第2章 第6讲 函数的概念及其表示方法（word教参）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（提升版）

该高中数学讲义聚焦函数概念及其表示方法高考核心考点，涵盖函数三要素、定义域求法、解析式确定及分段函数应用，按“知识整合-题型突破-分层训练”逻辑架构，通过激活思维题组、聚焦知识梳理、举题说法典例及随堂内化练习，帮助学生系统构建知识网络，突破定义域求解、抽象函数解析式等难点。 资料特色在于立足教材经典题改编，融入数学思维与数学语言素养，如设计同一函数对比辨析活动培养抽象能力，通过复合函数定义域求法实例训练推理能力，设置A组夯基、B组提升分层练习，配合变式训练即时反馈，高效提升学生问题解决能力，为教师精准把控复习节奏提供实用教学资源。

第二章　基本初等函数 第6讲　函数的概念及其表示方法 知识整合　体系重构 激活思维 1．下列图象表示函数关系y＝f(x)的是(　　) 　　　　　　 A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D 2．(教材经典题改编)(多选)下列各组函数是同一个函数的是(　　) A．f(x)＝x2－2x－1与g(s)＝s2－2s－1 B．f(x)＝x－1与g(x)＝－1 C．f(x)＝x2与g(x)＝()4 D．f(x)＝x2与g(x)＝ 3．(教材经典题改编)函数y＝的定义域为______． 4．(教材经典题改编)已知函数f(x)＝那么f(1)＋f(－3)＝____． 5．(教材经典题改编)给定函数f(x)＝－x＋1，g(x)＝(x－1)2，x∈R，m(x)＝min{f(x)，g(x)}，则m(x)＝________． 聚焦知识 1．函数的概念及表示 概念 设A，B是两个________的实数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有____的元素y和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A．其中将所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的____，将所有的输出值y组成的集合叫做函数的____ 三要素 (1) 函数的三要素：_______、_______、_____． (2) 如果两个函数的________相同，并且________完全一致，那么这两个函数为同一个函数 表示方法 (1) 解析法　(2) 列表法　(3) 图象法 注意： (1) 直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点． (2) 在函数的定义中，有两个非空实数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集． 2．定义域的求法 (1) 分母不为0；偶次根式被开方数非负； 零指数幂底数不为0；实际问题有意义；对数的真数大于0，底数大于0且不等于1． (2) 复合函数的定义域：只要对应法则相同，括号里整体的取值范围就完全相同． 题型突破　思维拓展 举题说法 对函数概念的理解 例1　(1)(2026·潍坊期初)已知集合A＝，B＝，若x∈A，y∈B，则下列对应关系为A上的一个函数的是(　　) A．y＝　 B．y＝log2x C．y＝x2　 D．y＝2x (2) 已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|0≤x≤2}，下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是(　　) 　　　　　　 A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D 变式1　(1) 已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤1}，下列能表示从A到B的函数的是(　　) A．f：x→y，y＝　 B．f：x→y，y＝2x C．f：x→y，y＝2x　 D．f：x→y，y＝x (2) (多选)下列说法正确的有(　　) A．函数v(x)＝与u(x)＝表示同一个函数 B．函数v(x)＝x2－2x＋2与u(t)＝t2－2t＋2是同一个函数 C．函数y＝f(x)的图象与直线x＝2 026至多有一个交点 D．