第1章 第1讲 集合及其运算（word教参）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（提升版）

该高中数学高考复习讲义聚焦集合及其运算核心考点，涵盖元素性质、集合关系、运算及新定义问题，按“基础概念-关系判断-运算应用-创新拓展”逻辑架构知识体系。通过激活思维题热身、聚焦知识梳理要点、题型突破分层讲解、随堂内化即时巩固、配套精练综合提升的教学流程，系统助力学生突破难点。 讲义突出数学思维与数学语言培养，如集合关系判断采用列举、数轴、结构法，新定义问题通过举例明晰聚点内涵，强化推理与符号表达能力。分层练习适配不同学情，真题融入增强实战性，能高效提升学生应考能力，为教师把控复习节奏提供精准指导。

第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 第1讲　集合及其运算 知识整合　体系重构 激活思维 1．(教材经典题改编)若集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列结论错误的是(　　) A．1∈A　 B．{－1}⊆A C．∅⊆A　 D．{－1,1}∉A 2．(多选)已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|2＜2x≤8}，则下列判断正确的是(　　) A．A∪B＝B B．(∁RB)∪A＝{x|x≤2或x＞3} C．A∩B＝{x|1＜x≤2} D．(∁RB)∪(∁RA)＝R 3．(教材经典题改编)已知集合A＝{1,3，a2}，B＝{1，a＋2}，若A∪B＝A，则实数a＝____． 4．(教材经典题改编)已知集合A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|0＜x＜2}，若B⊆A，则实数a的取值范围为__ _． 聚焦知识 1．集合与元素 (1) 集合中元素的三个特性：____、____、____． (2) 元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3) 集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4) 常见集合的符号表示 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 符号 N N*或N＋ Z Q R C 2．集合间的基本关系 关系 定义 记法 相等 集合A与B的所有元素都相同 A＝B 子集 A中任意一个元素均为B中的元素 A⊆B 或B⊇A 真子集 A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素 AB 注意：若集合A中含有n(n≥1)个元素，则集合A有____个子集，____个真子集． 3．集合的基本运算 集合的并集A∪B 集合的交集A∩B 集合的补集∁UA 图形 表示 意义 {x|x∈A或x∈B} {x|x∈A且x∈B} {x|x∈U且x∉A} 4．常见结论与等价关系 (1) A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A． (2)(∁UA)∪A＝___；∁U(∁UA)＝____． (3) 摩根定律：∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． 题型突破　思维拓展 举题说法 集合中元素的性质 例1　(1)(多选)下列关于集合相等的说法正确的有(　　) A．{x|x2＋1＝0}＝ B．＝ C．＝{x|－1＜x＜2，x∈N} D．＝{0,1} (2) 若a，，1组成的集合与a2，a＋b,0组成的集合为同一个含有三个元素的集合，则ab的值为____． (3) 已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}．若A中只有一个元素，则a＝____；若A中至少有一个元素，则a的取值范围为____． (1) 集合中的元素最重要的性质是互异性． (2) 注意以下集合的差异：{y|y＝}；{x|y＝}；{(x，y)|y＝}；{y＝}． 变式1　已知集合A＝{1，m，n}，B＝{m2，m，mn}．若A＝B，则m2 026·n2 027＝(　　) A．－1　 B．0 C．1　 D．2 集合间的关系 例2　(1)(2025·南阳期末)已知集合M＝，N＝，则集合N的真子集个数为(　　) A．7　 B．8 C．15　 D．16 (2)(2025·赣州一模)已知集合A＝，B＝，若A⊆B，则实数a的取值范围是(　　) A．(9，＋∞)　 B．[9，＋∞) C．(－∞，－3)　 D．(－∞，－3] (3) 已知集合M＝，N＝，P＝，则M，N，P的关系为(　　) A．