单元培优讲义：专题03 长方体和正方体（考点梳理+例题讲解+考点练习）-2025-2026学年五年级下册数学人教版

2025-2026学年五年级下册数学人教版单元培优讲义 专题03 长方体和正方体 考点梳理 2 考点一、长方体和正方体的认识 2 考点二、长方体和正方体的表面积 2 考点三、长方体和正方体的体积 3 考点四、组合体的表面积和体积（长方体、正方体） 3 考点五、长方体和正方体的特殊应用——切割、拼接与浸没 4 例题讲解 4 题型一、长方体和正方体的认识及特征 4 题型二、长方体和正方体有关棱长的应用 4 题型三、长方体和正方体的展开图 5 题型四、长方体和正方体表面积的计算 5 题型五、长方体和正方体表面积的应用 6 题型六、组合体的表面积（长方体、正方体） 6 题型七、立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 7 题型八、体积和体积单位的认识 7 题型九、长方体和正方体体积的计算 7 题型十、长方体和正方体体积的应用 8 题型十一、体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米） 8 题型十二、体积的等积变形（长方体、正方体） 8 题型十三、立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 9 题型十四、组合体的体积（长方体、正方体） 9 题型十五、容积和容积单位的认识 10 题型十六、体积、容积单位的选择 10 题型十七、体积与容积单位间的进率及换算 10 题型十八、长方体、正方体的容积 10 题型十九、不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 11 考点练习 11 练习一、长方体和正方体的认识及特征 11 练习二、长方体和正方体有关棱长的应用 12 练习三、长方体和正方体的展开图 13 练习四、长方体和正方体表面积的计算 14 练习五、长方体和正方体表面积的应用 15 练习六、组合体的表面积（长方体、正方体） 16 练习七、立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 17 练习八、体积和体积单位的认识 18 练习九、长方体和正方体体积的计算 18 练习十、长方体和正方体体积的应用 19 练习十一、体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米） 20 练习十二、体积的等积变形（长方体、正方体） 21 练习十三、立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 22 练习十四、组合体的体积（长方体、正方体） 22 练习十五、容积和容积单位的认识 24 练习十六、体积、容积单位的选择 25 练习十七、体积与容积单位间的进率及换算 25 练习十八、长方体、正方体的容积 26 练习十九、不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 27 考点梳理 考点一、长方体和正方体的认识 1. 定义 (1)长方体：由6个长方形（特殊情况有2个相对的面是正方形）围成的立体图形。 (2)正方体（立方体）：由6个完全相同的正方形围成的立体图形，是特殊的长方体。 2. 各部分名称及特征 (1)面： ①　长方体：6个面，相对的面完全相同（可能是长方形或正方形）； ②　正方体：6个面，所有面都是完全相同的正方形。 (2)棱：两个面相交的线段。 ①　长方体：12条棱，分3组（长、宽、高），每组4条棱长度相等； ②　正方体：12条棱，所有棱长度都相等（棱长）。 (3)顶点：三条棱相交的点。 · 长方体和正方体都有8个顶点。 3. 棱长总和公式 (1)长方体棱长总和 =（长+宽+高）×4，用字母表示： C=(a+b+h)×4 （ a 为长， b 为宽， h 为高）； (2)正方体棱长总和 = 棱长×12，用字母表示： C=12a （ a 为棱长）。 考点二、长方体和正方体的表面积 1. 定义：长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。 2. 计算公式 (1)长方体表面积：等于6个面的面积之和，由于相对的面面积相等，可简化为： 表面积 =（长×宽 + 长×高 + 宽×高）×2，字母表示：S=(ab+ah+bh)×2； (2)正方体表面积：6个面完全相同，表面积 = 棱长×棱长×6，字母表示：S=6a² 。 3. 单位及注意事项 (1)表面积单位：平方厘米（ cm² ）、平方分米（ dm² ）、平方米（ m² ）等，相邻单位进率为100。 (2)实际应用中，需根据物体形状判断是否计算所有面（如无盖水箱、无底纸盒等，需减去对应面的面积）。 考点三、长方体和正方体的体积 1. 定义：物体所占空间的大小叫做物体的体积。 2. 体积单位及进率 (1)常用单位：立方厘米（ cm³ ）、立方分米（ dm³ ）、立方米（ m³ ）。 (2)进率：1立方米 = 1000立方分米，1立方分米 = 1000立方厘米，1立方米 = 1000000立方厘米。 3. 体积计算公式 (1)长方体体积：长×宽×高，字母表示： V=abh ； (2)正方体体积：棱长×棱长×棱长，字母表示： V=a³ （ a³ 读作“ a 的立方”）； (3)通用公式：体积 = 底面积×高，字母表示： V=Sh （ S 为底面积， h 为高）。 ①　长方体底面积 ( S=ab )，正方体底面积 ( S=a² )。 4. 体积与容积的关系 (1)容积是容器所能容纳物体的体积，计量容积一般用体积单位，液体容积常用升（L）、毫升（mL）。 (2)换算：1升 = 1立方分米，1毫升 = 1立方厘米，1升 = 1000毫升。 考点四、组合体的表面积和体积（长方体、正方体） 1. 组合体的构成：由2个或多个长方体、正方体拼接或堆叠而成的立体图形。 2. 组合体表面积计算 (1)核心方法：先计算所有单个几何体的表面积之和，再减去重叠部分的面积（重叠1次，减少2个重叠面的面积）。 (2)注意：需观察组合方式（如“一字型”拼接、“L型”堆叠等），确定重叠面的数量和面积。 3. 组合体体积计算 (1)核心方法：组合体体积 = 各单个几何体体积之和，直接将各部分体积相加即可（体积具有可加性，不受拼接方式影响）。 考点五、长方体和正方体的特殊应用——切割、拼接与浸没 1. 切割问题 (1)特征：切割一次，增加2个与切割面相同的面的面积；切割次数与增加面数的关系：( 增加面数=2×切割次数 )。 (2)体积：切割后各部分体积之和等于原几何体体积（体积不变）。 2. 拼接问题 (1)特征：将n个相同几何体拼接，拼接n-1次，减少 2×(n-1) 个拼接面的面积。 (2)体积：拼接后总体积 = 单个几何体体积×n（体积不变）。 3. 浸没问题（排水法） (1)原理：物体完全浸没在水中时，水面上升的体积等于物体的体积。 (2)计算：( 物体体积=容器底面积×水面上升高度 )（需确保容器足够大，水未溢出）。 例题讲解 题型一、长方体和正方体的认识及特征 【例题1】（23-24五年级下·贵州铜仁·期中）长方体有( )个面，相对的面( )，有( )条棱，相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的( )、( )、( )。 【练习1】（23-24五年级下·湖北十堰·期中）正方体所有的面( )，所有的棱( )。 题型二、长方体和正方体有关棱长的应用 【例题2】（24-25五年级下·河北石家庄·期中）一根铁丝长60cm，如果焊成一个正方体框架，棱长是( )cm。如果焊成一个长6cm，宽4cm的长方体框架，高是( )cm。（接头处不计） 【练习2】（24-25五年级下·甘肃陇南·期中）一捆彩带长10米，现在要捆扎一种礼盒（如下图）。如果打结处的彩带长23厘米，那么这捆彩带最多可以捆扎几个这样的礼盒？ 题型三、长方体和正方体的展开图 【例题3】（22-23五年级下·广东佛山·期末）下面图形沿着虚线折叠，不能围成长方体的是（    ）。 A． B． C． D． 【练习3】（24-25五年级下·湖南·期末）将下边这个展开图围成正方体后，与F相对的面是( )，与D相对的面是( )。 题型四、长方体和正方体表面积的计算 【例题4】（24-25五年级下·广东东莞·期中）桌面上放着一个正方体木块，棱长是4厘米，这个正方体的底面积是( )平方厘米，表面积是( )平方厘米。 【练习4】（24-25五年级下·山东济宁·期中）计算下面各立体图形的表面积。 题型五、长方体和正方体表面积的应用 【例题5】（24-25五年级下·新疆阿克苏·期末）徐老师用纸板做了一个棱长是4分米的正方体纸箱（无盖），做这个纸箱至少需要多少平方分米的纸板？ 【练习5】（24-25五年级下·河北唐山·期中）纸袋无污染、无毒，可重复利用。五一班做了一批如下图的纸袋（无盖），做一个这样的纸袋至少需要多少平方分米的纸？（接口处忽略不计） 题型六、组合体的表面积（长方体、正方体） 【例题6】（24-25五年级下·河北唐山·期中）计算组合图形的表面积（单位：cm） 【练习6】（22-23五年级下·湖南衡阳·期中）求出下面几何体的表面积。 题型七、立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 【例题7】（24-25五年级下·河北保定·期末）将一个长是9厘米、宽是6厘米、高是3厘米的长方体切成3个体积相等的小长方体，表面积最多可以增加（    ）平方厘米。 A．72 B．324 C．216 D．420 【练习7】（24-25五年级下·河北张家口·期中）把4个棱长为2厘米的小正方体按图①组合，表面积较原来4个小正方体表面积之和少( )平方厘米；按图②组合，表面积较原来4个小正方体表面积之和少( )平方厘米。 题型八、体积和体积单位的认识 【例题8】（23-24五年级下·重庆丰都·期末）这学期我们学过体积单位，常用的体积单位用字母分别表示为( )、( )和( )。 【练习8】（24-25五年级下·福建福州·期中）下面物品中，体积最接近1dm3的是（    ）。 A．一个校徽 B．一本辞海字典 C．一个橡皮擦 D．一台洗衣机 题型九、长方体和正方体体积的计算 【例题9】（24-25五年级下·新疆阿克苏·期末）计算正方体的体积。 【练习9】（24-25五年级下·湖南长沙·期末）求长方体的体积。 题型十、长方体和正方体体积的应用 【例题10】（24-25五年级下·甘肃天水·期中）把一块棱长8厘米的正方体钢坯，锻造成长16厘米，宽4厘米的长方体钢板，这块钢板有多厚？（损耗不计） 【练习10】（24-25五年级下·湖南怀化·期末）一个长方体容器（如图），长40厘米，宽25厘米，高20厘米，里面的水深10厘米；把这个容器盖紧，使最小的面朝下，这时水深多少厘米？ 题型十一、体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米） 【例题11】（24-25五年级下·江西宜春·期中）7.05立方米＝( )立方分米   2.13立方分米＝( )立方分米( )立方厘米 【练习11】（23-24五年级下·四川南充·期末）＝( )          ＝( ) 题型十二、体积的等积变形（长方体、正方体） 【例题12】（23-24五年级下·河北邯郸·期中）把两块棱长为1分米的正方体方钢熔铸成一根横截面面积是20平方厘米的长方体钢材，这根钢材的长是多少分米？ 【练习12】（24-25五年级下·河南开封·期中）某车间工人王叔叔为了打造一种零件，把一个棱长为10厘米的正方体铁块锻造成了一个长方体铁块，这个长方体的底面积是40平方厘米，它的高是多少厘米？ 题型十三、立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 【例题13】（24-25五年级下·云南文山·期末）把5个棱长为3厘米的正方体拼成一个长方体。这个长方体的体积是( )立方厘米，表面积是( )平方厘米。 【练习13】（24-25五年级下·河北邢台·期中）一根5米长的方钢，把它横截成4段时，表面积增加120平方厘米，原来方钢的体积是( )立方厘米。 题型十四、组合体的体积（长方体、正方体） 【例题14】（24-25五年级下·海南省直辖县级单位·期中）计算下面组合图形的体积。（单位：分米） 【练习14】（24-25五年级下·贵州铜仁·期末）计算下图的体积。（单位：cm） 题型十五、容积和容积单位的认识 【例题15】（24-25五年级下·海南海口·周测）计量容积，一般就用( )。计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位( )和( )，也可以写成( )和( )。 【练习15】（24-25五年级下·河北衡水·期末）一个水瓶最多可装水500mL，我们就说这个水瓶的容积是500mL。( ) 题型十六、体积、容积单位的选择 【例题16】（24-25五年级下·云南玉溪·期末）在括号里填上合适的单位名称。 一本《新华字典》的体积大约是0.6( )。 一个饮料瓶的容积是350( )。 【练习16】（24-25五年级下·新疆巴音郭楞·期末）在括号里填上合适的容积或体积单位。 一个保温杯的容积约为500( )。一块橡皮的体积约为8( )。 一台冰箱的体积约是0.3( )。一桶花生油大约5( )。 题型十七、体积与容积单位间的进率及换算 【例题17】（24-25五年级下·云南德宏·期末）6.05dm3＝( )L＝( )mL。 【练习17】（24-25五年级下·湖北襄阳·期末）0.9升＝( )立方分米＝( )立方厘米    2500毫升＝( )升 题型十八、长方体、正方体的容积 【例题18】（24-25五年级下·四川乐山·期中）劳动镇先锋村，要建一个长方体蓄水池长8米，宽4.5米，深2米。这个蓄水池建好后，最多能蓄水多少立方米？ 【练习18】（23-24五年级下·新疆博尔塔拉·期末）如图，妈妈用一条长82厘米的彩带绑在一个正方体礼盒上，已知结头长18厘米，这个礼品盒的容积是多少立方厘米？（盒子厚度忽略不计） 题型十九、不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 【例题19】（24-25五年级下·湖南长沙·期中）将一些鹅卵石放入一个盛有水的、底面积为36平方分米的长方体鱼缸中，完全浸没后，水上升了5厘米。这些鹅卵石的体积有多大？ 【练习19】（24-25五年级下·河南焦作·期中）小文到外地旅游时捡了一块石头回来，他想测算一下这块石头的体积。首先找来一个长方体玻璃缸，从里面量长是22厘米，宽是10厘米，高是18厘米，然后加水，水深15厘米。再将这块石头放入水中（完全浸没），水面上升到15.5厘米。这块石头的体积是多少立方厘米？ 考点练习 练习一、长方体和正方体的认识及特征 1．（24-25五年级下·河北邢台·期中）数学活动课上，老师把同学们画的一个长方体的3条棱展示给大家看，不能确定长方体形状和大小的是（    ）。 A． B． C． D． 2．（22-23五年级下·广东江门·期中）关于长方体和正方体的关系，表示正确的是（    ）。 A． B． C． D． 3．（24-25五年级下·河北邢台·期末）长方体和正方体都有8个面、12条棱、6个顶点。( ) 4．（24-25五年级下·新疆阿克苏·期末）李师傅用木棒做一个长方体框架，他已经架好了三根（如图）。这三根木棒的长度分别是30cm、10cm和10cm，做这个长方体框架共需要( )根30cm长的木棒。这个长方体框架做好后，共有( )个面，其中有( )个面是正方形。 5．（23-24五年级下·湖北十堰·期中）想一想、选一选。 下图分别是长方体或正方体一个顶点处的3条棱。（单位： cm） 图1                   图2                   图3 请从以下图形中选择6个面（可重复选择），围出相应的长方体或正方体。 (1)围成图1应选择( )个( )号、( )个( )号和( )个( )号图形。 (2)围成图2应选择( )。 (3)围成图3应选择( )。 练习二、长方体和正方体有关棱长的应用 1．（24-25五年级下·河北邯郸·期末）用一根( )cm的铁丝可以正好做一个长6cm、宽5cm、高3cm的长方体框架。