第1章 第3讲 全称量词和存在量词（word教参）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（提升版）

该高中数学讲义聚焦全称量词与存在量词高考核心考点，涵盖命题概念、否定形式、真假判断及参数范围确定等内容，按知识整合、激活思维、题型突破、随堂内化的逻辑架构，通过考点梳理、方法指导、真题训练，帮助学生系统构建知识网络，突破量词命题否定与参数问题难点。 资料以“数学思维”和“数学语言”为核心，创新采用举题说法与变式训练结合，如例3通过双命题真假分析参数范围，培养逻辑推理能力。设置夯基与提升分层练习，配合随堂内化即时反馈，确保高效突破高频考点，助力学生提升应考技能，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第3讲　全称量词和存在量词 知识整合　体系重构 激活思维 1．(教材经典题改编)若命题p：∃x∈R，x＋1≥0，则命题p的否定是(　　) A．∀x∈R，x＋1＜0 B．∀x∈R，x＋1≥0 C．∃x∈R，x＋1＜0 D．∃x∈R，x＋1≥0 2．(教材经典题改编)(多选)下列命题是全称量词命题且为真命题的有(　　) A．每一个末位是0的整数都是5的倍数 B．有些菱形是正方形 C．对任意负数x，x的平方是正数 D．梯形的对角线相等 3．已知命题p：∃x∈[0，＋∞)，a＜x＋1，若p为真命题，则实数a的取值范围为______． 4．(教材经典题改编)已知“若x＞1，则2x＋1＞λ”是假命题，则λ的取值范围是______． 5．设命题p：∃x∈R，x2－2x＋m－3＝0，命题q：∀x∈R，x2－2(m－5)x＋m2＋19≠0．若p，q都为真命题，则实数m的取值范围为_______． 聚焦知识 1．全称量词命题与存在量词命题 全称量词命题 存在量词命题 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题形式 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ________， 是___量词命题 ________， 是____量词命题 2．常见词语的否定 词语 是 都是 大于 小于 词语的 否定 _______ _______ _________ _________ 词语 且 至少有n个 至多有一个 所有x都成立 词语的 否定 ____ __________ _________ ________ 注意：一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假．即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然． 题型突破　思维拓展 举题说法 含量词的命题的真假判断 例1　(多选)下列命题中的真命题是(　　) A．∀x∈R，2x－1＞0 B．∀x∈N*，(x－1)2＞0 C．∃x∈R，lg x＜1 D．∃x∈R，tan x＝2 判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；判定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p(x)成立即可． 变式1　下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是(　　) A．所有正方形都是矩形 B．∃x∈R，x2＋2x＋2＝0 C．至少有一个实数x，x3＋1＝0 D．∃x∈R，使x2－x＋＜0 含量词的命题的否定 例2　写出下列命题的否定，并判断其真假性． (1) ∀x∈Z，|x|∈N； (2) 每一个平行四边形都是中心对称图形； (3) 有些三角形是直角三角形； (4) ∃x∈R，x＋1≤0； (5) ∃x∈R，x2＋2x＋3＝0． 对于存在量词命题的判断，只要能找到符合要求的元素使命题成立，即可判断该命题成立；对于全称量词命题的判断，必须对任意元素证明这个命题为真，而只要找到一个特殊元素使命题为假，即可判断该命题不成立． 