专题07：长方体和正方体的体积 培优讲义【知识精讲+典型例题+高频真题】2025-2026学年人教版数学五年级下册

专题07：长方体和正方体的体积 培优讲义 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 一、体积的基本概念 1.体积的定义 体积是指物体所占空间的大小 容积是指容器所能容纳物体的体积 二者区别：体积是物体外部空间，容积是容器内部空间，同一容器的体积大于容积 2.体积单位 常用单位：立方米(m³)、立方分米(dm³)、立方厘米(cm³)、立方毫米(mm³) 液体容积单位：升(L)、毫升(mL)，其中1L=1000mL 单位换算： 1m³ = 1000dm³ = 1000000cm³ 1dm³ = 1000cm³ = 1L 1cm³ = 1mL 二、长方体和正方体的体积计算公式 1.长方体体积公式 V = 长 × 宽 × 高，用字母表示为 V = a × b × h 推导过程：长方体所含体积单位的数量等于长、宽、高的乘积 2.正方体体积公式 V = 棱长 × 棱长 × 棱长，用字母表示为 V = a³ 推导过程：正方体是特殊的长方体，长、宽、高相等 3.体积公式与表面积公式的区别 体积公式：长×宽×高（三个维度相乘） 表面积公式：2×(长×宽 + 长×高 + 宽×高)（六个面的面积和） 三、体积的实际应用 1.体积计算的基本应用 已知长、宽、高，直接计算体积 已知体积和两个维度，求第三个维度（如：高 = 体积 ÷ 长 ÷ 宽） 2.容积计算 计算容器容积时，需从内部测量长、宽、高，因为容器壁有厚度 例：水箱容积 = 内部长 × 内部宽 × 内部高 3.排水法求不规则物体体积 原理：物体体积 = 排开水的体积 计算方法：物体体积 = 容器底面积 × 水面上升高度 例：将苹果放入水中，水面上升，苹果体积 = 玻璃缸底面积 × 水面高度差 4.等积变形问题 核心思想：形状改变，体积不变 常见题型： 将一个物体变形为另一种形状（体积不变） 两个物体熔化成一个物体（新物体体积 = 原物体体积和） 物体浸入水中，排开水的体积 = 物体体积 5.组合体体积计算 分割法：将组合体分割成几个规则几何体，分别计算体积后相加 补全法：将不规则部分补全为规则几何体，计算后再减去补全部分的体积 例：长方体挖去一个正方体，体积 = 长方体体积 - 正方体体积 四、常见错误与注意事项 1.概念混淆 易错点：将体积与表面积概念混淆 对策：理解体积是"空间大小"，表面积是"表面大小" 2.单位错误 易错点：单位不统一或单位换算错误 对策：计算前先统一单位，记住1m³=1000dm³=1000000cm³ 3.测量方法错误 易错点：计算容积时从外部测量 对策：容积需从内部测量，体积从外部测量 4.公式应用错误 易错点：长方体体积误用为2×(长×宽+长×高+宽×高) 对策：记住体积是三个维度相乘，表面积是六个面的和 5.排水法计算错误 易错点：忽略容器底面积变化 对策：放入物体后，有效底面积 = 原底面积 - 物体底面积 五、拓展应用 1.体积与重量关系 同种材料，体积越大，重量越大 不同材料，相同体积，重量可能不同（密度不同） 2.生活中的体积应用 购买家具时考虑空间大小 包装物品时计算所需材料 装修房屋时计算材料用量 3.体积与容积的实际意义 体积决定物体占用空间 容积决定容器能装多少东西 例：冰箱体积大但容积小，说明内部空间利用率低 掌握这些知识点后，建议通过以下方式巩固： 动手实践：用小正方体摆出不同长方体，验证体积公式 错题分析：记录并分析体积计算错误原因 实际测量：测量家中容器的体积和容积，比较差异 记住：体积计算的核心是理解"空间大小"，关键在于正确应用公式并注意单位和测量方法。 第二部分 典型例题 【例题1】求左边图形的表面积和右边图形的体积，单位：厘米。 ①        ② 【例题2】计算下图正方体的表面积和体积。 【例题3】学校在开运动会前，对长方体沙坑进行维护，沙坑长8米，宽2.5米，工人师傅需要往沙坑里再铺上2分米厚的沙子，一共需要运来多少立方米的沙子？ 【例题4】一个长方体水箱，从里面量长6dm、宽4dm，放入一块珊瑚石后水面上升0.5dm，珊瑚石的体积是多少？ 【例题5】一个长方体鱼缸，从内部量长6分米、宽4分米、高5分米，水深3.5分米。