M＝N⊆P　 B．M⊆N＝P C．M＝P⊆N　 D．N⊆P⊆M 判断集合间关系的三种方法 (1) 列举法； (2) 数轴法； (3) 结构法：从元素的结构特点入手，化简变形后找差异． 变式2　已知集合A＝{x|x＜－1或x≥3}，B＝{x|ax＋1≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C．(－∞，－1)∪[0，＋∞) D．∪(0,1) 集合间的运算 视角1　集合的基本运算 例 3－1　(1)(多选)已知全集U＝{－2，－1,0,1,2,3,4}，集合A＝{x∈Z|x2－x＜6}，B＝，则下列方式中可表示图中阴影部分的是(　　) (例3－1(1)) A．{－1,2}　 B．∁(A∪B)B C．A∩(∁UB)　 D．(∁UA)∩(∁UB) (2)(2026·南昌期初)已知全集U＝，集合A，B是U的子集，若A∩B＝{2}，(∁UA)∩B＝，(∁UA)∩(∁UB)＝，则集合A＝(　　) A．　 B． C．　 D． (1) 有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决． (2) 注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图． 变式 3－1　(2026·邯郸期初)已知集合M＝，N＝，若全集U＝R，则M∩(∁UN)＝(　　) A．(－∞，1)　 B．[1，＋∞] C．(－1,1)　 D．(0,1] 视角2　利用集合运算求参数 例 3－2　(1) 已知集合A＝，非空集合B＝，若A∩B＝B，则b的取值范围是____． (2) 已知集合A＝，B＝，且B⊆A，则实数a的取值范围为____． 变式 3－2　(2025·佛山一模)已知集合A＝，B＝，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，1)　 B．(－∞，2) C．(－∞，1]　 D．(－∞，2] 集合新定义问题 例4　(多选)设集合X是实数集R的子集，如果点x0∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈X，使得0＜|x－x0|＜a，那么称x0为集合X的聚点，用Z表示整数集，则下列集合中以0为聚点的是(　　) A． B． C． D．整数集Z 此类题的关键是读懂新定义的意义，在领会新定义的基础上，可通过举例的方法明晰新定义的内涵和外延，将其运用到新的情境中，进而对结论作出判断． 变式4　(多选)设P是一个数集，且至少含有两个数．若对于任意a，b∈P，都有a＋b，a－b，ab∈P，且若b≠0，∈P，则称P是一个数域．例如，有理数集Q是数域．下列说法正确的是(　　) A．数域必含有0,1两个数 B．整数集是数域 C．若有理数集Q⊆M，则数集M一定是数域 D．数域中有无限多个元素 随堂内化 1．(2025·广州一模) 已知集合A＝{x|0≤x≤a}，B＝{x|x2－2x≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是(　　) A．(0,2)　 B．(0,2] C．(2，＋∞)　 D．[2，＋∞) 2．(2025·苏北七市二调)设集合U＝R，M＝，N＝，则{x|x≤－1}等于(　　) A．∁U(M∩N)　 B．∁U(M∪N) C．M∪(∁UN)　 D．N∪(∁UM) 3．(2025·漳州三模)已知集合A＝{x|2x－1＜0}，B＝{x|ex＜2}，则(　　) A．A∪B＝ B．A∩B＝{x|x＜ln 2} C．A∪(∁RB)＝R D．B∪(∁RA)＝R 4．某班有38名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．已知有27人参加数学小组，有16人参加物理小组，有14人参加化学小组，同时参加数学和物理小组的有7人，同时参加物理和化学小组的有5人，则同时参加数学和化学小组的有____人． 配套精练 一、单项选择题 1．(2025·全国Ⅰ卷)设全集U＝{x|x是小于9的正整数}，集合A＝{1,3,5}，则∁UA中元素个数为(　　) A．0　 B．3 C．5　 D．8 2．(2025·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{－4,0,1,2,8}，B＝{x|x3＝x}，则A∩B＝(　　) A．{0,1,2}　 B．{1,2,8} C．{2,8}　 D．{0,1} 3．(2025·福州三模)已知全集为R，A＝，B＝，则图中阴影部分表示的集合是(　　) A．{1} B．{2} C． D． 4．(2025·南京、盐城一模)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|x＋a≤0}．