（损耗忽略不计） 2．（23-24五年级下·河北邯郸·期末）用一根60cm长的铁丝，恰好可以焊成一个长6cm、宽4cm、高( )cm的长方体框架。 3．（23-24五年级下·重庆垫江·期末）一个长方体的长是10厘米，宽是8厘米，高是5厘米，这个长方体的棱长总和是( )厘米。 4．（24-25五年级下·福建龙岩·期中）在长是10dm，宽是6dm，高是3dm的长方体木块中削一个最大的正方体，那么这个正方体的棱长和是( )dm。 5．（22-23五年级下·山东济宁·期中）用一根铁丝围成一个长方体，它的长是14分米，宽是8分米，高是17分米。如果把这根铁丝改围成一个正方体，这个正方体的棱长是( )分米。 6．（23-24五年级下·贵州黔东南·期末）妈妈要包装一个礼物(如图)，礼盒是一个长24厘米，宽8厘米的长方体，加上打结的20厘米彩带，共用了124厘米长的彩带。这个长方体礼盒的高是多少厘米？ 7．（24-25五年级下·新疆喀什·期中）用丝带包装一个正方体礼品盒如图所示，礼盒的棱长是20厘米，接头处需30厘米长的丝带，包装一个这样的礼品盒至少需要多长的丝带？ 练习三、长方体和正方体的展开图 1．（24-25五年级下·湖北黄石·期末）下面图形中，（    ）不是正方体的展开图。 A． B． C． D． 2．（24-25五年级下·山东济宁·期中）下面是一个长方体的展开图。 原来这个长方体的长是( )cm，宽是( )cm，高是( )cm。 3．（24-25五年级下·湖南衡阳·期中）下面( )号图形是无盖的正方体纸盒的展开图。 4．（24-25五年级下·广东韶关·期中）2022年6月5日神舟十四号载人飞船成功发射，陈冬、刘洋、蔡旭哲3名航天员领命出征，即将开启为期6个月的飞行任务。如图是一个正方体神14成功发射的展开图，将它折叠成正方体后，与“成”字相对面上的字是“( )”，与“神”字相对面上的字是“( )”。 练习四、长方体和正方体表面积的计算 1．（24-25五年级下·江西抚州·期末）一个正方体纸盒底面的周长为24dm，这个纸盒的棱长是( )，表面积是( )。 2．（24-25五年级下·江西赣州·期中）一个正方体的棱长总和是72厘米，这个正方体的表面积是( )。 3．（23-24五年级下·天津河西·期末）一个长方体，它的长是9cm，宽是6cm，高是3cm，这个长方体的棱长和是( )cm，表面积是( )cm2。 4．（24-25五年级下·河北邢台·期中）一个长方体长10厘米、宽5厘米、高3厘米。这个长方体最大面的面积是( )平方厘米，最小面的面积是( )平方厘米，这个长方体的表面积是( )平方厘米。 5．（23-24五年级下·湖南长沙·期末）计算下面图形的表面积。 练习五、长方体和正方体表面积的应用 1．（24-25五年级下·河北廊坊·期中）将一个长10cm、宽5cm、高15cm的长方体饼干盒四周都贴上商标纸（上、下面不贴），需要( )cm2的商标纸。 2．（24-25五年级下·江西九江·期中）做一个长方体无盖玻璃鱼缸，长8dm，宽4dm，高5dm，做这个鱼缸至少需要( )dm2。 3．（24-25五年级下·海南海口·期中）张叔叔准备用角铁焊接一个棱长6dm的正方体框架，并在各个面上钉上铁皮，做这个正方体至少需要角铁( )dm，至少需要铁皮( )dm2。 4．（24-25五年级下·海南三亚·期中）学校要粉刷新教室。已知教室的长是9米，宽是7米，高是3米，门窗的面积是12.5平方米。如果每平方米需要花18元粉刷费，粉刷这个教室需要花费多少钱？ 5．（23-24五年级下·四川凉山·期末）2024年7月底凉山国际火把节的庆祝仪式需要用正方体的灯笼装饰街道，焊接一个灯笼框架要用去一根长240分米的铁丝（不计损耗），再给这个正方体框架的5个表面糊上彩纸，至少需要多少平方分米的彩纸？ 练习六、组合体的表面积（长方体、正方体） 1．（22-23五年级下·湖北荆州·期末）计算下图的表面积。（单位：分米） 2．（24-25五年级下·云南昭通·期中）计算下面图形的表面积。 3．（24-25五年级下·全国·课后作业）如下图（单位：cm），某广场上有20根这样的柱子，给每根柱子的四周和最上面贴上瓷砖。若每平方米瓷砖100元，则给这些柱子贴瓷砖一共要花多少钱？ 4．（24-25五年级下·河南商丘·期中）运动会领奖台是由底面长和宽分别相同的三个长方体拼接而成的（如图单位：厘米），拼接后除了底面不涂漆外，其余面都涂油漆，需要涂油漆的面积是多少平方厘米？ 练习七、立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 1．（24-25五年级下·广东汕尾·期末）把4个长7cm、宽5cm、高3cm的长方体拼成一个大长方体，以下拼法中表面积最小的是（    ）。 A． B． C． D． 2．（24-25五年级下·云南大理·期末）下面各图形是用完全相同的小正方体搭成的，拿走其中的一块或两块，表面积增加了的是（    ）。 A． B． C． D． 3．（24-25五年级下·河南郑州·期中）一个长是8米，宽和高都是2米的长方体，把它分成两部分（如图所示），表面积增加了( )平方米。 4．（24-25五年级下·河南商丘·期中）如图，把5个棱长是2cm的正方体积木拼在一起，表面积比原来的5个小正方体表面积之和减少了( )cm2。 5．（24-25五年级下·湖北十堰·期中）一根长14cm的长方体的截面是正方形，若把这根木料截成三个小长方体，其表面积增加了100cm2，那么原来这根木料的表面积是( )cm2。 6．（24-25五年级下·北京平谷·期末）一块长2米、宽0.2米、高0.4米的长方体木头，被李叔叔如图所示平均分成四块后，准备做成四个木秋千。这块木头被分开后，表面积增加了多少平方米？ 练习八、体积和体积单位的认识 1．（23-24五年级下·河南信阳·期末）在实际生活中，下面物品的体积最接近1dm3的是（    ）。 A． B． C． D． 2．（24-25五年级下·天津·期末）下列物品中，体积比1立方分米大的是（    ）。 A．一个书包 B．一个鸡蛋 C．一块橡皮 D．一粒花生 3．（24-25五年级下·河南周口·期中）在洗衣机、微波炉和牙膏盒三种物体中，( )占的空间最大，( )占的空间最小。 练习九、长方体和正方体体积的计算 1．（24-25五年级下·江西九江·期中）一个正方体的底面周长是12cm，它的体积是( )cm3。 2．（24-25五年级下·河南周口·期中）一个正方体的棱长总和是96cm，它的表面积是( )cm2，体积是( )cm3。 3．（24-25五年级下·四川广元·期末）一个长方体，表面积是208cm2，底面积是32cm2，底面周长是24cm。这个长方体的高是( )cm，体积是( )cm3。 4．（24-25五年级下·广西百色·期末）一个长方体的三条棱相交于一个顶点（如图），这个长方体的棱长总和是( )cm，它的体积是( )cm3。 5．（24-25五年级下·山东济宁·期中）分别计算下面图形的表面积和体积。 练习十、长方体和正方体体积的应用 1．（24-25五年级下·河南安阳·期中）“泥叫叫”又名“娃娃哨”，是一种传统的民间工艺品。王叔叔准备了一块棱长为6cm的正方体泥巴做泥叫叫，这块正方体泥巴的体积是( )cm3。为了便于创作，王叔叔将正方体泥巴捏成了底面积是24cm2的长方体泥巴，捏成的长方体泥巴的高是( )cm。 2．（24-25五年级下·甘肃临夏·期末）一根长方体木料的体积是0.27立方米，横截面是一个边长为0.3米的正方形，这根木料长多少米？ 3．（24-25五年级下·云南楚雄·期末）要在一个边长是9分米的正方形铁皮的四个角上分别剪去一个正方形，随后将它焊接成一个无盖的正方体盒子，想一想，这个正方体盒子的表面积和体积分别是多少？ 4．（24-25五年级下·广东梅州·期中）在新农村改造中，团结村村民用63立方米的混凝土铺了一条3.5米宽的路，铺的混凝土的厚度是0.2米。这条路有多长？ 5．（24-25五年级下·河南郑州·期中）为了宣传牡丹盛宴，景区的一家店铺推出了一款牡丹明信片。一张明信片尽管很薄，但也是一个长方体。已知一包明信片高2厘米，请你根据图中提供的信息，计算出一张明信片的体积约是多少立方厘米？（得数保留整数） 练习十一、体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米） 1．（23-24五年级下·河北唐山·期中）3.5dm3＝( )cm3           720dm3＝( )m3 2．（23-24五年级下·江西赣州·期末）用一根24dm长的铁丝围成一个最大的正方体形状的框架，这个正方体的体积是( )m3。 3．（24-25五年级下·湖南岳阳·期中）360dm2＝( )m2   7100dm3＝( )m3  2.08m3＝( )m3( )dm3 4．（24-25五年级下·湖南·期中）一块长方体木板，长3.6米，宽1.5米，厚0.03米，它的体积是多少立方米？合多少立方分米？ 练习十二、体积的等积变形（长方体、正方体） 1．（24-25五年级下·广东汕头·期中）把棱长是3分米的正方体钢材锻造成一块横截面是0.06平方米的长方体，这块长方体钢材的长多少分米？ 2．（24-25五年级下·云南文山·期末）中国冶炼铸铁的技术比欧洲早，据《管子》记载，齐国“断山木”，“鼓山铁”。齐国工匠将一块0.8米的正方体铁块，熔铸成一个横截面积是4平方分米的长方体，这个长方体的长是多少？ 3．（24-25五年级下·河南开封·期中）有一个长方体容器（如下左图所示），长50厘米、宽30厘米、高20厘米，里面的水深8厘米。 （1）长方体容器中水的体积是多少？ （2）当容器竖起来放置以后（如上右图所示），水深多少？ 练习十三、立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 1．（24-25五年级下·河南郑州·期中）把一个长是6分米，宽是4分米，高是5分米的长方体截成一个最大的正方体，截成的正方体的体积是( )立方分米。 2．（24-25五年级下·广东广州·期中）用棱长为2cm的正方体木块堆成一个较大的正方体，至少需要( )块，拼成的正方体的表面积是( )cm2，体积是( )cm3。 3．（23-24五年级下·北京密云·期末）把一块长3米的长方体木材，锯成完全相同的两块小长方体。（如下图）表面积增加了40平方分米。这根木材原来的体积是多少立方米？ 4．（23-24五年级下·湖南湘西·期末）将长5米的长方体木料，如下图切割分成5段后，表面积增加38.4平方分米。这个长方体木料的一个侧面的面积是多少平方分米？原来这根木料体积是多少立方分米？ 练习十四、组合体的体积（长方体、正方体） 1．（24-25五年级下·山东菏泽·期中）计算如图组合体的体积。 2．（24-25五年级下·河南焦作·期中）计算组合图形的体积。 3．（24-25五年级下·河南南阳·期中）计算下面图形的体积。（单位：厘米） 4．（24-25五年级下·山东滨州·期末）为了更好地展示商品，华阳商场设计了一款商品展示柜。（如图）请选择喜欢的方法计算这款商品展示柜所占空间的大小。 5．（24-25五年级下·云南昭通·期末）下图是从一个大长方体中挖掉一个小长方体的模具，求这个模具的表面积和体积。（单位：厘米） 6．（24-25五年级下·甘肃平凉·期中）下图是一个“三级台阶”（下面接地面），每级台阶的长、宽、高见标注（单位：分米）。计算这个“三级台阶”的表面积和体积。 练习十五、容积和容积单位的认识 1．（24-25五年级下·广东梅州·期中）一个油桶能装200L汽油，我们就说这个油桶的（    ）是200L。 A．容积 B．体积 C．表面积 D．底面积 2．（23-24五年级下·广东广州·期末）一个书包的容积约13（    ）。 A．cm B．mL C．L D．m3 3．（24-25五年级下·江西宜春·期中）物体的容积与体积计算方法相同，但意义不同。( ) 4．（23-24五年级下·河北承德·期末）计量液体的体积通常用升和( )作单位。一个容积可以装60立方分米的水，我们就说这个容器的容积是60( )。 练习十六、体积、容积单位的选择 1．（24-25五年级下·重庆忠县·期末）一本数学书的体积大约是300（    ）。 A．m3 B．dm3 C．cm3 D．L 2．（24-25五年级下·湖北襄阳·期末）爸爸在超市买的一壶油大约为5（    ）。 A．毫升 B．升 C．立方米 D．立方厘米 3．（24-25五年级下·湖南长沙·期中）在括号里填上适当的单位。 (1)一间教室所占空间大约是120( )。 (2)一瓶矿泉水有500( )。 (3)一个粉笔盒的体积是1( )。 (4)一个集装箱的体积约是40( )。 4．（24-25五年级下·河南安阳·期中）在括号里填上合适的单位。 明明要去陶艺研学基地研学，出发前，妈妈为他准备了一个体积约是150( )的粽子和一盒容积约是200( )的牛奶。研学基地所用的教学显示屏面积约是200( )，明明在研学基地的场地里还看到了一堆体积约是8( )的陶土。 5．（24-25五年级下·河南南阳·期中）在（    ）里填上适当的体积单位或容积单位。 一盒牛奶约250( )。 粉笔盒的体积约1( )。 一桶饮用水约20( )。 运货集装箱的体积约40( )。 练习十七、体积与容积单位间的进率及换算 1．（24-25五年级下·湖南长沙·期中）一个长方体水池，长8m，宽6m，深20dm，这个水池的容积是（    ）。 A．96dm3 B．96L C．96000L D．9600dm3 2．（24-25五年级下·湖北襄阳·期中）5L＝( )mL      638mL＝( )cm3＝( )dm3 3．（24-25五年级下·福建龙岩·期中）70cm＝( )m            25dm3＝( )cm3 50mL＝( )dm3         7.02dm3＝( )L( )mL 4．（24-25五年级下·吉林松原·期中）一个长方体水箱，从里面量底面积是25平方分米，高是1.6分米，这个水箱能装水( )升。 练习十八、长方体、正方体的容积 1．（24-25五年级下·海南省直辖县级单位·期中）一个塑料盒刚好能被256个棱长为1厘米的小正方体摆放满，这个塑料盒的容积是( )cm3。 2．（23-24五年级下·内蒙古呼和浩特·期末）一种微波炉包装纸箱的尺寸为“400×225×300毫米”，这个包装纸箱的容积是( )升。 3．（24-25五年级下·河南郑州·期中）一个无盖的长方体玻璃鱼缸，从里面测量长6分米、宽4.5分米、高4分米。缸内现在水深2.5分米，鱼缸里现有( )升水。 4．（24-25五年级下·山东济宁·期中）小丽的爸爸开的轿车的油箱内部长50厘米、宽40厘米、高30厘米。梁山到北京大约560千米，如果每千米油耗80毫升，出发前爸爸加满油，到达北京油箱的油够吗？ 5．（24-25五年级下·河南周口·期中）一种长方体油桶，底面是边长为3.5分米的正方形，高4分米。把这样一桶油倒入容积是700毫升的瓶子里，可以装多少瓶？ 6．（24-25五年级下·山东济宁·期中）一个长方体的游泳池，长、宽、高分别是50米，12米，2米。 （1）这个游泳池的占地面积是多少平方米？ （2）把这个游泳池的底面和四壁都贴上瓷砖，需要瓷砖多少平方米？ （3）这个游泳池的容积是多少立方米？ 练习十九、不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 1．（24-25五年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如下图，这块石头的体积大约是（    ）cm3。 A．500 B．1000 C．2000 D．5000 2．（24-25五年级下·江西宜春·期中）大暑是夏天的最后一个节气，我国部分地区有晒伏姜的习俗。天天想测量一块姜的体积，他拿出一个长方体玻璃容器，注入一部分水，这时水面的高度是2厘米，无法淹没姜。天天灵机一动，把容器竖了起来，并放入姜，水面高度如下图。这块姜的体积是( )立方厘米。 3．（24-25五年级下·北京大兴·期末）如图所示，一个棱长为10厘米的正方体玻璃容器中装有一些水，将一个高为8厘米的长方体铁块竖直放入水中，铁块还没有完全浸没时，水就满了。这个铁块浸没在水中的体积是( )立方厘米，整个铁块的体积是( )立方厘米。（玻璃的厚度忽略不计） 4．（24-25五年级下·山东济宁·期中）求西红柿的体积。 5．