第2章 第8讲 函数的奇偶性与周期性（word教参）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（提升版）

该高中数学讲义围绕函数奇偶性与周期性高考核心考点，按定义、性质、应用逻辑构建知识体系，通过激活思维、聚焦知识、题型突破、真题训练等环节，系统梳理奇偶性判定、周期性应用等难点，体现复习教学的系统性和针对性。 资料融合教材经典题与高考真题，设计分层练习（A组夯基、B组提升），通过例题变式培养数学思维，如利用周期性结论快速求解区间函数值，有效提升学生解题效率，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第8讲　函数的奇偶性与周期性 知识整合　体系重构 激活思维 1．(教材经典题改编)(多选)下列函数是奇函数的是(　　) A．f(x)＝2x4＋3x2　 B．f(x)＝x3－2x C．f(x)＝x＋　 D．f(x)＝ 2．若一个奇函数的定义域为{－1，2，a，b}，则a＋b＝(　　) A．－1　 B．1 C．0　 D．2 3．(教材经典题改编)已知奇函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，且有最大值m，则y＝f(x)在[－b，－a]上单调____，且有最____值____． 4．(教材经典题改编)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－2)的值是____． 5．已知f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝则f＝____． 聚焦知识 1．奇偶性 定义：若______，则f(x)为偶函数；若________，则f(x)为奇函数． 这两个式子有意义的前提条件是：定义域关于原点对称． 性质：(1) 奇函数的图象关于________对称，偶函数的图象关于_______对称； (2) 若奇函数的定义域包含0，则必有f(0)＝____；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)； (3) 在关于y 轴对称的两个区间内，奇函数单调性____，偶函数单调性____． (4) 一般地：奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇×奇＝偶；偶×偶＝偶；奇×偶＝奇，除法相同． (5) 复合函数的奇偶性：内偶则偶，内奇同外． (6) 既奇又偶的函数只有一个y＝0，但定义域可以有无数个． 2．周期性 (1) 对定义域内任意x，存在非零常数T(T＞0)，使________成立，则T为f(x)的周期； (2) 若T存在最小值，则该值为最小正周期． 题型突破　思维拓展 举题说法 函数奇偶性的判定 例1　(1) 判断下列函数的奇偶性． ①f(x)＝＋； ②f(x)＝ ③f(x)＝loga(m≠0)； (2)(多选)如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数为奇函数的是(　　) A．g(x)＝x＋f(x) B．g(x)＝xf(x) C．g(x)＝x2＋f(x) D．g(x)＝x2f(x) 判断函数奇偶性的步骤：①求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称，若不对称，则既不是奇函数也不是偶函数；②验证f(－x)是否等于±f(x)，或验证其等价形式f(x)±f(－x)＝0或＝±1(f(x)≠0)是否成立． 变式1　设函数f(x)＝，则下列函数为奇函数的是(　　) A．f(x－1)－1　 B．f(x－1)＋1 C．f(x＋1)－1　 D．f(x＋1)＋1 函数奇偶性的应用 视角1　求值 例 2－1　(1)(2026·武汉期初)若函数f(x)＝是奇函数，则实数a＝(　　) A．1　 B．－1 C．2　 D．－2 (2)(2025·福州质检)已知y＝f(x)为定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝4x＋＋24．若f(x)≥a＋1对一切x≥0成立，则实数a的取值范围是____． (3)(2025·杭州质检)设函数y＝f(x)－x2是奇函数，若函数g(x)＝f(x)＋5，f(4)＝9，则g(－4)＝(　　) A．27　 B．28 C．29　 D．30 (4) 已知函数f(x)＝(a是不为0的常数)，当x∈[－2，2]时，函数f(x)的最大值与最小值的和为(　　) A．a＋3　 B．6 C．2　 D．3－a 变式 2－1　(1)(2025·岳阳质检)若函数f(x)＝k＋为奇函数，则k＝(　　) A．－　 B． C．－e　 D．e (2)(2025·泉州二检)已知定义在R上的函数f(x)＋1为奇函数，且f(－1)＝－2，则f(1)＝____． (3)(2025·新乡二模)若f(x)，g(x)分别为奇函数、偶函数，f(2)＋g(2)＝20，且f(x)－xg(x)＝x3，则f(－2)＋5g(－2)＝____． 