第2章 第7讲 函数的单调性与最值（word教参）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（提升版）

该高中数学高考复习讲义聚焦函数单调性与最值核心考点，按定义、复合函数单调性、性质及应用逻辑架构知识体系，通过知识整合、激活思维、题型突破（含定义法证明、单调区间求法等）、分层练习环节，帮助学生构建系统认知，突破高考高频难点。 讲义采用分视角突破法，如抽象函数单调性证明中引导学生变形符号判断，结合对勾函数等专题深化数学思维。设置基础到创新分层练习，即时反馈错题，培养学生用数学语言精准表达推理过程，提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第7讲　函数的单调性与最值 知识整合　体系重构 激活思维 1．(教材经典题改编)已知y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为(　B　) A．[－1，3] B．[－1，2]和[4，5] C．[－1，2] D．[－3，－1]和[2，4] 2．(教材经典题改编)(多选)下列函数在(0，＋∞)上为增函数的是(　BCD　) A．f(x)＝－2x＋1　 B．f(x)＝x2＋1 C．f(x)＝1－　 D．f(x)＝|x| 【解析】 对于A，f(x)＝－2x＋1是一次函数，所以f(x)在R上是减函数，故A错误；对于B，因为f(x)＝x2＋1的对称轴为y轴，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，故B正确；对于C，因为y＝－在(0，＋∞)上是增函数，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，故C正确；对于D，函数f(x)＝|x|＝函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故D正确． 3．(教材经典题改编)已知函数f(x)＝(x∈(2，6])，则(　C　) A．f(x)的最大值为2，最小值为0.4 B．f(x)的最大值为2，没有最小值 C．f(x)没有最大值，最小值为0.4 D．f(x)的最大值与最小值都没有 4．(教材经典题)已知函数f(x)＝4x2－kx－8在[5，20]上具有单调性，则实数k的取值范围为__(－∞，40]∪[160，＋∞)__． 【解析】　函数f(x)的图象的对称轴是直线x＝．当≤5或≥20，即k≤40或k≥160时，f(x)在[5，20]上是单调函数，所以实数k的取值范围为(－∞，40]∪[160，＋∞)． 5．已知函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)在其定义域上单调递减，那么不等式f(x2)＞f(2x＋3)的解集为__(－1，0)∪(0，3)__． 【解析】　由得解得－1＜x＜0或0＜x＜3． 聚焦知识 1．函数的单调性 (1) 单调函数的定义 增函数 减函数 定义 在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意的两个数x1，x2∈A 当x1＜x2时，都有__f(x1)＜f(x2)__，那么就说函数f(x)在区间A上是增函数 当x1＜x2时，都有__f(x1)＞f(x2)__，那么就说函数f(x)在区间A上是减函数 图象描述 自左向右看，图象是__上升的__ 自左向右看，图象是__下降的__ (2) 复合函数的单调性 对于函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果当x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且u＝g(x)在区间(a，b)上和y＝f(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，那么复合函数y＝f(g(x))在区间(a，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：__同增异减__． 2．若函数f(x)与g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： (1) f(x)与f(x)＋C(C为常数)具有__相同__的单调性． (2) f(x)与－f(x)的单调性__相反__． (3) 当a＞0时，af(x)与f(x)的单调性__相同__；当a＜0时，af(x)与f(x)的单调性__相反__． (4) 若f(x)≥0，则f(x)与具有__相同__的单调性． (5) 若f(x)恒为正值或恒为负值，则当a＞0时，f(x)与具有__相反__的单调性； 当a＜0时，f(x)与具有__相同__的单调性． (6) f(x)与g(x)的和与差的单调性(相同区间上)： 简记为：①↗＋↗＝↗；②↘＋↘＝↘； ③↗－↘＝↗；④↘－↗＝↘． 3．函数的最值 前提 函数y＝f(x)的定义域为D 条件 (1) 对于任意x∈D，都有__f(x)≤M__； (2) 存在x0∈D，使得f(x0)＝M (3) 对于任意x∈D，都有__f(x)≥M__； (4) 存在x0∈D，使得__f(x0)＝M__ 几何 意义 函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标 函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标 注意：函数最值存在的两条结论：①闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到；②开区间上的“单峰”函数一定存在最大或最小值． 题型突破　思维拓展 举题说法 判断函数的单调性 视角1　函数单调性的判定 例 1－1　(2021·全国甲卷文)下列函数是增函数的为(　D　) A．f(x)＝－x　 B．f(x)＝ C．f(x)＝x2　 D．f(x)＝ 【解析】 由一次函数的性质可知f(x)＝－x在R上是减函数，不符合题意；由指数函数的性质可知f(x)＝在R上是减函数，不符合题意；由二次函数的性质可知f(x)＝x2在R上不单调，不符合题意；根据幂函数的性质可知f(x)＝在R上是增函数，符合题意． 视角2　定义法证明函数单调性 例 1－2　(1) 试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性． 【解答】 (1) f(x)＝a·＝a，设∀x1，x2∈(－1，1)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝a－a＝．由于－1＜x1＜x2＜1，所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，故当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递增． (2) 定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足：对任意正数a，b，都有f(a)＋f(b)＝f(ab)，且当x＞1时，f(x)＜0，试用单调性定义证明函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数． 【解答】　任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，则＞1．因为当x＞1时，f(x)＜0，所以f＜0，所以f(x2)－f(x1)＝f－f(x1)＝f(x1)＋f－f(x1)＝f＜0，所以f(x)在(0，＋∞)上是减函数． 