（24-25五年级下·天津和平·期末）王叔叔做了一个长10厘米，宽10厘米，高12厘米的长方体生态缸（无盖），制作过程如下。（不考虑生态缸的厚度） 先放入沙子和水草，再倒入500毫升水（沙子和水草完全浸没在水中），量得水面的高度是7厘米。最后放入一些小鱼，此时水面的高度为9厘米。 这些小鱼的体积是多少立方厘米？ 6．（24-25五年级下·江西赣州·期中）为了比较桃子和苹果的体积，豆豆做了下面的实验。（单位：厘米） （1）估计一下，桃子和苹果哪个体积大一些？ （2）请你算一算，桃子和苹果的体积分别是多少立方厘米？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 66 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年五年级下册数学人教版单元培优讲义 专题03 长方体和正方体 考点梳理 2 考点一、长方体和正方体的认识 2 考点二、长方体和正方体的表面积 2 考点三、长方体和正方体的体积 3 考点四、组合体的表面积和体积（长方体、正方体） 3 考点五、长方体和正方体的特殊应用——切割、拼接与浸没 4 例题讲解 4 题型一、长方体和正方体的认识及特征 4 题型二、长方体和正方体有关棱长的应用 5 题型三、长方体和正方体的展开图 6 题型四、长方体和正方体表面积的计算 8 题型五、长方体和正方体表面积的应用 9 题型六、组合体的表面积（长方体、正方体） 10 题型七、立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 11 题型八、体积和体积单位的认识 12 题型九、长方体和正方体体积的计算 13 题型十、长方体和正方体体积的应用 14 题型十一、体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米） 15 题型十二、体积的等积变形（长方体、正方体） 16 题型十三、立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 16 题型十四、组合体的体积（长方体、正方体） 18 题型十五、容积和容积单位的认识 19 题型十六、体积、容积单位的选择 19 题型十七、体积与容积单位间的进率及换算 20 题型十八、长方体、正方体的容积 21 题型十九、不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 22 考点练习 23 练习一、长方体和正方体的认识及特征 23 练习二、长方体和正方体有关棱长的应用 25 练习三、长方体和正方体的展开图 28 练习四、长方体和正方体表面积的计算 30 练习五、长方体和正方体表面积的应用 32 练习六、组合体的表面积（长方体、正方体） 35 练习七、立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 38 练习八、体积和体积单位的认识 42 练习九、长方体和正方体体积的计算 43 练习十、长方体和正方体体积的应用 45 练习十一、体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米） 48 练习十二、体积的等积变形（长方体、正方体） 49 练习十三、立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 51 练习十四、组合体的体积（长方体、正方体） 53 练习十五、容积和容积单位的认识 56 练习十六、体积、容积单位的选择 58 练习十七、体积与容积单位间的进率及换算 61 练习十八、长方体、正方体的容积 62 练习十九、不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 65 考点梳理 考点一、长方体和正方体的认识 1. 定义 (1)长方体：由6个长方形（特殊情况有2个相对的面是正方形）围成的立体图形。 (2)正方体（立方体）：由6个完全相同的正方形围成的立体图形，是特殊的长方体。 2. 各部分名称及特征 (1)面： ①　长方体：6个面，相对的面完全相同（可能是长方形或正方形）； ②　正方体：6个面，所有面都是完全相同的正方形。 (2)棱：两个面相交的线段。 ①　长方体：12条棱，分3组（长、宽、高），每组4条棱长度相等； ②　正方体：12条棱，所有棱长度都相等（棱长）。 (3)顶点：三条棱相交的点。 · 长方体和正方体都有8个顶点。 3. 棱长总和公式 (1)长方体棱长总和 =（长+宽+高）×4，用字母表示： C=(a+b+h)×4 （ a 为长， b 为宽， h 为高）； (2)正方体棱长总和 = 棱长×12，用字母表示： C=12a （ a 为棱长）。 考点二、长方体和正方体的表面积 1. 定义：长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。 2. 计算公式 (1)长方体表面积：等于6个面的面积之和，由于相对的面面积相等，可简化为： 表面积 =（长×宽 + 长×高 + 宽×高）×2，字母表示：S=(ab+ah+bh)×2； (2)正方体表面积：6个面完全相同，表面积 = 棱长×棱长×6，字母表示：S=6a² 。 3. 单位及注意事项 (1)表面积单位：平方厘米（ cm² ）、平方分米（ dm² ）、平方米（ m² ）等，相邻单位进率为100。 (2)实际应用中，需根据物体形状判断是否计算所有面（如无盖水箱、无底纸盒等，需减去对应面的面积）。 考点三、长方体和正方体的体积 1. 定义：物体所占空间的大小叫做物体的体积。 2. 体积单位及进率 (1)常用单位：立方厘米（ cm³ ）、立方分米（ dm³ ）、立方米（ m³ ）。 (2)进率：1立方米 = 1000立方分米，1立方分米 = 1000立方厘米，1立方米 = 1000000立方厘米。 3. 体积计算公式 (1)长方体体积：长×宽×高，字母表示： V=abh ； (2)正方体体积：棱长×棱长×棱长，字母表示： V=a³ （ a³ 读作“ a 的立方”）； (3)通用公式：体积 = 底面积×高，字母表示： V=Sh （ S 为底面积， h 为高）。 ①　长方体底面积 ( S=ab )，正方体底面积 ( S=a² )。 4. 体积与容积的关系 (1)容积是容器所能容纳物体的体积，计量容积一般用体积单位，液体容积常用升（L）、毫升（mL）。 (2)换算：1升 = 1立方分米，1毫升 = 1立方厘米，1升 = 1000毫升。 考点四、组合体的表面积和体积（长方体、正方体） 1. 组合体的构成：由2个或多个长方体、正方体拼接或堆叠而成的立体图形。 2. 组合体表面积计算 (1)核心方法：先计算所有单个几何体的表面积之和，再减去重叠部分的面积（重叠1次，减少2个重叠面的面积）。 (2)注意：需观察组合方式（如“一字型”拼接、“L型”堆叠等），确定重叠面的数量和面积。 3. 组合体体积计算 (1)核心方法：组合体体积 = 各单个几何体体积之和，直接将各部分体积相加即可（体积具有可加性，不受拼接方式影响）。 考点五、长方体和正方体的特殊应用——切割、拼接与浸没 1. 切割问题 (1)特征：切割一次，增加2个与切割面相同的面的面积；切割次数与增加面数的关系：( 增加面数=2×切割次数 )。 (2)体积：切割后各部分体积之和等于原几何体体积（体积不变）。 2. 拼接问题 (1)特征：将n个相同几何体拼接，拼接n-1次，减少 2×(n-1) 个拼接面的面积。 (2)体积：拼接后总体积 = 单个几何体体积×n（体积不变）。 3. 浸没问题（排水法） (1)原理：物体完全浸没在水中时，水面上升的体积等于物体的体积。 (2)计算：( 物体体积=容器底面积×水面上升高度 )（需确保容器足够大，水未溢出）。 例题讲解 题型一、长方体和正方体的认识及特征 【例题1】（23-24五年级下·贵州铜仁·期中）长方体有( )个面，相对的面( )，有( )条棱，相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的( )、( )、( )。 【答案】 6/六 完全相同 12 长 宽 高 【详解】长方体有6个面，相对的面完全相同，有12条棱，相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。 如图： 【练习1】（23-24五年级下·湖北十堰·期中）正方体所有的面( )，所有的棱( )。 【答案】 面积相等 长度相等 【分析】根据长方体的特征，正方体有六个面，每个面大小一样，即面积相等，正方体有12条棱，每条棱的长度相等，据此解答。 【详解】由分析可知： 正方体所有的面面积相等，所有的棱长度相等。 【点睛】本题考查正方体的特征，学生需熟练掌握。 题型二、长方体和正方体有关棱长的应用 【例题2】（24-25五年级下·河北石家庄·期中）一根铁丝长60cm，如果焊成一个正方体框架，棱长是( )cm。如果焊成一个长6cm，宽4cm的长方体框架，高是( )cm。（接头处不计） 【答案】 5 5 【分析】一根铁丝焊成一个正方体框架，则铁丝的长度等于正方体棱长总和；正方体棱长总和＝棱长×12，则棱长＝棱长总和÷12，据此求出焊成正方体的棱长。 一根铁丝焊成一个长方体，则铁丝的长度等于长方体棱长总和；长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4；则高＝棱长总和÷4－长－宽，据此求出焊成长方体的高。 【详解】60÷12＝5（cm） 60÷4－6－4 ＝15－6－4 ＝9－4 ＝5（cm） 一根铁丝长60cm，如果焊成一个正方体框架，棱长是5cm。如果焊成一个长6cm，宽4cm的长方体框架，高是5cm。 【练习2】（24-25五年级下·甘肃陇南·期中）一捆彩带长10米，现在要捆扎一种礼盒（如下图）。如果打结处的彩带长23厘米，那么这捆彩带最多可以捆扎几个这样的礼盒？ 【答案】8个 【分析】一个礼盒需要的彩带长度＝礼盒的长×2＋宽×2＋高×4＋接头处的长度；再用彩带的总长度÷一个礼盒需要彩带的长度，即可解答，注意单位名数的换算，结果用“去尾法”解答。 【详解】18×2＋12×2＋10×4＋23 ＝36＋24＋40＋23 ＝60＋40＋23 ＝100＋23 ＝123（厘米） 10米＝1000厘米 1000÷123≈8（个） 答：这捆彩带最多可以捆扎8个这样的礼盒。 题型三、长方体和正方体的展开图 【例题3】（22-23五年级下·广东佛山·期末）下面图形沿着虚线折叠，不能围成长方体的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方体的特征，长方体的6个面都是长方形（同时情况有两个相对的面是正方形），相对面的面积相等。据此解答即可。 【详解】 A．根据长方体展开图的特征可知：沿虚线折叠后能围成长方体； B．沿虚线折叠后能围成长方体； C．不能围成长方体，因为它相对的面不相等； D．沿虚线折叠后能围成长方体。 故答案为：C 【点睛】此题考查的目的是理解掌握长方体展开图的特征及应用。 【练习3】（24-25五年级下·湖南·期末）将下边这个展开图围成正方体后，与F相对的面是( )，与D相对的面是( )。 【答案】 C A 【分析】根据正方体展开图找相对面的规律可知：相对的面在展开图中不相邻，且可通过“隔一相对”的规律判断，通过观察展开图，假设将面C视为正方体的“前面”，则与C相邻的面是B（上面）、D（右面）、E（下面）、A（左面），剩下的面就是F，也就是后面；同理将面D视为正方体的“前面”，也可得出相对的面是哪个面，据此即可解答。 【详解】通过观察假设面C为正方体的“前面”，则与C相邻的面是B（上面）、D（右面）、E（下面）、A（左面），则正方体的后面就是F，所以与F相对的面是C；假设面D为正方体的“前面”，则与D相邻的面是B（上面）、F（右面）、E（下面）、C（左面），则正方体的后面就是A，所以与D相对的面是A。 将下边这个展开图围成正方体后，与F相对的面是C，与D相对的面是A。 题型四、长方体和正方体表面积的计算 【例题4】（24-25五年级下·广东东莞·期中）桌面上放着一个正方体木块，棱长是4厘米，这个正方体的底面积是( )平方厘米，表面积是( )平方厘米。 【答案】 16 96 【分析】正方体的底面积＝棱长×棱长，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，据此代入数据列式计算即可。 【详解】4×4＝16（平方厘米） 4×4×6 ＝16×6 ＝96（平方厘米） 桌面上放着一个正方体木块，棱长是4厘米，这个正方体的底面积是16平方厘米，表面积是96平方厘米。 【练习4】（24-25五年级下·山东济宁·期中）计算下面各立体图形的表面积。 【答案】600平方厘米；432平方分米 【分析】对于正方体，根据正方体表面积公式S＝6a2（a为棱长）计算；对于长方体，依据长方体表面积公式S＝（ab＋ah＋bh）×2（a为长，b为宽，h为高）计算，结合题目中正方体棱长、长方体长、宽、高的数据逐步运算，据此解答。 【详解】正方体表面积：正方体棱长a＝10厘米，根据公式S＝6a2，可得： 6×102 ＝6×100 ＝600（平方厘米） 长方体表面积：长方体长a＝6分米，宽b＝6分米，高h＝15分米， 根据公式S＝（ab＋ah＋bh）×2，可得： （6×6＋6×15＋6×15）×2 ＝（36＋90＋90）×2 ＝216×2 ＝432（平方分米） 答：正方体表面积为600平方厘米，长方体表面积为432平方分米。 题型五、长方体和正方体表面积的应用 【例题5】（24-25五年级下·新疆阿克苏·期末）徐老师用纸板做了一个棱长是4分米的正方体纸箱（无盖），做这个纸箱至少需要多少平方分米的纸板？ 【答案】80平方分米 【分析】无盖正方体纸箱只有5个面，求纸板的面积相当于求正方体5个面的面积和，纸板的面积＝棱长×棱长×5，据此列式解答。 【详解】4×4×5＝80（平方分米） 答：做这个纸箱至少需要80平方分米的纸板。 【练习5】（24-25五年级下·河北唐山·期中）纸袋无污染、无毒，可重复利用。五一班做了一批如下图的纸袋（无盖），做一个这样的纸袋至少需要多少平方分米的纸？（接口处忽略不计） 【答案】43平方分米 【分析】无盖纸袋可看作一个缺少上面的长方体，所以需要计算这个长方体5个面（底面、前后面、左右面）的面积之和。即S＝ab＋2ah＋2bh（a为长，b为宽，h为高）。从图中可知，长方体纸袋的长a＝3分米，宽b＝1分米，高h＝5分米。把数据代入公式计算即可。 【详解】3×1＋3×5×2＋1×5×2 ＝3＋30＋10 ＝43（平方分米） 答：做一个这样的纸袋至少需要43平方分米的纸。 题型六、组合体的表面积（长方体、正方体） 【例题6】（24-25五年级下·河北唐山·期中）计算组合图形的表面积（单位：cm） 【答案】124 【分析】这个组合图形由一个大长方体和一个小正方体组合而成，要考虑它们重合部分面积的情况，所以组合图形的表面积等于大长方体的表面积加上小正方体4个面的面积。长方体表面积公式(其中a为长，b为宽，h为高)，小正方体一个面的面积公式为（其中a为正方体的棱长）。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝88 小正方体4个面的面积： 组合图形的表面积：88＋36＝124 因此组合图形的表面积为124。 【练习6】（22-23五年级下·湖南衡阳·期中）求出下面几何体的表面积。 【答案】216cm2 【分析】观察图形可知，这个几何体虽然切去了一块，但是通过面的平移可得：这个几何体的表面积等于棱长为6cm的正方体的表面积。正方体的表面积＝棱长×棱长×6，据此解答。 【详解】6×6×6＝216（cm2） 则这个几何体的表面积是216cm2。 题型七、立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 【例题7】（24-25五年级下·河北保定·期末）将一个长是9厘米、宽是6厘米、高是3厘米的长方体切成3个体积相等的小长方体，表面积最多可以增加（    ）平方厘米。 A．72 B．324 C．216 D．420 【答案】C 【分析】要使表面积增加得最多，就要平行于长方体最大的面进行切割。长方体的三个面的面积分别为，长×宽：9×6＝54（平方厘米）；长×高：9×3＝27（平方厘米）；宽×高：6×3＝18（平方厘米）。所以最大的面是长×宽的面，面积为54平方厘米。将长方体切成3个体积相等的小长方体，需要切2次，每切一次增加2个面，所以一共增加2×2＝4个面。每个面的面积都是54平方厘米，所以增加的表面积为54×4＝216（平方厘米）。 【详解】9×6＝54（平方厘米） 9×3＝27（平方厘米） 6×3＝18（平方厘米） 54＞27＞18 长方体切成3个体积相等的小长方体，需要切2次，每切一次增加2个面。 2×2＝4（个） 54×4＝216（平方厘米） 表面积最多可以增加216平方厘米。 故答案为：C 【练习7】（24-25五年级下·河北张家口·期中）把4个棱长为2厘米的小正方体按图①组合，表面积较原来4个小正方体表面积之和少( )平方厘米；按图②组合，表面积较原来4个小正方体表面积之和少( )平方厘米。 【答案】 24 32 【分析】按图①组合，一共有3个拼接处，每个拼接处有2个小正方形面，3个拼接处有6个小正方形面，表面积较原来4个小正方体表面积之和减少3×2＝6个正方形面，根据棱长×棱长×6求出减少的面积即可； 按图②组合，一共有4个拼接处，每个拼接处有2个小正方形面，一共减少了4×2＝8个正方形面，求出一个面的面积，再乘8即可解答。 【详解】3×2＝6（个） 2×2×6 ＝4×6 ＝24（平方厘米） 4×2＝8（个） 2×2×8 ＝4×8 ＝32（平方厘米） 所以小正方体按图①组合，表面积较原来4个小正方体表面积之和少24平方厘米，按图②组合，表面积较原来4个小正方体表面积之和少32平方厘米。 题型八、体积和体积单位的认识 【例题8】（23-24五年级下·重庆丰都·期末）这学期我们学过体积单位，常用的体积单位用字母分别表示为( )、( )和( )。 【答案】 m3 dm3 cm3 【分析】常用的体积单位有立方米，立方分米和立方厘米，用字母表示可以分别写成m3、dm3、cm3。 【详解】常用的体积单位用字母分别表示为m3、dm3、cm3。 【练习8】（24-25五年级下·福建福州·期中）下面物品中，体积最接近1dm3的是（    ）。 A．一个校徽 B．一本辞海字典 C．一个橡皮擦 D．一台洗衣机 【答案】B 【分析】要判断哪个物品体积最接近1dm3，需先对各选项物品的体积大小有基本认知，结合体积单位1dm3（可想象为棱长1dm的正方体体积）的实际大小，对比各物品体积。 【详解】A．校徽很薄，体积远小于1dm3，一般用平方厘米衡量面积，排除。 B．一本《辞海》字典，长、宽、厚大概在几分米的尺度，其体积接近1dm3。 C．橡皮擦体积较小，通常以立方厘米为单位，远小于1dm3，排除。 D．洗衣机体积很大，远大于1dm3，一般用立方米或立方分米衡量，但数值远大于1，排除。 所以体积最接近1dm3的是一本辞海字典。 故答案为：B 题型九、长方体和正方体体积的计算 【例题9】（24-25五年级下·新疆阿克苏·期末）计算正方体的体积。 【答案】216m3 【分析】由图可知，该正方体的棱长是6m，根据“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”计算出该正方体的体积。 【详解】6×6×6 ＝36×6 ＝216（m3） 所以该正方体的体积为216m3。 【练习9】（24-25五年级下·湖南长沙·期末）求长方体的体积。 【答案】50cm3 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，求出它的体积。 【详解】8×2.5×2.5 ＝20×2.5 ＝50（cm3） 长方体的体积是50cm3。 题型十、长方体和正方体体积的应用 【例题10】（24-25五年级下·甘肃天水·期中）把一块棱长8厘米的正方体钢坯，锻造成长16厘米，宽4厘米的长方体钢板，这块钢板有多厚？（损耗不计） 【答案】8厘米 【分析】根据正方体体积公式：（其中是正方体的棱长），代入数值即可求出正方体的体积，再根据长方体的体积公式：（其中是长，是宽，是高），即可求出这块钢板有多厚。 【详解】正方体的体积： （立方厘米） 这块钢板的厚度： （厘米） 答：这块钢板的厚度是8厘米。 【练习10】（24-25五年级下·湖南怀化·期末）一个长方体容器（如图），长40厘米，宽25厘米，高20厘米，里面的水深10厘米；把这个容器盖紧，使最小的面朝下，这时水深多少厘米？ 【答案】20厘米 【分析】利用长方体的体积公式求出水的体积，分析长方体的每个面，找到其面积最小的面，以最小面为底面；那么水深就是水的体积除以最小的面的面积即可。 【详解】（立方厘米） （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 1000＞800＞500，则最小的面为的面； （厘米） 答：使最小的面朝下，这时水深20厘米。 题型十一、体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米） 【例题11】（24-25五年级下·江西宜春·期中）7.05立方米＝( )立方分米   2.13立方分米＝( )立方分米( )立方厘米 【答案】 7050 2 130 【分析】1立方米＝1000立方分米，1立方分米＝1000立方厘米，大单位转换为小单位需乘进率，小单位转换为大单位需除以进率。据此解答。 【详解】7.05×1000＝7050（立方分米） 2.13立方分米＝2立方分米＋0.13立方分米，0.13×1000＝130（立方厘米），所以2.13立方分米＝2立方米130立方厘米 【练习11】（23-24五年级下·四川南充·期末）＝( )          ＝( ) 【答案】 250000 0.7 【分析】小单位换大单位除以进率，大单位换小单位乘上进率。据此进行单位换算即可。 【详解】（1）1＝1000000，因为0.25×1000000＝250000，所以＝250000； （2）1＝1000，因为700÷1000＝0.7，所以＝0.7。 题型十二、体积的等积变形（长方体、正方体） 【例题12】（23-24五年级下·河北邯郸·期中）把两块棱长为1分米的正方体方钢熔铸成一根横截面面积是20平方厘米的长方体钢材，这根钢材的长是多少分米？ 【答案】10分米 【分析】根据题意，两块正方体方钢的体积等于长方体钢材的体积。先根据正方体的体积公式V＝a3，求出一块正方体方钢的体积，再乘2，即是两块正方体方钢的体积；再根据长方体的高h＝V÷S，用两块正方体方钢的体积除以长方体钢材的横截面面积，即是这根钢材的长。计算时，注意单位名数的换算。 【详解】20平方厘米＝0.2平方分米 1×1×1×2＝2（立方分米） 2÷0.2＝10（分米） 答：这根钢材的长是10分米。 【练习12】（24-25五年级下·河南开封·期中）某车间工人王叔叔为了打造一种零件，把一个棱长为10厘米的正方体铁块锻造成了一个长方体铁块，这个长方体的底面积是40平方厘米，它的高是多少厘米？ 【答案】25厘米 【分析】将正方体锻造成长方体时，体积保持不变。根据，求出正方体的体积，再根据的逆运算，用体积除以底面积即可得解。 【详解】（立方厘米） （厘米） 答：它的高是25厘米。 题型十三、立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 【例题13】（24-25五年级下·云南文山·期末）把5个棱长为3厘米的正方体拼成一个长方体。这个长方体的体积是( )立方厘米，表面积是( )平方厘米。 【答案】 135 198 【分析】将5个棱长3厘米的正方体拼成长方体，体积等于5个正方体体积之和。表面积需根据长方体拼接后的尺寸计算，拼接方式为排成一行，尺寸为长15厘米、宽3厘米、高3厘米。根据，，分别代入数据计算即可 【详解】（立方厘米） （平方厘米） 把5个棱长为3厘米的正方体拼成一个长方体。这个长方体的体积是135立方厘米，表面积是198平方厘米。 【练习13】（24-25五年级下·河北邢台·期中）一根5米长的方钢，把它横截成4段时，表面积增加120平方厘米，原来方钢的体积是( )立方厘米。 【答案】10000 【分析】先把5米化成500厘米，把这根长方体方钢截成4段，表面积增加的是（4－1）×2个截面的面积，由此用增加的120平方厘米除以增加的截面的个数可以求出底面积，然后根据长方体的体积＝底面积×高，代入数据解答即可。 【详解】5米＝500厘米 （4－1）×2 ＝3×2 ＝6（个） 120÷6×500 ＝20×500 ＝10000（立方厘米） 所以原来方钢的体积是10000立方厘米。 题型十四、组合体的体积（长方体、正方体） 【例题14】（24-25五年级下·海南省直辖县级单位·期中）计算下面组合图形的体积。（单位：分米） 【答案】205立方分米 【分析】组合图形的体积等于棱长为5分米的正方体的体积加上长为10分米、宽为8分米、高为1分米的长方体的体积，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可。 【详解】5×5×5＋8×10×1 ＝25×5＋80 ＝125＋80 ＝205（立方分米） 组合图形的体积是205立方分米。 【练习14】（24-25五年级下·贵州铜仁·期末）计算下图的体积。（单位：cm） 【答案】700cm3 【分析】观察可知，该立体图形可看作是由一个长是7cm，宽是8cm，高是5cm的长方体和一个长是12cm，宽是7cm，高是5cm的长方体组成，根据，代入数据计算即可。 【详解】 （cm3） 题型十五、容积和容积单位的认识 【例题15】（24-25五年级下·海南海口·周测）计量容积，一般就用( )。计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位( )和( )，也可以写成( )和( )。 【答案】 体积单位 升 毫升 L mL 【详解】容器所能容纳物体的体积，通常叫作它的容积。计量容积，一般就用体积单位。计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位升和毫升，也可以写成L和mL，1L＝1000mL，容积单位和体积单位的关系：1L＝1dm3，1mL＝1cm3。 【练习15】（24-25五年级下·河北衡水·期末）一个水瓶最多可装水500mL，我们就说这个水瓶的容积是500mL。( ) 【答案】√ 【分析】根据容积的定义，容器所能容纳物体的最大体积称为容积。题目中水瓶最多装水500mL，即容纳液体的最大体积，因此属于容积的范畴。 【详解】容积是指容器内部所能容纳物体的最大体积，题目中水瓶最多可装500mL的水，说明其内部空间的最大容量为500mL，因此该水瓶的容积是500mL。 故答案为：√ 题型十六、体积、容积单位的选择 【例题16】（24-25五年级下·云南玉溪·期末）在括号里填上合适的单位名称。 一本《新华字典》的体积大约是0.6( )。 一个饮料瓶的容积是350( )。 【答案】 立方分米/dm3 毫升/mL 【分析】棱长1分米的正方体，体积是1立方分米，大约是2个拳头的大小；棱长1厘米的正方体，体积是1立方厘米，大约是1个手指头的大小，1立方厘米＝1毫升，据此根据体积和容积单位的认识，以及生活经验进行填空。 【详解】一本《新华字典》的体积大约是0.6立方分米。 一个饮料瓶的容积是350毫升。 【练习16】（24-25五年级下·新疆巴音郭楞·期末）在括号里填上合适的容积或体积单位。 一个保温杯的容积约为500( )。一块橡皮的体积约为8( )。 一台冰箱的体积约是0.3( )。一桶花生油大约5( )。 【答案】 毫升/mL 立方厘米/cm3 立方米/m3 升/L 【分析】常见的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米，1立方厘米相当于一个手指尖的体积，一个粉笔盒的体积接近1立方分米，棱长为1米的正方体的体积是1立方米；常见的容积单位有升、毫升，1升＝1立方分米，据此根据对体积和容积单位大小的认识选择合适的单位即可。 【详解】一个保温杯的容积约为500毫升。 一块橡皮的体积约为8立方厘米。 一台冰箱的体积约是0.3立方米。 一桶花生油大约5升。 题型十七、体积与容积单位间的进率及换算 【例题17】（24-25五年级下·云南德宏·期末）6.05dm3＝( )L＝( )mL。 【答案】 6.05 6050 【分析】1dm3＝1L；1dm3＝1000mL；高级单位换算低级单位，乘进率；低级单位换算高级单位，除以进率，据此解答。 【详解】6.05dm3＝6.05L 6.05×1000＝6050（mL） 所以6.05dm3＝6.05L＝6050mL 【练习17】（24-25五年级下·湖北襄阳·期末）0.9升＝( )立方分米＝( )立方厘米    2500毫升＝( )升 【答案】 0.9 900 2.5// 【分析】1升＝1立方分米，1立方分米＝1000立方厘米，1升＝1000毫升，根据高级单位转化为低级单位乘进率，低级单位转化为高级单位除以进率，据此解答。 【详解】（立方分米） （立方厘米） （升）（或升或升） 0.9升＝0.9立方分米＝900立方厘米 2500毫升＝2.5（或或）升 题型十八、长方体、正方体的容积 【例题18】（24-25五年级下·四川乐山·期中）劳动镇先锋村，要建一个长方体蓄水池长8米，宽4.5米，深2米。这个蓄水池建好后，最多能蓄水多少立方米？ 【答案】72立方米 【分析】本题要求计算长方体蓄水池的容积，即长方体蓄水池盛水的体积。根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，将已知数据代入即可求解。 【详解】8×4.5×2 ＝36×2 ＝72（立方米） 答：最多能蓄水72立方米。 【练习18】（23-24五年级下·新疆博尔塔拉·期末）如图，妈妈用一条长82厘米的彩带绑在一个正方体礼盒上，已知结头长18厘米，这个礼品盒的容积是多少立方厘米？（盒子厚度忽略不计） 【答案】512立方厘米 【分析】从图中可知，捆绑这个正方体礼盒所用的彩带长度相当于正方体8条棱的长度之和。先用彩带的全长减去结头用的长度，即是捆绑这个礼盒所用彩带的长度，再除以8，即可求出正方体的棱长；根据正方体的体积（容积）公式V＝a3，代入数据计算，求出这个礼品盒的容积。 【详解】正方体的棱长： （82－18）÷8 ＝64÷8 ＝8（厘米） 正方体的容积： 8×8×8 ＝64×8 ＝512（立方厘米） 答：这个礼品盒的容积是512立方厘米。 题型十九、不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 【例题19】（24-25五年级下·湖南长沙·期中）将一些鹅卵石放入一个盛有水的、底面积为36平方分米的长方体鱼缸中，完全浸没后，水上升了5厘米。这些鹅卵石的体积有多大？ 【答案】18立方分米 【分析】鹅卵石的体积等于水面上升部分体积，根据不规则物体的体积＝容器底面积×水面变化高度，代入数据，即可解答，注意单位名数的统一。 【详解】5厘米＝0.5分米 36×0.5＝18（立方分米） 答：这些鹅卵石的体积有18立方分米。 【练习19】（24-25五年级下·河南焦作·期中）小文到外地旅游时捡了一块石头回来，他想测算一下这块石头的体积。首先找来一个长方体玻璃缸，从里面量长是22厘米，宽是10厘米，高是18厘米，然后加水，水深15厘米。再将这块石头放入水中（完全浸没），水面上升到15.5厘米。这块石头的体积是多少立方厘米？ 【答案】110立方厘米 【分析】根据题意可知，水面升高部分体积等于石头的体积，根据长方体体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。 【详解】22×10×（15.5－15） ＝220×0.5 ＝110（立方厘米） 答：这块石头的体积是110立方厘米。 考点练习 练习一、长方体和正方体的认识及特征 1．（24-25五年级下·河北邢台·期中）数学活动课上，老师把同学们画的一个长方体的3条棱展示给大家看，不能确定长方体形状和大小的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱，展示的3条棱分别是三组棱中的3条即可。 【详解】A．展示的3条棱有2条是同一组中的棱，不能确定长方体形状和大小； B．展示的3条棱分别是三组棱中的3条，能确定长方体形状和大小； C．展示的3条棱分别是三组棱中的3条，能确定长方体形状和大小； D．展示的3条棱分别是三组棱中的3条，能确定长方体形状和大小。 不能确定长方体形状和大小的是。 故答案为：A 2．（22-23五年级下·广东江门·期中）关于长方体和正方体的关系，表示正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】长方体是由六个长方形围成的立体图形，两两相对的面是两个相等的长方形；而正方体是特殊的长方体，即围成正方体的六个面都是相等的正方形。则正方体是特殊的长方体，长方体包含正方体。据此可得出答案。 【详解】正方体是一种特殊的长方体，则长方体包含正方体。 故答案为：B 3．（24-25五年级下·河北邢台·期末）长方体和正方体都有8个面、12条棱、6个顶点。( ) 【答案】× 【分析】根据长方体和正方体的特征，长方体有6个面、12条棱、8个顶点；正方体作为特殊的长方体，同样具备6个面、12条棱、8个顶点。据此解答。 【详解】由分析可得，长方体和正方体都有6个面、12条棱、8个顶点，所以原题说法错误。 故答案为：× 4．（24-25五年级下·新疆阿克苏·期末）李师傅用木棒做一个长方体框架，他已经架好了三根（如图）。这三根木棒的长度分别是30cm、10cm和10cm，做这个长方体框架共需要( )根30cm长的木棒。这个长方体框架做好后，共有( )个面，其中有( )个面是正方形。 【答案】 4 6 2 【分析】长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同，长方体有12条棱，按长度可分为3组，每一组有4条棱，长方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱，3条棱分别叫作长方体的长、宽、高。 【详解】需要4根30cm长的木棒。 长方体有6个面。 长方体的宽和高都是10cm，所以有2个面是正方形。 李师傅用木棒做一个长方体框架，他已经架好了三根。这三根木棒的长度分别是30cm、10cm和10cm，做这个长方体框架共需要4根30cm长的木棒。这个长方体框架做好后，共有6个面，其中有2个面是正方形。 5．（23-24五年级下·湖北十堰·期中）想一想、选一选。 下图分别是长方体或正方体一个顶点处的3条棱。（单位： cm） 图1                   图2                   图3 请从以下图形中选择6个面（可重复选择），围出相应的长方体或正方体。 (1)围成图1应选择( )个( )号、( )个( )号和( )个( )号图形。 (2)围成图2应选择( )。 (3)围成图3应选择( )。 【答案】(1) 2 ③ 2 ⑤ 2 ② (2)4个⑤号图形， 2个⑥号图形 (3)6个⑥号图形 【分析】长方体有六个面都是长方形，前后面、左右面、上下面两两相对，十二条棱中有三条长三条宽三条高。正方体的六个面都是正方形，十二条棱都相等。据此解答。 【详解】（1）根据图1可知长方体的长宽高分别是9、7、4，围成长方体需要③号2个、⑤号2个、②号2个分别对应前后面、左右面、上下面。 （2）根据图2可知长方体的长宽高分别是7、7、4，围成长方体需要4个⑤号图形、 2个⑥号图形分别对应前后左右面、上下面。 （3）根据图3可知正方体的棱长是7，围成正方体需要6个⑥号图形。 练习二、长方体和正方体有关棱长的应用 1．（24-25五年级下·河北邯郸·期末）用一根( )cm的铁丝可以正好做一个长6cm、宽5cm、高3cm的长方体框架。（损耗忽略不计） 【答案】56 【分析】根据长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4即可求出这个长方体的棱长和，即为这根铁丝的长度。 【详解】（6＋5＋3）×4 ＝14×4 ＝56（cm） 即用一根56cm的铁丝可以正好做一个长6cm、宽5cm、高3cm的长方体框架。 2．（23-24五年级下·河北邯郸·期末）用一根60cm长的铁丝，恰好可以焊成一个长6cm、宽4cm、高( )cm的长方体框架。 【答案】5 【分析】由题意可知，长方体框架的棱长和是60厘米。由“长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4”可推导出：高＝长方体的棱长和÷4－长－宽。据此解答。 【详解】60÷4－6－4 ＝15－6－4 ＝9－4 ＝5（厘米） 所以高是5厘米。 3．（23-24五年级下·重庆垫江·期末）一个长方体的长是10厘米，宽是8厘米，高是5厘米，这个长方体的棱长总和是( )厘米。 【答案】92 【分析】根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，列式计算即可。 【详解】（10＋8＋5）×4 ＝23×4 ＝92（厘米） 这个长方体的棱长总和是92厘米。 4．（24-25五年级下·福建龙岩·期中）在长是10dm，宽是6dm，高是3dm的长方体木块中削一个最大的正方体，那么这个正方体的棱长和是( )dm。 【答案】36 【分析】长方体木块的长、宽、高分别为10dm、6dm、3dm。由于正方体的12条棱长度都相等，若要在长方体中削出最大的正方体，其棱长必须与长方体的最小长度相等。3dm＜6dm＜10dm，因此最大正方体的棱长为3dm。正方体的棱长和公式为：棱长和＝棱长×12，把数据代入公式计算即可。 【详解】3dm＜6dm＜10dm 所以最大正方体的棱长为3dm。 3×12＝36（dm） 这个正方体的棱长和是36dm。 5．（22-23五年级下·山东济宁·期中）用一根铁丝围成一个长方体，它的长是14分米，宽是8分米，高是17分米。如果把这根铁丝改围成一个正方体，这个正方体的棱长是( )分米。 【答案】13 【分析】根据题意，用一根铁丝围成一个长方体，那么铁丝的长度等于长方体的棱长总和；根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，求出这根铁丝的长度；如果把这根铁丝改围成一个正方体，则铁丝的长度等于正方体的棱长总和；根据正方体的棱长总和＝棱长×12可知，正方体的棱长＝棱长总和÷12，代入数据计算，求出这个正方体的棱长。 【详解】（14＋8＋17）×4 ＝39×4 ＝156（分米） 156÷12＝13（分米） 这个正方体的棱长是13分米。 【点睛】本题考查长方体、正方体棱长总和公式的灵活运用，明确用铁丝围成长方体或正方体，那么铁丝的长度等于长方体或正方体的棱长总和。 6．（23-24五年级下·贵州黔东南·期末）妈妈要包装一个礼物(如图)，礼盒是一个长24厘米，宽8厘米的长方体，加上打结的20厘米彩带，共用了124厘米长的彩带。这个长方体礼盒的高是多少厘米？ 【答案】10厘米 【分析】根据题意和图形可知，所需彩带的长度＝长×2＋宽×2＋高×4＋打结用的长度，由此用124－24×2－8×2－20就求出了4条高之和，再除以4，即可求出高。据此解答。 【详解】（124－24×2－8×2－20）÷4 ＝（124－48－16－20）÷4 ＝40÷4 ＝10（厘米） 答：这个长方体礼盒的高是10厘米。 7．（24-25五年级下·新疆喀什·期中）用丝带包装一个正方体礼品盒如图所示，礼盒的棱长是20厘米，接头处需30厘米长的丝带，包装一个这样的礼品盒至少需要多长的丝带？ 【答案】190厘米 【分析】观察可知，包装一个这样的礼品盒，即求8条20厘米长的丝带与30厘米长的接头的和。 【详解】 （厘米） 答：包装一个这样的礼品盒至少需要190厘米长的丝带。 练习三、长方体和正方体的展开图 1．（24-25五年级下·湖北黄石·期末）下面图形中，（    ）不是正方体的展开图。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方体11种展开图进行分析，是正方体11种展开图里的情况即可。 【详解】A．1－4－1型正方体展开图； B．2－2－2型正方体展开图； C．2－3－1型正方体展开图； D．不是正方体展开图。 不是正方体的展开图。 故答案为：D 2．（24-25五年级下·山东济宁·期中）下面是一个长方体的展开图。 原来这个长方体的长是( )cm，宽是( )cm，高是( )cm。 【答案】 15 6 5 【分析】 长方体上下面相对，左右面相对，前后面相对，相对的面完全一样，如图，上下面的长和宽是长方体的长和宽，看图可知，长×2＋高×2＝40cm，因此高＝（40－长×2）÷2，据此解答。 【详解】（40－15×2）÷2 ＝（40－30）÷2 ＝10÷2 ＝5（cm） 原来这个长方体的长是15cm，宽是6cm，高是5cm。 3．（24-25五年级下·湖南衡阳·期中）下面( )号图形是无盖的正方体纸盒的展开图。 【答案】③ 【分析】根据正方体11种展开图进行分析，无盖的正方体纸盒只有5个面，再添1个正方形，只要能组成正方体11种展开图里的情况即可。 【详解】①有6个面，1－4－1型正方体展开图，不是无盖的正方体纸盒的展开图； ②再添1个正方形，无论添到什么位置，都不是正方体展开图，排除； ③再添1个正方形，可以组成1－4－1型正方体展开图，是无盖的正方体纸盒的展开图； ④再添1个正方形，无论添到什么位置，都不是正方体展开图，排除。 即③号图形是无盖的正方体纸盒的展开图。 4．（24-25五年级下·广东韶关·期中）2022年6月5日神舟十四号载人飞船成功发射，陈冬、刘洋、蔡旭哲3名航天员领命出征，即将开启为期6个月的飞行任务。如图是一个正方体神14成功发射的展开图，将它折叠成正方体后，与“成”字相对面上的字是“( )”，与“神”字相对面上的字是“( )”。 【答案】 发 射 【分析】 根据正方体展开图的可知，符合正方体展开图的“1－4－1”型，叠成正方体后，“神”对面上的字是“射”；“14”对面上的字是“功”；“成”的对面上的字是“发”；据此解答。 【详解】由分析可知： 2022年6月5日神舟十四号载人飞船成功发射，陈冬、刘洋、蔡旭哲3名航天员领命出征，即将开启为期6个月的飞行任务。如图是一个正方体神14成功发射的展开图，将它折叠成正方体后，与“成”字相对面上的字是“发”，与“神”字相对面上的字是“射”。 练习四、长方体和正方体表面积的计算 1．（24-25五年级下·江西抚州·期末）一个正方体纸盒底面的周长为24dm，这个纸盒的棱长是( )，表面积是( )。 【答案】 6dm/6分米 216dm2/216平方分米 【分析】因为正方体的6个面都是完全一样的正方形，根据正方形的边长＝周长÷4，可以求出正方体的棱长；再正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据计算，即可求出正方体的表面积。 【详解】24÷4＝6（dm） 6×6×6 ＝36×6 ＝216（dm2） 所以这个纸盒的棱长是6dm，表面积是216dm2。 2．（24-25五年级下·江西赣州·期中）一个正方体的棱长总和是72厘米，这个正方体的表面积是( )。 【答案】216平方厘米/216cm2 【分析】正方体有12条棱长，用棱长总和除以12，求出正方体的棱长，再根据公式：正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据计算，即可求出这个正方体的表面积。 【详解】72÷12＝6（厘米） 6×6×6＝216（平方厘米） 即这个正方体的表面积是216平方厘米。 3．（23-24五年级下·天津河西·期末）一个长方体，它的长是9cm，宽是6cm，高是3cm，这个长方体的棱长和是( )cm，表面积是( )cm2。 【答案】 72 198 【分析】根据长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4，即（9＋6＋3）×4＝72（cm），根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，即（9×6＋9×3＋6×3）×2＝198（），据此解答。 【详解】由分析可知： （9＋6＋3）×4 ＝18×4 ＝72（cm） （9×6＋9×3＋6×3）×2 ＝（54＋27＋18）×2 ＝99×2 ＝198（） 所以这个长方体的棱长和是72cm，表面积是198cm2。 4．（24-25五年级下·河北邢台·期中）一个长方体长10厘米、宽5厘米、高3厘米。这个长方体最大面的面积是( )平方厘米，最小面的面积是( )平方厘米，这个长方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】 50 15 190 【分析】长方体有6个面，相对的面面积相等。这个长方体中由长和宽组成面的面积最大，由宽和高组成面的面积最小，根据长方形的面积＝长×宽，代入计算即可求出这个长方体最大面的面积和最小面的面积；长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算，即可求出这个长方体的表面积。 【详解】10×5＝50（平方厘米） 5×3＝15（平方厘米） （10×5＋10×3＋5×3）×2 ＝（50＋30＋15）×2 ＝95×2 ＝190（平方厘米） 即这个长方体最大面的面积是50平方厘米，最小面的面积是30平方厘米，这个长方体的表面积是190平方厘米。 5．（23-24五年级下·湖南长沙·期末）计算下面图形的表面积。 【答案】248m2；13.5cm2 【分析】长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体表面积＝棱长×棱长×6，据此列式计算。 【详解】（10×4＋10×6＋4×6）×2 ＝（40＋60＋24）×2 ＝124×2 ＝248（m2） 1.5×1.5×6＝13.5（cm2） 长方体表面积是248m2，正方体表面积是13.5cm2。 练习五、长方体和正方体表面积的应用 1．（24-25五年级下·河北廊坊·期中）将一个长10cm、宽5cm、高15cm的长方体饼干盒四周都贴上商标纸（上、下面不贴），需要( )cm2的商标纸。 【答案】450 【分析】上、下面不贴，求商标纸的面积相当于求前、后、左、右，4个面的面积和，商标纸的面积＝长×高×2＋宽×高×2，据此列式解答。 【详解】10×15×2＋5×15×2 ＝300＋150 ＝450（cm2） 需要450cm2的商标纸。 2．（24-25五年级下·江西九江·期中）做一个长方体无盖玻璃鱼缸，长8dm，宽4dm，高5dm，做这个鱼缸至少需要( )dm2。 【答案】152 【分析】明确长方体无盖鱼缸只有5个面，即一个底面和四个侧面，然后根据鱼缸的表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，加即可得到所需玻璃的面积。 【详解】8×4＋（8×5＋4×5）×2 ＝8×4＋（40＋20）×2 ＝8×4＋60×2 ＝32＋120 ＝152（） 做这个鱼缸至少需要152。 3．（24-25五年级下·海南海口·期中）张叔叔准备用角铁焊接一个棱长6dm的正方体框架，并在各个面上钉上铁皮，做这个正方体至少需要角铁( )dm，至少需要铁皮( )dm2。 【答案】 72 216 【分析】求需要角铁的长度，就是求正方体框架的棱长总和，根据正方体棱长总和公式：棱长总和＝棱长×12，代入数据，求出需要角钢的长度；求需要铁皮的面积，就是求正方体框架的表面积，根据正方体表面积公式：表面积＝棱长×棱长×6，代入数据，即可解答。 【详解】6×12＝72（dm） 6×6×6 ＝36×6 ＝216（dm2） 张叔叔准备用角铁焊接一个棱长6dm的正方体框架，并在各个面上钉上铁皮，做这个正方体至少需要角铁72dm，至少需要铁皮216dm2。 4．（24-25五年级下·海南三亚·期中）学校要粉刷新教室。已知教室的长是9米，宽是7米，高是3米，门窗的面积是12.5平方米。如果每平方米需要花18元粉刷费，粉刷这个教室需要花费多少钱？ 【答案】2637元 【分析】根据题意，要粉刷新教室的墙壁和天花板，即粉刷的是长方体的上面、前后面、左右面共5个面；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这5个面的面积之和，再减去门窗的面积，就是需粉刷的面积；最后用每平方米需花的粉刷费乘粉刷的面积，即可求出粉刷这个教室需要花费的钱数。 【详解】9×7＋9×3×2＋7×3×2 ＝63＋54＋42 ＝159（平方米） 159－12.5＝146.5（平方米） 18×146.5＝2637（元） 答：粉刷这个教室需要花费2637元。 5．（23-24五年级下·四川凉山·期末）2024年7月底凉山国际火把节的庆祝仪式需要用正方体的灯笼装饰街道，焊接一个灯笼框架要用去一根长240分米的铁丝（不计损耗），再给这个正方体框架的5个表面糊上彩纸，至少需要多少平方分米的彩纸？ 【答案】2000平方分米 【分析】由题意可知，240分米是正方体的棱长总和，根据的逆运算，用240除以12可得棱长，再根据正方体表面积的特征，用棱长乘棱长乘5，即可得解。 【详解】（分米） （平方分米） 答：至少需要2000平方分米的彩纸。 练习六、组合体的表面积（长方体、正方体） 1．（22-23五年级下·湖北荆州·期末）计算下图的表面积。（单位：分米） 【答案】844平方分米 【分析】根据图示，组合图形的表面积＝长方体表面积＋正方体表面积，依据长方体表面积公式：长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，因为正方体有一个面是与长方体相接的，所以只有4个面，所以，可以直接计算4个面的面积。最后将得出的结果相加即可。 【详解】长方形的表面积： （15×10＋15×8＋10×8）×2 ＝（150＋120＋80）×2 ＝350×2 ＝700（平方分米） 正方体的表面积： 6×6×4 ＝36×4 ＝144（平方分米） 700＋144＝844（平方分米） 图形的表面积为844平方分米。 2．（24-25五年级下·云南昭通·期中）计算下面图形的表面积。 【答案】552cm2 【分析】 如图可知，立体图形的表面积＝长是12cm、宽是8cm、高是10cm的长方体的表面积－2个长是5cm、宽是（12－8）cm长方形的面积和，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方形的面积＝长×宽，代入数据，即可解答。 【详解】（12×8＋12×10＋8×10）×2－5×（12－8）×2 ＝（96＋120＋80）×2－5×4×2 ＝（216＋80）×2－5×4×2 ＝296×2－5×4×2 ＝592－20×2 ＝592－40 ＝552（cm2） 表面积是552cm2。 3．（24-25五年级下·全国·课后作业）如下图（单位：cm），某广场上有20根这样的柱子，给每根柱子的四周和最上面贴上瓷砖。若每平方米瓷砖100元，则给这些柱子贴瓷砖一共要花多少钱？ 【答案】4380元 【分析】根据题意可知，要给每根柱子的四周和最上面贴上瓷砖，即一根柱子贴瓷砖的面积＝下面长方体侧面积＋上面长方体侧面积＋最上面的面积，再用贴瓷砖的面积乘20求出20根柱子的贴瓷砖的面积，最后乘100即可，注意单位的换算。 【详解】 （平方厘米） （元） 答：这些柱子贴瓷砖一共要花4380元。 4．（24-25五年级下·河南商丘·期中）运动会领奖台是由底面长和宽分别相同的三个长方体拼接而成的（如图单位：厘米），拼接后除了底面不涂漆外，其余面都涂油漆，需要涂油漆的面积是多少平方厘米？ 【答案】50000平方厘米 【分析】观察图形，可以把这个立体图形分割，上面可以分割成三个长方形，而且这三个长方形面积相等；长都是（300÷3＝100）厘米，宽都是50厘米；计算出面积再乘3；就是上面的面积；左右两边通过图形平移，面积也相等，长是50厘米，宽是（30＋40）厘米；计算出面积再乘2；就是左右两面的面积；前面和后面的面积相等；把前面分割成三个长方形，长都是（300÷3＝100）厘米，宽分别是30厘米，（30＋40）厘米，40厘米，计算出它们的面积，再乘2，就是前后面的面积，最后把得到的数相加，就是这个领奖台需要涂漆的面积。 【详解】上面的面积： 100×50×3 ＝5000×3 ＝15000（平方厘米） 左右面的面积： 50×（30＋40）×2 ＝50×70×2 ＝3500×2 ＝7000（平方厘米） 前后面的面积： [100×30＋100×（30＋40）＋100×40]×2 ＝[3000＋100×70＋4000]×2 ＝[3000＋7000＋4000]×2 ＝[10000＋4000]×2 ＝14000×2 ＝28000（平方厘米） 15000＋7000＋28000 ＝22000＋28000 ＝50000（平方厘米） 答：需要涂漆的面积是50000平方厘米。 练习七、立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 1．（24-25五年级下·广东汕尾·期末）把4个长7cm、宽5cm、高3cm的长方体拼成一个大长方体，以下拼法中表面积最小的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，分别求出拼成的各长方体表面积，然后比较大小即可 【详解】A．宽：5×2＝10cm 高：3×2＝6（cm） 表面积：（7×10＋7×6＋10×6）×2 ＝（70＋42＋60）×2 ＝172×2 ＝344（cm2） B．长：7×2＝14（cm） 高：3×2＝6（cm） 表面积：（14×5＋14×6＋5×6）×2 ＝（70＋84＋30）×2 ＝184×2 ＝368（cm2） C．长：7×2＝14（cm） 宽：5×2＝10（cm） 表面积：（14×10＋14×3＋10×3）×2 ＝（140＋42＋30）×2 ＝212×2 ＝424（cm2） D．长：7×4＝28（cm） 表面积：（28×5＋28×3＋5×3）×2 ＝（140＋84＋15）×2 ＝239×2 ＝478（cm2） 344＜368＜424＜478 表面积最小的是。 故答案为：A 2．（24-25五年级下·云南大理·期末）下面各图形是用完全相同的小正方体搭成的，拿走其中的一块或两块，表面积增加了的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】正方体每个面的面积都相等。当拿走小正方体时，需要观察原图形与拿走后的图形表面积的变化情况。如果拿走小正方体后，新露出的面的数量比被遮住的面的数量多，那么表面积就会增加。据此逐项分析解答。 【详解】A．拿走一块后，表面积减少了小正方体3个面的面积，同时又增加了小正方体3个面的面积，表面积不变。 B．拿走两块后，表面积减少了小正方体5个面的面积，同时又增加了小正方体5个面的面积，表面积不变。 C．拿走两块后，表面积减少了小正方体5个面的面积，同时又增加了小正方体5个面的面积，表面积不变。 D．拿走一块后，表面积减少了小正方体2个面的面积，同时又增加了小正方体4个面的面积，表面积增加了两个小正方体的面的面积。 故答案为：D 3．（24-25五年级下·河南郑州·期中）一个长是8米，宽和高都是2米的长方体，把它分成两部分（如图所示），表面积增加了( )平方米。 【答案】8 【分析】从图中可知，分割后增加的截面是边长为2米的正方形（因为长方体宽和高都是2米）。增加了2个这样的正方形截面，一个截面面积是2×2＝4平方米，那么增加的总面积是4×2＝8平方米。 【详解】分割后增加的截面是边长为2米的正方形。 2×2×2＝8（平方米） 表面积增加了8平方米。 4．（24-25五年级下·河南商丘·期中）如图，把5个棱长是2cm的正方体积木拼在一起，表面积比原来的5个小正方体表面积之和减少了( )cm2。 【答案】32 【分析】看图可知，把5个棱长是2cm的正方体积木拼在一起，表面积比5个小正方体表面积之和减少了8个正方形的面，棱长×棱长×8＝减少的表面积。 【详解】2×2×8＝32（cm2） 表面积比原来的5个小正方体表面积之和减少了32cm2。 5．（24-25五年级下·湖北十堰·期中）一根长14cm的长方体的截面是正方形，若把这根木料截成三个小长方体，其表面积增加了100cm2，那么原来这根木料的表面积是( )cm2。 【答案】330 【分析】把长方体木料截成三个小长方体，需要截2次，每截1次增加2个截面，所以共增加2×2＝4个截面。已知表面积增加了100cm2，则1个截面（正方形）的面积为：100÷4＝25cm2。正方形面积公式为：面积=边长×边长，因为25＝5×5，所以截面正方形的边长为5cm。根据长方体表面积公式：S＝2×（ab＋ah＋bh）（这里a＝b＝5cm，h＝14cm）。把数据代入计算即可。 【详解】2×2＝4（个） 100÷4＝25（cm2） 25＝5×5，所以截面正方形的边长为5cm。 2×（5×5＋5×14＋5×14） ＝2×（25＋70＋70） ＝2×165 ＝330（cm2） 原来这根木料的表面积是330cm2。 6．（24-25五年级下·北京平谷·期末）一块长2米、宽0.2米、高0.4米的长方体木头，被李叔叔如图所示平均分成四块后，准备做成四个木秋千。这块木头被分开后，表面积增加了多少平方米？ 【答案】1.76平方米 【分析】观察可知，平均分成四块要切两下，每次一下就会增加2个长方形面积，所以表面积增加了4个长方形的面积，分别是2个长是2米，宽0.4米的长方形，2个长是0.4米，宽是0.2米的长方形，根据长方形的面积公式计算即可。 【详解】 （平方米） 答：表面积增加了1.76平方米。 练习八、体积和体积单位的认识 1．（23-24五年级下·河南信阳·期末）在实际生活中，下面物品的体积最接近1dm3的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】常见的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米。立方厘米用字母表示是，立方分米用字母表示是，立方米用字母表示是。棱长1厘米的正方体，体积是1立方厘米；棱长1分米的正方体，体积是1立方分米；棱长1米的正方体，体积是1立方米。1个指尖的体积接近1立方厘米；1个粉笔盒的体积接近1立方分米；教室讲台的体积接近1立方米。 【详解】A．一个书包的体积大约是8； B．一个粉笔盒的体积大约是1dm3； C．一块橡皮的体积大约是8； D．一支钢笔的体积大约是10。 所以最接近1dm3的是粉笔盒。 故答案为：B 2．（24-25五年级下·天津·期末）下列物品中，体积比1立方分米大的是（    ）。 A．一个书包 B．一个鸡蛋 C．一块橡皮 D．一粒花生 【答案】A 【分析】棱长1分米的正方体，体积是1立方分米，大约是一个粉笔盒的体积，据此分析。 【详解】A．一个书包比粉笔盒大得多，即比1立方分米大； B．一个鸡蛋比粉笔盒小，即比1立方分米小； C．一块橡皮比粉笔盒小得多，即比1立方分米小； D．一粒花生比粉笔盒小得多，即比1立方分米小。 所以体积比1立方分米大的是一个书包。 故答案为：A 3．（24-25五年级下·河南周口·期中）在洗衣机、微波炉和牙膏盒三种物体中，( )占的空间最大，( )占的空间最小。 【答案】 洗衣机 牙膏盒 【分析】物体所占空间的大小叫做体积。根据生活常识可知，洗衣机是大型家电，微波炉的体积比洗衣机小一些，牙膏盒是小物品，体积最小，据此解答。 【详解】在洗衣机、微波炉和牙膏盒三种物体中，（洗衣机）占的空间最大，（牙膏盒）占的空间最小。 练习九、长方体和正方体体积的计算 1．（24-25五年级下·江西九江·期中）一个正方体的底面周长是12cm，它的体积是( )cm3。 【答案】27 【分析】根据正方形边长＝周长÷4，求出底面边长，即正方体的棱长，再根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，即可求出它的体积。 【详解】12÷4＝3（cm） 3×3×3＝27（cm3） 它的体积是27cm3。 2．（24-25五年级下·河南周口·期中）一个正方体的棱长总和是96cm，它的表面积是( )cm2，体积是( )cm3。 【答案】 384 512 【分析】正方体棱长总和＝棱长×12，棱长＝棱长总和÷12，据此求出正方体棱长；再根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，据此求出正方体表面积和体积。 【详解】96÷12＝8（cm） 8×8×6 ＝64×6 ＝384（cm2） 8×8×8 ＝64×8 ＝512（cm3） 一个正方体的棱长总和是96cm，它的表面积是384cm2，体积是512cm3 3．（24-25五年级下·四川广元·期末）一个长方体，表面积是208cm2，底面积是32cm2，底面周长是24cm。这个长方体的高是( )cm，体积是( )cm3。 【答案】 6 192 【分析】长方体的表面积等于两个底面积加上侧面积，侧面积等于底面周长乘高。已知表面积是208cm2，底面积是32cm2，那么两个底面积是32×2＝64cm2。侧面积就是208－64＝144cm2。底面周长是24cm，根据侧面积公式S＝C×h（C是底面周长，h是高），则h＝S÷C，可得高为144÷24＝6cm。长方体体积公式为V＝S×h（S是底面积，h是高）。把数据代入计算即可。 【详解】32×2＝64（cm2） 208－64＝144（cm2） 144÷24＝6（cm） 32×6＝192（cm3） 这个长方体的高是6cm，体积是192cm3。 4．（24-25五年级下·广西百色·期末）一个长方体的三条棱相交于一个顶点（如图），这个长方体的棱长总和是( )cm，它的体积是( )cm3。 【答案】 100 480 【分析】长方体的棱长总和公式为：棱长总和＝4×（长＋宽＋高）；长方体体积公式为：体积＝长×宽×高。由图可知，长方体的长为12cm，宽为5cm，高为8cm，把数据分别代入公式计算即可。 【详解】4×（12＋5＋8） ＝4×（17＋8） ＝4×25 ＝100（cm） 12×5×8＝480（cm3） 这个长方体的棱长总和是100cm，，它的体积是480cm3。 5．（24-25五年级下·山东济宁·期中）分别计算下面图形的表面积和体积。 【答案】94dm2、60dm3；384cm2、512cm3 【分析】长方体底面积÷宽＝长，长方体表面积＝（底面积＋长×高＋宽×高）×2，长方体体积＝底面积×高；正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此列式计算。 【详解】20÷4＝5（dm） （20＋5×3＋4×3）×2 ＝（20＋15＋12）×2 ＝47×2 ＝94（dm2） 20×3＝60（dm3） 8×8×6＝384（cm2） 8×8×8＝512（cm3） 长方体的表面积和体积分别是94dm2、60dm3，正方体的表面积和体积分别是384cm2、512cm3。 练习十、长方体和正方体体积的应用 1．（24-25五年级下·河南安阳·期中）“泥叫叫”又名“娃娃哨”，是一种传统的民间工艺品。王叔叔准备了一块棱长为6cm的正方体泥巴做泥叫叫，这块正方体泥巴的体积是( )cm3。为了便于创作，王叔叔将正方体泥巴捏成了底面积是24cm2的长方体泥巴，捏成的长方体泥巴的高是( )cm。 【答案】 216 9 【分析】已知正方体泥巴的棱长是6cm，根据正方体的体积公式V＝a3，求出泥巴的体积； 再把这块泥巴捏成了底面积是24cm2的长方体泥巴，则泥巴的体积不变；根据长方体的高h＝V÷S，求出长方体泥巴的高。 【详解】6×6×6 ＝36×6 ＝216（cm3） 216÷24＝9（cm） 这块正方体泥巴的体积是（216）cm3。捏成的长方体泥巴的高是（9）cm。 2．（24-25五年级下·甘肃临夏·期末）一根长方体木料的体积是0.27立方米，横截面是一个边长为0.3米的正方形，这根木料长多少米？ 【答案】3米 【分析】长方体体积公式是：V＝S×h（V是体积，S是横截面积，h是长，这里木料的长相当于长方体的高）。已知横截面是边长0.3米的正方形，根据正方形面积公式： S＝a×a（a是边长），计算出横截面积。进而根据公式：h＝V÷S，代入数据解答。 【详解】0.3×0.3＝0.09（平方米） 0.27÷0.09＝3（米） 答：这根木料长3米。 3．（24-25五年级下·云南楚雄·期末）要在一个边长是9分米的正方形铁皮的四个角上分别剪去一个正方形，随后将它焊接成一个无盖的正方体盒子，想一想，这个正方体盒子的表面积和体积分别是多少？ 【答案】表面积是45平方分米；体积是27立方分米 【分析】要在一个边长是9分米的正方形铁皮的四个角上分别剪去一个正方形，随后将它焊接成一个无盖的正方体盒子，因为正方体的棱长相等，因此需要把9分米平均分成3份，即正方体的棱长是9÷3＝3分米；因为该正方体盒子无盖，只有5个面，因此该正方体的表面积＝棱长×棱长×5；最后根据“正方体体积＝棱长×棱长×棱长”计算出该正方体的体积。 