视角2　解抽象不等式 例 2－2　(2026·漳州期初)已知定义在R上的奇函数f(x)满足：∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，＞1，若f(2)＝2，则不等式f(x)＞x的解集为____． 变式 2－2　(2025·邢台一模)设函数f(x)＝ln(1＋x4)－，则不等式f(2x)＞f(x＋1)的解集为_________． 函数的周期性 例3　(1)(2025·泰兴调研)已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[－2，0]时，f(x)＝x2＋x，则当x∈[4，6]时，f(x)等于(　　) A．x2－7x＋12　 B．－x2＋9x－20 C．－x2＋7x－12　 D．－x2＋9x＋20 (2)(2025·武汉2月调研)已知函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2)，若 f(1)＝2，f(11)＝3，则f(2 025)＝(　　) A．1　 B．－1 C．5　 D．－5 周期性的几个常用结论 对f(x)的定义域内任一自变量的值x，周期为T，则： (1) f(x＋a)＝f(x＋b)⇒f(x)为周期函数，其周期T＝|b－a|； (2) f(x＋a)＝－f(x)⇒f(x)的周期T＝2a； (3) f(x＋a)＝⇒f(x)的周期T＝2a； (4) f(x)＋f(x＋a)＝k(k为常数)⇒f(x)的周期T＝2a； (5) f(x)f(x＋a)＝k(k为常数)⇒f(x)的周期T＝2a． 变式3　(2026·泉州期初)若定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当0＜x≤1时，f(x)＝－x2＋x，则f＝(　　) A．－　 B．－ C．　 D． 随堂内化 1．(2025·新高考Ⅰ卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)＝5－2x，则f＝(　　) A．－　 B．－ C．　 D． 2．(2024·全国甲卷理)函数f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x在区间[－2.8，2.8]上的大致图象为(　　) 　　　　　　 A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D 3．(2025·苏锡常镇二模)已知函数f(x)和g(x)的定义域均为R，若f(x＋1)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)－g(x－2)＝2－x，则f(g(－1))＝(　　) A．－1　 B．0 C．1　 D．2 配套精练 A组　夯基精练 一、单项选择题 1．(2025·承德质检)若函数f(x)＝在[－1，1]上是奇函数，则f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝－　 B．f(x)＝ C．f(x)＝　 D．f(x)＝ 2．若定义在R上的函数f(x)是周期为2的偶函数，当0≤x≤1时，f(x)＝3－4x，则f＝(　　) A．2　 B．1 C．－2　 D．－1 3．(2026·镇江期初)下列函数为偶函数的是(　　) A．f(x)＝2x－2－x B．f(x)＝ C．f(x)＝x ln(x＋) D．f(x)＝－x3＋x 4．已知函数f(x)和g(x)均为奇函数，h(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在区间(0，＋∞)上有最大值5，那么h(x)在(－∞，0)上的最小值为(　　) A．－5　 B．－1 C．－3　 D．5 5．设函数f(x)＝－，则使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范围是(　　) A． B．∪(1，＋∞) C． D．∪ 二、多项选择题 6．(2025·徐州调研)若函数f(x)＝，则以下函数不为奇函数的是(　　) A．f(x－1)－2　 B．f(x－1)＋2 C．f(x＋1)＋2　 D．f(x＋1)－2 7．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝－1，则下列说法正确的有(　　) A．当x＞0时，f(x)＝1－ B．f(0)＝ C．不等式xf(x)＜0的解集为(－1，0)∪(0，1) D．若函数y＝|f(x)|－a的图象与x轴有4个不同的交点，则0＜a＜ 8．(2025·佛山二模)已知函数f(x)＝，则下列关于f(x)的说法中正确的有(　　) A．最小正周期为π B．是奇函数 C．在[0，π]上单调递增 D．最大值为1 三、填空题 9．(2023·全国甲卷理)若y＝(x－1)2＋ax＋sin 为偶函数，则a＝____． 10．(2026·黄冈期初)已知函数f(x)的定义域为R，y＝f(x)－sin x为偶函数，y＝f(x)＋2cos x为奇函数，则f(x)的最大值为_________． 