第1章 第2讲 充分条件与必要条件（word教参）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（提升版）

该高中数学高考复习讲义聚焦充分条件与必要条件核心考点，按定义理解、判断方法（定义法、集合法、传递法）、题型应用（判断、参数、证明）的逻辑层次构建知识体系，通过激活思维题组、聚焦知识梳理、题型突破精讲、随堂内化与配套精练的教学流程，帮助学生系统掌握考点，突破理解难点。 讲义突出高考真题导向与分层训练设计，如结合2025年模拟题讲解集合法判断充要条件，通过参数范围问题培养数学思维的逻辑推理能力，设置基础巩固到综合应用的练习梯度。这一设计能在有限时间内提升学生的符号运算与问题转化能力，为教师把控复习节奏、实现高效备考提供清晰路径。

第2讲　充分条件与必要条件 知识整合　体系重构 激活思维 1．(教材经典题改编)“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实数根”是“b2－4ac≥0(a≠0)”的(　C　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．(教材经典题改编)“x∈A”是“x∈A∩B”的(　B　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．已知a＞0，b＞0，m∈R，则“a≤b”的一个必要不充分条件是(　C　) A．am≤bm　 B．≤ C．am2≤bm2　 D．a＋m2≤b＋m2 4．若“1－m＜x＋m＜2m”是“＜－1”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为(1，＋∞)__． 【解析】　因为1－m＜x＋m＜2m⇔1－2m＜x＜m，且＜－1⇔＜0⇔－1＜x＜1，所以由题意可得(－1,1)，所以1－2m≤－1，m≥1，且等号不同时成立，解得m＞1，即实数m的取值范围是(1，＋∞)． 5．已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么r是q的__充要__条件，p是q的__必要__条件． 【解析】 因为q⇒s⇒r⇒q，所以r是q的充要条件．又q⇒s⇒r⇒p，所以p是q的必要条件． 聚焦知识 充分条件、必要条件、充要条件的判断方法 1．定义法：分别判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假． 2．集合法：利用集合间的包含关系进行判断．其中p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}． 充分、必要条件 定义法 集合法 p是q的充分条件 p⇒q A⊆B p是q的必要条件 q⇒p B⊆A p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp AB p是q的必要不充分条件 p q且q⇒p BA p是q的充要条件 p⇔q A＝B p是q的既不充分又不必要条件 p q且qp AB且BA 3．传递法：若问题中出现若干个条件和结论，应根据条件画出相应的推式图，根据图中推式的传递性进行判断． 题型突破　思维拓展 举题说法 充要条件的判断 例1　(1)(2025·青岛一模)设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的(　C　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【解析】　由B⊆∁UC，得B∩C＝∅，而A⊆C，则A∩B＝∅，故“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的充分条件．由A∩B＝∅，存在一个集合C＝A，使得A⊆C，B⊆∁UC，如图．所以“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的充要条件． (2)(多选)已知集合A＝{x∈R|x2－ax＋a2－3＝0}，B＝{x|x＜0}，则“A∩B＝∅”是真命题的一个充分不必要条件是(　BCD　) A．a＜－2或a≥ B．a＜－2 C．a＞ D．a＜－2或a＞2 【解析】　因为A＝{x∈R|x2－ax＋a2－3＝0}，B＝{x|x＜0}，所以若“A∩B＝∅”是真命题，当A＝∅时，则Δ＝a2－4(a2－3)＜0，解得a＜－2或a＞2．当A≠∅时，则由题意可得方程x2－ax＋a2－3＝0有两个非负实数根，所以解得≤a≤2．综上，a的取值范围是{a|a＜－2或a≥}，即A∩B＝∅是真命题的充要条件为a＜－2或a≥，结合选项知B，C，D正确． 