若A⊆B，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2)　 B．(－∞，2] C．(－∞，－2)　 D．(－∞，－2] 5．(2026·南通期初)已知集合A＝，B＝{4,2a}，若A∩B＝B，则实数a的取值集合为(　　) A．　 B． C．{0,2}　 D． 6．(2025·福州二模)已知全集U＝A∪B＝{1,2,3,4}，A∩(∁UB)＝，B∩(∁UA)＝，则A∩B＝(　　) A．　 B． C．　 D．{3} 7．已知全集U＝{x∈N*|－2＜x＜9}，M＝{3,4,5}，P＝{1,3,6}，则(∁UM)∩(∁UP)是(　　) A．{2,7,8}　 B．{2,3,4,5,7,8} C．{1,2,4,5,6,7,8}　 D．{1,2,3,6,7,8} 8．(2025·保定二模)若集合A＝{(x，y)|y＝(x－1)(x－5)}，B＝{(x，y)|y2＝4x}，则A∩B的真子集的个数为(　　) A．3　 B．4 C．7　 D．15 9．若数集A＝(1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2)具有性质P：对任意的i，j(1≤i＜j≤n)，aiaj与中至少有一个属于A，则称集合A为“权集”，则( 　) A．{1,3,4}为“权集” B．{1,2,3,6}为“权集” C．“权集”中元素可以有0 D．“权集”中一定有1 10．某校田径运动会上，共有12名同学参加100米、400米、1 500米三个项目，其中有8人参加100米比赛，有7人参加400米比赛，有5人参加1 500米比赛，100米和400米都参加的有4人，100米和1 500米都参加的有3人，400米和1 500米都参加的有3人，则下列说法不正确的是(　　) A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1 500米比赛的有1人 二、多项选择题 11．(2025·萍乡二模)已知全集U＝，集合A⊆U，B⊆U，且满足A∩B＝{3,5}，(∁UA)∩(∁UB)＝，则下列说法正确的有(　　) A．4∈A B．6∈(A∪B) C．集合A可能是 D．(∁UA)∪(∁UB)＝ 12．若非空集合M，N，P满足M∩N＝N，M∪P＝P，则(　　) A．P⊆M　 B．M∩P＝M C．N∪P＝P　 D．M∩(∁PN)＝∅ 13．我们知道，若集合A⊆S，那么A的补集为∁SA＝{x|x∈S且x∉A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A且x∉B}叫做集合A和B的差集，记作A－B．例如：A＝{1,2,3,4,5}，B＝{4,5,6,7,8}，则有A－B＝{1,2,3}，B－A＝{6,7,8}．下列说法正确的有(　　) A．若A＝{4,5,6,7,9}，B＝{3,5,6,8,9}，则B－A＝{3,7,8} B．如果A－B＝∅，那么A⊆B C．已知全集U，集合A，集合B的关系如图所示，则B－A＝A∩(∁UB) D．已知A＝{x|x＜－1或x＞3}，B＝{x|－2≤x＜4}，则A－B＝{x|x＜－2或x≥4} 14．设集合S为实数集R的非空子集，若对任意x∈S，y∈S，都有(x＋y)∈S，(x－y)∈S，xy∈S，则称集合S为“完美集合”．下列命题正确的是(　　) A．若S为“完美集合”，则一定有0∈S B．“完美集合”一定是无限集 C．集合A＝为“完美集合” D．若S为“完美集合”，则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是“完美集合” 三、填空题 15．已知集合M＝{x|x2－2x－3≤0}，N＝{x|y＝ln(x－4)}，则(∁RM)∩N＝____． 16．(2025·漳州二模)已知集合A＝{x|log2x＜2}，B＝{x|1＋a＜x＜2a－1}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是____． 17．(2024·晋城二模)已知集合A＝，B＝{x|x2－3x＋m＝0}，若1∈A∩B，则A∪B的子集个数为____． 18．已知集合A＝{x|x2＋mx≤0}，B＝，且A∩B有4个子集，则实数m的最小值是___． 19．设k∈R，已知集合恰有4个非零元素，且它们在数轴上等距排列，则k＝____． 20．用[A]表示非空集合A中元素的个数，已知A＝{1,2}，B＝{x|(ax2＋x)(x2＋ax＋2)＝0}，且|[A]－[B]|＝1，设实数a的所有可能取值构成集合S，则S＝____． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 第1讲　集合及其运算 知识整合　体系重构 激活思维 1．