11．(2025·张家口一模)已知定义在R上的函数f(x)满足以下条件：①f(x)＝f(2－x)；②f(x)＝－f(6－x)；③f(5)＝1．则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 025)＝_______． 四、解答题 12．设函数f(x)对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2． (1) 求证：f(x)为奇函数； (2) 求证：f(x)在R上是减函数； (3) 若f(2x＋5)＋f(6－7x)＞4，求x的取值范围； (4) 求f(x)在[－3，3]上的最大值与最小值． 13．设函数f(x)与g(x)的定义域是{x|x∈R且x≠±1}，f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝． (1) 求f(x)与g(x)的解析式； (2) 求f＋f＋f＋f(2)＋f(3)＋f(4)的值． B组　能力提升练 14．(2025·福州二模)(多选)定义在R上的函数f(x)，g(x)满足：①当x＞0时，f(x)＞0，且g(x)＞0；②g(x＋y)＝g(x)g(y)＋f(x)f(y)；③g(x－y)＝g(x)g(y)－f(x)f(y)，则(　　) A．g(0)＝1　 B．g(x)为偶函数 C．f(x)为奇函数　 D．f(x)为周期函数 15．(2025·德州期中)已知函数f(x)的定义域为R，f(x－1)＋f(x＋1)＝f(3)，f(－2x＋2)为偶函数，且f＝1，则f＝____，(k＋1)f＝____． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8讲　函数的奇偶性与周期性 知识整合　体系重构 激活思维 1．(教材经典题改编)(多选)下列函数是奇函数的是(　BC　) A．f(x)＝2x4＋3x2　 B．f(x)＝x3－2x C．f(x)＝x＋　 D．f(x)＝ 2．若一个奇函数的定义域为{－1，2，a，b}，则a＋b＝(　A　) A．－1　 B．1 C．0　 D．2 3．(教材经典题改编)已知奇函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，且有最大值m，则y＝f(x)在[－b，－a]上单调__递减__，且有最__小__值__－m__． 4．(教材经典题改编)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－2)的值是__－6__． 【解析】 由题知f(2)＝6，因为f(x)为奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－6． 5．已知f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝则f＝__1__． 【解析】　由题意得f＝f＝－4×＋2＝1． 聚焦知识 1．奇偶性 定义：若__f(－x)＝f(x)__，则f(x)为偶函数；若__f(－x)＝－f(x)__，则f(x)为奇函数． 这两个式子有意义的前提条件是：定义域关于原点对称． 性质：(1) 奇函数的图象关于__原点__对称，偶函数的图象关于__y轴__对称； (2) 若奇函数的定义域包含0，则必有f(0)＝__0__；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)； (3) 在关于y 轴对称的两个区间内，奇函数单调性__相同__，偶函数单调性__相反__． (4) 一般地：奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇×奇＝偶；偶×偶＝偶；奇×偶＝奇，除法相同． (5) 复合函数的奇偶性：内偶则偶，内奇同外． (6) 既奇又偶的函数只有一个y＝0，但定义域可以有无数个． 2．周期性 (1) 对定义域内任意x，存在非零常数T(T＞0)，使__f(x＋T)＝f(x)__成立，则T为f(x)的周期； (2) 若T存在最小值，则该值为最小正周期． 题型突破　思维拓展 举题说法 函数奇偶性的判定 例1　(1) 判断下列函数的奇偶性． ①f(x)＝＋； 【解答】　f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称．又f(x)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数． ②f(x)＝ 【解答】　f(x)的定义域为R，关于原点对称．当x＞0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；当x＜0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；当x＝0时，f(0)＝0，也满足f(－x)＝－f(x)．