变式2　(2025·许昌二模)已知命题p：∀x∈R，＜1；命题q：∃x＞0，x3＜x2，则(　　) A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题 C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题 结合命题真假确定参数 例3　(1) 已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0．若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为__________． (2) 已知命题p：∃x∈R，mx2－mx－1≥0为假命题，则实数m的取值范围为__________． 根据命题的真假求参数取值范围的策略 (1) 已知每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围； (2) 对于含有量词的命题求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数的值域(或最值)解决． 变式3　(2025·徐州2月调研)已知命题p：∀x∈R，ax2＋2x＋3＞0为真命题，则实数a的取值范围是(　　) A．　 B． C．　 D． 双量词成立问题 例4　(1) 已知函数f(x)，当x∈(－∞，2)时，f(x)∈[0,2e2)，g(x)＝ax＋1，a∈R．若对任意的x1∈[－2,2]，总存在唯一的x2∈(－∞，2)，使得f(x2)＝g(x1)，则实数a的取值范围为___________． (2) 已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈，∃x2∈[2,3]，使f(x1)≤g(x2)，则实数a的取值范围是_________． (1) 相等关系： 记y＝f(x)，x∈[a，b]的值域为A, y＝g(x)，x∈[c，d]的值域为B． ①若∀x1∈[a，b]，∃x2∈[c，d]，有f(x1)＝g(x2)，则A⊆B． ②若∃x1∈[a，b]，∀x2∈[c，d]，有f(x1)＝g(x2)，则A⊇B． ③若∃x1∈[a，b]，∃x2∈[c，d]，有f(x1)＝g(x2)，则A∩B≠∅． (2) 不等关系： ①∀x1∈A，∀x2∈B，f(x1)≤g(x2)⇔f(x)max≤g(x)min． ②∃x1∈A，∃x2∈B，f(x1)≤g(x2)⇔f(x)min≤g(x)max． ③∀x1∈A，∃x2∈B，f(x1)≤g(x2)⇔f(x)max≤g(x)max． 变式4　(1) 已知f(x)在[－2,2]上的值域为[－3,3]，函数g(x)＝x2－2x＋m．若对于任意的x1∈[－2,2]，都存在x2∈[－2,2]，使得g(x2)＝f(x1)，则实数m的取值范围是__________． (2) 已知函数f(x)＝，g(x)＝x－1．若存在x1，x2∈[a，a＋1]，使得f(x1)＜g(x2)成立，则实数a的取值范围是__________． 　逻辑推理问题 例5　(2026·南昌期初)已知甲、乙、丙、丁四位老师参加青年教师教学大赛，问其比赛结果，他们回答如下：甲：丙第一，乙第二；乙：丙第二，丁第三；丙：丁最后，甲第二．如果每个人的两个回答中，都恰有一个是正确的，且没有并列名次，那么这次比赛获得第一、二、三、四名的依次是(　　) A．丙、甲、丁、乙　 B．丙、甲、乙、丁 C．甲、乙、丙、丁　 D．甲、乙、丁、丙 随堂内化 1．(2025·漳州二模)命题“∀x＞0，x＋1≤ex”的否定是(　　) A．∃x≤0，x＋1≤ex B．∃x≤0，x＋1＞ex C．∃x＞0，x＋1≤ex D．∃x＞0，x＋1＞ex 2．(2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|＞1；命题q：∃x＞0，x3＝x，则(　　) A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题 C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题 3．