放入一块珊瑚石后，水位上升到4分米，珊瑚石的体积是多少？ 6有甲、乙两种长方体容器如图2所示。 甲容器长、宽、高分别为10cm、3cm、10cm，乙容器长、宽、高分别是5cm、4cm、15cm。已知甲容器中装有水，将其倾斜，水面刚好如图1所示。乙容器是空的。 如果将甲容器中的水倒一部分到乙容器，使得甲、乙容器中的水面一样高，那么需要从甲容器中倒出多少水？ 第三部分 高频真题 1．一个保温饭盒的容积大约是（    ）。 A．1.5L B．2dm C．1.5mL D．2dm2 2．把一个棱长为1米的正方体切成棱长为1厘米的小正方体。可以切（      ）个。 A．10 B．100 C．1000 D．1000000 3．把你的一个拳头慢慢地伸进装满水的脸盆中，溢出的水的体积（    ）。 A．大于1升 B．小于1毫升 C．大于1毫升，小于1升 D．无法确定 4．妙妙从一个大正方体的一个顶点处挖走了一个小正方体（如图），则剩下的立体图形（    ）。 A．表面积减小，体积也减小 B．表面积减小，体积不变 C．表面积不变，体积减小 D．表面积不变，体积也不变 5．观察下图，小球和橡皮泥相比，体积大的是（    ）。 A．小球 B．橡皮泥 C．一样大 D．无法比较 6．如下图，这块石头的体积大约是（    ）cm3。 A．500 B．1000 C．2000 D．5000 7．将两个完全相同的小长方体拼成一个大长方体，小长方体的长是6厘米，宽是5厘米，高是3厘米，拼成的大长方体的体积是（    ）立方厘米。 A．180 B．90 C．126 D．360 8．如图，在一个长方体中挖掉一个正方体，与原长方体相比，（    ）。 A．体积、表面积都不变 B．体积减少，表面积增加 C．体积不变，表面积减少 D．体积减少，表面积不变 9．如图，有一个密闭的长方体容器，从里面量，长、宽分别是20厘米、20厘米，里面装着一些水，水的高度是15厘米，如果将容器向右翻转，呈右面如图所示水平放置，现在水的高度是10厘米，这个容器的体积是（    ）立方分米。 A．12 B．120 C．0.6 D．400 10．花生酥始于明万历，盛与清乾隆年间，代代传承至今，是我国的传统糕点。爸爸给妈妈买了一盒花生酥，包装花生酥的盒子是长方体的，它的长是30厘米、宽是20厘米、高是15厘米，这个花生酥包装盒的体积是（    ）立方厘米。 A．9 B．450 C．600 D．9000 11．在括号里填上适当的单位。 一瓶矿泉水约500( )；一个集装箱的容积约40( )。 12．小新在一个无盖的长方体玻璃容器内摆了一些棱长为1dm的小正方体（如图）。做这个玻璃容器至少要用玻璃( )dm²，它的容积是( )dm3。 13．293mL＝( )L       2.45m2＝( )dm2 50dm3＝( )L＝( )m3 14．把3个棱长为2cm的小正方体摆成一个长方体，摆成的长方体体积是( )。 15．用一根36cm的铁丝围成一个正方体，这个正方体的体积是( )cm3，表面积是( )cm2。 16．把两个棱长为2分米的正方体拼成一个长方体，表面积减少了( )平方分米，长方体的体积是( )立方分米，长方体的表面积是( )平方分米。 17．一个长方体水箱，从里面量长14厘米，宽10厘米，深16厘米。先往水箱里加水，使水面的高度到10厘米，然后将一块石头放入水中（石头完全浸没），水面比原来上升2.5厘米。这块石头的体积是( )立方厘米。 18．将一根长1.2米的长方体木料沿横截面截成三段后，表面积增加了48平方厘米，原来这根木料的体积是( )立方厘米。 19．科学课上，为了制作火山爆发的模型，万老师准备了小苏打、面粉、红墨水和水的浆状混合物0.6L。将这些混合物装满8个同样的玻璃瓶后还剩24mL，每个玻璃瓶里装入了( )mL的混合物。 20．多功能教室里有一排储物柜（如图），这排储物柜长2米，宽0.4米，高1.2米，它的占地面积是( )平方米，每个小储物柜所占空间是( )立方米。 21．计算下面图形的体积。      22．计算下面各立体图形的体积。 23．一个长方体木块，若把高减少5厘米就成了一个正方体，体积也减少了80立方厘米，这个长方体木块原来的体积是多少立方厘米？ 24．一个长方体玻璃鱼缸（厚度忽略不计），长为米，宽为米，里面盛有一部分水，现往鱼缸里扔大小相等的5个铁球，每个铁球的体积是立方米，水面上升了多少米？ 