故该函数为奇函数． ③f(x)＝loga(m≠0)； 【解答】　f(x)的定义域为(－|m|，|m|)，f(－x)＝loga＝loga＝－loga＝－f(x)，所以f(x)为奇函数． (2)(多选)如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数为奇函数的是(　AD　) A．g(x)＝x＋f(x) B．g(x)＝xf(x) C．g(x)＝x2＋f(x) D．g(x)＝x2f(x) 【解析】　因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．对于A，g(－x)＝－x＋f(－x)＝－x－f(x)＝－g(x)，所以g(x)＝x＋f(x)是奇函数；对于B，g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，所以g(x)＝xf(x)是偶函数；对于C，g(－x)＝(－x)2＋f(－x)＝x2－f(x)，所以g(x)＝x2＋f(x)为非奇非偶函数；对于D，g(－x)＝(－x)2f(－x)＝－x2f(x)＝－g(x)，所以g(x)＝x2f(x)是奇函数． 判断函数奇偶性的步骤：①求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称，若不对称，则既不是奇函数也不是偶函数；②验证f(－x)是否等于±f(x)，或验证其等价形式f(x)±f(－x)＝0或＝±1(f(x)≠0)是否成立． 变式1　设函数f(x)＝，则下列函数为奇函数的是(　B　) A．f(x－1)－1　 B．f(x－1)＋1 C．f(x＋1)－1　 D．f(x＋1)＋1 【解析】 由题意可得f(x)＝＝－1＋．对于A，f(x－1)－1＝－2不是奇函数；对于B，f(x－1)＋1＝是奇函数；对于C，f(x＋1)－1＝－2，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，f(x＋1)＋1＝，定义域不关于原点对称，不是奇函数． 函数奇偶性的应用 视角1　求值 例 2－1　(1)(2026·武汉期初)若函数f(x)＝是奇函数，则实数a＝(　B　) A．1　 B．－1 C．2　 D．－2 【解析】　f(x)＝的定义域为R，由f(x)＝为奇函数，故f(0)＝＝＝0，解得a＝－1．当a＝－1时，f(－x)＝＝＝＝＝－f(x)，故a＝－1符合题意． (2)(2025·福州质检)已知y＝f(x)为定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝4x＋＋24．若f(x)≥a＋1对一切x≥0成立，则实数a的取值范围是__(－∞，－5]__． 【解析】　因为y＝f(x)为定义在R上的奇函数， 所以f(0)＝0．当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝－4x＋＋24＝－f(x)，所以f(x)＝4x＋－24≥4|a|－24，当且仅当x＝|a|时等号成立．由f(x)≥a＋1对一切x≥0成立，则解得a≤－5． (3)(2025·杭州质检)设函数y＝f(x)－x2是奇函数，若函数g(x)＝f(x)＋5，f(4)＝9，则g(－4)＝(　B　) A．27　 B．28 C．29　 D．30 【解析】　由函数y＝f(x)－x2是奇函数可知f(x)－x2＋f(－x)－(－x)2＝0，因此可得f(x)＋f(－x)＝2x2．又g(x)＝f(x)＋5，因此g(4)＝f(4)＋5，g(－4)＝f(－4)＋5；两式相加可得g(4)＋g(－4)＝f(4)＋5＋f(－4)＋5＝2×42＋10＝42．又g(4)＝f(4)＋5＝14，因此g(－4)＝42－14＝28． (4) 已知函数f(x)＝(a是不为0的常数)，当x∈[－2，2]时，函数f(x)的最大值与最小值的和为(　B　) A．a＋3　 B．6 C．2　 D．3－a 【解析】　函数f(x)＝＝＋＋3，设g(x)＝＋，则g(x)在x∈[－2，2]上是奇函数，且为单调函数，所以g(－2)＋g(2)＝0．当x∈[－2，2]时，函数f(x)的最大值与最小值的和为f(2)＋f(－2)＝[g(2)＋3]＋[g(－2)＋3]＝6． 变式 2－1　(1)(2025·岳阳质检)若函数f(x)＝k＋为奇函数，则k＝(　B　) A．－　 B． C．－e　 D．e 【解析】　令ex－1≠0，可得x≠0，即函数f(x)的定义域为．若函数f(x)为奇函数，则f(x)＋f(－x)＝0，可得f(x)＋f(－x)＝k＋＋k＋＝2k＋－＝2k－e＝0，所以k＝． (2)(2025·泉州二检)已知定义在R上的函数f(x)＋1为奇函数，且f(－1)＝－2，则f(1)＝__0__． 【解析】　因为函数f(x)＋1为奇函数，所以f(－x)＋1＝－[f(x)＋1]⇔f(－x)＋f(x)＝－2．令x＝1有f(－1)＋f(1)＝－2，又f(－1)＝－2，所以f(1)＝0． (3)(2025·新乡二模)若f(x)，g(x)分别为奇函数、偶函数，f(2)＋g(2)＝20，且f(x)－xg(x)＝x3，则f(－2)＋5g(－2)＝__4__． 【解析】　依题意得f(2)－2g(2)＝8，又f(2)＋g(2)＝20，解得f(2)＝16，g(2)＝4，所以f(－2)＋5g(－2)＝－f(2)＋5g(2)＝－16＋20＝4． 