(教材经典题改编)若集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列结论错误的是(　D　) A．1∈A　 B．{－1}⊆A C．∅⊆A　 D．{－1,1}∉A 2．(多选)已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|2＜2x≤8}，则下列判断正确的是(　BC　) A．A∪B＝B B．(∁RB)∪A＝{x|x≤2或x＞3} C．A∩B＝{x|1＜x≤2} D．(∁RB)∪(∁RA)＝R 3．(教材经典题改编)已知集合A＝{1,3，a2}，B＝{1，a＋2}，若A∪B＝A，则实数a＝__2__． 【解析】　因为A∪B＝A，所以B⊆A，所以a＋2∈A．当a＋2＝3，即 a＝1时，A＝{1,3,1}，不满足集合中元素的互异性，不符合题意．当a＋2＝a2时，a＝－1或a＝2，经检验a＝－1时，A＝{1,3,1}，不满足集合中元素的互异性，不符合题意；a＝2时，A＝{1,3,4}，B＝{1,4}，符合题意．综上，实数a＝2． 4．(教材经典题改编)已知集合A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|0＜x＜2}，若B⊆A，则实数a的取值范围为__[2，＋∞)__． 【解析】 由B⊆A，利用数轴分析法(如图)，可知a≥2． 聚焦知识 1．集合与元素 (1) 集合中元素的三个特性：__确定性__、__互异性__、__无序性__． (2) 元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3) 集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4) 常见集合的符号表示 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 符号 N N*或N＋ Z Q R C 2．集合间的基本关系 关系 定义 记法 相等 集合A与B的所有元素都相同 A＝B 子集 A中任意一个元素均为B中的元素 A⊆B 或B⊇A 真子集 A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素 AB 注意：若集合A中含有n(n≥1)个元素，则集合A有__2n__个子集，__2n－1__个真子集． 3．集合的基本运算 集合的并集A∪B 集合的交集A∩B 集合的补集∁UA 图形 表示 意义 {x|x∈A或x∈B} {x|x∈A且x∈B} {x|x∈U且x∉A} 4．常见结论与等价关系 (1) A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A． (2)(∁UA)∪A＝__U__；∁U(∁UA)＝__A__． (3) 摩根定律：∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． 题型突破　思维拓展 举题说法 集合中元素的性质 例1　(1)(多选)下列关于集合相等的说法正确的有(　AC　) A．{x|x2＋1＝0}＝ B．＝ C．＝{x|－1＜x＜2，x∈N} D．＝{0,1} 【解析】　因为＝∅，＝∅，所以A正确；因为＝[1，＋∞)，＝R，所以B错误；因为＝{0,1}，＝{0,1}，所以C正确；因为＝{(1,0)}≠{0,1}，所以D错误． (2) 若a，，1组成的集合与a2，a＋b,0组成的集合为同一个含有三个元素的集合，则ab的值为__0__． 【解析】　由题意可得解得或当时，三个元素组成的集合为，符合题意；当时，集合中有相同的元素，所以不合题意．综上，则ab＝0． (3) 已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}．若A中只有一个元素，则a＝__0或1__；若A中至少有一个元素，则a的取值范围为(－∞，1]__． 【解析】　若A中只有一个元素，则当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，此时x＝－，符合题意．当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，则Δ＝4－4a＝0，即a＝1．若A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素，则a＝0或解得a≤1，故a的取值范围是(－∞，1]． (1) 集合中的元素最重要的性质是互异性． (2) 注意以下集合的差异：{y|y＝}；{x|y＝}；{(x，y)|y＝}；{y＝}． 变式1　已知集合A＝{1，m，n}，B＝{m2，m，mn}．