25．医生为涵涵开了一瓶180毫升的止咳糖浆，要求他每次喝15毫升，每天喝2次。这瓶止咳糖浆涵涵可以喝多少天？ 26．某航空公司规定，体积超过20cm×40cm×55cm的行李（含任一对应的边超标），需要办理托运。万老师出差回来时，带了一个长35cm、宽15cm、体积为的行李箱，这个行李箱需要办理托运吗？ 27．在一个棱长是6分米的正方体器皿中装满水，然后用专用设备把水全部引入一个底面长是2米、宽是5分米的长方体器皿中，水未溢出，则长方体器皿中的水有多深？（器皿壁厚度忽略不计） 28．有一个长2分米、宽14厘米、高12厘米的长方体，先从这个长方体上切下一个尽可能大的正方体，然后从剩下的部分上再切下一个尽可能大的正方体，最后从第二次剩下的部分上再切下一个尽可能大的正方体。最后一次切下的这个正方体的体积是多少立方厘米？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07：长方体和正方体的体积 培优讲义 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 一、体积的基本概念 1.体积的定义 体积是指物体所占空间的大小 容积是指容器所能容纳物体的体积 二者区别：体积是物体外部空间，容积是容器内部空间，同一容器的体积大于容积 2.体积单位 常用单位：立方米(m³)、立方分米(dm³)、立方厘米(cm³)、立方毫米(mm³) 液体容积单位：升(L)、毫升(mL)，其中1L=1000mL 单位换算： 1m³ = 1000dm³ = 1000000cm³ 1dm³ = 1000cm³ = 1L 1cm³ = 1mL 二、长方体和正方体的体积计算公式 1.长方体体积公式 V = 长 × 宽 × 高，用字母表示为 V = a × b × h 推导过程：长方体所含体积单位的数量等于长、宽、高的乘积 2.正方体体积公式 V = 棱长 × 棱长 × 棱长，用字母表示为 V = a³ 推导过程：正方体是特殊的长方体，长、宽、高相等 3.体积公式与表面积公式的区别 体积公式：长×宽×高（三个维度相乘） 表面积公式：2×(长×宽 + 长×高 + 宽×高)（六个面的面积和） 三、体积的实际应用 1.体积计算的基本应用 已知长、宽、高，直接计算体积 已知体积和两个维度，求第三个维度（如：高 = 体积 ÷ 长 ÷ 宽） 2.容积计算 计算容器容积时，需从内部测量长、宽、高，因为容器壁有厚度 例：水箱容积 = 内部长 × 内部宽 × 内部高 3.排水法求不规则物体体积 原理：物体体积 = 排开水的体积 计算方法：物体体积 = 容器底面积 × 水面上升高度 例：将苹果放入水中，水面上升，苹果体积 = 玻璃缸底面积 × 水面高度差 4.等积变形问题 核心思想：形状改变，体积不变 常见题型： 将一个物体变形为另一种形状（体积不变） 两个物体熔化成一个物体（新物体体积 = 原物体体积和） 物体浸入水中，排开水的体积 = 物体体积 5.组合体体积计算 分割法：将组合体分割成几个规则几何体，分别计算体积后相加 补全法：将不规则部分补全为规则几何体，计算后再减去补全部分的体积 例：长方体挖去一个正方体，体积 = 长方体体积 - 正方体体积 四、常见错误与注意事项 1.概念混淆 易错点：将体积与表面积概念混淆 对策：理解体积是"空间大小"，表面积是"表面大小" 2.单位错误 易错点：单位不统一或单位换算错误 对策：计算前先统一单位，记住1m³=1000dm³=1000000cm³ 3.测量方法错误 易错点：计算容积时从外部测量 对策：容积需从内部测量，体积从外部测量 4.公式应用错误 易错点：长方体体积误用为2×(长×宽+长×高+宽×高) 对策：记住体积是三个维度相乘，表面积是六个面的和 5.排水法计算错误 易错点：忽略容器底面积变化 对策：放入物体后，有效底面积 = 原底面积 - 物体底面积 五、拓展应用 1.体积与重量关系 同种材料，体积越大，重量越大 不同材料，相同体积，重量可能不同（密度不同） 2.生活中的体积应用 购买家具时考虑空间大小 包装物品时计算所需材料 装修房屋时计算材料用量 3.