视角2　解抽象不等式 例 2－2　(2026·漳州期初)已知定义在R上的奇函数f(x)满足：∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，＞1，若f(2)＝2，则不等式f(x)＞x的解集为__(－2，0)∪(2，＋∞)__． 【解析】　因为∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，＞1，设g(x)＝f(x)－x，则＞0．根据单调性的定义可得，g(x)在(0，＋∞)上单调递增．因为f(x)在R上为奇函数，所以g(－x)＝f(－x)－(－x)＝－f(x)＋x＝－[f(x)－x]＝－g(x)，所以g(x)在R上为奇函数，所以g(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，因为f(2)＝2，所以g(2)＝f(2)－2＝0，则g(－2)＝－g(2)＝0，所以g(x)＝f(x)－x＞0的解集为(－2，0)∪(2，＋∞)，即f(x)＞x的解集为(－2，0)∪(2，＋∞)． 变式 2－2　(2025·邢台一模)设函数f(x)＝ln(1＋x4)－，则不等式f(2x)＞f(x＋1)的解集为__∪(1，＋∞)__． 【解析】　因为f(x)＝ln(1＋x4)－的定义域为R，且f(－x)＝ln(1＋x4)－＝f(x)，所以f(x)为偶函数．当x＞0时，y＝1＋x4与y＝ln x，y＝－与y＝1＋3x均在(0，＋∞)上单调递增，所以y＝ln(1＋x4)与y＝－均在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则不等式f(2x)＞f(x＋1)等价于＞，即(2x)2＞(x＋1)2，解得x＞1或x＜－，即不等式f(2x)＞f(x＋1)的解集为∪(1，＋∞)． 函数的周期性 例3　(1)(2025·泰兴调研)已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[－2，0]时，f(x)＝x2＋x，则当x∈[4，6]时，f(x)等于(　B　) A．x2－7x＋12　 B．－x2＋9x－20 C．－x2＋7x－12　 D．－x2＋9x＋20 【解析】　由题意知f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数．又当x∈[－2，0]时，f(x)＝x2＋x，且f(x)是定义在R上的奇函数，所以x∈[0，2]时，－x∈[－2，0]，f(x)＝－f(－x)＝－(x2－x)＝－x2＋x．所以当x∈[4，6]时，x－4∈[0，2]，f(x)＝f(x－4)＝－(x－4)2＋(x－4)＝－x2＋9x－20． (2)(2025·武汉2月调研)已知函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2)，若 f(1)＝2，f(11)＝3，则f(2 025)＝(　D　) A．1　 B．－1 C．5　 D．－5 【解析】　由题意可得f(x＋2)＝f(x＋1)－f(x)，用x＋1代替x得f(x＋3)＝f(x＋2)－f(x＋1)，两式相加得f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以函数f(x)是以6为周期的周期函数，所以f(11)＝f(5)＝3．又f(5)＝－f(2)，所以f(2)＝－3，所以f(3)＝f(2)－f(1)＝－3－2＝－5，所以f(2 025)＝f(337×6＋3)＝f(3)＝－5． 周期性的几个常用结论 对f(x)的定义域内任一自变量的值x，周期为T，则： (1) f(x＋a)＝f(x＋b)⇒f(x)为周期函数，其周期T＝|b－a|； (2) f(x＋a)＝－f(x)⇒f(x)的周期T＝2a； (3) f(x＋a)＝⇒f(x)的周期T＝2a； (4) f(x)＋f(x＋a)＝k(k为常数)⇒f(x)的周期T＝2a； (5) f(x)f(x＋a)＝k(k为常数)⇒f(x)的周期T＝2a． 变式3　(2026·泉州期初)若定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当0＜x≤1时，f(x)＝－x2＋x，则f＝(　B　) A．－　 B．－ C．　 D． 【解析】　因为f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是周期函数，2是其一个周期，所以f＝f＝f．因为f＝－f＝－＝－，所以f＝－． 随堂内化 1．(2025·新高考Ⅰ卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)＝5－2x，则f＝(　A　) A．－　 B．－ C．　 D． 【解析】　f＝f＝f＝5－2×＝－． 2．(2024·全国甲卷理)函数f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x在区间[－2.8，2.8]上的大致图象为(　B　) 　　　　　　 A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D 【解析】　由f(－x)＝－x2＋(e－x－ex)sin(－x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x＝f(x)，又函数的定义域为[－2.8，2.8]，故该函数为偶函数，排除A，C．又f(1)＝－1＋sin 1＞－1＋sin ＝－1－＞－＞0，故可排除D． 3．(2025·苏锡常镇二模)已知函数f(x)和g(x)的定义域均为R，若f(x＋1)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)－g(x－2)＝2－x，则f(g(－1))＝(　D　) A．－1　 B．0 C．1　 D．2 【解析】　由f(x＋1)是奇函数，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)．令x＝0，可得f(1)＝－f(1)，可得f(1)＝0．在f(x)－g(x－2)＝2－x中，令x＝1，得f(1)－g(－1)＝1，所以g(－1)＝－1；令x＝3，得f(3)－g(1)＝－1，所以f(3)＝g(1)－1＝g(－1)－1＝－2，所以f(g(－1))＝f(－1)＝f(－2＋1)＝－f(2＋1)＝－f(3)＝2． 配套精练 A组　夯基精练 一、单项选择题 1．(2025·承德质检)若函数f(x)＝在[－1，1]上是奇函数，则f(x)的解析式为(　B　) A．f(x)＝－　 B．f(x)＝ C．f(x)＝　 D．f(x)＝ 2．若定义在R上的函数f(x)是周期为2的偶函数，当0≤x≤1时，f(x)＝3－4x，则f＝(　B　) A．2　 B．1 C．－2　 D．－1 【解析】　由题知f＝f＝f＝f＝3－4＝3－2＝1． 3．(2026·镇江期初)下列函数为偶函数的是(　C　) A．f(x)＝2x－2－x B．f(x)＝ C．f(x)＝x ln(x＋) D．f(x)＝－x3＋x 【解析】　对于A，函数定义域为R，f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故A错误；对于B，由2x－1≠0可得x≠0，所以函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又f(－x)＝＝＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故B错误；对于C，函数的定义域为R，f(－x)＝－x ln(－x＋)＝－x ln ＝－x ln ＝x ln(x＋)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故C正确；对于D，函数的定义域为R，f(－x)＝－(－x)3＋(－x)＝x3＋x≠f(x)，所以f(x)不是偶函数，故D错误． 4．已知函数f(x)和g(x)均为奇函数，h(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在区间(0，＋∞)上有最大值5，那么h(x)在(－∞，0)上的最小值为(　B　) A．－5　 B．－1 C．－3　 D．5 【解析】　令F(x)＝h(x)－2＝af(x)＋bg(x)，则F(x)为奇函数．因为x∈(0，＋∞)时，h(x)≤5，所以x∈(0，＋∞)时，F(x)＝h(x)－2≤3．又x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，所以F(－x)≤3⇔－F(x)≤3⇔F(x)≥－3，所以h(x)≥－3＋2＝－1． 5．设函数f(x)＝－，则使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范围是(　A　) A． B．∪(1，＋∞) C． D．∪ 【解析】　由题意知，f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x－，所以f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以由f(x)＞f(2x－1)，得f(|x|)＞f(|2x－1|)，所以|x|＞|2x－1|，所以x2＞4x2－4x＋1，解得＜x＜1，所以x的取值范围是． 二、多项选择题 6．(2025·徐州调研)若函数f(x)＝，则以下函数不为奇函数的是(　BCD　) A．f(x－1)－2　 B．f(x－1)＋2 C．f(x＋1)＋2　 D．f(x＋1)－2 【解析】　对于A，令g(x)＝f(x－1)－2＝－2＝－，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且满足g(－x)＝－g(x)，所以函数f(x－1)－2为奇函数．对于B，设h(x)＝f(x－1)＋2＝－＋4，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，但不满足h(－x)＝－h(x)，所以函数f(x－1)＋2不是奇函数．