【详解】9÷3＝3（分米） 3×3×5 ＝9×5 ＝45（平方分米） 3×3×3 ＝9×3 ＝27（立方分米） 答：这个正方体盒子的表面积是45平方分米。这个正方体盒子的体积是27立方分米。 4．（24-25五年级下·广东梅州·期中）在新农村改造中，团结村村民用63立方米的混凝土铺了一条3.5米宽的路，铺的混凝土的厚度是0.2米。这条路有多长？ 【答案】90米 【分析】由题意可知，把这条路看作一个长方体，长方体的体积是63立方米，宽是3.5米，高是0.2米，利用“长＝长方体的体积÷宽÷高”求出这条路的长度，据此解答。 【详解】63÷3.5÷0.2 ＝18÷0.2 ＝90（米） 答：这条路长90米。 5．（24-25五年级下·河南郑州·期中）为了宣传牡丹盛宴，景区的一家店铺推出了一款牡丹明信片。一张明信片尽管很薄，但也是一个长方体。已知一包明信片高2厘米，请你根据图中提供的信息，计算出一张明信片的体积约是多少立方厘米？（得数保留整数） 【答案】14立方厘米 【分析】已知一包明信片长152毫米、宽90毫米、高2厘米，先根据进率“1厘米＝10毫米”统一单位，再根据长方体的体积＝长×宽×高，求出这包明信片的体积；已知这包明信片有20张，用这包明信片的体积除以20，求出一张明信片的体积，得数根据“四舍五入”法保留整数。 【详解】152毫米＝15.2厘米 90毫米＝9厘米 15.2×9×2 ＝136.8×2 ＝273.6（立方厘米） 273.6÷20≈14（立方厘米） 答：一张明信片的体积约是14立方厘米。 练习十一、体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米） 1．（23-24五年级下·河北唐山·期中）3.5dm3＝( )cm3           720dm3＝( )m3 【答案】 3500 0.72/ 【分析】高级单位化低级单位，乘单位之间的进率；低级单位化高级单位，除以单位之间的进率。1dm3＝1000cm3，1m3＝1000dm3。据此解答。 【详解】3.5×1000＝3500，则3.5dm3＝3500cm3；            720÷1000＝0.72，则720dm3＝0.72m3。 2．（23-24五年级下·江西赣州·期末）用一根24dm长的铁丝围成一个最大的正方体形状的框架，这个正方体的体积是( )m3。 【答案】0.008 【分析】根据正方体棱长和＝棱长×12，所以正方体的棱长为（24÷12）dm，再根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据求解即可。 【详解】24÷12＝2（dm） 2×2×2 ＝4×2 ＝8（dm3） 8dm3＝0.008m3 这个正方体的体积是0.008m3。 3．（24-25五年级下·湖南岳阳·期中）360dm2＝( )m2   7100dm3＝( )m3  2.08m3＝( )m3( )dm3 【答案】 3.6 7.1 2 80 【分析】根据1m2＝100dm2，1m3＝1000dm3，低级单位化为高级单位除以进率，高级单位化为低级单位乘进率。把2.08m3化成复名数，2是m3数，0.08乘进率1000就是dm3数。据此解答。 【详解】（m2） （m3） （dm3） 360dm2＝3.6m2 7100dm3＝7.1m3 2.08m3＝2m380dm3 4．（24-25五年级下·湖南·期中）一块长方体木板，长3.6米，宽1.5米，厚0.03米，它的体积是多少立方米？合多少立方分米？ 【答案】0.162立方米；162立方分米 【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，求出木板体积，再根据1立方米＝1000立方分米，统一单位即可。 【详解】3.6×1.5×0.03＝0.162（立方米） 0.162立方米＝162立方分米 答：它的体积是0.162立方米，合162立方分米。 练习十二、体积的等积变形（长方体、正方体） 1．（24-25五年级下·广东汕头·期中）把棱长是3分米的正方体钢材锻造成一块横截面是0.06平方米的长方体，这块长方体钢材的长多少分米？ 【答案】4.5分米 【分析】根据1平方米＝100平方分米，统一单位。正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此求出钢材的体积，再根据长方体的长＝体积÷横截面面积，列式解答即可。 【详解】0.06平方米＝6平方分米 3×3×3÷6 ＝27÷6 ＝4.5（分米） 答：这块长方体钢材的长4.5分米。 2．（24-25五年级下·云南文山·期末）中国冶炼铸铁的技术比欧洲早，据《管子》记载，齐国“断山木”，“鼓山铁”。齐国工匠将一块0.8米的正方体铁块，熔铸成一个横截面积是4平方分米的长方体，这个长方体的长是多少？ 【答案】12.8米 【分析】根据，求出正方体的体积，由题意可知，长方体体积与正方体相等，把4平方分米转化为0.04平方米，根据的逆运算，用体积除以底面积，即可得解。 【详解】4平方分米＝0.04平方米 （米） 答：这个长方体的长是12.8米。 3．（24-25五年级下·河南开封·期中）有一个长方体容器（如下左图所示），长50厘米、宽30厘米、高20厘米，里面的水深8厘米。 （1）长方体容器中水的体积是多少？ （2）当容器竖起来放置以后（如上右图所示），水深多少？ 【答案】（1）12000立方厘米 （2）20厘米 【分析】（1）长方体容器的长×宽×水深＝水的体积，据此列式解答； （2）根据水深＝水的体积÷容器底面积，列式解答即可。 【详解】（1）50×30×8＝12000（立方厘米） 答：长方体容器中水的体积是12000立方厘米。 （2）12000÷（30×20） ＝12000÷600 ＝20（厘米） 答：水深20厘米。 练习十三、立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 1．（24-25五年级下·河南郑州·期中）把一个长是6分米，宽是4分米，高是5分米的长方体截成一个最大的正方体，截成的正方体的体积是( )立方分米。 【答案】64 【分析】将一个长方体截成最大的正方体时，正方体的棱长等于长方体长、宽、高中的最小值。题目中长方体的长、宽、高分别为6分米、4分米、5分米，因此正方体的棱长为4分米。根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长计算即可。 【详解】4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方分米） 所以截成的正方体的体积是64立方分米。 2．（24-25五年级下·广东广州·期中）用棱长为2cm的正方体木块堆成一个较大的正方体，至少需要( )块，拼成的正方体的表面积是( )cm2，体积是( )cm3。 【答案】 8 96 64 【分析】根据正方体的特征，每条边相等，可知每条边至少需要2块小正方体，根据，用可得第一问，拼成的大正方体的棱长是cm，再根据正方体的表面积公式及，分别代入数据计算即可。 【详解】（块） （cm） （cm2） （cm3） 用棱长为2cm的正方体木块堆成一个较大的正方体，至少需要8块，拼成的正方体的表面积是96cm2，体积是64cm3。 3．（23-24五年级下·北京密云·期末）把一块长3米的长方体木材，锯成完全相同的两块小长方体。（如下图）表面积增加了40平方分米。这根木材原来的体积是多少立方米？ 【答案】0.6立方米 【分析】将左右侧面看作长方体的上下底面，则长3米，即为长方体的高是3米。长方体的体积＝底面积×高＝截面面积×高。锯开后增加的表面积是2个截面的面积。代入数据即可求出长方体体积。 【详解】截面面积为40÷2＝20（平方分米） 3米＝30分米 其体积为30×20＝600（立方分米） 600立方分米＝0.6立方米 答：这根木材原来的体积是0.6立方米。 4．（23-24五年级下·湖南湘西·期末）将长5米的长方体木料，如下图切割分成5段后，表面积增加38.4平方分米。这个长方体木料的一个侧面的面积是多少平方分米？原来这根木料体积是多少立方分米？ 【答案】4.8平方分米；240立方分米 【分析】把长方体截成5段后，表面积比原来增加了8个横截面的面积，即38.4平方分米，用增加的面积除以增加的面数，据此求出木料一个侧面的面积，再根据长方体的体积公式：V＝Sh，代入数据求出木料原来的体积。 【详解】5米＝50分米 （5－1）×2 ＝4×2 ＝8（面） 38.4÷8＝4.8（平方分米） 4.8×50＝240（立方分米） 答：这个长方体木料的一个侧面的面积是4.8平方分米，原来这根木料体积是240立方分米。 练习十四、组合体的体积（长方体、正方体） 1．（24-25五年级下·山东菏泽·期中）计算如图组合体的体积。 【答案】656立方厘米 【分析】根据图示，可将组合体拆分为正方体和长方体，分别计算体积后求和。正方体体积公式V＝a3，长方体体积公式V＝abh 。 【详解】8×8×8 ＝64×8 ＝512（cm3） 9×8×2 ＝72×2 ＝144（cm3） 512＋144＝656（cm3） 组合体的体积是656cm3。 2．（24-25五年级下·河南焦作·期中）计算组合图形的体积。 【答案】1872cm3 【分析】组合图形的体积＝上面正方体的体积＋下面长方体的体积，根据和，代入数据计算即可。 【详解】8×8×8＋17×8×10 ＝512＋1360 ＝1872（cm3） 则组合图形的体积是1872cm3。 3．（24-25五年级下·河南南阳·期中）计算下面图形的体积。（单位：厘米） 【答案】408立方厘米 【分析】该图形由一个正方体和一个长方体组成，分别求出正方体体积和长方体体积，再相加得到总体积。根据正方体体积公式V＝a3（a是棱长），长方体体积公式V＝abh（a、b、h分别是长、宽、高）计算。 【详解】正方体体积：6×6×6＝216（立方厘米） 长方体体积：4×4×12＝192（立方厘米） 总体积：216＋192＝408（立方厘米） 图形的体积是408立方厘米。 4．（24-25五年级下·山东滨州·期末）为了更好地展示商品，华阳商场设计了一款商品展示柜。（如图）请选择喜欢的方法计算这款商品展示柜所占空间的大小。 【答案】162000立方厘米 【分析】展示柜所占空间可以看作长宽高是120厘米、30厘米、（30－15）厘米的长方体体积与长宽高是120厘米、60厘米、15厘米的长方体体积之和。也可以看作长宽高是120厘米、60厘米、30厘米的长方体体积与长宽高是120厘米、（60－30）厘米、（30－15）厘米的长方体体积之差。任选一种，根据V＝abh计算解答。 【详解】120×60×30－120×（60－30）×（30－15） ＝7200×30－120×30×15 ＝216000－54000 ＝162000（立方厘米） 答：这款商品展示柜所占空间是162000立方厘米。 5．（24-25五年级下·云南昭通·期末）下图是从一个大长方体中挖掉一个小长方体的模具，求这个模具的表面积和体积。（单位：厘米） 【答案】240平方厘米；168立方厘米 【分析】由图可知，挖掉小长方体之前需要计算小长方体上面、前面2个面的面积，挖掉小长方体之后需要计算小长方体下面、后面、左面、右面4个面的面积，大长方体其它部分面积不变，则挖掉小长方体之后的表面积比原来大长方体的表面积增加了挖掉小长方体左、右2个面的面积，长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2；长方体的体积＝长×宽×高，挖掉小长方体之后的体积比原来大长方体的体积减少了一个小长方体的体积，据此解答。 【详解】表面积：（8×8＋8×3＋8×3）×2＋4×2×2 ＝（64＋24＋24）×2＋4×2×2 ＝112×2＋4×2×2 ＝224＋8×2 ＝224＋16 ＝240（平方厘米） 体积：8×8×3－4×3×2 ＝64×3－12×2 ＝192－24 ＝168（立方厘米） 答：这个模具的表面积是240平方厘米，体积是168立方厘米。 6．（24-25五年级下·甘肃平凉·期中）下图是一个“三级台阶”（下面接地面），每级台阶的长、宽、高见标注（单位：分米）。计算这个“三级台阶”的表面积和体积。 【答案】表面积：1128平方分米；体积：2880立方分米 【分析】（1）据图可知，这个“三级台阶”的表面积等于一个长是20分米宽是（6×3）分米高是（4×3）分米的长方体的表面积减去一个长×宽的面再减去2个长是6分米宽是4分米的长方形的面积再减去2个长是（4×2）分米宽是6分米的长方形的面积，据此结合长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方形的面积＝长×宽列式计算即可求出表面积； （2）这个“三级台阶”的体积等于一个长是20分米宽是（6×3）分米高是（4×3）分米的长方体的体积减去一个长是20分米宽是6分米高是4分米的长方体的体积再减去一个长是20分米宽是6分米高是（4×2）分米的长方体的体积，结合长方体的体积＝长×宽×高列式计算即可。 【详解】6×3＝18（分米） 4×3＝12（分米） （20×18＋20×12＋18×12）×2－20×18－6×4×2－4×2×6×2 ＝（360＋240＋216）×2－360－24×2－8×6×2 ＝816×2－360－48－48×2 ＝1632－360－48－96 ＝1272－48－96 ＝1224－96 ＝1128（平方分米） 20×18×12－20×6×4－20×6×（4×2） ＝360×12－120×4－120×8 ＝4320－480－960 ＝3840－960 ＝2880（立方分米） 答：这个“三级台阶”的表面积是1128平方分米，体积是2880立方分米。 练习十五、容积和容积单位的认识 1．（24-25五年级下·广东梅州·期中）一个油桶能装200L汽油，我们就说这个油桶的（    ）是200L。 A．容积 B．体积 C．表面积 D．底面积 【答案】A 【分析】体积是指物体所占空间的大小，而容积是指木箱、油桶等所能容纳物体的体积，即物体所含物质的体积，一个物体有体积，但它不一定有容积；物体表面面积的总和，叫做物体的表面积；底面积指的是立体图形下面的面积。 【详解】一个油桶能装200L汽油，我们就说这个油桶的容积是200L。 故答案为：A 2．（23-24五年级下·广东广州·期末）一个书包的容积约13（    ）。 A．cm B．mL C．L D．m3 【答案】C 【分析】容器所能容纳物体的体积叫做它们的容积。1升是1立方分米，结合单位前的数据，所以计量一个书包的容积用“升”作单位比较合适。 【详解】 一个书包的容积约13L。 故答案为：C 3．（24-25五年级下·江西宜春·期中）物体的容积与体积计算方法相同，但意义不同。( ) 【答案】√ 【分析】体积指物体所占空间的大小；容积指容器所能容纳物体的体积。两者的计算方法均为长×宽×高（或底面积×高），但体积是物体自身的空间大小，容积是容器容纳物体的能力，因此意义不同。 【详解】根据分析可知，物体的容积与体积计算方法相同，但意义不同。 原题干说法正确。 故答案为：√ 4．（23-24五年级下·河北承德·期末）计量液体的体积通常用升和( )作单位。一个容积可以装60立方分米的水，我们就说这个容器的容积是60( )。 【答案】 毫升/mL 升/L 【分析】计量液体常用体积单位“升”和“毫升”作单位，当液体体积较小的时候一般用毫升做单位； 容积是指容器所能容纳物体的体积。比如一个杯子能装多少水，这个杯子容纳水的体积就是它的容积。容器的容积一般是用“升”和“毫升”作单位。 【详解】由分析得： 计量液体的体积通常用升和毫升作单位。 1升液体的体积就是1立方分米，1升＝1立方分米 1毫升液体的体积就是1立方厘米，1毫升＝1立方厘米 即一个容积可以装60立方分米的水，我们就说这个容器的容积是60升。 练习十六、体积、容积单位的选择 1．（24-25五年级下·重庆忠县·期末）一本数学书的体积大约是300（    ）。 A．m3 B．dm3 C．cm3 D．L 【答案】C 【分析】教室讲台的体积大约是1m3，一个粉笔盒的体积约为1dm3，手指尖的体积大约是1cm3，一大瓶雪碧的体积约为1L，结合单位前的数据，可知计量一本数学书的体积用“cm3”作单位比较合适。 【详解】一本数学书的体积大约是300cm3。 故答案为：C 2．（24-25五年级下·湖北襄阳·期末）爸爸在超市买的一壶油大约为5（    ）。 A．毫升 B．升 C．立方米 D．立方厘米 【答案】B 【分析】毫升是较小的容积单位，通常用于计量少量液体，如一瓶眼药水的容积；升是常用的较大容积单位，生活中一壶油的容积通常用升来计量；立方米是用于计量较大体积的单位，如房间的体积；立方厘米是用于计量较小体积的单位。据此解答。 【详解】A．毫升是较小的容积单位，通常用于计量少量液体，一壶油的容积用毫升的话数值会很大，不符合实际； B．升是常用的较大容积单位，生活中一壶油的容积通常用升来计量，5升是比较符合实际的； C．立方米是用于计量较大体积的单位，如房间的体积，用来计量一壶油的容积太大，不符合实际； D．立方厘米是用于计量较小体积的单位，和毫升类似，计量一壶油的容积不合适。 因此，爸爸在超市买的一壶油大约为5升。 故答案为：B 3．（24-25五年级下·湖南长沙·期中）在括号里填上适当的单位。 (1)一间教室所占空间大约是120( )。 (2)一瓶矿泉水有500( )。 (3)一个粉笔盒的体积是1( )。 (4)一个集装箱的体积约是40( )。 【答案】(1)立方米/m3 (2)毫升/mL (3)立方分米/dm3 (4)立方米/m3 【分析】一台小冰柜的体积大约是1立方米，所以计量教室所占空间的大小、一个集装箱的体积用“立方米”作单位比较合适； 20滴水大约是1毫升，所以计量一瓶矿泉水的量用“毫升”作单位比较合适； 1升洗洁精瓶的体积约为1立方分米，所以计量一个粉笔盒的体积用“立方分米”作单位比较合适。 【详解】（1）一间教室所占空间大约是120立方米。 （2）一瓶矿泉水有500毫升。 （3）一个粉笔盒的体积是1立方分米。 （4）一个集装箱的体积约是40立方米。 4．（24-25五年级下·河南安阳·期中）在括号里填上合适的单位。 明明要去陶艺研学基地研学，出发前，妈妈为他准备了一个体积约是150( )的粽子和一盒容积约是200( )的牛奶。研学基地所用的教学显示屏面积约是200( )，明明在研学基地的场地里还看到了一堆体积约是8( )的陶土。 【答案】 立方厘米/cm3 毫升/mL 平方分米/dm2 立方分米/dm3 【分析】手指尖的体积大约是1立方厘米，所以计量一个粽子的体积用“立方厘米”作单位比较合适； 20滴水大约是1毫升，所以计量一盒牛奶的容积用“毫升”作单位比较合适； 1平方分米大约是一个手掌面的大小，所以计量教学显示屏面积用“平方分米”作单位比较合适； 一个粉笔盒的体积约为1立方分米，所以计量一堆陶土的体积用“立方分米”作单位比较合适。 【详解】明明要去陶艺研学基地研学，出发前，妈妈为他准备了一个体积约是150（立方厘米）的粽子和一盒容积约是200（毫升）的牛奶。研学基地所用的教学显示屏面积约是200（平方分米），明明在研学基地的场地里还看到了一堆体积约是8（立方分米）的陶土。 5．（24-25五年级下·河南南阳·期中）在（    ）里填上适当的体积单位或容积单位。 一盒牛奶约250( )。 粉笔盒的体积约1( )。 一桶饮用水约20( )。 运货集装箱的体积约40( )。 【答案】 毫升/mL 立方分米/dm3 升/L 立方米/m3 【分析】教室讲台的体积大约是1立方米，所以计量集装箱的体积用“立方米”作单位比较合适； 1升洗洁精瓶的体积约为1立方分米，所以计量粉笔盒的体积用“立方分米”作单位比较合适； 两瓶矿泉水的容积是1升，所以计量一桶饮用水的量用“升”作单位比较合适； 20滴水大约是1毫升，所以计量一盒牛奶的量用“毫升”作单位比较合适。 【详解】 一盒牛奶约250毫升。 粉笔盒的体积约1立方分米。 一桶饮用水约20升。 运货集装箱的体积约40立方米。 练习十七、体积与容积单位间的进率及换算 1．（24-25五年级下·湖南长沙·期中）一个长方体水池，长8m，宽6m，深20dm，这个水池的容积是（    ）。 A．96dm3 B．96L C．96000L D．9600dm3 【答案】C 【分析】1m＝10dm，先根据进率把单位统一为dm，再根据，代入数据计算，1 dm3＝1L，最后把单位转化为升即可。 【详解】根据分析： 8m＝80dm 6m＝60dm 80×60×20＝96000（dm3） 96000dm3＝96000L 一个长方体水池，长8m，宽6m，深20dm，这个水池的容积是96000L。 故答案为：C 2．（24-25五年级下·湖北襄阳·期中）5L＝( )mL      638mL＝( )cm3＝( )dm3 【答案】 5000 638 0.638 【分析】1L＝1000mL；1mL＝1cm3；1dm3＝1000cm3；高级单位名数换算成低级单位名数乘进率，低级单位名数换算成高级单位名数除以进率。 【详解】（1）5×1000＝5000，所以5L＝5000mL （2）因为1mL＝1 cm3，所以638mL＝638 cm3；638÷1000＝0.638，所以638 cm3＝0.638 dm3，即638mL＝638cm3＝0.638dm3 3．（24-25五年级下·福建龙岩·期中）70cm＝( )m            25dm3＝( )cm3 50mL＝( )dm3         7.02dm3＝( )L( )mL 【答案】 0.7/ 25000 0.05/ 7 20 【分析】因为1m＝100cm，将cm换算成m，是小单位换算成大单位，要除以进率。 因为1dm3＝1000cm3，将dm3换算成cm3，是大单位换算成小单位，要乘进率。 因为1dm3＝1000mL，将mL换算成dm3，是小单位换算成大单位，要除以进率。 1dm3＝1L，所以7.02dm3中的整数部分7dm3＝7L。1dm3＝1000mL，将dm3换算成mL，是大单位换算成小单位，要乘进率。 【详解】1m＝100cm，70÷100＝0.7（m），即70cm＝0.7m； 1dm3＝1000cm3，25×1000＝25000（cm3），即25dm3＝25000cm3； 1dm3＝1000mL，50÷1000＝0.05（dm3），即50mL＝0.05dm3； 1dm3＝1L，7dm3＝7L，1dm3＝1000mL，0.02×1000＝20（mL），即7.02dm3＝7L20mL。 4．（24-25五年级下·吉林松原·期中）一个长方体水箱，从里面量底面积是25平方分米，高是1.6分米，这个水箱能装水( )升。 【答案】40 【分析】已知长方体水箱从里面量的底面积和高，根据长方体的体积（容积）＝底面积×高，以及进率“1立方分米＝1升”，求出这个水箱能装水的体积。 【详解】25×1.6＝40（立方分米） 40立方分米＝40升 这个水箱能装水40升。 练习十八、长方体、正方体的容积 1．（24-25五年级下·海南省直辖县级单位·期中）一个塑料盒刚好能被256个棱长为1厘米的小正方体摆放满，这个塑料盒的容积是( )cm3。 【答案】256 【分析】容积是物体所能容纳物体的体积，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长求出1个正方体的体积，再乘256即可解答。 【详解】1×1×1×256 ＝1×256 ＝256（cm3） 所以这个塑料盒的容积是256。 2．（23-24五年级下·内蒙古呼和浩特·期末）一种微波炉包装纸箱的尺寸为“400×225×300毫米”，这个包装纸箱的容积是( )升。 【答案】27 【分析】由题意可知，这个包装纸箱的长是400毫米，宽是225毫米，高是300毫米，先把“毫米”转化为“分米”，再根据“长方体的容积＝长×宽×高”求出这个包装纸箱的容积，最后根据1立方分米＝1升把体积单位转化为容积单位，据此解答。 【详解】400毫米＝4分米，225毫米＝2.25分米，300毫米＝3分米。 4×2.25×3 ＝9×3 ＝27（立方分米） 27立方分米＝27升 所以，这个包装纸箱的容积是27升。 3．（24-25五年级下·河南郑州·期中）一个无盖的长方体玻璃鱼缸，从里面测量长6分米、宽4.5分米、高4分米。缸内现在水深2.5分米，鱼缸里现有( )升水。 【答案】67.5 【分析】鱼缸从里面测量的长是6分米、宽是4.5分米，缸内水深2.5分米，即水形成的长方体的长为6分米，宽为4.5分米，高为2.5分米。根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，把数据代入计算即可。 【详解】6×4.5×2.5＝67.5（立方分米） 1立方分米＝1升 67.5立方分米＝67.5升 鱼缸里现有67.5升水。 4．（24-25五年级下·山东济宁·期中）小丽的爸爸开的轿车的油箱内部长50厘米、宽40厘米、高30厘米。梁山到北京大约560千米，如果每千米油耗80毫升，出发前爸爸加满油，到达北京油箱的油够吗？ 【答案】够 【分析】根据长方体容积＝长×宽×高，代入数据，求出轿车油箱的容积，也就是油的容积；再用梁山到北京的路程×每千米油耗，求出梁山到北京的总油耗，再和轿车油箱的容积比较，大于轿车的油箱的容积，不够；小于轿车油箱的容积，够，据此解答，注意单位名数的换算。 【详解】50×40×30 ＝2000×30 ＝60000（立方厘米） 60000立方厘米＝60000毫升 560×80＝44800（毫升） 60000＞44800，够。油箱的油够到达北京。 答：出发前爸爸加满油，到达北京油箱的油够。 5．（24-25五年级下·河南周口·期中）一种长方体油桶，底面是边长为3.5分米的正方形，高4分米。把这样一桶油倒入容积是700毫升的瓶子里，可以装多少瓶？ 【答案】70瓶 【分析】已知长方体油桶的底面是边长为3.5分米的正方形，高4分米，先根据正方形的面积＝边长×边长，求出长方体油桶的底面积；再根据长方体的体积（容积）＝底面积×高，求出油桶的容积，并根据进率“1立方分米＝1000毫升”换算成以毫升为单位的数； 已知把这样一桶油倒入容积是700毫升的瓶子里，求可以装的瓶数，就是求油桶的容积里有几个700，即可装几瓶，用除法计算。 【详解】3.5×3.5＝12.25（平方分米） 12.25×4＝49（立方分米） 49立方分米＝49000毫升 49000÷700＝70（瓶） 答：可以装70瓶。 6．（24-25五年级下·山东济宁·期中）一个长方体的游泳池，长、宽、高分别是50米，12米，2米。 （1）这个游泳池的占地面积是多少平方米？ （2）把这个游泳池的底面和四壁都贴上瓷砖，需要瓷砖多少平方米？ （3）这个游泳池的容积是多少立方米？ 【答案】（1）600平方米 （2）848平方米 （3）1200立方米 【分析】（1）游泳池的占地面积即长方体的下面的面积，用长×宽即可。 （2）贴瓷砖面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，据此代入数据计算即可。 （3）根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，据此代入数据计算即可。 【详解】（1）50×12＝600（平方米） 答：这个游泳池的占地面积是600平方米。 （2）50×12＋50×2×2＋12×2×2 ＝600＋200＋48 ＝848（平方米） 答：需要瓷砖848平方米。 （3）50×12×2＝1200（立方米） 答：这个游泳池的容积是1200立方米。 练习十九、不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 1．（24-25五年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如下图，这块石头的体积大约是（    ）cm3。 A．500 B．1000 C．2000 D．5000 【答案】B 【分析】水面上升的体积就是这块石头的体积，长方体容器的长×宽×水面上升的高度＝这块石头的体积，据此列式计算。 【详解】25×20×（12－10） ＝500×2 ＝1000（cm3） 这块石头的体积大约是1000cm3。 故答案为：B 2．（24-25五年级下·江西宜春·期中）大暑是夏天的最后一个节气，我国部分地区有晒伏姜的习俗。天天想测量一块姜的体积，他拿出一个长方体玻璃容器，注入一部分水，这时水面的高度是2厘米，无法淹没姜。天天灵机一动，把容器竖了起来，并放入姜，水面高度如下图。这块姜的体积是( )立方厘米。 【答案】800 【分析】根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，用30×10×2即可求出水的体积，把容器竖起来，水的体积不变。水的体积＋姜的体积等于长为10厘米、宽为10厘米、高为14厘米的长方体体积；据此求出总的体积，再减去水的体积即可求出姜的体积。 【详解】10×10×14－30×10×2 ＝1400－600 ＝800（立方厘米） 这块姜的体积是800立方厘米。 3．（24-25五年级下·北京大兴·期末）如图所示，一个棱长为10厘米的正方体玻璃容器中装有一些水，将一个高为8厘米的长方体铁块竖直放入水中，铁块还没有完全浸没时，水就满了。这个铁块浸没在水中的体积是( )立方厘米，整个铁块的体积是( )立方厘米。（玻璃的厚度忽略不计） 【答案】 300 400 【分析】（1）正方体容器棱长为10厘米，原来的水的高度是7厘米，可得水面上升的高度，水上升的体积就是铁块浸没在水中的体积，根据长方体的体积公式：长方体的体积＝长×宽×高，即可求解； （2）已知铁块高8厘米，浸没部分的高度是6厘米，由（1）可知铁块浸没的体积，用铁块浸没的体积除以浸没部分的高度，即可求出铁块的底面积，整个铁块的体积＝底面积×总高，即可求解。 【详解】（1）水面上升的高度：（厘米） 浸没的体积： （立方厘米） （2）铁块的底面积：（平方厘米） 整个铁块的体积：（立方厘米） 因此一个棱长为10厘米的正方体玻璃容器中装有一些水，将一个高为8厘米的长方体铁块竖直放入水中，铁块还没有完全浸没时，水就满了。这个铁块浸没在水中的体积是300立方厘米，整个铁块的体积是400立方厘米。 4．（24-25五年级下·山东济宁·期中）求西红柿的体积。 【答案】 【分析】当把西红柿完全浸没在水中时，水上升的那部分空间的体积就等于西红柿的体积，因为容器是长方体形状，所以可利用长方体体积公式（是长，是宽，是高）来计算上升的水的体积，也就是西红柿的体积。 【详解】原来水的体积： 加入西红柿后水的体积： 上升的水的体积＝西红柿的体积： 所以西红柿的体积为。 5．（24-25五年级下·天津和平·期末）王叔叔做了一个长10厘米，宽10厘米，高12厘米的长方体生态缸（无盖），制作过程如下。（不考虑生态缸的厚度） 先放入沙子和水草，再倒入500毫升水（沙子和水草完全浸没在水中），量得水面的高度是7厘米。最后放入一些小鱼，此时水面的高度为9厘米。 这些小鱼的体积是多少立方厘米？ 【答案】200立方厘米 【分析】由题意可知，小鱼的体积等于放入小鱼后上升部分水的体积，放入小鱼后上升部分水的体积＝容器的底面积×放入小鱼后上升的水面高度，据此解答。 【详解】10×10×（9－7） ＝10×10×2 ＝100×2 ＝200（立方厘米） 答：这些小鱼的体积是200立方厘米。 6．（24-25五年级下·江西赣州·期中）为了比较桃子和苹果的体积，豆豆做了下面的实验。（单位：厘米） （1）估计一下，桃子和苹果哪个体积大一些？ （2）请你算一算，桃子和苹果的体积分别是多少立方厘米？ 【答案】（1）苹果 （2）360立方厘米；540立方厘米 【分析】（1）水面上升的体积就是桃子和苹果的体积，水面上升的高度越高说明体积越大，观察可知，放入桃子水面上升了（8－6）厘米，放入苹果水面上升了（11－8）厘米，据此比较桃子和苹果的体积。 （2）用容器底面积分别乘放入桃子和苹果水面上升的高度，即可求出桃子和苹果的体积。 【详解】（1）8－6＝2（厘米） 11－8＝3（厘米） 2＜3 答：苹果的体积大一些。 （2）15×12＝180（平方厘米） 180×2＝360（立方厘米） 180×3＝540（立方厘米） 答：桃子和苹果的体积分别是360立方厘米、540立方厘米。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 66 页 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