体积与容积的实际意义 体积决定物体占用空间 容积决定容器能装多少东西 例：冰箱体积大但容积小，说明内部空间利用率低 掌握这些知识点后，建议通过以下方式巩固： 动手实践：用小正方体摆出不同长方体，验证体积公式 错题分析：记录并分析体积计算错误原因 实际测量：测量家中容器的体积和容积，比较差异 记住：体积计算的核心是理解"空间大小"，关键在于正确应用公式并注意单位和测量方法。 第二部分 典型例题 【例题1】求左边图形的表面积和右边图形的体积，单位：厘米。 ①        ② 【答案】①198平方厘米；②464立方厘米 【分析】①.观察图可知，这个长方体的长为9厘米，宽为3厘米，高为6厘米。根据长方体的表面积公式计算表面积即可。； ②.分别根据正方体的体积公式和长方体的体积公式算出各自的体积，然后相加即可。图中正方体的底面积为16平方厘米，高为4cm；根据计算正方体的体积；长方体的长为10厘米，宽为8厘米，高为5厘米。根据计算长方体的体积。两者相加即为组合图形的体积。 【详解】①. （平方厘米） ②. （立方厘米） 【例题2】计算下图正方体的表面积和体积。 【答案】表面积54cm2，体积27cm3 【分析】正方体的每条棱长度都相等，长方体的长、宽、高一般不相等，长、宽、高至多有两种棱长度相等，比如宽和高相等。所以题中左边的图是正方体，右边的是长方体。题目中只要求计算正方体的表面积和体积，根据“正方体表面积＝棱长×棱长×6”和“正方体体积＝棱长×棱长×棱长”求出即可。 【详解】正方体表面积：3×3×6＝54（cm2） 正方体体积：3×3×3＝27（cm3） 【例题3】学校在开运动会前，对长方体沙坑进行维护，沙坑长8米，宽2.5米，工人师傅需要往沙坑里再铺上2分米厚的沙子，一共需要运来多少立方米的沙子？ 【答案】 4立方米 【分析】因为沙坑形状为长方体，求沙子体积即求长方体体积。 题干中长度单位不一致，需先将厚度单位分米换算成米，再利用长方体体积公式“体积 ＝ 长×宽×高”进行计算。 【详解】2分米＝0.2米 8×2.5×0.2＝20×0.2＝4（立方米） 答：一共需要运来4立方米的沙子。 【例题4】一个长方体水箱，从里面量长6dm、宽4dm，放入一块珊瑚石后水面上升0.5dm，珊瑚石的体积是多少？ 【答案】12立方分米 【分析】根据题意，水上升部分的体积就是珊瑚石的体积，用长方体水箱的长×长方体水箱的宽×水面上升的高度，即可求出珊瑚石的体积。 【详解】6×4×0.5 ＝24×0.5 ＝12（立方分米） 答：珊瑚石的体积是12立方分米。 【例题5】一个长方体鱼缸，从内部量长6分米、宽4分米、高5分米，水深3.5分米。放入一块珊瑚石后，水位上升到4分米，珊瑚石的体积是多少？ 【答案】 12立方分米 【分析】因为放入一块珊瑚石后，水位上升到4分米说明没有水溢出，所以石块的体积等于它放入鱼缸后，水面上升部分的水的体积。长方体的体积＝长×宽×高，据此解答即可。 【详解】 ＝12（立方分米） 答：珊瑚石的体积是12立方分米。 6有甲、乙两种长方体容器如图2所示。 甲容器长、宽、高分别为10cm、3cm、10cm，乙容器长、宽、高分别是5cm、4cm、15cm。已知甲容器中装有水，将其倾斜，水面刚好如图1所示。乙容器是空的。 如果将甲容器中的水倒一部分到乙容器，使得甲、乙容器中的水面一样高，那么需要从甲容器中倒出多少水？ 【答案】60cm3 【分析】根据图1可知，甲容器中装水的体积是甲容器体积的一半，根据长方体的体积公式V＝abh，即可求出水的体积；用甲容器中水的体积除以甲、乙容器的底面积之和，求出容器中水面的高度，再根据长方体的体积公式V＝abh，求出乙容器中水的体积，即是从甲容器倒出的水的体积，据此进行解答。 【详解】V水＝10×3×10÷2 ＝30×10÷2 ＝300÷2 ＝150（cm3） 底面积之和：10×3＋5×4＝30＋20＝50（cm2） 高：150÷50＝3（cm） 乙中水：5×4×3＝20×3＝60（cm3） 答：需要从甲容器中倒出60cm3的水。 【点睛】本题考查了长方体体积的实际应用，灵活运用长方体的体积公式求解。 第三部分 高频真题 1．一个保温饭盒的容积大约是（    ）。 A．1.5L B．2dm C．1.5mL D．2dm2 【答案】A 【分析】容积单位的选择：1盒牛奶大约是250毫升，1升大概是4盒牛奶；据此结合生活实际和数据解答即可。 【详解】根据分析可知，一个保温饭盒的容积大约是1.5L。 故答案为：A 2．把一个棱长为1米的正方体切成棱长为1厘米的小正方体。可以切（      ）个。 A．