若“∃x∈[0,3]，x2－2x－a＜0”为真命题，则实数a可取的最小整数值是(　　) A．－1　 B．0 C．1　 D．3 4．已知函数f(x)＝x2＋x，g(x)＝ln(x＋1)－a，若存在x1，x2∈[0,2]，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围是__________。 配套精练 A组　夯基精练 一、单项选择题 1．(2025·青岛二测)命题“∀x＞y，x2＞y2”的否定为(　　) A．∀x＞y，x2≤y2 B．∀x＜y，x2≤y2 C．∃x＜y，x2≤y2 D．∃x＞y，x2≤y2 2．(2025·唐山一模)已知命题p：∀x∈R，x2＞0；命题q：∃x＞0，ln x＜0，则(　　) A．p和q都是真命题 B．p是假命题，q是真命题 C．p是真命题，q是假命题 D．p和q都是假命题 3．已知p：∀x∈R，x2＋2x＋a≥0；q：∀x∈R，x2＋2ax＋2－a≠0，若p，q一真一假，则实数a的取值范围为(　　) A．(－2，＋∞) B．[1，＋∞) C．(－∞，－2]∪[1，＋∞) D．(－2,1) 4．(2025·德州模拟)某次考试后，甲、乙、丙、丁四名同学讨论其中一道考题，甲说：我做错了；乙说：甲做对了；丙说：我做错了；丁说：我和乙中有人做对．已知四人中只有一名同学的解答是正确的，且只有一名同学说的是正确的，则解答正确的同学是(　　) A．甲 B．乙 C．丙　 D．丁 5．已知函数f(x)＝x2＋3，g(x)＝mx＋5－m(m＞0)，若对任意的x1∈[1,2]，总存在x2∈[－1,2]，使得f(2x1)＝g(x2)成立，则实数m的取值范围是(　　) A．[12，＋∞)　 B．[10，＋∞) C．[14，＋∞)　 D．[8，＋∞) 二、多项选择题 6．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　　) A．矩形的对角线互相平分且相等 B．对任意非正数c，若a≤b＋c，则a≤b C．有些菱形不是平行四边形 D．对任意实数x，不等式x2－3x＋7≥0恒成立 7．下列说法中正确的是(　BD　) A．若∀x∈(A∩B)，则x∈A或x∈B B．∃x∈R，x2＞x3 C．a＞b的一个必要不充分条件是∃x0＜0，a＋x0≥b D．∃x0∈R，x＋2＞3x0的否定是∀x∈R，x2＋2≤3x 8．若“∃x∈，使得2x2－λx＋1＜0成立”是假命题，则实数λ的可能取值是(　　) A．　 B．2 C．3　 D． 三、填空题 9．若“∃x∈[1,4]，使得2x＋a＋1≥0”是假命题，则实数a的取值范围是__________． 10．已知函数f(x)＝ax＋2(a＞0)，g(x)＝．若∃x1∈[－1,2]，∀x2∈[2,3]，使f(x1)＝g(x2)成立，则实数a的取值范围为___________． 11．已知函数f(x)＝，若∀a∈[－2,2]，∃x∈，使不等式f(x)≤m2－2am＋成立，则实数m的取值范围为_________． 四、解答题 12．已知命题p：∀x∈R，x2＋2m－3＞0，命题q：∃x0∈R，x－2mx0＋m＋2＜0． (1) 若命题p为真命题，求实数m的取值范围； (2) 若命题q为真命题，求实数m的取值范围； (3) 若命题p，q中至少有一个为真命题，求实数m的取值范围． 13．已知函数f(x)＝x－，g(x)＝x2＋bx＋1(a，b∈R，a≠0)． (1) 若集合为单元素集，求实数a的值； (2) 在(1)的条件下，对任意的x1∈[2,5]，总存在x2∈[2,5]，使f(x1)≥g(x2)成立，求实数b的取值范围． B组　能力提升练 14．若对任意m∈R，存在n∈[3,4]，使得不等式(m＋n)2－3≥mn＋2m＋an成立，则实数a的最大值为(　　) A．2　 B．5 C．4　 D．3 15．已知函数f(x)＝x－1，g(x)＝kx2－(2k＋1)x＋k＋1，其中k＞1．若对任意的x1∈[2,4]，存在x2∈[2,4]，使得f(x1)f(x2)＝g(x1)g(x2)成立，则实数k的值__． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲　全称量词和存在量词 知识整合　体系重构 激活思维 1．(教材经典题改编)若命题p：∃x∈R，x＋1≥0，则命题p的否定是(　A　) A．∀x∈R，x＋1＜0 B．∀x∈R，x＋1≥0 C．∃x∈R，x＋1＜0 D．∃x∈R，x＋1≥0 2．(教材经典题改编)(多选)下列命题是全称量词命题且为真命题的有(　AC　) A．每一个末位是0的整数都是5的倍数 B．有些菱形是正方形 C．对任意负数x，x的平方是正数 D．梯形的对角线相等 3．已知命题p：∃x∈[0，＋∞)，a＜x＋1，若p为真命题，则实数a的取值范围为(－∞，2)__． 【解析】 设f(x)＝x＋1，x∈[0，＋∞)，若p为真命题，则a＜f(x)max＝f(0)＝2． 4．(教材经典题改编)已知“若x＞1，则2x＋1＞λ”是假命题，则λ的取值范围是(3，＋∞)__． 【解析】 因为“若x＞1，则2x＋1＞λ”是假命题，所以“∃x＞1,2x＋1≤λ”是真命题．因为当x＞1时，2x＋1＞3，所以实数λ的取值范围是(3，＋∞)． 5．设命题p：∃x∈R，x2－2x＋m－3＝0，命题q：∀x∈R，x2－2(m－5)x＋m2＋19≠0．若p，q都为真命题，则实数m的取值范围为____． 【解析】 若命题p：∃x∈R，x2－2x＋m－3＝0为真命题，则Δ＝4－4(m－3)≥0，解得m≤4．若命题q：∀x∈R，x2－2(m－5)x＋m2＋19≠0为真命题，则Δ＝4(m－5)2－4(m2＋19)＜0，解得m＞．又p，q都为真命题，所以实数m的取值范围是． 聚焦知识 1．全称量词命题与存在量词命题 全称量词命题 存在量词命题 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题形式 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，¬p(x)， 是__存在__量词命题 __∀x∈M，¬p(x)__， 是__全称__量词命题 2．常见词语的否定 词语 是 都是 大于 小于 词语的 否定 __不是__ __不都是__ __小于或等于__ __大于或等于__ 词语 且 至少有n个 至多有一个 所有x都成立 词语的 否定 __或__ __至多有n－1个__ __至少有两个__ __存在一个x不成立__ 注意：一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假．即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然． 题型突破　思维拓展 举题说法 含量词的命题的真假判断 例1　(多选)下列命题中的真命题是(　ACD　) A．∀x∈R，2x－1＞0 B．∀x∈N*，(x－1)2＞0 C．∃x∈R，lg x＜1 D．∃x∈R，tan x＝2 判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；判定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p(x)成立即可． 变式1　下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是(　C　) A．所有正方形都是矩形 B．∃x∈R，x2＋2x＋2＝0 C．至少有一个实数x，x3＋1＝0 D．∃x∈R，使x2－x＋＜0 含量词的命题的否定 例2　写出下列命题的否定，并判断其真假性． (1) ∀x∈Z，|x|∈N； 【解答】 ∃x∈Z，|x|∉N；假命题． (2) 每一个平行四边形都是中心对称图形； 【解答】有些平行四边形不是中心对称图形；假命题． (3) 有些三角形是直角三角形； 【解答】所有三角形都不是直角三角形；假命题． (4) ∃x∈R，x＋1≤0； 【解答】∀x∈R，x＋1＞0；假命题． (5) ∃x∈R，x2＋2x＋3＝0． 【解答】∀x∈R，x2＋2x＋3≠0；真命题． 对于存在量词命题的判断，只要能找到符合要求的元素使命题成立，即可判断该命题成立；对于全称量词命题的判断，必须对任意元素证明这个命题为真，而只要找到一个特殊元素使命题为假，即可判断该命题不成立． 变式2　(2025·许昌二模)已知命题p：∀x∈R，＜1；命题q：∃x＞0，x3＜x2，则(　A　) A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题 C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题 【解析】　对于命题p，当x≤0时，≤0＜1；当x＞0时，＝＜1，所以命题p是真命题．对于命题q，当x＝时，x3＝＜x2＝，所以命题q是真命题． 结合命题真假确定参数 例3　(1) 已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0．若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为(－∞，－2]__． 【解析】　当命题p为真命题时，a≤(x2)min＝0．当命题q为真命题时，方程x2＋2ax＋2－a＝0有解，所以Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≤－2或a≥1．若命题p，q都是真命题，则⇒a≤－2． (2) 已知命题p：∃x∈R，mx2－mx－1≥0为假命题，则实数m的取值范围为(－4,0]__． 【解析】　因为命题p：∃x∈R，mx2－mx－1≥0为假命题，所以命题∀x∈R，mx2－mx－1＜0为真命题．当m＝0时，－1＜0恒成立，符合题意；当m≠0时，则解得－4＜m＜0．综上，可得m的取值范围是(－4,0]． 根据命题的真假求参数取值范围的策略 (1) 已知每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围； (2) 对于含有量词的命题求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数的值域(或最值)解决． 变式3　(2025·徐州2月调研)已知命题p：∀x∈R，ax2＋2x＋3＞0为真命题，则实数a的取值范围是(　D　) A．　 B． C．　 D． 【解析】　因为命题p：∀x∈R，ax2＋2x＋3＞0为真命题，所以不等式ax2＋2x＋3＞0的解集为R．若a＝0，则2x＋3＞0，解得x＞－，不合题意．若a≠0，则解得a＞．综上，a＞． 双量词成立问题 例4　(1) 已知函数f(x)，当x∈(－∞，2)时，f(x)∈[0,2e2)，g(x)＝ax＋1，a∈R．若对任意的x1∈[－2,2]，总存在唯一的x2∈(－∞，2)，使得f(x2)＝g(x1)，则实数a的取值范围为____． 【解析】　①当a＜0时，由x1∈[－2,2]，得g(x1)∈[2a＋1，－2a＋1]，由题意有[2a＋1，－2a＋1]⊆[0,2e2)，解得a∈．②当a＝0时，由x1∈[－2,2]，得g(x1)＝1，满足题意．③当a＞0时，由x1∈[－2,2]，得g(x1)∈[－2a＋1,2a＋1]，由题意有[－2a＋1,2a＋1]⊆[0,2e2)，解得a∈．综上，可得a∈． (2) 已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈，∃x2∈[2,3]，使f(x1)≤g(x2)，则实数a的取值范围是____． 【解析】　由题可知f(x)max≤g(x)max，由于f(x)max＝，g(x)max＝8＋a，所以≤8＋a，解得a≥． (1) 相等关系： 记y＝f(x)，x∈[a，b]的值域为A, y＝g(x)，x∈[c，d]的值域为B． ①若∀x1∈[a，b]，∃x2∈[c，d]，有f(x1)＝g(x2)，则A⊆B． ②若∃x1∈[a，b]，∀x2∈[c，d]，有f(x1)＝g(x2)，则A⊇B． ③若∃x1∈[a，b]，∃x2∈[c，d]，有f(x1)＝g(x2)，则A∩B≠∅． (2) 不等关系： ①∀x1∈A，∀x2∈B，f(x1)≤g(x2)⇔f(x)max≤g(x)min． ②∃x1∈A，∃x2∈B，f(x1)≤g(x2)⇔f(x)min≤g(x)max． ③∀x1∈A，∃x2∈B，f(x1)≤g(x2)⇔f(x)max≤g(x)max． 变式4　(1) 已知f(x)在[－2,2]上的值域为[－3,3]，函数g(x)＝x2－2x＋m．若对于任意的x1∈[－2,2]，都存在x2∈[－2,2]，使得g(x2)＝f(x1)，则实数m的取值范围是__[－5，－2]__． 【解析】　由题知函数g(x)＝x2－2x＋m在[－2,2]上的值域为[m－1，m＋8]．因为对任意的x1∈[－2,2]，都存在x2∈[－2,2]，使得g(x2)＝f(x1)，所以[－3,3]⊆[m－1，m＋8]，所以解得－5≤m≤－2． (2) 已知函数f(x)＝，g(x)＝x－1．若存在x1，x2∈[a，a＋1]，使得f(x1)＜g(x2)成立，则实数a的取值范围是(－1－，－2)∪(－1，＋∞)__． 【解析】　由题知f(x)min＜g(x)max．由g(x)＝x－1在[a，a＋1]上单调递增，可得g(x)max＝g(a＋1)＝a．显然，a＜－2或a＞－1，当a＞－1时，f(x)在[a，a＋1]上单调递减，可得f(x)min＝f(a＋1)＝．由a＞，解得a＞－1．当a＋1＜－1，即a＜－2时，f(x)在[a，a＋1]上单调递减，可得f(x)min＝f(a＋1)＝．由a＞，解得－1－＜a＜－2．综上，a的取值范围是(－1－，－2)∪(－1，＋∞)． 　逻辑推理问题 例5　(2026·南昌期初)已知甲、乙、丙、丁四位老师参加青年教师教学大赛，问其比赛结果，他们回答如下：甲：丙第一，乙第二；乙：丙第二，丁第三；丙：丁最后，甲第二．如果每个人的两个回答中，都恰有一个是正确的，且没有并列名次，那么这次比赛获得第一、二、三、四名的依次是(　A　) A．丙、甲、丁、乙　 B．丙、甲、乙、丁 C．甲、乙、丙、丁　 D．甲、乙、丁、丙 【解析】　若甲说的“丙第一”正确，则乙的回答中只能“丁第三”正确，丙的回答中“甲第二”正确，此时获得第一、二、三、四名的依次是丙、甲、丁、乙．若甲说的“乙第二”正确，又没有并列名次，则乙的回答中只能“丁第三”正确，丙的回答中“甲第二”正确，此时第二名出现甲、乙并列，与题设矛盾，因此第一、二、三、四名依次是丙、甲、丁、乙． 随堂内化 1．(2025·漳州二模)命题“∀x＞0，x＋1≤ex”的否定是(　D　) A．∃x≤0，x＋1≤ex B．∃x≤0，x＋1＞ex C．∃x＞0，x＋1≤ex D．∃x＞0，x＋1＞ex 2．(2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|＞1；命题q：∃x＞0，x3＝x，则(　B　) A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题 C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题 【解析】　对于p，取x＝－1，则有|x＋1|＝0＜1，故p是假命题，¬p是真命题．对于q，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题，¬q是假命题．综上，¬p和q都是真命题． 3．若“∃x∈[0,3]，x2－2x－a＜0”为真命题，则实数a可取的最小整数值是(　B　) A．－1　 B．0 C．1　 D．3 【解析】 由题意得a＞x2－2x在x∈[0,3]上有解，当x＝1时，x2－2x取最小值－1，则a＞(x2－2x)min＝－1，故a可取的最小整数值为0． 4．已知函数f(x)＝x2＋x，g(x)＝ln(x＋1)－a，若存在x1，x2∈[0,2]，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围是__[－4，ln 3]__ 【解析】　f(x)的值域A＝[0,4]，g(x)的值域B＝[－a，ln 3－a]．由存在x1，x2∈[0,2]，使得f(x1)＝g(x2)，知A∩B≠∅．由A∩B＝∅得4＜－a或ln 3－a＜0，解得a＜－4或a＞ln 3．故当A∩B≠∅时，－4≤a≤ln 3，所以a的取值范围是[－4，ln 3]． 配套精练 A组　夯基精练 一、单项选择题 1．(2025·青岛二测)命题“∀x＞y，x2＞y2”的否定为(　D　) A．∀x＞y，x2≤y2 B．∀x＜y，x2≤y2 C．∃x＜y，x2≤y2 D．∃x＞y，x2≤y2 2．(2025·唐山一模)已知命题p：∀x∈R，x2＞0；命题q：∃x＞0，ln x＜0，则(　B　) A．p和q都是真命题 B．p是假命题，q是真命题 C．p是真命题，q是假命题 D．p和q都是假命题 3．已知p：∀x∈R，x2＋2x＋a≥0；q：∀x∈R，x2＋2ax＋2－a≠0，若p，q一真一假，则实数a的取值范围为(　A　) A．(－2，＋∞) B．[1，＋∞) C．(－∞，－2]∪[1，＋∞) D．(－2,1) 【解析】　若p为真，则Δ1＝4－4a≤0，解得a≥1．若q为真，则Δ2＝4a2－4(2－a)＜0，解得－2＜a＜1．若p真q假，则a≥1；若p假q真，则－2＜a＜1．综上所述，若p，q一真一假，则实数a的取值范围为(－2，＋∞)． 4．(2025·德州模拟)某次考试后，甲、乙、丙、丁四名同学讨论其中一道考题，甲说：我做错了；乙说：甲做对了；丙说：我做错了；丁说：我和乙中有人做对．已知四人中只有一名同学的解答是正确的，且只有一名同学说的是正确的，则解答正确的同学是(　C　) A．甲　 B．乙 C．丙　 D．丁 【解析】　若甲做对了，则甲说错了，乙说对了，丙也说对了，此时有2人说对了，不满足条件．若乙做对了，则甲说对了，乙说错了，丙也说对了，此时有2人说对了，不满足条件．若丙做对了，则甲说对了，乙说错了，丙、丁也说错了，其中只有甲1人说对了，满足条件．若丁做对了，则丁、甲、丙都说对了，不满足条件．故做对的是丙，说对的是甲． 5．已知函数f(x)＝x2＋3，g(x)＝mx＋5－m(m＞0)，若对任意的x1∈[1,2]，总存在x2∈[－1,2]，使得f(2x1)＝g(x2)成立，则实数m的取值范围是(　C　) A．[12，＋∞)　 B．[10，＋∞) C．[14，＋∞)　 D．[8，＋∞) 【解析】　因为x1∈[1,2]，所以2x1∈[2,4]，所以f(2x1)＝(2x1)2＋3∈[7,19]．因为对任意的x1∈[1,2]，总存在x2∈[－1,2]，使得f(2x1)＝g(x2)成立，所以g(x2)的值域包含区间[7,19]．又m＞0，所以g(x)＝mx＋5－m在[－1,2]上是增函数，所以g(x2)∈[5－2m,5＋m]，所以解得m≥14． 二、多项选择题 6．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　ABD　) A．矩形的对角线互相平分且相等 B．对任意非正数c，若a≤b＋c，则a≤b C．有些菱形不是平行四边形 D．对任意实数x，不等式x2－3x＋7≥0恒成立 7．下列说法中正确的是(　BD　) A．若∀x∈(A∩B)，则x∈A或x∈B B．∃x∈R，x2＞x3 C．a＞b的一个必要不充分条件是∃x0＜0，a＋x0≥b D．∃x0∈R，x＋2＞3x0的否定是∀x∈R，x2＋2≤3x 【解析】　若x∈(A∩B)，则x∈A且x∈B，故A错误；当x＝－1时，x2＞x3，故B正确；a＞b能推出∃x0＜0，a＋x0≥b，但反过来也成立，故C错误；∃x0∈R，x＋2＞3x0的否定为∀x∈R，x2＋2≤3x，故D正确． 8．若“∃x∈，使得2x2－λx＋1＜0成立”是假命题，则实数λ的可能取值是(　AB　) A．　 B．2 C．3　 D． 【解析】　由题意可知∀x∈，2x2－λx＋1≥0是真命题，则λ≤＝2x＋，即λ≤min，x∈．因为f(x)＝2x＋≥2＝2，x∈，当且仅当2x＝，即x＝∈时等号成立，所以f(x)的最小值是2，即λ≤2． 三、填空题 9．若“∃x∈[1,4]，使得2x＋a＋1≥0”是假命题，则实数a的取值范围是(－∞，－9)__． 10．已知函数f(x)＝ax＋2(a＞0)，g(x)＝．若∃x1∈[－1,2]，∀x2∈[2,3]，使f(x1)＝g(x2)成立，则实数a的取值范围为__[1，＋∞)__． 【解析】 由函数f(x)＝ax＋2(a＞0)在区间[－1，2]上单调递增，可得－a＋2≤f(x)≤2a＋2，即函数f(x)的值域构成集合A＝[－a＋2，2a＋2]．由函数g(x)＝在[2,3]上单调递减，可得1≤g(x)≤2，即函数g(x)的值域构成集合B＝[1,2]．又∃x1∈[－1,2]，∀x2∈[2,3]，使f(x1)＝g(x2)成立，则B⊆A，则解得a≥1，即实数a的取值范围是[1，＋∞)． 11．已知函数f(x)＝，若∀a∈[－2,2]，∃x∈，使不等式f(x)≤m2－2am＋成立，则实数m的取值范围为(－∞，－3]∪[－1,1]∪[3，＋∞)__． 【解析】　由题意得f(x)＝＝1－，所以f(x)在上单调递增，所以f(x)min＝f＝．∀a∈[－2,2]，∃x∈，使不等式f(x)≤m2－2am＋成立，转化为∀a∈[－2,2]，f(x)min≤m2－2am＋恒成立，即∀a∈[－2，2]，－2ma＋m2＋3≥0恒成立．令g(a)＝－2ma＋m2＋3，所以即解得m≤－3或－1≤m≤1或m≥3，故实数m的取值范围为(－∞，－3]∪[－1,1]∪[3，＋∞)． 四、解答题 12．已知命题p：∀x∈R，x2＋2m－3＞0，命题q：∃x0∈R，x－2mx0＋m＋2＜0． (1) 若命题p为真命题，求实数m的取值范围； 【解答】 若命题p为真命题，则x2＞3－2m对x∈R恒成立，即3－2m＜(x2)min，因此3－2m＜0，解得m＞，即实数m的取值范围是． (2) 若命题q为真命题，求实数m的取值范围； 【解答】 若命题q为真命题，则方程x2－2mx＋m＋2＝0有两不等实根，所以Δ＝(－2m)2－4(m＋2)＞0，则m2－m－2＞0，解得m＜－1或m＞2，故实数m的取值范围是{m|m＜－1或m＞2}． (3) 若命题p，q中至少有一个为真命题，求实数m的取值范围． 【解答】 若命题p，q中至少有一个为真命题，即p或q为真命题，则结合(1)(2)得m∈∪{m|m＜－1或m＞2}⇒m∈，因此实数m的取值范围是. 13．已知函数f(x)＝x－，g(x)＝x2＋bx＋1(a，b∈R，a≠0)． (1) 若集合为单元素集，求实数a的值； 【解答】 由题意可知，集合为单元素集，且a≠0，由x－＝x－1，其中x≠0，整理可得x2－4x＋4a＝0，所以关于x的方程x2－4x＋4a＝0有两个相等的实根，所以Δ＝16－16a＝0，解得a＝1，符合题意，故a＝1． (2) 在(1)的条件下，对任意的x1∈[2,5]，总存在x2∈[2,5]，使f(x1)≥g(x2)成立，求实数b的取值范围． 【解答】 当a＝1时，f(x)＝x－，因为函数y＝x，y＝－在[2,5]上均为增函数，所以函数f(x)在[2,5]上为增函数，且f(x)min＝f(2)＝．由题意知，存在x∈[2,5]，使得g(x)≤f(x)min＝，则x2＋bx＋1≤，可得b≤－x，所以b≤max．令h(x)＝－x，其中x∈[2,5]，因为函数y＝，y＝－x在[2,5]上均为减函数，故函数h(x)＝－x在[2,5]上为减函数，所以h(x)max＝h(2)＝－2＝－，故b≤－，因此实数b的取值范围是． B组　能力提升练 14．若对任意m∈R，存在n∈[3,4]，使得不等式(m＋n)2－3≥mn＋2m＋an成立，则实数a的最大值为(　D　) A．2　 B．5 C．4　 D．3 【解析】　由(m＋n)2－3≥mn＋2m＋an，得m2＋(n－2)m≥－n2＋an＋3．当m＝1－时，m2＋(n－2)m取得最小值2＋(n－2)＝－＋n－1，所以－＋n－1≥－n2＋an＋3．因为n＞0，所以a≤n－＋1．因为函数g(n)＝n－＋1在[3,4]上单调递增，所以g(n)max＝g(4)＝3－1＋1＝3，所以实数a的最大值为3． 15．已知函数f(x)＝x－1，g(x)＝kx2－(2k＋1)x＋k＋1，其中k＞1．若对任意的x1∈[2,4]，存在x2∈[2,4]，使得f(x1)f(x2)＝g(x1)g(x2)成立，则实数k的值为____． 【解析】　因为f(x1)f(x2)＝g(x1)g(x2)，则＝．令h(x)＝(x≠1)，则h(x1)＝．因为h(x)＝＝＝kx－k－1，则对任意的x1∈[2,4]，存在x2∈[2,4]，使得kx1－k－1＝成立．因为k＞1，则h(x1)＝kx1－k－1在[2,4]上的值域为[k－1,3k－1]，在[2,4]上的值域为．由题意可得[k－1，3k－1]⊆，故≤k－1＜3k－1≤，则(k－1)(3k－1)＝1，解得k＝． 学科网（北京）股份有限公司 $