判断充要条件的三种方法 (1) 定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2) 集合法：利用集合的包含关系判断．小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系． (3) 传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性． 1．(2025·苏锡常镇一模)“＞＞0”是“2a＞2b”的(　D　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【解析】　由＞＞0可得0＜a＜b，由2a＞2b可得a＞b，所以由＞＞0推不出2a＞2b，即充分性不成立；由2a＞2b也推不出＞＞0，即必要性不成立．所以“＞＞0”是“2a＞2b”的既不充分又不必要条件． 2．(2025·开封二模)设a，b∈R，则a＜b的一个充分不必要条件是(　D　) A．＞　 B．a2＋b2＞2ab C．eb－a＞1　 D．ln(b－a)＞0 【解析】　对于A，当a＝1，b＝－1时，满足＞，但是不符合a＜b，故＞不是a＜b的一个充分条件，故A错误；对于B，a2＋b2＞2ab，即(a－b)2＞0，即a≠b，所以a2＋b2＞2ab是a＜b的必要不充分条件，故B错误；对于C，eb－a＞1＝e0，即b＞a，故eb－a＞1是a＜b的充要条件，故C错误；对于D，ln(b－a)＞0，即b－a＞1，b＞a＋1，故ln(b－a)＞0是a＜b的一个充分不必要条件，故D正确． 3．(多选)已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则下列命题正确的是(　AB　) A．r是q的充要条件 B．p是q的充分不必要条件 C．r是q的必要不充分条件 D．r是s的充分不必要条件 【解析】　根据条件弄清楚p，q，r，s之间的关系，然后逐一判断即可．由已知得p⇒r，rp，q⇒r，r⇒s，s⇒q，所以r⇒q且q⇒r，故A正确，C不正确；p⇒q，qp，故B正确；r⇒s且s⇒r，故D不正确． 4．(多选)下列命题正确的是(　ABD　) A．“a＞1”是“＜1”的充分不必要条件 B．“m＜0”是“二次方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正根、一负根”的充要条件 C．“x≤1且y≤1”是“x＋y≤2”的充要条件 D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件 【解析】　对于A，由a＞1可得0＜＜1，所以＜1成立，所以“a＞1”是“＜1”的充分条件；由＜1可得a＜0或a＞1，所以“a＞1”不是“＜1”的必要条件．综上，“a＞1”是“＜1”的充分不必要条件，故A正确．对于B，“二次方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正根、一负根”等价于“x1x2＝m＜0”，故B正确．对于C，由“x≤1且y≤1”可得“x＋y≤2”，但“x＋y≤2”时，如x＝－3，y＝4，此时“x≤1且y≤1”不成立，故C错误．对于D，因为a≠0推不出ab≠0，但ab≠0能推出a≠0，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，故D正确． 结合充要条件确定参数 例2　(1)(2025·天津一模)若“＜0”是“＜2”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　B　) A．(1,3]　 B．[1,3] C．(－1,3]　 D．[－1,3] 【解析】　因为＜0，则(x－1)(x－3)＜0⇒1＜x＜3．因为＜2，则－2＜x－a＜2⇒a－2＜x＜a＋2，即1＜x＜3是a－2＜x＜a＋2的充分不必要条件，所以⇒1≤a≤3． (2)(2025·秦皇岛一模)已知λ＞0，集合A＝{x|x2－5x－6＜0}，B＝{x|(x－λ)(x－2λ)＜0}，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则实数λ的取值范围为(　B　) A．(0,3)　 B．(0,3] C．(0,2)　 D．(0,2] 【解析】　A＝＝，B＝＝，因为x∈A是x∈B的必要不充分条件，所以B是A的真子集，可得等号不同时成立，结合λ＞0，解得0＜λ≤3，所以λ的取值范围为(0,3]． (1) p：x∈M是q：x∈N的充分不必要条件⇔MN；p：x∈M是q：x∈N的必要不充分条件⇔NM． (2) 在解求参数的取值范围的题目时，一定要注意区间端点值的检验．在利用集合关系列不等式时，不等式是否能取到等号直接决定着端点值的取舍，在这里容易增解或漏解． 变式2　(2026·青岛期初)设p：x≥a，q：x2＋3x－10＞0，且p是q成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　B　) A．(0,2)　 B．(2，＋∞) C．[2，＋∞)　 D．(2,5] 【解析】　由x2＋3x－10＞0，得x＜－5或x＞2，设B＝(－∞，－5)∪(2，＋∞)．设满足p：x≥a的集合为A，则A＝[a，＋∞)．由p是q成立的充分不必要条件，知A是B的真子集，所以a＞2． 充要条件的证明 例3　设x，y∈R． (1) 求证：＝＋2成立的充要条件是xy≥0； 【解答】　先证充分性：因为xy≥0，讨论：当x＝0，y≠0时，＝2，＋2＝2，所以＝＋2；当y＝0，x≠0时，＝，＋2＝，所以＝＋2；当y＝0，x＝0时，＝＋2＝0．所以当xy＝0时，有＝＋2成立．当xy＞0，即x＞0，y＞0或x＜0，y＜0时，若x＞0，y＞0，则＝x＋2y＝＋2；若x＜0，y＜0，则＝－x－2y，＋2＝－x－2y，所以＝＋2．充分性成立．再证必要性：因为＝＋2，两边平方有x2＋4y2＋4xy＝x2＋4y2＋4，所以＝xy，所以xy≥0，必要性成立．综上，＝＋2成立的充要条件是xy≥0． (2) 直接写出＝成立的充要条件(不要求证明)． 【解答】　因为＝⇔(x＋2y)2＝(x－2y)2⇔8xy＝0⇔xy＝0，所以＝成立的充要条件是xy＝0． 充要条件证明的两个思路 (1) 直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． (2) 集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件． 变式3　求证：方程mx2－2x＋3＝0(m≠0)有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m＜． 【解答】　先证充分性：若0＜m＜，则Δ＝4－12m＞0，故方程有两个不相等的实根．设这两个实根为x1，x2，则x1＋x2＝＞0，x1x2＝＞0，故方程mx2－2x＋3＝0(m≠0)有两个同号且不相等的实根．再证必要性：若方程mx2－2x＋3＝0(m≠0)有两个同号且不相等的实根，则解得0＜m＜，故必要性成立． 随堂内化 1．(2025·九江二模)“m＞2”是“＞log23”的(　A　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．设有甲、乙、丙三个条件，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么丙是甲的(　A　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．(多选)下列四个条件中，可以作为“若a，b∈R，则a＋b＞0”的一个充分不必要条件的是(　CD　) A．ab＞0　 B．a＞0或b＞0 C．a＋b＞2　 D．a＞0且b＞0 【解析】　对于A，ab＞0，则可能a＜0且b＜0，此时a＋b＜0，所以充分性不成立；对于B，例如a＝－3，b＝2，满足a＞0或b＞0，此时a＋b＜0，所以充分性不成立；对于C，由a＋b＞2，可得a＋b＞0，反之不成立，所以a＋b＞2是a＋b＞0的充分不必要条件；对于D，若a＞0且b＞0，则a＋b＞0，反之，若a＋b＞0，不一定得到a＞0且b＞0，所以a＞0且b＞0是a＋b＞0的充分不必要条件． 4．已知p：x2－(2m＋3)x＋m2＋3m＞0，q：x2－x－6≤0．若p是q成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为(－∞，－5)∪(3，＋∞)__． 【解析】　由题知p：(x－m)(x－m－3)＞0，则x＜m或x＞m＋3．q：x2－x－6≤0，即－2≤x≤3．又p是q成立的必要不充分条件，所以m＞3或m＋3＜－2，则m＞3或m＜－5，即m的取值范围为(－∞，－5)∪(3，＋∞)． 配套精练 一、单项选择题 1．(2025·沈阳、大连一模)“x＞2”是“x2－2x＞0”的(　A　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．(2025·汕头一模)“log3a＞log3b”是“3a＞3b”的(　A　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．(2025·南昌一模)设p：0＜a＜1；q：关于x的方程sin x＋cos x＝a有实数解，则p是q的(　A　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．使得不等式“|x＋1|－x－1＞0”成立的一个必要不充分条件是(　C　) A．x＋2＜0　 B．＜0 C．x＜0　 D．x2－4＞0 【解析】　由|x＋1|－x－1＞0，可得|x＋1|＞x＋1，所以x＋1＜0，解得x＜－1，即|x＋1|－x－1＞0成立的充要条件为x＜－1．对于A，由x＋2＜0，得x＜－2，是“|x＋1|－x－1＞0”成立的充分不必要条件；对于B，由＜0，得x＜－1，是“|x＋1|－x－1＞0”成立的充要条件；对于C，x＜0是“|x＋1|－x－1＞0”成立的必要不充分条件；对于D，由x2－4＞0，得x＜－2或x＞2，是“|x＋1|－x－1＞0”成立的既不充分又不必要条件． 5．若“1＜x＜2”是“(x－a)2＜1”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　C　) A．[1,2)　 B．(1,2] C．[1,2]　 D．(1,2) 【解析】　由(x－a)2＜1得a－1＜x＜a＋1．因为1＜x＜2是不等式(x－a)2＜1成立的充分不必要条件，所以等号不能同时取得，解得1≤a≤2． 二、多项选择题 6．如果A是D的充分不必要条件，B是C的充要条件，A是C的必要不充分条件，则下列说法正确的是(　AB　) A．A是B的必要不充分条件 B．B是D的充分不必要条件 C．C是D充要条件 D．B是D的既不充分又不必要条件 7．“集合A＝只有3个真子集”的一个充分不必要条件可以是(　ABD　) A．1＜a＜　 B．＜a≤2 C．1≤a＜3　 D．＜a＜ 【解析】　由题知集合A中只有2个元素，因为x∈N，y∈N，则有：当x＝0，y＝0时，x2＋2y2＝0；当x＝1，y＝0时，x2＋2y2＝1；当x＝0，y＝1时，x2＋2y2＝2．则a的取值范围为(1,2]，故其一个充分不必要条件可以为ABD． 8．已知p：|2x－1|＜3，q：2x2－ax－a2≤0，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围可以是(　AC　) A．(－1,0)　 B．(－2,0] C．(－1,1)　 D．(－1,2] 【解析】 对于p：|2x－1|＜3，解得－1＜x＜2，设A＝{x|－1＜x＜2}．对于q：2x2－ax－a2≤0，即(2x＋a)(x－a)≤0，当a≥0时，解得－≤x≤a，设B＝；当a＜0时，解得a≤x≤－，设B＝.因为p是q的必要不充分条件，所以BA.当a≥0时，解得0≤a＜2.当a＜0时，解得－1＜a＜0.综上，－1＜a＜2.故只要实数a的取值集合是集合{a|－1＜a＜2}的子集即可． 三、填空题 9．若“－1＜x＜1”是“(x－a)(x－3－a)＜0”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是__[－2，－1]__． 【解析】　因为(x－a)(x－3－a)＜0，所以a＜x＜3＋a．因为“－1＜x＜1”是“(x－a)(x－3－a)＜0”的充分不必要条件，所以等号不能同时取得，解得－2≤a≤－1，所以实数a的取值范围是[－2，－1]． 10．已知集合A＝，B＝{x|log3(x＋a)≥1}，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则实数a的取值范围是(－∞，0]__． 【解析】　集合A＝＝{x|x2－x－6≥0}＝{x|x≥3或x≤－2}，集合B＝{x|log3(x＋a)≥1}＝{x|x＋a≥3}＝{x|x≥3－a}．若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则BA，所以3－a≥3，解得a≤0． 11．甲同学写出三个不等式，p：＜0，q：x2－ax＋3a≤0，r：2x＞，然后将a的值告诉了乙、丙、丁三名同学，要求他们各用一句话来描述，以下是甲、乙、丙、丁四名同学的描述． 乙：a为整数； 丙：p是q成立的充分不必要条件； 丁：r是q成立的必要不充分条件； 甲：三名同学说得都对． 则a的值为__－1__． 【解析】　p：＜0等价于x(x－1)＜0，解得0＜x＜1．因为p是q成立的充分不必要条件，所以⇒a≤－．r：由2x＞，解得x＞－3，又r是q成立的必要不充分条件，所以q的解集是r的解集的真子集，在a≤－的前提下，结合二次函数的性质得到函数的对称轴x＝≤－，二次函数和y轴的交点为(0,3a)，3a＜0，二次函数的图象大致如图所示，只需要在x＝－3处的函数值大于0即可，即9＋3a＋3a＞0，解得a＞－．综上，－＜a≤－．又因为a是整数，所以a＝－1． 四、解答题 12．已知p：(x＋1)(2－x)≥0，q：关于x的不等式x2＋2mx－m＋6＞0恒成立． (1) 当x∈R时q成立，求实数m的取值范围； 【解答】　因为4m2＋4m－24＜0，所以m2＋m－6＜0，所以－3＜m＜2，即实数m的取值范围为(－3,2)． (2) 若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【解答】 由题知p：－1≤x≤2，设A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x2＋2mx－m＋6＞0}，因为p是q的充分不必要条件，所以AB．由(1)知，当－3＜m＜2时，B＝R，满足题意．当m＝－3时，B＝{x|x2－6x＋9＞0}＝{x|x≠3}，满足题意．当m＝2时，B＝{x|x2＋4x＋4＞0}＝{x|x≠－2}，满足题意．当m＜－3或m＞2时，设f(x)＝x2＋2mx－m＋6，则f(x)的对称轴为x＝－m．由AB得或所以或解得1＜m＜或－＜m＜－2，所以－＜m＜－3或2＜m＜．综上可知，m的取值范围为． 13．已知集合A＝，集合B＝{x|0＜x≤2}，D＝． (1) 若C＝，且C⊆(A∩B)，求实数a的取值范围． 【解答】 对于≥，等价于x＋≥或x＋≤－，解得x≥1或x≤－4，所以A＝或，且B＝{x|0≤x≤2}，可得A∩B＝{x|1≤x≤2}．若C⊆(A∩B)，则有：①当C＝∅时，1＋a≤2a，即 a≥1，满足C⊆(A∩B)．②当C≠∅时，解得≤a＜1．综上所述，实数a的取值范围是． (2) 是否存在实数m，使“x∈(A∩B)”是“x∈D”的必要不充分条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解答】 由(1)得A∩B＝{x|1≤x≤2}，若“x∈(A∩B)”是“x∈D”的必要不充分条件，可知D是A∩B的真子集．因为m＋＞m，即集合D≠∅，可得且等号不同时取得，解得1≤m≤．故存在实数m满足条件，且m的取值范围是． 14．求证：“方程ax2＋2x＋1＝0有且只有一个负数根(含两相等负根)”的充要条件为“a≤0或a＝1”． 【解答】 必要性：若方程ax2＋2x＋1＝0有且只有一个负数根，当a＝0时，方程为2x＋1＝0，解得x＝－，符合题意；当a＜0时，Δ＝4－4a＞0，设方程ax2＋2x＋1＝0的两根分别为x1，x2，则x1x2＝＜0，此时方程ax2＋2x＋1＝0有且只有一个负数根；当a＞0时，由Δ＝4－4a＞0，可得0＜a＜1．设方程ax2＋2x＋1＝0的两根分别为x1，x2，则则x1，x2均为负数，不合题意．由Δ＝0，可得a＝1，解得x＝－1，符合题意．所以“方程ax2＋2x＋1＝0有且只有一个负数根”⇒“a≤0或a＝1”．充分性：当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，解得x＝－，原方程只有一个负数根；当a＝1时，原方程为x2＋2x＋1＝0，解得x＝－1，原方程只有一个负数根；当a＜0时，对于原方程，Δ＝4－4a＞0，此时方程ax2＋2x＋1＝0有两根，设为x1，x2，则x1x2＝＜0，此时方程ax2＋2x＋1＝0有且只有一个负数根．所以“a≤0或a＝1”⇒“方程ax2＋2x＋1＝0有且只有一个负数根”．综上所述，“方程ax2＋2x＋1＝0有且只有一个负数根”的充要条件为“a≤0或a＝1”． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲　充分条件与必要条件 知识整合　体系重构 激活思维 1．(教材经典题改编)“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实数根”是“b2－4ac≥0(a≠0)”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．(教材经典题改编)“x∈A”是“x∈A∩B”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．已知a＞0，b＞0，m∈R，则“a≤b”的一个必要不充分条件是(　　) A．am≤bm　 B．≤ C．am2≤bm2　 D．a＋m2≤b＋m2 4．若“1－m＜x＋m＜2m”是“＜－1”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为____． 5．已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么r是q的____条件，p是q的____条件． 聚焦知识 充分条件、必要条件、充要条件的判断方法 1．定义法：分别判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假． 2．集合法：利用集合间的包含关系进行判断．其中p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}． 充分、必要条件 定义法 集合法 p是q的充分条件 p⇒q A⊆B p是q的必要条件 q⇒p B⊆A p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp AB p是q的必要不充分条件 p q且q⇒p BA p是q的充要条件 p⇔q A＝B p是q的既不充分又不必要条件 p q且qp AB且BA 3．传递法：若问题中出现若干个条件和结论，应根据条件画出相应的推式图，根据图中推式的传递性进行判断． 题型突破　思维拓展 举题说法 充要条件的判断 例1　(1)(2025·青岛一模)设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 (2)(多选)已知集合A＝{x∈R|x2－ax＋a2－3＝0}，B＝{x|x＜0}，则“A∩B＝∅”是真命题的一个充分不必要条件是(　　) A．a＜－2或a≥ B．a＜－2 C．a＞ D．a＜－2或a＞2 判断充要条件的三种方法 (1) 定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2) 集合法：利用集合的包含关系判断．小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系． (3) 传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性． 1．(2025·苏锡常镇一模)“＞＞0”是“2a＞2b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．(2025·开封二模)设a，b∈R，则a＜b的一个充分不必要条件是(　　) A．＞　 B．a2＋b2＞2ab C．eb－a＞1　 D．ln(b－a)＞0 3．(多选)已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则下列命题正确的是(　　) A．r是q的充要条件 B．p是q的充分不必要条件 C．r是q的必要不充分条件 D．r是s的充分不必要条件 4．(多选)下列命题正确的是(　　) A．“a＞1”是“＜1”的充分不必要条件 B．“m＜0”是“二次方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正根、一负根”的充要条件 C．“x≤1且y≤1”是“x＋y≤2”的充要条件 D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件 结合充要条件确定参数 例2　(1)(2025·天津一模)若“＜0”是“＜2”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　　) A．(1,3]　 B．[1,3] C．(－1,3]　 D．[－1,3] (2)(2025·秦皇岛一模)已知λ＞0，集合A＝{x|x2－5x－6＜0}，B＝{x|(x－λ)(x－2λ)＜0}，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则实数λ的取值范围为(　　) A．(0,3)　 B．(0,3] C．(0,2)　 D．(0,2] (1) p：x∈M是q：x∈N的充分不必要条件⇔MN；p：x∈M是q：x∈N的必要不充分条件⇔NM． (2) 在解求参数的取值范围的题目时，一定要注意区间端点值的检验．在利用集合关系列不等式时，不等式是否能取到等号直接决定着端点值的取舍，在这里容易增解或漏解． 变式2　(2026·青岛期初)设p：x≥a，q：x2＋3x－10＞0，且p是q成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　　) A．(0,2)　 B．(2，＋∞) C．[2，＋∞)　 D．(2,5] 充要条件的证明 例3　设x，y∈R． (1) 求证：＝＋2成立的充要条件是xy≥0； (2) 直接写出＝成立的充要条件(不要求证明)． 充要条件证明的两个思路 (1) 直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． (2) 集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件． 