10 B．100 C．1000 D．1000000 【答案】D 【分析】将大正方体的棱长除以1厘米，求出一条棱长可以切出几个棱长为1厘米的小正方体方块，再利用乘法，求出整个大正方体可以切成多少个小正方体，据此解答，注意单位名数的统一。 【详解】1米＝100厘米 （100÷1）×（100÷1）×（100÷1） ＝100×100×100 ＝10000×100 ＝1000000（个） 把一个棱长为1米的正方体切成棱长为1厘米的小正方体。可以切1000000个。 故答案为：D 3．把你的一个拳头慢慢地伸进装满水的脸盆中，溢出的水的体积（    ）。 A．大于1升 B．小于1毫升 C．大于1毫升，小于1升 D．无法确定 【答案】C 【分析】一个拳头的体积约为100～500立方厘米，1立方厘米＝1毫升，据此分析各选项，进而确定正确答案。 【详解】A．1升＝1000毫升，拳头的体积约为100～500立方厘米，即100～500毫升，小于1升，该选项不符合。 B．拳头的体积约为100～500立方厘米，即100～500毫升，大于1毫升，该选项不符合。 C．拳头的体积约为100～500立方厘米，即100～500毫升，大于1毫升，小于1升，该选项符合。 所以溢出的水的体积大于1毫升，小于1升。 故答案为：C 4．妙妙从一个大正方体的一个顶点处挖走了一个小正方体（如图），则剩下的立体图形（    ）。 A．表面积减小，体积也减小 B．表面积减小，体积不变 C．表面积不变，体积减小 D．表面积不变，体积也不变 【答案】C 【分析】分析题目，挖去一个小正方体减少了3个小正方形的面的面积，挖去之后又增加了3个小正方形的面的面积，据此判断表面积的变化情况；剩下的立体图形的体积等于大正方体的体积减去小正方体的体积，据此判断体积的变化情况。 【详解】根据分析可知：剩下的立体图形先减少了3个小正方形的面，又增加了3个小正方形的面，所以表面积不变；剩下的立体图形的体积等于大正方体的体积减去小正方体的体积，所以挖去一个小正方体之后，体积减小了。 妙妙从一个大正方体的一个顶点处挖走了一个小正方体（如图），则剩下的立体图形表面积不变，体积减小。 故答案为：C 5．观察下图，小球和橡皮泥相比，体积大的是（    ）。 A．小球 B．橡皮泥 C．一样大 D．无法比较 【答案】B 【分析】放入物体后水面上升，水面上升的体积就是放入物体的体积。原来水面高度是6，放入小球后水面高度是7.5，则水面上升的高度为7.5－6＝1.5；放入小球后水面高度是7.5，放入橡皮泥后水面高度是10，则水面上升的高度为10－7.5＝2.5；因为容器的底面积是固定的，根据“长方体体积＝底面积×高”，在底面积相同的情况下，高越大，体积越大。由于2.5＞1.5，所以橡皮泥使水面上升的高度更高，即橡皮泥的体积更大。 【详解】7.5－6＝1.5 10－7.5＝2.5 2.5＞1.5 因此，小球和橡皮泥相比，体积大的是橡皮泥。 故答案为：B 6．如下图，这块石头的体积大约是（    ）cm3。 A．500 B．1000 C．2000 D．5000 【答案】B 【分析】水面上升的体积就是这块石头的体积，长方体容器的长×宽×水面上升的高度＝这块石头的体积，据此列式计算。 【详解】25×20×（12－10） ＝500×2 ＝1000（cm3） 这块石头的体积大约是1000cm3。 故答案为：B 7．将两个完全相同的小长方体拼成一个大长方体，小长方体的长是6厘米，宽是5厘米，高是3厘米，拼成的大长方体的体积是（    ）立方厘米。 A．180 B．90 C．126 D．360 【答案】A 【分析】已知小长方体的长、宽、高，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出一个小长方体的体积，再乘2，求出两个相同的小长方体拼成的大长方体的体积。 【详解】6×5×3＝90（立方厘米） 90×2＝180（立方厘米） 拼成的大长方体的体积是180立方厘米。 故答案为：A 8．如图，在一个长方体中挖掉一个正方体，与原长方体相比，（    ）。 A．体积、表面积都不变 B．体积减少，表面积增加 C．体积不变，表面积减少 D．体积减少，表面积不变 【答案】D 【分析】体积是指物体所占空间的大小。原长方体的体积是其自身所占空间的大小，挖掉一个正方体后，长方体所占空间减少了正方体的体积，因此体积减少。 表面积是指物体所有面的面积之和。挖掉正方体时，会减少3个正方体面的面积，因为是在顶点挖掉正方体，同时也会新增3个正方体面的面积。所以表面积不变。 【详解】挖掉一个正方体后，长方体所占空间减少了正方体的体积。 挖掉正方体时，减少3个正方体面的面积，同时也新增3个正方体面的面积。 所以根据题意图形所示，在一个长方体中挖掉一个正方体，与原长方体相比体积减少，表面积不变。 故答案为：D 9．如图，有一个密闭的长方体容器，从里面量，长、宽分别是20厘米、20厘米，里面装着一些水，水的高度是15厘米，如果将容器向右翻转，呈右面如图所示水平放置，现在水的高度是10厘米，这个容器的体积是（    ）立方分米。 A．12 B．120 C．0.6 D．400 【答案】A 【分析】先计算水的体积，根据长方体体积公式：（其中是长，是宽，是高），代入数值即可求出水的体积，将容器向右翻转，此时水的底面积为20×容器的高，水的高度为10厘米，根据长方体的体积公式可得此时水的体积为：20×容器的高×10，因为水的体积不变，可得容器的高，又已知从里面量，长、宽分别是20厘米、20厘米，将数值代入长方体体积公式，即可求解。 【详解】水的体积： （立方厘米） 容器的高： （厘米） 容器的体积： （立方厘米） 12000立方厘米＝12立方分米 故答案为：A 10．花生酥始于明万历，盛与清乾隆年间，代代传承至今，是我国的传统糕点。爸爸给妈妈买了一盒花生酥，包装花生酥的盒子是长方体的，它的长是30厘米、宽是20厘米、高是15厘米，这个花生酥包装盒的体积是（    ）立方厘米。 A．9 B．450 C．600 D．9000 【答案】D 【分析】已知长方体盒子的长是30厘米、宽是20厘米、高是15厘米，根据“长方体的体积＝长×宽×高”计算出该长方体盒子的体积即可。 【详解】30×20×15 ＝600×15 ＝9000（立方厘米） 所以这个花生酥包装盒的体积是9000立方厘米。 故答案为：D 11．在括号里填上适当的单位。 一瓶矿泉水约500( )；一个集装箱的容积约40( )。 【答案】 毫升/mL 立方米/m3 【分析】1毫升大概是1立方厘米的容量，约等于20滴水的体积，1立方米大概是一个边长1米的正方体的体积，据此解答。 【详解】一瓶矿泉水约500毫升；一个集装箱的容积约40立方米。 12．小新在一个无盖的长方体玻璃容器内摆了一些棱长为1dm的小正方体（如图）。做这个玻璃容器至少要用玻璃( )dm²，它的容积是( )dm3。 【答案】 69 45 【分析】题干中“至少”意味着容器需要正好把小正方体装进去，也就是这个玻璃容器长正好能摆下3个小正方体，宽正好能摆下3个小正方体，高正好能摆下5个小正方体，结合小正方体的棱长可得到容器的长宽高。用的玻璃的面积就是容器的表面积，并且容器无盖，需要少算一个顶面。长方体容器的容积＝长×宽×高。 【详解】小正方体的棱长是1dm，所以玻璃容器的长是3dm，宽是3dm，高是5dm。 表面积： 3×3＋3×5×2＋3×5×2 ＝9＋30＋30 ＝69（dm2） 容积：3×3×5＝45（dm3） 13．293mL＝( )L       2.45m2＝( )dm2 50dm3＝( )L＝( )m3 【答案】 0.293 245 50 0.05 【分析】根据进率：1L＝1000mL，1m2＝100dm2，1dm3＝1L，1m3＝1000dm3；从高级单位向低级单位转换，乘进率；从低级单位向高级单位转换，除以进率；据此解答。 【详解】（1）293÷1000＝0.293（L），所以293mL＝0.293L； （2）2.45×100＝245（dm2），所以2.45m2＝245dm2； （3）50÷1000＝0.05（m3），所以50dm3＝50L＝0.05m3。 14．把3个棱长为2cm的小正方体摆成一个长方体，摆成的长方体体积是( )。 【答案】24 【分析】长方体体积＝每个小正方体体积×3，正方体体积＝棱长×棱长×棱长。 【详解】2×2×2×3＝24（cm3） 15．用一根36cm的铁丝围成一个正方体，这个正方体的体积是( )cm3，表面积是( )cm2。 【答案】 27 54 【分析】正方体棱长总和＝棱长×12，可计算得出正方体的棱长；正方体体积＝棱长×棱长×棱长，表面积＝棱长×棱长×6，可计算得出答案。 