对于抽象函数，若给出的是“和型”抽象函数f(x＋y)＝…，判断符号时要变形为：f(x2)－f(x1)＝f((x2－x1)＋x1)－f(x1)或f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f((x1－x2)＋x2)； 若给出的是“积型”抽象函数f(xy)＝…，判断符号时要变形为：f(x2)－f(x1)＝f－f(x1)或f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f． 视角3　求函数的单调区间 例 1－3　(1) 函数y＝1－的单调递增区间是(　C　) A．[0，3]　 B．(－∞，3] C．[3，6]　 D．[3，＋∞) 【解析】　由－x2＋6x≥0，解得0≤x≤6，所以函数y＝1－的定义域为[0，6]．令t＝－x2＋6x，其图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为x＝－＝3，该函数在[3，6]上单调递减，则函数y＝1－的单调递增区间是[3，6]． (2) 函数f(x)＝－|x－2|的单调递减区间为__[2，＋∞)__；函数g(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是__(4，＋∞)__． 【解析】 因为y＝|x－2|＝所以函数y＝|x－2|的单调递减区间是(－∞，2)，单调递增区间为[2，＋∞)，所以f(x)＝－|x－2|的单调递减区间是[2，＋∞)．由x2－2x－8＞0，得g(x)的定义域为{x|x＞4或x＜－2}．设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数．要求函数g(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间(定义域内)．因为函数t＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，所以函数g(x)的单调递增区间为(4，＋∞)． (1) 求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间． (2) 函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法． 易错警示　函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”． 函数单调性的应用 视角1　比大小和解不等式 例2－1(1) 已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)＜0恒成立．设a＝f(－2)，b＝f(2)，c＝f(e)(e为自然对数的底数)，则a，b，c的大小关系为(　D　) A．c＞a＞b　 B．c＞b＞a C．a＞c＞b　 D．b＞c＞a 【解析】　因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(－2)＝f(4)．又因为当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递减．因为2＜e＜4，所以f(2)＞f(e)＞f(4)，所以b＞c＞a． (2) 已知定义在R上的函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[1，＋∞)上单调递增．若当x∈[0，1]时，f(ax)＜f(x－1)恒成立，则实数a的取值范围为__(0，2)__． 【解析】　因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(x)的对称轴为x＝1．因为f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，1)上单调递减，所以自变量越靠近对称轴对应的函数值越小．又因为x∈[0，1]时，f(ax)＜f(x－1)恒成立，即|ax－1|＜|(x－1)－1|＝2－x恒成立，所以x∈[0，1]时，x－2＜ax－1＜2－x恒成立．当x＝0时，－2＜－1＜2显然成立；当x∈(0，1]时，则1－＜a＜－1，所以max＜a＜min．又因为y＝1－为增函数，y＝－1为减函数，所以max＝1－1＝0，min＝3－1＝2，所以0＜a＜2，即实数a的取值范围为(0，2)． 函数单调性的等价表达：设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则①＞0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0)⇔f(x)在D上单调递增；②＜0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0)⇔f(x)在D上单调递减． 变式2－1(2025·佛山模拟)已知函数y＝f(x)在定义域(－1，3)上是增函数，且f(2a－1)＜f(2－a)，则实数a的取值范围是(　C　) A．(1，2)　 B．(－∞，1) C．(0，1)　 D．(1，＋∞) 【解析】　因为函数y＝f(x)在定义域(－1，3)上是增函数，且f(2a－1)＜f(2－a)，则有即解得0＜a＜1，所以实数a的取值范围是(0，1)． 视角2　求参数的取值范围 例 2－2　(1) 若函数f(x)＝满足：∀x1，x2∈R且x1≠x2，＞0恒成立，则实数m的取值范围为(　B　) A．[－3，2)　 B．[－3，2]　 C．(－3，2)　 D．[－2，3] 【解析】　由题意知函数f(x)＝在R上单调递增．当2m－3＜0时，由于y＝x和y＝均在[1，＋∞)上单调递增，故f(x)＝x＋在[1，＋∞)上单调递增，所以解得－3≤m＜．当2m－3＞0时，根据对勾函数的性质可知，若f(x)在x∈[1，＋∞)上单调递增，则解得＜m≤2．当2m－3＝0时，m＝，此时f(x)＝显然满足f(x)在R上单调递增．综上，－3≤m≤2． (2) 若函数y＝在(－1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是__(－∞，－3]__． 【解析】 y＝＝1＋，由题意知解得a≤－3．所以a的取值范围是(－∞，－3]． 利用单调性求参数的范围(或值)的方法 (1) 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； (2) 若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的． 变式2－2(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是(　B　) A．(－∞，0]　 B．[－1，0] C．[－1，1]　 D．[0，＋∞) 【解析】　因为f(x)在R上单调递增，且x≥0时，f(x)＝ex＋ln (x＋1)单调递增，则需满足解得－1≤a≤0，即a的取值范围是[－1，0]． 函数的最值(值域) 例3　(1) 函数f(x)＝在[－2，－1]上的值域是____． 【解析】　因为f(x)＝＝＝＋，又x∈[－2，－1]，所以4x＋10∈[2，6]，所以∈，所以∈，所以f(x)∈． (2) 定义min{a，b，c}为a，b，c中的最小值，设f(x)＝min{2x＋3，x2＋1，5－3x}，则f(x)的最大值是__2__． 【解析】　在同一平面直角坐标系中作出y＝2x＋3，y＝x2＋1，y＝5－3x的图象，则f(x)的图象如图中实线部分所示．