对于C，f(x＋1)＋2＝＋2，定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)，故f(x＋1)＋2不是奇函数．对于D，f(x＋1)－2＝－2，定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)，故f(x＋1)－2不是奇函数． 7．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝－1，则下列说法正确的有(　ACD　) A．当x＞0时，f(x)＝1－ B．f(0)＝ C．不等式xf(x)＜0的解集为(－1，0)∪(0，1) D．若函数y＝|f(x)|－a的图象与x轴有4个不同的交点，则0＜a＜ 【解析】 当x＞0时，－x＜0，由题意可知f(x)＝－f(－x)＝－＝1－，A正确．由题意可知f(0)＝0，B错误．由以上知f(x)＝令f(x)＞0，则－1＜x＜0或x＞1；令f(x)＜0，则x＜－1或0＜x＜1．由xf(x)＜0，得或即0＜x＜1或－1＜x＜0，C正确．令y＝|f(x)|－a＝0，得a＝|f(x)|，作出|f(x)|的图象如图所示，由图可知当直线y＝a和函数y＝|f(x)|的图象存在4个交点时，0＜a＜，D正确． 8．(2025·佛山二模)已知函数f(x)＝，则下列关于f(x)的说法中正确的有(　BD　) A．最小正周期为π B．是奇函数 C．在[0，π]上单调递增 D．最大值为1 【解析】　由f(π＋x)＝＝－＝－f(x)，显然π不是f(x)的周期，A错误．由f(x)的定义域为R，且f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，B正确．由解析式，易得f(0)＝f(π)＝0，显然在[0，π]上不是单调递增，C错误．由f(x)＝＝，令t＝sinx∈[－1，1]，则f(x)＝h(t)＝，且h(0)＝0．若t≠0，则h(t)＝．又y＝－t在[－1，0)，(0，1]上都单调递减，在[－1，0)上y＝－t≤－1，则h(t)∈[－1，0)；在(0，1]上y＝－t≥1，则h(t)∈(0，1]，所以f(x)＝h(t)的最大值为1，D正确． 三、填空题 9．(2023·全国甲卷理)若y＝(x－1)2＋ax＋sin 为偶函数，则a＝__2__． 【解析】　因为y＝f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin ＝(x－1)2＋ax＋cos x＝x2＋cos x－2x＋ax＋1为偶函数，定义域为R，所以f(－x)＝(－x)2＋cos(－x)＋2x－ax＋1＝f(x)，解得a＝2． 10．(2026·黄冈期初)已知函数f(x)的定义域为R，y＝f(x)－sin x为偶函数，y＝f(x)＋2cos x为奇函数，则f(x)的最大值为____． 【解析】　因为y＝f(x)－sin x为偶函数，则f(－x)＋sin x＝f(x)－sin x①，又y＝f(x)＋2cos x为奇函数，则f(－x)＋2cos x＝－f(x)－2cos x②．由①－②，整理得f(x)＝sin x－2cos x，则f(x)＝sin x－2cos x＝sin(x－φ)，其中tan φ＝2，故当sin(x－φ)＝1时，即x＝＋φ＋2kπ，k∈Z时，f(x)取得最大值为． 11．(2025·张家口一模)已知定义在R上的函数f(x)满足以下条件：①f(x)＝f(2－x)；②f(x)＝－f(6－x)；③f(5)＝1．则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 025)＝__－1__． 【解析】　由f(x)＝f(2－x)，f(x)＝－f(6－x)，得f(x)＝f(2－x)＝－f(x＋4)＝f(x＋8)，所以f(x)的周期为8，f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＋f(8)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(－1)＋f(0)＝[f(1)＋f(5)]＋[f(2)＋f(6)]＋[f(4)＋f(0)]＋[f(3)＋f(－1)]＝0，f(1)＋f(2)＋…＋f(2 025)＝f(1)＋253[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＋f(8)]＝－f(5)＝－1． 四、解答题 12．设函数f(x)对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2． (1) 求证：f(x)为奇函数； 【解答】　令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0．令y＝－x，则有f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，所以f(－x)＝－f(x)．因为函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，所以函数f(x)为奇函数． (2) 求证：f(x)在R上是减函数； 【解答】　任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2－x1＞0，因为当x＞0时，f(x)＜0，所以f(x2－x1)＜0，所以f(x2)－f(x1)＝f((x2－x1)＋x1)－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－f(x1)＝f(x2－x1)＜0，所以f(x2)－f(x1)＜0，即f(x1)＞f(x2)，所以f(x)在R上是减函数． (3) 若f(2x＋5)＋f(6－7x)＞4，求x的取值范围； 【解答】　由(1)可知，f(－1)＝－f(1)＝2．令x＝y＝－1，则f(－2)＝f(－1)＋f(－1)＝2f(－1)＝4．因为f(2x＋5)＋f(6－7x)＞4，所以f(2x＋5＋6－7x)＞f(－2)，即f(11－5x)＞f(－2)．因为f(x)在R上是减函数，所以11－5x＜－2，解得x＞，即x的取值范围是． (4) 求f(x)在[－3，3]上的最大值与最小值． 【解答】　令x＝－2，y＝－1，则f(－3)＝f(－2)＋f(－1)＝4＋2＝6．因为f(x)在R上是减函数，所以f(x)在[－3，3]上的最大值为6．因为奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，所以f(x)在[－3，3]上的最小值为－6． 13．设函数f(x)与g(x)的定义域是{x|x∈R且x≠±1}，f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝． (1) 求f(x)与g(x)的解析式； 【解答】　根据题意，知f(x)＋g(x)＝，则f(－x)＋g(－x)＝＝．又f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，则f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝，联立两式解得f(x)＝，g(x)＝． (2) 求f＋f＋f＋f(2)＋f(3)＋f(4)的值． 【解答】　由(1)知f(x)＝，则f＝＝，则有f(x)＋f＝＋＝1，则f＋f＋f＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝＋＋＝3． B组　能力提升练 14．(2025·福州二模)(多选)定义在R上的函数f(x)，g(x)满足：①当x＞0时，f(x)＞0，且g(x)＞0；②g(x＋y)＝g(x)g(y)＋f(x)f(y)；③g(x－y)＝g(x)g(y)－f(x)f(y)，则(　ABC　) A．g(0)＝1　 B．g(x)为偶函数 C．f(x)为奇函数　 D．f(x)为周期函数 【解析】　由g(x＋y)＝g(x)g(y)＋f(x)f(y)及g(x－y)＝g(x)g(y)－f(x)f(y)，两式相加可得g(x＋y)＋g(x－y)＝2g(x)g(y)．令x＞0，y＝0，可得2g(x)＝2g(x)·g(0)，因为x＞0，所以g(x)＞0，即可得g(0)＝1，A正确．再令x＝0，可得g(y)＋g(－y)＝2g(0)g(y)，又g(0)＝1，即g(－y)＝g(y)，由于y∈R，所以g(x)为偶函数，B正确．再由g(x＋y)＝g(x)g(y)＋f(x)f(y)，令y＝－x，得g(0)＝g(x)g(－x)＋f(x)f(－x)，又g(x)为偶函数，所以g(0)＝g(x)g(x)＋f(x)f(－x)①．由g(x－y)＝g(x)g(y)－f(x)f(y)，令y＝x得g(0)＝g(x)g(x)－f(x)f(x)②．①②两式相减可得f(x)[f(x)＋f(－x)]＝0，又f(x)不恒为0，所以f(x)＋f(－x)＝0，即f(x)为奇函数，C正确．因为f(x)为奇函数，且x＞0时，有f(x)＞0，则有x＜0时，f(x)＜0，且仅有f(0)＝0，所以不可能存在常数T满足f(0＋T)＝f(0)，即f(x)不是周期函数，D错误． 15．(2025·德州期中)已知函数f(x)的定义域为R，f(x－1)＋f(x＋1)＝f(3)，f(－2x＋2)为偶函数，且f＝1，则f＝__1__，(k＋1)f＝__－2_026__． 【解析】 由f(x－1)＋f(x＋1)＝f(3)，得f(x)＋f(x＋2)＝f(3)，f(x＋2)＋f(x＋4)＝f(3)，所以f(x)＝f(x＋4)，故f(x)是周期为4的函数．因为f(－2x＋2)为偶函数，所以f(2－2x)＝f(2＋2x)，所以f(2－x)＝f(2＋x)，令x＝，得f＝f＝1．令x＝1，得f(1)＝f(3)．在f(x－1)＋f(x＋1)＝f(3)中，令x＝2，得f(1)＋f(3)＝f(3)，所以f(1)＝f(3)＝0．令x＝，得f＋f＝0，故f＝－f＝－1；令x＝，得f＋f＝0，故f＝－f＝－1．由函数的周期性得(k＋1)·f＝(－2＋3＋4－5)＋…＋(－2 022＋2 023＋2 024－2 025)－2 026＝－2 026． 学科网（北京）股份有限公司 $