【详解】正方体的棱长为：36÷12＝3（cm）； 体积为：3×3×3＝27（cm3）；表面积为：3×3×6＝54（cm2） 16．把两个棱长为2分米的正方体拼成一个长方体，表面积减少了( )平方分米，长方体的体积是( )立方分米，长方体的表面积是( )平方分米。 【答案】 8 16 40 【分析】用两个棱长2分米的正方体拼成一个长方体，表面积减少两个面的面积，体积是两个正方体体积和；组成的长方体的长等于2×2＝4分米，宽是2分米，高是2分米，根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据即可得出结果。 【详解】表面积减少：2×2×2＝8（平方分米） 长方体的体积：2×2×2×2＝16（立方分米） 组成长方体的长：2×2＝4（分米）；宽是2分米；高是2分米。 （4×2＋4×2＋2×2）×2 ＝（8＋8＋4）×2 ＝20×2 ＝40（平方分米） 17．一个长方体水箱，从里面量长14厘米，宽10厘米，深16厘米。先往水箱里加水，使水面的高度到10厘米，然后将一块石头放入水中（石头完全浸没），水面比原来上升2.5厘米。这块石头的体积是( )立方厘米。 【答案】350 【分析】石头的体积等于它完全浸没后排开的水的体积。水箱是长方体，底面积由长和宽相乘得到，水面上升的高度已知，因此石头的体积可以通过底面积乘上升的高度计算。 【详解】＝140（平方厘米） ＝350（立方厘米） 所以，这块石头的体积是350立方厘米。 18．将一根长1.2米的长方体木料沿横截面截成三段后，表面积增加了48平方厘米，原来这根木料的体积是( )立方厘米。 【答案】1440 【分析】根据1米＝100厘米，把1.2米化成120厘米，截成3段后，表面积比原来增加了4个横截面的面积，因为表面积是增加了48平方厘米，用48除以4求出横截面的面积，再根据长方体的体积＝底面积×高解答。 【详解】1.2米＝120厘米 48÷4×120 ＝12×120 ＝1440（立方厘米） 所以原来这根木料的体积是1440立方厘米。 19．科学课上，为了制作火山爆发的模型，万老师准备了小苏打、面粉、红墨水和水的浆状混合物0.6L。将这些混合物装满8个同样的玻璃瓶后还剩24mL，每个玻璃瓶里装入了( )mL的混合物。 【答案】72 【分析】因为0.6升＝600毫升，先用600毫升减去24毫升，求出倒入8个同样的玻璃瓶内的混合物的毫升数；再除以8，即可求出每个玻璃瓶里装入了多少毫升的混合物。 【详解】0.6L＝600mL （600－24）÷8 ＝576÷8 ＝72（mL） 20．多功能教室里有一排储物柜（如图），这排储物柜长2米，宽0.4米，高1.2米，它的占地面积是( )平方米，每个小储物柜所占空间是( )立方米。 【答案】 0.8 0.064 【分析】根据长方形的面积公式：长方形面积＝长×宽，把数据代入公式求出占地面积；根据长方体的体积公式：观察图形可知，储物柜的总个数为5×3＝15个，长方体体积＝长×宽×高，把数据代入公式求出这排储物柜总体积，然后除以储物柜的总个数即可。 【详解】2×0.4＝0.8（平方米） 2×0.4×1.2÷（5×3） ＝2×0.4×1.2÷15 ＝0.8×1.2÷15 ＝0.96÷15 ＝0.064（立方米） 21．计算下面图形的体积。      【答案】①375cm3；②272cm3 【分析】①已知长方体的底面积和高，根据“长方体的体积＝底面积×高”计算体积。 ②将组合体分成上下两个长方体，上面长方体的长宽高分别为6/4/3，下面长方体的长宽高分别为10/4/5，分别代入公式“长方体的体积＝长×宽×高”，最后再将上下两个长方体体积加起来即可。 【详解】①V＝Sh＝62.5×6＝375（cm3） ②V上＝a1bh1＝6×4×3＝72（cm3） V下＝a2bh2＝10×4×5＝200（cm3） V＝V上＋V下＝72＋200＝272（cm3） 22．计算下面各立体图形的体积。 【答案】27m3；64dm3 【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，列式计算即可。 【详解】4.5×2×3＝27（m3） 4×4×4＝64（dm3） 长方体的体积是27m3，正方体的体积是64dm3。 23．一个长方体木块，若把高减少5厘米就成了一个正方体，体积也减少了80立方厘米，这个长方体木块原来的体积是多少立方厘米？ 