝xα的图象与性质一般从两个方面考查：(1) α的正负：当α＞0时，图象过原点和(1，1)，在第一象限的图象上升；当α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降．(2) 曲线在第一象限的凹凸性：当α＞1时，曲线下凹；当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＜0时，曲线下凹． 变式1　(多选)已知函数f(x)＝xα的图象经过点(4，2)，则下列说法正确的有(　ACD　) A．f(x)为增函数 B．f(x)为偶函数 C．若x＞1，则f(x)＞1 D．若0＜x1＜x2，则＜f 【解析】 将点(4，2)代入函数f(x)＝xα，得2＝4α，则α＝，所以f(x)＝x．显然f(x)在定义域[0，＋∞)上为增函数，A正确；f(x)的定义域为[0，＋∞)，所以f(x)不具有奇偶性，B不正确；当x＞1时，＞1，即f(x)＞1，C正确；当0＜x1＜x2时，2－2＝2－2＝－＝＝－＜0，即＜f成立，D正确． 二次函数的图象与性质 例 2－1　在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋4bx与幂函数y＝x(x＞0)图象的关系可能为(　D　) 　　　 A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D 【解析】 因为二次函数y＝ax2＋4bx的对称轴为x＝－，当a＞0，b＞0时，二次函数的图象开口向上，对称轴x＝－＜0，幂函数y＝x(x＞0)在(0，＋∞)上单调递增，对于C，由题意可得此时－＝－2，得b＝a，所以幂函数y＝x＝x，图象为直线，故C不正确．当a＞0，b＜0时，二次函数的图象开口向上，对称轴x＝－＞0，幂函数y＝x(x＞0)在(0，＋∞)上单调递减，对于D，由题意可得此时－＝2，得b＝－a，所以幂函数y＝x＝x－1＝，图象为反比例函数的图象，满足题意，故D正确．当a＜0，b＞0时，二次函数的图象开口向下，对称轴x＝－＞0，幂函数y＝x(x＞0)在(0，＋∞)上单调递减，对于B，由题意可得此时－＝2，得b＝－a，所以幂函数y＝x＝x－1＝，图象为反比例函数的图象，不满足题意，故B不正确．当a＜0，b＜0时，二次函数的图象开口向下，对称轴x＝－＜0，幂函数y＝x(x＞0)在(0，＋∞)上单调递增，对于A，由题意可得此时－＝－1，则＝，所以幂函数y＝x＝x，当x＞1时，图象在直线y＝x下方，不满足题意，故A不正确． 例 2－2　已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)满足f(x)＝0有两个实数根x1，x2． (1) 若a＝1，c＝b＋，x1≠x2，求实数b的取值范围； 【解答】 (1) 由已知x2＋bx＋b＋＝0有两个不等实根，得Δ＝b2－4＞0，解得b＜－1或b＞5，即实数b的取值范围为(－∞，－1)∪(5，＋∞)． (2) 若f(0)＝1，f(1)＝0，记f(x)在x∈[－1，1]时的最小值为g(a)，求g(a)的表达式． 【解答】 由f(0)＝c＝1，可知f(x)＝ax2＋bx＋1．又f(1)＝a＋b＋1＝0，故b＝－a－1，显然a≠0，所以f(x)＝ax2－(a＋1)x＋1＝a－．当a＞0时，f(x)的图象是开口向上的抛物线，当a≥1时，－1＜≤1，则g(a)＝－；当0＜a＜1时，＞1，则g(a)＝f(1)＝0．当a＜0时，f(x)的图象是开口向下的抛物线，当－1≤a＜0时，≤0，则g(a)＝f(1)＝0；当a＜－1时，＞0，则g(a)＝f(－1)＝2a＋2．综上，g(a)＝ 对二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当a＞0时，f(x)在区间[p，q]上的最大值是M，最小值是m，令x0＝：(1) 若－≤p，则m＝f(p)，M＝f(q)；(2) 若p＜－＜x0，则m＝f，M＝f(q)；(3) 若x0≤－＜q，则m＝f，M＝f(p)；(4) 若－≥q，则m＝f(q)，M＝f(p)． 