已知函数f(x)＝|x－1|－x，则f＝0 函数的定义域 例2　(1) 函数f(x)＝＋(x－1)0的定义域为_________． (2) 若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是(　　) A．　 B． C．　 D． (3) 已知函数f(x＋1)的定义域为(－5，0)，则f(2x－1)的定义域为(　　) A．(－4，1)　 B． C．(－9，1)　 D． 函数的定义域通常由问题的实际背景确定．如果只给出解析式y＝f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x的取值集合． 变式2　(1) 若函数f(x)＝的定义域为M，则M＝(　　) A．[2，＋∞)　 B．(3，＋∞) C．[2，3)　 D．[2，3)∪(3，＋∞) (2)(2025·太原一模)已知函数y＝f(2x－1)的定义域是[－1，3]，则y＝的定义域是(　　) A．(－2，5]　 B．(－2，3] C．[－1，3]　 D．[0，2] (3) 已知函数f(x)＝的定义域为R，则实数a的取值范围是(　 ) A．[0，8]　 B．[0，8) C．(0，8]　 D．(0，8) 函数的解析式 例3　(1) 已知f＝lg x，求f(x)． (2) 已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)． (3) 已知f(x)＋2f(－x)＝3x2－x，求f(x)． 变式3　(1) 已知二次函数f(x)满足f(2x)＋f(x－1)＝10x2－7x＋5，求f(f(1))． (2) 已知f(x)＋2f＝3x－2，求f(x)． 分段函数 例4　(1) 设函数f(x)＝若f(a)＝1，则a＝_______． (2) 已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，∀x，y∈(0，＋∞)，都有f＝f(x)－f(y)＋1，且f＝2，则f(1 024)＝(　　) A．－10　 B．－9 C．－7　 D．－6 (1) 根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解． (2) 抽象函数求函数值，要合理赋值． 变式4　(1) 已知函数f(x)＝若f(f(a))＝2，则a＝(　　) A．0或1　 B．－1或1 C．0或－2　 D．－2或－1 (2) 设函数f(x)＝则不等式f(x)＋f(x＋2)＞2的解集为_______． 随堂内化 1．函数f(x)＝的定义域为(　　) A．[－2，2] B．(－∞，－1)∪(－1，2] C．[－2，－1)∪(－1，2] D．(－2，2) 2．设f(x)＝则f(9)的值为(　　) A．9　 B．11 C．28　 D．14 3．若函数y＝f(x)的定义域为[－8，1]，则函数g(x)＝的定义域是_________． 4．设f(x)为一次函数，且f(f(x))＝4x－1．若f(3)＝－5，则f(x)＝_______． 5．已知f(x)＝若f(a)＜3，则实数a的取值范围是_______． 配套精练 A组　夯基精练 一、单项选择题 1．下列选项中表示同一个函数的是(　　) A．f(x)＝x0与g(x)＝1 B．f(x)＝x与g(x)＝ C．f(x)＝与g(x)＝x－1 D．f(x)＝与g(x)＝ 2．若函数f(x)＝则f(9)＝(　　) A．2　 B．9 C．65　 D．513 3．若函数f(x)＝lg(ax2－2x＋a)的定义域为R，则实数a的取值范围为(　　) A．(－1，0)　 B．[－1，1] C．(0，1)　 D．(1，＋∞) 4．设函数f(x)的定义域为D，若∀x∈D，f(f(x))＝x，则称f(x)为“循环函数”．下列函数中，不是“循环函数”的是(　　) A．f(x)＝5－x　 B．f(x)＝5＋x C．f(x)＝－　 D．f(x)＝ 二、多项选择题 5．(2025·龙岩模拟)已知函数f(＋1)＝x＋2，则(　　) A．f(x)＝x2－1(x∈R) B．f(x)的最小值为－1 C．f(2x－3)的定义域为[2，＋∞) D．f的值域为[0，＋∞) 6．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，函数f(x)＝称为狄利克雷函数，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)的值域为[0，1] B．f(x)的定义域为R C．∀x∈R，f(f(x))＝1 D．任取一个非零有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意x∈R恒成立 三、填空题 7．若函数f(x)＝x－1的定义域为[0，4]，则函数y＝f(x2)＋[f(x)]2的值域为_________． 8．已知函数f(x)的定义域为(－4，－2)，则函数g(x)＝f(x－1)＋的定义域为________． 9．已知函数f＝x2＋，则f＝____；若函数g(x)满足2g(x)＋g＝x，则g(2)＝____． 四、解答题 10．(1) 已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的表达式； (2) 已知f(2x＋1)＝4x2＋4x，求f(x)的表达式； (3) 已知f(x)－2f＝3x＋2，求f(x)的表达式． 11．小明家院子中有块不规则空地，如图所示．小明测量并计算得出空地边缘曲线拟合函数f(x)＝小明的爸爸打算改造空地，用家中现有的8米长的栅栏围一面靠墙矩形空地ABCD用来铺设草皮，请问小明的爸爸需要购买多少平方米的草皮才能铺满矩形草地？(栅栏全部用完，不考虑材料的损耗) B组　能力提升练 12．(2025·扬州模拟)写出满足f(x－y)＝f(x)＋f(y)－2xy的函数的解析式：__________． 13．(2025·济宁期中)已知函数f(x)＝ (1) 请在网格纸中画出f(x)的简图，并写出函数的单调区间(无需证明)． (2) 定义函数g(x)＝对于定义域内的x0，若满足g(x0)＝x0，则称x0为函数g(x)的一阶不动点，简称不动点；若满足g(g(x0))＝x0，则称x0为函数g(x)的二阶不动点，简称稳定点． ①求函数g(x)的不动点； ②求函数g(x)的稳定点． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章　基本初等函数 第6讲　函数的概念及其表示方法 知识整合　体系重构 激活思维 1．下列图象表示函数关系y＝f(x)的是(　D　) 　　　　　　 A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D 2．(教材经典题改编)(多选)下列各组函数是同一个函数的是(　AD　) A．f(x)＝x2－2x－1与g(s)＝s2－2s－1 B．f(x)＝x－1与g(x)＝－1 C．f(x)＝x2与g(x)＝()4 D．f(x)＝x2与g(x)＝ 3．(教材经典题改编)函数y＝的定义域为__(－∞，1)∪(1，4]__． 4．(教材经典题改编)已知函数f(x)＝那么f(1)＋f(－3)＝__26__． 【解析】 由题意得f(1)＝5，f(－3)＝21，所以f(1)＋f(－3)＝26． 5．(教材经典题改编)给定函数f(x)＝－x＋1，g(x)＝(x－1)2，x∈R，m(x)＝min{f(x)，g(x)}，则m(x)＝____． 【解析】 由－x＋1≤(x－1)2，得x2－x≥0，解得x≥1或x≤0．又m(x)＝min{f(x)，g(x)}，所以m(x)＝ 聚焦知识 1．函数的概念及表示 概念 设A，B是两个__非空__的实数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有__唯一__的元素y和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A．其中将所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的__定义域__，将所有的输出值y组成的集合叫做函数的__值域__ 三要素 (1) 函数的三要素：__定义域__、__对应关系__、__值域__． (2) 如果两个函数的__定义域__相同，并且__对应关系__完全一致，那么这两个函数为同一个函数 表示方法 (1) 解析法　(2) 列表法　(3) 图象法 注意： (1) 直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点． (2) 在函数的定义中，有两个非空实数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集． 2．定义域的求法 (1) 分母不为0；偶次根式被开方数非负； 零指数幂底数不为0；实际问题有意义；对数的真数大于0，底数大于0且不等于1． (2) 复合函数的定义域：只要对应法则相同，括号里整体的取值范围就完全相同． 题型突破　思维拓展 举题说法 对函数概念的理解 例1　(1)(2026·潍坊期初)已知集合A＝，B＝，若x∈A，y∈B，则下列对应关系为A上的一个函数的是(　B　) A．