【答案】144立方厘米 【分析】根据“高减少5厘米变成正方体”，可知原长方体的长和宽相等，减少的80立方厘米是一个长、宽与原长方体一致、高为5厘米的小长方体体积；用80除以5求出小长方体的底面积（即正方体一个面的面积）为16平方厘米，进而推出正方体棱长为4厘米，即原长方体的长和宽均为4厘米；再算出原长方体的高为4＋5＝9厘米，最后根据长方体体积公式：长方体体积＝长×宽×高，求出原长方体体积。 【详解】80÷5＝16（平方厘米） 4＋5＝9（厘米） 4×4×9 ＝16×9 ＝144（立方厘米） 答：这个长方体木块原来的体积是144立方厘米。 【点睛】本题关键在于由“高减少5厘米变成正方体”推出原长方体长、宽相等，将减少的体积转化为以原长、宽为底面、高5厘米的小长方体体积，进而求出正方体棱长，推导原长方体的高来计算体积。 24．一个长方体玻璃鱼缸（厚度忽略不计），长为米，宽为米，里面盛有一部分水，现往鱼缸里扔大小相等的5个铁球，每个铁球的体积是立方米，水面上升了多少米？ 【答案】米 【分析】铁球投入鱼缸后，水面上升部分的体积等于所有铁球的总体积。先用单个铁球体积×铁球数量，求出5个铁球的总体积。再根据长方体底面积＝长×宽，求出长方体鱼缸的底面积。水面上升部分是一个和鱼缸同底的长方体，根据长方体体积公式：体积＝底面积×高，变形得到高＝体积÷底面积，代入铁球总体积和鱼缸底面积，即可求出水面上升的高度。 【详解】5个铁球的总体积：×5＝（立方米） 鱼缸底面积：×＝（平方米） 水面上升的高度：÷ ＝× ＝（米） 答：水面上升了米。 25．医生为涵涵开了一瓶180毫升的止咳糖浆，要求他每次喝15毫升，每天喝2次。这瓶止咳糖浆涵涵可以喝多少天？ 【答案】6天 【分析】先算每天喝的糖浆量：每次喝15毫升，每天喝2次，用乘法； 再算能喝的天数：用糖浆总容量180毫升除以每天喝的量；据此列式计算。 【详解】 ＝180÷30 ＝6（天） 答：这瓶止咳糖浆涵涵可以喝6天。 26．某航空公司规定，体积超过20cm×40cm×55cm的行李（含任一对应的边超标），需要办理托运。万老师出差回来时，带了一个长35cm、宽15cm、体积为的行李箱，这个行李箱需要办理托运吗？ 【答案】需要办理托运。 【分析】因为1＝1000，所以31.5为31500，根据长方体体积公式V＝长×宽×高，可得高＝体积÷长÷宽，计算可知为60cm，规定尺寸为长20cm，宽40cm，高55cm，行李箱的高为60cm，60cm大于55cm，所以需要办理托运。 【详解】    （cm）        答：需要办理托运。 【点睛】先将体积单位统一，再计算行李箱的高，最后与规定尺寸比较判断是否超标。 27．在一个棱长是6分米的正方体器皿中装满水，然后用专用设备把水全部引入一个底面长是2米、宽是5分米的长方体器皿中，水未溢出，则长方体器皿中的水有多深？（器皿壁厚度忽略不计） 【答案】2.16分米 【分析】因为长方体器皿底面长的单位是米，需换算为分米，1米等于10分米，所以2米为20分米； 正方体体积公式为（a为棱长），则水的体积为216立方分米，长方体体积公式为（S为底面积， h为高），则水深，底面积为100平方分米，用除法求水深，即2.16分米。 【详解】2米＝20分米 （立方分米） （分米） 答：长方体器皿中的水有2.16分米。 28．有一个长2分米、宽14厘米、高12厘米的长方体，先从这个长方体上切下一个尽可能大的正方体，然后从剩下的部分上再切下一个尽可能大的正方体，最后从第二次剩下的部分上再切下一个尽可能大的正方体。最后一次切下的这个正方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】216立方厘米 【分析】从一个长方体上切下一个尽可能大的正方体，要以长方体最短的一条棱的长度为棱长进行切割。第一次切下的正方体的棱长是12厘米，2分米＝20厘米，20－12＝8（厘米），所以第二次切下的正方体的棱长是8厘米，14－8＝6（厘米），所以第三次切下的正方体的棱长是6厘米，根据正方体的体积计算公式可以求出它的体积。 【详解】2分米＝20厘米 （厘米） （厘米） （立方厘米） 答：最后一次切下的这个正方体的体积是216立方厘米。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $