第1章 微专题1 多变量最值问题的求解策略（word教参）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（提升版）

该高中数学讲义聚焦高考多变量最值问题，整合因式分解双换元、构造二次不等式、齐次式等六大求解策略，按问题特征分层构建知识体系。通过考点梳理明确策略适用场景，方法指导结合典型例题解析思路，真题训练强化实战应用，形成系统高效的复习路径。 资料以“问题特征—策略匹配—思维建模”为主线，如例1通过因式分解转化变量关系，培养学生数学思维中的推理能力与运算能力。配套精练分选择填空分层设题，即时反馈巩固方法，助力学生在有限时间内掌握解题通法，为教师把控复习重点、提升学生应考能力提供有力支持。

　多变量最值问题的求解策略 因式分解双换元 例1　(1) 已知0＜a＜1,0＜b＜1，且4(a＋b)＝4ab＋3，则a＋2b的最大值为(　　) A．2　 B．2 C．3－　 D．3－2 (2) 已知x2－3xy＋2y2＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值为( 　) A．－6　 B．＋6 C．2＋6　 D．2－6 (1) 特征：条件式子复杂，一般有一次和二次(因式分解展开就是一次和二次)，可能就符合因式分解原理． (2) 最常见的因式分解：a＋b＋ab＋1＝(a＋1)(b＋1)． 变式1　设实数x，y满足－y2＝1，则3x2－2xy的最小值是________． 构造二次不等式 例2　已知正数a，b满足a＋b＋＋＝10，则a＋b的最大值是____． 若变量x，y满足mx＋ny＋＋＝t，处理办法：(1) 问谁设谁：求谁，设谁就是k；(2) 代入整理：整理成某个变量的一元二次方程(或不等式)；(3) 确认最值：方程有解(或不等式用均值放缩)，从而确定最值． 变式2　已知x，y＞0，若x＋4y＋6＝＋，则＋的最小值是(　　) A．8　 B．7 C．6　 D．5 构造齐次式 例3　已知实数a，b＞0，若a＋2b＝1，则＋的最小值为(　　) A．12　 B．2 C．6　 D．8 变式3　已知正实数a，b满足2a＋3b＝2，则的最大值为_______． 待定系数配凑 例4　(1) 已知a＞0，b＞0，则的最大值为____． (2) 已知a＞0，b＞0，则的最大值为____． ab＋bc＝a·b＋b·c≤＋(λ，μ＞0)，a2＋b2＋c2＝a2＋λb2＋(1－λ)b2＋c2≥2ab＋2bc(0＜λ＜1)． 一般通过类似上式构造，配凑出题目所需要的结构，进而化简整理得到题目所求最值，分式最值注意上下系数成比例． 借助柯西不等式(选讲) 1．柯西不等式的二维形式：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立． 2．柯西不等式的一般情形：(a＋a＋…＋a)·(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时等号成立． 例5(1) 已知x，y，z∈R，且2x＋y－z＝2，则x2＋y2＋z2的最小值是__________． (2) 已知a，b，c均为正数，若a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为(　　) A．9　 B．8 C．3　 D． 　双重最值问题 例6(1) 定义min表示a1，a2，…，an中的最小值，max表示a1，a2，…，an中的最大值．则对任意的a＞0，b＞0，min的值为____． (2)(2025·晋城一模)设max{a，b，c，d}表示a，b，c，d中最大的数，若x，y均为正数，则max的最小值为(　　) A．　 B．2 C．　 D．3 配套精练 一、单项选择题 1．(2025·泰安期末)若x＞0，y＞0，xy＝4x＋y＋5，则4x＋y的最小值为(　　) A．12　 B．16 C．20　 D．25 2．已知a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＋＋＝5，则a＋b的取值范围是(　　) A．[1,4]　 B．[2，＋∞) C．(1,4)　 D．(4，＋∞) 3．已知x，y，z为正实数，则的最大值为(　　) A．1　 B．2 C．　 D． 4．已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋4c2＋4d2＝5，则a的最大值为(　　) A．1　 B．2 C．3　 D．4 5．已知实数x＞0，y＞0，且x＋＋＋＝5，则2x＋y的最大值为(　　) A．10　 B．8 C．4　 D．2 6．记max表示x，y，z中的最大数，若a＞0，b＞0，则max的最小值为(　　) A．　 B． C．2　 D．3 二、填空题 7．已知正实数a，b，c满足a2－2ab＋9b2－c＝0，则的最大值为________． 8．已知x，y是正实数，且x＋y＝1，则＋的最小值为_________． 9．已知a，b，c＞0，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值为________． 10．已知实数x，y满足x(x＋y)＝2＋2y2，则7x2－y2的最小值为__________． 11．为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，某校在高一年级开设了《数学探究与发现》选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等式(二维)：已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则|a·b|2≤|a|2|b|2，即(x1x2＋y1y2)2≤(x＋y)(x＋y)，当且仅当x1y2＝x2y1时等号成立．学生乙从这个结论出发，作一个代数变换，得到了一个新不等式：(x1x2－y1y2)2≥(x－y)(x－y)，当且仅当x1y2＝x2y1时等号成立，并取名为“类柯西不等式”．根据前面的结论可知：当x∈R时，－的最小值是____． 12．已知a，b，c为正实数，则max＝________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 　多变量最值问题的求解策略 因式分解双换元 例1　(1) 已知0＜a＜1,0＜b＜1，且4(a＋b)＝4ab＋3，则a＋2b的最大值为(　C　) A．2　 B．2 C．3－　 D．3－2 【解析】　因为4(a＋b)＝4ab＋3，所以4ab－4a－4b＋3＝0，配凑得4ab－4a－4b＋4＝1，两边同时除以4得ab－a－b＋1＝，即(1－a)(1－b)＝．令x＝1－a＞0，y＝1－b＞0，则a＝1－x，b＝1－y，y＝，所以a＋2b＝1－x＋2(1－y)＝－x－2y＋3＝－x－＋3＝－＋3≤－2＋3＝3－． (2) 已知x2－3xy＋2y2＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值为(　D　) A．－6　 B．＋6 C．2＋6　 D．2－6 【解析】　因为x2－3xy＋2y2＝(x－y)(x－2y)＝1，可设x－y＝t，x－2y＝(t≠0)，所以x＝2t－，y＝t－，从而x2＋y2＝2＋2＝5t2＋－6≥2－6＝2－6，当且仅当5t2＝，即t2＝时等号成立，所以x2＋y2的最小值为2－6． (1) 特征：条件式子复杂，一般有一次和二次(因式分解展开就是一次和二次)，可能就符合因式分解原理． (2) 最常见的因式分解：a＋b＋ab＋1＝(a＋1)(b＋1)． 变式1　设实数x，y满足－y2＝1，则3x2－2xy的最小值是__4＋6__． 【解析】　－y2＝＝1．令－y＝t，＋y＝，则则3x2－2xy＝32－2＝3t2＋6＋－2＝4t2＋＋6≥2＋6＝4＋6，当且仅当4t2＝，即t2＝时取等号． 构造二次不等式 例2　已知正数a，b满足a＋b＋＋＝10，则a＋b的最大值是__9__． 【解析】　设a＋b＝x，则＋＝10－x．因为a，b均为正数，所以解得0＜x＜10．x(10－x)＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，所以x(10－x)≥9，即x2－10x＋9≤0，解得1≤x≤9，满足0＜x＜10，所以a＋b的最大值为9． 若变量x，y满足mx＋ny＋＋＝t，处理办法：(1) 问谁设谁：求谁，设谁就是k；(2) 代入整理：整理成某个变量的一元二次方程(或不等式)；(3) 确认最值：方程有解(或不等式用均值放缩)，从而确定最值． 变式2　已知x，y＞0，若x＋4y＋6＝＋，则＋的最小值是(　A　) A．8　 B．7 C．6　 D．5 【解析】　设＋＝k(k＞0)，则x＋4y＋6＝k，则(x＋4y＋6)＝k2，所以(x＋4y)＋6k＝k2，整理得k2－6k－8＝＋．由x，y＞0得k2－6k－8＝＋≥2＝8，当且仅当x＝，y＝时取“＝”．所以k2－6k－16≥0，解得k≥8或k≤－2(舍去)，即当x＝1，y＝时，＋取得最小值8． 构造齐次式 例3　已知实数a，b＞0，若a＋2b＝1，则＋的最小值为(　A　) A．12　 B．2 C．6　 D．8 【解析】　由题知＋＝＋＝＋＝＋＋4＋＝＋＋4≥2＋4＝8＋4＝12，当且仅当＝，即a＝b＝时取等号，所以＋的最小值为12． 变式3　已知正实数a，b满足2a＋3b＝2，则的最大值为____． 【解析】　因为2a＋3b＝2，所以＝＝＝．又a＞0，b＞0，所以＋≥2＝12，当且仅当a＝，b＝时等号成立，则的最大值为． 待定系数配凑 例4　(1) 已知a＞0，b＞0，则的最大值为____． 【解析】　＝≤＝·＝，当且仅当a＝，b＝时取等号． (2) 已知a＞0，b＞0，则的最大值为____． 【解析】　＝≤＝，当且仅当b＝c＝时等号成立． ab＋bc＝a·b＋b·c≤＋(λ，μ＞0)，a2＋b2＋c2＝a2＋λb2＋(1－λ)b2＋c2≥2ab＋2bc(0＜λ＜1)． 一般通过类似上式构造，配凑出题目所需要的结构，进而化简整理得到题目所求最值，分式最值注意上下系数成比例． 借助柯西不等式(选讲) 1．柯西不等式的二维形式：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立． 2．柯西不等式的一般情形：(a＋a＋…＋a)·(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时等号成立． 例5(1) 已知x，y，z∈R，且2x＋y－z＝2，则x2＋y2＋z2的最小值是____． 【解析】　由柯西不等式可得x2＋y2＋z2＝[22＋12＋(－)2](x2＋y2＋z2)≥(2x＋y－z)2＝，当且仅当＝＝ ，即x＝，y＝，z＝－时等号成立，故x2＋y2＋z2的最小值是． (2) 已知a，b，c均为正数，若a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为(　A　) A．9　 B．8 C．3　 D． 【解析】　＋＋＝(a＋b＋c) ＝[()2＋()2＋()2]≥2＝9，当且仅当a＝b＝c＝时等号成立，故所求最小值为9． 　双重最值问题 例6(1) 定义min表示a1，a2，…，an中的最小值，max表示a1，a2，…，an中的最大值．则对任意的a＞0，b＞0，min的值为____． 【解析】　设max＝m，因为a，b＞0，所以m≥＞0，m≥＞0，m≥a2＋b2＞0，即a≥，b≥，可得a2＋b2≥，所以m≥，所以m≥，即有m的最小值为． (2)(2025·晋城一模)设max{a，b，c，d}表示a，b，c，d中最大的数，若x，y均为正数，则max的最小值为(　D　) A．　 B．2 C．　 D．3 【解析】　设max＝M．因为x为正数，所以4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝，即x＝时等号成立，则M≥2．因为y为正数，所以y＋≥2＝6，当且仅当y＝，即y＝3时等号成立，则M≥3．综上，M≥3，所以max的最小值为3． 配套精练 一、单项选择题 1．(2025·泰安期末)若x＞0，y＞0，xy＝4x＋y＋5，则4x＋y的最小值为(　C　) A．12　 B．16 C．20　 D．25 【解析】　方法一：4xy＝4(4x＋y＋5)≤2，当且仅当4x＝y时取等号，即(4x＋y)2－16(4x＋y)－80≥0，即(4x＋y－20)(4x＋y＋4)≥0．因为x＞0，y＞0，所以4x＋y≥20，所以4x＋y的最小值为20． 方法二：由xy＝4x＋y＋5得(x－1)(y－4)＝9，记所以且ab＝9，则4x＋y＝4a＋4＋b＋4≥2＋8＝20，当且仅当a＝，b＝6时等号成立． 2．已知a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＋＋＝5，则a＋b的取值范围是(　A　) A．[1,4]　 B．[2，＋∞) C．(1,4)　 D．(4，＋∞) 【解析】 因为a，b∈(0，＋∞)，所以由2≥ab，所以≥．又a＋b＋＋＝5，所以(a＋b)＝5≥(a＋b)，化为(a＋b)2－5(a＋b)＋4≤0，解得1≤a＋b≤4，即a＋b的取值范围是[1,4]． 3．已知x，y，z为正实数，则的最大值为(　C　) A．1　 B．2 C．　 D． 【解析】　因为＝≤＝＝，所以的最大值为． 4．已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋4c2＋4d2＝5，则a的最大值为(　B　) A．1　 B．2 C．3　 D．4 【解析】 由柯西不等式得(2b2＋4c2＋4d2)≥(b＋c＋d)2，即2b2＋4c2＋4d2≥(b＋c＋d)2．将条件代入可得5－a2≥(3－a)2，解得1≤a≤2，当且仅当2b＝4c＝4d且b＋c＋d＝1，即b＝，c＝，d＝时，a取得最大值2． 5．已知实数x＞0，y＞0，且x＋＋＋＝5，则2x＋y的最大值为(　B　) A．10　 B．8 C．4　 D．2 【解析】 x＋＋＋＝5，可变形为(2x＋y)·＝5．设2x＋y＝t，因为2x＋y≥2，当且仅当2x＝y时取等号，即t≥2，所以≥，所以5≥t，即t2－10t＋16≤0，解得2≤t≤8，所以tmax＝8，此时2x＝y＝4，x＝2，y＝4，即2x＋y的最大值为8． 6．记max表示x，y，z中的最大数，若a＞0，b＞0，则max的最小值为(　C　) A．　 B． C．2　 D．3 【解析】　由a＞0，b＞0，分两种情况讨论：①当a≥b时，则max＝max，而a＋＋≥a＋≥2＝4，可得a，＋至少有一个大于等于2，所以max的最小值为2；②当a≤b时，则max＝max，而b＋＋≥b＋≥2＝4，可得b，＋至少有一个大于等于2，所以max的最小值为2．综上，max的最小值为2． 二、填空题 7．已知正实数a，b，c满足a2－2ab＋9b2－c＝0，则的最大值为____． 【解析】　由a2－2ab＋9b2－c＝0，得c＝a2－2ab＋9b2，则＝＝．因为＋≥2＝6，当且仅当＝，即a＝3b时等号成立，故＋－2≥4＞0，则≤，所以的最大值为． 8．已知x，y是正实数，且x＋y＝1，则＋的最小值为____． 【解析】　方法一(双换元)：设x＋2＝s，y＋1＝t，则s＋t＝x＋y＋3＝4，所以＋＝＋＝＋＝(s＋t)＋－6＝－2．因为＋＝(s＋t)＝≥，当且仅当s＝2t，即s＝，t＝时等号成立，所以＋≥，当且仅当x＝，y＝时取等号，所以＋的最小值为． 方法二(权方和不等式)：＋≥＝，当且仅当＝，即xy＋x＝xy＋2y，x＝2y，即x＝，y＝时取等号．所以＋的最小值为． 9．已知a，b，c＞0，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值为__3__． 【解析】　由柯西不等式得(＋＋)2≤(12＋12＋12)[()2＋()2＋()2]＝3×[3(a＋b＋c)＋3]＝18，所以＋＋≤3，当且仅当a＝b＝c＝时等号成立． 10．已知实数x，y满足x(x＋y)＝2＋2y2，则7x2－y2的最小值为____． 【解析】 已知实数x，y满足x(x＋y)＝2＋2y2，故可化为(x＋2y)(x－y)＝2．令x＋2y＝m，x－y＝n，则mn＝2，联立可得x＝，y＝，则7x2－y2＝7×－＝≥＝，当且仅当2m2＝，即m2＝3，n2＝时取等号． 11．为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，某校在高一年级开设了《数学探究与发现》选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等式(二维)：已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则|a·b|2≤|a|2|b|2，即(x1x2＋y1y2)2≤(x＋y)(x＋y)，当且仅当x1y2＝x2y1时等号成立．学生乙从这个结论出发，作一个代数变换，得到了一个新不等式：(x1x2－y1y2)2≥(x－y)(x－y)，当且仅当x1y2＝x2y1时等号成立，并取名为“类柯西不等式”．根据前面的结论可知：当x∈R时，－的最小值是__－1__． 【解析】 由题意得－＝－，则[(2x2＋1)－(2x2＋2)]＝· [()2－()2]≤2＝1，当且仅当·＝·，即x＝0时等号成立，即[(2x2＋1)－(2x2＋2)]≤1，即－≤1，所以－≥－1，故－的最小值为－1． 12．已知a，b，c为正实数，则max＝____． 【解析】　设t＝min，则0＜t≤，0＜t≤，0＜t≤．从而a≤，b2≤，c3≤，所以t≤a＋b2＋c3≤，于是t≤，且当a＝b2＝c3＝时，t＝．故max＝． 学科网（北京）股份有限公司 $