由图可得f(x)的最大值点为y＝x2＋1与y＝5－3x在第一象限的交点．联立又x＞0，解得所以f(x)max＝2． (3)(2026·太原期初)若函数f(x)＝＋，则f(x)的值域为__[2，2]__． 【解析】　由函数f(x)＝＋，可得3－x≥0且1＋x≥0，解得－1≤x≤3．又由y＝f(x)＝＋，则y＞0，可得y2＝4＋2，因为－1≤x≤3，则0≤≤＝2，当且仅当3－x＝1＋x时，即x＝1时等号成立，所以4≤y2≤8，可得2≤y≤2，所以函数f(x)的值域是[2，2]． (4) 函数f(x)＝3x－的值域为____． 【解析】　令t＝≥0，则x＝t2－1，可得y＝3(t2－1)－t＝3t2－t－3＝3－≥－，当且仅当t＝时等号成立，所以函数的值域为． (5) 函数f(x)＝，x∈(0，＋∞)的值域为__∪__． 【解析】　令y＝，整理得yx2－(6y＋1)x＋7y＋1＝0，可知关于x的方程yx2－(6y＋1)x＋7y＋1＝0有正根．若y＝0，则－x＋1＝0，解得x＝1，符合题意；若y≠0，则x2－x＋7＋＝0，可得或解得＜－7或≥2－4且≠0，则－＜y＜0或y＞0或y≤－．综上所述，y＞－或y≤－，即函数f(x)＝，x＞0的值域为∪． 求函数值域的主要方法 (1) 配方法：对于形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域问题，可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义域求出函数的值域(第9讲会涉及)． (2) 单调性法：根据函数的单调性直接求最值． (3) 分离常数法：分子、分母都是一次函数的情形，先分离常数，再利用反比例函数的图象求解． (4) 基本不等式法：第5讲已有涉及． (5) 换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形如y＝ax＋b＋的值域，可通过换元将原函数转化为二次型函数． (6) 判别式法：将函数式化成关于x的方程，且方程有解，用判别式求出y的取值范围或最值． 变式3　已知函数y＝的值域为[－1，4]，则a＋b＝__7或－1__． 【解析】　因为y＝，所以x2y－ax＋y－b＝0，Δ＝a2－4y(y－b)≥0，即4y2－4by－a2≤0．因为函数y＝的值域为[－1，4]，所以y1＝－1，y2＝4是方程4y2－4by－a2＝0的两个根，所以－1＋4＝b，－1×4＝－，解得a＝4，b＝3或a＝－4，b＝3，所以a＋b＝7或－1． 　对勾函数与飘带函数 例4　(1) 已知对勾函数y＝x＋(a＞0)在(－∞，－a)和(a，＋∞)内均为增函数，在(－a，0)和(0，a)内均为减函数．若对勾函数f(x)＝x＋(t＞0)在整数集合Z内为增函数，则实数t的取值范围为__(0，2)__． 【解析】　根据题意f(x)在(－∞，－)，(，＋∞)内为增函数，要使f(x)在整数集合Z内为增函数，则即解得0＜t＜2，所以实数t的取值范围为(0，2)． (2) 一般地，我们把形如f(x)＝ax＋(ab＜0)的函数称为飘带函数．若飘带函数f(x)＝ax＋(ab＜0)在[－2，－1]上的最小值、最大值分别为－和1，则ab＝__－6__． 【解析】　当a＞0，b＜0时，f(x)＝ax＋是[－2，－1]上的增函数，所以即解得当a＜0，b＞0时，f(x)＝ax＋是[－2，－1]上的减函数，所以即解得综上，a＝2，b＝－3或a＝－，b＝4，所以ab＝－6． (1) 对勾函数y＝x＋(k＞0)在区间(0，＋∞)上的单调性：在区间(0，)上单调递减，在区间(，＋∞)上单调递增． (2) 飘带函数形如y＝ax－(a＞0，b＞0)或y＝ax－(a＜0，b＜0)．飘带函数y＝ax－(a＞0，b＞0)在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数；飘带函数y＝ax－(a＜0，b＜0)在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数． 变式4　若函数f(x)＝x＋(0＜a≤2)在[1，2]上的最大值比最小值大，则a＝__1__． 【解析】　由对勾函数的性质可得f(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增．当≤1，即0＜a≤1时，f(x)在[1，2]上单调递增，则f(x)max－f(x)min＝f(2)－f(1)＝2＋－1－a＝1－＝，解得a＝1．当1＜≤，即1＜a≤2时，f(x)在[1，)上单调递减，在(，2]上单调递增，且f(x)min＝f()＝2．因为f(2)－f(1)＝1－≥0，所以f(2)≥f(1)，所以f(x)max－f(x)min＝f(2)－f()＝2＋－2＝，解得a＝1(舍去)或9(舍去)．综上，a＝1． 随堂内化 1．(2026·太原期初)函数y＝lg(10x－x2)的单调递增区间是(　A　) A．(0，5)　 B．(－∞，5) C．(5，10)　 D．(5，＋∞) 2．已知函数f(x)的定义域为[－3，4]，且在定义域内是增函数，若f(2m－1)－f(1－m)＞0，则m的取值范围是(　C　) A．　 B． C．　 D． 3．若函数f(x)＝的值域为[0，＋∞)，则实数a的取值范围为(　C　) A．　 B．∪ C．　 D． 【解析】　当a＝0时，f(x)＝，值域为[0，＋∞)，满足题意；当a≠0时，若f(x)＝的值域为[0，＋∞)，则解得0＜a≤．综上，0≤a≤． 4．若命题“∀x∈[3，6]，不等式x＋1－k＞0恒成立”是真命题，则实数k的取值范围是(　A　) A．(－∞，2)　 B．(－∞，7)　 C．(2，7)　 D．(7，＋∞) 【解析】　若命题“∀x∈[3，6]，不等式x＋1－k＞0恒成立”是真命题，则k＜x＋1．令t＝∈[1，2]，则x＝7－t2，则k＜，即k＜－t．设f(t)＝－t，t∈[1，2]，因为函数y＝，y＝－t在区间[1，2]上均为减函数，所以函数f(t)在区间[1，2]上为减函数，故当t∈[1，2]时，f(t)min＝f(2)＝4－2＝2，所以k＜2． 配套精练 函数的单调性与最值——练习1 A组　夯基精练 一、单项选择题 1．设a∈R，已知函数y＝f(x)是定义在[－4，4]上的减函数，且f(a＋1)＞f(2a)，则a的取值范围是(　C　) A．[－4，1)　 B．(1，4] C．(1，2]　 D．(1，＋∞) 【解析】　因为函数y＝f(x)是定义在[－4，4]上的减函数，且f(a＋1)＞f(2a)，所以－4≤a＋1＜2a≤4，解得1＜a≤2． 2．函数g(x)＝x|x－1|＋1的单调递减区间为(　B　) A．　 B． C．[1，＋∞)　 D．∪[1，＋∞) 【解析】　g(x)＝x|x－1|＋1＝画出函数图象如图所示．根据图象知函数g(x)的单调递减区间为． 3．已知函数y＝f(x)在R上单调递减，则函数y＝f(|x＋2|)的单调递减区间是(　C　) A．(－∞，＋∞)　 B．(－∞，－2] C．[－2，＋∞)　 D．[2，＋∞) 【解析】　令h(x)＝，则h(x)＝在(－∞，－2]上为减函数，在[－2，＋∞)上为增函数．又函数y＝f(x)在R上单调递减，则根据复合函数同增异减原则得y＝f()的单调递减区间为[－2，＋∞)． 4．已知函数f(x)＝则不等式f(2a2－1)＞f(3a＋4)的解集为(　D　) A．(－∞，－1)　 B． C．(－∞，－1)∪　 D． 【解析】　因为f(x)＝在R上连续且单调递减，所以由不等式f(2a2－1)＞f(3a＋4)，得2a2－1＜3a＋4，则2a2－3a－5＜0，即(2a－5)(a＋1)＜0，解得－1＜a＜． 5．(2025·安阳质检)已知函数f(x)＝则“a≤0”是“f(x)在R上单调递减”的(　B　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【解析】　若f(x)＝在R上单调递减，则解得a≤－4．所以“a≤0”是“f(x)在R上单调递减”的必要不充分条件． 二、多项选择题 6．对于定义域为D的函数f(x)，如果存在区间[a，b]⊆D，使得f(x)在区间[a，b]上单调，且在区间[a，b]上值域为[a，b]，则称区间[a，b]是函数f(x)的一个“优美区间”，则下列函数中不存在“优美区间”的是(　ABD　) A．f(x)＝2x＋1　 B．f(x)＝－ C．f(x)＝2－|x|　 D．f(x)＝x2＋1 【解析】 由区间定义知a＜b，假设各函数存在“优美区间”[a，b]．A中，f(x)在R上单调递增，f(a)＝a，f(b)＝b，得a＝b＝－1，不合题意，则不存在“优美区间”．B中，当x＜0时，函数f(x)单调递增，f(a)＝a，f(b)＝b，即a2＝－1，b2＝－1，无解；当x＞0时，函数f(x)单调递增，同理f(a)＝a，f(b)＝b无解，不存在“优美区间”．C中，当x＜0时，f(x)＝2＋x，在(－∞，0)上单调递增，f(a)＝a无解；当x＞0时，f(x)＝2－x，在(0，＋∞)上单调递减，f(a)＝2－a＝b，f(b)＝2－b＝a，所以b＞a＞0，a＋b＝2时，区间[a，b]是函数f(x)的一个“优美区间”，例如．D中，显然f(x)＝x2＋1≥1，所以a≥1，所以f(x)在[a，b]上单调递增，因为f(a)＝a2＋1＝a无解，所以不存在“优美区间”． 7．已知函数f(x)＝，则(　ABD　) A．函数f(x)的定义域为R B．函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0] C．函数f(x)的值域为(－∞，1] D．关于a的不等式f(a－1)＜f(2a＋1)的解集为(－2，1) 【解析】　因为函数f(x)＝，对于A，由＋1≠0解得x∈R，所以函数f(x)的定义域为R，故A正确；对于B，因为f(x)＝＝＝所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0]，故B正确；对于C，当x≤0时，－1＜－1－≤1，所以函数f(x)的值域为(－1，1]，故C错误；对于D，不等式f(a－1)＜f(2a＋1)等价于解得－2＜a＜1，故D正确． 8．已知函数f(x)满足对任意x∈R，都有f(x＋3)＝f(1－x)，且对任意x1，x2∈[2，＋∞)，＜0(x1≠x2)，则下列结论正确的是(　ABD　) A．f(－a2＋a＋1)≤f B．对任意x∈R，f(x)≤f(2) C．f(0)＞f(3) D．若f(m)＞f(－1)，则－1＜m＜5 【解析】　对任意x∈R，都有f(x＋3)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝2对称．又对任意x1，x2∈[2，＋∞)，＜0(x1≠x2)，所以函数f(x)在[2，＋∞)上单调递减，在(－∞，2)上单调递增，故函数f(x)在x＝2处取最大值，B正确；由f(x)的对称性及单调性知f(0)＝f(4)＜f(3)，C错误；－a2＋a＋1＝－2＋≤，所以f(－a2＋a＋1)≤f，A正确；若f(m)＞f(－1)，则|m－2|＜|2－(－1)|，解得－1＜m＜5，D正确． 三、填空题 9．(2025·茂名一模) 已知函数f(x)＝在区间(a，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为__[5，＋∞)__． 【解析】　由x2－6x＋5≥0，可得x≤1或x≥5，即函数f(x)的定义域为(－∞，1]∪[5，＋∞)．又因为t＝x2－6x＋5在[5，＋∞)上单调递增，在(－∞，1]上单调递减，y＝在[0，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性可知f(x)＝在区间[5，＋∞)上单调递增，故a≥5． 10．已知函数y＝，x∈(m，n]的最小值为8，则实数m的取值范围是__[1，2)__． 【解析】　因为y＝＝＝3＋，且y＝在x∈(m，n]上的最小值为8，所以当x∈(m，n]时，3＋≥8⇒≥5⇒0＜x－1≤1，即1＜x≤2，所以1≤m＜n≤2．易知反比例型函数y＝3＋在(1，＋∞)上单调递减，所以y＝3＋在x＝n处取到最小值8，即3＋＝8⇒n＝2，所以1≤m＜2． 11．已知f(x)＝满足对任意x1≠x2，＜0恒成立，则实数a的取值范围是____． 【解析】 由函数单调性定义可得函数f(x)在R上单调递减，则根据分段函数单调性的判断方法可知解得≤a＜． 四、解答题 12．(1) 已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，a∈R)，若f(x)在[2，＋∞)上是增函数，求a的取值范围； 【解答】　设2≤x1＜x2，f(x1)－f(x2)＝x＋－x－＝[x1x2(x1＋x2)－a]，要使函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，必须f(x1)－f(x2)＜0恒成立．因为x1－x2＜0，x1x2＞4，所以a＜x1x2(x1＋x2)恒成立．又x1＋x2＞4，所以x1x2(x1＋x2)＞16，所以a的取值范围是(－∞，16]． (2) 已知f(x)＝(x≠a)，若a＞0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求实数a的取值范围． 【解答】　设1＜x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝．因为a＞0，1＜x1＜x2，所以a(x2－x1)＞0，所以要使f(x1)－f(x2)＞0，只需(x1－a)(x2－a)＞0恒成立．若a＞1，则当1＜x1＜a＜x2时，(x1－a)(x2－a)＜0，不合题意；当0＜a≤1时，(x1－a)(x2－a)＞0，所以0＜a≤1．综上所述，实数a的取值范围为(0，1]． 13．已知函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当x＞0时，f(x)＞1． (1) 求证：f(x)是R上的增函数； 【解答】　设x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2－x1＞0，即f(x2－x1)＞1，则f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1＞0，所以f(x1)＜f(x2)，所以f(x)是R上的增函数． (2) 若f(2)＝2，解不等式f(x2)＋f(－3x)≤4． 【解答】　因为f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，f(2)＝2，取a＝2，b＝2，则f(4)＝f(2)＋f(2)－1＝3，则f(x2)＋f(－3x)≤4等价于f[x(x－3)]＋1≤4，即f[x(x－3)]≤f(4)．由(1)知f(x)是R上的增函数，所以x(x－3)≤4，解得－1≤x≤4，所以原不等式的解集为[－1，4]． B组　创新题体验 14．已知f(x)是定义在D上的函数，对任意的x∈D，存在常数M＞0，使得f(x)≤M恒成立，则称f(x)是D上的受限函数，M为f(x)的限定值． (1) 若函数f(x)＝－x2＋2x＋m在[0，3]上是限定值为8的受限函数，求m的最大值． 【解答】 因为x∈[0，3]，所以f(x)＝－x2＋2x＋m＝－(x－1)2＋m＋1∈[m－3，m＋1]．因为f(x)在[0，3]上是限定值为8的受限函数，所以m＋1≤8，解得m≤7，则m的最大值为7． (2) 若函数f(x)＝＋4，判断f(x)是否是受限函数．若是，求出f(x)的限定值M的最小值；若不是，请说明理由． 【解答】 由题意可得9－x2≥0，解得－3≤x≤3．当－3≤x≤3时，0≤9－x2≤9，则0≤≤3，所以4≤＋4≤7，即4≤f(x)≤7，所以f(x)是[－3，3]上的受限函数，且f(x)的限定值M满足M≥7，故f(x)的限定值M的最小值为7． (3) 若函数f(x)＝ax＋－x2－在上是限定值为11的受限函数，求实数a的取值范围． 【解答】 因为f(x)在上是限定值为11的受限函数，所以f(x)≤11在上恒成立，即ax＋－x2－≤11在上恒成立，所以a≤在上恒成立，即a≤x＋＋在上恒成立．因为≤x≤3，所以x＋＞0，所以x＋＋≥6，当且仅当x＋＝，即x＝时等号成立，所以a≤6，即实数a的取值范围为(－∞，6]． 函数的单调性与最值——练习2 一、单项选择题 1．已知函数f(x)＝(a＞0)在区间[2，6]上的最大值为5，则a＝(　B　) A．2　 B．3 C．15　 D．3或15 2．(2025·驻马店期末)设函数f(x)＝log3(x2－ax＋3)在区间(0，1)上单调递减，则a的最大值为(　C　) A．2　 B．3 C．4　 D．5 【解析】　令u(x)＝x2－ax＋3，g(x)＝log3u(x)，则f(x)可视为由u(x)和g(x)构成的复合函数．由对数函数性质得g(x)在区间(0，1)上单调递增，又f(x)在区间(0，1)上单调递减，所以由复合函数性质得u(x)在区间(0，1)上单调递减．由二次函数性质得u(x)＝x2－ax＋3的对称轴为直线x＝，显然u(x)开口向上，故解得2≤a≤4，则a的最大值为4． 3．若函数f(x)＝在R上单调递增，则实数a的取值范围是(　B　) A．(0，1)　 B．(1，4] C．(1，8]　 D．(1，16] 【解析】　由题意知a＞0且a≠1，当x≥4时，由双勾函数f(x)＝x＋－1在(0，)上单调递减，在[，＋∞)上单调递增，所以≤4，故0＜a≤16．当x＜4时，f(x)＝ax－3单调递增，故a＞1．再由a1≤4＋－1，得a≤4．综上，1＜a≤4． 4．(2026·镇江期初)已知函数f(x)＝＋，则f(x)的值域为(　C　) A．[1，]　 B．[，2] C．[，2]　 D．[2，3] 【解析】　因为所以函数f(x)的定义域为[－1，5]．f2(x)＝1＋x＋5－x＋2＝6＋2，当x∈[－1，5]时，－(x－2)2＋9∈[0，9], 所以f(x)∈[，2]． 5．(2025·湘潭调研)若函数f(x)＝的值域是R，则实数a的最小值为(　B　) A．2　 B．3 C．4　 D．5 【解析】 当x≥1时，有f(x)＝x＋≥4，当且仅当x＝2时等号成立．当2a－1＝0，即a＝时，有f(x)＝不满足题意．当2a－1＜0，即a＜时，f(x)＝(2a－1)x－1在(－∞，1)上单调递减，有f(x)＞2a－2，不满足题意．当2a－1＞0，即a＞时，f(x)＝(2a－1)x－1在(－∞，1)上单调递增，有f(x)＜2a－2．要使f(x)的值域是R，则应有2a－2≥4，所以a≥3．综上，a的最小值为3． 二、多项选择题 6．已知函数f(x)＝x－(a≠0)，则下列说法正确的是(　BCD　) A．当a＞0时，f(x)在定义域上单调递增 B．当a＝－4时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞) C．当a＝－4时，f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞) D．当a＞0时，f(x)的值域为R 【解析】　当a＞0时，f(x)＝x－的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，则f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增．若x＞0，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，当x→0时，f(x)→－∞，故f(x)的值域为R，故A错误，D正确．当a＝－4时，f(x)＝x＋为对勾函数，其单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，且当x＞0时，x＋≥2＝4(当且仅当x＝2时取等号)，当x＜0时，x＋＝－≤－2＝－4(当且仅当x＝－2时取等号)，故f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)，故B，C正确． 7．(2025·衡水质检)已知f(x)＝3－2，g(x)＝x2－2x，设F(x)＝则关于F(x)的说法中正确的是(　BC　) A．最大值为3，最小值为－1 B．最大值为7－2，无最小值 C．单调递增区间为(－∞，2－)和(1，)，单调递减区间为(2－，1)和(，＋∞) D．单调递增区间为(－∞，0)和(1，)，单调递减区间为(0，1)和(，＋∞) 【解析】　作出f(x)与g(x)的图象如图所示，所以F(x)的图象如图中实线部分所示，易得F(x)有最大值，无最小值，故A错误．当x＜0时，由3＋2x＝x2－2x，得x＝2＋(舍去)或x＝2－，此时F(x)的最大值为7－2，无最小值，故B正确．当x＞0时，由3－2x＝x2－2x，解得x＝(－舍去)，故F(x)在(－∞，2－)，(1，)上单调递增，在(2－，1)和(，＋∞)上单调递减，故C正确，D错误． 8．(2026·长沙调研)已知函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，对∀x，y＞0，都有f(x·y)＝f(x)＋f(y)，且当x＞1时，f(x)＞0，且f＝－1，则下列说法正确的是(　ABD　) A．f(1)＝0 B．函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增 C．f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2 026)＋f＝2 026 D．满足不等式f(x)－f(x－2)≥2的x的取值范围为 【解析】　对于A，令x＝y＝1，得f(1)＝f(1)＋f(1)＝2f(1)，所以f(1)＝0，故A正确．对于B，令y＝，得f＝f(x)＋f＝f(1)＝0，所以f＝－f(x)，任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f＝f，因为＞1，所以f＞0，所以f(x2)＞f(x1)，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故B正确．对于C，f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2 026)＋f＝f＋f＋…＋f＝f(1)＋f(1)＋…＋f(1)＝0，故C不正确．对于D，因为f＝－1，由f＝－f(x)可得f(3)＝－f＝1，所以f(9)＝f(3)＋f(3)＝2，所以不等式f(x)－f(x－2)≥2等价于f(x)＋f≥f(9)，即f≥f(9)．因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以 解得2＜x≤，所以原不等式的解集为，故D正确． 三、填空题 9．函数f(x)＝2x＋的最大值为____． 【解析】　令＝t(t≥0)，则x＝1－t2，所以y＝－2t2＋t＋2＝－22＋(t≥0)．由二次函数的性质知，当t＝，即x＝时，f(x)max＝f＝＋＝． 10．函数f(x)＝的值域为____． 【解析】 令y＝f(x)＝，整理得yx2－2x＋2y－1＝0，当y＝0时，x＝－；当y≠0时，由Δ＝4－4y(2y－1)≥0，得2y2－y－1≤0，解得－≤y≤1，且y≠0．综上，－≤y≤1，即f(x)的值域是． 11．(2025·绍兴质检)设函数f(x)＝min(x≥0)，其中min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，则f(x)的最大值为__9__． 【解析】　如图，画出y＝2x，y＝16－x，y＝x2－8x＋16的图象，观察图象可知，当x＜2时，f(x)＝2x；当2≤x≤7时，f(x)＝x2－8x＋16；当x＞7时，f(x)＝16－x，所以f(x)的最大值在x＝7时取得，且为9． 四、解答题 12．已知函数f(x)＝x． (1) 当a＝2时，求f(x)的单调递增区间； 【解答】　当a＝2时，f(x)＝x＝当x＜2时，f(x)＝－x2＋2x在(－∞，1]上单调递增，在[1，2)上单调递减；当x≥2时，f(x)＝x2－2x单调递增．综上，f(x)的单调递增区间是(－∞，1]和[2，＋∞)． (2) 若∀x1，x2∈[0，2]，都有≤2，求实数a的取值范围． 【解答】　因为对∀x1，x2∈[0，2]，都有≤2，故max≤2，所以f(x)max－f(x)min≤2．又x∈[0，2]时，f(x)＝x≥0＝f(0)，所以f(x)min＝f(0)＝0，所以x∈[0，2]时，f(x)max≤2．又x∈[0，2]时，f(x)＝x＝|x(x－a)|，所以问题转化为－2≤x(x－a)≤2对x∈(0，2]恒成立， 整理得x－≤a≤x＋对x∈(0，2]恒成立，所以max≤a≤min，x∈(0，2]．因为y＝x－在(0，2]上单调递增，所以当x＝2时，max＝1．因为x∈(0，2]时，x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝时取等号，所以min＝2，所以1≤a≤2，即a的取值范围为[1，2]． 13．设函数f(x)的定义域为D，若函数f(x)满足条件：存在[a，b]⊆D，使f(x)在[a，b]上的值域为[ma，mb](其中m∈(0，1])，则称f(x)为区间[a，b]上的“m倍缩函数”． (1) 求证：函数f(x)＝x3为区间上的“倍缩函数”； 【解答】　由函数f(x)＝x3在R上单调递增，则f(x)＝x3在区间上的值域为，显然有－＝×，＝×，所以函数f(x)＝x3为区间上的“倍缩函数”． (2) 若存在[a，b]⊆R，使函数f(x)＝log2(2x＋t)为[a，b]上的“倍缩函数”，求实数t的取值范围． 【解答】　因为函数u＝2x＋t在R上单调递增，当u＞0时，函数y＝log2u在(0，＋∞)上单调递增，因此函数f(x)＝log2(2x＋t)是定义域上的增函数．因为函数f(x)＝log2(2x＋t)为[a，b]上的“倍缩函数”，则函数f(x)在[a，b]上的值域为，于是得即a，b(a＜b)是方程f(x)＝x的两个不等实根，则方程log2(2x＋t)＝x⇔2x＋t＝2x⇔()2x－()x＋t＝0有两个不等实根．令()x＝z＞0，则关于z的一元二次方程z2－z＋t＝0有两个不等的正实根，因此解得0＜t＜，当0＜t＜时，函数f(x)恒有意义，所以实数t的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲　函数的单调性与最值 知识整合　体系重构 激活思维 1．(教材经典题改编)已知y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为(　　) A．[－1，3] B．[－1，2]和[4，5] C．[－1，2] D．[－3，－1]和[2，4] 2．(教材经典题改编)(多选)下列函数在(0，＋∞)上为增函数的是(　　) A．f(x)＝－2x＋1　 B．f(x)＝x2＋1 C．f(x)＝1－　 D．f(x)＝|x| 3．(教材经典题改编)已知函数f(x)＝(x∈(2，6])，则(　　) A．f(x)的最大值为2，最小值为0.4 B．f(x)的最大值为2，没有最小值 C．f(x)没有最大值，最小值为0.4 D．f(x)的最大值与最小值都没有 4．(教材经典题)已知函数f(x)＝4x2－kx－8在[5，20]上具有单调性，则实数k的取值范围为________． 5．已知函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)在其定义域上单调递减，那么不等式f(x2)＞f(2x＋3)的解集为____________． 1．函数的单调性 (1) 单调函数的定义 增函数 减函数 定义 在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意的两个数x1，x2∈A 当x1＜x2时，都有_________ __，那么就说函数f(x)在区间A上是增函数 当x1＜x2时，都有__________，那么就说函数f(x)在区间A上是减函数 图象描述 自左向右看，图象是____ 自左向右看，图象是____ (2) 复合函数的单调性 对于函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果当x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且u＝g(x)在区间(a，b)上和y＝f(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，那么复合函数y＝f(g(x))在区间(a，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：____． 2．若函数f(x)与g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： (1) f(x)与f(x)＋C(C为常数)具有____的单调性． (2) f(x)与－f(x)的单调性____． (3) 当a＞0时，af(x)与f(x)的单调性____；当a＜0时，af(x)与f(x)的单调性____． (4) 若f(x)≥0，则f(x)与具有____的单调性． (5) 若f(x)恒为正值或恒为负值，则当a＞0时，f(x)与具有____的单调性； 当a＜0时，f(x)与具有____的单调性． (6) f(x)与g(x)的和与差的单调性(相同区间上)： 简记为：①↗＋↗＝↗；②↘＋↘＝↘； ③↗－↘＝↗；④↘－↗＝↘． 3．函数的最值 前提 函数y＝f(x)的定义域为D 条件 (1) 对于任意x∈D，都有__________； (2) 存在x0∈D，使得f(x0)＝M (3) 对于任意x∈D，都有__________； (4) 存在x0∈D，使得_________ 几何 意义 函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标 函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标 注意：函数最值存在的两条结论：①闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到；②开区间上的“单峰”函数一定存在最大或最小值． 题型突破　思维拓展 举题说法 判断函数的单调性 视角1　函数单调性的判定 例 1－1　(2021·全国甲卷文)下列函数是增函数的为(　　) A．f(x)＝－x　 B．