y＝　 B．y＝log2x C．y＝x2　 D．y＝2x (2) 已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|0≤x≤2}，下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是(　D　) 　　　　　　 A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D 【解析】 对于A，当0＜x≤4时，每个x对应两个y，不符合，排除；对于B，当2＜x≤4时，没有与之对应的y，不符合，排除；对于C，y的范围超出了集合B的范围，不符合，排除；对于D，满足函数关系的条件，正确． 变式1　(1) 已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤1}，下列能表示从A到B的函数的是(　A　) A．f：x→y，y＝　 B．f：x→y，y＝2x C．f：x→y，y＝2x　 D．f：x→y，y＝x 【解析】 由集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤1}，对于A，若f：x→y，y＝，则集合A中任意元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应，所以可构成集合A到B的函数，符合题意；对于B，若f：x→y，y＝2x，则集合A中的元素2，在集合B中没有元素与之对应，所以不能构成集合A到B的函数，不符合题意；对于C，若f：x→y，y＝2x，则集合A中的元素2，在集合B中没有元素与之对应，所以不能构成集合A到B的函数，不符合题意；对于D，若f：x→y，y＝x，则集合A中的元素2，在集合B中没有元素与之对应，所以不能构成集合A到B的函数，不符合题意． (2) (多选)下列说法正确的有(　BC　) A．函数v(x)＝与u(x)＝表示同一个函数 B．函数v(x)＝x2－2x＋2与u(t)＝t2－2t＋2是同一个函数 C．函数y＝f(x)的图象与直线x＝2 026至多有一个交点 D．已知函数f(x)＝|x－1|－x，则f＝0 【解析】　对于A，v(x)＝＝因为两函数的定义域不相同，所以不是同一个函数，故A错误；对于B，函数v(x)＝x2－2x＋2与u(t)＝t2－2t＋2定义域相同，对应关系一致，所以是同一个函数，故B正确；对于C，根据函数的定义可知，函数y＝f(x)的图象与直线x＝2 026至多有一个交点，故C正确；对于D，因为f(x)＝|x－1|－x，所以f＝－＝0，则f＝f(0)＝|0－1|－0＝1，故D错误． 函数的定义域 例2　(1) 函数f(x)＝＋(x－1)0的定义域为__∪(1，＋∞)__． 【解析】 要使函数f(x)＝＋(x－1)0有意义，则解得x＞且x≠1．因此函数f(x)的定义域为∪(1，＋∞)． (2) 若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是(　D　) A．　 B． C．　 D． 【解析】　由题意知，ax2－4ax＋2＞0的解集为R．当a＝0时，2＞0恒成立，满足题意；当a≠0时，解得0＜a＜．综上，实数a的取值范围是． (3) 已知函数f(x＋1)的定义域为(－5，0)，则f(2x－1)的定义域为(　B　) A．(－4，1)　 B． C．(－9，1)　 D． 【解析】 因为函数f(x＋1)的定义域是(－5，0)，设t＝x＋1，所以t∈(－4，1)，则f(t)的定义域为(－4，1)，所以2x－1∈(－4，1)，解得x∈． 函数的定义域通常由问题的实际背景确定．如果只给出解析式y＝f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x的取值集合． 变式2　(1) 若函数f(x)＝的定义域为M，则M＝(　D　) A．[2，＋∞)　 B．(3，＋∞) C．[2，3)　 D．[2，3)∪(3，＋∞) 【解析】 由已知得解得x≥2且x≠±3，即函数f(x)＝的定义域为M＝[2，3)∪(3，＋∞)． (2)(2025·太原一模)已知函数y＝f(2x－1)的定义域是[－1，3]，则y＝的定义域是(　A　) A．(－2，5]　 B．(－2，3] C．[－1，3]　 D．[0，2] 【解析】　因为函数y＝f(2x－1)的定义域是[－1，3]，所以x∈[－1，3]，2x－1∈[－3，5]，所以y＝f(x)的定义域为[－3，5]．又因为x＋2＞0，即x＞－2，所以－2＜x≤5，所以函数y＝的定义域为(－2，5]． (3) 已知函数f(x)＝的定义域为R，则实数a的取值范围是(　B　) A．[0，8]　 B．[0，8) C．(0，8]　 D．(0，8) 【解析】 因为函数的定义域为R，所以ax2＋ax＋2≠0在x∈R上恒成立．当a＝0时，ax2＋ax＋2＝2≠0满足要求；当a≠0时，要满足Δ＝a2－8a＜0，解得0＜a＜8．综上，0≤a＜8． 函数的解析式 例3　(1) 已知f＝lg x，求f(x)． 【解答】 (换元法)令＋1＝t(t＞1)，则x＝，所以f(t)＝lg ，所以f(x)＝lg (x＞1)． (2) 已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)． 【解答】 (待定系数法)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋b＋5a＝2x＋17，所以a＝2，b＝7，所以f(x)＝2x＋7． (3) 已知f(x)＋2f(－x)＝3x2－x，求f(x)． 【解答】　由f(x)＋2f(－x)＝3x2－x，得f(－x)＋2f(x)＝3x2＋x．联立解得f(x)＝x2＋x． 变式3　(1) 已知二次函数f(x)满足f(2x)＋f(x－1)＝10x2－7x＋5，求f(f(1))． 【解答】 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，因为f(2x)＋f(x－1)＝10x2－7x＋5，所以4ax2＋2bx＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝5ax2＋(3b－2a)x＋a－b＋2c＝10x2－7x＋5，所以解得所以f(x)＝2x2－x＋1，所以f(1)＝2－1＋1＝2，所以f(f(1))＝f(2)＝2×4－2＋1＝7． (2) 已知f(x)＋2f＝3x－2，求f(x)． 【解答】 由题意得由①－2×②，得－3f(x)＝3x－2－＋4＝3x－＋2，所以f(x)＝－x－，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)． 分段函数 例4　(1) 设函数f(x)＝若f(a)＝1，则a＝__0或e__． 【解析】 当a≤0时，f(a)＝a2＋1＝1，解得a＝0；当a＞0时，f(a)＝ln a＝1，解得a＝e．综上，a＝0或e． (2) 已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，∀x，y∈(0，＋∞)，都有f＝f(x)－f(y)＋1，且f＝2，则f(1 024)＝(　B　) A．－10　 B．－9 C．－7　 D．－6 【解析】　当x＝1，y＝1时，f(1)＝f(1)－f(1)＋1，所以f(1)＝1；令y＝2x，得f(2x)＝f(x)－1，所以f(2)＝f(1)－1＝0；f(22)＝f(2)－1＝－1，f(23)＝f(22)－1＝－2，…，f(1 024)＝f(210)＝f(29)－1＝…＝f(2)－9＝－9． (1) 根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解． (2) 抽象函数求函数值，要合理赋值． 变式4　(1) 已知函数f(x)＝若f(f(a))＝2，则a＝(　D　) A．0或1　 B．－1或1 C．0或－2　 D．－2或－1 【解析】 令f(a)＝t，则f(t)＝2，可得t＝0或t＝1．当t＝0时，即f(a)＝0，显然a≤0，因此a＋2＝0，解得a＝－2；当t＝1时，即f(a)＝1，显然a≤0，因此a＋2＝1，解得a＝－1．综上所述，a＝－2或－1． (2) 设函数f(x)＝则不等式f(x)＋f(x＋2)＞2的解集为__(－∞，－2)∪(－1，＋∞)__． 【解析】　当x＋2＜0，即x＜－2时，则f(x)＋f(x＋2)＝－x－(x＋2)＝－2x－2＞2，解得x＜－2；当x＋2≥0，x＜0，即－2≤x＜0时，则f(x)＋f(x＋2)＝－x＋(x＋2)2＞2，即x2＋3x＋2＞0，解得－1＜x＜0；当x≥0时，f(x)＋f(x＋2)＝x2＋(x＋2)2≥22＝4＞2恒成立．综上所述，所求不等式的解集为(－∞，－2)∪(－1，＋∞)． 随堂内化 1．函数f(x)＝的定义域为(　C　) A．[－2，2] B．(－∞，－1)∪(－1，2] C．[－2，－1)∪(－1，2] D．(－2，2) 【解析】 要使得函数有意义，则4－x2≥0且x＋1≠0，解得x∈[－2，－1)∪(－1，2]． 2．设f(x)＝则f(9)的值为(　B　) A．9　 B．11 C．28　 D．14 【解析】 f(9)＝f(f(14))＝f(2×14－15)＝f(13)＝2×13－15＝11． 3．若函数y＝f(x)的定义域为[－8，1]，则函数g(x)＝的定义域是__∪(－2，0]__． 【解析】 由题意得－8≤2x＋1≤1且x＋2≠0，解得－≤x≤0且x≠－2，故函数g(x)的定义域是∪(－2，0]． 4．设f(x)为一次函数，且f(f(x))＝4x－1．若f(3)＝－5，则f(x)＝__－2x＋1__． 【解析】 设f(x)＝kx＋b，其中k≠0，则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋(kb＋b)＝4x－1，所以解得或当k＝－2时，f(x)＝－2x＋1，此时f(3)＝－5，符合题意；当k＝2时，f(x)＝2x－，此时f(3)＝，不符合题意．综上所述，f(x)＝－2x＋1． 5．已知f(x)＝若f(a)＜3，则实数a的取值范围是__(－2，3)__． 【解析】　当a≥0时，a2－2a＜3，解得0≤a＜3；当a＜0时，－2a－1＜3，解得－2＜a＜0．综上，a的取值范围是(－2，3)． 配套精练 A组　夯基精练 一、单项选择题 1．下列选项中表示同一个函数的是(　D　) A．f(x)＝x0与g(x)＝1 B．f(x)＝x与g(x)＝ C．f(x)＝与g(x)＝x－1 D．f(x)＝与g(x)＝ 2．若函数f(x)＝则f(9)＝(　A　) A．2　 B．9 C．65　 D．513 3．若函数f(x)＝lg(ax2－2x＋a)的定义域为R，则实数a的取值范围为(　D　) A．(－1，0)　 B．[－1，1] C．(0，1)　 D．(1，＋∞) 【解析】由函数f(x)＝lg(ax2－2x＋a)的定义域为R，得ax2－2x＋a＞0恒成立，令h(x)＝ax2－2x＋a．当a＝0时，h(x)＝－2x，显然－2x＞0不恒成立，舍去；当a≠0时，若h(x)＝ax2－2x＋a＞0恒成立，则需解得a＞1．综上，实数a的取值范围为(1，＋∞)． 4．设函数f(x)的定义域为D，若∀x∈D，f(f(x))＝x，则称f(x)为“循环函数”．下列函数中，不是“循环函数”的是(　B　) A．f(x)＝5－x　 B．f(x)＝5＋x C．f(x)＝－　 D．f(x)＝ 二、多项选择题 5．(2025·龙岩模拟)已知函数f(＋1)＝x＋2，则(　CD　) A．f(x)＝x2－1(x∈R) B．f(x)的最小值为－1 C．f(2x－3)的定义域为[2，＋∞) D．f的值域为[0，＋∞) 【解析】　依题意，f(＋1)＝()2＋2＝(＋1)2－1，则f(x)＝x2－1，x≥1，A错误；当x≥1时，f(x)≥0，当且仅当x＝1时取等号，B错误；在f(2x－3)中，2x－3≥1，解得x≥2，因此f(2x－3)的定义域为[2，＋∞)，C正确；显然f＝－1，0＜x≤1，于是∈[1，＋∞)，因此f 的值域为[0，＋∞)，D正确． 6．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，函数f(x)＝称为狄利克雷函数，则下列说法正确的是(　BCD　) A．f(x)的值域为[0，1] B．f(x)的定义域为R C．∀x∈R，f(f(x))＝1 D．任取一个非零有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意x∈R恒成立 【解析】　因为函数f(x)＝所以f(x)的定义域为R，值域为{0，1}，故A错误，B正确．当x为有理数时，f(x)＝1，f(f(x))＝f(1)＝1；当x为无理数时，f(x)＝0，f(f(x))＝f(0)＝1，所以∀x∈R，f(f(x))＝1，故C正确．对任意非零有理数T，若x是有理数，则x＋T是有理数；若x是无理数，则x＋T是无理数，根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意x∈R恒成立，故D正确． 三、填空题 7．若函数f(x)＝x－1的定义域为[0，4]，则函数y＝f(x2)＋[f(x)]2的值域为____． 【解析】　由题意可知函数y＝f(x2)＋[f(x)]2要有意义，则需即0≤x≤2，故该函数的定义域为[0，2]．又f(x)＝x－1，所以y＝x2－1＋(x－1)2＝2x2－2x，对称轴为x＝，所以当x＝时，ymin＝－，当x＝2时，ymax＝4，所以该函数的值域为． 8．已知函数f(x)的定义域为(－4，－2)，则函数g(x)＝f(x－1)＋的定义域为__[－2，－1)__． 【解析】　因为f(x)的定义域为(－4，－2)，所以要使g(x)＝f(x－1)＋有意义，则解得－2≤x＜－1，所以函数g(x)的定义域为[－2，－1)． 9．已知函数f＝x2＋，则f＝____；若函数g(x)满足2g(x)＋g＝x，则g(2)＝____． 【解析】　因为f＝x2＋＝＋2，所以f(x)＝x2＋2，f＝＋2＝．由已知可得解得g(x)＝，其中x≠0，因此，g(2)＝． 四、解答题 10．(1) 已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的表达式； 【解答】　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．因为f(0)＝1，所以c＝1．又因为f(x＋1)－f(x)＝2x，所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，整理得2ax＋(a＋b)＝2x．由恒等式的性质知上式中对应项系数相等，所以解得所以所求函数的表达式为f(x)＝x2－x＋1． (2) 已知f(2x＋1)＝4x2＋4x，求f(x)的表达式； 【解答】　令2x＋1＝t，则x＝，所以f(t)＝4×2＋4×＝t2－1，所以所求函数的表达式为f(x)＝x2－1． (3) 已知f(x)－2f＝3x＋2，求f(x)的表达式． 【解答】　在原式中用替换x，得f－2f(x)＝＋2，联立消去f，得f(x)＝－x－－2(x≠0)．所以所求函数的表达式为f(x)＝－x－－2(x≠0)． 11．小明家院子中有块不规则空地，如图所示．小明测量并计算得出空地边缘曲线拟合函数f(x)＝小明的爸爸打算改造空地，用家中现有的8米长的栅栏围一面靠墙矩形空地ABCD用来铺设草皮，请问小明的爸爸需要购买多少平方米的草皮才能铺满矩形草地？(栅栏全部用完，不考虑材料的损耗) 【解答】 设A(t2，t)，0＜t＜4．因为f(x)＝则B(10－3t，t)，所以10－3t－t2＋2t＝8，解得t＝1，即A(1，1)，B(7，1)，此时矩形ABCD的面积为6×1＝6(m2)，故小明的爸爸需要购买6平方米的草皮才能铺满矩形草地． B组　能力提升练 12．(2025·扬州模拟)写出满足f(x－y)＝f(x)＋f(y)－2xy的函数的解析式：__f(x)＝x2__． 【解析】　f(x－y)＝f(x)＋f(y)－2xy中，令x＝y＝0，得f(0)＝0．令y＝x得f(x－x)＝f(x)＋f(x)－2x2，故f(x)＋f(x)＝2x2，则f(x)＝x2． 13．(2025·济宁期中)已知函数f(x)＝ (1) 请在网格纸中画出f(x)的简图，并写出函数的单调区间(无需证明)． 【解答】 画出f(x)的简图如图所示，可知f(x)的单调递增区间为[－1，0]，(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1)． (2) 定义函数g(x)＝对于定义域内的x0，若满足g(x0)＝x0，则称x0为函数g(x)的一阶不动点，简称不动点；若满足g(g(x0))＝x0，则称x0为函数g(x)的二阶不动点，简称稳定点． ①求函数g(x)的不动点； ②求函数g(x)的稳定点． 【解答】 易知g(x)＝ ①当－2≤x0≤0时，g(x0)＝－2x0－2，令g(x0)＝x0得－2x0－2＝x0，解得x0＝－；当0＜x0≤2时，g(x0)＝x－2，令g(x0)＝x0得x－2＝x0，解得x0＝1±(舍去)．综上，函数g(x)的不动点为－． ②当－2≤x0＜－1时，g(x0)＝－2x0－2，且0＜g(x0)≤2，则g(g(x0))＝g(－2x0－2)＝(－2x0－2)2－2＝2x＋4x0．令g(g(x0))＝x0得2x＋4x0＝x0，解得x0＝－或x0＝0(舍去)．当－1≤x0≤0时，g(x0)＝－2x0－2，且－2≤g(x0)≤0，则g(g(x0))＝g(－2x0－2)＝－2(－2x0－2)－2＝4x0＋2．令g(g(x0))＝x0，得4x0＋2＝x0，解得x0＝－．当0＜x0≤2时，g(x0)＝x－2，且－2＜g(x0)≤0，则g(g(x0))＝g＝－2－2＝－x＋2．令g(g(x0))＝x0，得－x＋2＝x0，解得x0＝1或x0＝－2(舍去)．综上，函数g(x)的稳定点有3个，分别是－，－和1． 学科网（北京）股份有限公司 $