第3章实数单元测试卷 2025-2026学年浙教版七年级数学上册同步讲义与测试

第3章 实数 单元测试卷 （考试时间：100分钟  试卷满分：120分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（本题3分）的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的意义：如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根．根据算术平方根的定义即可求解． 【详解】解：的算术平方根是． 故选：C． 2．（本题3分）的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是掌握只有符号不同的数是相反数．根据相反数的定义，即可解答． 【详解】解：的相反数是 故选：C． 3．（本题3分）在，，，，，，（其中是圆周率）这七个数中，无理数的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义及有理数与无理数的区分，解题的关键是先将可化简的数（如平方根、立方根）化简，再根据“无理数是无限不循环小数”的定义判断每个数的类别． 先将题中可化简的数化简（，）；再逐一判断各数是否为无理数，其中有理数包括整数、分数、有限小数和无限循环小数，无理数是无限不循环小数；最后统计无理数的个数，匹配选项． 【详解】解：先化简题中可化简的数：，； 再判断各数类别：是分数，属于有理数；是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数；是整数，属于有理数；是整数，属于有理数；是整数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数；是无限不循环小数，属于无理数； 综上，无理数有2个，对应选项C． 故选：C． 4．（本题3分）下列关于的叙述错误的是（   ） A．它可以是面积为5的正方形的边长 B．它可以在数轴上找到与之对应的点 C．它可以是5的算术平方根 D．它的整数部分是3 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质、平方根的性质、数轴的特点、有理数的大小判断等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据正方形面积计算方法对A进行判断；根据数轴上的点与实数一一对应即可判断B；根据平方根的性质对C进行判断；根据，可得出可判断出D是否正确． 【详解】解：A．面积为5的正方形的边长是，说法正确，故A不符合题意； B．在数轴上可以找到表示的点，数轴上的点与实数一一对应，故B正确，不符合题意； C．是5的平方根，说法正确，不符合题意； D．∵，∴，整数部分是2，故D选项说法错误，符合题意． 故选：D． 5．（本题3分）下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平方，算术平方根分别进行计算，即可解答． 【详解】解：A、，故本选项正确； B、，故本选项错误； C、，故本选项错误； D、，故本选项错误； 故选A． 【点睛】本题考查算术平方根，解决本题的关键是注意平方的计算以及符号问题． 6．（本题3分）如图，数轴上A，B，C，D四点中，最接近于的是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了估算无理数的大小，实数与数轴． 先估算出的大小，再判断即可． 【详解】∵ ∴最接近于的是点： 故选：A 7．（本题3分）若是25的平方根，，则的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方根的定义，算术平方根的定义，解题的关键是熟练掌握如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根． 根据平方根的定义求出m的值，再根据算术平方根的定义求出n的值，然后解答即可． 【详解】解：∵m是25的平方根， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 8．（本题3分）已知a，b为实数，且，则的值为（    ）． A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根成立的条件，立方根，根据算术平方根的开方数是非负数得到，进而求得，最后代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 故选：D． 9．（本题3分）将1，，，按如图方式排列，若规定表示第m排从左向右第n个数，则与表示的两数之和是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数运算中的规律探究．由图可知，第排有个数，以、、、四个数字为一组进行循环，前排共有个数字，进而确定与的数字，求和即可． 【详解】解：由图可知：第一排： 1 个数，第二排 2 个数，第三排 3 个数，第四排 4 个数，第排有个数，从第一排到第排共有：个数，且每四个数一个轮回，表示第3排第1个数，为， ∵前20排共有个数， ∴表示第21排第2个数即第212个数， ， ∴表示的数为， ∴与表示的两数之和是； 故选：D． 10．（本题3分）在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积． 【详解】∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等， ∴重叠部分也为正方形， ∵空白部分的面积为2﹣6， ∴一个空白长方形面积=， ∵大正方形面积为12，重叠部分面积为3， ∴大正方形边长=，重叠部分边长=， ∴空白部分的长=， 设空白部分宽为x，可得：，解得：x=， ∴小正方形的边长=空白部分的宽+阴影部分边长=， ∴小正方形面积==10， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（本题3分）若一个正数的两个平方根分别为6和，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了平方根，根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别为6和， ∴， ∴， 解得， 故答案为：4． 12．（本题3分）阅读下面材料： 已知59319，274625都是整数的立方，，，，则．请根据上面的材料解决下面问题： ． 【答案】65 【分析】本题主要考查了数的立方，正确理解题意是解题的关键． 模仿题干的解题过程，先找出，再确定的个位数是5，接着得出，确定的十位数是6，据此即可作答． 【详解】解：，，，则， 故答案为：65． 13．（本题3分）如图，数轴上有三点，表示和的点分别为，点到点的距离与点到原点的距离相等．设三点表示的三个数之和p= ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握应用两点间的距离公式．利用两点间的距离公式求出，再利用两点间的距离公式求出点表示的数，从而求出即可； 【详解】解：由题意，得． 因为点在原点左侧， 所以点表示的数为， 所以． 故答案为：． 14．（本题3分）如图是一个数值转换机示意图，当输入x的值为时，则输出的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，无理数，绝对值，理解框图中的运算法则是解题的关键． 当输入的值为时，根据数值转换机示意图运算法则计算，如果结果为无理数，则输出，否则再求其算术平方根，直至结果为无理数为止． 【详解】解：当输入的值为时，，，是有理数， 的算术平方根是，为无理数， ∴输出的值为， 故答案为：． 15．（本题3分）如图，面积为10的正方形的顶点在数轴上，点表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧），，则点所表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查算术平方根的应用，实数与数轴，解题的关键是根据正方形的面积求出．先根据正方形的面积求出正方形的边长，即可求出，根据点A表示的数为1，且点M在点A的右侧，即可求出M点所表示的数． 【详解】解：∵正方形的面积为10， ∴， ∵， ∴， ∵点A表示的数为1，且点M在点A的右侧， ∴M点所表示的数为． 故答案为：． 16．（本题3分）先阅读理解，再回答下列问题： 因为，且，所以的整数部分为1； 因为，且，所以的整数部分为2： 因为，且，所以的整数部分为3； 以此类推，我们会发现（为正整数）的整数部分为 ． 【答案】n 【分析】此题主要考查了无理数的估算能力，解决本题的关键是找到相应的规律；并根据规律得出结论．比较被开方数与所给数值的大小，可发现，从而得出答案． 【详解】解：为正整数， ， ， ， ， （n为正整数）的整数部分为n， 故答案为：n． 三.解答题（本大题共8题，满分72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题6分）如果把体积分别为，的两个铁块熔化，制成一个正方体铁块，那么这个正方体铁块的棱长是多少？ 【答案】这个正方体铁块的棱长是． 【分析】先计算出正方体铁块的体积，在根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：正方体铁块的体积是：， 这个正方体铁块的棱长：， 答：这个正方体铁块的棱长是． 【点睛】本题考查立方根的定义．掌握等量关系是体积不变是解题的关键． 18．（本题8分）一个正数的两个平方根分别是和，求这个数． 【答案】9 【分析】根据题意有：，解方程即可求出该数的平方根，问题随之得解． 【详解】解：根据题意有：， 解得：， ∴， 即原数为9． 【点睛】本题考查了平方根和相反数的应用，解此题的关键是求出a的值，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 19．（本题8分）已知正数x的平方根是m和m＋b． (1)当b＝8时，求m的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1)m＝－4 (2) 【详解】（1）∵正数x的平方根是m和m＋b， ∴m＋m＋b＝0． ∵b＝8，∴2m＋8＝0．∴m＝－4． （2）∵x为正数，， 整理，得． ∵正数x的平方根是m和m＋b， ∴，，代入． 可得，∴． ∵x＞0，∴． 20．（本题8分）已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分． (1)求a、b、c的值； (2)若x是的小数部分，求的值． 【答案】(1)，， (2)9 【分析】（1）利用平方根，立方根的意义可得，，从而可得a，b的值，然后再估算出的值的范围，从而求出c的值，即可解答； （2）利用（1）的结论求出x的值，然后把x的值代入式子中进行计算即可解答． 【详解】（1）解：的平方根是，的立方根是2， ，， 解得：，； ， ， 的整数部分是3， ， 的值为5，b的值为，c的值为3； （2）解：的整数部分是3， 的小数部分是， ， ， 的值为9． 【点睛】本题考查了无理数的估算，平方根，立方根的意义，实数的运算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． 21．（本题10分）利用科学计算器，比较下列各组数的大小： (1)和． (2)和． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了计算器的使用，实数比较大小，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用计算器计算各数结果，然后比较即可； （）利用计算器计算各数结果，然后比较即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 22．（本题10分）（1）用“＜”“＞”或“＝”填空： 　　，　　； （2）由以上可知： ①|1﹣|＝　， ②||＝　． （3）计算：．（结果保留根号） 【答案】（1），；（2）①；②；（3） 【分析】（1）根据实数的大小比较法则即可得； （2）①根据（1）的结论可得，再利用实数的性质化简绝对值即可得； ②根据（1）的结论可得，再利用实数的性质化简绝对值即可得； （3）先归纳类推出一般规律，从而可得，再利用实数的性质化简绝对值，计算实数的加减法即可得． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：，； （2）①由（1）可知，， 则， 故答案为：； ②由（1）可知，， 则， 故答案为：； （3）， ， 结合（1）的结论，归纳类推得：，其中为正整数， ， ， 则 ． 【点睛】本题考查了实数的大小比较、实数的性质以及运算，熟练掌握实数的性质是解题关键． 23．（本题10分）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们解答以下问题： a … 0.04 4 400 40000 … … 0.2 2 20 200 … (1)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，求下列各数的算术平方根： ① ；② ； (2)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根．已知，则 (3)知识联系与迁移：请求出下列方程中x的值 ① ② 【答案】(1)0.1435，14.35 (2)12.60 (3)①或；② 【分析】本题考查了算术平方根和立方根，解题的关键在于从小数点的移动位数找出规律来解题． （1）依据从被开方数和算术平方根的小数点的移动位数考虑解答； （2）根据（1）中的规律进行类比解答即可； （3）①先移项，再运用求一个数的平方根进行解方程，即可作答． ②先移项，再运用求一个数的立方根进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 故答案为：0.1435，14.35； （2）解：类比算术平方根中被开方数的小数点变化规律，可得：被开方数扩大或缩小倍，立方根就相应的扩大或缩小倍；或者说成被开方数的小数点向左或向右移动位，则立方根的小数点就向左或向右移动位．即有： ， ． 故答案为： （3）解：移项得 即 得或； ②原方程移项得， 即， 解得． 24．（本题12分）阅读下面的文字，解答问题． 对于实数a，我们规定：用符号[a]表示不大于a的最大整数；用{a}表示a减去[a]所得的差． 例如：[]＝1，[2.2]＝2，{}＝﹣1，{2.2}＝2.2﹣2＝0.2． （1）仿照以上方法计算：[]＝　 　{5﹣}＝　 　； （2）若[]＝1，写出所有满足题意的整数x的值：　 　． （3）已知y0是一个不大于280的非负数，且满足{}＝0．我们规定：y1＝[]，y2＝[]，y3＝[]，…，以此类推，直到yn第一次等于1时停止计算．当y0是符合条件的所有数中的最大数时，此时y0＝　 　，n＝　 　． 【答案】（1）2；3﹣；（2）1、2、3；（3）256，4 【分析】（1）依照定义进行计算即可； （2）由题可知，，则可得满足题意的整数的的值为1、2、3； （3）由，可知，是某个整数的平方，又是符合条件的所有数中最大的数，则，再依次进行计算． 【详解】解：（1）由定义可得，，， ． 故答案为：2；． （2）， ，即， 整数的值为1、2、3． 故答案为：1、2、3． （3），即， 可设，且是自然数， 是符合条件的所有数中的最大数， ， ， ， ， ， 即． 故答案为：256，4． 【点睛】本题属于新定义类问题，主要考查估算无理数大小，无理数的整数部分和小数部分，理解定义内容是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 实数 单元测试卷 （考试时间：100分钟  试卷满分：120分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（本题3分）的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 2．（本题3分）的相反数是（    ） A． B． C． D． 3．（本题3分）在，，，，，，（其中是圆周率）这七个数中，无理数的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（本题3分）下列关于的叙述错误的是（   ） A．它可以是面积为5的正方形的边长 B．它可以在数轴上找到与之对应的点 C．它可以是5的算术平方根 D．它的整数部分是3 5．（本题3分）下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 6．（本题3分）如图，数轴上A，B，C，D四点中，最接近于的是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 7．（本题3分）若是25的平方根，，则的关系是（   ） A． B． C． D． 8．（本题3分）已知a，b为实数，且，则的值为（    ）． A．10 B．9 C．8 D．7 9．（本题3分）将1，，，按如图方式排列，若规定表示第m排从左向右第n个数，则与表示的两数之和是（   ） A．2 B． C． D． 10．（本题3分）在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（本题3分）若一个正数的两个平方根分别为6和，则的值为 ． 12．（本题3分）阅读下面材料： 已知59319，274625都是整数的立方，，，，则．请根据上面的材料解决下面问题： ． 13．（本题3分）如图，数轴上有三点，表示和的点分别为，点到点的距离与点到原点的距离相等．设三点表示的三个数之和p= ． 14．（本题3分）如图是一个数值转换机示意图，当输入x的值为时，则输出的值为 ． 15．（本题3分）如图，面积为10的正方形的顶点在数轴上，点表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧），，则点所表示的数为 ． 16．（本题3分）先阅读理解，再回答下列问题： 因为，且，所以的整数部分为1； 因为，且，所以的整数部分为2： 因为，且，所以的整数部分为3； 以此类推，我们会发现（为正整数）的整数部分为 ． 三.解答题（本大题共8题，满分72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题6分）如果把体积分别为，的两个铁块熔化，制成一个正方体铁块，那么这个正方体铁块的棱长是多少？ 18．（本题8分）一个正数的两个平方根分别是和，求这个数． 19．（本题8分）已知正数x的平方根是m和m＋b． (1)当b＝8时，求m的值； (2)若，求x的值． 20．（本题8分）已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分． (1)求a、b、c的值； (2)若x是的小数部分，求的值． 21．（本题10分）利用科学计算器，比较下列各组数的大小： (1)和． (2)和． 22．（本题10分）（1）用“＜”“＞”或“＝”填空： 　　，　　； （2）由以上可知： ①|1﹣|＝　， ②||＝　． （3）计算：．（结果保留根号） 23．（本题10分）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们解答以下问题： a … 0.04 4 400 40000 … … 0.2 2 20 200 … (1)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，求下列各数的算术平方根： ① ；② ； (2)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根．已知，则 (3)知识联系与迁移：请求出下列方程中x的值 ① ② 24．（本题12分）阅读下面的文字，解答问题． 对于实数a，我们规定：用符号[a]表示不大于a的最大整数；用{a}表示a减去[a]所得的差． 例如：[]＝1，[2.2]＝2，{}＝﹣1，{2.2}＝2.2﹣2＝0.2． （1）仿照以上方法计算：[]＝　 　{5﹣}＝　 　； （2）若[]＝1，写出所有满足题意的整数x的值：　 　． （3）已知y0是一个不大于280的非负数，且满足{}＝0．我们规定：y1＝[]，y2＝[]，y3＝[]，…，以此类推，直到yn第一次等于1时停止计算．当y0是符合条件的所有数中的最大数时，此时y0＝　 　，n＝　 　． 学科网（北京）股份有限公司 $