f(x)＝ C．f(x)＝x2　 D．f(x)＝ 视角2　定义法证明函数单调性 例 1－2　(1) 试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性． (2) 定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足：对任意正数a，b，都有f(a)＋f(b)＝f(ab)，且当x＞1时，f(x)＜0，试用单调性定义证明函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数． 对于抽象函数，若给出的是“和型”抽象函数f(x＋y)＝…，判断符号时要变形为：f(x2)－f(x1)＝f((x2－x1)＋x1)－f(x1)或f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f((x1－x2)＋x2)； 若给出的是“积型”抽象函数f(xy)＝…，判断符号时要变形为：f(x2)－f(x1)＝f－f(x1)或f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f． 视角3　求函数的单调区间 例 1－3　(1) 函数y＝1－的单调递增区间是(　　) A．[0，3]　 B．(－∞，3] C．[3，6]　 D．[3，＋∞) (2) 函数f(x)＝－|x－2|的单调递减区间为__________；函数g(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是__________． (1) 求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间． (2) 函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法． 易错警示　函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”． 函数单调性的应用 视角1　比大小和解不等式 例2－1(1) 已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)＜0恒成立．设a＝f(－2)，b＝f(2)，c＝f(e)(e为自然对数的底数)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c＞a＞b　 B．c＞b＞a C．a＞c＞b　 D．b＞c＞a (2) 已知定义在R上的函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[1，＋∞)上单调递增．若当x∈[0，1]时，f(ax)＜f(x－1)恒成立，则实数a的取值范围为____． 函数单调性的等价表达：设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则①＞0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0)⇔f(x)在D上单调递增；②＜0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0)⇔f(x)在D上单调递减． 变式2－1(2025·佛山模拟)已知函数y＝f(x)在定义域(－1，3)上是增函数，且f(2a－1)＜f(2－a)，则实数a的取值范围是(　　) A．(1，2)　 B．(－∞，1) C．(0，1)　 D．(1，＋∞) 视角2　求参数的取值范围 例 2－2　(1) 若函数f(x)＝满足：∀x1，x2∈R且x1≠x2，＞0恒成立，则实数m的取值范围为(　　) A．[－3，2)　 B．[－3，2]　 C．(－3，2)　 D．[－2，3] (2) 若函数y＝在(－1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是__________． 利用单调性求参数的范围(或值)的方法 (1) 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； (2) 若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的． 变式2－2(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，0]　 B．[－1，0] C．[－1，1]　 D．[0，＋∞) 函数的最值(值域) 例3　(1) 函数f(x)＝在[－2，－1]上的值域是__________． (2) 定义min{a，b，c}为a，b，c中的最小值，设f(x)＝min{2x＋3，x2＋1，5－3x}，则f(x)的最大值是____． (3)(2026·太原期初)若函数f(x)＝＋，则f(x)的值域为____． (4) 函数f(x)＝3x－的值域为__________． (5) 函数f(x)＝，x∈(0，＋∞)的值域为_________． 求函数值域的主要方法 (1) 配方法：对于形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域问题，可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义域求出函数的值域(第9讲会涉及)． (2) 单调性法：根据函数的单调性直接求最值． (3) 分离常数法：分子、分母都是一次函数的情形，先分离常数，再利用反比例函数的图象求解． (4) 基本不等式法：第5讲已有涉及． (5) 换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形如y＝ax＋b＋的值域，可通过换元将原函数转化为二次型函数． (6) 判别式法：将函数式化成关于x的方程，且方程有解，用判别式求出y的取值范围或最值． 变式3　已知函数y＝的值域为[－1，4]，则a＋b＝____． 　对勾函数与飘带函数 例4　(1) 已知对勾函数y＝x＋(a＞0)在(－∞，－a)和(a，＋∞)内均为增函数，在(－a，0)和(0，a)内均为减函数．若对勾函数f(x)＝x＋(t＞0)在整数集合Z内为增函数，则实数t的取值范围为____． (2) 一般地，我们把形如f(x)＝ax＋(ab＜0)的函数称为飘带函数．若飘带函数f(x)＝ax＋(ab＜0)在[－2，－1]上的最小值、最大值分别为－和1，则ab＝____． (1) 对勾函数y＝x＋(k＞0)在区间(0，＋∞)上的单调性：在区间(0，)上单调递减，在区间(，＋∞)上单调递增． (2) 飘带函数形如y＝ax－(a＞0，b＞0)或y＝ax－(a＜0，b＜0)．飘带函数y＝ax－(a＞0，b＞0)在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数；飘带函数y＝ax－(a＜0，b＜0)在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数． 变式4　若函数f(x)＝x＋(0＜a≤2)在[1，2]上的最大值比最小值大，则a＝____． 随堂内化 1．(2026·太原期初)函数y＝lg(10x－x2)的单调递增区间是(　　) A．(0，5)　 B．(－∞，5) C．(5，10)　 D．(5，＋∞) 2．已知函数f(x)的定义域为[－3，4]，且在定义域内是增函数，若f(2m－1)－f(1－m)＞0，则m的取值范围是(　　) A．　 B． C．　 D． 3．若函数f(x)＝的值域为[0，＋∞)，则实数a的取值范围为(　　) A．　 B．∪ C．　 D． 4．若命题“∀x∈[3，6]，不等式x＋1－k＞0恒成立”是真命题，则实数k的取值范围是(　　) A．(－∞，2)　 B．(－∞，7)　 C．(2，7)　 D．(7，＋∞) 配套精练 函数的单调性与最值——练习1 A组　夯基精练 一、单项选择题 1．设a∈R，已知函数y＝f(x)是定义在[－4，4]上的减函数，且f(a＋1)＞f(2a)，则a的取值范围是(　　) A．[－4，1)　 B．(1，4] C．(1，2]　 D．(1，＋∞) 2．函数g(x)＝x|x－1|＋1的单调递减区间为(　　) A．　 B． C．[1，＋∞)　 D．∪[1，＋∞) 3．已知函数y＝f(x)在R上单调递减，则函数y＝f(|x＋2|)的单调递减区间是(　　) A．(－∞，＋∞)　 B．(－∞，－2] C．[－2，＋∞)　 D．[2，＋∞) 4．已知函数f(x)＝则不等式f(2a2－1)＞f(3a＋4)的解集为(　　) A．(－∞，－1)　 B． C．(－∞，－1)∪　 D． 5．(2025·安阳质检)已知函数f(x)＝则“a≤0”是“f(x)在R上单调递减”的( 　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 二、多项选择题 6．对于定义域为D的函数f(x)，如果存在区间[a，b]⊆D，使得f(x)在区间[a，b]上单调，且在区间[a，b]上值域为[a，b]，则称区间[a，b]是函数f(x)的一个“优美区间”，则下列函数中不存在“优美区间”的是(　　) A．f(x)＝2x＋1　 B．f(x)＝－ C．f(x)＝2－|x|　 D．f(x)＝x2＋1 7．已知函数f(x)＝，则(　　) A．函数f(x)的定义域为R B．函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0] C．函数f(x)的值域为(－∞，1] D．关于a的不等式f(a－1)＜f(2a＋1)的解集为(－2，1) 8．已知函数f(x)满足对任意x∈R，都有f(x＋3)＝f(1－x)，且对任意x1，x2∈[2，＋∞)，＜0(x1≠x2)，则下列结论正确的是(　　) A．f(－a2＋a＋1)≤f B．对任意x∈R，f(x)≤f(2) C．f(0)＞f(3) D．若f(m)＞f(－1)，则－1＜m＜5 三、填空题 9．(2025·茂名一模) 已知函数f(x)＝在区间(a，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为__________． 10．已知函数y＝，x∈(m，n]的最小值为8，则实数m的取值范围是___________． 11．已知f(x)＝满足对任意x1≠x2，＜0恒成立，则实数a的取值范围是__________． 四、解答题 12．(1) 已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，a∈R)，若f(x)在[2，＋∞)上是增函数，求a的取值范围； (2) 已知f(x)＝(x≠a)，若a＞0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求实数a的取值范围． 13．已知函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当x＞0时，f(x)＞1． (1) 求证：f(x)是R上的增函数； (2) 若f(2)＝2，解不等式f(x2)＋f(－3x)≤4． B组　创新题体验 14．已知f(x)是定义在D上的函数，对任意的x∈D，存在常数M＞0，使得f(x)≤M恒成立，则称f(x)是D上的受限函数，M为f(x)的限定值． (1) 若函数f(x)＝－x2＋2x＋m在[0，3]上是限定值为8的受限函数，求m的最大值． (2) 若函数f(x)＝＋4，判断f(x)是否是受限函数．若是，求出f(x)的限定值M的最小值；若不是，请说明理由． (3) 若函数f(x)＝ax＋－x2－在上是限定值为11的受限函数，求实数a的取值范围． 函数的单调性与最值——练习2 一、单项选择题 1．已知函数f(x)＝(a＞0)在区间[2，6]上的最大值为5，则a＝(　　) A．2　 B．3 C．15　 D．3或15 2．(2025·驻马店期末)设函数f(x)＝log3(x2－ax＋3)在区间(0，1)上单调递减，则a的最大值为(　　) A．2　 B．3 C．4　 D．5 3．若函数f(x)＝在R上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A．(0，1)　 B．(1，4] C．(1，8]　 D．(1，16] 4．(2026·镇江期初)已知函数f(x)＝＋，则f(x)的值域为(　　) A．[1，]　 B．[，2] C．[，2]　 D．[2，3] 5．(2025·湘潭调研)若函数f(x)＝的值域是R，则实数a的最小值为(　　) A．2　 B．3 C．4　 D．5 二、多项选择题 6．已知函数f(x)＝x－(a≠0)，则下列说法正确的是(　　) A．当a＞0时，f(x)在定义域上单调递增 B．当a＝－4时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞) C．当a＝－4时，f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞) D．当a＞0时，f(x)的值域为R 7．(2025·衡水质检)已知f(x)＝3－2，g(x)＝x2－2x，设F(x)＝则关于F(x)的说法中正确的是(　　) A．最大值为3，最小值为－1 B．最大值为7－2，无最小值 C．单调递增区间为(－∞，2－)和(1，)，单调递减区间为(2－，1)和(，＋∞) D．单调递增区间为(－∞，0)和(1，)，单调递减区间为(0，1)和(，＋∞) 8．(2026·长沙调研)已知函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，对∀x，y＞0，都有f(x·y)＝f(x)＋f(y)，且当x＞1时，f(x)＞0，且f＝－1，则下列说法正确的是(　　) A．f(1)＝0 B．函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增 C．f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2 026)＋f＝2 026 D．满足不等式f(x)－f(x－2)≥2的x的取值范围为 三、填空题 9．函数f(x)＝2x＋的最大值为_________． 10．函数f(x)＝的值域为________． 11．(2025·绍兴质检)设函数f(x)＝min(x≥0)，其中min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，则f(x)的最大值为____． 四、解答题 12．已知函数f(x)＝x． (1) 当a＝2时，求f(x)的单调递增区间； (2) 若∀x1，x2∈[0，2]，都有≤2，求实数a的取值范围． 13．设函数f(x)的定义域为D，若函数f(x)满足条件：存在[a，b]⊆D，使f(x)在[a，b]上的值域为[ma，mb](其中m∈(0，1])，则称f(x)为区间[a，b]上的“m倍缩函数”． (1) 求证：函数f(x)＝x3为区间上的“倍缩函数”； (2) 若存在[a，b]⊆R，使函数f(x)＝log2(2x＋t)为[a，b]上的“倍缩函数”，求实数t的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $