第1章 第4讲 不等式的性质（word教参）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（提升版）

该高中数学高考复习讲义围绕不等式性质专题，整合不等式性质、一元二次不等式解法、恒成立问题等核心考点，按知识整合、激活思维、聚焦知识、题型突破的逻辑架构展开，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建知识网络，突破解题难点。 讲义采用分层教学与方法创新策略，如题型突破分比大小、求范围等视角，恒成立问题讲解分离参数法与变更主元法，培养学生数学思维与运算能力。设置随堂内化与A、B组精练，确保复习效果，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第4讲　不等式的性质 知识整合　体系重构 激活思维 1．(教材经典题)下列命题为真命题的是(　　) A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2 B．若a＞b＞0，则a2＞b2 C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D．若a＜b＜0，则＜ 2．(教材经典题)不等式－3x2＋5x－4＞0的解集为____． 3．(教材经典题改编)若不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为________． 4．(教材经典题改编)已知2＜a＜3，－2＜b＜－1，则a＋2b的取值范围为_________． 5．(教材经典题)火车站有某公司待运的甲种货物1 530 t，乙种货物1 150 t．现计划用A，B两种型号的货厢共50节运送这批货物．已知35 t甲种货物和15 t乙种货物可装满一节A型货厢，25 t甲种货物和35 t乙种货物可装满一节B型货厢，据此安排A，B两种货厢的节数，共有____种方案；若每节A型货厢的运费是0.5万元，每节B型货厢的运费是0.8万元，选用最节约成本的方案，运费为____万元． 聚焦知识 1．不等式的性质 (1) 传递性：a＞b，b＞c⇒____________． (2) 可加性：a＞b⇔___________． (3) 可乘性：a＞b，c＞0⇒_________；a＞b，c＜0⇒___________． (4) 同向可加性：a＞b，c＞d⇒___________． (5) 同向同正可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒________． (6) 同正可乘方性：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥2)． (7) 同正可开方性：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2)． (8) 取倒法则：a＞b，ab＞0⇒＜；a＜b＜0⇒＞；a＞b＞0，d＞c＞0⇒＞；0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒＜＜． (9) 分式不等式：若a＞b＞0，m＞0，则＜；＞(a－m＞0)；＞；＜(b－m＞0)． (10) |x－a|＋|x－b|≥|b－a|． 2．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集 设相应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根为x1，x2且x1≤x2，Δ＝b2－4ac，则不等式的解集的各种情况如下表： Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个相异实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等实数根 x1＝x2＝－ 无实数根 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 ___________ ____ ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 __________ ___ ____ (续表注意：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点． 题型突破　思维拓展 举题说法 不等式的性质 视角1　比大小 例1－1　(1)(多选)已知a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，那么下列各式一定成立的是(　　) A．ac(a－c)＞0　 B．c(b－a)＜0 C．cb2＜ab2　 D．ab＞ac (2)(2025·黄冈期初调研)(多选)已知c＜0＜b＜a，则(　　) A．ac＋b＜bc＋a　 B．b3＋c3＜a3 C．＜　 D．＞ 判断不等式的常用方法 (1) 利用不等式的性质逐个验证； (2) 利用特殊值法排除错误选项； (3) 作差(商)法； (4) 构造函数，利用函数的单调性． 视角2　求代数式的取值范围 例1－2　(1) 已知－1≤a＋b≤1,1≤a－2b≤3，那么a＋3b的取值范围为____________． (2) 若实数x，y，z≥0，且x＋y＋z＝4,2x－y＋z＝5，则M＝4x＋3y＋5z的取值范围是____________． 求代数式的取值范围时应注意的事项 在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决途径是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体的范围． 解不等式 视角1　不含参的不等式 例 2－1　解下列关于x的不等式． (1) －6x2－5x＋1＜0； (2) ≤1； (3) ＜0． (1) 分式不等式：≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0． (2) 简单的绝对值不等式：|x|＞a(a＞0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|＜a(a＞0)的解集为(－a，a)． (3) 解高次不等式，先分解成若干个因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正，然后将每一个根标在数轴上，再从最大根的右上方依次穿过每一个奇数次根，但不穿过偶数次根． 视角2　含参的一元二次不等式 例 2－2　解关于x的不等式：ax2－(a＋1)x＋1＜0(a∈R)． 三个二次之间的关系 例3　(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－2或x≥3}，则下列说法正确的是(　　) A．a＜0 B．ax＋c＞0的解集为 C．8a＋4b＋3c＜0 D．cx2＋bx＋a＜0的解集为 一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系： (1) 若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系． (2) 若一元二次不等式的解集为R或∅，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x轴的交点情况确定对应一元二次方程的判别式的符号，进而求出参数的取值范围． 变式3　(1)(多选)若关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－1,3)，则下列说法正确的是(　　) A．a＞0 B．bx－c＞0的解集是 C．cx2＋ax－b＞0的解集是∪(1，＋∞) D．a＋b＜c (2) 已知二次函数y＝x2－2ax＋b2的最小值为0，若关于x的不等式x2－2ax＋b2＜c的解集为(t，t＋4)，则实数c的值为____． 一元二次不等式恒成立问题 例4　(1) 如果关于x的不等式ax2－ax＋1≥0恒成立，那么实数a的取值范围为____． (2) 若不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈[1,3]恒成立，则a的最小值为____． (3)(变更主元)若命题“∃a∈[－1,3]，ax2－(2a－1)x＋3－a＜0”为假命题，则实数x的取值范围为____________． (1) 解决恒成立问题时可以利用分离参数法，一定要弄清楚谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数． (2) ①一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0在R上恒成立的充要条件是 ②一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0在R上恒成立的充要条件是 注意：对于不等式ax2＋bx＋c＞0(＜0)，求解时不要忘记a＝0时的情形． (3) 解决不等式在给定区间上的恒成立问题，可先求出相应函数在这个区间上的最值，再转化为与最值有关的不等式问题． 变式4　已知函数f(x)＝x2＋ax＋3． (1) 当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围； (2) 当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围； (3) 当a∈[4,6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围． 随堂内化 1．(2025·临汾二模)若3≤a≤5，－2≤b≤1，则2a－b的取值范围是(　　) A．[8,9]　 B．[4,8] C．[5,8]　 D．[5,12] 2．(2025·全国Ⅱ卷)不等式≥2的解集是(　　) A．{x|－2≤x≤1}　 B．{x|x≤－2} C．{x|－2≤x＜1}　 D．{x|x＞1} 3．设a为实数，若关于x的不等式x2－ax＋7≥0在区间(2,7)上有实数解，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，8)　 B．(－∞，8] C．(－∞，2)　 D． 4．(2025·三门峡期末)(多选)下列命题中，真命题是(　　) A．若a＞b＞0，c∈N，则ac2＞bc2 B．若a＜b，则a3＜b3 C．若c＞a＞b＞0，则＞ D．若ln(a＋2)＜ln(b＋2)，则＜ 配套精练 A组　夯基精练 一、单项选择题 1．设a，b均为非零实数且a＜b，则下列结论中正确的是(　　) A．＞　 B．a2＜b2 C．＜　 D．a3＜b3 2．已知1＜a＜3,3＜b＜6，则的取值范围为(　　) A．　 B．(2,6) C．(1,6)　 D． 3．(2025·济宁调研改)已知实数a，b满足a＞b2＋1，则下列不等关系不一定正确的是(　　) A．a＞2b　 B．a＞2b＋1 C．a＞b－1　 D．2a＞b2－b＋1 4．若不等式≥0的解集为(－∞，－2]∪(1,3]，则b＋c等于(　　) A．2　 B．－2 C．1　 D．－1 二、多项选择题 5．(2025·茂名一模)下列命题正确的是(　　) A．若a＞b，则a2＞b2 B．若a＜b＜0，则b2＜ab＜a2 C．若a＞b＞0，＞，则m＜0 D．若2＜a＋b＜3，－1＜a－b＜2，则3＜3a＋b＜8 6．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为，则下列结论正确的是(　　) A．a＞0 B．c＜0 C．a＋b＞0 D．关于x的不等式cx2＋bx＋a＞0的解集为(－3，－1) 7．已知关于x的不等式a≤x2－3x＋4≤b，下列结论正确的是(　　) A．当a＜b＜1时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为∅ B．当a＝1，b＝4时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为{x|0≤x≤4} C．如果不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b}，那么b＝ D．如果不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b}，那么b－a＝4 三、填空题 8．不等式＞x的解集是__________． 9．若关于x的不等式组的解集中的整数只有－2，则整数k的值组成的集合为___________． 10．定义区间(m，n)，[m，n]，(m，n]，[m，n)的长度均为n－m，其中n＞m．若不等式组的解集中各区间长度和等于8，则实数t的取值范围是____________． 四、解答题 11．已知函数f(x)＝x2－(a－2)x＋4． (1) 求关于x的不等式f(x)≥4＋2a的解集； (2) 若对任意的x∈[1,6]，f(x)－2a＋14≥0恒成立，求实数a的取值范围． 12．已知函数f(x)＝(m＋1)x2－(m－1)x＋m－1． (1) 当m＜0时，解关于x的不等式f(x)≥3x＋m－2； (2) 若不等式f(x)≥x2＋2x对一切x∈[0,2]恒成立，求实数m的取值范围． 13．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝－4有且仅有一个公共点，且不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为[－1,3]． (1) 求此二次函数的解析式； (2) 若关于x的不等式ax2＋bx＋c＜(m－1)x－m－3的解集中恰有一个正整数，求实数m的取值范围； (3) ∀m∈[0,2]，不等式ax2＋bx＋c＜(m－2)x恒成立，求实数x的取值范围． B组　能力提升练 14．已知关于x的不等式＋＜0的解集为(－2，－1)∪(2,5)，则关于x的不等式＋＜0的解集为__________． 15．已知集合M＝，若集合M有15个真子集，则实数a的取值范围为___________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲　不等式的性质 知识整合　体系重构 激活思维 1．(教材经典题)下列命题为真命题的是(　B　) A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2 B．若a＞b＞0，则a2＞b2 C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D．若a＜b＜0，则＜ 2．(教材经典题)不等式－3x2＋5x－4＞0的解集为__∅__． 3．(教材经典题改编)若不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(－3,0]__． 【解析】　当k＝0时，满足题意；当k≠0时，解得－3＜k＜0．综上，－3＜k≤0． 4．(教材经典题改编)已知2＜a＜3，－2＜b＜－1，则a＋2b的取值范围为(－2,1)__． 【解析】　因为－2＜b＜－1，所以－4＜2b＜－2．又2＜a＜3，所以－2＜a＋2b＜1． 5．(教材经典题)火车站有某公司待运的甲种货物1 530 t，乙种货物1 150 t．现计划用A，B两种型号的货厢共50节运送这批货物．已知35 t甲种货物和15 t乙种货物可装满一节A型货厢，25 t甲种货物和35 t乙种货物可装满一节B型货厢，据此安排A，B两种货厢的节数，共有__3__种方案；若每节A型货厢的运费是0.5万元，每节B型货厢的运费是0.8万元，选用最节约成本的方案，运费为__31__万元． 【解析】　设安排A型货厢x节，B型货厢y节，总运费为z万元，则即解得28≤x≤30．又因为x∈N*，所以或或所以共有3种方案．方案一：安排A型货厢28节，B型货厢22节；方案二：安排A型货厢29节，B型货厢21节；方案三：安排A型货厢30节，B型货厢20节．因为z＝0.5x＋0.8y＝40－0.3x，所以当x＝30时，总运费最少，此时z＝40－0.3×30＝31(万元)． 聚焦知识 1．不等式的性质 (1) 传递性：a＞b，b＞c⇒__a＞c__． (2) 可加性：a＞b⇔__a＋c＞b＋c__． (3) 可乘性：a＞b，c＞0⇒__ac＞bc__；a＞b，c＜0⇒__ac＜bc__． (4) 同向可加性：a＞b，c＞d⇒__a＋c＞b＋d__． (5) 同向同正可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒__ac＞bd__． (6) 同正可乘方性：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥2)． (7) 同正可开方性：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2)． (8) 取倒法则：a＞b，ab＞0⇒＜；a＜b＜0⇒＞；a＞b＞0，d＞c＞0⇒＞；0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒＜＜． (9) 分式不等式：若a＞b＞0，m＞0，则＜；＞(a－m＞0)；＞；＜(b－m＞0)． (10) |x－a|＋|x－b|≥|b－a|． 2．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集 设相应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根为x1，x2且x1≤x2，Δ＝b2－4ac，则不等式的解集的各种情况如下表： Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个相异实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等实数根x1＝x2＝－ 无实数根 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 __{x|x＜x1或x＞x2}__ __R__ ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 __{x|x1＜x＜x2}__ __∅__ __∅__ (续表注意：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点． 题型突破　思维拓展 举题说法 不等式的性质 视角1　比大小 例1－1　(1)(多选)已知a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，那么下列各式一定成立的是(　BCD　) A．ac(a－c)＞0　 B．c(b－a)＜0 C．cb2＜ab2　 D．ab＞ac 【解析】 因为a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，所以c＜0，a＞0，b＞0，a－c＞0，b－a＞0，所以ac(a－c)＜0，c(b－a)＜0，cb2＜ab2，ab＞ac． (2)(2025·黄冈期初调研)(多选)已知c＜0＜b＜a，则(　ABD　) A．ac＋b＜bc＋a　 B．b3＋c3＜a3 C．＜　 D．＞ 【解析】　因为c＜0＜b＜a，所以ac＜bc⇒ac＋b＜bc＋a，故A正确；因为c＜0＜b＜a，所以b3＜a3，c3＜0⇒b3＋c3＜a3，故B正确；因为c＜0＜b＜a，不妨令a＝3，b＝2，c＝－1，得＝2，＝，此时＞，故C错误；因为c＜0＜b＜a，所以＞＞0⇒＜⇒＞，故D正确． 判断不等式的常用方法 (1) 利用不等式的性质逐个验证； (2) 利用特殊值法排除错误选项； (3) 作差(商)法； (4) 构造函数，利用函数的单调性． 视角2　求代数式的取值范围 例1－2　(1) 已知－1≤a＋b≤1,1≤a－2b≤3，那么a＋3b的取值范围为____． 【解析】　设a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b，则解得又－≤(a＋b)≤，－2≤－(a－2b)≤－，所以－≤a＋3b≤1，即a＋3b的取值范围是． (2) 若实数x，y，z≥0，且x＋y＋z＝4,2x－y＋z＝5，则M＝4x＋3y＋5z的取值范围是__[15,19]__． 【解析】　因为x＋y＝4－z,2x－y＝5－z，所以x＝3－，y＝1－．由x，y，z≥0得解得0≤z≤3，故M＝4x＋3y＋5z＝4＋3＋5z＝＋15∈[15,19]． 求代数式的取值范围时应注意的事项 在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决途径是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体的范围． 解不等式 视角1　不含参的不等式 例 2－1　解下列关于x的不等式． (1) －6x2－5x＋1＜0； 【解答】　原不等式转化为6x2＋5x－1＞0，因为方程6x2＋5x－1＝0的解为x1＝，x2＝－1，所以根据二次函数y＝6x2＋5x－1的图象可得原不等式的解集为． (2) ≤1； 【解答】　由不等式≤1，可得－1＝≤0，结合分式不等式的解法，可得－2＜x≤3，即不等式≤1的解集为(－2，3]． (3) ＜0． 【解答】　由＜0，得＜0，等价于(x－1)(x－2)(x－3)(x＋1)＜0，如图，由穿根法可得不等式的解集为(－1，1)∪(2,3)． (1) 分式不等式：≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0． (2) 简单的绝对值不等式：|x|＞a(a＞0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|＜a(a＞0)的解集为(－a，a)． (3) 解高次不等式，先分解成若干个因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正，然后将每一个根标在数轴上，再从最大根的右上方依次穿过每一个奇数次根，但不穿过偶数次根． 视角2　含参的一元二次不等式 例 2－2　解关于x的不等式：ax2－(a＋1)x＋1＜0(a∈R)． 【解答】　若a＝0，则原不等式转化为－x＋1＜0，解得x＞1．若a＜0，则原不等式转化为(x－1)＞0，此时对应方程(x－1)＝0的两个根为x1＝，x2＝1，所以原不等式的解集为．若a＞0，则原不等式转化为(x－1)＜0，此时对应方程(x－1)＝0的两个根为x1＝，x2＝1．当＝1，即a＝1时，原不等式的解集为∅；当＞1，即0＜a＜1时，原不等式的解集为；当＜1，即a＞1时，原不等式的解集为．综上所述，当a＝0时，原不等式的解集为{x|x＞1}；当a＜0时，原不等式的解集为；当0＜a＜1时，原不等式的解集为；当a＝1时，原不等式的解集为∅；当a＞1时，原不等式的解集为． 三个二次之间的关系 例3　(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－2或x≥3}，则下列说法正确的是(　AD　) A．a＜0 B．ax＋c＞0的解集为 C．8a＋4b＋3c＜0 D．cx2＋bx＋a＜0的解集为 【解析】　因为不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为，所以即b＝－a，c＝－6a，故A正确；ax＋c＞0可化为ax－6a＞0，即x－6＜0，故ax＋c＞0的解集为，故B错误；8a＋4b＋3c＝8a－4a－18a＝－14a＞0，故C错误；cx2＋bx＋a＜0可化为－6ax2－ax＋a＜0，即6x2＋x－1＜0，故不等式的解集为，故D正确． 一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系： (1) 若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系． (2) 若一元二次不等式的解集为R或∅，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x轴的交点情况确定对应一元二次方程的判别式的符号，进而求出参数的取值范围． 变式3　(1)(多选)若关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－1,3)，则下列说法正确的是(　BCD　) A．a＞0 B．bx－c＞0的解集是 C．cx2＋ax－b＞0的解集是∪(1，＋∞) D．a＋b＜c 【解析】　不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－1，3)，则即由bx－c＞0，即－2ax＋3a＞0，所以x＞．由cx2＋ax－b＞0，即－3ax2＋ax＋2a＞0，即3x2－x－2＞0，得x＜－或x＞1．因为x＝－1∈，所以c－a－b＞0，即a＋b＜c． (2) 已知二次函数y＝x2－2ax＋b2的最小值为0，若关于x的不等式x2－2ax＋b2＜c的解集为(t，t＋4)，则实数c的值为__4__． 【解析】 y＝(x－a)2＋b2－a2，则b2－a2＝0，所以x2－2ax＋b2＝(x－a)2．由x2－2ax＋b2＜c，得(x－a)2＜c，所以解集为(a－，a＋)，由题意知2＝4，解得c＝4． 一元二次不等式恒成立问题 例4　(1) 如果关于x的不等式ax2－ax＋1≥0恒成立，那么实数a的取值范围为__[0,4]__． 【解析】 当a＝0时，原不等式变为1≥0，恒成立，符合题意；当a≠0时，由ax2－ax＋1≥0恒成立，得解得0＜a≤4．综上，实数a的取值范围为[0,4]． (2) 若不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈[1,3]恒成立，则a的最小值为__－4__． 【解析】 因为当x∈[1,3]时，x2＋ax＋4≥0恒成立，所以a≥－恒成立．又当x∈[1,3]时，x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时取等号，所以－≤－4，所以a≥－4，故a的最小值为－4． (3)(变更主元)若命题“∃a∈[－1,3]，ax2－(2a－1)x＋3－a＜0”为假命题，则实数x的取值范围为__[－1,0]∪__． 【解析】 命题“∃a∈[－1,3]，ax2－(2a－1)x＋3－a＜0”为假命题，则其否定为真命题，即“∀a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a≥0”为真命题．令g(a)＝ax2－2ax＋x＋3－a＝(x2－2x－1)a＋x＋3≥0，则即解得－1≤x≤0或≤x≤4．所以实数x的取值范围为[－1,0]∪． (1) 解决恒成立问题时可以利用分离参数法，一定要弄清楚谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数． (2) ①一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0在R上恒成立的充要条件是 ②一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0在R上恒成立的充要条件是 注意：对于不等式ax2＋bx＋c＞0(＜0)，求解时不要忘记a＝0时的情形． (3) 解决不等式在给定区间上的恒成立问题，可先求出相应函数在这个区间上的最值，再转化为与最值有关的不等式问题． 变式4　已知函数f(x)＝x2＋ax＋3． (1) 当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围； 【解答】 因为当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，所以Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，解得－6≤a≤2，所以实数a的取值范围是[－6,2]． (2) 当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围； 【解答】 由题意知原不等式可转化为x2＋ax＋3－a≥0在x∈[－2，2]上恒成立，则(x2＋ax＋3－a)min≥0(x∈[－2,2])．令g(x)＝x2＋ax＋3－a，x∈[－2,2]，函数图象的对称轴方程为x＝－．当－＜－2，即a＞4时，g(x)min＝g(－2)＝7－3a≥0，解得a≤，舍去；当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，g(x)min＝g＝－－a＋3≥0，解得－6≤a≤2，故－4≤a≤2；当－＞2，即a＜－4时，g(x)min＝g(2)＝7＋a≥0，解得a≥－7，所以－7≤a＜－4．综上可得，满足条件的实数a的取值范围是[－7,2]． (3) 当a∈[4,6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围． 【解答】 令h(a)＝xa＋x2＋3．当a∈[4,6]时，h(a)≥0恒成立，只需即解得x≤－3－或x≥－3＋，所以实数x的取值范围是(－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞)． 随堂内化 1．(2025·临汾二模)若3≤a≤5，－2≤b≤1，则2a－b的取值范围是(　D　) A．[8,9]　 B．[4,8] C．[5,8]　 D．[5,12] 2．(2025·全国Ⅱ卷)不等式≥2的解集是(　C　) A．{x|－2≤x≤1}　 B．{x|x≤－2} C．{x|－2≤x＜1}　 D．{x|x＞1} 3．设a为实数，若关于x的不等式x2－ax＋7≥0在区间(2,7)上有实数解，则a的取值范围是(　A　) A．(－∞，8)　 B．(－∞，8] C．(－∞，2)　 D． 【解析】 由题意知，a≤x＋在区间(2,7)上有实数解，则a≤max．又g(x)＝x＋在(2，)上单调递减，在(，7)上单调递增，且g(2)＝2＋＝，g(7)＝7＋＝8＞g(2)，所以x＋＜8，故a＜8． 4．(2025·三门峡期末)(多选)下列命题中，真命题是(　BC　) A．若a＞b＞0，c∈N，则ac2＞bc2 B．若a＜b，则a3＜b3 C．若c＞a＞b＞0，则＞ D．若ln(a＋2)＜ln(b＋2)，则＜ 【解析】　对于A，若a＞b＞0，c∈N，当c＝0时，ac2＝bc2，故A错误；对于B，由于y＝x3在R上单调递增，a＜b，则a3＜b3，故B正确；对于C，当c＞a＞b＞0时，则－＝＝＝＞0，所以＞＞0，即＞，故C正确；对于D，若ln(a＋2)＜ln(b＋2)，则0＜a＋2＜b＋2，而 －＝，若a＝1，b＝2，满足0＜a＋2＜b＋2，但－＝＞0，故D错误． 配套精练 A组　夯基精练 一、单项选择题 1．设a，b均为非零实数且a＜b，则下列结论中正确的是(　D　) A．＞　 B．a2＜b2 C．＜　 D．a3＜b3 【解析】　对于A，B，C，取a＝－1，b＝1，则＜，a2＝b2，＝，A，B，C错误；对于D，由a＜b，a≠0，b≠0，得b3－a3＝(b－a)(b2＋ab＋a2)＝(b－a)＞0，所以a3＜b3，D正确． 2．已知1＜a＜3,3＜b＜6，则的取值范围为(　D　) A．　 B．(2,6) C．(1,6)　 D． 【解析】　因为1＜a＜3，所以2＜2a＜6，＜＜，又3＜b＜6，所以＜＜3． 3．(2025·济宁调研改)已知实数a，b满足a＞b2＋1，则下列不等关系不一定正确的是(　B　) A．a＞2b　 B．a＞2b＋1 C．a＞b－1　 D．2a＞b2－b＋1 【解析】　对于A，(b2＋1)－2b＝(b－1)2≥0，所以a＞b2＋1≥2b，则a＞2b，故A正确；对于B，(b2＋1)－(2b＋1)＝b2－2b，正负无法确定，取a＝2.5，b＝1，则满足a＞b2＋1＝2，但a＜2b＋1＝3，故B错误；对于C，(b2＋1)－(b－1)＝2＋＞0，则a＞b2＋1＞b－1，故C正确；对于D，由a＞b2＋1，得2a＞2b2＋2，又因为(2b2＋2)－(b2－b＋1)＝b2＋b＋1＝2＋＞0，所以2a＞2b2＋2＞b2－b＋1，故D正确． 4．若不等式≥0的解集为(－∞，－2]∪(1,3]，则b＋c等于(　C　) A．2　 B．－2 C．1　 D．－1 【解析】　由不等式≥0，即≤0的解集为(－∞，－2]∪(1,3]，结合方程与不等式的关系，及不等式解集边界处不能取1，可知a＝1，所以或则b＋c＝1． 二、多项选择题 5．(2025·茂名一模)下列命题正确的是(　BCD　) A．若a＞b，则a2＞b2 B．若a＜b＜0，则b2＜ab＜a2 C．若a＞b＞0，＞，则m＜0 D．若2＜a＋b＜3，－1＜a－b＜2，则3＜3a＋b＜8 【解析】　对于A，取a＝1，b＝－2，满足a＞b，但是a2＜b2，故A错误；对于B，因为a＜b＜0，不等式两边同时乘以负数a，则a2＞ab，不等式两边同时乘以负数b，则ab＞b2，所以b2＜ab＜a2，故B正确；对于C，因为a＞b＞0，－＝＝＝，又因为＞，所以＞0，而a＞b＞0，即＜0，故＜0，所以m＜0，故C正确；对于D，设3a＋b＝x(a＋b)＋y(a－b)，即3a＋b＝(x＋y)a＋(x－y)b，则解得x＝2，y＝1，所以3a＋b＝2(a＋b)＋(a－b)，又2＜a＋b＜3，－1＜a－b＜2，所以3＜2(a＋b)＋(a－b)＜8，所以3＜3a＋b＜8，故D正确． 6．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为，则下列结论正确的是(　BC　) A．a＞0 B．c＜0 C．a＋b＞0 D．关于x的不等式cx2＋bx＋a＞0的解集为(－3，－1) 【解析】　由不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为，可知a＜0，且和1是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，由根与系数的关系可得解得a＝3c，b＝－4c．又a＜0，所以c＜0，a＋b＝－c＞0，故A错误，B正确，C正确．不等式cx2＋bx＋a＞0即为cx2－4cx＋3c＞0⇒x2－4x＋3＜0，解得1＜x＜3，故D错误． 7．已知关于x的不等式a≤x2－3x＋4≤b，下列结论正确的是(　ABD　) A．当a＜b＜1时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为∅ B．当a＝1，b＝4时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为{x|0≤x≤4} C．如果不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b}，那么b＝ D．如果不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b}，那么b－a＝4 【解析】　由x2－3x＋4≤b得3x2－12x＋16－4b≤0，又b＜1，所以Δ＝48(b－1)＜0，从而不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为∅，所以A正确；当a＝1时，不等式a≤x2－3x＋4，即x2－4x＋4≥0，解集为R，当b＝4时，x2－3x＋4≤b，即x2－4x≤0，解集为{x|0≤x≤4}，所以B正确；当a≤x2－3x＋4≤b的解集为{x|a≤x≤b}时，a≤min，即a≤1，因此x＝a，x＝b时，函数y＝x2－3x＋4的值都是b，由x＝b时，函数值为b，得b2－3b＋4＝b，解得b＝或b＝4，当b＝时，由a2－3a＋4＝b＝，解得a＝或a＝，不满足a≤1，不符合题意，所以C错误；当b＝4时，由a2－3a＋4＝b＝4，解得a＝0或a＝4，又a≤1，所以a＝0，此时b－a＝4－0＝4，所以D正确． 三、填空题 8．不等式＞x的解集是(－∞，－1)∪(1,5)__． 【解析】　由题得－x＞0，即＞0，即－＞0，则(x－1)(x＋1)(x－5)＜0，根据穿根法解得x∈(－∞，－1)∪(1,5)． 9．若关于x的不等式组的解集中的整数只有－2，则整数k的值组成的集合为__{－1,0,1,2,3}__． 【解析】 由x2－x－2＞0，得x＞2或x＜－1．由x2＋(3－k)x－3k＜0，得(x＋3)(x－k)＜0，当k＝－3时，(x＋3)2＜0，无解，不合题意；当k＜－3时，k＜x＜－3，则原不等式组的解集中不包含－2，不合题意；当k＞－3时，－3＜x＜k，因为原不等式组的解集中只有一个整数－2，如图，结合数轴可知，－2＜k≤3，k∈Z，所以k∈{－1,0,1,2,3}． 10．定义区间(m，n)，[m，n]，(m，n]，[m，n)的长度均为n－m，其中n＞m．若不等式组的解集中各区间长度和等于8，则实数t的取值范围是__∪[9，＋∞)__． 【解析】　由1≤≤3，得解得1≤x≤9，所以不等式1≤≤3的解集为[1,9]，此区间的长度恰好为8．由x2＋3tx－4t2＜0得(x＋4t)(x－t)＜0，当t＝0时，此不等式的解集为∅，舍去；当t＞0时，此不等式的解集为(－4t，t)，要满足题意，则解得t≥9；当t＜0时，此不等式的解集为(t，－4t)，要满足题意，则解得t≤－．综上，实数t的取值范围是∪[9，＋∞)． 四、解答题 11．已知函数f(x)＝x2－(a－2)x＋4． (1) 求关于x的不等式f(x)≥4＋2a的解集； 【解答】　由f(x)≥4＋2a，得x2－(a－2)x－2a≥0．令x2－(a－2)x－2a＝0，可得x＝－2或x＝a，所以当a＜－2时，原不等式的解集为(－∞，a]∪[－2，＋∞)；当a＝－2时，原不等式的解集为R；当a＞－2时，原不等式的解集为(－∞，－2]∪[a，＋∞)． (2) 若对任意的x∈[1,6]，f(x)－2a＋14≥0恒成立，求实数a的取值范围． 【解答】　由f(x)－2a＋14≥0，可得a(x＋2)≤x2＋2x＋18．由1≤x≤6，得x＋2＞0，所以a≤．因为＝x＋＝(x＋2)＋－2≥6－2，当且仅当x＋2＝，即x＝3－2时等号成立，所以a≤6－2，所以实数a的取值范围是(－∞，6－2]． 12．已知函数f(x)＝(m＋1)x2－(m－1)x＋m－1． (1) 当m＜0时，解关于x的不等式f(x)≥3x＋m－2； 【解答】 不等式f(x)≥3x＋m－2即(m＋1)x2－(m－1)x＋m－1≥3x＋m－2，可化简为(m＋1)x2－(m＋2)x＋1≥0．①当m＝－1时，x≤1．②当m＋1＞0，即－1＜m＜0时，＞1，方程(m＋1)x2－(m＋2)x＋1＝0的两个根为，1，则不等式的解为x≤1或x≥．③当m＋1＜0，即m＜－1时，＜1，方程(m＋1)x2－(m＋2)x＋1＝0的两个根为，1，则不等式的解为≤x≤1．综上所述，当m＝－1时，原不等式的解集为(－∞，1]；当－1＜m＜0时，原不等式的解集为(－∞，1]∪；当m＜－1时，原不等式的解集为． (2) 若不等式f(x)≥x2＋2x对一切x∈[0,2]恒成立，求实数m的取值范围． 【解答】 不等式f(x)≥x2＋2x，即(m＋1)x2－(m－1)x＋m－1≥x2＋2x，即m≥对∀x∈[0,2]恒成立．令x＋1＝t∈[1,3]，则＝＝．因为t＋≥2＝2，当且仅当t＝，即x＝－1时取“＝”，所以≤＝＋1，当且仅当x＝－1时取“＝”，所以m≥＋1，即m的取值范围为． 13．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝－4有且仅有一个公共点，且不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为[－1,3]． (1) 求此二次函数的解析式； 【解答】 由不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为[－1，3]，得a＞0且－1,3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，因此ax2＋bx＋c＝a(x＋1)(x－3)，所以函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，其对称轴为x＝1．而该函数的图象与直线y＝－4有且仅有一个公共点，则y＝a(x＋1)(x－3)图象的顶点为(1，－4)，于是－4＝－4a，解得a＝1，所以此二次函数的解析式为y＝(x＋1)(x－3)，即y＝x2－2x－3． (2) 若关于x的不等式ax2＋bx＋c＜(m－1)x－m－3的解集中恰有一个正整数，求实数m的取值范围； 【解答】 由(1)知不等式ax2＋bx＋c＜(m－1)x－m－3为x2－2x－3＜(m－1)x－m－3，整理得x2－(m＋1)x＋m＜0，即(x－1)(x－m)＜0．依题意，不等式(x－1)(x－m)＜0的解集中恰有一个正整数，则m≠1．当m＜1时，解得m＜x＜1，即不等式的解集为(m,1)，此时解集中不含正整数，故舍去．当m＞1时，解得1＜x＜m，不等式的解集为(1，m)，要使解集中恰有一个正整数，则2＜m≤3，所以实数m的取值范围是(2,3]． (3) ∀m∈[0,2]，不等式ax2＋bx＋c＜(m－2)x恒成立，求实数x的取值范围． 【解答】 ∀m∈[0,2]，不等式ax2＋bx＋c＜(m－2)x恒成立，即∀m∈[0,2]，不等式mx－x2＋3＞0恒成立．令g(m)＝mx－x2＋3，m∈[0,2]，则解得－1＜x＜，即实数x的取值范围为(－1，)． B组　能力提升练 14．已知关于x的不等式＋＜0的解集为(－2，－1)∪(2,5)，则关于x的不等式＋＜0的解集为__∪__． 【解析】　由＋＜0，得＋＜0，令y＝，因为x∈(－2，－1)∪(2,5)，所以y∈∪．故不等式＋＜0的解集为∪． 15．已知集合M＝，若集合M有15个真子集，则实数a的取值范围为__∪∪{4}__． 【解析】　若集合M有15个真子集，则M中有4个元素，又M＝，可知a＜2a－1，即a＞1，且区间[a,2a－1]中有4个整数．当1＜a＜4时，[a,2a－1]的区间长度为2a－1－a＝a－1＜3，此时[a,2a－1]中不可能有4个整数．当a＝4时，[a,2a－1]＝[4,7]，其中含有4,5,6,7共4个整数，符合题意．当a＞4时，[a，2a－1]的区间长度大于3，若[a,2a－1]的区间长度a－1∈(3,4)，即4＜a＜5，若2a－1是整数，则区间[a,2a－1]中含有4个整数，根据2a－1∈(7，9)可知2a－1＝8，则a＝，此时[a,2a－1]＝，其中含有5,6,7,8四个整数，符合题意；若2a－1不是整数，则区间[a,2a－1]中含有5,6,7,8四个整数，则必须有4＜a＜5且8＜2a－1＜9，解得＜a＜5；若a＝5，[a,2a－1]＝[5,9]，其中含有5,6,7,8,9五个整数，不符合题意；若a＞5，[a,2a－1]的区间长度a－1＞4，此时[a,2a－1]中有6,7,8,9这四个整数，故2a－1＜10，即a＜，结合a＞5，得5＜a＜．综上所述，a＝4或≤a＜5或5＜a＜，即实数a的取值范围是∪∪{4}． 学科网（北京）股份有限公司 $