若A＝B，则m2 026·n2 027＝(　B　) A．－1　 B．0 C．1　 D．2 【解析】　由A＝B可知，两集合元素全部相等，得或若解得m＝n＝1，此时A＝B＝{1,1,1}，不满足集合元素的互异性．若解得m＝1，n∈R(舍去)或当时，A＝B＝，符合题意．综上，m2 026·n2 027＝0． 集合间的关系 例2　(1)(2025·南阳期末)已知集合M＝，N＝，则集合N的真子集个数为(　A　) A．7　 B．8 C．15　 D．16 (2)(2025·赣州一模)已知集合A＝，B＝，若A⊆B，则实数a的取值范围是(　B　) A．(9，＋∞)　 B．[9，＋∞) C．(－∞，－3)　 D．(－∞，－3] (3) 已知集合M＝，N＝，P＝，则M，N，P的关系为(　B　) A．M＝N⊆P　 B．M⊆N＝P C．M＝P⊆N　 D．N⊆P⊆M 【解析】　因为M＝，N＝＝，P＝，所以M⊆N＝P． 判断集合间关系的三种方法 (1) 列举法； (2) 数轴法； (3) 结构法：从元素的结构特点入手，化简变形后找差异． 变式2　已知集合A＝{x|x＜－1或x≥3}，B＝{x|ax＋1≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是(　A　) A． B． C．(－∞，－1)∪[0，＋∞) D．∪(0,1) 【解析】　因为B⊆A，所以①若B＝∅，即ax＋1≤0无解，此时a＝0，满足题意．②若B≠∅，即ax＋1≤0有解，当a＞0时，可得x≤－，要使B⊆A，则需解得0＜a＜1；当a＜0时，可得x≥－，要使B⊆A，则需解得－≤a＜0．综上，实数a的取值范围是． 集合间的运算 视角1　集合的基本运算 例 3－1　(1)(多选)已知全集U＝{－2，－1,0,1,2,3,4}，集合A＝{x∈Z|x2－x＜6}，B＝，则下列方式中可表示图中阴影部分的是(　ABC　) (例3－1(1)) A．{－1,2}　 B．∁(A∪B)B C．A∩(∁UB)　 D．(∁UA)∩(∁UB) 【解析】　由图可知阴影部分所表示的集合为∁(A∪B)B或A∩(∁UB)，故B，C正确．因为A＝{x∈Z|－2＜x＜3}＝，∁UB＝，所以A∩(∁UB)＝，故A正确．(∁UA)∩(∁UB)＝{4}，故D错误． (2)(2026·南昌期初)已知全集U＝，集合A，B是U的子集，若A∩B＝{2}，(∁UA)∩B＝，(∁UA)∩(∁UB)＝，则集合A＝(　D　) A．　 B． C．　 D． 【解析】　根据题意画出韦恩图如图所示，由图可知A＝{1,2,3,4}． (1) 有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决． (2) 注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图． 变式 3－1　(2026·邯郸期初)已知集合M＝，N＝，若全集U＝R，则M∩(∁UN)＝(　D　) A．(－∞，1)　 B．[1，＋∞] C．(－1,1)　 D．(0,1] 视角2　利用集合运算求参数 例 3－2　(1) 已知集合A＝，非空集合B＝，若A∩B＝B，则b的取值范围是____． (2) 已知集合A＝，B＝，且B⊆A，则实数a的取值范围为__∪{6}__． 【解析】　由题知A＝＝．由B＝，B⊆A，当B≠∅时，则B＝{2}或B＝{3}或B＝．当B＝{2}时，x2－5x＋a＝0有两个相等实根，即x1＝x2＝2，x1＋x2＝4≠5，不合题意，同理B＝{3}，也不合题意，当B＝时，2＋3＝5，a＝2×3＝6，符合题意．当B＝∅时，则Δ＝25－4a＜0，解得a＞．综上，实数a的取值范围是∪{6}． 变式 3－2　(2025·佛山一模)已知集合A＝，B＝，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是(　D　) A．(－∞，1)　 B．(－∞，2) C．(－∞，1]　 D．(－∞，2] 【解析】　当a≤1时，A＝∅，满足A∩B＝∅．当a＞1时，A≠∅，由A∩B＝∅，可知1＜a≤2．综上，a≤2． 集合新定义问题 例4　(多选)设集合X是实数集R的子集，如果点x0∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈X，使得0＜|x－x0|＜a，那么称x0为集合X的聚点，用Z表示整数集，则下列集合中以0为聚点的是(　BC　) A． B． C． D．整数集Z 【解析】　对于A，集合中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0大，所以在a＜时，不存在满足0＜|x|＜a的x，所以 0不是集合的聚点；对于B，集合，对任意的a，都存在x＝(实际上任意比a小的数都可以)，使得0＜|x|＝＜a，所以 0是集合的聚点；对于C，集合中的元素是极限为0的数列，对于任意的a＞0，都存在n＞，使0＜|x|＝＜a，所以 0是集合的聚点；对于D，对于某个a＜1，比如a＝0.5，此时对任意的x∈Z，都有|x－0|＝0或者|x－0|≥1，也就是说不可能0＜|x－0|＜0.5，从而0不是整数集Z的聚点． 