变式3　求证：方程mx2－2x＋3＝0(m≠0)有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m＜． 随堂内化 1．(2025·九江二模)“m＞2”是“＞log23”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．设有甲、乙、丙三个条件，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么丙是甲的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．(多选)下列四个条件中，可以作为“若a，b∈R，则a＋b＞0”的一个充分不必要条件的是(　　) A．ab＞0　 B．a＞0或b＞0 C．a＋b＞2　 D．a＞0且b＞0 4．已知p：x2－(2m＋3)x＋m2＋3m＞0，q：x2－x－6≤0．若p是q成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为____． 配套精练 一、单项选择题 1．(2025·沈阳、大连一模)“x＞2”是“x2－2x＞0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．(2025·汕头一模)“log3a＞log3b”是“3a＞3b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．(2025·南昌一模)设p：0＜a＜1；q：关于x的方程sin x＋cos x＝a有实数解，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．使得不等式“|x＋1|－x－1＞0”成立的一个必要不充分条件是(　　) A．x＋2＜0　 B．＜0 C．x＜0　 D．x2－4＞0 5．若“1＜x＜2”是“(x－a)2＜1”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　　) A．[1,2)　 B．(1,2] C．[1,2]　 D．(1,2) 二、多项选择题 6．如果A是D的充分不必要条件，B是C的充要条件，A是C的必要不充分条件，则下列说法正确的是(　　) A．A是B的必要不充分条件 B．B是D的充分不必要条件 C．C是D充要条件 D．B是D的既不充分又不必要条件 7．“集合A＝只有3个真子集”的一个充分不必要条件可以是(　　) A．1＜a＜　 B．＜a≤2 C．1≤a＜3　 D．＜a＜ 8．已知p：|2x－1|＜3，q：2x2－ax－a2≤0，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围可以是(　　) A．(－1,0)　 B．(－2,0] C．(－1,1)　 D．(－1,2] 三、填空题 9．若“－1＜x＜1”是“(x－a)(x－3－a)＜0”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是____． 10．已知集合A＝，B＝{x|log3(x＋a)≥1}，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则实数a的取值范围是_____． 11．甲同学写出三个不等式，p：＜0，q：x2－ax＋3a≤0，r：2x＞，然后将a的值告诉了乙、丙、丁三名同学，要求他们各用一句话来描述，以下是甲、乙、丙、丁四名同学的描述． 乙：a为整数； 丙：p是q成立的充分不必要条件； 丁：r是q成立的必要不充分条件； 甲：三名同学说得都对． 则a的值为________． 四、解答题 12．已知p：(x＋1)(2－x)≥0，q：关于x的不等式x2＋2mx－m＋6＞0恒成立． (1) 当x∈R时q成立，求实数m的取值范围； (2) 若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 13．已知集合A＝，集合B＝{x|0＜x≤2}，D＝． (1) 若C＝，且C⊆(A∩B)，求实数a的取值范围． (2) 是否存在实数m，使“x∈(A∩B)”是“x∈D”的必要不充分条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 14．求证：“方程ax2＋2x＋1＝0有且只有一个负数根(含两相等负根)”的充要条件为“a≤0或a＝1”． 学科网（北京）股份有限公司 $