变式2　(1) 已知二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，则＋的最小值为__4__． 【解析】 因为二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，所以f(x)的最小值是0，且a＞0，由二次函数性质得对称轴为x＝－＝－，所以f(x)的最小值为f＝a2－2×＋c＝c－，所以c－＝0，即c＝．故＋＝a＋≥2＝4，当且仅当a＝，即a＝2，c＝时取等号． (2) 函数y＝－x2＋2ax＋2，x∈[－1，3]的最小值 ymin＝____． 【解析】 函数y＝－x2＋2ax＋2开口向下，对称轴为x＝a．因为x∈[－1，3]，令y＝f(x)＝－x2＋2ax＋2，当a≤＝1时，ymin＝f(3)＝6a－7；当a＞1时，ymin＝f(－1)＝1－2a．所以函数y＝－x2＋2ax＋2，x∈[－1，3]的最小值ymin＝ (3) 已知f(x)＝x2－6x＋10在区间[a，a＋1]上的最大值为4，则实数a＝__2＋或3－__． 【解析】 f(x)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，因为y＝f(x)在区间[a，a＋1]上的最大值为4，当a＋≥3，即a≥时，f(x)max＝f(a＋1)＝(a＋1－3)2＋1＝4⇒a＝2＋；当a＋＜3，即a＜时，f(x)max＝f(a)＝(a－3)2＋1＝4⇒a＝3－．综上，a＝2＋或a＝3－． 二次方程根的分布 例3　(1) 若关于x的二次方程mx2＋(2m－1)x－m＋2＝0(m＞0)的两个互异的实数根都小于1，则实数m的取值范围是____． 【解析】 由关于x的二次方程mx2＋(2m－1)x－m＋2＝0(m＞0)的两个互异的实数根都小于1，则即解得m＞． (2) 已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0，若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，则实数m的取值范围是____． 【解析】 设f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1，问题转化为抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在(－1，0)和(1，2)内，则解得－＜m＜－． (3) 已知关于x的方程ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a的取值范围是__(－3，0)__． 【解析】 显然a≠0，关于x的方程ax2＋x＋2＝0对应的二次函数为f(x)＝ax2＋x＋2(对开口方向进行讨论，分a＞0和a＜0)．①若a＞0，即图象开口向上，ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，只需f(0)＜0且f(1)＜0，即2＜0且a＋3＜0，则a∈∅(或由f(0)＝2，结合图象也可知a＞0不合题意)．②若a＜0，即图象开口向下，ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，只需f(0)＞0且f(1)＞0，即2＞0且a＋3＞0，则－3＜a＜0．综上，实数a的取值范围是(－3，0)． 变式3　若方程x2＋ax－2＝0在区间[1，5]上有根，则实数a的取值范围为____． 【解析】方法一：由题意，令f(x)＝x2＋ax－2，若方程在区间[1，5]上有两个实根，则即即不等式组无解．若方程在区间[1，5]上有一个实根，则f(1)·f(5)≤0，即(a－1)(5a＋23)≤0，解得－≤a≤1．综上，－≤a≤1． 方法二：由于x∈[1，5]，所以方程x2＋ax－2＝0可化为a＝－x＋．令g(x)＝－x＋，x∈[1，5]，显然g(x)为[1，5]上的减函数，所以g(5)≤g(x)≤g(1)，又g(5)＝－，g(1)＝1，所以－≤g(x)≤1，即－≤a≤1． 随堂内化 1．已知幂函数f(x)＝mxn的图象过点(，2)，设a＝f(m)，b＝f(n)，c＝f(ln 2)，则(　B　) A．c＜b＜a　 B．c＜a＜b C．b＜c＜a　 D．a＜b＜c 2．(2025·韶关质检)已知幂函数f(x)＝(a－1)xn的图象过点(2，8)，且f(b－2)＜f(1－2b)，则b的取值范围是(　C　) A．(0，1)　 B．(1，2) C．(－∞，1)　 D．(1，＋∞) 3．若函数f(x)＝x2－2ax＋1－a在[0，2]上的最小值为－1，则a＝(　D　) A．2或　 B．1或 C．2　 D．1 【解析】 函数f(x)＝x2－2ax＋1－a图象的对称轴为x＝a，图象开口向上，当a≤0时，函数f(x)在[0，2]上单调递增，则f(x)min＝f(0)＝1－a＝－1，解得a＝2，不符合a≤0；当0＜a＜2时，f(x)min＝f(a)＝a2－2a2＋1－a＝－a2－a＋1＝－1，解得a＝－2或a＝1，又0＜a＜2，所以a＝1符合；当a≥2时，函数f(x)＝x2－2ax＋1－a在[0，2]上单调递减，所以f(x)min＝f(2)＝4－4a＋1－a＝5－5a＝－1，解得a＝，又a≥2，所以a＝不符合．综上，a＝1． 4．若方程7x2－(m＋13)x－m－2＝0的一个根在区间(0，1)上，另一根在区间(1，2)上，则实数m的取值范围为__(－4，－2)__． 【解析】 设函数f(x)＝7x2－(m＋13)x－m－2，因为方程7x2－(m＋13)x－m－2＝0的一个根在区间(0，1)上，另一根在区间(1，2)上，所以即所以－4＜m＜－2． 配套精练 A组　夯基精练 一、单项选择题 1．如图，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是(　A　) A．n＜m＜0　 B．m＜n＜0 C．n＞m＞0　 D．m＞n＞0 2．已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(1－x)＝f(x)，且f(x)的最大值是8，则此二次函数的解析式为f(x)＝(　A　) A．－4x2＋4x＋7　 B．4x2＋4x＋7 C．－4x2－4x＋7　 D．－4x2＋4x－7 【解析】 由f(1－x)＝f(x)，得f(x)的对称轴为直线x＝，设二次函数为f(x)＝a＋k(a≠0)．因为f(x)的最大值是8，所以a＜0，当x＝时，f＝k＝8，即二次函数f(x)＝a＋8(a＜0)．由f(2)＝－1，得f(2)＝a＋8＝－1，解得a＝－4，则二次函数f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7． 3．若a＝，b＝log，c＝3－，则a，b，c的大小关系为(　C　) A．a＞b＞c　 B．b＞c＞a C．b＞a＞c　 D．c＞b＞a 【解析】 b＝log＞log＝1，a＝＝＝＞＝＝c，而a＝＜1，所以a，b，c的大小关系为b＞a＞c． 4．在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝ax2＋x＋1和函数g(x)＝ax＋1的图象不可能是(　C　) 　　　 A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D 【解析】 若a＝0，则f(x)＝x＋1，g(x)＝1，A可能；若a＜0，则f(x)的图象开口向下，过点(0，1)，对称轴为x＝－＞0，g(x)的图象过点(0，1)和，且－＜－，B可能；若0＜a＜，则f(x)的图象开口向上，与x轴有两个交点，过点(0，1)，对称轴为x＝－＜0，g(x)的图象过点(0，1)和，且－＞－，C不可能；若a＞，则f(x)的图象开口向上，与x轴没有交点，过点(0，1)，对称轴为x＝－＜0，g(x)的图象过点(0，1)和，且－＞－，D可能． 二、多项选择题 5．已知幂函数f(x)＝xm，则(　ACD　) A．f(－32)＝ B．f(x)的定义域是R C．f(x)是偶函数 D．不等式f(x－1)≥f(2)的解集是[－1，1)∪(1，3] 6．(2025·泉州质检)已知二次函数y＝(m－2)x2＋2mx＋m－3的图象与x轴有两个交点(x1，0)，(x2，0)，则下列说法正确的是(　ABD　) A．该二次函数的图象一定过定点(－1，－5) B．若该函数图象开口向下，则m的取值范围为 C．当m＞2，且1≤x≤2时，y的最大值为4m－5 D．当m＞2，且－3＜x1＜－2，－1＜x2＜0时，m的取值范围为 【解析】 由y＝(m－2)x2＋2mx＋m－3可得y＝m(x＋1)2－2x2－3，当x＝－1时，y＝－5，故二次函数的图象一定过定点(－1，－5)，A正确；若该函数图象开口向下，且与x轴有两个不同交点，则解得＜m＜2，故B正确；当m＞2时，函数图象开口向上，对称轴为x＝－＜0，故函数在[1，2]上单调递增，当x＝2时，y＝9m－11，故y的最大值为9m－11，C错误；当m＞2时，函数图象开口向上，又－3＜x1＜－2，－1＜x2＜0，则x＝－3时，y＝4m－21＞0，当x＝－2时，y＝m－11＜0，当x＝－1时，y＝－5＜0，当x＝0时，y＝m－3＞0，解得＜m＜11，故实数m的取值范围为，D正确． 三、填空题 7．为了落实“提速降费”的要求，某市移动公司欲下调移动用户的消费资费，已知该公司共有移动用户10万人，人均月消费50元．经测算，若人均月消费下降x%(x为正数)，则用户人数会增加万人．若要保证该公司月总收入不减少，则x的取值范围为__(0，20]__． 【解析】 设该公司下调消费资费后的月总收入为y元，则y＝50，要保证该公司月总收入不减少，则50≥10×50，解得0≤x≤20．因为x为正数，所以x的取值范围为(0，20]． 8．已知幂函数f(x)＝xp2－2p－3(p∈N*)的图象关于y轴对称，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减，实数a满足(a2－1)＜(3a＋3)，则实数a的取值范围是__(－1，4)__． 【解析】 由于幂函数f(x)＝xp2－2p－3(p∈N*)在(0，＋∞)上单调递减，所以p2－2p－3＜0，解得－1＜p＜3．因为p∈N*，所以p＝1或p＝2．当p＝1时，f(x)＝x－4为偶函数，满足条件；当p＝2时，f(x)＝x－3为奇函数，不满足条件，则p＝1．不等式(a2－1)＜(3a＋3)，即(a2－1)＜(3a＋3)，因为y＝x在R上为增函数，所以a2－1＜3a＋3，解得－1＜a＜4． 9．(2025·合肥二模)已知函数f(x)＝的最小值为－1，则实数a＝__±2__． 【解析】 若a≤1，如图(1)，则x＞1时，f(x)＝x－2a＋1，且单调递增，当x≤1时，f(x)＝x2－2ax＋3，则最小值为f(a)＝－a2＋3．若f(x)存在最小值－1，则有－a2＋3≤1－2a＋1且－a2＋3＝－1，得a＝－2．若a＞1，如图(2)，且1＜x＜a时，f(x)＝－x＋1，当x≥a＞1时，f(x)＝x－2a＋1，当x≤1时，f(x)＝x2－2ax＋3，且单调递减，f(1)＝4－2a，f(a)＝1－a．若最小值为f(1)，则4－2a＝－1，且4－2a≤1－a，无解；若最小值为f(a)，则1－a＝－1，且4－2a＞1－a，解得a＝2．综上所述，a＝－2或a＝2． 图(1) 图(2) 四、解答题 10．求实数m的取值范围，使关于x的方程x2＋2(m－1)x＋2m＋6＝0分别满足下列条件： (1) 有两个实根，且一个比2大，一个比2小； (2) 有两个实根α，β，且满足0＜α＜1＜β＜4； (3) 至少有一个正根． 【解答】　设y＝f(x)＝x2＋2(m－1)x＋2m＋6． (1) 依题意有f(2)＜0，即4＋4(m－1)＋2m＋6＜0，得m＜－1，即实数m的取值范围为(－∞，－1)． (2) 依题意有解得－＜m＜－，即实数m的取值范围为． (3) 方程至少有一个正根，则有三种可能：①有两个正根，此时可得即所以－3＜m≤－1；②有一个正根，一个负根，此时可得f(0)＜0，得m＜－3；③有一个正根，另一根为0，此时可得所以m＝－3．综上，实数m的取值范围为(－∞，－1]． 11．已知二次函数f(x)满足f(x＋2)－f(x)＝4x＋6，且f(－1)＝0． (1) 求f(x)的解析式； 【解答】 设f(x)＝ax2＋bx＋c，a≠0，由f(x＋2)－f(x)＝4x＋6，得a(x＋2)2＋b(x＋2)＋c－(ax2＋bx＋c)＝4x＋6，即4ax＋4a＋2b＝4x＋6，因此解得f(x)＝x2＋x＋c．由f(－1)＝0，得c＝0，所以函数f(x)的解析式是f(x)＝x2＋x． (2) 记g(x)＝f(x)－x2－|2x－m|，m∈R，当x∈[m，m＋2]时，求g(x)的最大值(用m表示)． 【解答】 由(1)知，g(x)＝x－|2x－m|＝当m≥0时，m≥，g(x)＝－x＋m在[m，m＋2]上单调递减，g(x)max＝g(m)＝0．当m＜0时，若m＋2≤，即m≤－4，则g(x)＝3x－m在[m，m＋2]上单调递增，g(x)max＝g(m＋2)＝2m＋6；若－4＜m＜0，则m＋2－＝＋2＞0，m＜＜m＋2，则函数g(x)在上单调递增，在上单调递减，g(x)max＝g＝．综上，g(x)max＝ 12．(2026·镇江期初)已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a＞1)． (1) 若f(x)的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值； 【解答】　由函数f(x)＝x2－2ax＋5可知，对称轴为x＝a，因为a＞1，所以函数f(x)在[1，a]上单调递减．由f(x)的定义域和值域均是[1，a]，可得即解得a＝2． (2) 若g(x)＝＋f()，对任意的x∈[－1，1]，g(x)＞0恒成立，求实数a的取值范围． 【解答】　由f(x)＝x2－2ax＋5可知，对称轴为x＝a，在[－1，1]上单调递减，f(－1)＝1＋2a＋5＝6＋2a，由a＞1可知f(－1)＞0恒成立，当f(1)＝1－2a＋5＝6－2a＞0时，即1＜a＜3，f(x)在[－1，1]上恒大于零，则此时g(x)＝＋f()＝f(x)＋f()，因为当x∈[－1，1]时，|x|∈[0，1][－1，1]，故f(x)＞0且f(|x|)＞0，对任意x∈[－1，1]都有g(x)＞0恒成立；当a＝3时，f(1)＝0，则g(1)＝＋f()＝0，不符合题意；当a＞3时，因为f(0)＝5＞0且f(1)＝6－2a＜0，所以存在t∈(0，1)，使f(t)＝0，则当t＜x＜1时，f(x)＜0，＝－f(x)，此时g(x)＝＋f()＝－f(x)＋f(x)＝0，不符合题意．综上所述，实数a的取值范围为(1，3)． B组　创新题体验 13．(2025·八省联考)已知函数f(x)＝x|x－a|－2a2，若当x＞2时，f(x)＞0恒成立，则实数a的取值范围是(　B　) A．(－∞，1]　 B．[－2，1] C．[－1，2]　 D．[－1，＋∞) 【解析】 当a＞2，x＞2时，f(x)＝x|x－a|－2a2＝当2＜x＜a时，f(x)＝－x2＋ax－2a2，此时Δ＝a2－4×2a2＝－7a2＜0，所以f(x)＜0，不满足当x＞2时，f(x)＞0，故a＞2不符合题意．当0＜a≤2，x＞2时，由f(x)＝x|x－a|－2a2＝x2－ax－2a2＝(x－2a)(x＋a)＞0，解得x＞2a．由于x＞2时，f(x)＞0，故2a≤2，解得0＜a≤1；当a＝0，x＞2时，f(x)＝x2＞0恒成立，符合题意；当a＜0，x＞2时，由f(x)＝x|x－a|－2a2＝x2－ax－2a2＝(x－2a)(x＋a)＞0，解得x＞－a，由于x＞2时，f(x)＞0，故－a≤2，解得－2≤a＜0．综上，－2≤a≤1． 14．(2025·潍坊调研)已知函数f(x)＝若c＝0，则f(x)的值域是____；若f(x)的值域是，则实数c的取值范围是____． 【解析】 当c＝0，即x∈[－2，0]时，f(x)∈；当x∈(0，3]时，f(x)∈，所以f(x)的值域为．作出y＝x2＋x和y＝的图象如图所示，当f(x)＝－时，x＝－；当x2＋x＝2时，解得x＝1或x＝－2；当＝2时，x＝，由图象可知当f(x)的值域为时，需满足≤c≤1． 学科网（北京）股份有限公司 $