此类题的关键是读懂新定义的意义，在领会新定义的基础上，可通过举例的方法明晰新定义的内涵和外延，将其运用到新的情境中，进而对结论作出判断． 变式4　(多选)设P是一个数集，且至少含有两个数．若对于任意a，b∈P，都有a＋b，a－b，ab∈P，且若b≠0，∈P，则称P是一个数域．例如，有理数集Q是数域．下列说法正确的是(　AD　) A．数域必含有0,1两个数 B．整数集是数域 C．若有理数集Q⊆M，则数集M一定是数域 D．数域中有无限多个元素 【解析】　因为P是一个数集，且至少含有两个数，所以P中必有一个非零实数．对于A，当a＝b≠0时，a－b＝0∈P，＝1∈P，故A正确；对于B，例如a＝1，b＝2，但∉Z，不满足条件，故B错误；对于C，例如M＝Q∪{}，取a＝1，b＝，因为1＋∉M，所以数集M不是一个数域，故C错误；对于D，由A可知数域必含有0,1，根据数域的性质可知，数域必含有－1,0,1,2，递推下去，必为无限集，故D正确． 随堂内化 1．(2025·广州一模) 已知集合A＝{x|0≤x≤a}，B＝{x|x2－2x≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是(　D　) A．(0,2)　 B．(0,2] C．(2，＋∞)　 D．[2，＋∞) 2．(2025·苏北七市二调)设集合U＝R，M＝，N＝，则{x|x≤－1}等于(　B　) A．∁U(M∩N)　 B．∁U(M∪N) C．M∪(∁UN)　 D．N∪(∁UM) 【解析】　依题意，M∩N＝，M∪N＝，所以∁U(M∩N)＝或，故A错误；∁U(M∪N)＝，故B正确；∁UN＝或，M∪(∁UN)＝或，故C错误；∁UM＝，N∪(∁UM)＝，故D错误． 3．(2025·漳州三模)已知集合A＝{x|2x－1＜0}，B＝{x|ex＜2}，则(　D　) A．A∪B＝ B．A∩B＝{x|x＜ln 2} C．A∪(∁RB)＝R D．B∪(∁RA)＝R 【解析】　因为集合A＝{x|2x－1＜0}＝，B＝{x|ex＜2}＝{x|x＜ln 2}，＝ln e＝ln e＝ln ＜ln ＝ln 2，所以A∪B＝{x|x＜ln 2}，A∩B＝，故A，B错误；A∪(∁RB)＝∪{x|x≥ln 2}＝≠R，故C错误；B∪(∁RA)＝{x|x＜ln 2}∪＝R，故D正确． 4．某班有38名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．已知有27人参加数学小组，有16人参加物理小组，有14人参加化学小组，同时参加数学和物理小组的有7人，同时参加物理和化学小组的有5人，则同时参加数学和化学小组的有__7__人． 【解析】 设同时参加数学和化学小组的有x人．因为有16人参加物理小组，所以只参加物理一科的有16－7－5＝4人．因为有27人参加数学小组，所以只参加数学一科的有27－7－x＝(20－x)人．因为有14人参加化学小组，所以只参加化学一科的有14－5－x＝(9－x)人．画出Venn图如图所示，因为总参加人数为38，所以27＋4＋5＋9－x＝38，解得x＝7，故同时参加数学和化学小组的有7人． 配套精练 一、单项选择题 1．(2025·全国Ⅰ卷)设全集U＝{x|x是小于9的正整数}，集合A＝{1,3,5}，则∁UA中元素个数为(　C　) A．0　 B．3 C．5　 D．8 2．(2025·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{－4,0,1,2,8}，B＝{x|x3＝x}，则A∩B＝(　D　) A．{0,1,2}　 B．{1,2,8} C．{2,8}　 D．{0,1} 3．(2025·福州三模)已知全集为R，A＝，B＝，则图中阴影部分表示的集合是(　C　) A．{1} B．{2} C． D． 4．(2025·南京、盐城一模)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|x＋a≤0}．若A⊆B，则实数a的取值范围是(　D　) A．(－∞，2)　 B．(－∞，2] C．(－∞，－2)　 D．(－∞，－2] 【解析】　由x2－4≤0可得A＝[－2,2]，由x＋a≤0可得B＝(－∞，－a]，又A⊆B，所以2≤－a，即a≤－2． 5．(2026·南通期初)已知集合A＝，B＝{4,2a}，若A∩B＝B，则实数a的取值集合为(　B　) A．　 B． C．{0,2}　 D． 【解析】　由A∩B＝B，得B⊆A．①若2a＝1，则a＝，此时A＝，B＝，满足B⊆A，符合题意．②若2a＝a2，则有 a(a－2)＝0，解得 a＝0 或 a＝2．当a＝0时，A＝， B＝，满足B⊆A，符合题意；当a＝2时，集合B＝，不满足集合元素互异性，故舍去．综上，实数a 的取值集合为． 6．(2025·福州二模)已知全集U＝A∪B＝{1,2,3,4}，A∩(∁UB)＝，B∩(∁UA)＝，则A∩B＝(　D　) A．　 B． C．　 D．{3} 【解析】　因为A∩(∁UB)＝，所以2∈A,4∈A，2∉B，4∉B．因为B∩(∁UA)＝，所以1∈B,1∉A，所以1∉A∩B，2∉A∩B,4∉A∩B．因为U＝A∪B＝，所以A∩B＝{3}． 7．已知全集U＝{x∈N*|－2＜x＜9}，M＝{3,4,5}，P＝{1,3,6}，则(∁UM)∩(∁UP)是(　A　) A．{2,7,8}　 B．{2,3,4,5,7,8} C．{1,2,4,5,6,7,8}　 D．{1,2,3,6,7,8} 【解析】　由题知U＝，M＝，P＝{1,3,6}，则∁UM＝，∁UP＝，所以(∁UM)∩(∁UP)＝． 8．(2025·保定二模)若集合A＝{(x，y)|y＝(x－1)(x－5)}，B＝{(x，y)|y2＝4x}，则A∩B的真子集的个数为(　D　) A．3　 B．4 C．7　 D．15 【解析】　y＝(x－1)(x－5)的对称轴为x＝3，顶点为N(3，－4)，且过点M(1,0)，P(5,0)．当x＝3时，y2＝4x上的点为(3，±2)，作出y＝(x－1)(x－5)与y2＝4x的图象如图所示．由图可知，两函数图象有4个不同的交点，从而A∩B的真子集的个数为24－1＝15． 9．若数集A＝(1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2)具有性质P：对任意的i，j(1≤i＜j≤n)，aiaj与中至少有一个属于A，则称集合A为“权集”，则(　B　) A．{1,3,4}为“权集” B．{1,2,3,6}为“权集” C．“权集”中元素可以有0 D．“权集”中一定有1 【解析】　因为3×4与均不属于数集{1,3,4}，所以A错误；因为1×2,1×3,1×6,2×3，，都属于数集{1,2,3,6}，所以B正确；由“权集”的定义可知不能有0，所以C错误；易知{2,3,6}是“权集”，所以“权集”中不一定有1，故D错误． 10．某校田径运动会上，共有12名同学参加100米、400米、1 500米三个项目，其中有8人参加100米比赛，有7人参加400米比赛，有5人参加1 500米比赛，100米和400米都参加的有4人，100米和1 500米都参加的有3人，400米和1 500米都参加的有3人，则下列说法不正确的是(　C　) A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1 500米比赛的有1人 【解析】　根据题意，设A＝{x|x是参加100米比赛的同学}，B＝{x|x是参加400米比赛的同学}，C＝{x|x是参加1 500米比赛的同学}，则card(A)＝8，card(B)＝7，card(C)＝5，且card(A∩B)＝4，card(A∩C)＝3，card(B∩C)＝3，则card(A∩B∩C)＝12－[(8＋7＋5)－(4＋3＋3)]＝2，所以三项比赛都参加的有2人，只参加100米比赛的有3人，只参加400米比赛的有2人，只参加1 500米比赛的有1人． 二、多项选择题 11．(2025·萍乡二模)已知全集U＝，集合A⊆U，B⊆U，且满足A∩B＝{3,5}，(∁UA)∩(∁UB)＝，则下列说法正确的有(　BCD　) A．4∈A B．6∈(A∪B) C．集合A可能是 D．(∁UA)∪(∁UB)＝ 【解析】　由题知(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)＝，所以A∪B＝．对于A，因为A∪B＝，所以4∉A，A错误；对于B，由于A∪B＝，所以6∈(A∪B)，B正确；对于C，由A∩B＝{3,5}，知3,5既属于A又属于B，若A＝，B＝{3,5}，则∁U(A∪B)＝，∁UA＝，∁UB＝，此时满足所有已知条件，C正确；对于D，因为(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)，又A∩B＝{3,5}，所以(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)＝，D正确． 12．若非空集合M，N，P满足M∩N＝N，M∪P＝P，则(　BC　) A．P⊆M　 B．M∩P＝M C．N∪P＝P　 D．M∩(∁PN)＝∅ 【解析】　由M∩N＝N得N⊆M．由M∪P＝P得M⊆P，推不出P⊆M，故A错误；由M⊆P可得M∩P＝M，故B正确；因为N⊆M且M⊆P，所以N⊆P，则N∪P＝P，故C正确；由N⊆M可得M∩(∁PN)不一定为空集，故D错误． 13．我们知道，若集合A⊆S，那么A的补集为∁SA＝{x|x∈S且x∉A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A且x∉B}叫做集合A和B的差集，记作A－B．例如：A＝{1,2,3,4,5}，B＝{4,5,6,7,8}，则有A－B＝{1,2,3}，B－A＝{6,7,8}．下列说法正确的有(　BD　) A．若A＝{4,5,6,7,9}，B＝{3,5,6,8,9}，则B－A＝{3,7,8} B．如果A－B＝∅，那么A⊆B C．已知全集U，集合A，集合B的关系如图所示，则B－A＝A∩(∁UB) D．已知A＝{x|x＜－1或x＞3}，B＝{x|－2≤x＜4}，则A－B＝{x|x＜－2或x≥4} 【解析】　对于A，由B－A＝{x|x∈B且x∉A}，知B－A＝{3,8}，故A错误；对于B，由A－B＝{x|x∈A且x∉B}＝∅，知A⊆B，故B正确；对于C，由Venn图知B－A如图中阴影部分所示，则B－A＝B∩(∁UA)，故C错误；对于D，∁RB＝{x|x＜－2或x≥4}，则A－B＝A∩(∁RB)＝{x|x＜－2或x≥4}，故D正确． 14．设集合S为实数集R的非空子集，若对任意x∈S，y∈S，都有(x＋y)∈S，(x－y)∈S，xy∈S，则称集合S为“完美集合”．下列命题正确的是(　AC　) A．若S为“完美集合”，则一定有0∈S B．“完美集合”一定是无限集 C．集合A＝为“完美集合” D．若S为“完美集合”，则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是“完美集合” 【解析】　对于A，若S为“完美集合”，则对任意的x∈S,0＝(x－x)∈S，A正确；对于B，“完美集合”不一定是无限集，例如，B错误；对于C，集合A＝，在集合A中任意取两个元素，x＝a＋b，y＝c＋d，其中a，b，c，d为整数，则x＋y＝a＋c＋(b＋d)∈S，x－y＝a－c＋(b－d)∈S，xy＝ac＋5bd＋(ad＋bc)∈S，则集合A＝为“完美集合”，C正确；对于D，S＝，T＝{0,1}，满足题意，但是集合T不是一个“完美集合”，D错误． 三、填空题 15．已知集合M＝{x|x2－2x－3≤0}，N＝{x|y＝ln(x－4)}，则(∁RM)∩N＝(4，＋∞)__． 16．(2025·漳州二模)已知集合A＝{x|log2x＜2}，B＝{x|1＋a＜x＜2a－1}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是(－∞，2]∪[3，＋∞)__． 【解析】　因为log2x＜2，所以0＜x＜4，所以A＝(0,4)．当B＝∅，即1＋a≥2a－1时，解得a≤2，满足A∩B＝∅，符合题意．当B≠∅时，则解得a≥3，所以实数a的取值范围是(－∞，2]∪[3，＋∞)． 17．(2024·晋城二模)已知集合A＝，B＝{x|x2－3x＋m＝0}，若1∈A∩B，则A∪B的子集个数为__8__． 【解析】　 由1∈(A∩B)可知，1∈B，则1－3＋m＝0，解得m＝2，所以B＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{x|(x－1)(x－2)＝0}＝{1，2}．又A＝＝{x∈N|3-1＜3x+1＜33}＝{x∈N|－2＜x＜2}＝{0，1}，所以A∪B＝{0，1，2}，则A∪B的子集个数为23＝8． 18．已知集合A＝{x|x2＋mx≤0}，B＝，且A∩B有4个子集，则实数m的最小值是____． 【解析】　由A∩B有4个子集，得A∩B中有2个元素，所以A∩B＝B，故A＝{x|x2＋mx≤0}＝{x|－m≤x≤0}，且满足或解得≤m＜或＜m≤1．综上，实数m的最小值为． 19．设k∈R，已知集合恰有4个非零元素，且它们在数轴上等距排列，则k＝____． 【解析】　设x2＝y，原方程变为y2－5y＋4－k＝0，设此方程有实根α，β(0＜α＜β)，则原方程的4个实根为±，±．由于它们在数轴上等距排列，所以－＝－(－)，即β＝9α①．又α＋β＝5，αβ＝4－k，由此求得α＝，β＝，k＝，满足Δ＝25＋4k－16＞0，所以k＝． 20．用[A]表示非空集合A中元素的个数，已知A＝{1,2}，B＝{x|(ax2＋x)(x2＋ax＋2)＝0}，且|[A]－[B]|＝1，设实数a的所有可能取值构成集合S，则S＝____． 【解析】　由于A＝，所以[A]＝2，由＝1，则[B]＝1或B＝[3]．①当a＝0时，B＝＝，此时[B]＝1，符合题意．②当a≠0时，由ax2＋x＝0，可得x＝0或x＝－，且2－1＋2＝＋1＞0．若[B]＝3，则关于x的方程x2＋ax＋2＝0有两个相等的实根，则Δ＝a2－8＝0，解得a＝±2．综上所述，S＝． 学科网（北京）股份有限公司 $