第1章 第5讲 基本不等式（word教参）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（提升版）

该高中数学高考复习讲义聚焦基本不等式核心考点，涵盖不等式成立条件、最值求法及综合应用，按知识整合-题型突破-分层练习逻辑架构知识体系。通过考点梳理、方法指导（如“1”的代换、配凑法）、真题训练等环节，帮助学生构建解题框架，突破应用难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以多视角题型突破为特色，设直接求最值、配凑法、常值代换等视角，结合随堂内化与A/B组分层精练。通过实际应用问题（如矩形菜园面积最大化）培养数学思维与模型意识，引导学生用数学语言表达数量关系。分层练习确保不同学生有效提升，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第5讲　基本不等式 知识整合　体系重构 激活思维 1．(教材经典题改编)已知x＞1，则x＋的最小值为(　C　) A．1　 B．2 C．3　 D．4 【解析】　因为x＞1，所以x－1＞0，所以x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x－1＝，即x＝2时等号成立，此时x＋取得最小值3． 2．(教材经典题改编)若函数f(x)＝x＋(x＞2)在x＝a处取最小值，则实数a＝(　C　) A．1＋　 B．1＋ C．3　 D．4 【解析】　当x＞2时，x－2＞0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x＞2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3． 3．(多选)已知a，b∈R，则下列不等式成立的是(　BD　) A．≥　 B．≤ C．≤　 D．ab≤ 【解析】　对于A，由选项可知a与b同号，当a＞0且b＞0时，由基本不等式可知≥恒成立；当a＜0且b＜0时，＜0，＞0，该不等式不成立，故A错误．对于B，当a＋b＞0时，＞0，则2－2＝＝≤0恒成立， 即≤恒成立；当a＋b≤0时，原不等式恒成立，故B正确．对于C，当a＋b＞0时，2ab－＝≤0，即2ab≤，≤恒成立；当a＋b＜0时，2ab－＝≤0，即2ab≤，≥，故C错误．对于D，由重要不等式可知，a，b∈R，ab≤恒成立，故D正确． 4．(教材经典题改编)已知x＞0，则2－3x－的最大值是__2－4__． 【解析】 因为x＞0，所以2－3x－＝2－≤2－2＝2－4，当且仅当3x＝，即x＝时等号成立． 5．(教材经典题改编)用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，当这个矩形与墙相对的一边长为__15__m时，菜园面积最大，最大面积是____m2． 【解析】 设矩形与墙相对的一边长为x m(0＜x≤18)，另一边长为y m，菜园面积为S m2，则x＋2y＝30，S＝xy＝x·2y≤2＝×＝，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝时等号成立． 聚焦知识 1．基本不等式 基本不等式 基本不等式：≤(条件：一正二定三相等) (1) 基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0． (2) 等号成立的条件：当且仅当__a＝b__时取等号． (3) 其中____叫做正数a，b的算术平均数，____叫做正数a，b的几何平均数 利用基本不等式求最值 (4) 已知x，y＞0，由x＋y≥2，知若积xy＝P(定值)，则当x＝y时，和x＋y有最小值__2__． (5) 已知x，y＞0，由x＋y≥2，知若和x＋y＝S(定值)，则当x＝y时，积xy有最大值____ “1”的代换 已知a，x，b，y∈(0，＋∞)，若ax＋by＝1，则有： ＋＝(ax＋by)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2 2．常用不等式链 若a＞0，b＞0，则≤≤≤，当且仅当a＝b时等号成立，其中是a，b的调和平均数，是a，b的平方平均数． 题型突破　思维拓展 举题说法 利用基本不等式求最值 视角1　直接求最值 例 1－1　(1) 函数y＝x的最大值为____． 【解析】　由1－x2≥0知－1≤x≤1．当0＜x＜1时，x＝≤＝，当且仅当x2＝1－x2，即x＝时等号成立；当x＝0或x＝±1时，x＝0；当－1＜x＜0时，x＜0．综上所述，y＝x的最大值为． (2) 已知正实数a，b满足ab＝1，则a＋4b的最小值为__4__． 【解析】　a＋4b≥2＝2＝4，当且仅当a＝4b，即a＝2，b＝时等号成立，则a＋4b的最小值为4． 视角2　配凑法求最值 例 1－2　(1) 若x＞，则x＋的最小值为____． 【解析】　因为x＞，所以3x－1＞0．由基本不等式可得x＋＝(3x－1)＋＋≥2＋＝，当且仅当＝，即x＝时等号成立．故x＋的最小值为． (2) 已知正实数a，b满足4a2＋b2＝2，则a的最大值为____． 【解析】　a·＝·2a·≤·＝，当且仅当2a＝，即a＝，b＝时取等号． 视角3　常值代换法求最值 例 1－3　(1) 已知x，y为正实数，且x＋y＝1，则的最小值为(　C　) A．2＋1　 B．2－1 C．2＋5　 D．2－5 【解析】　因为x＋y＝1，所以＝＝＝＋．因为＋＝(x＋y)·＝＋3＋2＋＝＋＋5≥2＋5＝2＋5，当且仅当即 时等号成立，所以的最小值为2＋5． (2) 已知3x＞y＞0，且7x＋5y＝1，则＋的最小值为(　B　) A．10　 B．9 C．8　 D．7 【解析】　因为3x＞y＞0，所以3x－y＞0，由题意得，＋＝＋＝(3x－y＋4x＋6y)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当2(3x－y)＝4x＋6y，即x＝，y＝时取等号． 视角4　消元法 例 1－4(1) 若a＞0，b＞0，且ab＝a＋b＋1，则a＋8b的最小值为(　C　) A．15　 B．8＋4 C．17　 D．6＋4 【解析】　因为ab＝a＋b＋1，所以a(b－1)＝b＋1，其中b≠1，所以a＝．又因为a＞0，b＞0，所以b－1＞0，则a＋8b＝＋8b＝＋8b＋1＝＋8(b－1)＋9≥2＋9＝17，当且仅当＝8(b－1)，即b＝时等号成立，所以a＋8b的最小值为17． (2) 已知正实数x，y满足x2＋3xy－2＝0，则2x＋y的最小值为(　A　) A．　 B． C．　 D． 【解析】　由正实数x，y满足x2＋3xy－2＝0，则y＝－，则2x＋y＝2x＋－＝＋≥2＝，当且仅当＝，即x＝，y＝时等号成立，所以2x＋y的最小值为． 基本不等式的综合应用 视角1　基本不等式常见变形及其应用 例 2－1　(2025·浙江联考)(多选)已知正数x，y满足2x＋y＝1，则(　BCD　) A．xy≤　 B．＋≥8 C．＋≤　 D．x2＋y2≥ 【解析】　对于A，由基本不等式2x＋y≥2，知1≥2，可得xy≤，当且仅当2x＝y＝时取等号，A错误；对于B，＋＝(2x＋y)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即2x＝y＝时取等号，B正确；对于C，(＋)2＝2x＋y＋2＝1＋2，由A知xy≤，所以(＋)2≤1＋2＝2，则＋≤，当且仅当2x＝y＝时取等号，C正确；对于D，x2＋y2＝2＋y2＝y2－y＋，根据二次函数性质，其对称轴为y＝，当y＝时，x＝，x2＋y2取得最小值，D正确． 视角2　利用基本不等式解恒成立问题 例 2－2　已知x＞0，y＞0，且x＜y＜2x，x＋y＝3．若＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是____． 【解析】　若＋≥a恒成立，则a≤min．又＋＝(2x－y＋2y－x)＝≥＝，当且仅当＝，即x＝，y＝3－时等号成立，所以a≤，即实数a的取值范围是． 分离参数是处理此类问题的首选方法，一般转化为基本不等式求最值或转化为求某个函数的最值问题． 变式2　若正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋≥m2－3m恒成立，则实数m的取值范围是__[－1,4]__． 【解析】 由正实数x，y满足＋＝1，得x＋＝＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即x＝2，y＝8时等号成立，此时x＋取得最小值4．要使不等式x＋≥m2－3m恒成立，则m2－3m≤4，解得－1≤m≤4．所以实数m的取值范围是[－1,4]． 视角3　实际应用问题 例 2－3　(2025·郑州一模)已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为AD，AB上的点，当△AEF的周长为4时，△AEF面积的最大值为__12－8__． 【解析】　设AE＝x，AF＝y(0≤x≤2，0≤y≤2)，则EF＝．由△AEF的周长为4，所以x＋y＋＝4，因为x＋y＋＝4≥2＋，当且仅当x＝y时取等号，故≤＝4－2，则xy≤24－16，则△AEF的面积S＝xy≤12－8．故△AEF面积的最大值为12－8． 随堂内化 1．(2025·汕头一模)已知a＞0，b＞0，a＋b＝4，则ab的最大值为(　C　) A．1　 B．2 C．4　 D．不存在 【解析】　由基本不等式得ab≤2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号． 2．(2026·武汉期初)(多选)已知正实数a，b满足a＋b≥2，则(　BD　) A．ab≥1　 B．a2＋b2≥2 C．＋≥2　 D．2a＋2b≥4 【解析】　对于A，取a＝2，b＝0.1，此时a＋b＝2.1＞2，但ab＝0.2＜1，故A错误；对于B，a2＋b2≥≥2，当且仅当a＝b＝1时等号成立，故B正确；对于C，取a＝2，b＝2，此时a＋b＝4＞2，但＋＝1＜2，故C错误；对于D, 2a＋2b≥2＝2≥2＝4，当且仅当a＝b＝1时等号成立，故D正确． 3．(2025·许昌二模)(多选)若b＞1，a＋2b－ab＝0，则下列说法正确的是(　ACD　) A．a＞2 B．＋＋1的最小值是 C．ab的最小值是8 D．＋的最小值是 【解析】　由a＋2b－ab＝0，得b＝1＋＞1，解得a＞2，A正确；＋＋1＝＋＋≥2＋＝，当且仅当＝，即a＋2b＝2b时等号成立，而此时a，b不存在，B错误；由a＋2b－ab＝0，得ab＝a＋2b≥2＝2·，所以ab≥8，当且仅当a＝2b，即a＝4，b＝2时等号成立，C正确；由a＋2b－ab＝0，得(a－2)(b－1)＝2，则＋≥2＝2＝，当且仅当＝，即a＝2＋，b＝1＋时等号成立，D正确． 配套精练 A组　夯基精练 一、单项选择题 1．(2025·厦门模拟)已知x＞0，y＞0，且4x＋9y＝6，则xy的最大值为(　A　) A．　 B． C．1　 D．2 【解析】　xy＝(4x)·(9y)≤2＝，当且仅当x＝，y＝时取等号，即xy的最大值为． 2．(2025·武汉一模)若a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则－－的最大值为(　A　) A．－9　 B．－7 C．－5　 D．－3 【解析】　由a＞0，b＞0，且a＋b＝1，所以＋＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立，所以－－的最大值为－9． 3．(2025·六安期末)已知A，B两地的距离是200 km，根据交通法规，两地之间的公路车速应限制在50～100 km/h．假设油价是8元/L，以x km/h的速度行驶时，汽车的耗油率为 L/h，司机每小时的工资是56元，那么最经济的车速是(　C　) A．24 km/h　 B．55 km/h C．60 km/h　 D．80 km/h 【解析】　由题意可知，行车的总费用为f(x)＝·＝＋，其中50≤x≤100．由基本不等式可得f(x)＝160≥160×2＝(元)，当且仅当＝，即x＝60时等号成立，因此，最经济的车速是60 km/h． 4．(2025·石家庄质检)已知x＞0，y＞0，且＋＝1，则3x＋3y的最小值为(　C　) A．3＋2　 B．4＋2 C．5＋2　 D．6＋2 【解析】　令m＝2x＋y，n＝x＋2y，则3x＋3y＝m＋n．由题意得＋＝1，所以3x＋3y＝(m＋n)＝3＋2＋＋＝5＋＋≥5＋2＝5＋2，当且仅当＝且＋＝1，即m＝＋3，n＝＋2时等号成立，所以3x＋3y的最小值为5＋2． 5．已知x＞0，y＞0，且＋＝，若x＋y＞m2＋3m恒成立，则实数m的取值范围是(　C　) A．(－4,6)　 B．(－3,0) C．(－4,1)　 D．(1,3) 【解析】　由x＞0，y＞0，且＋＝，所以x＋2＋y＝(x＋2＋y)＝≥＝6，当且仅当＝，即y＝3，x＝1时取等号，所以x＋y≥4．因为x＋y＞m2＋3m恒成立，所以m2＋3m＜4，即(m－1)(m＋4)＜0，解得－4＜m＜1． 二、多项选择题 6．(2025·上饶二模)若正实数a，b满足a＋b＝1，则(　ABC　) A．＋的最大值是 B．＋的最小值是9 C．(1＋a)(1＋b)的最大值是 D．a2＋2b2的最小值是 【解析】　对于A，＋＝≤＝，当且仅当a＝b＝时取等号，A正确；对于B，＋＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a＝时取等号，B正确；对于C，(1＋a)(1＋b)≤2＝，当且仅当a＝b＝时取等号，C正确；对于D，a＝1－b,0＜b＜1，则a2＋2b2＝(1－b)2＋2b2＝3b2－2b＋1＝32＋≥，当且仅当b＝时取等号，D错误． 7．(2025·三明5月质检)以下结论正确的是(　ACD　) A．若a2＋b2＝1，则a＋b的最大值为 B．若(a＋1)(b＋1)＝4，则a＋b≥2 C．若a＞0，b＞0，则a2＋b2＋的最小值为2 D．若θ∈(0，π)，则＋≥2 【解析】　对于A，(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝1＋2ab≤1＋(a2＋b2)＝2，当且仅当a＝b＝±时等号成立，所以－≤a＋b≤，故A正确；对于B，(a＋1)(b＋1)＝ab＋a＋b＋1＝4，所以ab＝3－(a＋b)≤，即(a＋b)2＋4(a＋b)－12≥0，解得a＋b≥2(当且仅当a＝b＝1时等号成立)或a＋b≤－6(当且仅当a＝b＝－3时等号成立)，故B错误；对于C，因为a＞0，b＞0，所以a2＋b2＋≥2ab＋≥2，当且仅当即a2＝b2＝时等号成立，故C正确；对于D，＋＝(sin2θ＋cos2θ＋1)＝≥×(2＋2)＝2，当且仅当＝，即cos θ＝0，sin θ＝1，即θ＝时等号成立，故D正确． 三、填空题 8．(2025·石家庄一检)已知x∈(0,4)，则f(x)＝＋的最小值为____． 【解析】　由x∈(0,4)，得－x∈(－4,0)，4－x∈(0,4)，f(x)＝＋＝(x＋4－x)＝≥＝，当且仅当 ＝ ，即x＝时等号成立． 9．若a＞0，b＞0，a＋b＝9，则＋的最小值为__8__． 【解析】　＋＝＋＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当a＝6，b＝3时取等号，故＋的最小值为8． 10．(2025·亳州期末)已知a＞0，且是关于x的方程x2＋bx－8＝0的一个根，则b＋的最小值是__8__． 【解析】　x2＋bx－8＝0中，Δ＝b2＋32＞0，故方程x2＋bx－8＝0有两个不等实根．设x2＋bx－8＝0的另一个根为m，由题意得由·m＝－8得m＝－4a，故－4a＝－b，即b＝4a－，故b＋＝4a－＋＝4a＋．因为a＞0，所以由基本不等式得b＋＝4a＋≥2＝8，当且仅当4a＝，即a＝1时等号成立． 四、解答题 11．已知a＞1，b＞2． (1) 若(a－1)(b－2)＝4，求＋的最小值及此时a，b的值； 【解答】　因为a＞1，b＞2，所以a－1＞0，b－2＞0，所以＋≥2＝1，当且仅当a＝3，b＝4时等号成立，所以＋的最小值为1，此时a＝3，b＝4． (2) 若2a＋b＝6，求＋的最小值及此时a，b的值； 【解答】　由2a＋b＝6，得2(a－1)＋(b－2)＝2，所以(a－1)＋＝1，所以＋＝·＝＋＋≥，当且仅当即a＝3－，b＝2时等号成立，所以＋的最小值为，此时a＝3－，b＝2． (3) 若＋＝1，求＋的最小值及此时a，b的值． 【解答】　因为b＞2，＋＝1，可得a＝，所以a－1＝，所以＋＝b－2＋＋1≥3，当且仅当a＝，b＝3时等号成立，所以＋的最小值为3，此时a＝，b＝3． 12．已知a，b为正实数，且4a2＋b2＝2． (1) 求ab的最大值及此时a，b的值； 【解答】　由不等式4a2＋b2＝2≥4ab，解得ab≤，当且仅当2a＝b＝1时取等号，所以ab的最大值为，此时a＝，b＝1． (2) 求a的最大值及此时a，b的值． 【解答】　由4a2＋b2＝2，得4a2＋(1＋b2)＝3．由4a2＋(1＋b2)≥2＝4a，得a≤，当且仅当4a2＝1＋b2，即a＝，b＝时取等号，所以a的最大值为，此时a＝，b＝． B组　能力提升练 13．(2025·青岛质检)已知x＞0，y＞0，x＋＝1，则＋xy－的最小值为__2＋2__． 【解析】　由题意得x＝1－，且x＞0，y＞0，所以y＞2，所以＋xy－＝＋y－2－＝2＋(y－2)＋≥2＋2＝2＋2，当且仅当y－2＝，即y＝2＋时取等号，所以＋xy－的最小值为2＋2． 14．(2025·黄冈调研)已知a，b，c＞0，且a＋b＋c＝3，则＋＋的最小值为__3__． 【解析】　＋b≥2＝2a；同理，＋c≥2b(当且仅当b＝c时等号成立)；＋a≥2c(当且仅当c＝a时等号成立)．将上述三个不等式相加得＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，因为a＋b＋c＝3，所以＋＋≥a＋b＋c＝3，当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲　基本不等式 知识整合　体系重构 激活思维 1．(教材经典题改编)已知x＞1，则x＋的最小值为(　　) A．1　 B．2 C．3　 D．4 2．(教材经典题改编)若函数f(x)＝x＋(x＞2)在x＝a处取最小值，则实数a＝(　　) A．1＋　 B．1＋ C．3　 D．4 3．(多选)已知a，b∈R，则下列不等式成立的是(　　) A．≥　 B．≤ C．≤　 D．ab≤ 4．(教材经典题改编)已知x＞0，则2－3x－的最大值是_________． 5．(教材经典题改编)用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，当这个矩形与墙相对的一边长为____m时，菜园面积最大，最大面积是____m2． 聚焦知识 1．基本不等式 基本不等式 基本不等式：≤(条件：一正二定三相等) (1) 基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0． (2) 等号成立的条件：当且仅当____时取等号． (3) 其中____叫做正数a，b的算术平均数，____叫做正数a，b的几何平均数 利用基本不等式求最值 (4) 已知x，y＞0，由x＋y≥2，知若积xy＝P(定值)，则当x＝y时，和x＋y有最小值________． (5) 已知x，y＞0，由x＋y≥2，知若和x＋y＝S(定值)，则当x＝y时，积xy有最大值______ “1”的代换 已知a，x，b，y∈(0，＋∞)，若ax＋by＝1，则有： ＋＝(ax＋by)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2 2．常用不等式链 若a＞0，b＞0，则≤≤≤，当且仅当a＝b时等号成立，其中是a，b的调和平均数，是a，b的平方平均数． 题型突破　思维拓展 举题说法 利用基本不等式求最值 视角1　直接求最值 例 1－1　(1) 函数y＝x的最大值为____． (2) 已知正实数a，b满足ab＝1，则a＋4b的最小值为____． 视角2　配凑法求最值 例 1－2　(1) 若x＞，则x＋的最小值为____． (2) 已知正实数a，b满足4a2＋b2＝2，则a的最大值为____． 视角3　常值代换法求最值 例 1－3　(1) 已知x，y为正实数，且x＋y＝1，则的最小值为(　　) A．2＋1　 B．2－1 C．2＋5　 D．2－5 (2) 已知3x＞y＞0，且7x＋5y＝1，则＋的最小值为(　　) A．10　 B．9 C．8　 D．7 视角4　消元法 例 1－4(1) 若a＞0，b＞0，且ab＝a＋b＋1，则a＋8b的最小值为(　　) A．15　 B．8＋4 C．17　 D．6＋4 (2) 已知正实数x，y满足x2＋3xy－2＝0，则2x＋y的最小值为(　　) A．　 B． C．　 D． 基本不等式的综合应用 视角1　基本不等式常见变形及其应用 例 2－1　(2025·浙江联考)(多选)已知正数x，y满足2x＋y＝1，则(　　) A．xy≤　 B．＋≥8 C．＋≤　 D．x2＋y2≥ 视角2　利用基本不等式解恒成立问题 例 2－2　已知x＞0，y＞0，且x＜y＜2x，x＋y＝3．若＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是_________． 分离参数是处理此类问题的首选方法，一般转化为基本不等式求最值或转化为求某个函数的最值问题． 变式2　若正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋≥m2－3m恒成立，则实数m的取值范围是_________． 视角3　实际应用问题 例 2－3　(2025·郑州一模)已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为AD，AB上的点，当△AEF的周长为4时，△AEF面积的最大值为__________． 随堂内化 1．(2025·汕头一模)已知a＞0，b＞0，a＋b＝4，则ab的最大值为(　　) A．1　 B．2 C．4　 D．不存在 2．(2026·武汉期初)(多选)已知正实数a，b满足a＋b≥2，则(　　) A．ab≥1　 B．a2＋b2≥2 C．＋≥2　 D．2a＋2b≥4 3．(2025·许昌二模)(多选)若b＞1，a＋2b－ab＝0，则下列说法正确的是(　　) A．a＞2 B．＋＋1的最小值是 C．ab的最小值是8 D．＋的最小值是 配套精练 A组　夯基精练 一、单项选择题 1．(2025·厦门模拟)已知x＞0，y＞0，且4x＋9y＝6，则xy的最大值为(　　) A．　 B． C．1　 D．2 2．(2025·武汉一模)若a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则－－的最大值为(　　) A．－9　 B．－7 C．－5　 D．－3 3．(2025·六安期末)已知A，B两地的距离是200 km，根据交通法规，两地之间的公路车速应限制在50～100 km/h．假设油价是8元/L，以x km/h的速度行驶时，汽车的耗油率为 L/h，司机每小时的工资是56元，那么最经济的车速是(　　) A．24 km/h　 B．55 km/h C．60 km/h　 D．80 km/h 4．(2025·石家庄质检)已知x＞0，y＞0，且＋＝1，则3x＋3y的最小值为(　　) A．3＋2　 B．4＋2 C．5＋2　 D．6＋2 5．已知x＞0，y＞0，且＋＝，若x＋y＞m2＋3m恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．(－4,6)　 B．(－3,0) C．(－4,1)　 D．(1,3) 二、多项选择题 6．(2025·上饶二模)若正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　) A．＋的最大值是 B．＋的最小值是9 C．(1＋a)(1＋b)的最大值是 D．a2＋2b2的最小值是 7．(2025·三明5月质检)以下结论正确的是(　　) A．若a2＋b2＝1，则a＋b的最大值为 B．若(a＋1)(b＋1)＝4，则a＋b≥2 C．若a＞0，b＞0，则a2＋b2＋的最小值为2 D．若θ∈(0，π)，则＋≥2 三、填空题 8．(2025·石家庄一检)已知x∈(0,4)，则f(x)＝＋的最小值为________． 9．若a＞0，b＞0，a＋b＝9，则＋的最小值为____． 10．(2025·亳州期末)已知a＞0，且是关于x的方程x2＋bx－8＝0的一个根，则b＋的最小值是____． 四、解答题 11．已知a＞1，b＞2． (1) 若(a－1)(b－2)＝4，求＋的最小值及此时a，b的值； (2) 若2a＋b＝6，求＋的最小值及此时a，b的值； (3) 若＋＝1，求＋的最小值及此时a，b的值． 12．已知a，b为正实数，且4a2＋b2＝2． (1) 求ab的最大值及此时a，b的值； (2) 求a的最大值及此时a，b的值． B组　能力提升练 13．(2025·青岛质检)已知x＞0，y＞0，x＋＝1，则＋xy－的最小值为____． 14．(2025·黄冈调研)已知a，b，c＞0，且a＋b＋c＝3，则＋＋的最小值为____． 学科网（北京）股份有限公司 $